Ushbu bo'lim darsni yaxshi tushunganlar uchun mo'ljallangan Noto'g'ri integrallar. Yechimlarga misollar, yoki hech bo'lmaganda ko'pini tushundim.

Noto'g'ri integrallar haqida gapiramiz birinchi turdagi cheksiz pastki chegara bilan:

7-misol

Bu integral cheksiz yuqori chegaraga ega "oddiy" noto'g'ri integraldan qanday farq qiladi? Yechim texnologiyasi nuqtai nazaridan deyarli hech narsa yo'q. Shuningdek, siz antiderivativni (noaniq integral) topishingiz kerak, shuningdek, integralni hisoblashda chegaradan foydalanish kerak. Farqi shundaki, integratsiyaning pastki chegarasini "minus cheksizlik" ga yo'naltirish kerak:

Yuqoridagilardan bunday noto'g'ri integralni hisoblashning aniq formulasi quyidagicha:

.

Bu misolda integrand uzluksiz va ustida:

ya'ni noto'g'ri integral ajralib chiqadi.

Bu erda asosiy narsa belgilar bilan ehtiyot bo'ling va buni unutmang. Qaerga ketayotganini diqqat bilan tushunishingiz kerak.

8-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Integrallashning cheksiz chegarali noto'g'ri integralni yechish usuli

Juda qiziq holat. Noto'g'ri integral birinchi turdagi Ikki cheksiz integratsiya chegarasi quyidagi shaklga ega:

Uni qanday hal qilish kerak? U ikkita noto'g'ri integralning yig'indisi sifatida ifodalanishi kerak:

.

Eslatma: Nol har qanday raqam bo'lishi mumkin, lekin nol odatda eng qulay hisoblanadi.

Agar ikkalasi ham o'ng tomondagi integrallar yaqinlashadi, keyin integralning o'zi yaqinlashadi

Agar kamida bitta o'ng tomondagi integrallar ajralib chiqadi, keyin integral ham ajralib chiqadi.

9-misol

Usulni qo'llashda yana bir muhim nuqtani ko'rsatish uchun biz oddiy misolni maxsus tanladik.

Integrasiya butun sonlar qatorida uzluksizdir.

Qoidaga ko'ra, integral integrallar yig'indisi sifatida taqdim etilishi kerak:

O'ng tomondagi ikkala integral yaqinlashsa, integral yaqinlashadi. Biz tekshiramiz:

- birlashadi.

- birlashadi.

Ikkala integral ham yaqinlashadi, ya'ni butun integral yaqinlashadi:

Endi e'tiborimizni integral funksiyaga qaratamiz. U shunday bo'ladi hatto.

(Ikki) cheksiz chegarali va shuning uchun simmetrik integrasiya intervallari bo'lgan noto'g'ri integrallarda paritetdan foydalanish mumkin. Aniq integralga o'xshab, integratsiya oralig'ini bo'lish va natijani ikki barobarga oshirish mumkin. Ya'ni, yechim qisqaroq yozilishi mumkin:

Nima uchun bu mumkin?

Juft funksiya integralining grafigi o‘qga nisbatan simmetrikdir OY. Demak, agar maydonning yarmi chekli bo'lsa (integral yaqinlashsa), u holda maydonning simmetrik yarmi ham chekli bo'ladi.

Agar maydonning yarmi cheksiz bo'lsa (integral ajralib chiqadi), shuning uchun simmetrik yarmi ham ajralib chiqadi.

10-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Integrasiya butun sonlar qatorida uzluksizdir. Qoidaga ko'ra, integral ikkita integralning yig'indisi sifatida ifodalanishi kerak:

O'ng tomonda integrallarning yaqinlashuvini tekshiramiz:

Birinchi integral ajralib chiqadi. Minus belgisi cheksiz kavisli trapezoidning x o'qi ostida joylashganligini ko'rsatadi.

O'ng tomonning ikkinchi integralining yaqinlashuvini tekshirishning hojati yo'q, chunki integral bo'lishi uchun

yaqinlashsa, ularning birlashishi zarur ikkalasi ham o'ng tomonning integrali.

Javob: noto'g'ri integral

farqlanadi.

Va endi juda muhim nuqta: integral funktsiyasi

hisoblanadi g'alati.

Cheksiz chegarali noto'g'ri integrallarda (ya'ni, simmetrik integrasiya oraliqlari) g'alatilikni QO'LLANISH EMAS!!!

Bu aniq integraldan farqi. U yerda Har doim ishonch bilan yozishingiz mumkin.

Cheksiz integratsiya chegarasi bilan noto'g'ri integral

Ba'zan bunday noto'g'ri integral birinchi turdagi noo'rin integral deb ham ataladi..gif" width="49" height="19 src=">.

Cheksiz pastki chegarali yoki ikkita cheksiz chegarali integrallar kamroq tarqalgan: .

Biz eng mashhur ishni ko'rib chiqamiz https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? Yo'q har doim emas. Integratsiyahttps://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">

Chizmada integratsiya funksiyasining grafigini tasvirlaylik. Ushbu holat uchun odatiy grafik va egri trapezoid quyidagicha ko'rinadi:

Noto'g'ri integralhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">, boshqacha aytganda, maydon ham cheksizdir. Shunday bo'lishi mumkin. Bunday holda ular noto'g'ri integral deb aytishadi farqlanadi.

2) Lekin. Qanchalik paradoksal bo'lmasin, cheksiz raqamning maydoni ... cheklangan songa teng bo'lishi mumkin! Masalan: .. Ikkinchi holda, noto'g'ri integral birlashadi.

Agar cheksiz kavisli trapetsiya o'qdan pastda joylashgan bo'lsa nima bo'ladi?.gif" width="217" height="51 src=">.

: .

1-misol

Integral funktsiyasi https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23">, ya'ni hamma narsa yaxshi va noto'g'ri integralni "" yordamida hisoblash mumkin. standart” usuli.

Bizning formulamizni qo'llash https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">

Ya'ni, noto'g'ri integral ajralib chiqadi va soyali egri trapezoidning maydoni cheksizlikka teng.

Noto'g'ri integrallarni yechishda asosiy elementar funksiyalarning grafiklari qanday ko'rinishini bilish juda muhimdir!

