Asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatlar berilgan. trigonometrik formulalar. Va trigonometrik funktsiyalar o'rtasida juda ko'p bog'lanishlar mavjudligi sababli, bu trigonometrik formulalarning ko'pligini tushuntiradi. Ba'zi formulalar bir xil burchakning trigonometrik funktsiyalarini bog'laydi, boshqalari - bir nechta burchakning funktsiyalari, boshqalari - darajani kamaytirishga imkon beradi, to'rtinchisi - barcha funktsiyalarni yarim burchakning tangensi orqali ifodalaydi va hokazo.

Ushbu maqolada biz barcha asosiylarini tartibda sanab o'tamiz trigonometrik formulalar, bu trigonometriya muammolarining katta qismini hal qilish uchun etarli. Yodlash va foydalanish qulayligi uchun biz ularni maqsadlari bo'yicha guruhlaymiz va jadvallarga kiritamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar bir burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi munosabatni aniqlang. Ular sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifidan, shuningdek, birlik doirasi tushunchasidan kelib chiqadi. Ular sizga bir narsani ifodalashga imkon beradi trigonometrik funktsiya boshqa har qanday orqali.

Ushbu trigonometriya formulalarining batafsil tavsifi, ularni olish va qo'llash misollari uchun maqolaga qarang.

Qisqartirish formulalari

Qisqartirish formulalari sinus, kosinus, tangens va kotangens xossalaridan kelib chiqadi, ya'ni ular trigonometrik funksiyalarning davriylik xususiyatini, simmetriya xossasini, shuningdek, berilgan burchak bilan siljish xossalarini aks ettiradi. Ushbu trigonometrik formulalar ixtiyoriy burchaklar bilan ishlashdan noldan 90 gradusgacha bo'lgan burchaklar bilan ishlashga o'tishga imkon beradi.

Ushbu formulalarning mantiqiy asoslari, ularni yodlashning mnemonik qoidasi va ularni qo'llash misollari maqolada o'rganilishi mumkin.

Qo'shish formulalari

Trigonometrik qo'shish formulalari Ikki burchak yigʻindisining yoki ayirmasining trigonometrik funksiyalari shu burchaklarning trigonometrik funksiyalari bilan qanday ifodalanishini koʻrsating. Bu formulalar quyidagi trigonometrik formulalarni olish uchun asos bo'lib xizmat qiladi.

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak (ular ko'p burchak formulalari deb ham ataladi) ikki, uch va boshqalarning trigonometrik funktsiyalarini ko'rsatadi. burchaklar () bitta burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan ifodalanadi. Ularning hosilasi qo'shish formulalariga asoslanadi.

Batafsil ma'lumot ikki, uch va boshqalar uchun maqola formulalarida to'plangan. burchak

Yarim burchak formulalari

Yarim burchak formulalari yarim burchakning trigonometrik funksiyalari butun burchakning kosinusida qanday ifodalanishini ko'rsating. Bu trigonometrik formulalar formulalardan kelib chiqadi ikki burchak.

Ularning xulosasi va qo'llash misollarini maqolada topish mumkin.

Darajani pasaytirish formulalari

Darajani kamaytirish uchun trigonometrik formulalar dan o'tishni osonlashtirish uchun mo'ljallangan tabiiy darajalar trigonometrik funktsiyalarni sinus va kosinuslarga birinchi darajali, lekin bir nechta burchaklar. Boshqacha qilib aytganda, ular trigonometrik funktsiyalarning kuchlarini birinchi darajaga kamaytirishga imkon beradi.

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari

Asosiy maqsad trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi formulalari funksiyalar mahsulotiga o'tishdir, bu soddalashtirishda juda foydali trigonometrik ifodalar. Bu formulalardan yechishda ham keng foydalaniladi trigonometrik tenglamalar, chunki ular sinus va kosinuslarning yig'indisi va farqini faktorlarga ajratish imkonini beradi.

Sinuslar, kosinuslar va kosinuslar bo'yicha ko'paytma uchun formulalar

Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasidan yig`indiga yoki ayirmaga o`tish sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinus bo`yicha ko`paytmasi formulalari yordamida amalga oshiriladi.

