y=sin x funksiya grafigi qanday tuziladi? Birinchidan, intervaldagi sinus grafigini ko'rib chiqaylik.

Biz daftarda 2 uzunlikdagi bitta segmentni olamiz. Oy o'qida biz bittasini belgilaymiz.

Qulaylik uchun biz p/2 raqamini 1,5 ga yaxlitlaymiz (yaxlitlash qoidalariga ko'ra 1,6 ga emas). Bunda p/2 uzunlikdagi segment 3 ta katakka mos keladi.

Ox o'qida biz alohida segmentlarni emas, balki p/2 uzunlikdagi segmentlarni (har 3 hujayra) belgilaymiz. Shunga ko'ra, uzunligi p bo'lgan segment 6 ta katakka, p/6 uzunlikdagi segment esa 1 katakka mos keladi.

Birlik segmentini bunday tanlash bilan qutidagi daftar varag'ida tasvirlangan grafik y=sin x funksiya grafigiga imkon qadar mos keladi.

Interval bo'yicha sinus qiymatlari jadvalini tuzamiz:

Olingan nuqtalarni koordinata tekisligida belgilaymiz:

y=sin x toq funksiya bo lgani uchun sinus grafigi koordinata boshiga - O(0;0) nuqtaga nisbatan simmetrikdir. Ushbu faktni hisobga olgan holda, grafikni chapga, so'ngra -p nuqtalarini chizishni davom ettiramiz:

y=sin x funksiya T=2p davri bilan davriydir. Shuning uchun [-p;p] oraliqda olingan funksiya grafigi cheksiz marta o‘ngga va chapga takrorlanadi.

FUNKSION GRAFIKASI

Sinus funktsiyasi

- bir guruh R barcha haqiqiy raqamlar.

Ko'p funktsiya qiymatlari— segment [-1; 1], ya'ni. sinus funktsiyasi - cheklangan.

G'alati funktsiya: sin(−x)=−sin x barcha x ∈ uchun R.

Funktsiya davriy

sin(x+2p k) = sin x, bu yerda k ∈ Z barcha x ∈ uchun R.

sin x = 0 uchun x = p·k, k ∈ Z.

sin x > 0(musbat) barcha x ∈ (2p·k , p+2p·k ), k ∈ uchun Z.

gunoh x< 0 (salbiy) barcha x ∈ (p+2p·k , 2p+2p·k ), k ∈ uchun Z.

Kosinus funktsiyasi

Funktsiya domeni- bir guruh R barcha haqiqiy raqamlar.

Ko'p funktsiya qiymatlari— segment [-1; 1], ya'ni. kosinus funktsiyasi - cheklangan.

Juft funktsiya: Barcha x ∈ uchun cos(−x)=cos x R.

Funktsiya davriy eng kichik ijobiy davr 2p bilan:

cos(x+2p k) = cos x, bu erda k ∈ Z barcha x ∈ uchun R.

cos x = 0 da
cos x > 0 Barcha uchun
chunki x< 0 Barcha uchun
Funktsiya kuchayadi−1 dan 1 gacha bo'lgan intervallarda:
Funktsiya pasaymoqda−1 dan 1 gacha bo'lgan intervallarda:
sin x = 1 funksiyaning eng katta qiymati nuqtalarda:
sin x = −1 funksiyaning eng kichik qiymati nuqtalarda:

Tangens funksiyasi

Ko'p funktsiya qiymatlari- butun son qatori, ya'ni. tangens - funksiya cheksiz.

G'alati funktsiya: tg(−x)=−tg x
Funksiya grafigi OY o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Funktsiya davriy eng kichik ijobiy davr p bilan, ya'ni. tg(x+p k) = tan x, k ∈ Z ta'rif domenidagi barcha x uchun.

Kotangent funktsiyasi

Ko'p funktsiya qiymatlari- butun son qatori, ya'ni. kotangent - funktsiya cheksiz.

G'alati funktsiya: ctg(−x)=−ctg x taʼrif sohasidagi barcha x uchun.
Funksiya grafigi OY o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Funktsiya davriy eng kichik ijobiy davr p bilan, ya'ni. cotg(x+p k)=ctg x, k ∈ Z ta'rif domenidagi barcha x uchun.

Arksinus funktsiyasi

Funktsiya domeni— segment [-1; 1]

Ko'p funktsiya qiymatlari- segment -p /2 arcsin x p /2, ya'ni. arcsine - funktsiya cheklangan.

G'alati funktsiya: arcsin(−x)=−arcsin x barcha x ∈ uchun R.
Funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir.

Butun ta'rif sohasi bo'ylab.

Ark kosinus funksiyasi

Funktsiya domeni— segment [-1; 1]

Ko'p funktsiya qiymatlari— segment 0 arccos x p, ya'ni. arkkosin - funktsiya cheklangan.