2-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Keling, rasm chizamiz:

Birinchidan, biz quyidagilarni ta'kidlaymiz: integratsiya yarim oraliqda uzluksizdir. Yaxshi..gif" kengligi "327" balandligi "53">

(1) Biz quvvat funktsiyasining eng oddiy integralini olamiz (bu maxsus holat ko'plab jadvallarda mavjud). Keyingi hisob-kitoblarga xalaqit bermasligi uchun darhol minus belgisini chegara belgisidan tashqariga o'tkazish yaxshiroqdir.

(2) Nyuton-Leybnits formulasi yordamida yuqori va pastki chegaralarni almashtiramiz.

(3) Biz shuni ta'kidlaymizki, https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src="> (Janoblar, buni uzoq vaqtdan beri tushunish kerak edi) ) va javobni soddalashtiring.

Bu erda cheksiz kavisli trapezoidning maydoni chekli sondir! Ajablanarlisi, lekin haqiqat.

3-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Integrand uzluksiz bo'ladi.

Birinchidan, antiderivativ funktsiyani (noaniq integral) topishga harakat qilaylik.

Jadval integrallaridan qaysi biri o'xshash? Bu menga arktangentni eslatadi: . Bu mulohazalar maxrajda kvadrat bo'lsa yaxshi bo'lardi, degan fikrni bildiradi. Bu almashtirish orqali amalga oshiriladi.

Keling, almashtiramiz:

Tekshirish, ya'ni olingan natijani farqlash uchun har doim foydalidir:

Endi biz noto'g'ri integralni topamiz:

(1) Biz yechimni formulaga muvofiq yozamiz . Keyingi hisob-kitoblarga xalaqit bermasligi uchun konstantani darhol chegara belgisidan tashqariga o'tkazish yaxshiroqdir.

(2) Biz yuqori va pastki chegaralarni Nyuton-Leybnits formulasiga muvofiq almashtiramiz..gif" width="56" height="19 src=">? Qayta-qayta tavsiya etilgan maqoladagi arktangens grafigiga qarang.

(3) Biz yakuniy javobni olamiz. Yoddan bilish foydali bo'lgan haqiqat.

Ilg‘or o‘quvchilar noaniq integralni alohida topa olmasligi va almashtirish usulini qo‘llamasliklari mumkin, aksincha, funksiyani differentsial belgisi ostida almashtirish va noto‘g‘ri integralni “darhol” yechish usulidan foydalanishlari mumkin. Bunday holda, yechim quyidagicha ko'rinishi kerak:

“

Integratsiya funksiyasi uzluksiz https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104">
“

4-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

! Bu odatiy misol va shunga o'xshash integrallar juda tez-tez uchraydi. Yaxshilab ishlang! Antiderivativ funktsiya bu erda to'liq kvadratni ajratish usuli yordamida topiladi.

5-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Bu integralni batafsil yechish mumkin, ya'ni birinchi navbatda o'zgaruvchini o'zgartirish orqali noaniq integral topiladi. Yoki siz uni "darhol" hal qilishingiz mumkin - funktsiyani differentsial belgi ostida qo'shish orqali.

Cheklanmagan funksiyalarning noto'g'ri integrallari

Ba'zan bunday noto'g'ri integrallar ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar deb ataladi. Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar odatiy aniq integral ostida hiyla "shifrlangan" va aynan bir xil ko'rinadi: ..gif" width="39" height="15 src=">, 2) yoki nuqtada , 3) yoki bir vaqtning o'zida ikkala nuqtada, 4) yoki hatto integratsiya segmentida.Biz birinchi ikkita holatni ko'rib chiqamiz, 3-4 holatlar uchun maqola oxirida qo'shimcha darsga havola mavjud.

Buni aniq qilish uchun bir misol: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41">, keyin bizning maxrajimiz nolga tushadi, ya'ni, bu nuqtada integral oddiygina mavjud emas!

Umuman olganda, noto'g'ri integralni tahlil qilishda har doim ikkala integratsiya chegarasini integrandga almashtirishingiz kerak..jpg" alt="Noto'g'ri integral, integratsiyaning pastki chegarasidagi uzilish nuqtasi" width="323" height="380">!}

Bu erda hamma narsa birinchi turdagi integralda deyarli bir xil.
Bizning integralimiz yuqoridan chegaralanmagan soyali kavisli trapezoidning maydoniga son jihatdan teng. Bunday holda, ikkita variant bo'lishi mumkin: noto'g'ri integral ajralib chiqadi (maydon cheksiz) yoki noto'g'ri integral cheklangan songa teng (ya'ni cheksiz raqamning maydoni chekli!).

Faqat Nyuton-Leybnits formulasini o'zgartirish qoladi. Bundan tashqari, chegara yordamida o'zgartiriladi, lekin chegara endi cheksizlikka moyil emas, balki qadrlashhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> o'ngda.

6-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Integrand bir nuqtada cheksiz uzilishga ega (yuqori chegara bilan hamma narsa yaxshi ekanligini og'zaki yoki qoralama tekshirishni unutmang!)

Birinchidan, noaniq integralni hisoblaymiz:

O'zgartirish:

Noto'g'ri integralni hisoblaymiz:

(1) Bu yerda nima yangiliklar bor? Yechim texnologiyasi nuqtai nazaridan deyarli hech narsa yo'q. O'zgargan yagona narsa - bu chegara belgisi ostidagi yozuv: . Qo'shish biz o'ngdagi qiymatga intilayotganimizni anglatadi (bu mantiqiy - grafikaga qarang). Chegara nazariyasidagi bunday chegara bir tomonlama chegara deyiladi. Bunday holda bizda o'ng qo'l chegarasi mavjud.

(2) Nyuton-Leybnits formulasi yordamida yuqori va pastki chegaralarni almashtiramiz.

(3) Keling, tushunamiz https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src=">. Ifodaning qayerga ketishi kerakligini qanday aniqlash mumkin? Taxminan aytganda , sizda faqat qiymatni almashtirishingiz kerak, to'rtdan uch qismini almashtiring va shuni ko'rsating .. Biz javobni taraymiz.

Bunday holda, noto'g'ri integral manfiy songa teng bo'ladi.

7-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

8-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Agar nuqtada integrand mavjud bo'lmasa

Bunday noto'g'ri integral uchun cheksiz kavisli trapezoid asosan quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda hamma narsa mutlaqo bir xil, faqat bizning chegaramiz bunga intiladi qadrlashhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> biz sinish nuqtasiga cheksiz yaqinlashishimiz kerak chap.

Birinchi turdagi noto'g'ri integrallar. Mohiyatan, bu bir xil aniq integraldir, lekin integrallar cheksiz yuqori yoki pastki integrasiya chegaralariga ega bo'lgan yoki har ikkala integral chegarasi cheksiz bo'lgan hollarda.

Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar. Mohiyatan, bu bir xil aniq integraldir, lekin integral cheklanmagan funksiyalardan olingan hollarda, cheklangan sonli nuqtadagi integral cheksizlikka aylanib, chekli integrasiya segmentiga ega emas.

Taqqoslash uchun. Aniq integral tushunchasini kiritishda funksiya deb faraz qilingan edi f(x) [ oraliqda uzluksiz a, b], va integratsiya segmenti chekli, ya'ni u cheksizlik bilan emas, balki sonlar bilan cheklangan. Ba'zi vazifalar ushbu cheklovlardan voz kechish zarurligiga olib keladi. Noto'g'ri integrallar shunday paydo bo'ladi.

Noto'g'ri integralning geometrik ma'nosi Bu juda oddiy bo'lib chiqadi. Funktsiyaning grafigi bo'lgan holatda y = f(x) eksa ustida joylashgan ho'kiz, aniq integral egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya maydonini ifodalaydi. y = f(x) , x o'qi va ordinatalar x = a , x = b. O'z navbatida, noto'g'ri integral chiziqlar orasiga o'ralgan cheksiz (cheksiz) egri chiziqli trapezoidning maydonini ifodalaydi. y = f(x) (quyidagi rasmda - qizil), x = a va abscissa o'qi.

Noto'g'ri integrallar boshqa cheksiz intervallar uchun ham xuddi shunday aniqlanadi:

Cheksiz kavisli trapetsiyaning maydoni chekli son bo'lishi mumkin, bu holda noto'g'ri integral konvergent deb ataladi. Maydon ham cheksiz bo'lishi mumkin va bu holda noto'g'ri integral divergent deb ataladi.

Noto'g'ri integral o'rniga integral chegarasidan foydalanish. Noto'g'ri integralni baholash uchun aniq integralning chegarasidan foydalanish kerak. Agar bu chegara mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa (cheksizlikka teng bo'lmasa), unda noto'g'ri integral konvergent deb ataladi, aks holda - divergent. O'zgaruvchining chegara belgisi ostida nimaga moyilligi biz birinchi turdagi noto'g'ri integral yoki ikkinchi turdagi integral bilan ishlayotganimizga bog'liq. Keling, bu haqda hozir bilib olaylik.

Birinchi turdagi noto'g'ri integrallar - cheksiz chegaralar va ularning yaqinlashuvi

Cheksiz yuqori chegarali noto'g'ri integrallar

Demak, noto‘g‘ri integral yozish odatdagi aniq integraldan integrasiyaning yuqori chegarasi cheksiz ekanligi bilan farq qiladi.

Ta'rif. Uzluksiz funktsiyani integrallashning cheksiz yuqori chegarasi bilan noto'g'ri integral f(x) dan oraliqda a oldin ∞ bu funksiyaning integralining integrallashning yuqori chegarasi bilan chegarasi deyiladi b va integratsiyaning pastki chegarasi a integratsiyaning yuqori chegarasi cheksiz o'sishi sharti bilan, ya'ni.

.

Agar bu chegara mavjud bo'lsa va cheksizlikdan ko'ra qandaydir songa teng bo'lsa, u holda noto'g'ri integral konvergent deyiladi, va chegara teng bo'lgan son uning qiymati sifatida qabul qilinadi. Aks holda noto'g'ri integral divergent deyiladi va unga hech qanday ma'no berilmaydi.

1-misol. Noto'g'ri integralni hisoblang(agar u birlashsa).

Yechim. Noto'g'ri integralning ta'rifiga asoslanib, biz topamiz

Chegara mavjud va 1 ga teng bo'lgani uchun, bu noto'g'ri integral yaqinlashadi va 1 ga teng.

Quyidagi misolda integral 1-misoldagi kabi deyarli bir xil, faqat x darajasi ikkita emas, balki alfa harfi bo'lib, konvergentsiya uchun noto'g'ri integralni o'rganish vazifasi qo'yilgan. Ya'ni, savolga javob berish kerak: bu noto'g'ri integral alfa ning qaysi qiymatlarida yaqinlashadi va qaysi qiymatlarda ajralib chiqadi?

2-misol. Noto'g'ri integralni yaqinlashish uchun tekshiring(integratsiyaning pastki chegarasi noldan katta).

Yechim. Keling, avval shunday deb taxmin qilaylik, keyin

Olingan ifodada biz chegaraga o'tamiz:

O'ng tarafdagi chegara mavjudligini va qachon nolga teng ekanligini ko'rish oson, ya'ni qachon mavjud emas, ya'ni.

Birinchi holda, ya'ni qachon . Agar , keyin va mavjud emas.

Tadqiqotimizning xulosasi quyidagicha: bu noto'g'ri integral yaqinlashadi da va farqlanadi da .

O'rganilayotgan noto'g'ri integral turiga Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash , siz unga juda o'xshash quyidagi formulani olishingiz mumkin:

.

Bu umumlashtirilgan Nyuton-Leybnits formulasi.

3-misol. Noto'g'ri integralni hisoblang(agar u birlashsa).

Ushbu integralning chegarasi mavjud:

Asl integralni ifodalovchi yig'indini tashkil etuvchi ikkinchi integral:

Ushbu integralning chegarasi ham mavjud:

.

Biz ikkita integralning yig'indisini topamiz, bu ham ikkita cheksiz chegarali dastlabki noto'g'ri integralning qiymati:

Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar - cheksiz funktsiyalardan va ularning yaqinlashuvidan

Funktsiyaga ruxsat bering f(x) dan segmentida berilgan a oldin b va unda cheksizdir. Faraz qilaylik, funksiya nuqtada cheksizlikka boradi b , segmentning boshqa barcha nuqtalarida esa uzluksiz.

Ta'rif. Funktsiyaning noto'g'ri integrali f(x) dan segmentida a oldin b bu funksiyaning integralining integrallashning yuqori chegarasi bilan chegarasi deyiladi c , agar intilish paytida c Kimga b funksiya chegarasiz va nuqtada ortadi x = b funksiya aniqlanmagan, ya'ni.

.

Agar bu chegara mavjud bo'lsa, ikkinchi turdagi noto'g'ri integral konvergent deb ataladi, aks holda u divergent deb ataladi.

Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, biz hosil qilamiz.