Universal trigonometrik almashtirish

Biz trigonometriyaning asosiy formulalarini ko'rib chiqishni trigonometrik funktsiyalarni yarim burchakning tangensi bo'yicha ifodalovchi formulalar bilan yakunlaymiz. Bu almashtirish chaqirildi universal trigonometrik almashtirish. Uning qulayligi shundan iboratki, barcha trigonometrik funktsiyalar ildizlarsiz ratsional ravishda yarim burchakning tangensi bilan ifodalanadi.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: Darslik 9-sinf uchun. o'rtacha maktab/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy. - M.: Ta'lim, 1990. - 272 b.: kasal. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Darslik. 10-11 sinflar uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 sinflar uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14-nashr - M.: Ta'lim, 2004. - 384 pp.: kasal. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

cleverstudent tomonidan mualliflik huquqi

Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Saytning hech bir qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi ko'rinish, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz har qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.

Misollar:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari:

Har qanday trigonometrik tenglama quyidagi turlardan biriga qisqartirilishi kerak:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

Bu erda \(t\) - x bilan ifodalangan, \(a\) - son. Bunday trigonometrik tenglamalar deyiladi eng oddiy. Ularni () yoki maxsus formulalar yordamida osongina echish mumkin:

Oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish bo'yicha infografikaga qarang:, va.

Misol . \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\) trigonometrik tenglamani yeching.
Yechim:

Javob: \(\left[ \begin(to'plangan)x=-\frac(p)(6)+2pk, \\ x=-\frac(5p)(6)+2pn, \end(to'plangan)\o'ng.\) \(k,n∈Z\)

Trigonometrik tenglamalarning ildizlari formulasida har bir belgi nimani anglatadi, qarang.

Diqqat!\(\sin⁡x=a\) va \(\cos⁡x=a\) tenglamalarining yechimlari yo'q, agar \(a s (-∞;-1)∪(1;∞)\). Chunki har qanday x uchun sinus va kosinus \(-1\) dan katta yoki teng va \(1\) dan kichik yoki teng:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Misol . \(\cos⁡x=-1,1\) tenglamasini yeching.
Yechim: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Javob : yechim yo'q.

Misol . tg\(⁡x=1\) trigonometrik tenglamani yeching.
Yechim:

Raqamli aylana yordamida tenglamani yechamiz. Buning uchun: 1) Doira qurish) 2) \(x\) va \(y\) o'qlarini va teginish o'qini (u \(y\) o'qiga parallel \((0;1)\) nuqtadan o'tadi) tuzing. 3) Tangens o'qida \(1\) nuqtani belgilang. 4) Ushbu nuqtani va koordinatalarning boshini - to'g'ri chiziq bilan bog'lang. 5) Bu chiziq va sonli doiraning kesishish nuqtalarini belgilang. 6) Keling, ushbu nuqtalarning qiymatlarini belgilaymiz: \(\frac(p)(4)\) ,\(\frac(5p)(4)\) 7) Ushbu nuqtalarning barcha qiymatlarini yozing. Ular bir-biridan aniq \(p\) masofada joylashganligi sababli, barcha qiymatlarni bitta formulada yozish mumkin:

Javob: \(x=\)\(\frac(p)(4)\) \(+pk\), \(k∈Z\).

Misol . \(\cos⁡(3x+\frac(p)(4))=0\) trigonometrik tenglamani yeching.
Yechim:

