Ko'pchilik, "ehtimollar nazariyasi" tushunchasiga duch kelganda, bu juda qiyin va juda murakkab narsa deb o'ylab, qo'rqib ketishadi. Lekin aslida hamma narsa unchalik fojiali emas. Bugun biz ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchasini ko'rib chiqamiz va aniq misollar yordamida muammolarni qanday hal qilishni o'rganamiz.

Fan

Matematikaning «ehtimollar nazariyasi» kabi sohasi nimani o'rganadi? U naqsh va miqdorlarni qayd qiladi. Olimlar bu masala bilan birinchi marta XVIII asrda, qimor o'yinlarini o'rganganlarida qiziqishgan. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasi hodisadir. Bu tajriba yoki kuzatish orqali aniqlangan har qanday haqiqatdir. Ammo tajriba nima? Ehtimollar nazariyasining yana bir asosiy tushunchasi. Demak, bu holatlar majmui tasodifan emas, balki muayyan maqsad uchun yaratilgan. Kuzatishga kelsak, bu erda tadqiqotchining o'zi eksperimentda ishtirok etmaydi, balki bu voqealarning guvohi bo'lib, sodir bo'layotgan narsaga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi.

Voqealar

Biz ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchasi hodisa ekanligini bilib oldik, ammo tasnifni hisobga olmadik. Ularning barchasi quyidagi toifalarga bo'lingan:

• Ishonchli.
• Mumkin emas.
• Tasodifiy.

Tajriba davomida qanday hodisalar, kuzatilgan yoki yaratilgan bo'lishidan qat'i nazar, ularning barchasi ushbu tasnifga bo'ysunadi. Sizni har bir tur bilan alohida tanishishga taklif qilamiz.

Ishonchli voqea

Bu zaruriy chora-tadbirlar majmui ko'rilgan holat. Mohiyatni yaxshiroq tushunish uchun bir nechta misollar keltirgan ma'qul. Fizika, kimyo, iqtisod va oliy matematika bu qonunga bo'ysunadi. Ehtimollar nazariyasi ishonchli hodisa kabi muhim tushunchani o'z ichiga oladi. Mana bir nechta misollar:

• Biz ishlaymiz va ish haqi shaklida tovon olamiz.
• Biz imtihonlarni yaxshi topshirdik, tanlovdan o'tdik va buning uchun biz ta'lim muassasasiga kirish shaklida mukofot olamiz.
• Biz bankka pul qo‘yganmiz, kerak bo‘lsa qaytarib beramiz.

Bunday hodisalar ishonchli. Agar barcha kerakli shartlarni bajargan bo'lsak, kutilgan natijani albatta qo'lga kiritamiz.

Mumkin bo'lmagan voqealar

Endi biz ehtimollik nazariyasi elementlarini ko'rib chiqamiz. Biz keyingi turdagi hodisani, ya'ni imkonsiz narsani tushuntirishga o'tishni taklif qilamiz. Birinchidan, eng muhim qoidani belgilaylik - imkonsiz hodisaning ehtimoli nolga teng.

Muammolarni hal qilishda bu formuladan chetga chiqish mumkin emas. Aniqlik uchun bunday voqealarga misollar keltiramiz:

• Suv ortiqcha o'n haroratda muzlab qoldi (bu mumkin emas).
• Elektr etishmasligi ishlab chiqarishga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi (oldingi misoldagi kabi imkonsiz).

Ko'proq misollar keltirishning hojati yo'q, chunki yuqorida tavsiflanganlar ushbu toifaning mohiyatini juda aniq aks ettiradi. Tajriba paytida hech qanday sharoitda imkonsiz hodisa hech qachon sodir bo'lmaydi.

Tasodifiy hodisalar

Elementlarni o'rganishda ushbu muayyan turdagi hodisaga alohida e'tibor berilishi kerak. Bu fan o'rganadi. Tajriba natijasida biror narsa sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Bundan tashqari, sinov cheksiz ko'p marta o'tkazilishi mumkin. Bunga yorqin misollar kiradi:

• Tanga otish - bu tajriba yoki sinov, boshlarning qo'nishi - voqea.
• To'pni sumkadan ko'r-ko'rona tortib olish - bu sinov, qizil to'pni olish - voqea va hokazo.

Bunday misollar cheksiz ko'p bo'lishi mumkin, ammo, umuman olganda, mohiyati aniq bo'lishi kerak. Hodisalar haqida olingan bilimlarni umumlashtirish va tizimlashtirish uchun jadval taqdim etiladi. Ehtimollar nazariyasi taqdim etilganlarning faqat oxirgi turini o'rganadi.

Qonunlar

Ehtimollar nazariyasi - bu hodisaning yuzaga kelish ehtimolini o'rganadigan fan. Boshqalar singari, u ham ba'zi qoidalarga ega. Ehtimollar nazariyasining quyidagi qonunlari mavjud:

• Tasodifiy miqdorlar ketma-ketligining yaqinlashishi.
• Katta sonlar qonuni.

Murakkab narsaning imkoniyatini hisoblashda, natijaga osonroq va tezroq erishish uchun oddiy hodisalar to'plamidan foydalanishingiz mumkin. E'tibor bering, ehtimollik nazariyasi qonunlari ma'lum teoremalar yordamida osongina isbotlanadi. Birinchi qonun bilan tanishib chiqishingizni tavsiya qilamiz.

Tasodifiy miqdorlar ketma-ketligining yaqinlashishi

E'tibor bering, konvergentsiyaning bir nechta turlari mavjud:

• Tasodifiy o'zgaruvchilar ketma-ketligi ehtimollikda yaqinlashadi.
• Deyarli imkonsiz.
• O'rtacha kvadrat konvergentsiya.
• Tarqatish konvergentsiyasi.

Shunday qilib, darhol uning mohiyatini tushunish juda qiyin. Quyida ushbu mavzuni tushunishga yordam beradigan ta'riflar keltirilgan. Birinchi ko'rinishdan boshlaylik. Ketma-ket deyiladi ehtimollikda konvergent, agar quyidagi shart bajarilsa: n cheksizlikka intiladi, ketma-ketlik moyil bo'lgan son noldan katta va birga yaqin.

Keling, keyingi ko'rinishga o'tamiz, deyarli albatta. Ketma-ketlik yaqinlashishi aytiladi deyarli albatta n cheksizlikka moyil bo'lgan va P birlikka yaqin qiymatga moyil bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchiga.

Keyingi turi o'rtacha kvadrat konvergentsiya. SC konvergentsiyasidan foydalanganda vektor tasodifiy jarayonlarini o'rganish ularning koordinatali tasodifiy jarayonlarini o'rganishga qisqartiriladi.

Oxirgi tur qoladi, keling, to'g'ridan-to'g'ri muammolarni hal qilishga o'tishimiz uchun uni qisqacha ko'rib chiqamiz. Tarqatishdagi konvergentsiyaning boshqa nomi bor - "zaif" va nima uchun keyinroq tushuntiramiz. Zaif konvergentsiya cheklovchi taqsimot funksiyasi uzluksizligining barcha nuqtalarida taqsimot funksiyalarining yaqinlashuvidir.

Biz, albatta, va'damizni bajaramiz: zaif konvergentsiya yuqoridagilarning barchasidan tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik fazosida aniqlanmaganligi bilan farq qiladi. Bu mumkin, chunki shart faqat taqsimlash funktsiyalari yordamida tuzilgan.

Katta sonlar qonuni

Ehtimollar nazariyasi teoremalari, masalan:

• Chebishev tengsizligi.
• Chebishev teoremasi.
• Chebishevning umumlashtirilgan teoremasi.
• Markov teoremasi.

Agar biz ushbu teoremalarning barchasini ko'rib chiqsak, bu savol bir necha o'nlab varaqlarga cho'zilishi mumkin. Bizning asosiy vazifamiz ehtimollik nazariyasini amaliyotda qo'llashdir. Buni hoziroq qilishni taklif qilamiz. Ammo bundan oldin, ehtimollar nazariyasi aksiomalarini ko'rib chiqaylik, ular muammolarni hal qilishda asosiy yordamchi bo'ladi.

Aksiomalar

Biz imkonsiz voqea haqida gapirganimizda, birinchisini uchratdik. Esda tutaylik: imkonsiz hodisaning ehtimoli nolga teng. Biz juda yorqin va esda qolarli misol keltirdik: havo harorati o'ttiz daraja Selsiyda qor yog'di.

Ikkinchisi quyidagicha: ishonchli hodisa birga teng ehtimollik bilan sodir bo'ladi. Endi buni matematik til yordamida qanday yozishni ko'rsatamiz: P(B)=1.

