Chunki Kimga demak, bu butun sondir k=1. Keyin x =– dastlabki tenglamaning yechimi.

Agregatning ikkinchi tizimini ko'rib chiqing

Agar n=0, Bu . Da n = -1; -2;… yechimlar bo'lmaydi.

Agar n=1, – sistemaning yechimi va demak, dastlabki tenglama.

Agar n=2, Bu

Hech qanday qaror bo'lmaydi.

Sizning iltimosingiz bo'yicha!

13. 3-4cos 2 x=0 tenglamani yeching. Uning intervalga tegishli ildizlari yig'indisini toping.

1+cos2a=2cos 2 a formula yordamida kosinus darajasini kamaytiramiz. Biz ekvivalent tenglamani olamiz:

3-2(1+cos2x)=0 ⇒ 3-2-2cos2x=0 ⇒ -2cos2x=-1. Biz tenglikning ikkala tomonini (-2) ga bo'lamiz va eng oddiy trigonometrik tenglamani olamiz:

14. Agar b 4 =25 va b 6 =16 bo'lsa, geometrik progressiyaning b 5 ni toping.

Geometrik progressiyaning har bir hadi ikkinchisidan boshlab, qo‘shni hadlarning o‘rtacha arifmetik qiymatiga teng:

(b n) 2 =b n-1 ∙b n+1 . Bizda (b 5) 2 =b 4 ∙b 6 ⇒ (b 5) 2 =25·16 ⇒ b 5 =±5·4 ⇒ b 5 =±20.

15. Funktsiyaning hosilasini toping: f(x)=tgx-ctgx.

16. y(x)=x 2 -12x+27 funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini toping

segmentida.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish y=f(x) segmentida, siz segmentning oxirida va ushbu segmentga tegishli bo'lgan muhim nuqtalarda ushbu funktsiyaning qiymatlarini topishingiz kerak, so'ngra barcha olingan qiymatlardan eng katta va eng kichikni tanlang.

Funktsiyaning x=3 va x=7 da qiymatlarini topamiz, ya'ni. segmentning oxirida.

y(3)=3 2 -12∙3+27 =9-36+27=0;

y(7)=7 2 -12∙7+27 =49-84+27=-84+76=-8.

Bu funksiyaning hosilasini toping: y’(x)=(x 2 -12x+27)’ =2x-12=2(x-6); kritik nuqta x=6 shu intervalga tegishli. Funksiyaning x=6 da qiymati topilsin.

y(6)=6 2 -12∙6+27 =36-72+27=-72+63=-9. Endi olingan uchta qiymatdan tanlaymiz: 0; -8 va -9 eng katta va eng kichik: eng katta. =0; nomi bo'yicha =-9.

17. Funksiya uchun antiderivativlarning umumiy shaklini toping:

Ushbu interval bu funktsiyani aniqlash sohasidir. Javoblar f(x) bilan emas, F(x) bilan boshlanishi kerak - axir biz antiderivativni qidirmoqdamiz. Ta'rifiga ko'ra, F(x) funksiya f(x) funksiyaga qarshi hosiladir, agar tenglik bajarilsa: F’(x)=f(x). Shunday qilib, siz berilgan funktsiyani olmaguningizcha, taklif qilingan javoblarning hosilalarini topishingiz mumkin. Qattiq yechim - berilgan funktsiyaning integralini hisoblash. Biz formulalarni qo'llaymiz:

19. ABC uchburchakning BD medianasini o‘z ichiga oluvchi chiziqning uchlari A(-6; 2), B(6; 6) C(2; -6) bo‘lsa, tenglamasini yozing.

Chiziq tenglamasini tuzish uchun siz ushbu chiziqning 2 nuqtasining koordinatalarini bilishingiz kerak, lekin biz faqat B nuqtaning koordinatalarini bilamiz. BD medianasi qarama-qarshi tomonni yarmiga bo'lganligi sababli, D nuqtasi segmentning o'rta nuqtasidir. AC. Segment o'rtasining koordinatalari segment uchlarining tegishli koordinatalarining yarmi yig'indisidir. D nuqtaning koordinatalarini topamiz.

20. Hisoblash:

24. To'g'ri prizma tagida yotgan muntazam uchburchakning maydoni teng

Bu masala 0021-variantdan 24-sonli masalaga teskari masala.

25. Naqshni toping va etishmayotgan raqamni kiriting: 1; 4; 9; 16; ...

Shubhasiz, bu raqam 25 , chunki bizga natural sonlar kvadratlari ketma-ketligi berilgan:

1 2 ; 2 2 ; 3 2 ; 4 2 ; 5 2 ; …

Hammaga omad va muvaffaqiyat!

