Eng oddiy trigonometrik tenglamalar, qoida tariqasida, formulalar yordamida echiladi. Sizga eslatib o'taman, eng oddiy trigonometrik tenglamalar:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x - topiladigan burchak,
a - har qanday raqam.

Va bu erda siz eng oddiy tenglamalarning echimlarini darhol yozishingiz mumkin bo'lgan formulalar.

Sinus uchun:

Kosinus uchun:

x = ± arccos a + 2p n, n ∈ Z

Tangens uchun:

x = arktan a + p n, n ∈ Z

Kotangent uchun:

x = arcctg a + p n, n ∈ Z

Aslida, bu shunday nazariy qismi eng oddiy echimlar trigonometrik tenglamalar. Bundan tashqari, hamma narsa!) Hech narsa. Biroq, bu mavzu bo'yicha xatolar soni shunchaki jadvaldan tashqarida. Ayniqsa, misol shablondan biroz chetga chiqsa. Nega?

Ha, chunki ko'p odamlar bu xatlarni yozadilar, ularning ma'nosini umuman tushunmasdan! Ehtiyotkorlik bilan yozadi, biror narsa sodir bo'lmasin ...) Buni tartibga solish kerak. Odamlar uchun trigonometriya yoki trigonometriya uchun odamlar!?)

Keling, buni aniqlaylik?

Bir burchak teng bo'ladi arccos a, ikkinchi: -arccos a.

Va bu har doim shunday ishlaydi. Har qanday uchun A.

Agar menga ishonmasangiz, sichqonchani rasm ustiga olib boring yoki planshetingizdagi rasmga teging.) Men raqamni o‘zgartirdim. A salbiy narsaga. Baribir, biz bir burchakka egamiz arccos a, ikkinchi: -arccos a.

Shuning uchun javob har doim ikkita ildiz qatori sifatida yozilishi mumkin:

x 1 = arccos a + 2p n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2p n, n ∈ Z

Keling, ushbu ikkita seriyani bittaga birlashtiramiz:

x= ± arccos a + 2p n, n ∈ Z

Va bu hammasi. Kosinus bilan eng oddiy trigonometrik tenglamani yechishning umumiy formulasini oldik.

Agar tushunsangiz, bu qandaydir o'ta ilmiy donolik emas, balki faqat ikkita javob seriyasining qisqartirilgan versiyasi, Shuningdek, siz "C" vazifalarini bajarishingiz mumkin. Tengsizliklar bilan, berilgan oraliqdan ildizlarni tanlash bilan ... U erda ortiqcha/minus bilan javob ishlamaydi. Ammo agar siz javobga ishbilarmonlik bilan munosabatda bo'lsangiz va uni ikkita alohida javobga ajratsangiz, hamma narsa hal qilinadi.) Aslida, shuning uchun biz buni ko'rib chiqmoqdamiz. Nima, qanday va qayerda.

Eng oddiy trigonometrik tenglamada

sinx = a

biz ikkita ildiz seriyasini ham olamiz. Har doim. Va bu ikki seriyani ham yozib olish mumkin bir qatorda. Faqatgina bu qator murakkabroq bo'ladi:

x = (-1) n arcsin a + p n, n ∈ Z

Ammo mohiyati bir xil bo'lib qolmoqda. Matematiklar bir qator ildizlar uchun ikkita yozuv o'rniga bitta kiritish uchun oddiygina formula ishlab chiqdilar. Va tamom!

Keling, matematiklarni tekshiramizmi? Va siz hech qachon bilmaysiz ...)

Oldingi darsda sinus bilan trigonometrik tenglamaning yechimi (formulalarsiz) batafsil muhokama qilindi:

Javob ikkita ildiz qatoriga olib keldi:

x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z

Agar biz bir xil tenglamani formuladan foydalanib yechsak, javobni olamiz:

x = (-1) n arksin 0,5 + p n, n ∈ Z

Aslida, bu tugallanmagan javob.) Talaba buni bilishi kerak arcsin 0,5 = p /6. To'liq javob quyidagicha bo'ladi:

x = (-1) n p /6+ p n, n ∈ Z

Bu qiziq savol tug'diradi. orqali javob bering x 1; x 2 (bu to'g'ri javob!) va yolg'izlik orqali X (va bu to'g'ri javob!) - ular bir xilmi yoki yo'qmi? Endi bilib olamiz.)