Uchinchidan: Tasodifiy hodisa ro'y berishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin, lekin imkoniyat har doim noldan birgacha o'zgarib turadi. Qiymat birga qanchalik yaqin bo'lsa, imkoniyat shunchalik ko'p bo'ladi; qiymat nolga yaqinlashsa, ehtimollik juda past. Buni matematik tilda yozamiz: 0<Р(С)<1.

Oxirgi, to'rtinchi aksiomani ko'rib chiqaylik, bu shunday eshitiladi: ikkita hodisa yig'indisining ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng. Uni matematik tilda yozamiz: P(A+B)=P(A)+P(B).

Ehtimollar nazariyasi aksiomalari eslab qolish qiyin bo'lmagan eng oddiy qoidalardir. Keling, allaqachon olgan bilimlarimiz asosida ba'zi muammolarni hal qilishga harakat qilaylik.

Lotereya chiptasi

Birinchidan, eng oddiy misolni ko'rib chiqaylik - lotereya. Tasavvur qiling, siz omad uchun bitta lotereya chiptasini sotib oldingiz. Siz kamida yigirma rubl yutib olishingiz ehtimoli qanday? Muomalada jami mingta chipta qatnashmoqda, ulardan birida besh yuz so‘mdan, o‘ntasida har biri yuz rubldan, elliktasida yigirma so‘mdan, yuztasida beshta mukofot bor. Ehtimollik muammolari omad imkoniyatini topishga asoslanadi. Endi yuqoridagi vazifaning yechimini birgalikda tahlil qilamiz.

Agar biz besh yuz rubl miqdoridagi yutuqni bildirish uchun A harfidan foydalansak, unda A ni olish ehtimoli 0,001 ga teng bo'ladi. Biz buni qanday oldik? Siz shunchaki "omadli" chiptalar sonini ularning umumiy soniga bo'lishingiz kerak (bu holda: 1/1000).

B - yuz rubllik g'alaba, ehtimollik 0,01 bo'ladi. Endi biz avvalgi harakatdagi kabi printsip asosida ishladik (10/1000)

C - yutuqlar yigirma rubl. Biz ehtimollikni topamiz, u 0,05 ga teng.

Qolgan chiptalar bizni qiziqtirmaydi, chunki ularning mukofot jamg'armasi shartda ko'rsatilganidan kamroq. To'rtinchi aksiomani qo'llaymiz: kamida yigirma rubl yutib olish ehtimoli P (A) + P (B) + P (C). P harfi ma'lum bir hodisaning yuzaga kelish ehtimolini bildiradi, biz ularni oldingi harakatlarda allaqachon topdik. Faqat kerakli ma'lumotlarni to'plash qoladi va biz olgan javob 0,061. Bu raqam vazifa savoliga javob bo'ladi.

Karta to'plami

Ehtimollar nazariyasidagi muammolar murakkabroq bo'lishi mumkin, masalan, quyidagi vazifani olaylik. Sizning oldingizda o'ttiz oltita kartadan iborat paluba bor. Sizning vazifangiz stackni aralashtirmasdan ketma-ket ikkita kartani chizishdir, birinchi va ikkinchi kartalar aslar bo'lishi kerak, kostyum muhim emas.

Birinchidan, birinchi kartaning eys bo'lish ehtimolini topamiz, buning uchun biz to'rtni o'ttiz oltiga bo'lamiz. Ular uni chetga surib qo'yishdi. Biz ikkinchi kartani chiqaramiz, bu uch o'ttiz beshdan bir ehtimollik bilan ace bo'ladi. Ikkinchi hodisaning ehtimoli biz qaysi kartani birinchi bo'lib chizganimizga bog'liq, biz bu acemi yoki yo'qmi deb o'ylaymiz. Bundan kelib chiqadiki, B hodisa A hodisaga bog'liq.

Keyingi qadam bir vaqtning o'zida sodir bo'lish ehtimolini topishdir, ya'ni biz A va B ni ko'paytiramiz. Ularning ko'paytmasi quyidagicha topiladi: biz bir hodisaning ehtimolligini ikkinchisining shartli ehtimolligiga ko'paytiramiz, biz buni birinchi bo'lib hisoblaymiz. voqea sodir bo'ldi, ya'ni biz birinchi karta bilan eys chizdik.

Hamma narsa aniq bo'lishi uchun keling, voqealar kabi elementga belgi beraylik. A hodisa sodir bo'lgan deb hisoblab chiqiladi. U quyidagicha hisoblanadi: P(B/A).

Keling, muammomizni hal qilishni davom ettiramiz: P (A * B) = P (A) * P (B / A) yoki P (A * B) = P (B) * P (A / B). Ehtimollik (4/36) * ((3/35)/(4/36) ga teng. Biz eng yaqin yuzlikgacha yaxlitlash orqali hisoblaymiz. Bizda: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09.Biz ikkita eysni ketma-ket chizishimiz ehtimoli to'qqiz yuzdan bir qismga teng.Qiymat juda kichik, shundan kelib chiqadiki, hodisaning ro'y berish ehtimoli juda kichik.

Unutilgan raqam

Biz ehtimollik nazariyasi tomonidan o'rganiladigan vazifalarning yana bir nechta variantlarini tahlil qilishni taklif qilamiz. Siz ushbu maqolada ulardan ba'zilarini hal qilish misollarini allaqachon ko'rgansiz.Keling, quyidagi muammoni hal qilishga harakat qilaylik: bola do'stining telefon raqamining oxirgi raqamini unutib qo'ydi, lekin qo'ng'iroq juda muhim bo'lgani uchun u hamma narsani birma-bir terishni boshladi. . Biz uning uch martadan ko'p bo'lmagan qo'ng'iroq qilish ehtimolini hisoblashimiz kerak. Ehtimollar nazariyasining qoidalari, qonunlari va aksiomalari ma'lum bo'lsa, masalaning echimi eng oddiy.

Yechimni ko'rib chiqishdan oldin, uni o'zingiz hal qilishga harakat qiling. Biz bilamizki, oxirgi raqam noldan to'qqizgacha bo'lishi mumkin, ya'ni jami o'nta qiymat. To'g'ri bo'lish ehtimoli 1/10 ga teng.

Keyinchalik, voqeaning kelib chiqishi variantlarini ko'rib chiqishimiz kerak, deylik, bola to'g'ri taxmin qildi va darhol to'g'ri yozdi, bunday hodisaning ehtimoli 1/10 ga teng. Ikkinchi variant: birinchi qo'ng'iroq o'tkazib yuborilgan, ikkinchisi esa maqsadda. Keling, bunday hodisaning ehtimolini hisoblaymiz: 9/10 ni 1/9 ga ko'paytiramiz va natijada biz ham 1/10 ni olamiz. Uchinchi variant: birinchi va ikkinchi qo'ng'iroqlar noto'g'ri manzilda bo'lib chiqdi, faqat uchinchisi bilan bola o'zi xohlagan joyga etib bordi. Biz bunday hodisaning ehtimolini hisoblaymiz: 9/10 ni 8/9 va 1/8 ga ko'paytiramiz, natijada 1/10. Muammoning shartlariga ko'ra bizni boshqa variantlar qiziqtirmaydi, shuning uchun biz faqat olingan natijalarni qo'shishimiz kerak, oxirida bizda 3/10. Javob: bolaning uch martadan ko'p bo'lmagan qo'ng'iroq qilish ehtimoli 0,3 ga teng.

Raqamlar bilan kartalar

Sizning oldingizda to'qqizta karta bor, ularning har birida birdan to'qqizgacha raqam yozilgan, raqamlar takrorlanmaydi. Ular qutiga solingan va yaxshilab aralashtiriladi. Buning ehtimolini hisoblashingiz kerak

• juft raqam paydo bo'ladi;
• ikki raqamli.

Yechimga o'tishdan oldin, m - muvaffaqiyatli holatlar soni, n - variantlarning umumiy soni ekanligini belgilaymiz. Keling, sonning juft bo'lish ehtimoli topilsin. To'rtta juft son borligini hisoblash qiyin bo'lmaydi, bu bizning m bo'ladi, jami to'qqizta mumkin bo'lgan variant mavjud, ya'ni m=9. Keyin ehtimollik 0,44 yoki 4/9 ga teng.

Ikkinchi holatni ko'rib chiqaylik: variantlar soni to'qqizta va muvaffaqiyatli natijalar umuman bo'lishi mumkin emas, ya'ni m nolga teng. Chizilgan kartada ikki xonali raqam bo'lishi ehtimoli ham nolga teng.

