Bizning "Reshebnik"imizda barcha vazifalar va mashqlarga javoblar mavjud. Didaktik materiallar algebra fanidan 8-sinf”; Ularni hal qilish usullari va usullari batafsil muhokama qilinadi. "Reshebnik" faqat talabalarning ota-onalariga uy vazifalarini tekshirish va muammolarni hal qilishda yordam berish uchun mo'ljallangan.
Orqada qisqa vaqt ota-onalar juda samarali uy o'qituvchilari bo'lishlari mumkin.

Variant 1 4

polinomga (takrorlash) 4

S-2. Faktorizatsiya (takrorlash) 5

S-3. Butun va kasrli ifodalar 6

S-4. Kasrning asosiy xossasi. Fraksiyalarni qisqartirish. 7

S-5; Kamaytiruvchi kasrlar (davomi) 9

Bilan bir xil maxrajlar 10

Bilan turli xil maxrajlar 12

maxrajlar (davomi) 14

S-9. Kasrlarni ko'paytirish 16

S-10. Kasrlarni bo'lish 17

S-11. Kasrlar bilan barcha amallar 18

S-12. Funktsiya 19

S-13. Ratsional va irratsional sonlar 22

S-14. Arifmetik kvadrat ildiz 23

S-15. x2=a 27 ko`rinishdagi tenglamalarni yechish

S-16. Taxminiy qiymatlarni topish

kvadrat ildiz 29

S-17. Funktsiya y=d/x 30

Ildiz mahsuloti 31

Ildizlar qismi 33

S-20. Quvvatning kvadrat ildizi 34

S-21. Ko‘paytuvchini ildiz belgisi ostidan olib tashlash Ko‘paytuvchini ildiz belgisi ostida qo‘shish 37

S-23. Tenglamalar va ularning ildizlari 42

Tugallanmagan kvadrat tenglamalar 43

S-25. Yechim kvadrat tenglamalar 45

(davomi) 47

S-27. Vyeta teoremasi 49

S-28. Foydalanishda muammolarni hal qilish

kvadrat tenglamalar 50

multiplikatorlar Bikvadrat tenglamalar 51

S-30. Fraksiyonel ratsional tenglamalar 53

S-31. Foydalanishda muammolarni hal qilish

ratsional tenglamalar 58

S-32. Raqamlarni solishtirish (takrorlash) 59

S-33. Sonli tengsizliklar xossalari 60

S-34. Tengsizliklarni qo`shish va ko`paytirish 62

S-35. Tengsizliklarni isbotlash 63

S-36. Ifodaning qiymatini baholash 65

S-37. Taxminan xato bahosi 66

S-38. Yaxlitlash raqamlari 67

S-39. Nisbiy xato 68

S-40. To'plamlarning kesishishi va birlashishi 68

S-41. Raqamli intervallar 69

S-42. Tengsizliklarni yechish 74

S-43. Tengsizliklarni yechish (davomi) 76

S-44. Tengsizliklar sistemalarini yechish 78

S-45. Tengsizliklarni yechish 81

modul belgisi ostida o'zgaruvchi 83

S-47. Butun ko'rsatkich 87 bo'lgan daraja

darajalar butun ko'rsatkichi 88

S-49. 91 raqamining standart ko'rinishi

S-50. Taxminiy qiymatlarni yozish 92

S-51. Statistikaning elementlari 93

(takrorlash) 95

S-53. Ta'rif kvadratik funktsiya 99

S-54. Funktsiya y=ax2 100

S-55. y=ax2+bx+c funksiya grafigi 101

S-56. Yechim kvadratik tengsizliklar 102

S-57. Intervalli usul 105

Variant 2 108

S-1. Butun ifodani aylantirish

polinomga (takrorlash) 108

S-2. Faktoring (takrorlash) 109

S-3. Butun va kasrli ifodalar 110

S-4. Kasrning asosiy xossasi.