Funktsiya ortib bormoqda butun ta'rif sohasi bo'ylab.

Arktangent funktsiyasi

Funktsiya domeni- bir guruh R barcha haqiqiy raqamlar.

Ko'p funktsiya qiymatlari- segment 0 p, ya'ni. arktangent - funksiya cheklangan.

G'alati funktsiya: arctg(−x)=−arctg x barcha x ∈ uchun R.
Funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir.

Funktsiya ortib bormoqda butun ta'rif sohasi bo'ylab.

Ark tangens funksiyasi

Funktsiya domeni- bir guruh R barcha haqiqiy raqamlar.

Ko'p funktsiya qiymatlari- segment 0 p, ya'ni. arkkotangent - funksiya cheklangan.

Funktsiya juft ham, toq ham emas.
Funksiya grafigi koordinata boshiga ham, Oy o‘qiga nisbatan ham assimetrik emas.

Funktsiya pasaymoqda butun ta'rif sohasi bo'ylab.

Bir nuqtada markazlashtirilgan A.
α - radianlarda ifodalangan burchak.

Ta'rif
Sinus (sin a) gipotenuza va oyoq orasidagi a burchakka bog'liq trigonometrik funktsiyadir to'g'ri uchburchak, nisbatga teng qarama-qarshi tomonning uzunligi |BC| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Kosinus (cos a) gipotenuza va toʻgʻri burchakli uchburchakning oyogʻi orasidagi a burchakka bogʻliq boʻlgan trigonometrik funksiya boʻlib, qoʻshni oyoq uzunligining nisbatiga teng |AB| gipotenuzaning uzunligiga |AC|.

Qabul qilingan belgilar

;
;
.

;
;
.

Sinus funksiya grafigi, y = sin x

Kosinus funksiyasining grafigi, y = cos x

Sinus va kosinusning xossalari

Davriylik

Funktsiyalar y = gunoh x va y = chunki x davr bilan davriy 2p.

Paritet

Sinus funktsiyasi g'alati. Kosinus funksiyasi juft.

Ta'rif va qadriyatlar sohasi, ekstremal, o'sish, pasayish

Sinus va kosinus funktsiyalari o'z ta'rif sohalarida uzluksizdir, ya'ni barcha x uchun (uzluksizlik isbotiga qarang). Ularning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan (n - butun son).

	y = gunoh x	y = chunki x
Qamrov va davomiylik	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Qiymatlar diapazoni	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Ortib bormoqda
Pastga
Maksima, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Nollar, y = 0
Ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalar, x = 0	y = 0	y = 1

Asosiy formulalar

Sinus va kosinus kvadratlarining yig'indisi

Yig'indi va farqdan sinus va kosinus formulalari

;
;

Sinuslar va kosinuslar hosilasi uchun formulalar

Yig'indi va ayirma formulalari

Kosinus orqali sinusni ifodalash

;
;
;
.

Kosinusni sinus orqali ifodalash

;
;
;
.

Tangens orqali ifodalash

; .

Qachon, bizda:
; .

Da :
; .

Sinuslar va kosinuslar, tangenslar va kotangentlar jadvali

Ushbu jadvalda argumentning ma'lum qiymatlari uchun sinuslar va kosinuslar qiymatlari ko'rsatilgan.

Murakkab o'zgaruvchilar orqali ifodalar

;

Eyler formulasi

Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar

;
;

Hosilalar

; . Formulalarni chiqarish > > >

n-tartibli hosilalar:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Teskari funksiyalar

Teskari funksiyalar sinus va kosinus mos ravishda arksinus va arkkosindir.

Arksin, arksin

Arkkosin, arkkos

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar qiziqsangiz bu ish, iltimos, toʻliq versiyasini yuklab oling.

Temir hech qanday foyda topmay zanglaydi,
Gazsiz suv sovuqda chiriydi yoki muzlaydi,
inson aqli esa o'ziga foyda topolmay, sustlashadi.
Leonardo da Vinchi

Amaldagi texnologiyalar: muammoli ta'lim, tanqidiy fikrlash, kommunikativ muloqot.

Maqsadlar:

• Rivojlanish kognitiv qiziqish o'rganishga.
• y = sin x funksiyaning xossalarini o'rganish.
• O‘rganilgan nazariy material asosida y=sin x funksiya grafigini qurish bo‘yicha amaliy ko‘nikmalarni shakllantirish.

Vazifalar:

1. y = sin x funksiyaning xossalari haqidagi bilimlarning mavjud salohiyatidan aniq vaziyatlarda foydalaning.

2. y = sin x funksiyaning analitik va geometrik modellari orasidagi bog'lanishlarni ongli ravishda o'rnatishni qo'llang.

Tashabbuskorlikni, muayyan tayyorlikni va yechim topishga qiziqishni rivojlantirish; qaror qabul qilish, u erda to'xtamaslik va o'z nuqtai nazaringizni himoya qilish qobiliyati.