Ehtimollik ma'lum bir takrorlanishlar soni berilgan muayyan hodisaning ehtimolini ko'rsatadi. Bu bir yoki bir nechta natijalar bilan mumkin bo'lgan natijalar soni mumkin bo'lgan hodisalarning umumiy soniga bo'linadi. Bir nechta hodisalarning ehtimoli muammoni individual ehtimollarga bo'lish va keyin bu ehtimolliklarni ko'paytirish yo'li bilan hisoblanadi.

Qadamlar

Bitta tasodifiy hodisaning ehtimoli

1. O'zaro eksklyuziv natijalarga ega tadbirni tanlang. Ehtimollik faqat ko'rib chiqilayotgan voqea sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmagan taqdirdagina hisoblanishi mumkin. Bir vaqtning o'zida hodisa va uning teskari natijasini olish mumkin emas. Bunday hodisalarga misol qilib, zarda 5 ni tashlash yoki poygada ma'lum bir otni yutib olish mumkin. Beshtasi keladi yoki kelmaydi; ma'lum bir ot birinchi bo'lib keladi yoki yo'q.

   • Misol uchun, bunday hodisaning ehtimolini hisoblash mumkin emas: o'limni bir marta tashlash bilan bir vaqtning o'zida 5 va 6 paydo bo'ladi.

2. Barcha mumkin bo'lgan hodisalar va natijalarni aniqlang. Aytaylik, siz 6 ta raqam bilan o'yinni tashlashda siz uchta raqamga ega bo'lish ehtimolini aniqlashingiz kerak. "Uchlikni o'rash" - bu hodisa va biz 6 ta raqamdan istalganini aylantirish mumkinligini bilganimiz sababli, mumkin bo'lgan natijalar soni oltitaga teng. Shunday qilib, biz bilamizki, bu holatda 6 ta mumkin bo'lgan natija va bitta hodisa mavjud bo'lib, ularning ehtimolini aniqlamoqchimiz. Quyida yana ikkita misol keltirilgan.

   • 1-misol. Bunday holda, hodisa "dam olish kuniga to'g'ri keladigan kunni tanlash" va mumkin bo'lgan natijalar soni haftaning kunlarining soniga teng, ya'ni etti.
   • 2-misol. Tadbir "qizil to'pni chizish" bo'lib, mumkin bo'lgan natijalar soni to'plarning umumiy soniga teng, ya'ni yigirma.

3. Hodisalar sonini mumkin bo'lgan natijalar soniga bo'ling. Shunday qilib, siz bitta hodisaning ehtimolini aniqlaysiz. Agar biz matritsani o'rash holatini 3 deb hisoblasak, hodisalar soni 1 ta (3 ta matritsaning faqat bir tomonida) va umumiy natijalar soni 6 ga teng. Natijada 1/6 nisbat, 0,166 yoki 16,6%. Yuqoridagi ikkita misol uchun hodisa ehtimoli quyidagicha topiladi:

   • 1-misol. Dam olish kuniga to'g'ri keladigan kunni tasodifiy tanlash ehtimoli qanday? Hodisalar soni 2 ta, chunki bir haftada ikki dam olish kuni bor va natijalarning umumiy soni 7. Shunday qilib, ehtimollik 2/7 ga teng. Olingan natijani 0,285 yoki 28,5% sifatida ham yozish mumkin.
   • 2-misol. Qutida 4 ta ko'k, 5 ta qizil va 11 ta oq shar bor. Agar siz qutidan tasodifiy to'pni chiqarsangiz, uning qizil bo'lish ehtimoli qanday? Hodisalar soni 5 ta, chunki qutida 5 ta qizil to'p bor va natijalarning umumiy soni 20. Biz ehtimollikni topamiz: 5/20 = 1/4. Olingan natija 0,25 yoki 25% sifatida ham yozilishi mumkin.

4. Barcha mumkin bo'lgan hodisalarning ehtimolini qo'shing va yig'indi 1 ga teng yoki yo'qligini ko'ring. Barcha mumkin bo'lgan hodisalarning umumiy ehtimoli 1 yoki 100% bo'lishi kerak. Agar siz 100% natijaga erisha olmasangiz, siz xatoga yo'l qo'ygansiz va bir yoki bir nechta mumkin bo'lgan voqealarni o'tkazib yuborgansiz. Hisob-kitoblaringizni tekshiring va barcha mumkin bo'lgan natijalarni hisobga olganingizga ishonch hosil qiling.

   • Misol uchun, zarni tashlashda 3 ni olish ehtimoli 1/6 ga teng. Bu holda, qolgan beshtadan boshqa har qanday raqamning tushib qolish ehtimoli ham 1/6 ga teng. Natijada, biz 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, ya'ni 100% ni olamiz.
   • Agar, masalan, matritsadagi 4 raqamini unutib qo'ysangiz, ehtimolliklarni qo'shish sizga faqat 5/6 yoki 83% beradi, bu bittaga teng emas va xatoni ko'rsatadi.

5. Mumkin bo'lmagan natija ehtimolini 0 bilan ifodalang. Bu berilgan voqea sodir bo'lishi mumkin emasligini va uning ehtimoli 0 ga teng ekanligini bildiradi. Shunday qilib, imkonsiz hodisalarni hisobga olishingiz mumkin.

   • Misol uchun, agar siz 2020 yilda Pasxaning dushanba kuniga to'g'ri kelishi ehtimolini hisoblasangiz, siz 0 ga erishasiz, chunki Pasxa har doim yakshanba kuni nishonlanadi.

   Bir nechta tasodifiy hodisalarning ehtimoli

   1. Mustaqil hodisalarni ko'rib chiqayotganda, har bir ehtimolni alohida hisoblang. Hodisalarning ehtimoli nima ekanligini aniqlaganingizdan so'ng, ularni alohida hisoblash mumkin. Aytaylik, biz matritsani ketma-ket ikki marta aylanib, 5 ga ega bo'lish ehtimolini bilmoqchimiz. Biz bilamizki, bitta 5 ni olish ehtimoli 1/6, ikkinchi 5 ni olish ehtimoli ham 1/6. Birinchi natija ikkinchisiga bog'liq emas.

      • Beshlikdan iborat bir nechta rulon chaqiriladi mustaqil hodisalar, chunki birinchi marta sodir bo'lgan narsa ikkinchi hodisaga ta'sir qilmaydi.

   2. Bog'liq hodisalar ehtimolini hisoblashda oldingi natijalarning ta'sirini ko'rib chiqing. Agar birinchi hodisa ikkinchi natija ehtimoliga ta'sir qilsa, biz ehtimollikni hisoblash haqida gapiramiz. bog'liq hodisalar. Misol uchun, agar siz 52 ta kartadan ikkita kartani tanlasangiz, birinchi kartani chizganingizdan so'ng, pastki kartaning tarkibi o'zgaradi, bu ikkinchi kartani tanlashga ta'sir qiladi. Ikki bog'liq hodisaning ikkinchi ehtimolini hisoblash uchun ikkinchi hodisaning ehtimolini hisoblashda mumkin bo'lgan natijalar sonidan 1 ni ayirish kerak.

      • 1-misol. Quyidagi voqeani ko'rib chiqing: Ikkita kartochka birin-ketin palubadan tasodifiy ravishda chiqariladi. Ikkala karta ham klublarga tegishli bo'lish ehtimoli qanday? Birinchi kartaning klub kostyumi bo'lish ehtimoli 13/52 yoki 1/4, chunki palubada bir xil kostyumning 13 ta kartasi mavjud.
        • Shundan so'ng, ikkinchi kartaning klub kostyumi bo'lish ehtimoli 12/51 ga teng, chunki bitta klub kartasi endi yo'q. Buning sababi, birinchi voqea ikkinchisiga ta'sir qiladi. Agar siz “Uchta klub”ni chizib, uni qaytarib qo‘ymasangiz, palubada bitta karta kamroq bo‘ladi (52 o‘rniga 51).
      • 2-misol. Qutida 4 ta ko'k, 5 ta qizil va 11 ta oq shar bor. Agar tasodifiy uchta to'p chizilgan bo'lsa, birinchisi qizil, ikkinchisi ko'k va uchinchisi oq bo'lish ehtimoli qanday?
        • Birinchi to'pning qizil bo'lishi ehtimoli 5/20 yoki 1/4. Ikkinchi to'pning ko'k bo'lishi ehtimoli 4/19, chunki qutida bitta kam to'p qolgan, ammo baribir 4 ko'k to'p. Nihoyat, uchinchi to'pning oq bo'lish ehtimoli 11/18, chunki biz allaqachon ikkita to'pni chizganmiz.