Kasrlarni kamaytirish 111

S-5. Kamaytiruvchi kasrlar (davomi) 112

S-6. Kasrlarni qo'shish va ayirish

bir xil maxrajlar bilan 114

S-7. Kasrlarni qo'shish va ayirish

e turli xil maxrajlar 116

S-8. Har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish va ayirish

maxrajlar (davomi) 117

S-9. Kasrlarni ko'paytirish, 118

S-10. Kasrlarning bo'linishi 119

S-11. Kasrlar bilan barcha amallar 120

S-12. Funktsiya 121

S-13. Ratsional va irratsional sonlar 123

S-14. Arifmetik kvadrat ildiz 124

S-15. x2-a 127 ko`rinishdagi tenglamalarni yechish

S-16. Taxminiy kvadrat ildiz qiymatlarini topish 129
S-17. Funktsiya y=\/x " 130

S-18. Mahsulotning kvadrat ildizi.

Ildiz mahsuloti 131

S-19. Kasrning kvadrat ildizi.

Ildizlar qismi 133

S-20. Quvvatning kvadrat ildizi 134

S-21. Ildiz belgisi ostidan multiplikatorni olib tashlash

Ildiz belgisi ostida ko'paytiruvchini kiritish 137

S-22. Ifodalarni konvertatsiya qilish

S-23. Tenglamalar va ularning ildizlari 141

S-24. Kvadrat tenglamaning ta'rifi.

Tugallanmagan kvadrat tenglamalar 142

S-25. Kvadrat tenglamalarni yechish 144

S-26. Kvadrat tenglamalarni yechish

(davomi) 146

S-27. Vyeta teoremasi 148

S-28. Foydalanishda muammolarni hal qilish

kvadrat tenglamalar 149

S-29. Parchalanish kvadratik trinomial yoqilgan

multiplikatorlar Bikvadrat tenglamalar 150

S-30. Kasr ratsional tenglamalar 152

S-31. Foydalanishda muammolarni hal qilish

ratsional tenglamalar 157

S-32. Raqamlarni solishtirish (takrorlash) 158

S-33. Sonli tengsizliklar xossalari 160

S-34. Tengsizliklarni qo‘shish va ko‘paytirish 161

S-35. Tengsizliklarni isbotlash 162

S-36. Ifodaning qiymatini baholash 163

S-37. Taxminan xato bahosi 165

S-38. Yaxlitlash raqamlari 165

S-39. Nisbiy xato 166

S-40. To'plamlarning kesishishi va birlashishi 166

S-41. Raqamli intervallar 167
S-42. Tengsizliklarni yechish 172

S-43. Tengsizliklarni yechish (davomi) 174

S-44. Tengsizliklar sistemalarini yechish 176

S-45. Tengsizliklarni yechish 179

S-46. O'z ichiga olgan tenglamalar va tengsizliklar

modul belgisi ostida o'zgaruvchi 181

S-47. Butun son indeksi 185 bo'lgan daraja

S-48. O'z ichiga olgan ifodalarni aylantirish

darajalar butun ko'rsatkichi 187

S-49. 189 raqamining standart shakli

S-50. Taxminiy qiymatlarni yozish 190

S-51. Statistikaning elementlari 192

S-52. Funksiya tushunchasi. Funksiya grafigi

(takrorlash) 193

S-53. Kvadrat funksiya ta’rifi 197

S-54. Funktsiya y=ax2 199

S-55. y=ax24-bx+c 200 funksiya grafigi

S-56. Kvadrat tengsizliklarni yechish 201

S-57. Intervalli usul 203

Testlar 206

Variant 1 206

K-10 (yakuniy) 232

Variant 2 236

K-2A 238
K-ZA 242

K-9A (jami) 257

263-mavzu bo'yicha yakuniy sharh

Kuzgi Olimpiya o'yinlari 274

Bahorgi Olimpiya o'yinlari 275

ALGEBRA
9-sinf uchun darslar

№5 DARS

Mavzu. Tengsizliklarni muddatlar bo‘yicha qo‘shish va ko‘paytirish. Ifodalar qiymatlarini baholash uchun sonli tengsizliklar xossalaridan foydalanish

Darsning maqsadi: “Tengsizliklarni had bo’yicha qo’shish” va “Tengsizliklarni had bo’yicha ko’paytirish” tushunchalari mazmunini, shuningdek sonli tengsizliklarni hadga oid teoremalar bilan ifodalangan xossalari mazmunini o’zlashtirishini ta’minlash. sonli tengsizliklarni va ulardan kelib chiqadigan oqibatlarni qo’shish va muddatga ko’paytirish. Raqamli tengsizliklarning nomlangan xususiyatlarini takrorlash va bu xususiyatlardan ifodalarning qiymatlarini baholash uchun foydalanish qobiliyatini rivojlantirish, shuningdek, tengsizliklarni isbotlash, sonli tengsizliklarning ta'rifi va xususiyatlaridan foydalangan holda ifodalarni taqqoslash ko'nikmalarini rivojlantirish ustida ishlashni davom eting.