Keling, yana raqam doirasini ishlatamiz. 1) Doira, o'qlarni \(x\) va \(y\) qurish. 2) Kosinus o'qida (\(x\) o'qi) \(0\) belgilang. 3) Shu nuqta orqali kosinus o‘qiga perpendikulyar chizamiz. 4) Perpendikulyar va aylananing kesishish nuqtalarini belgilang. 5) Keling, ushbu nuqtalarning qiymatlarini belgilaymiz: \(-\) \(\frac(p)(2)\),\(\frac(p)(2)\). 6) Biz bu nuqtalarning butun qiymatini yozamiz va ularni kosinusga (kosinus ichidagi narsaga) tenglashtiramiz. \(3x+\)\(\frac(p)(4)\) \(=±\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(p)(4)\) \(=\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\) \(3x+\)\(\frac( p)(4)\) \(=-\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\) 8) Odatdagidek \(x\) ni tenglamalarda ifodalaymiz. Raqamlarga \(p\), shuningdek \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) va boshqalar bilan ishlov berishni unutmang. Bu boshqa barcha raqamlar bilan bir xil raqamlar. Raqamli kamsitish yo'q! \(3x=-\)\(\frac(p)(4)\) \(+\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\) \(3x=-\)\ (\frac(p)(4)\) \(+\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\) \(3x=\)\(\frac(p)(4)\) \(+2pk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3p)(4)\) \(+2pk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(p)(12)\) \(+\)\(\frac(2pk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(p)( 4)\) \(+\)\(\frac(2pk)(3)\)

Javob: \(x=\)\(\frac(p)(12)\) \(+\)\(\frac(2pk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(p)( 4)\) \(+\)\(\frac(2pk)(3)\) , \(k∈Z\).

Trigonometrik tenglamalarni eng sodda qilib qisqartirish ijodiy vazifadir, bu erda tenglamalarni echish uchun ikkala va maxsus usullardan foydalanish kerak:
- Usul (Yagona davlat imtihonida eng mashhur).
- Usul.
- Yordamchi argumentlar usuli.

Kvadrat trigonometrik tenglamani yechish misolini ko‘rib chiqamiz

Misol . \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\) trigonometrik tenglamani yeching.
Yechim:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Keling, \(t=\cos⁡x\) almashtirishni amalga oshiramiz.
	Bizning tenglamamiz odatiy holga aylandi. yordamida hal qilishingiz mumkin.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Biz teskari almashtirishni amalga oshiramiz.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Birinchi tenglamani sonli aylana yordamida yechamiz. Ikkinchi tenglamaning yechimlari yo'q, chunki \(\cos⁡x∈[-1;1]\) va har qanday x uchun ikkitaga teng bo'lishi mumkin emas.
	Keling, ushbu nuqtalarda yotgan barcha raqamlarni yozamiz.

Javob: \(x=±\)\(\frac(p)(3)\) \(+2pk\), \(k∈Z\).

ODZni o'rganish bilan trigonometrik tenglamani yechish misoli:

Misol (USE) . \(=0\) trigonometrik tenglamani yeching.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Kasr bor va kotangent bor - bu biz uni yozishimiz kerakligini anglatadi. Sizga shuni eslatib o'tamanki, kotangent aslida kasrdir: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Shuning uchun ctg\(x\) uchun ODZ: \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\); \(x≠pn\); \(k,n∈Z\)	Raqamli aylanada "yechim bo'lmagan" ni belgilaymiz.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Keling, tenglamadagi maxrajni ctg\(x\) ga ko'paytirish yo'li bilan qutulamiz. Biz buni qila olamiz, chunki biz yuqorida ctg\(x ≠0\) deb yozgan edik.
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Sinus uchun qo'sh burchak formulasini qo'llaymiz: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Agar qo'llaringiz kosinusga bo'linish uchun cho'zilsa, ularni orqaga torting! Oʻzgaruvchiga ega ifodaga boʻlish mumkin, agar u aniq nolga teng boʻlmasa (masalan, bular: \(x^2+1.5^x\)). Buning o'rniga, qavs ichidan \(\cos⁡x\) ni chiqaramiz.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Keling, tenglamani ikkiga "bo'laylik".
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Birinchi tenglamani sonli aylana yordamida yechamiz. Ikkinchi tenglamani \(2\) ga bo'lib, \(\sin⁡x\) ni o'ng tomonga o'tkazamiz.
\(x=±\)\(\frac(p)(2)\) \(+2pk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Olingan ildizlar ODZga kiritilmaydi. Shuning uchun biz ularni javob sifatida yozmaymiz. Ikkinchi tenglama odatiy hisoblanadi. Keling, uni \(\sin⁡x\) ga bo'laylik (\(\sin⁡x=0\) tenglamaning yechimi bo'la olmaydi, chunki bu holda \(\cos⁡x=1\) yoki \(\cos⁡) x=-1\)).
	Biz yana aylanadan foydalanamiz.
\(x=\)\(\frac(p)(4)\) \(+pn\), \(n∈Z\)	Bu ildizlar ODZ tomonidan chiqarib tashlanmaydi, shuning uchun ularni javobda yozishingiz mumkin.