   3. Har bir alohida hodisaning ehtimolini ko'paytiring. Siz mustaqil yoki bog'liq hodisalar bilan shug'ullanasizmi yoki natijalar sonidan (2, 3 yoki hatto 10 ta bo'lishi mumkin) qat'i nazar, siz barcha ko'rib chiqilayotgan hodisalarning ehtimolliklarini bir-biriga ko'paytirish orqali umumiy ehtimollikni hisoblashingiz mumkin. Natijada, siz quyidagi bir nechta hodisalarning ehtimolini olasiz birin-ketin. Masalan, vazifa Zalni ketma-ket ikki marta aylantirganda 5 ball olish ehtimolini toping. Bu ikkita mustaqil hodisa bo'lib, ularning har birining ehtimoli 1/6 ga teng. Shunday qilib, ikkala hodisaning ehtimoli 1/6 x 1/6 = 1/36, ya'ni 0,027 yoki 2,7% ni tashkil qiladi.

      • 1-misol. Ikkita kartochkalar palubadan tasodifiy, birin-ketin chiqariladi. Ikkala karta ham klublarga tegishli bo'lish ehtimoli qanday? Birinchi hodisaning ehtimoli 13/52. Ikkinchi hodisaning ehtimoli 12/51. Biz umumiy ehtimollikni topamiz: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, ya'ni 0,058 yoki 5,8%.
      • 2-misol. Qutida 4 ta ko'k, 5 ta qizil va 11 ta oq shar bor. Agar qutidan ketma-ket uchta to'p tasodifiy chizilgan bo'lsa, birinchisi qizil, ikkinchisi ko'k va uchinchisi oq bo'lish ehtimoli qanday? Birinchi hodisaning ehtimoli 5/20. Ikkinchi hodisaning ehtimoli 4/19. Uchinchi hodisaning ehtimoli 11/18. Shunday qilib, umumiy ehtimollik 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032 yoki 3,2% ni tashkil qiladi.

Quyida murakkab hodisaning sodir bo'lish ehtimolini uning tarkibiy qismi bo'lgan oddiyroq hodisalarning ma'lum ehtimollari asosida aniqlashning asosiy qoidalari keltirilgan.

1. Muayyan hodisaning ehtimoli birga teng:

2. Mos kelmaydigan hodisalarning kombinatsiyasi (yig'indisi) ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

Bu ikki tenglik ehtimollar nazariyasi aksiomasi, ya'ni ular ehtimollikning boshlang'ich, lekin isbot talab qiluvchi xossalari sifatida qabul qilinadi. Butun ehtimollik nazariyasi ular asosida qurilgan.

Quyida dalilsiz berilgan barcha boshqa formulalar qabul qilingan aksiomalardan olinishi mumkin.

3. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng:

4. Qarama-qarshi hodisaning ehtimoli A hodisasi ga teng

(4.5)

Formula (4.5) hodisaning o'zi ehtimolini hisoblashda amalda foydali bo'ladi. A qiyin, qarama-qarshi hodisaning ehtimolini topish oson (quyida paragrafga qarang). 9 ).

5. Ehtimollar qo‘shish teoremasi. O'zboshimchalik bilan sodir bo'lgan hodisalarni birlashtirish ehtimoli ularning ehtimoli yig'indisidan hodisalarning kombinatsiyasi ehtimolini ayiqqa teng:

Mos kelmaydigan hodisalar uchun va formula (4.6) (4.3) ga aylanadi.

6. Shartli ehtimollik. Agar siz hodisaning ehtimolini topmoqchi bo'lsangiz IN boshqa hodisa sodir bo'lgan bo'lsa A, keyin bunday holat shartli ehtimollik yordamida tavsiflanadi. Shartli ehtimollik hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli nisbatiga teng A Va IN hodisa ehtimoliga A:

(4.7)

Voqea sodir bo'lgan hollarda A Va IN mos kelmaydigan va shunga mos ravishda.

7. Shartli ehtimollikning (4.7) ko'rinishidagi ta'rifi hodisalarning yuzaga kelish ehtimolini hisoblash uchun quyidagi formulani yozish imkonini beradi. (ehtimollarni ko'paytirish teoremasi)

8. Hodisa ehtimolidan boshlab A(yoki IN) mustaqil hodisalar uchun, ta'rifiga ko'ra, boshqa hodisa sodir bo'lganda o'zgarmaydi, u holda shartli ehtimol hodisaning ehtimolligi bilan mos keladi. A, va shartli ehtimollik bilan P(B). Ehtimollar P(A) Va P(B) shartli ehtimollardan farqli ravishda shartsiz deyiladi.

Mustaqil hodisalar uchun ehtimollarni ko'paytirish teoremasi quyidagicha yoziladi:

ya'ni mustaqil hodisalarni hosil qilish ehtimoli ularning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng.

9. Keling, hisoblaylik n ta sinovda kamida bitta hodisaning yuzaga kelish ehtimoli

A- tashqi ko'rinishi n testlar kamida bir marta bizni qiziqtirgan voqea.

- bizni qiziqtirgan voqea ko'rinmadi n testlar hech qachon.

A 1 - bizni qiziqtirgan voqea birinchi sinovda paydo bo'ldi.

A 2 - bizni qiziqtirgan voqea ikkinchi testda paydo bo'ldi.

A n - bizni qiziqtirgan voqea paydo bo'ldi n- test.

10. Umumiy ehtimollik formulasi.

Agar voqea A faqat mos kelmaydigan hodisalardan biri sodir bo'lganda paydo bo'lishi mumkin N 1 , N 2 , …, N n, Bu

4.3-misol

Bir urnada hajmi jihatidan farq qilmaydigan 5 ta oq, 20 ta qizil va 10 ta qora shar bor. To'plar yaxshilab aralashtiriladi va keyin tasodifiy 1 ta to'p chiqariladi. Chizilgan to'pning oq yoki qora bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. Tadbirga ruxsat bering A- oq yoki qora to'pning ko'rinishi. Keling, ushbu hodisani oddiyroqlarga ajratamiz. Mayli IN 1 - oq to'pning ko'rinishi va IN 2 - qora. Keyin, A=B 1 +B 2 P(A)=P(B 1 +B 2 ) . Chunki IN 1 Va IN 2 mos kelmaydigan hodisalar bo'lsa, u holda mos kelmaydigan hodisalar yig'indisining ehtimoli haqidagi teoremaga muvofiq (formula 4.3) P(B 1 +B 2 ) = P(B 1 )+P(B 2 ) .

Keling, hodisalarning ehtimolini hisoblaylik IN 1 Va IN 2 . Ushbu misolda tajribaning, hodisaning 35 ta bir xil darajada mumkin bo'lgan (to'plar hajmi jihatidan farq qilmaydi) natijalari mavjud. IN 1 (oq to'pning ko'rinishi) ulardan 5 tasi yoqadi, shuning uchun . Xuddi shunday,. Demak, .

4.4-misol

Ikki jinoyatchini qidirish ishlari davom etmoqda. Ularning har biri, bir-biridan mustaqil ravishda, 24 soat ichida 0,5 ehtimollik bilan aniqlanishi mumkin. Kun davomida kamida bitta jinoyatchining aniqlanishi ehtimoli qanday?

Yechim. Tadbirga ruxsat bering A- "kamida bitta jinoyatchi aniqlangan." Keling, ushbu hodisani oddiyroqlarga ajratamiz. Mayli IN 1 IN 2 – ikkinchi jinoyatchi topildi. Keyin, A=B 1 +B 2 hodisalar yig'indisini aniqlash orqali. Shuning uchun P(A)=P(B 1 +B 2 ) . Chunki IN 1 Va IN 2 qo'shma hodisalar bo'lsa, u holda hodisalar yig'indisining ehtimoli haqidagi teoremaga muvofiq (formula 4.6)

P(B 1 +B 2 ) = P(B 1 )+P(B 2 )-P(B 1 IN 2 ) = 0,5+0,5 – 0,25=0,75 .

Siz teskari hodisa orqali ham hal qilishingiz mumkin: .

4.5-misol a)

Jinoyatchining 3 ta kaliti bor. Qorong'ida u tasodifan kalitni tanlab eshikni ochadi. U har bir eshikni ochish uchun 5 soniya vaqt sarflaydi. U 15 soniyada barcha eshiklarni ochish ehtimolini toping.

Yechim. Tadbirga ruxsat bering A- "Barcha eshiklar ochiq." Keling, ushbu hodisani oddiyroqlarga ajratamiz. Mayli IN– “1-chi ochiq”, BILAN– “2-chi ochiq”, va D- "3-chi ochiq." Keyin, A=BCD P(A)=P(BCD). Mustaqil hodisalar ko'paytmasi ehtimoli haqidagi teorema bo'yicha (formula 4.10) R(VSD) = R(V)R(C) R(D).

