Ta'rif. F (x) funksiya ma’lum oraliqdagi f (x) funksiya uchun anti hosila deb ataladi, agar F”(x)= f (x) oraliqdan istalgan x uchun.

Antiderivativlarning asosiy xossasi.

Agar F (x) f (x) funktsiyaning anti hosilasi bo'lsa, u holda F (x)+ C funksiyasi, bu erda C ixtiyoriy konstanta, f (x) funksiyaning ham anti hosilasidir (ya'ni, ning barcha anti hosilalari. f(x) funksiya F(x) + C ko'rinishda yoziladi.

Geometrik talqin.

Berilgan f (x) funksiyaning barcha antiderivativlarining grafiklari Oy o'qi bo'ylab parallel translatsiyalar yo'li bilan istalgan bitta antiderivativning grafigidan olinadi.

Antiderivativlar jadvali.

Antiderivativlarni topish qoidalari .

F(x) va G(x) mos ravishda f(x) va g(x) funksiyalarning anti hosilalari bo‘lsin. Keyin:

1. F ( x) ± G ( x) – uchun antiderivativ f(x) ± g(x);

2. A F ( x) – uchun antiderivativ Af(x);

3. – uchun antiderivativ Af(kx +b).

"Antiderivoid" mavzusidagi topshiriqlar va testlar

• Antiderivativ

  Darslar: 1 Topshiriqlar: 11 Testlar: 1

• Hosil va antiderivativ - Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik Matematikadan foydalaning matematika

  Vazifalar: 3

• Integral - Antiderivativ va integral 11-darajali

  Darslar: 4 Topshiriqlar: 13 Testlar: 1

• Integrallar yordamida maydonlarni hisoblash - Antiderivativ va integral 11-darajali

  Darslar: 1 Topshiriqlar: 10 ta Testlar: 1

O'qigan bu mavzu, Qarama-qarshi hosila deb ataladigan narsa, uning asosiy xossasi, geometrik talqini, antiderivativlarni topish qoidalarini bilishingiz kerak; Jadval va antiderivativlarni topish qoidalari, shuningdek berilgan nuqtadan o'tuvchi antiderivativdan foydalangan holda funktsiyalarning barcha antiderivativlarini topa olish. Keling, misollar yordamida ushbu mavzu bo'yicha muammolarni hal qilishni ko'rib chiqaylik. Qarorlarni formatlashga e'tibor bering.

Misollar.

1. F ( funksiyasi bor yoki yo‘qligini aniqlang. x) = X 3 – 3X Funktsiya uchun + 1 antiderivativ f(x) = 3(X 2 – 1).

Yechim: F"( x) = (X 3 – 3X+ 1)' = 3 X 2 – 3 = 3(X 2 – 1) = f(x), ya'ni. F"( x) = f(x), shuning uchun F(x) f(x) funksiyaning anti hosilasidir.

2. Barcha f(x) ga qarshi hosila funksiyalarini toping:

A) f(x) = X 4 + 3X 2 + 5

Yechim: Jadval va antiderivativlarni topish qoidalaridan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Javob:

b) f(x) = gunoh (3 x – 2)

Yechim:

Integrallarni yechish oson ish, lekin faqat tanlanganlar uchun. Ushbu maqola integrallarni tushunishni o'rganmoqchi bo'lganlar uchun, lekin ular haqida hech narsa yoki deyarli hech narsa bilmaydi. Integral... Nima uchun kerak? Uni qanday hisoblash mumkin? Aniq va noaniq integrallar nima? Agar integral uchun siz biladigan yagona narsa bu integral piktogramma shaklidagi ilgak yordamida erishish qiyin joylardan foydali narsalarni olish bo'lsa, xush kelibsiz! Integrallarni yechish usullarini va nima uchun ularsiz bajara olmasligingizni bilib oling.