Hozir shu yerdamisiz? =) Yo'q, men hech kimni qo'rqitmoqchi emas edim, shunchaki noto'g'ri integrallar mavzusi oliy matematika va boshqa aniq fanlarni e'tiborsiz qoldirmaslik qanchalik muhimligini juda yaxshi tasvirlab beradi. Darsni o'rganish uchun kerak bo'lgan hamma narsa veb-saytda - batafsil va ochiq shaklda, agar xohlasangiz ...

Shunday qilib, keling, bundan boshlaylik. Majoziy ma'noda noto'g'ri integral "ilg'or" aniq integraldir va aslida ular bilan unchalik ko'p qiyinchiliklar mavjud emas va bundan tashqari, noto'g'ri integral juda yaxshi geometrik ma'noga ega.

Noto'g'ri integralni baholash nimani anglatadi?

Noto'g'ri integralni hisoblang - bu NUMBER ni topishni anglatadi(aniq integral bilan bir xil), yoki farqlanishini isbotlang(ya'ni, siz raqam o'rniga cheksizlik bilan yakunlanasiz).

Noto'g'ri integrallarning ikki turi mavjud.

Integrallashning cheksiz chegara(lar)i bilan noto'g'ri integral

Ba'zan bunday noto'g'ri integral deyiladi birinchi turdagi noto'g'ri integrali. Umuman olganda, cheksiz chegarali noto'g'ri integral ko'pincha quyidagicha ko'rinadi: . U aniq integraldan qanday farq qiladi? Yuqori chegarada. Bu cheksiz: .

Cheksiz pastki chegarasi yoki ikkita cheksiz chegarasi bo'lgan integrallar kamroq tarqalgan: , va biz ularni keyinroq ko'rib chiqamiz - siz tushunganingizda :)

Xo'sh, endi eng mashhur ishni ko'rib chiqaylik. Ko'pgina misollarda integral funktsiyasi mavjud davomiy orasida va bu muhim fakt avval tekshirilishi kerak! Chunki bo'shliqlar mavjud bo'lsa, unda qo'shimcha nuanslar mavjud. Aniqlik uchun, shunday bo'lsa ham, odatiy deb faraz qilaylik kavisli trapezoid quyidagicha ko'rinadi:

E'tibor bering, u cheksiz (o'ngda chegaralanmagan) va noto'g'ri integral son jihatdan uning maydoniga teng. Quyidagi variantlar mumkin:

1) Aqlga keladigan birinchi fikr: “chunki raqam cheksizdir, demak ", boshqacha aytganda, maydon ham cheksizdir. Shunday bo'lishi mumkin. Bunday holda ular noto'g'ri integral deb aytishadi farqlanadi.

2) Lekin. Qanchalik paradoksal bo'lmasin, cheksiz raqamning maydoni ... cheklangan songa teng bo'lishi mumkin! Masalan: . Bu haqiqat bo'lishi mumkinmi? Osonlik bilan. Ikkinchi holda, noto'g'ri integral birlashadi.

3) Uchinchi variant haqida birozdan keyin.

Noto'g'ri integral qanday hollarda ajraladi va qanday hollarda yaqinlashadi? Bu integralga bog'liq va biz tez orada aniq misollarni ko'rib chiqamiz.

Agar cheksiz kavisli trapezoid o'q ostida joylashgan bo'lsa nima bo'ladi? Bunday holda, noto'g'ri integral (ajraladi) yoki chekli manfiy songa teng.

Shunday qilib, noto'g'ri integral manfiy bo'lishi mumkin.

Muhim! Agar sizga echish uchun biron-bir noto'g'ri integral berilsa, umuman olganda, hech qanday hudud haqida gap yo'q va chizmani qurishning hojati yo'q. Men noto'g'ri integralning geometrik ma'nosini faqat materialni tushunishni osonlashtirish uchun tushuntirdim.

Noto'g'ri integral aniq integralga juda o'xshash bo'lganligi sababli, Nyuton-Leybnits formulasini eslaylik: . Aslida, formula noto'g'ri integrallarga ham tegishli, faqat uni biroz o'zgartirish kerak. Farqi nimada? Integratsiyaning cheksiz yuqori chegarasida: . Ehtimol, ko'pchilik bu allaqachon chegaralar nazariyasini qo'llashdan hayratlanarli deb taxmin qilishgan va formula quyidagicha yoziladi: .

Aniq integraldan qanday farqi bor? Hech qanday maxsus narsa yo'q! Aniq integralda bo'lgani kabi, siz antiderivativ funktsiyani (noaniq integral) topa bilishingiz va Nyuton-Leybnits formulasini qo'llay olishingiz kerak. Qo'shilgan yagona narsa - bu limitni hisoblash. Kim ular bilan yomon kun kechirsa, saboq olsin Funktsiya chegaralari. Yechimlarga misollar, chunki armiyaga qaraganda kechroq.

Keling, ikkita klassik misolni ko'rib chiqaylik:

1-misol

Aniqlik uchun men rasm chizaman, garchi yana bir bor ta'kidlayman, amalda Ushbu vazifada chizmalarni qurishning hojati yo'q.

Integratsiya funktsiyasi yarim oraliqda uzluksizdir, ya'ni hamma narsa yaxshi va noto'g'ri integralni "standart" usul bilan hisoblash mumkin.

Bizning formulamizni qo'llash va muammoning yechimi quyidagicha ko'rinadi:

Ya'ni, noto'g'ri integral ajralib chiqadi va soyali egri trapezoidning maydoni cheksizlikka teng.

Ko'rib chiqilgan misolda bizda eng oddiy jadval integrali va aniq integraldagi kabi Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash texnikasi mavjud. Ammo bu formula chegara belgisi ostida qo'llaniladi. "Dinamik" o'zgaruvchining odatiy harfi o'rniga "be" harfi paydo bo'ladi. Bu chalkashtirmaslik yoki chalkashtirmaslik kerak, chunki har qanday harf standart "X" dan yomonroq emas.

Agar nima uchun da ni tushunmasangiz, bu juda yomon, yoki siz eng oddiy chegaralarni tushunmaysiz (va umuman chegara nima ekanligini tushunmaysiz) yoki logarifmik funktsiyaning grafigi qanday ko'rinishini bilmaysiz. Ikkinchi holda, darsga qatnashing Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari.

Noto'g'ri integrallarni yechishda asosiy elementar funksiyalarning grafiklari qanday ko'rinishini bilish juda muhimdir!