Keling, hodisalarning ehtimolini hisoblaylik B, C Va D. Ushbu misolda tajribaning 3 ta bir xil mumkin bo'lgan natijalari (har bir kalitni 3 tadan tanlaymiz) mavjud. Voqealarning har biri B, C Va D shuning uchun ulardan 1 tasini afzal ko'radi ..

4.5-misol b)

Keling, muammoni o'zgartiraylik: jinoyatchi unutuvchan odam deb taxmin qilamiz. Jinoyatchi eshikni ochsin va kalitni ichida qoldiring. U 15 soniya ichida barcha eshiklarni ochishi ehtimoli qanday?

Yechim. Tadbir A- "Barcha eshiklar ochiq." Yana, A=BCD hodisalar mahsulining ta'rifi bilan. Shuning uchun P(A)=P(BCD). Ammo hozir voqealar B, C Va D- qaram. Bog'liq hodisalar ko'paytmasining ehtimoli haqidagi teoremaga ko'ra R(VSD) = R(V)R(C|B) R(D|BC).

Keling, ehtimolliklarni hisoblaymiz: ,(faqat ikkita kalit qoldi va ulardan biri mos!), va shuning uchun, .

4.6-misol

Ikki jinoyatchini qidirish ishlari davom etmoqda. Ularning har biri, bir-biridan mustaqil ravishda, 24 soat ichida 0,5 ehtimollik bilan aniqlanishi mumkin. Ulardan biri qo'lga olingandan so'ng, qidiruvga jalb qilingan xodimlar sonining ko'payishi tufayli ikkinchisini topish ehtimoli 0,7 ga oshadi. Ikkala jinoyatchining ham 24 soat ichida ochilishi ehtimoli qanday?

Yechim. Tadbirga ruxsat bering A- "Ikki jinoyatchi topildi." Keling, ushbu hodisani oddiyroqlarga ajratamiz. Mayli IN 1 – birinchi jinoyatchi topildi va IN 2 - birinchi jinoyatchi qo'lga olingandan keyin ikkinchi jinoyatchi topiladi. Keyin, A=B 1 IN 2 hodisalar mahsulining ta'rifi bilan. Shuning uchun P(A)=P(B 1 IN 2 ) . Chunki IN 1 Va IN 2 bog'liq hodisalar bo'lsa, u holda bog'liq hodisalarning ko'paytmasi ehtimoli haqidagi teorema bo'yicha (formula 4.8) P(B 1 IN 2 ) = P(B 1 )P(B 2 /IN 1 ) = 0,5 0,7=0,35 .

4.7-misol

Tangani 10 marta uloqtirganda kamida bir marta gerb paydo bo'lish ehtimolini toping.

Yechim. Tadbirga ruxsat bering A- “gerb tushadi kamida 1 marta". Qarama-qarshi voqeani ko'rib chiqaylik: – “gerb tushmaydi hech qachon" Shubhasiz, teskari hodisani asl hodisaga qaraganda oddiyroqlarga ajratish osonroq. Mayli A 1 - birinchi otishda gerb tushmadi; A 2 – ikkinchi otishda gerb tushmadi... A 10 – gerb 10-otishda tushmadi. Barcha voqealar A 1 …A 10 mustaqil, shuning uchun (formula 4.11)

4.8-misol

Garovga olinganlarni ozod qilish operatsiyasida snayperlarning ikki guruhi ishtirok etmoqda: 10 kishi OP21 miltig‘i va 20 kishi AKM47 bilan. OP21 dan mag'lub bo'lish ehtimoli 0,85, AKM47 esa 0,65. O'zboshimchalik bilan snayperning bitta o'q otishi bilan jinoyatchiga zarba berish ehtimolini toping.

Yechim. Tadbirga ruxsat bering A- "jinoyatchi uriladi." Keling, ushbu hodisani oddiyroqlarga ajratamiz. Jinoyatchiga OP21 yoki AKM47 zarba berishi mumkin. Tasodifiy snayperning OP21 bilan qurollanganligi ehtimoli (hodisa N 1 ) 10/30 ga teng. Tasodifiy snayperning AKM47 bilan qurollanganligi ehtimoli (hodisa N 2 ) 20/30 ga teng.

Jinoyatchiga zarba berish ehtimoli (formula 4.12)

Bunday masalalarda barcha mumkin bo'lgan natijalar daraxtini chizish foydali bo'ladi (har bir natijaning ehtimolini ko'rsatib).

Bir tanga tashlanganida, u boshlarini tepaga tushiradi, deb aytishimiz mumkin, yoki ehtimollik bu 1/2. Albatta, bu tanga 10 marta tashlansa, u 5 marta boshga tushadi, degani emas. Agar tanga "adolatli" bo'lsa va u ko'p marta tashlansa, boshlar yarim vaqtning o'zida juda yaqin tushadi. Shunday qilib, ehtimollikning ikki turi mavjud: eksperimental Va nazariy .

Eksperimental va nazariy ehtimollik

Agar biz tangani ko'p marta aylantirsak - aytaylik 1000 - va uning boshiga necha marta tushishini hisoblasak, uning boshga tushish ehtimolini aniqlashimiz mumkin. Agar bosh 503 marta otilgan bo'lsa, biz uning qo'nish ehtimolini hisoblashimiz mumkin:
503/1000 yoki 0,503.

Bu eksperimental ehtimollik ta'rifi. Ehtimollikning ushbu ta'rifi ma'lumotlarni kuzatish va o'rganishdan kelib chiqadi va juda keng tarqalgan va juda foydali. Bu erda, masalan, eksperimental tarzda aniqlangan ba'zi ehtimollar:

1. Ayolning ko'krak bezi saratoni bilan kasallanish ehtimoli 1/11.

2. Agar siz shamollagan odamni o'psangiz, u holda sizda ham shamollash ehtimoli 0,07 ga teng.

3. Qamoqdan endigina chiqqan odamning qamoqqa qaytish ehtimoli 80%.

Agar biz tanga tashlashni hisobga olsak va uning bosh yoki dumga teng kelishi ehtimolini hisobga olsak, boshni olish ehtimolini hisoblashimiz mumkin: 1/2. Bu ehtimollikning nazariy ta'rifi. Mana, matematika yordamida nazariy jihatdan aniqlangan boshqa ehtimollar:

1. Agar xonada 30 kishi bo'lsa, ulardan ikkitasining tug'ilgan kuni bir xil bo'lish ehtimoli (yildan tashqari) 0,706 ga teng.

2. Sayohat paytida siz kimnidir uchratasiz va suhbat davomida sizning umumiy do'stingiz borligini bilib olasiz. Oddiy reaktsiya: "Bu bo'lishi mumkin emas!" Aslida, bu ibora mos emas, chunki bunday hodisaning ehtimoli ancha yuqori - 22% dan biroz ko'proq.

Shunday qilib, eksperimental ehtimolliklar kuzatish va ma'lumotlarni yig'ish orqali aniqlanadi. Nazariy ehtimollar matematik fikrlash orqali aniqlanadi. Yuqorida muhokama qilingan va ayniqsa, biz kutmagan eksperimental va nazariy ehtimollar misollari bizni ehtimollikni o'rganish muhimligiga olib keladi. “Haqiqiy ehtimollik nima?” deb so'rashingiz mumkin. Aslida, bunday narsa yo'q. Muayyan chegaralardagi ehtimollar eksperimental tarzda aniqlanishi mumkin. Ular biz nazariy jihatdan oladigan ehtimollar bilan mos kelishi yoki mos kelmasligi mumkin. Ehtimollikning bir turini aniqlash boshqasiga qaraganda ancha oson bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, nazariy ehtimollik yordamida sovuqni ushlash ehtimolini topish etarli bo'ladi.

Eksperimental ehtimolliklarni hisoblash

Keling, avvalo ehtimollikning eksperimental ta'rifini ko'rib chiqaylik. Bunday ehtimolliklarni hisoblash uchun biz foydalanadigan asosiy printsip quyidagicha.

P printsipi (eksperimental)

Agar n ta kuzatish olib borilgan tajribada E holat yoki hodisa n ta kuzatishda m marta sodir boʻlsa, u holda hodisaning tajriba ehtimolligi P (E) = m/n deyiladi.