Dars turi: bilimlarni o'zlashtirish, birlamchi ko'nikmalarni rivojlantirish.

Vizualizatsiya va jihozlar: qo'llab-quvvatlash eslatmasi №5.

Darslar davomida

I. Tashkiliy bosqich

O'qituvchi o'quvchilarning darsga tayyorligini tekshiradi va ularni ishga joylashtiradi.

II. Uy vazifasini tekshirish

Talabalar ijro etadilar test topshiriqlari keyin tekshirish.

III. Darsning maqsadi va vazifalarini shakllantirish.
Motivatsiya ta'lim faoliyati talabalar

Talabalarning dars maqsadini shakllantirishda ongli ravishda ishtirok etishi uchun siz ularga geometrik mazmundagi amaliy masalalarni taklif qilishingiz mumkin (masalan, qo'shni tomonlari uzunligi ko'rinishida hisoblangan to'rtburchakning perimetri va maydonini baholash). ikki tomonlama tengsizliklar). Suhbat davomida o'qituvchi o'quvchilarning fikrlarini shunga qaratishi kerakki, muammolar oldingi darsda hal qilingan muammolarga o'xshash bo'lsa-da (4-darsga qarang, iboralar ma'nosini baholang), ammo aytib o'tilganlardan farqli o'laroq, ularni bir xil vositalar bilan hal qilib bo'lmaydi, chunki ikkita (va kelajakda yana) harflarni o'z ichiga olgan iboralarning ma'nolarini baholash kerak. Shu tariqa o‘quvchilar shu paytgacha olgan bilimlari bilan ma’lum bir masalani yechish zarurati o‘rtasida ziddiyat borligini anglaydilar.

Amalga oshirilgan ishlarning natijasi darsning maqsadini shakllantirishdir: o'quvchilar uchun taklif qilingan vazifada tasvirlanganlarga o'xshash holatlarda qo'llanilishi mumkin bo'lgan tengsizliklarning bunday xossalari haqidagi savolni o'rganish; nima uchun aniq shakllantirish kerak matematik til va og‘zaki shaklda, so‘ngra sonli tengsizliklarning tegishli xossalarini tushuntirib, standart masalalarni yechishda avval o‘rganilgan sonli tengsizliklarning xossalari bilan birgalikda qo‘llashni o‘rganadilar.

IV. Talabalarning asosiy bilim va ko'nikmalarini yangilash

Og'zaki mashqlar

1. a va bif sonlarini solishtiring:

1) a - b = -0,2;

2) a - b = 0,002;

3) a = b - 3;

4) a - b = m 2;

5) a = b - m 2.

3. a + b va ab iboralarining qiymatlarini solishtiring, agar a = 3 bo'lsa, b = 2. Javobingizni asoslang. Olingan munosabat qanoatlantiriladi, agar:

1) a = -3, b = -2;

2) a = -3, b = 2?