Biz "integral" tushunchasini o'rganamiz

Integratsiya ilgari ma'lum bo'lgan Qadimgi Misr. Albatta kirmaydi zamonaviy shakl, lekin hali ham. O'shandan beri matematiklar bu mavzuda ko'plab kitoblar yozdilar. Ayniqsa, o'zlarini ajralib turishdi Nyuton Va Leybnits , lekin narsalarning mohiyati o'zgarmadi. Integrallarni noldan qanday tushunish mumkin? Bo'lishi mumkin emas! Ushbu mavzuni tushunish uchun sizga hali ham matematik tahlil asoslari bo'yicha asosiy bilim kerak bo'ladi. Bizning blogimizda integrallarni tushunish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlar allaqachon mavjud.

Noaniq integral

Keling, qandaydir funktsiyaga ega bo'lamiz f(x) .

Noaniq integral funksiya f(x) bu funksiya deyiladi F(x) , hosilasi funksiyaga teng f(x) .

Boshqacha qilib aytganda, integral teskari hosila yoki antiderivativdir. Aytgancha, bizning maqolamizda qanday qilib o'qing.

Barcha uzluksiz funksiyalar uchun antiderivativ mavjud. Shuningdek, antiderivativga ko'pincha doimiy belgi qo'shiladi, chunki doimiy bilan farq qiluvchi funktsiyalarning hosilalari mos keladi. Integralni topish jarayoni integrasiya deb ataladi.

Oddiy misol:

Doimiy ravishda antiderivativlarni hisoblamaslik uchun elementar funktsiyalar, ularni jadvalda umumlashtirish va tayyor qiymatlardan foydalanish qulay.

Talabalar uchun integrallarning to'liq jadvali

Aniq integral

Integral tushunchasi bilan ishlashda biz cheksiz kichik miqdorlar bilan ishlaymiz. Integral shaklning maydonini, bir jinsli bo'lmagan jismning massasini, bosib o'tgan masofani hisoblashda yordam beradi. notekis harakat yo'l va boshqalar. Shuni esda tutish kerakki, integral cheksiz yig'indidir katta miqdor cheksiz kichik shartlar.

Misol tariqasida, qandaydir funksiyaning grafigini tasavvur qiling. Funktsiya grafigi bilan chegaralangan figuraning maydonini qanday topish mumkin?

Integraldan foydalanish! Funktsiyaning koordinata o'qlari va grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani cheksiz kichik segmentlarga ajratamiz. Shu tarzda raqam ingichka ustunlarga bo'linadi. Ustunlar maydonlarining yig'indisi trapezoidning maydoni bo'ladi. Ammo esda tutingki, bunday hisob-kitob taxminiy natija beradi. Biroq, segmentlar qanchalik kichik va torroq bo'lsa, hisoblash qanchalik aniq bo'ladi. Agar biz ularni uzunligi nolga moyil bo'ladigan darajada kamaytirsak, u holda segmentlar maydonlarining yig'indisi rasmning maydoniga to'g'ri keladi. Bu aniq integral bo'lib, u quyidagicha yozilgan:

a va b nuqtalar integrasiya chegaralari deyiladi.

Bari Alibasov va "Integral" guruhi

Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud

Dumilar uchun integrallarni hisoblash qoidalari

Noaniq integralning xossalari

Noaniq integral qanday yechiladi? Bu erda biz noaniq integralning xossalarini ko'rib chiqamiz, bu misollarni yechishda foydali bo'ladi.

• Integralning hosilasi integralga teng:

• Konstanta integral belgisi ostidan chiqarilishi mumkin:

• Yig'indining integrali summasiga teng integrallar. Bu farq uchun ham amal qiladi:

Aniq integralning xossalari

• Lineerlik:

• Integratsiya chegaralari almashtirilsa, integral belgisi o'zgaradi:

• Da har qanday ball a, b Va Bilan:

Aniq integral yig'indining chegarasi ekanligini allaqachon bilib oldik. Lekin misolni yechishda ma'lum bir qiymatni qanday olish mumkin? Buning uchun Nyuton-Leybnits formulasi mavjud:

Integrallarni yechishga misollar

Quyida noaniq integrallarni topishning bir qancha misollarini ko'rib chiqamiz. Yechimning nozik tomonlarini o'zingiz aniqlashni taklif qilamiz va agar biror narsa tushunarsiz bo'lsa, sharhlarda savollar bering.