1-misol Sotsiologik so'rov. Chap qo'llar, o'ng qo'llar va ikkala qo'li bir xil rivojlangan odamlarning sonini aniqlash uchun eksperimental tadqiqot o'tkazildi.Natijalar grafikda ko'rsatilgan.

a) Shaxsning o'ng qo'li bo'lish ehtimolini aniqlang.

b) Shaxsning chap qo'l bo'lish ehtimolini aniqlang.

c) Biror kishining ikkala qo'lda bir xil darajada ravon bo'lish ehtimolini aniqlang.

d) Professional Bowling Assotsiatsiyasining aksariyat turnirlari 120 nafar o'yinchi bilan cheklangan. Ushbu tajriba ma'lumotlariga asoslanib, qancha o'yinchi chap qo'l bo'lishi mumkin?

Yechim

a)O‘ng qo‘llilar soni 82 ta, chap qo‘llilar soni 17 ta, ikkala qo‘lda ham birdek ravon bo‘lganlar soni 1 ta. Kuzatishlarning umumiy soni 100 ta. Shunday qilib, ehtimollik odamning o'ng qo'li ekanligi P
P = 82/100 yoki 0,82 yoki 82%.

b) Odamning chap qo'l bo'lish ehtimoli P, bu erda
P = 17/100 yoki 0,17 yoki 17%.

c) Biror kishining ikkala qo'lda bir xil darajada ravon bo'lish ehtimoli P, bu erda
P = 1/100 yoki 0,01 yoki 1%.

d) 120 boulers va (b) dan biz 17% chap qo'l ekanligini kutishimiz mumkin. Bu yerdan
120 dan 17% = 0,17,120 = 20,4,
ya'ni 20 ga yaqin futbolchi chap qo'l bo'lishini kutishimiz mumkin.

2-misol Sifat nazorati . Ishlab chiqaruvchi uchun mahsulot sifatini yuqori darajada ushlab turish juda muhimdir. Aslida, kompaniyalar ushbu jarayonni ta'minlash uchun sifat nazorati inspektorlarini yollashadi. Maqsad, mumkin bo'lgan minimal miqdordagi nuqsonli mahsulotlarni ishlab chiqarishdir. Ammo kompaniya har kuni minglab mahsulot ishlab chiqarganligi sababli, uning nuqsonli yoki yo'qligini aniqlash uchun har bir mahsulotni sinab ko'rish imkoniyati yo'q. Mahsulotlarning necha foizi nuqsonli ekanligini aniqlash uchun kompaniya ancha kam mahsulotlarni sinovdan o'tkazadi.
USDA paxtakorlar tomonidan sotiladigan urug'larning 80 foizi unib chiqishini talab qiladi. Qishloq xo‘jaligi korxonalari tomonidan yetishtirilayotgan urug‘larning sifatini aniqlash uchun yetishtirilgan urug‘lardan 500 ta urug‘ ekiladi. Shundan so'ng 417 ta urug' unib chiqqani hisoblab chiqilgan.

a) Urug'ning unib chiqish ehtimoli qanday?

b) Urug'lar davlat standartlariga javob beradimi?

Yechim a) Bizga ma'lumki, ekilgan 500 ta urug'dan 417 tasi unib chiqqan. Urug'larning unib chiqishi ehtimoli P, va
P = 417/500 = 0,834 yoki 83,4%.

b) unib chiqqan urug'lar ulushi talabga ko'ra 80% dan oshganligi sababli, urug'lar davlat standartlariga javob beradi.

3-misol Televizion reytinglar. Statistik ma'lumotlarga ko'ra, Qo'shma Shtatlarda televizorga ega 105 million 500 ming xonadon bor. Har hafta dasturlarni ko'rish haqidagi ma'lumotlar yig'iladi va qayta ishlanadi. Bir hafta ichida 7 815 000 xonadon CBS telekanalidagi “Hamma Raymondni sevadi” komediya serialini, 8 302 000 xonadon esa NBC telekanalidagi “Qonun va tartib” serialini tomosha qilishdi (Manba: Nielsen Media Research). Bir xonadonning televizori ma'lum bir hafta davomida "Hamma Raymondni yaxshi ko'radi" yoki "Qonun va tartib" ga sozlanishi ehtimoli qanday?

Yechim Bitta xonadondagi televizorning "Hamma Raymondni yaxshi ko'radi" ga sozlangan bo'lish ehtimoli P, va
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Uydagi televizorning Qonun va tartib-ga sozlanganligi ehtimoli P, va
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Bu foizlar reyting deb ataladi.

Nazariy ehtimollik

Aytaylik, biz tanga yoki dart otish, palubadan karta chizish yoki konveyerda mahsulot sifatini tekshirish kabi tajriba o'tkazmoqdamiz. Bunday tajribaning har bir mumkin bo'lgan natijasi deyiladi Chiqish . Barcha mumkin bo'lgan natijalar to'plami deyiladi natija maydoni . Tadbir bu natijalar majmui, ya'ni natijalar makonining kichik qismidir.

4-misol Dart otish. Aytaylik, o'q otish tajribasida o'q nishonga tegdi. Quyidagilardan har birini toping:

b) Natija maydoni

Yechim
a) Natijalar: qora (B), qizil (R) va oq (B) bilan urish.

b) Natijalar maydoni (qoraga urish, qizilga urish, oqga urish) bo'lib, uni oddiygina (H, K, B) sifatida yozish mumkin.

5-misol Zar otish. Kalit - oltita tomoni bo'lgan kub bo'lib, har birida birdan oltitagacha nuqta bor.


Aytaylik, biz o'limni tashlayapmiz. Toping
a) natijalar
b) Natija maydoni

Yechim
a) Natijalar: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Natija fazosi (1, 2, 3, 4, 5, 6).

E hodisaning sodir bo'lish ehtimolini P(E) deb belgilaymiz. Masalan, “tanga boshlarga tushadi” H harfi bilan belgilanishi mumkin. Keyin P(H) tanganing boshlarga tushishi ehtimolini bildiradi. Agar eksperimentning barcha natijalarining yuzaga kelish ehtimoli bir xil bo'lsa, ular bir xil ehtimoli bor deyiladi. Bir xil ehtimoli bo'lgan va bo'lmagan hodisalar o'rtasidagi farqni ko'rish uchun quyida ko'rsatilgan maqsadni ko'rib chiqing.

Maqsad A uchun qora, qizil va oq rangga tegish hodisalari bir xil ehtimolga ega, chunki qora, qizil va oq sektorlar bir xil. Biroq, maqsad B uchun bu ranglarga ega zonalar bir xil emas, ya'ni ularni urish bir xil darajada emas.

P tamoyili (nazariy)

Agar E hodisa S natija fazosidan n ta mumkin boʻlgan teng ehtimolli natijadan m xilda sodir boʻlishi mumkin boʻlsa, u holda nazariy ehtimollik hodisalar, P (E) dir
P(E) = m/n.

6-misol 3 ball olish uchun matritsani aylantirish ehtimoli qanday?

Yechim Zarda 6 ta teng ehtimolli natija bor va 3 raqamini aylantirishning faqat bitta imkoniyati mavjud. Keyin P ehtimolligi P(3) = 1/6 bo'ladi.

7-misol Juft sonni matritsaga aylantirish ehtimoli qanday?

Yechim Hodisa juft sonni tashlashdir. Bu 3 usulda sodir bo'lishi mumkin (agar siz 2, 4 yoki 6 ni aylantirsangiz). Teng ehtimolli natijalar soni 6 ga teng. Keyin ehtimollik P (juft) = 3/6 yoki 1/2.

Biz standart 52 ta karta to'plamini o'z ichiga olgan bir qator misollardan foydalanamiz. Bu pastki rasmda ko'rsatilgan kartalardan iborat.

8-misol Yaxshi aralashgan kartalardan Ace chizish ehtimoli qanday?

Yechim 52 ta natija bor (pastkidagi kartalar soni), ular teng darajada (agar paluba yaxshi aralashgan bo'lsa) va Ace chizishning 4 ta usuli mavjud, shuning uchun P printsipiga ko'ra, ehtimollik
P (as chizish) = 4/52 yoki 1/13.

9-misol Aytaylik, biz 3 ta qizil va 4 ta yashil sharli sumkadan bitta to'pni ko'rmasdan tanlaymiz. Qizil to'pni tanlash ehtimoli qanday?

Yechim Har qanday to'pni chizishning 7 ta teng ehtimolli natijasi mavjud va qizil to'pni chizish usullari soni 3 ta bo'lgani uchun biz olamiz
P (qizil to'pni tanlash) = 3/7.

Quyidagi bayonotlar P tamoyilidan olingan natijalardir.

Ehtimollik xossalari

a) Agar E hodisa yuz bermasa, u holda P(E) = 0.
b) Agar E hodisa aniq bo'lsa, P(E) = 1.
c) E hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0 dan 1 gacha bo‘lgan son: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Masalan, tanga otishda tanganing chetiga tushishi nolga teng ehtimolga ega. Tanganing bosh yoki dum bo'lish ehtimoli 1 ga teng.