Javob: \(x=\)\(\frac(p)(4)\) \(+pn\), \(n∈Z\).

Trigonometrik tenglamalar oson mavzu emas. Ular juda xilma-xildir.) Masalan, bular:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+p /4) = karyola(2x-p /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Va hokazo...

Ammo bu (va boshqa barcha) trigonometrik yirtqich hayvonlar ikkita umumiy va majburiy xususiyatga ega. Birinchidan - ishonmaysiz - tenglamalarda trigonometrik funktsiyalar mavjud.) Ikkinchidan: x bilan barcha ifodalar topiladi. xuddi shu funktsiyalar doirasida. Va faqat u erda! Agar biror joyda X paydo bo'lsa tashqarida, Masalan, sin2x + 3x = 3, bu allaqachon aralash turdagi tenglama bo'ladi. Bunday tenglamalar individual yondashuvni talab qiladi. Biz ularni bu erda ko'rib chiqmaymiz.

Biz bu darsda ham yomon tenglamalarni yechmaymiz.) Bu erda biz bilan shug'ullanamiz eng oddiy trigonometrik tenglamalar. Nega? Ha, chunki yechim har qanday trigonometrik tenglamalar ikki bosqichdan iborat. Birinchi bosqichda yovuz tenglama turli xil o'zgarishlar orqali oddiy tenglamaga tushiriladi. Ikkinchisida bu eng oddiy tenglama yechilgan. Boshqa yo'l yo'q.

Shunday qilib, agar siz ikkinchi bosqichda muammolarga duch kelsangiz, birinchi bosqich juda mantiqiy emas.)

Elementar trigonometrik tenglamalar qanday ko'rinishga ega?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Bu yerga A har qanday raqamni bildiradi. Har qanday.

Aytgancha, funktsiya ichida sof X emas, balki qandaydir ifoda bo'lishi mumkin, masalan:

cos(3x+p /3) = 1/2

va hokazo. Bu hayotni murakkablashtiradi, lekin trigonometrik tenglamani yechish usuliga ta'sir qilmaydi.

Trigonometrik tenglamalarni qanday yechish mumkin?

Trigonometrik tenglamalarni ikki usulda yechish mumkin. Birinchi usul: mantiq va trigonometrik doiradan foydalanish. Biz bu yo'lni shu erda ko'rib chiqamiz. Ikkinchi usul - xotira va formulalardan foydalanish - keyingi darsda muhokama qilinadi.

Birinchi usul tushunarli, ishonchli va unutish qiyin.) Bu trigonometrik tenglamalar, tengsizliklar va har xil nostandart misollarni echish uchun yaxshi. Mantiq xotiradan kuchliroq!)

Trigonometrik doira yordamida tenglamalarni yechish.

Biz elementar mantiqni va trigonometrik doiradan foydalanish qobiliyatini o'z ichiga olamiz. Qanday qilib bilmayapsizmi? Biroq ... Siz trigonometriyada qiyinchilikka duch kelasiz ...) Lekin bu muhim emas. Darslarni ko'ring "Trigonometrik doira...... Bu nima?" va "Trigonometrik doiradagi burchaklarni o'lchash". U erda hamma narsa oddiy. Darsliklardan farqli o'laroq...)

Oh, bilasizmi!? Va hatto "Trigonometrik doira bilan amaliy ish" ni o'zlashtirdi!? Tabriklaymiz. Bu mavzu sizga yaqin va tushunarli bo'ladi.) Ayniqsa, quvonarlisi shundaki, trigonometrik aylana qaysi tenglamani yechishingizga ahamiyat bermaydi. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - uning uchun hamma narsa bir xil. Faqat bitta yechim printsipi mavjud.