Muvaffaqiyatli hal qilish uchun trigonometrik tenglamalar foydalanish uchun qulay kamaytirish usuli ilgari hal qilingan muammolarga. Keling, ushbu usulning mohiyati nima ekanligini aniqlaylik?

Taklif etilayotgan har qanday muammoda siz avval hal qilingan masalani ko'rishingiz kerak, so'ngra ketma-ket ekvivalent o'zgarishlardan foydalanib, sizga berilgan masalani soddaroq qilib qisqartirishga harakat qiling.

Shunday qilib, trigonometrik tenglamalarni echishda ular odatda ekvivalent tenglamalarning ma'lum chekli ketma-ketligini yaratadilar, ularning oxirgi bo'g'ini aniq yechimga ega bo'lgan tenglamadir. Shuni yodda tutish kerakki, agar eng oddiy trigonometrik tenglamalarni echish ko'nikmalari shakllanmagan bo'lsa, unda murakkabroq tenglamalarni echish qiyin va samarasiz bo'ladi.

Bundan tashqari, trigonometrik tenglamalarni echishda siz bir nechta mumkin bo'lgan echim usullari mavjudligini hech qachon unutmasligingiz kerak.

1-misol. Cos x = -1/2 oraliqda tenglamaning ildizlari sonini toping.

Yechim:

I usul y = cos x va y = -1/2 funksiyalarning grafigini tuzamiz va ularning oraliqdagi umumiy nuqtalari sonini topamiz (1-rasm).

Funktsiyalar grafiklari oraliqda ikkita umumiy nuqtaga ega bo'lganligi sababli, tenglama bu oraliqda ikkita ildizni o'z ichiga oladi.

II usul. Trigonometrik aylana yordamida (2-rasm) cos x = -1/2 bo'lgan intervalga tegishli nuqtalar sonini aniqlaymiz. Rasmda tenglamaning ikkita ildizi borligi ko'rsatilgan.

III usul. Trigonometrik tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanib, cos x = -1/2 tenglamani yechamiz.

x = ± arccos (-1/2) + 2pk, k – butun son (k € Z);

x = ± (p – arccos 1/2) + 2pk, k – butun (k € Z);

x = ± (p – p/3) + 2pk, k – butun son (k € Z);

x = ± 2p/3 + 2pk, k – butun son (k € Z).

Intervalda 2p/3 va -2p/3 + 2p ildizlari mavjud, k butun son. Shunday qilib, tenglama berilgan oraliqda ikkita ildizga ega.

Javob: 2.

Kelajakda trigonometrik tenglamalar taklif qilingan usullardan biri yordamida yechiladi, bu ko'p hollarda boshqa usullardan foydalanishni istisno qilmaydi.

2-misol. [-2p oraliqda tg (x + p/4) = 1 tenglama yechimlari sonini toping; 2p].

Yechim:

Trigonometrik tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

x + p/4 = arctan 1 + pk, k – butun son (k € Z);

x + p/4 = p/4 + pk, k – butun son (k € Z);

x = pk, k – butun son (k € Z);

Interval [-2p; 2p] -2p raqamlariga tegishli; -p; 0; p; 2p. Demak, tenglama berilgan oraliqda beshta ildizga ega.

Javob: 5.

3-misol. cos 2 x + sin x · cos x = 1 tenglamaning ildizlari sonini [-p oraliqda toping; p].

Yechim:

1 = sin 2 x + cos 2 x (asosiy trigonometrik identifikatsiya) bo'lgani uchun, asl tenglama quyidagi shaklni oladi:

cos 2 x + sin x · cos x = sin 2 x + cos 2 x;

sin 2 x – sin x cos x = 0;

sin x(sin x – cos x) = 0. Ko'paytma nolga teng, ya'ni omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lishi kerak, shuning uchun:

sin x = 0 yoki sin x – cos x = 0.

Cos x = 0 bo'lgan o'zgaruvchining qiymatlari ikkinchi tenglamaning ildizi bo'lmaganligi sababli (bir xil sonning sinusi va kosinasi bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas), biz ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini ajratamiz. cos x tomonidan:

sin x = 0 yoki sin x / cos x - 1 = 0.

Ikkinchi tenglamada biz tg x = sin x / cos x ekanligini ishlatamiz, keyin:

sin x = 0 yoki tan x = 1. Formulalar yordamida biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

x = pk yoki x = p/4 + pk, k – butun son (k € Z).