V. Bilim avlodi

Yangi materialni o'rganish rejasi

1. Raqamli tengsizliklarni qo‘shish xossasi (nozik sozlash bilan).

2. Raqamli tengsizliklarni muddatga ko‘paytirish xossasi (nozik sozlash bilan).

3. Natija. Raqamli tengsizliklarni muddatga ko'paytirish xossasi (tuzatish bilan).

4. Tasdiqlangan xususiyatlarni qo'llash misollari.

Yordamchi eslatma № 5

Sonli tengsizliklarni had bo’yicha qo’shish haqidagi teorema (xususiyat).
Agar a b va c d bo'lsa, u holda a + c b + d.
Tugatish .
Sonli tengsizliklarni hadga ko‘paytirish haqidagi teorema (xususiyat).
Agar 0 a b va 0 c d bo'lsa, u holda ac bd. Tugatish . Natija. Agar 0 a b bo'lsa, bn, bu erda n natural son.
Tugatish
			(sonli tengsizliklarni ko'paytirish, hadlar bo'yicha teorema bo'yicha).
1-misol. Ma'lumki, 3 a 4; 2 b 3. Ifodaning qiymatini baholaymiz: 1) a + b; 2) a - b; 3) b ; 4) .
		2) a - b = a + (-b) 2 b 31 ∙ (-1) 2 > -b > -3				(0) 2 b 3
2-misol. (m + n)(mn + 1) > 4mn, agar m > 0 bo'lsa, n > 0 bo'lgan tengsizlikni isbotlaymiz.
Tugatish Tengsizlikdan foydalanish (bu erda a ≥ 0, b ≥ 0) va natijada a + b ≥ 2 (a ≥ 0, b ≥ 0) tengsizlik, m ≥ 0 va n ≥ 0 uchun bizda:
m + n ≥ 2, (1) mn + 1 ≥ 2. (2)
Tengsizliklarni hadga ko’paytirish teoremasidan foydalanib, (1) va (2) tengsizliklarni hadga ko’paytiramiz. Keyin bizda: (m + n )(mn + 1) ≥ 2∙ 2, (m + n )(mn + 1) ≥ 4, shuning uchun, (m + n)(mn + 1) ≥ 4mn, bu erda m ≥ 0, n ≥ 0.

Metodik izoh

Yangi materialni ongli ravishda idrok etish uchun o'qituvchi o'quvchilarning asosiy bilim va ko'nikmalarini yangilash bosqichida, mos ravishda raqamlarni taqqoslash va sonli tengsizliklar xususiyatlarini ko'paytirish bilan og'zaki mashqlar yechimlarini taklif qilishi mumkin. oldingi darslar (yuqoriga qarang), shuningdek sonli tengsizliklarning tegishli xossalari masalasini ko'rib chiqish.

Odatda, o‘quvchilar sonli tengsizliklarni muddat bo‘yicha qo‘shish va ko‘paytirish bo‘yicha teoremalarning mazmunini yaxshi o‘zlashtiradilar, lekin ish tajribasi shuni ko‘rsatadiki, o‘quvchilar ma’lum noto‘g‘ri umumlashmalarga moyil. Shuning uchun o‘quvchilarning ushbu masala bo‘yicha bilimlarini rivojlantirishda misollar va qarama-qarshi misollar ko‘rsatish orqali xatoliklarga yo‘l qo‘ymaslik uchun o‘qituvchi quyidagi fikrlarni ta’kidlashi kerak:

· sonli tengsizliklar xossalarini ongli ravishda qo‘llash bu xossalarni ham matematik tilda, ham og‘zaki shaklda yoza olmasdan turib mumkin emas;

· sonli tengsizliklarni hadlar bo‘yicha qo‘shish va ko‘paytirish bo‘yicha teoremalar faqat bir xil belgilarning tartibsizliklari uchun bajariladi;

· sonli tengsizliklarni muddat bo‘yicha qo‘shish har qanday sonlar uchun ma’lum bir shartda (yuqoriga qarang) bajariladi va muddat bo‘yicha ko‘paytirish teoremasi (ko‘rsatilgan shaklda). ma'lumotnoma xulosasi No 5) faqat musbat raqamlar uchun;

· sonli tengsizliklarni muddatga ayirish va muddatga bo‘lish teoremalari o‘rganilmagan, shuning uchun ifodalarning farqini yoki nisbatini baholash zarur bo‘lgan hollarda bu ifodalar yig‘indi yoki ko‘paytma sifatida taqdim etiladi; mos ravishda, so'ngra, ma'lum sharoitlarda, sonli tengsizliklarni haddan tashqari qo'shish va ko'paytirish xususiyatlaridan foydalaniladi.

VI. Ko'nikmalarni shakllantirish

Og'zaki mashqlar

1. Tengsizlik hadini had bo‘yicha qo‘shing:

1) a > 2, b > 3;

2) c -2, d 4.

Yoki bir xil tengsizliklarni hadga ko'paytirish mumkinmi? Javobingizni asoslang.

2. Tengsizliklarni hadga ko‘paytiring:

1) a > 2, b > 0,3;

2) c > 2, d > 4.