Shunday qilib, biz har qanday elementar trigonometrik tenglamani olamiz. Hech bo'lmaganda bu:

cosx = 0,5

Biz X ni topishimiz kerak. Inson tilida gapirganda, sizga kerak kosinasi 0,5 bo'lgan burchakni (x) toping.

Ilgari biz aylanadan qanday foydalanganmiz? Biz unga burchak chizdik. Darajalar yoki radianlarda. Va darhol ko'rgan Bu burchakning trigonometrik funktsiyalari. Endi teskarisini qilaylik. Aylana ustiga 0,5 ga teng va darhol kosinus chizamiz Biz ko'ramiz burchak. Javobni yozishgina qoladi.) Ha, ha!

Doira chizing va kosinusni 0,5 ga teng belgilang. Albatta, kosinus o'qida. Mana bunday:

Endi bu kosinus bizga beradigan burchakni chizamiz. Sichqonchani rasm ustiga olib boring (yoki planshetingizdagi rasmga teging) va ko'rasiz aynan shu burchak X.

Qaysi burchakning kosinasi 0,5 ga teng?

x = p /3

cos 60°= cos( p /3) = 0,5

Ba'zilar shubha bilan kulishadi, ha... Xuddi hamma narsa aniq bo'lsa, aylana yasash kerakmidi... Albatta, kulishingiz mumkin...) Lekin haqiqat shundaki, bu noto'g'ri javob. To'g'rirog'i, etarli emas. Doira biluvchilari bu erda 0,5 kosinusni beradigan bir qancha boshqa burchaklar mavjudligini tushunishadi.

Agar siz OA harakatlanuvchi tomonini aylantirsangiz to'liq burilish, A nuqtasi asl holatiga qaytadi. Xuddi shu kosinus bilan 0,5 ga teng. Bular. burchak o'zgaradi 360° yoki 2p radianga, va kosinus - yo'q. Yangi burchak 60° + 360° = 420° ham tenglamamizning yechimi boʻladi, chunki

Bunday to'liq inqiloblarning cheksiz sonini amalga oshirish mumkin ... Va bu barcha yangi burchaklar trigonometrik tenglamamizning echimi bo'ladi. Va ularning barchasi javob sifatida qandaydir tarzda yozilishi kerak. Hammasi. Aks holda, qaror hisobga olinmaydi, ha...)

Matematika buni sodda va nafis bajarishi mumkin. Bitta qisqa javobda yozing cheksiz to'plam qarorlar. Bu bizning tenglamamiz uchun qanday ko'rinadi:

x = p /3 + 2p n, n ∈ Z

Men uni hal qilaman. Hali ham yozing mazmunli Bu ahmoqona sirli harflarni chizishdan ko'ra yoqimliroq, shunday emasmi?)

p /3 - bu biznikiga o'xshash burchak ko'rgan doira ustida va belgilangan kosinuslar jadvaliga ko'ra.

2p radyanlarda bitta to'liq inqilobdir.

n - bu to'liqlarning soni, ya'ni. butun rpm Bu aniq n 0, ±1, ±2, ±3.... ga teng bo'lishi mumkin va hokazo. Qisqa yozuvda ko'rsatilganidek:

n ∈ Z

n tegishli ( ∈ ) butun sonlar to'plami ( Z ). Aytgancha, xat o'rniga n harflardan foydalanish mumkin k, m, t va hokazo.

Bu belgi siz har qanday butun sonni olishingiz mumkinligini bildiradi n . Kamida -3, kamida 0, kamida +55. Xohlaganingiz. Agar siz ushbu raqamni javobga almashtirsangiz, siz aniq burchakka ega bo'lasiz, bu shubhasiz bizning qattiq tenglamamizning yechimi bo'ladi.)

Yoki boshqacha aytganda, x = p /3 cheksiz to‘plamning yagona ildizidir. Boshqa barcha ildizlarni olish uchun p /3 ga har qanday miqdordagi to'liq aylanishlarni qo'shish kifoya. n ) radianlarda. Bular. 2p radian.