Ildizlarning birinchi qatoridan [-p oraliqgacha; p] -p raqamlariga tegishli; 0; p. Ikkinchi seriyadan: (p/4 – p) va p/4.

Shunday qilib, dastlabki tenglamaning beshta ildizi [-p oraliqda; p].

Javob: 5.

4-misol. [-p oraliqda tg 2 x + stg 2 x + 3tg x + 3stgx + 4 = 0 tenglamaning ildizlari yig'indisini toping; 1.1p].

Yechim:

Tenglamani quyidagicha qayta yozamiz:

tg 2 x + stg 2 x + 3(tg x + stgx) + 4 = 0 va almashtirishni amalga oshiring.

tg x + stgx = a bo'lsin. Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz:

(tg x + stg x) 2 = a 2. Qavslarni kengaytiramiz:

tg 2 x + 2tg x · stgx + stg 2 x = a 2.

tg x · stgx = 1 bo'lgani uchun tg 2 x + 2 + stg 2 x = a 2, ya'ni

tg 2 x + stg 2 x = a 2 – 2.

Endi asl tenglama quyidagicha ko'rinadi:

a 2 – 2 + 3a + 4 = 0;

a 2 + 3a + 2 = 0. Vyeta teoremasidan foydalanib, a = -1 yoki a = -2 ekanligini topamiz.

Keling, teskari almashtirishni qilaylik, bizda:

tg x + stgx = -1 yoki tg x + stgx = -2. Olingan tenglamalarni yechamiz.

tg x + 1/tgx = -1 yoki tg x + 1/tgx = -2.

Ikki o'zaro teskari sonning xususiyatiga ko'ra, biz birinchi tenglamaning ildizlari yo'qligini aniqlaymiz va ikkinchi tenglamadan bizda:

tg x = -1, ya'ni. x = -p/4 + pk, k – butun son (k € Z).

Interval [-p; 1,1p] ildizlarga tegishli: -p/4; -p/4 + p. Ularning yig'indisi:

-p/4 + (-p/4 + p) = -p/2 + p = p/2.

Javob: p/2.

5-misol. [-p oraliqda sin 3x + sin x = sin 2x tenglama ildizlarining o'rtacha arifmetik qiymatini toping; 0,5p].

Yechim:

Sin a + sin b = 2sin ((a + b)/2) cos ((a – b)/2) formulasidan foydalanamiz, keyin

sin 3x + sin x = 2sin ((3x + x)/2) cos ((3x – x)/2) = 2sin 2x cos x va tenglama shunday bo‘ladi.

2sin 2x cos x = sin 2x;

2sin 2x · cos x – sin 2x = 0. Qavslar ichidan sin 2x umumiy omilini olaylik.

sin 2x(2cos x – 1) = 0. Olingan tenglamani yeching:

sin 2x = 0 yoki 2cos x – 1 = 0;

sin 2x = 0 yoki cos x = 1/2;

2x = pk yoki x = ±p/3 + 2pk, k – butun son (k € Z).

Shunday qilib, bizda ildiz bor

x = pk/2, x = p/3 + 2pk, x = -p/3 + 2pk, k – butun son (k € Z).

Interval [-p; 0,5p] -p ildizlarga tegishli; -p/2; 0; p/2 (ildizlarning birinchi seriyasidan); p/3 (ikkinchi seriyadan); -p/3 (uchinchi seriyadan). Ularning o'rtacha arifmetik qiymati:

(-p – p/2 + 0 + p/2 + p/3 – p/3)/6 = -p/6.

Javob: -p/6.

6-misol. [-1,25p oraliqda sin x + cos x = 0 tenglamaning ildizlari sonini toping; 2p].

Yechim:

Bu tenglama birinchi darajali bir jinsli tenglamadir. Keling, uning ikkala qismini cosx ga ajratamiz (cos x = 0 bo'lgan o'zgaruvchining qiymatlari bu tenglamaning ildizi emas, chunki bir xil sonning sinusi va kosinusu bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas). Asl tenglama quyidagicha:

x = -p/4 + pk, k – butun son (k € Z).

Interval [-1,25p; 2p] ildizlarga tegishli -p/4; (-p/4 + p); va (-p/4 + 2p).

Shunday qilib, berilgan interval tenglamaning uchta ildizini o'z ichiga oladi.

Javob: 3.

Eng muhim narsani qilishni o'rganing - muammoni hal qilish rejasini aniq tasavvur qiling, shunda har qanday trigonometrik tenglama sizning qo'lingizda bo'ladi.

Hali ham savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun -.

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik standartlarini etkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.