Yoki bir xil qoidabuzarliklarni qo'shish mumkinmi? Javobingizni asoslang.

3. Agar 2 a 3, 1 b 2 boʻlsa, bu gapning toʻgʻriligini aniqlang va asoslang:

1) 3 a + b 5;

2) 2 ab 6;

3) 2 - 1 a - b 3 - 2;

Yozish mashqlari

Darsning didaktik maqsadini amalga oshirish uchun siz quyidagi mazmundagi mashqlarni hal qilishingiz kerak:

1) ushbu sonli tengsizliklarni had bo'yicha qo'shing va ko'paytiring;

2) ushbu raqamlarning har birining berilgan baholari asosida ikkita ifodaning yig'indisi, ayirmasi, ko'paytmasi va qismining qiymatini baholang;

3) ushbu harflarning har biriga berilgan baholarga ko'ra, ushbu harflarni o'z ichiga olgan iboralarning ma'nosini baholang;

4) sonli tengsizliklarni hadlar bo‘yicha qo‘shish va ko‘paytirish teoremalari hamda klassik tengsizliklar yordamida tengsizlikni isbotlash;

5) oldingi darslarda o‘rganilgan sonli tengsizliklarning xossalarini takrorlash.

Metodik izoh

Darsning ushbu bosqichida yechish uchun taklif qilinadigan yozma mashqlar oddiy holatlarda tengsizliklarni qo'shish va ko'paytirish bo'yicha barqaror ko'nikmalarni rivojlantirishga yordam berishi kerak. (Shu bilan birga, juda muhim nuqta ishlab chiqilgan: teorema sharoitida tengsizliklarni yozishning mosligini tekshirish va tengsizliklarning chap va o'ng tomonlari yig'indisi va mahsulotini to'g'ri yozish. Tayyorgarlik ishlari og'zaki mashqlar paytida amalga oshiriladi.) Materialni yaxshiroq o'zlashtirish uchun o'quvchilardan harakatlarni sharhlashda o'rgangan teoremalarni takrorlashni talab qilish kerak.

Talabalar oddiy holatlarda teoremalarni muvaffaqiyatli ishlab chiqqandan so'ng, ular asta-sekin yanada rivojlanganlarga o'tishlari mumkin. murakkab holatlar(ikki ifoda va undan murakkab ifodalarning farqini va qismini baholash uchun). Ishning ushbu bosqichida o'qituvchi talabalar ruxsat bermasligini diqqat bilan kuzatishi kerak tipik xatolar, farq qilish va o'z noto'g'ri qoidalari ortida ulushini taxmin qilish uchun harakat.

Shuningdek, dars davomida (albatta, agar vaqt va o‘quvchilarning material mazmunini o‘zlashtirish darajasi imkon bersa) murakkabroq tengsizliklarni isbotlash uchun o‘rganilayotgan teoremalarni qo‘llash bo‘yicha mashqlarga e’tibor qaratish lozim.

VII. Dars xulosasi
Test topshirig'i

Ma'lumki, 4 a 5; 6 b 8. Noto'g'ri tengsizliklarni toping va xatolarni to'g'rilang. Javobingizni asoslang.

1) 10 a + b 13;

2) -4 a - b -1;

3) 24 ab 13;

4) ;

5) ;

7) 100 a2 + b 2 169?

VIII. Uy vazifasi

1. Sonli tengsizliklarni hadlar bo‘yicha qo‘shish va ko‘paytirish bo‘yicha teoremalarni o‘rganish (takomillashtirish bilan).

2. Sinfdagi mashqlarga o'xshash reproduktiv mashqlarni bajaring.

3. Takrorlash uchun: taqqoslash raqamlari ta'rifini qo'llash mashqlari (noqonuniyliklarni tugatish va ifodalarni taqqoslash uchun).

35 3 va 5 raqamlarining atributlarini bog'laydi. Uchta ilhom va quvonch, jo'shqinlik va o'zini namoyon qilish tebranishlari bilan rezonanslashadi. Bu o'tmish, hozirgi va kelajakning uchligi; tana, aql va ruh. Uchlik belgisi ostidagi odam baquvvat, qobiliyatli, halol, mag'rur va mustaqildir.