Javobni bilan almashtiramiz x 1 qiymatlar n =0; 1; 2; va hokazo, biz hisoblaymiz, biz bir qator ildizlarni olamiz:

x 1 = p/6; 13p/6; 25p/6 va hokazo.

bilan javoban bir xil almashtirish bilan x 2 , biz olamiz:

x 2 = 5p/6; 17p/6; 29p/6 va hokazo.

Endi qiymatlarni almashtiramiz n (0; 1; 2; 3; 4...) yagona uchun umumiy formulaga X . Ya'ni, biz minus birni nol kuchga, keyin birinchi, ikkinchi va hokazolarga ko'taramiz. Albatta, biz ikkinchi muddatga 0 ni almashtiramiz; 1; 2 3; 4 va boshqalar. Va hisoblaymiz. Biz seriyani olamiz:

x = p/6; 5p/6; 13p/6; 17p/6; 25p/6 va hokazo.

Siz ko'rishingiz mumkin bo'lgan hamma narsa shu.) Umumiy formula bizga beradi aynan bir xil natijalar ikkita javob alohida-alohida. Hamma narsa bir vaqtning o'zida, tartibda. Matematiklar aldanishmagan.)

Tangens va kotangens bilan trigonometrik tenglamalarni yechish formulalari ham tekshirilishi mumkin. Lekin biz buni qilmaymiz.) Ular allaqachon oddiy.

Men bu almashtirishning barchasini yozdim va aniq tekshirdim. Bu erda bir narsani tushunish muhimdir oddiy narsa: elementar trigonometrik tenglamalarni yechish uchun formulalar mavjud, javoblarning qisqacha xulosasi. Bu qisqalik uchun biz kosinus eritmasiga plyus/minus va sinus eritmasiga (-1) n ni kiritishimiz kerak edi.

Ushbu qo'shimchalar oddiy tenglamaning javobini yozishingiz kerak bo'lgan vazifalarga hech qanday aralashmaydi. Ammo agar siz tengsizlikni hal qilishingiz kerak bo'lsa yoki javob bilan biror narsa qilishingiz kerak bo'lsa: intervalda ildizlarni tanlang, ODZni tekshiring va hokazo, bu qo'shimchalar odamni osongina bezovta qilishi mumkin.

Xo'sh, nima qilishim kerak? Ha, javobni ikki qatorda yozing yoki trigonometrik doira yordamida tenglama/tengsizlikni yeching. Keyin bu qo'shimchalar yo'qoladi va hayot osonlashadi.)

Xulosa qilishimiz mumkin.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish uchun tayyor javob formulalari mavjud. To'rt bo'lak. Ular bir zumda tenglamaning yechimini yozish uchun yaxshi. Masalan, siz tenglamalarni echishingiz kerak:

sinx = 0,3

Osonlik bilan: x = (-1) n arksin 0,3 + p n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Muammosiz: x = ± arccos 0,2 + 2p n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Osonlik bilan: x = arktan 1,2 + p n, n ∈ Z

ctgx = 3.7

Biri qoldi: x= arcctg3,7 + p n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Agar siz bilim bilan porlayotgan bo'lsangiz, darhol javob yozing:

x= ± arccos 1,8 + 2p n, n ∈ Z

demak siz allaqachon porlab turibsiz, bu... ko'lmakdan.) To'g'ri javob: yechimlar yo'q. Nima uchun tushunmayapsizmi? Yoy kosinasi nima ekanligini o'qing. Bundan tashqari, agar dastlabki tenglamaning o'ng tomonida sinus, kosinus, tangens, kotangensning jadval qiymatlari mavjud bo'lsa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 va h.k. - kamon orqali javob tugallanmagan bo'ladi. Arklar radianga aylantirilishi kerak.