Materialni mustahkamlash uchun integrallarning amalda yechilishi haqida videoni tomosha qiling. Agar integral darhol berilmasa, umidsizlikka tushmang. Talabalar uchun professional xizmatga murojaat qiling va yopiq sirt ustidagi har qanday uch yoki egri integral sizning kuchingiz doirasida bo'ladi.

Antiderivativ funktsiya f(x) orasida (a; b) bu funksiya deyiladi F(x), bu tenglik har qanday kishi uchun amal qiladi X berilgan oraliqdan.

Agar doimiyning hosilasi ekanligini hisobga olsak BILAN nolga teng bo'lsa, tenglik to'g'ri bo'ladi. Shunday qilib, funktsiya f(x) ko'plab ibtidoiylarga ega F(x)+C, ixtiyoriy doimiy uchun BILAN, va bu antiderivativlar bir-biridan ixtiyoriy doimiy qiymat bilan farqlanadi.

Noaniq integralning ta'rifi.

Antiderivativ funktsiyalarning butun to'plami f(x) bu funksiyaning noaniq integrali deyiladi va belgilanadi .

ifoda deyiladi integral, A f(x) – integral funktsiyasi. Integrand funksiyaning differentsialini ifodalaydi f(x).

Noma'lum funktsiyaning differentsialini hisobga olgan holda topish harakati deyiladi noaniq integratsiya, chunki integratsiya natijasi bir nechta funktsiyadir F(x), va uning ibtidoiylari to'plami F(x)+C.

Noaniq integralning geometrik ma'nosi. Antiderivativ D(x) ning grafigi integral egri chiziq deyiladi. X0y koordinatalar sistemasida berilgan funksiyaning barcha anti hosilalari grafiklari C doimiysi qiymatiga bog’liq bo’lgan va bir-biridan 0y o’qi bo’ylab parallel siljish orqali olinadigan egri chiziqlar turkumini ifodalaydi. Yuqorida muhokama qilingan misol uchun bizda:

J 2 x^x = x2 + C.

Antiderivativlar oilasi (x + C) geometrik ravishda parabolalar to'plami bilan izohlanadi.

Agar antiderivativlar turkumidan birini topish kerak bo'lsa, u holda C konstantasini aniqlash imkonini beruvchi qo'shimcha shartlar o'rnatiladi. Odatda, bu maqsadda dastlabki shartlar o'rnatiladi: x = x0 argumenti bo'lganda, funktsiya D qiymatiga ega bo'ladi. (x0) = y0.

Misol. y = 2 x funktsiyaning x0 = 1 da 3 qiymatini oladigan anti hosilalaridan biri ekanligini topish talab qilinadi.

Kerakli antiderivativ: D(x) = x2 + 2.

Yechim. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Noaniq integralning asosiy xossalari

1. Noaniq integralning hosilasi integral funksiyaga teng:

2. Noaniq integralning differensiali integrasiya ifodasiga teng:

3. Muayyan funksiya differensialining noaniq integrali shu funksiyaning o‘zi va ixtiyoriy doimiyning yig‘indisiga teng:

4. Integral belgisidan doimiy koeffitsientni chiqarish mumkin:

5. Yig‘indining (farq) integrali integrallarning yig‘indisiga (farqiga) teng:

6. Mulk 4 va 5 xossalarning birikmasidir:

7. Noaniq integralning o'zgarmaslik xossasi:

Agar , Bu

8. Mulk:

Agar , Bu

Aslida, bu xususiyat o'zgaruvchan o'zgarish usuli yordamida integratsiyaning alohida holati bo'lib, keyingi bobda batafsilroq muhokama qilinadi.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

3. Integratsiya usuli bunda berilgan integral integralni (yoki ifodani) bir xil o'zgartirishlar va noaniq integralning xossalarini qo'llash orqali bir yoki bir nechta jadval integrallariga keltiriladi, deyiladi. to'g'ridan-to'g'ri integratsiya. Ushbu integralni jadvalga keltirishda ko'pincha quyidagi differentsial o'zgarishlar qo'llaniladi (operatsiya " differentsial belgiga obuna bo'lish»):

Umuman, f’(u)du = d(f(u)). Bu (formula ko'pincha integrallarni hisoblashda qo'llaniladi.