Beshta umumiy tebranishga hissiylik va erkin tanlov ulushini qo'shadi. Kamchiliklar orasida haddan tashqari sezgirlik va tez-tez kayfiyat o'zgarishi mavjud bo'lib, ularning salbiy ta'siri troykaning optimizmi bilan qoplanadi. 35v umumiy ma'noda ijodiy energiya, qulay imkoniyatlar va joylarni o'zgartirish istagini ifodalaydi.

Raqamlar va belgilar o'rtasidagi bog'liqlik

35 raqami insonning taqdirida nimani anglatadi, agar u tug'ilgan sana bilan belgilansa? Bu unga do'stlar va izdoshlarni o'ziga tortadigan maxsus xarizma beradi. Bunday odamlar doimo ularni rolga tanlaydigan muxlislar bilan o'ralgan jamoat arbobi yoki norasmiy rahbar.

Bu raqamlar kombinatsiyasining salbiy tomoni shundaki, odam o'z vakolatlarini shaxsiy boyitish uchun ishlatadi. 35 vakillarining ruhiy sohasi kam rivojlangan. Pragmatizm va bema'nilik bilan kasallangan ular, yuzlaridan qat'i nazar, ko'zlangan maqsadga "boshidan o'tishga" qodir.

Sehrli xususiyatlar

35 ning mistik ma'nosi, u halokatli vasvasa bilan uchrashuvni bashorat qilishiga bog'liq. Bunday sinovning jiddiy xatolaridan faqat xotirjamlik va ehtiyotkorlikni saqlab qolishingiz mumkin.

Raqamning muqaddas taqqoslashlarini Muqaddas Kitobda topish mumkin, u erda 5 marta eslatib o'tilgan. Cho'lda ro'za tutishning o'ttiz beshinchi kunida Lyutsifer Isoni vasvasaga solish uchun unga yaqinlashdi.

Agar tez-tez uchrasa, 35 raqami nimani anglatadi?

Agar sizning qo'riqchi farishtalaringiz sizni doimo 35 yoshda ko'rishga majbur qilsa, ular sizning maqsadlaringizga erishmayotganingizni ko'rsatadilar. Siz halol va mehnatsevarsiz, lekin omad sizdan o'tib ketadi.

Siz son-sanoqsiz to'siqlarga duch kelasiz va kelajagingiz haqida hayron bo'lasiz. 35-raqamning hukmdori Saturn sayyorasi sizning hayotingizga shunday ta'sir ko'rsatadi. Uning yashirin harakati 3 va 5 ni qo'shish orqali olingan 8 raqami orqali namoyon bo'ladi. Ehtimol, siz o'z taqdiringizdan qochib, boshqa birovning rolini o'ynayapsiz. Haqiqiy da'vatingizni topish uchun qalbingiz nimani so'rayotganini tinglang va uning so'zsiz chaqiruviga ergashing.

Ushbu maqolada, birinchidan, ifoda yoki funksiya qiymatlarini baholash nimani anglatishini, ikkinchidan, ifodalar va funktsiyalarning qiymatlari qanday baholanishini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, biz kerakli ta'riflar va tushunchalarni kiritamiz. Shundan so'ng, biz taxminlarni olishning asosiy usullarini batafsil bayon qilamiz. Yo'l davomida biz odatiy misollarga yechim beramiz.

Ifoda ma'nosini baholash nimani anglatadi?

Biz maktab darsliklarida iboraning ma’nosini baholash deganda nima tushuniladi, degan savolga aniq javob topa olmadik. Keling, ushbu mavzu bo'yicha darsliklar va Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish va universitetlarga kirish uchun muammolar to'plamida mavjud bo'lgan ma'lumotlardan boshlab, buni o'zimiz aniqlashga harakat qilaylik.