Va agar siz tengsizlikka duch kelsangiz, yoqing

keyin javob:

x pn, n ∈ Z

kamdan-kam bema'nilik bor, ha ...) Bu erda kerak trigonometrik doira qaror. Tegishli mavzuda nima qilamiz.

Ushbu satrlarni qahramonona o'qiganlar uchun. Men sizning titanik sa'y-harakatlaringizni qadrlay olmayman. Siz uchun bonus.)

Bonus:

Xavotirli jangovar vaziyatda formulalarni yozishda hatto tajribali ahmoqlar ham qayerda ekanligi haqida bosh qotiradilar pn, qayerda 2p n. Mana siz uchun oddiy hiyla. In hamma formulalar arziydi pn. Ark kosinusli yagona formuladan tashqari. U yerda turibdi 2p. Ikki peen. Kalit so'z - ikki. Xuddi shu formulada mavjud ikki boshida belgilang. Plyus va minus. Bu yerda va u yerda - ikki.

Shunday qilib, agar siz yozsangiz ikki yoy kosinusidan oldin belgi qo'ying, oxirida nima bo'lishini eslab qolish osonroq ikki peen. Va bu ham aksincha sodir bo'ladi. Odam belgini o'tkazib yuboradi ± , oxiriga yetadi, to'g'ri yozadi ikki Pien, va u o'ziga keladi. Oldinda nimadir bor ikki imzo! Inson boshiga qaytadi va xatosini tuzatadi! Mana bunday.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalar tenglamalardir

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

cos(x) = a tenglama

Tushuntirish va asoslash

1. Ildizlar cosx tenglamalari= a. Qachon | a | > 1 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 yoki a da< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Keling | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Intervalda y = cos x funksiya 1 dan -1 gacha kamayadi. Ammo kamayuvchi funktsiya o'zining har bir qiymatini faqat ta'rif sohasining bir nuqtasida oladi, shuning uchun cos x = a tenglama bu oraliqda faqat bitta ildizga ega bo'lib, arkkosin ta'rifi bo'yicha quyidagilarga teng: x 1 = arccos a (va bu ildiz uchun cos x = A).

Kosinus - hatto funktsiya, shuning uchun [-n oraliqda; 0] tenglama cos x = va faqat bitta ildizga ega - x 1 ga qarama-qarshi raqam, ya'ni

x 2 = -arccos a.

Shunday qilib, [-n oraliqda; p] (uzunligi 2p) tenglama cos x = a | bilan a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

y = cos x funktsiyasi 2n davri bilan davriydir, shuning uchun boshqa barcha ildizlar 2n (n € Z) bilan topilganlardan farq qiladi. cos x = a qachon tenglamaning ildizlari uchun quyidagi formulani olamiz

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. cosx = a tenglamani yechishning maxsus holatlari.

Cos x = a qachon tenglamaning ildizlari uchun maxsus belgilarni eslab qolish foydalidir

a = 0, a = -1, a = 1, uni mos yozuvlar sifatida birlik doirasi yordamida osongina olish mumkin.

Chunki kosinus mos keladigan nuqtaning abssissasiga teng birlik doirasi, biz cos x = 0 ni faqat birlik doiraning mos nuqtasi A nuqta yoki B nuqta bo'lsagina olamiz.

Xuddi shunday, cos x = 1, agar birlik aylananing mos keladigan nuqtasi C nuqta bo'lsa, demak,

x = 2p, k € Z.

Shuningdek, cos x = -1, agar birlik doiraning mos nuqtasi D nuqtasi bo'lsa, shuning uchun x = n + 2n,

tenglama sin(x) = a

Tushuntirish va asoslash

1. Ildizlar sinks tenglamalari= a. Qachon | a | > 1 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 yoki a da< -1 не пересекает график функции y = sinx).