Integralni toping

Yechim. Keling, integralning xossalaridan foydalanamiz va bu integralni bir nechta jadvalga keltiramiz.

4. Almashtirish usuli bilan integratsiya.

Usulning mohiyati shundan iboratki, biz yangi o'zgaruvchini kiritamiz, bu o'zgaruvchi orqali integratsiyani ifodalaymiz va natijada biz integralning jadvalli (yoki oddiyroq) ko'rinishiga kelamiz.

Ko'pincha trigonometrik funktsiyalar va funktsiyalarni radikallar bilan birlashtirishda almashtirish usuli yordamga keladi.

Misol.

Noaniq integralni toping .

Yechim.

Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz. ifoda qilaylik X orqali z:

Olingan ifodalarni asl integralga almashtiramiz:

Antiderivativlar jadvalidan bizda .

Asl o'zgaruvchiga qaytish qoladi X:

Javob:

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Antiderivativ funktsiya. Funktsiya grafigi"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

Integral onlayn do'konida 11-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Parametrlar bilan algebraik masalalar, 9-11 sinflar
"10 va 11-sinflar uchun kosmosda qurilish bo'yicha interfaol vazifalar"

Antiderivativ funktsiya. Kirish

Bolalar, siz turli formulalar va qoidalar yordamida funksiyalarning hosilalarini qanday topishni bilasiz. Bugun biz operatsiyani o'rganamiz, hisoblashning teskarisi hosila. lotin tushunchasi ko'pincha ishlatiladi haqiqiy hayot. Sizga eslatib o'taman: hosila - bu funktsiyaning ma'lum bir nuqtadagi o'zgarish tezligi. Harakat va tezlikni o'z ichiga olgan jarayonlar bu atamalarda yaxshi tasvirlangan.

Bu masalani ko'rib chiqamiz: “To'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanuvchi jismning tezligi $V=gt$ formula bilan tavsiflanadi.Harakat qonunini tiklash talab qilinadi.
Yechim.
Biz formulani yaxshi bilamiz: $S"=v(t)$, bu erda S - harakat qonuni.
Bizning vazifamiz hosilasi $gt$ ga teng bo'lgan $S=S(t)$ funksiyani topishdan iborat. Diqqat bilan qarasangiz, $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$ ekanligini taxmin qilishingiz mumkin.
Bu masala yechimining to‘g‘riligini tekshirib ko‘ramiz: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Funktsiyaning hosilasini bilib, funksiyaning o'zini topdik, ya'ni teskari amalni bajardik.
Ammo bu daqiqaga e'tibor berishga arziydi. Bizning muammomizning yechimi aniqlashtirishni talab qiladi, agar topilgan funktsiyaga biron bir raqamni (doimiy) qo'shsak, hosilaning qiymati o'zgarmaydi: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Bolalar, diqqat qiling: bizning vazifamiz cheksiz to'plam yechimlar!
Agar muammo boshlang'ich yoki boshqa shartni ko'rsatmasa, yechimga doimiy qo'shishni unutmang. Masalan, bizning vazifamiz harakatning eng boshida tanamizning holatini ko'rsatishi mumkin. Keyin doimiyni hisoblash qiyin emas, hosil bo'lgan tenglamaga nolni qo'yish orqali biz doimiyning qiymatini olamiz.

Bu operatsiya nima deb ataladi?
Differensiallashning teskari amali integratsiya deyiladi.
Berilgan hosiladan funktsiyani topish - integratsiya.
Funktsiyaning o'zi antiderivativ deb ataladi, ya'ni funktsiyaning hosilasi olingan tasvir.
Antiderivativni $y=F"(x)=f(x)$ bosh harfi bilan yozish odatiy holdir.

Ta'rif. $y=F(x)$ funksiyasi $u=f(x)$ funksiyaning X oraliqdagi antiderivativi deyiladi, agar har qanday $xsX$ uchun $F'(x)=f(x)$ tenglik bajarilsa. .

uchun antiderivativlar jadvalini tuzamiz turli funktsiyalar. U eslatma sifatida chop etilishi va yodlanishi kerak.