Keling, kitoblarda bizni qiziqtirgan mavzuda nimani topishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik. Mana bir nechta iqtiboslar:

Birinchi ikkita misol raqamlar va raqamli ifodalarni baholashni o'z ichiga oladi. U erda biz ifodaning bitta qiymatini baholash bilan shug'ullanamiz. Qolgan misollar o'zgaruvchilarga ega ifodalar bilan bog'liq baholashlarni o'z ichiga oladi. O'zgaruvchining har bir qiymati ifoda uchun ODZ yoki bizni qiziqtirgan X to'plamidan (albatta, bu domenning quyi to'plamidir) qabul qilinadigan qiymatlar) uning ifoda qiymatiga mos keladi. Ya'ni, agar ODZ (yoki X to'plami) dan iborat bo'lmasa birlik, keyin o'zgaruvchiga ega ifoda ifoda qiymatlari to'plamiga mos keladi. Bunday holda, biz faqat bitta qiymatni emas, balki ODZ (yoki X to'plami)dagi ifodaning barcha qiymatlarini baholash haqida gapirishimiz kerak. Bunday baholash ODZ (yoki X to'plami)dagi o'zgaruvchining ba'zi bir qiymatiga mos keladigan ifodaning har qanday qiymati uchun amalga oshiriladi.

Suhbatimiz davomida ibora ma’nosini baholash nimani anglatadi, degan savolga javob izlashda biroz tanaffus oldik. Yuqoridagi misollar bizni bu masalada ilgari suradi va quyidagi ikkita ta'rifni qabul qilishimizga imkon beradi:

Ta'rif

Raqamli ifodaning qiymatini baholang- bu baholanayotgan qiymatni o'z ichiga olgan raqamli to'plamni ko'rsatishni anglatadi. Bunday holda, ko'rsatilgan sonlar to'plami raqamli ifoda qiymatining taxminiy qiymati bo'ladi.

Ta'rif

O'zgaruvchi bilan ifoda qiymatlarini baholang ODZda (yoki X to'plamida) - bu ODZda (yoki X to'plamida) ifoda oladigan barcha qiymatlarni o'z ichiga olgan raqamli to'plamni ko'rsatishni anglatadi. Bunday holda, belgilangan to'plam ifoda qiymatlarining taxminiy qiymati bo'ladi.

Bitta ibora uchun bir nechta taxminlarni belgilash mumkinligini ko'rish oson. Masalan, raqamli ifoda yoki sifatida baholanishi mumkin , yoki , yoki va boshqalar. Xuddi shu narsa o'zgaruvchilarga ega ifodalarga ham tegishli. Masalan, ifoda ODZ bo'yicha deb taxmin qilish mumkin , yoki , yoki , va hokazo. Shu munosabat bilan, yozma ta'riflarga ko'rsatilgan raqamli to'plamga aniqlik kiritish kerak, bu baholashdir: baholash hech qanday turdagi bo'lmasligi kerak, u topilgan maqsadlarga mos kelishi kerak. Masalan, tenglamani yechish uchun tegishli baholash . Ammo bu taxmin endi tenglamani yechish uchun mos emas , bu erda iboraning ma'nolari uni boshqacha baholashingiz kerak, masalan: .

Buni alohida ta'kidlash joiz f(x) ifoda qiymatlarining baholaridan biri mos keladigan y=f(x) funksiya qiymatlari diapazoni hisoblanadi..

Ushbu fikrni yakunlash uchun keling, baholarni qayd etish shakliga e'tibor qaratamiz. Odatda, hisob-kitoblar tengsizliklar yordamida yoziladi. Siz buni allaqachon payqagandirsiz.

Ifoda qiymatlarini baholash va funktsiya qiymatlarini baholash

Ifoda qiymatlarini baholashga o'xshatib, biz funktsiya qiymatlarini baholash haqida gapirishimiz mumkin. Bu juda tabiiy ko'rinadi, ayniqsa formulalar bilan aniqlangan funktsiyalarni yodda tutadigan bo'lsak, chunki f(x) ifodasi qiymatlarini baholash va y=f(x) funksiya qiymatlarini baholash aslida bir xil narsadir, bu aniq. Bundan tashqari, funktsiya qiymatlarini baholash nuqtai nazaridan smetalarni olish jarayonini tavsiflash ko'pincha qulaydir. Xususan, ba'zi hollarda ifodaning taxminiy qiymatini olish mos keladigan funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish orqali amalga oshiriladi.

Hisob-kitoblarning to'g'riligi haqida

Ushbu maqolaning birinchi xatboshida biz ibora o'z ma'nosini bir nechta baholashga ega bo'lishi mumkinligini aytdik. Ulardan ba'zilari boshqalardan yaxshiroqmi? Bu hal qilinayotgan muammoga bog'liq. Keling, misol bilan tushuntiramiz.