10-misol Faraz qilaylik, 52 ta kartadan 2 ta karta olinadi. Ikkalasining ham cho'qqi bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim Yaxshi aralashtirilgan 52 ta kartadan 2 ta kartani olish usullarining n soni 52 C 2 ni tashkil qiladi. 52 ta kartadan 13 tasi belkurak bo'lganligi sababli, 2 ta kartani chizish uchun m usullari soni 13 C 2 ga teng. Keyin,
P (2 tepalikni tortib olish) = m / n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

11-misol Faraz qilaylik, 6 erkak va 4 ayoldan iborat guruhdan tasodifiy 3 kishi tanlangan. 1 erkak va 2 ayolni tanlash ehtimoli qanday?

Yechim 10 kishilik guruhdan uchta odamni tanlash usullari soni 10 C 3 ni tashkil qiladi. Bir erkakni 6 ta C 1 usulda, 2 ta ayolni esa 4 C 2 usulda tanlash mumkin. Hisoblashning asosiy printsipiga ko'ra, 1 erkak va 2 ayolni tanlash usullari soni 6 C 1 ni tashkil qiladi. 4 C 2. Keyin, 1 erkak va 2 ayolni tanlash ehtimoli
P = 6 C 1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

12-misol Zar otish. Ikkita zarga jami 8 ta zarni tashlash ehtimoli qanday?

Yechim Har bir zarda 6 ta mumkin bo'lgan natija mavjud. Natijalar ikki baravar ko'payadi, ya'ni ikkita zardagi raqamlar paydo bo'lishining 6,6 yoki 36 ta mumkin bo'lgan usullari mavjud. (Agar kublar boshqacha bo'lsa, bittasi qizil, ikkinchisi ko'k deb ayting - bu natijani tasavvur qilishga yordam beradi.)

8 ga teng sonlar juftligi quyidagi rasmda ko'rsatilgan. 8 ga teng summani olishning 5 ta mumkin bo'lgan usullari mavjud, shuning uchun ehtimollik 5/36.

Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish. Ushbu maqola ehtimollik nazariyasidagi muammolarni hal qilishga qaratilgan. Ilgari biz eng oddiy vazifalarni tahlil qildik, ularni hal qilish uchun formulani bilish va tushunish kifoya (men uni takrorlashni maslahat beraman).

Biroz murakkabroq masalalar borki, ularni yechish uchun bilish va tushunish kerak: ehtimollarni qo‘shish qoidasi, ehtimollarni ko‘paytirish qoidasi, bog‘liq va mustaqil hodisalar tushunchalari, qarama-qarshi hodisalar, mos keluvchi va mos kelmaydigan hodisalar. Ta'riflardan qo'rqmang, bu oddiy)).Ushbu maqolada biz aynan shunday vazifalarni ko'rib chiqamiz.

Bir oz muhim va oddiy nazariya:

mos kelmaydigan , agar ulardan birining ko'rinishi boshqalarning ko'rinishini istisno qilsa. Ya'ni, faqat bir yoki boshqa aniq hodisa sodir bo'lishi mumkin.

Klassik misol: zar otishda faqat bitta yoki ikkita yoki faqat uchta va hokazo chiqishi mumkin. Ushbu hodisalarning har biri boshqalar bilan mos kelmaydi va ulardan birining paydo bo'lishi ikkinchisining (bir sinovda) sodir bo'lishini istisno qiladi. Bu tanga bilan bir xil - boshlar paydo bo'lganda, u dumlarning paydo bo'lish ehtimolini yo'q qiladi.

Bu yanada murakkab kombinatsiyalarga ham tegishli. Misol uchun, ikkita yorug'lik chiroqlari yoqilgan. Ularning har biri vaqt o'tishi bilan yonib ketishi mumkin yoki yo'qolishi mumkin. Variantlar mavjud:

1. Birinchisi yonib ketadi, ikkinchisi esa yonib ketadi
2. Birinchisi yonib ketadi, ikkinchisi esa yonmaydi
3. Birinchisi yonmaydi, ikkinchisi esa yonib ketadi
4. Birinchisi yonmaydi, ikkinchisi esa yonib ketadi.

Voqealar uchun ushbu 4 variantning barchasi bir-biriga mos kelmaydi - ular birgalikda sodir bo'lolmaydi va ularning hech biri boshqasi bilan ...

Ta'rif: Voqealar chaqiriladi qo'shma, agar ulardan birining ko'rinishi ikkinchisining ko'rinishini istisno qilmasa.

Misol: kartalar dastasidan malika, kartalar palubasidan esa belkurak kartasi olinadi. Ikki voqea hisobga olinadi. Bu voqealar bir-birini istisno qilmaydi - siz belkurak malikasini chizishingiz mumkin va shuning uchun ikkala hodisa ham sodir bo'ladi.

Ehtimollar yig'indisi haqida

Ikki A va B hodisasining yig'indisi A+B hodisasi deb ataladi, bu hodisa A yoki B hodisaning yoki ikkalasining bir vaqtning o'zida sodir bo'lishidan iborat.

Agar mavjud bo'lsa mos kelmaydigan A va B hodisalari bo'lsa, bu hodisalar yig'indisining ehtimoli hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng bo'ladi:

Zarga misol:

Biz zarlarni tashlaymiz. To'rtdan kichik sonni aylanib chiqish ehtimoli qanday?

To'rtdan kichik sonlar 1,2,3 ga teng. Biz bilamizki, bittani olish ehtimoli 1/6, ikkitasi 1/6 va uchtasi 1/6. Bular mos kelmaydigan hodisalar. Qo'shish qoidasini qo'llashimiz mumkin. To'rtdan kichik raqamni aylantirish ehtimoli:

Haqiqatan ham, agar klassik ehtimollik kontseptsiyasidan kelib chiqadigan bo'lsak: u holda mumkin bo'lgan natijalar soni 6 (kubning barcha tomonlari soni), qulay natijalar soni 3 (bir, ikki yoki uchta ko'rinishi). Kerakli ehtimollik 3 dan 6 gacha yoki 3/6 = 0,5.

*Ikki qo'shma hodisa yig'indisining ehtimoli, ularning birgalikda sodir bo'lishini hisobga olmagan holda, ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng: P(A+B)=P(A)+P(B) -P(AB)

Ehtimollarni ko'paytirish haqida

Ikki mos kelmaydigan A va B hodisalari sodir bo'lsin, ularning ehtimolliklari mos ravishda P (A) va P (B) ga teng. Ikkita A va B hodisaning mahsuloti A B hodisa bo’lib, bu hodisalar birgalikda sodir bo’ladi, ya’ni A hodisa ham, B hodisa ham sodir bo’ladi.Bunday hodisaning ehtimoli ko’paytmasiga teng. A va B hodisalarining ehtimoli.Formula bo'yicha hisoblangan:

Siz allaqachon sezganingizdek, "VA" mantiqiy bog'lovchisi ko'paytirishni anglatadi.

Xuddi shu o'limga misol:Biz zarlarni ikki marta tashlaymiz. Ikkita oltitaning aylanish ehtimoli qanday?

Birinchi marta oltitani aylantirish ehtimoli 1/6 ga teng. Ikkinchi marta ham 1/6 ga teng. Oltilikni birinchi va ikkinchi marta aylantirish ehtimoli ehtimollar mahsulotiga teng:

Oddiy so'zlar bilan aytganda: bir sinovda ma'lum bir voqea sodir bo'lganda, VA keyin boshqa (boshqalar) sodir bo'lganda, ularning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklarining mahsulotiga teng bo'ladi.

Biz zarlar bilan muammolarni hal qildik, lekin biz faqat mantiqiy fikrlashdan foydalandik va mahsulot formulasidan foydalanmadik. Quyida ko'rib chiqilgan vazifalarda siz formulalarsiz qilolmaysiz, aniqrog'i, ular yordamida natijaga erishish osonroq va tezroq bo'ladi.

Yana bir nuanceni aytib o'tish joiz. Muammolarni hal qilishda mulohaza yuritishda hodisalarning BIR VAQTDAGI tushunchasidan foydalaniladi. Hodisalar bir vaqtning o'zida sodir bo'ladi - bu ularning bir soniyada (vaqtning bir nuqtasida) sodir bo'lishini anglatmaydi. Bu shuni anglatadiki, ular ma'lum vaqt oralig'ida (bitta sinov doirasida) sodir bo'ladi.