Tugallangan vazifa quyidagicha ko'rinishi kerak:

“

! Misol tayyorlashda biz har doim yechimni to'xtatamiz va integrand bilan nima sodir bo'lishini ko'rsatamiz – integratsiya oralig'ida uzluksizmi yoki yo'qmi?. Shu bilan biz noto'g'ri integralning turini aniqlaymiz va keyingi harakatlarni asoslaymiz.

2-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Keling, rasm chizamiz:

Birinchidan, biz quyidagilarni ta'kidlaymiz: integratsiya yarim oraliqda uzluksizdir. Kaput. Formula yordamida hal qilamiz :

(1) Biz quvvat funktsiyasining eng oddiy integralini olamiz (bu maxsus holat ko'plab jadvallarda mavjud). Keyingi hisob-kitoblarga xalaqit bermasligi uchun darhol minus belgisini chegara belgisidan tashqariga o'tkazish yaxshiroqdir.

(2) Nyuton-Leybnits formulasi yordamida yuqori va pastki chegaralarni almashtiramiz.

(3) Biz (Janoblar, buni uzoq vaqt oldin tushunish kerak edi) va javobni soddalashtiramiz.

Bu erda cheksiz kavisli trapezoidning maydoni chekli sondir! Ajablanarlisi, lekin haqiqat.

Tugallangan misol shunday ko'rinishi kerak:

“

Integratsiya funksiyasi uzluksiz

“

Agar integral kabi - bilan duch kelsangiz nima qilish kerak uzilish nuqtasi integratsiya oralig'ida? Bu misolda matn terish xatosi borligini anglatadi. (ehtimol), yoki ta'limning ilg'or darajasi haqida. Ikkinchi holda, tufayli qo'shilish xususiyatlari, biz oraliqlarda ikkita noto'g'ri integralni ko'rib chiqishimiz va keyin yig'indi bilan ishlashimiz kerak.

Ba'zan xato yoki niyat tufayli noto'g'ri integral bo'lishi mumkin umuman mavjud emas, shuning uchun, masalan, agar siz “x” ning kvadrat ildizini yuqoridagi integralning maxrajiga qo'ysangiz, u holda integrallash oralig'ining bir qismi integralni aniqlash sohasiga umuman kiritilmaydi.

Bundan tashqari, noto'g'ri integral hatto barcha "ko'rinadigan farovonlik" bilan ham mavjud bo'lmasligi mumkin. Klassik misol: . Kosinusning aniqligi va uzluksizligiga qaramay, bunday noto'g'ri integral mavjud emas! Nega? Bu juda oddiy, chunki:
- mavjud emas tegishli chegara.

Va bunday misollar, kamdan-kam bo'lsa-da, amalda uchraydi! Shunday qilib, konvergentsiya va divergensiyadan tashqari, to'g'ri javobga ega bo'lgan yechimning uchinchi natijasi ham mavjud: "noto'g'ri integral yo'q".

Shuni ham ta'kidlash kerakki, noto'g'ri integralning qat'iy ta'rifi limit orqali aniq berilgan va xohlovchilar u bilan o'quv adabiyotlarida tanishishlari mumkin. Xo'sh, biz amaliy darsni davom ettiramiz va yanada mazmunli vazifalarga o'tamiz:

3-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Birinchidan, antiderivativ funktsiyani (noaniq integral) topishga harakat qilaylik. Agar buni bajara olmasak, tabiiyki, biz noto'g'ri integralni ham yecha olmaymiz.

Jadval integrallaridan qaysi biri o'xshash? Bu menga arktangentni eslatadi: . Bu mulohazalar maxrajda kvadrat bo'lsa yaxshi bo'lardi, degan fikrni bildiradi. Bu almashtirish orqali amalga oshiriladi.

Keling, almashtiramiz:

Noaniq integral topildi, bu holda doimiyni qo'shishning ma'nosi yo'q.

Loyihani tekshirish, ya'ni olingan natijani farqlash har doim foydalidir:

Asl integral olindi, ya'ni noaniq integral to'g'ri topildi.

Endi biz noto'g'ri integralni topamiz:

(1) Biz yechimni formulaga muvofiq yozamiz . Keyingi hisob-kitoblarga xalaqit bermasligi uchun konstantani darhol chegara belgisidan tashqariga o'tkazish yaxshiroqdir.

(2) Yuqori va pastki chegaralarni Nyuton-Leybnits formulasiga muvofiq almashtiramiz. Nima uchun da ? Tavsiya etilgan maqoladagi arktangens grafigiga qarang.

(3) Biz yakuniy javobni olamiz. Yoddan bilish foydali bo'lgan haqiqat.

Ilg‘or o‘quvchilar noaniq integralni alohida topa olmasligi va almashtirish usulini qo‘llamasliklari mumkin, aksincha, funksiyani differentsial belgisi ostida almashtirish va noto‘g‘ri integralni “darhol” yechish usulidan foydalanishlari mumkin. Bunday holda, yechim quyidagicha ko'rinishi kerak:

“

Integrand uzluksiz bo'ladi.

“

4-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

! Bu odatiy misol va shunga o'xshash integrallar juda tez-tez uchraydi. Yaxshilab ishlang! Bu erda antiderivativ funktsiya to'liq kvadratni tanlash usuli yordamida topiladi; usul haqida batafsil ma'lumotni darsda topish mumkin Ayrim kasrlarni integrallash.

5-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Bu integralni batafsil yechish mumkin, ya'ni birinchi navbatda o'zgaruvchini o'zgartirish orqali noaniq integral topiladi. Yoki siz uni "darhol" hal qilishingiz mumkin - funktsiyani differentsial belgi ostida qo'shish orqali. Kimda matematika bilimi bor?

Dars oxirida to'liq echimlar va javoblar.

Integratsiyaning cheksiz pastki chegarasiga ega noto'g'ri integrallarning yechimlari misollarini sahifada topish mumkin. Noto'g'ri integrallarni yechishning samarali usullari. U erda biz integratsiyaning ikkala chegarasi ham cheksiz bo'lgan holatni tahlil qildik.

Cheklanmagan funksiyalarning noto'g'ri integrallari

Yoki ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar. Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar odatdagi aniq integral ostida hiyla-nayrang bilan "shifrlangan" va aynan bir xil ko'rinadi: Lekin, aniq integraldan farqli o'laroq, integral cheksiz uzilishga duchor bo'ladi (mavjud emas): 1) nuqtada , 2) yoki nuqtada , 3) ​​yoki ikkala nuqtada birdaniga, 4) yoki hatto integratsiya segmentida. Biz birinchi ikkita holatni ko'rib chiqamiz, 3-4 holatlar uchun maqola oxirida qo'shimcha darsga havola mavjud.