Masalan, quyidagi paragraflarda tasvirlangan ifoda qiymatlarini baholash usullaridan foydalanib, siz ifoda qiymatlarining ikkita bahosini olishingiz mumkin. : birinchisi , ikkinchisi . Ushbu hisob-kitoblarni olish uchun zarur bo'lgan harakatlar sezilarli darajada farq qiladi. Ulardan birinchisi amalda ravshan, ikkinchi bahoni olish esa topishni o'z ichiga oladi eng past qiymat radikal ifodalash va kvadrat ildiz funksiyasining monotonlik xususiyatidan keyingi foydalanish. Ba'zi hollarda har qanday hisob-kitob muammoni hal qilishi mumkin. Misol uchun, har qanday hisob-kitoblar bizga tenglamani echishga imkon beradi . Shubhasiz, bu holatda biz birinchi aniq taxminni topish bilan cheklanib qolamiz va tabiiyki, ikkinchi bahoni topish bilan bezovtalanmaymiz. Ammo boshqa hollarda, hisob-kitoblardan biri muammoni hal qilish uchun mos emasligi aniqlanishi mumkin. Misol uchun, bizning birinchi taxminimiz tenglamani yechishga imkon bermaydi , va taxmin buni amalga oshirishga imkon beradi. Ya'ni, bu holda, birinchi aniq taxmin biz uchun etarli bo'lmaydi va biz ikkinchi taxminni topishimiz kerak edi.

Bu bizni taxminlarning to'g'riligi haqidagi savolga olib keladi. Baholashning aniqligi deganda nima tushunilishini batafsil aniqlash mumkin. Ammo bizning ehtiyojlarimiz uchun bunga alohida ehtiyoj yo'q, biz uchun smeta to'g'riligi haqida soddalashtirilgan g'oya etarli bo'ladi. Keling, baholashning to'g'riligini qandaydir analog sifatida qabul qilishga rozi bo'laylik yaqinlashish aniqligi. Ya'ni, y=f(x) funksiya qiymatlari diapazoniga "yaqinroq" bo'lganini f(x) ifodasi qiymatlarining ikkita bahosidan aniqroq deb hisoblaylik. Shu ma'noda, baholash ifoda qiymatlarining barcha mumkin bo'lgan taxminlarining eng aniqidir , chunki u mos keladigan funktsiya qiymatlari oralig'iga to'g'ri keladi . Baholash aniq aniqroq taxminlar . Boshqacha aytganda, baholash qo'polroq taxminlar .

Har doim eng aniq hisob-kitoblarni izlashdan foyda bormi? Yo'q. Va bu erda gap shundaki, nisbatan qo'pol hisob-kitoblar ko'pincha muammolarni hal qilish uchun etarli. Va bunday hisob-kitoblarning aniq hisob-kitoblardan asosiy afzalligi shundaki, ularni olish ko'pincha ancha oson.

Smetalarni olishning asosiy usullari

Asosiy elementar funktsiyalarning qiymatlarini baholash

Funktsiya qiymatlarini baholash y=|x|

Asosiyga qo'shimcha ravishda elementar funktsiyalar, yaxshi o'rganilgan va taxminlarni olish nuqtai nazaridan foydalidir y=|x| funksiyasi. Biz ushbu funktsiya qiymatlari diapazonini bilamiz: ; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; tomonidan tahrirlangan A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 2010.- 368 b.: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Matematika. Yagona davlat imtihoni-2012 (C1, C3) darajasi ortdi. Mavzu bo'yicha testlar. Tenglamalar, tengsizliklar, tizimlar / F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuxov tomonidan tahrirlangan. - Rostov-Don: Legion-M, 2011. - 112 bet - (Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik) ISBN 978-5-91724-094-7

To'plam oliy o'quv yurtlariga kiruvchilar uchun matematikadan muammolar (yechimlari bilan). 2 kitobda. Kitob 1. Algebra: Darslik. qo'llanma / V.K.Egerev, V.V.Zaytsev, B.A.Kordemskiy va boshqalar; tomonidan tahrirlangan M.I. Skanavi. - 8-nashr, rev. - M .: Yuqori. maktab, 1998. - 528 pp.: kasal. ISBN 5-06-003524-7