"A olish" video kursi sizga kerak bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi muvaffaqiyatli yakunlash 60-65 ball uchun matematikadan yagona davlat imtihoni. Matematika bo'yicha profil yagona davlat imtihonining 1-13-sonli barcha topshiriqlarini to'liq bajaring. Matematika bo'yicha asosiy yagona davlat imtihonini topshirish uchun ham javob beradi. Agar siz Yagona Davlat imtihonini 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na 100 ball to'plagan talaba, na gumanitar fanlar talabasi ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Tezkor usullar Yagona davlat imtihonining echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI vazifalar bankining 1-qismining barcha joriy vazifalari tahlil qilindi. Kurs 2018 yilgi Yagona davlat imtihonining talablariga to'liq javob beradi.

Kurs 5 tadan iborat katta mavzular, har biri 2,5 soat. Har bir mavzu noldan sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab yagona davlat imtihon topshiriqlari. So'z muammolari va ehtimollar nazariyasi. Muammolarni hal qilish uchun oddiy va eslab qolish oson algoritmlar. Geometriya. nazariya, ma'lumotnoma materiali, Yagona davlat imtihonining barcha turlarini tahlil qilish. Stereometriya. Ayyor echimlar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan muammoga 13. Tiklash o'rniga tushunish. Vizual tushuntirish murakkab tushunchalar. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Yagona davlat imtihonining 2-qismining murakkab muammolarini hal qilish uchun asos.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda so'rov yuborganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz xodimlarimizga maxfiylik va xavfsizlik standartlarini etkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy qo'llaymiz.

Trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari quyidagilardir: tenglamalarni eng oddiyga qisqartirish (foydalanish) trigonometrik formulalar), yangi o'zgaruvchilarni kiritish, faktorizatsiya. Keling, ulardan foydalanishni misollar bilan ko'rib chiqaylik. Trigonometrik tenglamalar yechimlarini yozish formatiga e'tibor bering.

Majburiy shart muvaffaqiyatli yechim trigonometrik tenglamalar - trigonometrik formulalarni bilish (6-ishning 13-mavzu).

Misollar.

1. Eng soddaga qisqartirilgan tenglamalar.

1) Tenglamani yeching

Yechim:

Javob:

2) tenglamaning ildizlarini toping

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, segmentga tegishli.

Yechim:

Javob:

2. Kvadratga keltiruvchi tenglamalar.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 tenglamani yeching.

Yechim: Foydalanish gunoh formulasi 2 x = 1 - cos 2 x, biz olamiz

Javob:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx tenglamasini yeching.

Yechim: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 formulasidan foydalanib, olamiz

Javob:

3) qaror qabul qiling tgx tenglamasi– 2ctgx + 1 = 0

Yechim:

Javob:

3. Bir jinsli tenglamalar

1) 2sinx – 3cosx = 0 tenglamasini yeching

Yechish: cosx = 0 bo'lsin, keyin 2sinx = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligi bilan ziddiyat. Bu cosx ≠ 0 ni bildiradi va biz tenglamani cosx ga bo'lishimiz mumkin. olamiz

Javob:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x tenglamasini yeching

Yechim:

Biz 1 = sin 2 x + cos 2 x va sin 2x = 2 sinxcosx formulalaridan foydalanamiz, biz olamiz

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Cosx = 0 bo'lsin, keyin sin 2 x = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligi bilan ziddiyat.
Bu cosx ≠ 0 degan ma'noni anglatadi va biz tenglamani cos 2 x ga bo'lishimiz mumkin . olamiz

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y ni belgilaymiz
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arktan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arktan2 + 2 k, k .

Javob: arctg4 + 2 k, arktan2 + 2 k, k

4. Shaklning tenglamalari a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) tenglamani yeching.

Yechim:

Javob:

5. Faktorlarga ajratish yo‘li bilan yechilgan tenglamalar.

1) sin2x – sinx = 0 tenglamasini yeching.

Tenglamaning ildizi f (X) = φ ( X) faqat 0 raqami sifatida xizmat qilishi mumkin. Keling, buni tekshiramiz:

cos 0 = 0 + 1 - tenglik to'g'ri.

0 raqami bu tenglamaning yagona ildizidir.

Javob: 0.