Masalan:

Bir yil ichida ikkita chiroq yonib ketadi (aytish mumkin - bir vaqtning o'zida bir yil ichida)

Bir oy ichida ikkita mashina buziladi (bir oy ichida bir vaqtning o'zida aytish mumkin)

Zarlar uch marta tashlanadi (ballar bir vaqtning o'zida paydo bo'ladi, bu bitta sinovda degan ma'noni anglatadi)

Biatlonchi beshta o'q uzadi. Hodisalar (otishmalar) bir sinov davomida sodir bo'ladi.

A va B hodisalari, agar ulardan birortasining ehtimoli boshqa hodisaning ro'y berishi yoki ro'y bermasligiga bog'liq bo'lmasa, MUSTAQIL hisoblanadi.

Keling, vazifalarni ko'rib chiqaylik:

Ikkita zavod avtomobil faralari uchun bir xil ko'zoynak ishlab chiqaradi. Birinchi zavod ushbu ko'zoynaklarning 35 foizini, ikkinchisi - 65 foizini ishlab chiqaradi. Birinchi zavod 4% nuqsonli shisha ishlab chiqaradi, ikkinchisi esa 2%. Do'konda tasodifan sotib olingan oynaning nuqsonli bo'lish ehtimolini toping.

Birinchi zavod 0,35 dona mahsulot (shisha) ishlab chiqaradi. Birinchi zavoddan nuqsonli oynani sotib olish ehtimoli 0,04 ga teng.

Ikkinchi zavod 0,65 stakan ishlab chiqaradi. Ikkinchi zavoddan nuqsonli shisha sotib olish ehtimoli 0,02 ga teng.

Shishaning birinchi zavodda sotib olinganligi va uning nuqsonli bo'lib chiqishi ehtimoli 0,35∙0,04 = 0,0140.

Shisha ikkinchi zavodda sotib olinganligi va uning nuqsonli bo'lib chiqishi ehtimoli 0,65∙0,02 = 0,0130.

Do'konda nuqsonli oynani sotib olish, u (nuqson shisha) birinchi zavoddan yoki ikkinchidan sotib olinganligini anglatadi. Bular bir-biriga mos kelmaydigan hodisalar, ya'ni natijada yuzaga keladigan ehtimollarni qo'shamiz:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Javob: 0,027

Agar grossmeyster A. oq o'ynasa, u holda grossmeyster B.ga qarshi 0,62 ehtimol bilan g'alaba qozonadi. Agar A. qora rangda oʻynasa, A. 0,2 ehtimol bilan B.ga qarshi gʻalaba qozonadi. Grossmeysterlar A. va B. ikkita o'yin o'tkazadilar va ikkinchi o'yinda ular donalarning rangini o'zgartiradilar. A.ning ikkala marta ham yutish ehtimolini toping.

Birinchi va ikkinchi o'yinlarda g'alaba qozonish imkoniyati bir-biriga bog'liq emas. Aytishlaricha, grossmeyster ikkala marta ham g'alaba qozonishi kerak, ya'ni birinchi marta g'alaba qozonishi va bir vaqtning o'zida ikkinchi marta g'alaba qozonishi kerak. Agar mustaqil hodisalar birgalikda sodir bo'lishi kerak bo'lsa, bu hodisalarning ehtimollari ko'paytiriladi, ya'ni ko'paytirish qoidasi qo'llaniladi.

Ushbu hodisalarning yuzaga kelish ehtimoli 0,62∙0,2 = 0,124 ga teng bo'ladi.

Javob: 0,124

Geometriya imtihonida talaba imtihon savollari ro'yxatidan bitta savol oladi. Bu chizilgan doira savoli bo'lish ehtimoli 0,3 ga teng. Bu savolning paralelogramma bo'lish ehtimoli 0,25 ga teng. Bu ikki mavzuga bir vaqtning o'zida tegishli savollar yo'q. Talaba imtihonda shu ikki mavzudan biriga savol berish ehtimolini toping.

Ya'ni, talaba YO "Chizilgan doira" yoki "Parallelogramma" mavzusi bo'yicha savol olish ehtimolini topish kerak. Bunday holda, ehtimolliklar umumlashtiriladi, chunki bular bir-biriga mos kelmaydigan hodisalar va bu hodisalarning har biri sodir bo'lishi mumkin: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Mos kelmaydigan hodisalar bir vaqtning o'zida sodir bo'lmaydigan hodisalardir.

Javob: 0,55

Biatlonchi nishonga besh marta o'q uzadi. Bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli 0,9 ga teng. Biatlonchining birinchi to'rt marta nishonga tegishi va oxirgisini o'tkazib yuborish ehtimolini toping. Natijani yuzdan biriga yaxlitlang.

Biatlonchi nishonni 0,9 ehtimol bilan urganligi sababli, u 1 - 0,9 = 0,1 ehtimol bilan o'tkazib yuboradi.

*Miss va hit - bu bir o'q bilan bir vaqtda sodir bo'lmaydigan hodisalar; bu hodisalarning ehtimoli yig'indisi 1 ga teng.

Biz bir nechta (mustaqil) hodisalarning sodir bo'lishi haqida gapiramiz. Agar voqea sodir bo'lsa va bir vaqtning o'zida boshqa (keyingi) hodisa sodir bo'lsa (test), u holda bu hodisalarning ehtimollari ko'paytiriladi.

Mustaqil hodisalar ko'paytmasi ehtimoli ularning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng.

Shunday qilib, "urish, urish, urish, urish, o'tkazib yuborish" hodisasining ehtimoli 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Eng yaqin yuzdan birgacha yaxlitlash, biz 0,07 ni olamiz

Javob: 0,07

Do'konda ikkita to'lov mashinasi mavjud. Ularning har biri boshqa mashinadan qat'i nazar, 0,07 ehtimollik bilan noto'g'ri bo'lishi mumkin. Kamida bitta mashina ishlayotganligi ehtimolini toping.

Keling, ikkala mashinaning ham noto'g'ri bo'lish ehtimolini topaylik.

Bu hodisalar mustaqildir, ya'ni ehtimollik ushbu hodisalarning ehtimolliklari mahsulotiga teng bo'ladi: 0,07∙0,07 = 0,0049.

Bu shuni anglatadiki, ikkala mashina yoki ulardan biri ishlayotgan bo'lish ehtimoli 1 - 0,0049 = 0,9951 ga teng bo'ladi.

*Ikkalasi ham ishlaydi va ulardan biri to‘liq ishlaydi – “kamida bitta” shartiga javob beradi.

Sinov qilinadigan barcha (mustaqil) hodisalarning ehtimolini ko'rsatish mumkin:

1. "noto'g'ri" 0,07∙0,07 = 0,0049

2. “nuqson-nuqson” 0,93∙0,07 = 0,0651

3. “nuqson-nuqson” 0,07∙0,93 = 0,0651

4. “nuqson-nuqson” 0,93∙0,93 = 0,8649

Kamida bitta mashinaning ishlash ehtimolini aniqlash uchun mustaqil hodisalarning 2,3 va 4 ehtimolini qo'shish kerak: Ishonchli voqea tajriba natijasida yuzaga kelishi aniq bo'lgan hodisa deyiladi. Tadbir deyiladi imkonsiz, agar u hech qachon tajriba natijasida yuzaga kelmasa.

Misol uchun, agar bitta to'p faqat qizil va yashil to'plar bo'lgan qutidan tasodifiy chizilgan bo'lsa, unda chizilgan sharlar orasida oqning paydo bo'lishi mumkin bo'lmagan hodisadir. Qizilning ko'rinishi va yashil to'plarning paydo bo'lishi hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi.

Ta'rifi: Voqealar deyiladi teng darajada mumkin , agar ulardan biri tajriba natijasida paydo bo'lish ehtimoli ko'proq ekanligiga ishonish uchun asos bo'lmasa.

Yuqoridagi misolda, qizil va yashil to'plarning paydo bo'lishi, agar qutida bir xil miqdordagi qizil va yashil to'plar bo'lsa, bir xil ehtimoliy hodisadir. Agar qutidagi qizil to'plar yashildan ko'ra ko'proq bo'lsa, yashil to'pning paydo bo'lishi qizil rangning paydo bo'lishidan ko'ra kamroq ehtimoliy hodisadir.

Biz voqealar ehtimoli yig'indisi va mahsuloti qo'llaniladigan ko'proq muammolarni ko'rib chiqamiz, buni o'tkazib yubormang!

Ana xolos. Sizga muvaffaqiyatlar tilayman!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitskix.

Marya Ivanovna Vasyani xafa qiladi:
- Petrov, nega kecha maktabda emas edingiz?
"Kecha onam shimlarimni yuvdi."
- Nima bo'libdi?
- Va men uyning yonidan o'tib, sizniki osilganligini ko'rdim. Siz kelmaysiz deb o'yladim.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.