Buni tushunish uchun bir misol: . Bu aniq integralga o'xshaydi. Lekin, aslida, bu ikkinchi turdagi noto'g'ri integraldir; agar biz pastki chegara qiymatini integrandga almashtirsak, bizning maxrajimiz nolga tushadi, ya'ni bu nuqtada integratsiya mavjud emas!

Umuman olganda, noto'g'ri integralni tahlil qilishda har doim ikkala integratsiya chegarasini integrandga almashtirishingiz kerak. Shu munosabat bilan, keling, yuqori chegarani tekshiramiz: . Bu yerda hammasi yaxshi.

Ko'rib chiqilayotgan noto'g'ri integral turi uchun egri chiziqli trapezoid asosan quyidagicha ko'rinadi:

Bu erda hamma narsa birinchi turdagi integralda deyarli bir xil.

Bizning integralimiz yuqoridan chegaralanmagan soyali kavisli trapezoidning maydoniga son jihatdan teng. Bunday holda, ikkita variant bo'lishi mumkin*: noto'g'ri integral ajraladi (maydon cheksiz) yoki noto'g'ri integral cheklangan songa teng (ya'ni cheksiz raqamning maydoni chekli!).

* sukut bo'yicha biz odatda noto'g'ri integral mavjud deb taxmin qilamiz

Faqat Nyuton-Leybnits formulasini o'zgartirish qoladi. Bundan tashqari, chegara yordamida o'zgartiriladi, lekin chegara endi cheksizlikka moyil emas, balki o'ngdagi qiymatga. Chizmadan kuzatib borish oson: eksa bo'ylab biz cheksiz yaqin sinish nuqtasiga yaqinlashishimiz kerak o'ngda.

Keling, bu amalda qanday amalga oshirilayotganini ko'rib chiqaylik.

6-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Integrand bir nuqtada cheksiz uzilishga ega (yuqori chegara bilan hamma narsa yaxshi ekanligini og'zaki yoki qoralama tekshirishni unutmang!)

Birinchidan, noaniq integralni hisoblaymiz:

O'zgartirish:

Agar siz almashtirishda qiyinchiliklarga duch kelsangiz, darsga murojaat qiling Noaniq integralda almashtirish usuli.

Noto'g'ri integralni hisoblaymiz:

(1) Bu yerda nima yangiliklar bor? Yechim texnologiyasi nuqtai nazaridan deyarli hech narsa yo'q. O'zgargan yagona narsa - bu chegara belgisi ostidagi yozuv: . Qo'shish biz o'ngdagi qiymatga intilayotganimizni anglatadi (bu mantiqiy - grafikaga qarang). Chegara nazariyasidagi bunday chegara deyiladi bir tomonlama chegara. Bu holatda bizda bor o'ng qo'l chegarasi.

(2) Nyuton-Leybnits formulasi yordamida yuqori va pastki chegaralarni almashtiramiz.

(3) ga murojaat qilaylik. Ifoda qayerga ketayotganini qanday aniqlash mumkin? Taxminan aytganda, siz shunchaki qiymatni unga almashtirishingiz kerak, to'rtdan uch qismini almashtiring va shuni ko'rsating. Keling, javobni ko'rib chiqaylik.

Bunday holda, noto'g'ri integral manfiy songa teng bo'ladi. Bunda hech qanday jinoyat yo'q, faqat mos keladigan kavisli trapezoid eksa ostida joylashgan.

Va endi mustaqil echimlar uchun ikkita misol.

7-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

8-misol

Noto'g'ri integralni hisoblang yoki uning divergensiyasini o'rnating.

Agar nuqtada integrand mavjud bo'lmasa

Bunday noto'g'ri integral uchun cheksiz kavisli trapezoid printsipial jihatdan shunday ko'rinadi.

2Birinchi turdagi noto'g'ri integrallar shakldagi integrallar deyiladi Integratsiya butun integrallash kesimida uzluksiz deb qabul qilinadi.

2 Agar chegara mavjud bo'lsa va chekli bo'lsa, unda ular noto'g'ri integral yaqinlashadi va teng deb aytadilar.

Integrallar va shunga o'xshash tarzda aniqlanadi:

(8.21)
Qayerda A- har qanday haqiqiy raqam. Bundan tashqari, ular oxirgi integral haqida, agar uning ikkala tarkibiy integrali yaqinlashsa va faqat yaqinlashadi, deyishadi.

Muammo 8.10.

Yechim.

Shuning uchun integral ajralib chiqadi.

Muammo 8.11. Noto'g'ri integralni hisoblang.

Yechim.

Bu integral yaqinlashadi.

2 Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar shakldagi integrallar deyiladi: , bu yerda integrand f(x) chekli segmentda cheksiz uzilishlarga ega [ a; b]. Ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallar [ intervaldagi uzilish nuqtalarining joylashishiga qarab turlicha aniqlanadi. a; b].

1) Faraz qilaylik, funksiya f(x) integratsiya sohasining qandaydir ichki nuqtasida cheksiz uzilishga ega ( cÎ( a; b)) Segmentning boshqa nuqtalarida [ a; b] funksiya uzluksiz deb qabul qilinadi.

Keyin, agar chegaralar mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa, ular integral yaqinlashadi va teng deb aytadilar.

. (8.22)
2) Funktsiyaning yagona uzilish nuqtasi bo'lsin f(x) nuqta bilan mos keladi A

. (8.23)
3) Funktsiyaning yagona uzilish nuqtasi bo'lsin f(x) nuqta bilan mos keladi b. Agar chegara mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa, u holda integral yaqinlashadi va unga teng bo'ladi.

. (8.24)
Butun e > 0 va d > 0 deb faraz qilinadi.

Muammo 8.12. Noto'g'ri integralni hisoblang.

Yechim. x= 2. Shuning uchun,

Muammo 8.13. Noto'g'ri integralni hisoblang.

Yechim. Integrand nuqtada ikkinchi turdagi uzilishga ega x= 0 (integratsiya hududi ichida). Demak,

Birinchi chegara mavjud va cheklangan, lekin ikkinchi chegara cheksizlikka teng (at). Shuning uchun bu integral ajralib chiqadi.

9-bob. Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari

§9.1. Ta'rif n-o'lchovli Evklid fazosi Rn.

Ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalarini o'rganishga o'tishdan oldin, kontseptsiyani kiritish foydali bo'ladi n-har qanday uchun o'lchovli bo'shliq n = 1, 2, 3,… .

2 nuqta x n-o'lchovli fazo (vektor) tartiblangan to'plamdir n haqiqiy raqamlar.

Raqam chaqiriladi i vektorning koordinatasi.

2 Ikki nuqta orasidagi masofa n-o'lchovli fazo va formula bilan aniqlanadi:

Nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofa x vektorning moduli deb ataladi x va belgilangan. (9.1) formuladan kelib chiqadiki.

IN n-o'lchovli fazoda skalyar mahsulot tushunchasi tabiiy ravishda kiritilgan:

Vektorlar orasidagi burchak x Va y formula bilan aniqlash mumkin:

Avvalgidek, vektorlar x Va y perpendikulyar bo'ladi, agar ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lsa.

2 Barcha nuqtalar to'plami n-(9.1) formula bo'yicha masofa aniqlangan va skalyar ko'paytma chaqiriladigan o'lchovli fazo n-o'lchovli Evklid vektor fazosi va bilan belgilanadi.

Qachon n= 1 bo'shliq chiziq bilan mos keladi, holatda n= 2 - tekislik bilan va holatda n= 3 - bo'sh joy bilan.

2 va bo'lsin. , bo'lgan barcha nuqtalar to'plami deyiladi n-nuqtada markaz bilan o'lchangan to'p x yoki e- nuqta qo'shnisi x fazoda va bilan belgilanadi.

Koordinata shaklida ushbu ta'rif quyidagicha ko'rinadi:

To'g'ridan-to'g'ri chiziq bo'lsa, ya'ni. da n= 1, nuqta qo'shnisi radius nuqtasida markazlashtirilgan intervaldir e. Samolyot holatida, ya'ni. da n= 2, nuqta qo'shnisi ochiq aylana bo'lib, markazi radius nuqtasida e. Kosmos holatida, ya'ni. da n= 3 nuqtaning qo'shnisi radius nuqtasida joylashgan ochiq to'pdir e.

§9.2. Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasini aniqlash sohasi. Davomiylik

2 Funktsiya n o'zgaruvchilar - har bir to'plamdan iborat bo'lgan qoida (qonun). n ba'zi bir sohadan olingan o'zgaruvchilar Dn-o'lchovli fazo, bitta raqamga tayinlangan z. Eng oddiy holatda.

2 2 o'zgaruvchining funksiyasi qoida (qonun) bo'lib, unga ko'ra har bir nuqta M(x; y), qaysidir hududga tegishli D samolyot xOy, birlik songa mos keladi z.

Koordinatali kosmosdagi ko'plab nuqtalar ma'lum bir sirtni hosil qiladi (9.1-rasm), maydondan yuqoriga ko'tariladi D(ikki o'zgaruvchili funktsiyaning geometrik ma'nosi).

2 Hudud D, buning uchun yuqoridagi yozishmalar tuzilgan, funksiyani aniqlash sohasi deyiladi.

Muammo 9.1. Funksiya sohasini toping

Yechim. Ta'rifning talab qilinadigan sohasi tekislikdagi nuqtalar to'plamidir xOy, tengsizliklar tizimini qondirish. Tengsizliklar va quyidagi chiziqlar kesishganda ularning belgisini teskarisiga (mos ravishda) o'zgartiring: x = y Va x = 0, y= 0. Bu chiziqlar tekislikni ajratadi xOy 6 ta viloyat uchun. Izchil ravishda, har bir domendan ixtiyoriy nuqtalarni tizimga almashtirish orqali biz (1) va (3) domenlar birligi asl funktsiyani aniqlash sohasi ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Bundan tashqari, u to'g'ri x = y, (0; 0) nuqtadan tashqari, ta'rif sohasiga kiritilgan va to'g'ri chiziqlar x= 0, va y= 0 - kiritilmagan (9.2-rasm).

2 Mintaqaning yopilishi kosmosdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ularning har birining qo'shnisi mintaqaning nuqtalarini o'z ichiga oladi. D.

Keling, masalan, D– samolyotda ba'zi ochiq (chegara kiritilmagan) maydon xOy. Keyin mintaqaga bo'lsa, mintaqaning yopilishi olinadi D chegarasini yopishtiring G .

2 Ba'zi hududga ruxsat bering D samolyot xOy funksiya berilgan va mintaqaning yopilish nuqtasi bo'lsin D(). Raqam A nuqtadagi funksiyaning chegarasi deyiladi M har qanday raqam uchun 0 e> 0 shunday raqam bor δ > 0, bu nuqtadan boshqa barcha nuqtalar uchun M 0 va undan uzoqroq masofada δ , tengsizlik qanoatlantiriladi.

2 Funktsiya nuqtada uzluksiz deyiladi, agar u shu nuqtada () aniqlansa va tenglik bajarilsa.

§9.3. Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning darajali chiziqlari

Samolyotda 2 ta chiziq xOy, tenglamalar bilan berilgan, bu erda BILAN– funksiya darajasidagi chiziqlar deb ataladigan ixtiyoriy doimiy.

Darajali chiziqlar - bu sirt, berilgan funktsiya va tekislikning kesishish chiziqlari z = C, tekislikka parallel xOy. Darajali chiziqlar yordamida siz funktsiya tomonidan belgilangan sirt shaklini o'rganishingiz mumkin.

9.2-misol. Darajali chiziqlarni toping va tenglama bilan berilgan sirt shaklini aniqlang.

Bu holda darajali chiziqlar tenglamalari shaklga ega. C da< 0 уравнение дает пустое множество решений (следовательно, вся поверхность расположена выше плоскости xOy). Da C= 0 faqat bitta nuqta sath chizig'i tenglamasini qanoatlantiradi x = 0, y= 0 (samolyot bilan xOy sirt faqat koordinatalarning boshida kesishadi). Da C> 0 darajali chiziqlar ellips bo'lib, yarim o'qlari va . Turli qiymatlarga mos keladigan darajali chiziqlar BILAN, shaklda ko'rsatilgan. 9.3. Tenglama bilan aniqlangan sirt elliptik paraboloid deb ataladi (9.4-rasm).