Talabalarda bilim faolligini, mas'uliyat tuyg'usini, bir-biriga hurmatni, o'zaro tushunishni, o'zaro yordamni, o'ziga ishonchni rivojlantirish; muloqot madaniyati.

Darslar davomida

1-bosqich. Asosiy bilimlarni yangilash, yangi materialni o'rganishni rag'batlantirish

"Darsga kirish."

Doskada 3 ta bayonot yozilgan:

1. sin t = a trigonometrik tenglama har doim yechimlarga ega.
2. Jadval g'alati funktsiya Oy o'qiga nisbatan simmetriya o'zgarishi yordamida qurish mumkin.
3. Trigonometrik funktsiyani bitta asosiy yarim to'lqin yordamida grafik qilish mumkin.

Talabalar juftlikda muhokama qilishadi: gaplar haqiqatmi? (1 daqiqa). Dastlabki muhokama natijalari (ha, yo'q) keyin "Oldin" ustunidagi jadvalga kiritiladi.

O'qituvchi darsning maqsad va vazifalarini belgilaydi.

2. Bilimlarni yangilash (trigonometrik doira modelida old tomondan).

Biz s = sin t funksiyasi bilan allaqachon tanishgan edik.

1) t o'zgaruvchisi qanday qiymatlarni olishi mumkin. Bu funksiyaning qamrovi qanday?

2) sin t ifodasining qiymatlari qaysi oraliqda joylashgan? s = sin t funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

3) sin t = 0 tenglamani yeching.

4) Birinchi chorak bo‘ylab harakatlanayotgan nuqta ordinatasi bilan nima sodir bo‘ladi? (ordinata ortib boradi). Ikkinchi chorak bo'ylab harakatlanayotgan nuqta ordinatasi bilan nima sodir bo'ladi? (ordinata asta-sekin kamayadi). Bu funktsiyaning monotonligi bilan qanday bog'liq? (s = sin t funksiyasi segmentda ortadi va segmentda kamayadi ).

5) s = sin t funksiyasini bizga tanish bo'lgan y = sin x ko'rinishida yozamiz (uni odatiy xOy koordinata tizimida tuzamiz) va ushbu funktsiya qiymatlari jadvalini tuzamiz.

X	0
da	0			1			0

2-bosqich. Idrok, tushunish, birlamchi mustahkamlash, beixtiyor yodlash

4-bosqich. Birlamchi tizimlashtirish bilim va faoliyat usullari, ularni o'tkazish va yangi vaziyatlarda qo'llash

6. № 10.18 (b,c)

5-bosqich. Yakuniy nazorat, tuzatish, baholash va o'z-o'zini baholash

7. Biz bayonotlarga qaytamiz (dars boshi), y = sin x trigonometrik funktsiyaning xususiyatlaridan foydalangan holda muhokama qilamiz va jadvaldagi "Keyin" ustunini to'ldiramiz.

8. D/z: 10-band, № 10.7 (a), 10.8 (b), 10.11 (b), 10.16 (a)

Biz bunday xatti-harakatni topdik trigonometrik funktsiyalar, va funktsiyalari y = sin x ayniqsa, butun son qatorida (yoki argumentning barcha qiymatlari uchun X) oraliqdagi xatti-harakati bilan to'liq aniqlanadi 0 < X < π / 2 .

Shuning uchun, birinchi navbatda, biz funktsiyani chizamiz y = sin x aynan shu oraliqda.

Funktsiyamiz qiymatlarining quyidagi jadvalini tuzamiz;

Koordinata tekisligidagi mos nuqtalarni belgilash va ularni silliq chiziq bilan bog'lash orqali biz rasmda ko'rsatilgan egri chiziqni olamiz.

Olingan egri chiziqni funksiya qiymatlari jadvalini tuzmasdan ham geometrik tarzda qurish mumkin y = sin x .

1. Radiusi 1 bo‘lgan aylananing birinchi choragini 8 ta teng qismga bo‘ling.Aylananing bo‘linish nuqtalarining ordinatalari mos burchaklarning sinuslaridir.

2.Doiraning birinchi choragi 0 dan burchaklarga to'g'ri keladi π / 2 . Shuning uchun, eksa bo'yicha X Keling, bir segmentni olib, uni 8 ta teng qismga ajratamiz.

3. O'qlarga parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz X, va bo'linish nuqtalaridan biz gorizontal chiziqlar bilan kesishguncha perpendikulyarlarni quramiz.

4. Kesishish nuqtalarini silliq chiziq bilan ulang.

Endi intervalni ko'rib chiqaylik π / 2 < X < π .
Har bir argument qiymati X bu oraliqdan quyidagicha ifodalanishi mumkin

x = π / 2 + φ

Qayerda 0 < φ < π / 2 . Kamaytirish formulalari bo'yicha

gunoh( π / 2 + φ ) = cos φ = gunoh( π / 2 - φ ).