Bizning jadvalimizda dastlabki shartlar ko'rsatilmagan. Bu shuni anglatadiki, jadvalning o'ng tomonidagi har bir ifodaga doimiy qo'shilishi kerak. Bu qoidaga keyinroq oydinlik kiritamiz.

Antiderivativlarni topish qoidalari

Keling, antiderivativlarni topishga yordam beradigan bir nechta qoidalarni yozaylik. Ularning barchasi farqlash qoidalariga o'xshash.

1-qoida. Yig'indining antiderivativi antiderivativlar yig'indisiga teng. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Misol.
$y=4x^3+cos(x)$ funksiyasi uchun anti hosilani toping.
Yechim.
Yig'indining antiderivativi antiderivativlar yig'indisiga teng bo'lsa, biz taqdim etilgan funktsiyalarning har biri uchun antiderivativni topishimiz kerak.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
U holda asl funktsiyaning anti hosilasi quyidagicha bo'ladi: $y=x^4+sin(x)$ yoki $y=x^4+sin(x)+C$ ko'rinishdagi istalgan funksiya.

2-qoida. Agar $F(x)$ $f(x)$ uchun antiderivativ boʻlsa, $k*F(x)$ $k*f(x)$ funksiyasi uchun antiderivativ hisoblanadi.(Koeffitsientni funksiya sifatida osongina olishimiz mumkin).

Misol.
Funksiyalarning antiderivativlarini toping:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Yechim.
a) $sin(x)$ ning antiderivativi minus $cos(x)$. Keyin asl funktsiyaning anti hosilasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: $y=-8cos(x)$.

B) $cos(x)$ ning antiderivativi $sin(x)$. Shunda asl funktsiyaning anti hosilasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) $x^2$ ning antiderivativi $\frac(x^3)(3)$. X ning antiderivativi $\frac(x^2)(2)$. 1 ning anti hosilasi x. Keyin asl funktsiyaning anti hosilasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$.

3-qoida. Agar $u=F(x)$ $y=f(x)$ funksiyasi uchun anti hosila bo‘lsa, $y=f(kx+m)$ funksiyasi uchun anti hosila $y=\frac(1) funksiya bo‘ladi. )(k)* F(kx+m)$.

Misol.
Quyidagi funksiyalarning antiderivativlarini toping:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Yechim.
a) $cos(x)$ ning antiderivativi $sin(x)$. U holda $y=cos(7x)$ funksiyasi uchun anti hosila $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$ funksiya bo‘ladi.

B) $sin(x)$ ning antiderivativi minus $cos(x)$. U holda $y=sin(\frac(x)(2))$ funksiyasi uchun antiderivativ $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) funksiyasi bo‘ladi. )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) $x^3$ ning antiderivativi $\frac(x^4)(4)$, keyin asl funktsiyaning antihosilasi $y=-\frac(1)(2)*\frac((-) 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$ kuchiga ifodani biroz soddalashtiring.
Ko'rsatkichli funktsiyaning anti hosilasi o'zi eksponensial funktsiya. Asl funktsiyaning antiderivativi $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac bo'ladi. (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Teorema. Agar X oraliqda $y=f(x)$ funksiyasi uchun $y=F(x)$ anti hosilasi bo‘lsa, $y=f(x)$ funksiyaning cheksiz ko‘p anti hosilasi bor va ularning barchasi $y=F( x)+S$ shaklida.

Agar yuqorida ko'rib chiqilgan barcha misollarda barcha antiderivativlar to'plamini topish kerak bo'lsa, u holda C doimiysi hamma joyda qo'shilishi kerak.
$y=cos(7x)$ funktsiyasi uchun barcha antiderivativlar quyidagi ko'rinishga ega: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
$y=(-2x+3)^3$ funktsiyasi uchun barcha antiderivativlar quyidagi ko'rinishga ega: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Misol.
Jismning tezligining vaqt boʻyicha oʻzgarish qonuni $v=-3sin(4t)$ berilgan boʻlsa, agar tananing boshlangʻich momentida ga teng koordinata boʻlsa, $S=S(t)$ harakat qonunini toping. 1.75.
Yechim.
$v=S’(t)$ ekan, berilgan tezlik uchun antiderivativni topishimiz kerak.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Ushbu muammoda u berilgan qo'shimcha shart- vaqtning dastlabki momenti. Bu $t=0$ degan ma'noni anglatadi.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Keyin harakat qonuni formula bilan tavsiflanadi: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar

1. Funksiyalarning anti hosilalarini toping:
a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Quyidagi funksiyalarning antiderivativlarini toping:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Jismning vaqt boʻyicha tezligining $v=4cos(6t)$ oʻzgarishining berilgan qonuniga koʻra, agar tananing boshlangʻich momentida $S=S(t)$ harakat qonunini toping. koordinatasi 2 ga teng.

Har bir matematik harakat uchun teskari harakat mavjud. Differensiallash harakati (funksiyalarning hosilalarini topish) uchun teskari harakat - integrasiya ham mavjud. Integrasiya orqali funksiya uning berilgan hosilasi yoki differentsialidan topiladi (qayta tiklanadi). Topilgan funksiya chaqiriladi antiderivativ.

Ta'rif. Differensial funksiya F(x) funktsiyaning antiderivativi deyiladi f(x) ma'lum bir oraliqda, agar hamma uchun X bu oraliqdan quyidagi tenglik amal qiladi: F′(x)=f (x).

Misollar. Funksiyalarga qarshi hosilalarni toping: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) (x²)′=2x boʻlgani uchun, taʼrifga koʻra, F (x)=x² funksiya f (x)=2x funksiyaning anti hosilasi boʻladi.

2) (sin3x)′=3cos3x. Agar f (x)=3cos3x va F (x)=sin3x ni belgilasak, u holda antiderivativning ta’rifi bo‘yicha quyidagilarga ega bo‘lamiz: F’(x)=f (x) va demak, F (x)=sin3x bo‘ladi. f ( x)=3cos3x uchun antiderivativ.

E'tibor bering (sin3x +5 )′= 3cos3x, va (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... umumiy shaklda biz yozishimiz mumkin: (sin3x +C)′= 3cos3x, Qayerda BILAN- biroz doimiy. Bu misollar har qanday differentsiallanuvchi funktsiya bitta hosilaga ega bo'lganda, differentsiallash harakatidan farqli o'laroq, integratsiya harakatining noaniqligini ko'rsatadi.

Ta'rif. Agar funktsiya F(x) funksiyaning antiderivatividir f(x) ma'lum bir oraliqda, bu funktsiyaning barcha antiderivativlari to'plami quyidagi shaklga ega:

F(x)+C, bu yerda C har qanday haqiqiy son.

Ko'rib chiqilayotgan intervaldagi f (x) funksiyaning barcha anti hosilalari F (x) + C to'plami noaniq integral deb ataladi va belgi bilan belgilanadi. ∫ (integral belgisi). Yozing: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Ifoda ∫f(x)dx o'qing: "x dan de x gacha integral ef."

f(x)dx- integral ifoda,

f(x)- integral funktsiya;

X integratsiya o'zgaruvchisi hisoblanadi.

F(x)- funktsiyaga qarshi hosila f(x),

BILAN- ba'zi doimiy qiymat.

Endi ko'rib chiqilgan misollarni quyidagicha yozish mumkin:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

d belgisi nimani anglatadi?

d— differensial belgi - ikki tomonlama maqsadga ega: birinchidan, bu belgi integral o'zgaruvchidan integratsiyani ajratadi; ikkinchidan, bu belgidan keyin keladigan hamma narsa sukut bo'yicha farqlanadi va integrandga ko'paytiriladi.

Misollar. Integrallarni toping: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Differensial belgidan keyin d xarajatlar XX, A R

∫ 2xrdx=rx²+S. Misol bilan solishtiring 1).

Keling, tekshirib ko'raylik. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Differensial belgidan keyin d xarajatlar R. Bu integratsiya o'zgaruvchisi degan ma'noni anglatadi R, va multiplikator X qandaydir doimiy qiymat deb hisoblash kerak.

∫ 2hrdr=r²x+S. Misollar bilan solishtiring 1) Va 3).

Keling, tekshirib ko'raylik. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).