§9.4. Birinchi tartibli qisman hosilalar

Biror hududga ruxsat bering D samolyot xOy funksiya berilgan va mintaqadagi ma'lum bir nuqtadir D.

x

, (9.2)

2 O‘zgaruvchiga nisbatan nuqtadagi funksiyaning qisman hosilasi y(yoki bilan belgilanadi) chaqiriladi

, (9.3)
agar bu chegara mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa.

2 Qisman hosila funksiyasi n o'zgaruvchilar bir nuqtada o'zgaruvchilar x i chaqirdi

, (9.4)
agar bu chegara mavjud bo'lsa va cheklangan bo'lsa.

(9.2) – (9.4) formulalaridan ko'rinib turibdiki, qisman hosilalar bir o'zgaruvchining funksiyasining hosilasi aniqlanganidek aniqlanadi. Cheklovni hisoblashda o'zgaruvchilardan faqat bittasi o'sishni oladi, qolgan o'zgaruvchilar esa o'sishni olmaydilar va doimiy bo'lib qoladilar. Binobarin, qisman hosilalarni oddiy hosilalar bilan bir xil qoidalardan foydalanib, barcha erkin o'zgaruvchilarni (differensiallash amalga oshirilganidan tashqari) doimiylar sifatida ko'rib chiqish orqali hisoblash mumkin.

Muammo 9.3. Funksiyaning qisman hosilalarini toping

Yechim. .

Muammo 9.4. Funksiyaning qisman hosilalarini toping.

Yechim. Berilgan funktsiyani o'zgaruvchiga nisbatan farqlashda x quvvat funksiyasini farqlash qoidasidan foydalanamiz va o‘zgaruvchiga nisbatan qisman hosilani topamiz. y– eksponensial funktsiyani farqlash qoidasi:

Muammo 9.5. Nuqtadagi funksiyaning qisman hosilalarini hisoblang.

Yechim. Kompleks funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llab, qisman hosilalarni topamiz

Nuqta koordinatalarini qisman hosilalarga almashtirish M, olamiz

§9.5. Bir necha o'zgaruvchili funktsiyaning gradienti.
Yo'nalishli hosila

2 Funktsiyaning nuqtadagi gradienti - bu berilgan nuqtada hisoblangan berilgan funksiyaning qisman hosilalaridan tashkil topgan vektor:

2 Vektor yo‘nalishidagi nuqtadagi funktsiyaning hosilasi bu funksiyaning nuqtada hisoblangan gradient vektorining proyeksiyasidir. M 0, bu yo'nalishda

(2.6) formulaga muvofiq vektorning vektorga proyeksiyasini hisoblab, olamiz

. (9.7)
Qayerda ekanligini payqab a- vektorning o'q bilan qiladigan burchagi OX, vektor yo'nalishi bo'yicha hosilani hisoblash uchun yana bir formulani olamiz

Muammo 9.6. Funksiyaning nuqtadagi gradientini toping M 0 (4; 2) va vektor yo'nalishiga nisbatan hosila

Yechim. Keling, qisman hosilalarni topamiz

Keling, nuqtadagi qisman hosilalarning qiymatlarini hisoblaylik M 0:

Funktsiyaning nuqtadagi gradienti M 0 (9.5) formuladan foydalanib topiladi:

Muammo 9.7. Shu nuqtada M 0 (0; 1) funktsiyaning ikkinchi koordinata burchagi bissektrisasi yo'nalishi bo'yicha hosilasini hisoblang.

Yechim. Funktsiyaning qisman hosilalarini topamiz:

Keling, qisman hosilalarning qiymatlarini va nuqtadagi funktsiya gradientini hisoblaylik M 0:

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi M 0 ikkinchi koordinata burchagi bissektrisa yo'nalishi bo'yicha (bu yo'nalish o'q bilan OX burchak a= 135°) ni (9.8) formuladan foydalanib topish mumkin:

§9.6. Bir necha o'zgaruvchili funktsiyaning differentsialligi
va uning taxminiy hisob-kitoblarga qo'llanilishi

1 Agar biror nuqtada funktsiya uzluksiz qisman hosilalariga ega bo'lsa va , nuqtadan harakatlanayotganda uning umumiy o'sishi M 0 dan nuqtaga quyidagicha ifodalanishi mumkin:

, (9.9)
qayerda , .

2 ifoda nuqtadagi funktsiyaning to'liq differentsiali deyiladi.

(9.9) formuladan funktsiyaning differensialligi funksiyaning umumiy o'sishning asosiy chiziqli qismi ekanligi kelib chiqadi. Etarlicha kichik D uchun x va D y ifoda differensialdan sezilarli darajada kamroq va uni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Shunday qilib, biz quyidagi taxminiy formulaga kelamiz:

. (9.10)
Izoh. Formula (9.10) funksiyalarning qiymatlarini faqat nuqtaga etarlicha yaqin bo'lgan nuqtalarda hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. Qiymat qanchalik kichik bo'lsa, formula (9.9) yordamida aniqlangan qiymat aniqroq bo'ladi.

9.8-misol. Differensial yordamida taxminan hisoblang.

Funktsiyani ko'rib chiqaylik. Qiymatni hisoblash kerak z Ushbu funktsiyaning 1 nuqtasi ( x 1 ; y 1) = (0,09; 6,95). Nuqta sifatida (0; 7) nuqtani tanlab, taxminiy formuladan (9.9) foydalanamiz. Keyin D x = x 1 – x 0 = 0,09 - 0 = 0,09, D y =y 1 – y 0 = 6,95 – 7 = – 0,05.

Demak,

§9.7. Yuqori tartibli qisman hosilalar

Hududga ruxsat bering D uzluksiz qisman hosilalarga ega va shu sohada funksiya berilgan. Shunday qilib, hududda D biz ikkita o'zgaruvchining ikkita yangi uzluksiz funksiyasini oldik va . Agar hududning biron bir nuqtasida bo'lsa D funktsiyalari va o'zgaruvchiga nisbatan qisman hosilalariga ega x, va o'zgartirish orqali y, u holda bu hosilalar funksiyaning ikkinchi tartibli hosilalari deyiladi. Ular quyidagicha belgilanadi:

1 Agar hududning biron bir nuqtasida bo'lsa D funksiya uzluksiz aralash hosilalarga ega va , u holda nuqtada bu hosilalar teng: . D, quyidagi shartlar bajarilishi kerak: D = 32 – 9 = 23.

Diskriminant noldan katta bo'lgani uchun, keyin nuqtada M funktsiya ekstremumga ega. Ya'ni, mahalliy minimal, chunki A Va BILAN Noldan yuqori. Qayerda