Eksa nuqtalari X abscissalar bilan π / 2 + φ Va π / 2 - φ eksa nuqtasi bo'yicha bir-biriga simmetrik X abscissa bilan π / 2 , va bu nuqtalardagi sinuslar bir xil. Bu funksiyaning grafigini olish imkonini beradi y = sin x oraliqda [ π / 2 , π ] to‘g‘ri chiziqqa nisbatan oraliqda bu funksiyaning grafigini oddiygina simmetrik ko‘rsatish orqali X = π / 2 .

Endi mulkdan foydalanish toq paritet funksiyasi y = sin x,

gunoh (- X) = - gunoh X,

bu funktsiyani [-] oralig'ida chizish oson. π , 0].

y = sin x funktsiyasi davriy bo'lib, davri 2p ga teng ;. Shuning uchun, ushbu funktsiyaning butun grafigini qurish uchun rasmda ko'rsatilgan egri chiziqni davriy ravishda chap va o'ngga nuqta bilan davom ettirish kifoya. 2p .

Olingan egri chiziq deyiladi sinusoid . Bu funksiya grafigini ifodalaydi y = sin x.

Rasmda funktsiyaning barcha xususiyatlari yaxshi ko'rsatilgan y = sin x , biz ilgari isbotlagan edik. Keling, ushbu xususiyatlarni eslaylik.

1) Funktsiya y = sin x barcha qiymatlar uchun belgilangan X , shuning uchun uning domeni barcha haqiqiy sonlar to'plamidir.

2) Funktsiya y = sin x cheklangan. U qabul qilgan barcha qiymatlar -1 dan 1 gacha, shu jumladan bu ikki raqam. Binobarin, bu funksiyaning o'zgarish diapazoni -1 tengsizlik bilan aniqlanadi < da < 1. Qachon X = π / 2 + 2k π funksiya oladi eng yuqori qiymatlar, 1 ga teng va x uchun = - π / 2 + 2k π - eng kichik qiymatlar, - 1 ga teng.

3) Funktsiya y = sin x g'alati (sinusoid kelib chiqishiga nisbatan simmetrik).

4) Funktsiya y = sin x 2-davr bilan davriy π .

5) 2n oraliqda π < x < π + 2n π (n har qanday butun son) u musbat va intervallarda π + 2k π < X < 2π + 2k π (k har qanday butun son) manfiy. x = k da π funktsiya nolga tushadi. Shuning uchun argumentning bu qiymatlari x (0; ± π ; ±2 π ; ...) funksiya nollari deyiladi y = sin x

6) interval bilan - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funktsiyasi y = gunoh x monoton va intervalgacha ortadi π / 2 + 2k π < X < 3p / 2 + 2k π monoton ravishda kamayadi.

Funktsiyaning xatti-harakatiga alohida e'tibor berishingiz kerak y = sin x nuqtaga yaqin X = 0 .

Masalan, sin 0,012 ≈ 0,012; gunoh (-0,05) ≈ -0,05;

gunoh 2° = gunoh π 2 / 180 = gunoh π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Shu bilan birga, shuni ta'kidlash kerakki, x ning har qanday qiymatlari uchun

| gunoh x| < | x | . (1)

Haqiqatan ham, rasmda ko'rsatilgan aylananing radiusi 1 ga teng bo'lsin,
a / AOB = X.

Keyin gunoh x= AC. Lekin AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Bu yoyning uzunligi aniq teng X, chunki aylananing radiusi 1. Demak, 0 da< X < π / 2

gunoh x< х.

Demak, funktsiyaning g'alatiligi tufayli y = sin x qachon ekanligini ko'rsatish oson - π / 2 < X < 0

| gunoh x| < | x | .

Nihoyat, qachon x = 0

| gunoh x | = | x |.

Shunday qilib, | uchun X | < π / 2 tengsizlik (1) isbotlangan. Aslida, bu tengsizlik | uchun ham to'g'ri keladi x | > π / 2 tufayli | gunoh X | < 1, a π / 2 > 1

Mashqlar

1.Funksiya grafigiga ko`ra y = sin x aniqlang: a) gunoh 2; b) gunoh 4; c) gunoh (-3).

2.Funksiya grafigiga ko'ra y = sin x intervaldan qaysi raqamni aniqlang
[ - π / 2 , π / 2 ] ga teng sinusga ega: a) 0,6; b) -0,8.

3. Funksiya grafigiga ko`ra y = sin x qaysi raqamlarning sinusga ega ekanligini aniqlang,
1/2 ga teng.

4. Taxminan toping (jadvallardan foydalanmasdan): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) gunoh (-0,015); d) gunoh (-2°30").