Hammasi? Yo'q. Men zavqni ataylab uzaytiraman. Yaxshi eslab qolish uchun.) Biz tenglamamizga javoblarning faqat bir qismini oldik. Men yechimning birinchi qismini shunday yozaman:

x 1 = p /3 + 2p n, n ∈ Z

x 1 - faqat bitta ildiz emas, balki butun bir qator ildizlar, qisqa shaklda yozilgan.

Ammo 0,5 kosinusni ham beradigan burchaklar ham bor!

Keling, javobni yozgan rasmimizga qaytaylik. Mana u:

Sichqonchani tasvir ustiga olib boring va ko'ramiz boshqa burchak 0,5 kosinusni ham beradi. Nimaga teng deb o'ylaysiz? Uchburchaklar bir xil... Ha! Bu burchakka teng X , faqat salbiy yo'nalishda kechiktirildi. Bu burchak -X. Ammo biz allaqachon x ni hisoblab chiqdik. p /3 yoki 60°. Shunday qilib, biz ishonch bilan yozishimiz mumkin:

x 2 = - p /3

Albatta, biz to'liq aylanishlar orqali olingan barcha burchaklarni qo'shamiz:

x 2 = - p /3 + 2p n, n ∈ Z

Hammasi shu.) Trigonometrik doirada biz ko'rgan(kim tushunadi, albatta)) Hammasi 0,5 kosinus beradigan burchaklar. Va biz bu burchaklarni qisqa matematik shaklda yozdik. Javob ikkita cheksiz ildiz qatoriga olib keldi:

x 1 = p /3 + 2p n, n ∈ Z

x 2 = - p /3 + 2p n, n ∈ Z

Bu to'g'ri javob.

Umid, trigonometrik tenglamalarni yechishning umumiy tamoyili aylanadan foydalanish aniq. Berilgan tenglamadan kosinusni (sinus, tangens, kotangens) aylanaga belgilab, unga mos burchaklarni chizamiz va javobni yozamiz. Albatta, biz qaysi burchaklar ekanligimizni aniqlashimiz kerak ko'rgan doira ustida. Ba'zida bu unchalik aniq emas. Xo'sh, men bu erda mantiq kerakligini aytdim.)

Masalan, boshqa trigonometrik tenglamani ko'rib chiqamiz:

Iltimos, 0,5 raqami tenglamalarda mumkin bo'lgan yagona raqam emasligini hisobga oling!) Men uchun uni ildiz va kasrlardan ko'ra yozish qulayroq.

Biz umumiy printsip asosida ishlaymiz. Biz doira chizamiz, belgilaymiz (sinus o'qi bo'yicha, albatta!) 0,5. Biz bir vaqtning o'zida ushbu sinusga mos keladigan barcha burchaklarni chizamiz. Biz ushbu rasmni olamiz:

Avval burchak bilan shug'ullanamiz X birinchi chorakda. Biz sinuslar jadvalini eslaymiz va bu burchakning qiymatini aniqlaymiz. Bu oddiy masala:

x = p /6

Biz to'liq burilishlarni eslaymiz va toza vijdon bilan javoblarning birinchi qatorini yozamiz:

x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z

Ishning yarmi tugadi. Ammo endi biz aniqlashimiz kerak ikkinchi burchak ... Bu kosinuslarni ishlatishdan ko'ra qiyinroq, ha... Lekin bizni mantiq qutqaradi! Ikkinchi burchakni qanday aniqlash mumkin x orqali? Ha oson! Rasmdagi uchburchaklar bir xil va qizil burchak X burchakka teng X . Faqat u p burchakdan manfiy yo'nalishda hisoblanadi. Shuning uchun u qizil.) Va javob uchun bizga musbat yarim o'q OX dan to'g'ri o'lchangan burchak kerak, ya'ni. 0 daraja burchakdan.

Biz kursorni chizilgan ustiga olib boramiz va hamma narsani ko'ramiz. Rasmni murakkablashtirmaslik uchun birinchi burchakni olib tashladim. Bizni qiziqtirgan burchak (yashil rangda chizilgan) quyidagilarga teng bo'ladi:

p - x

X buni bilamiz p /6 . Shunday qilib, ikkinchi burchak quyidagicha bo'ladi:

p - p /6 = 5p /6

Biz yana to'liq inqiloblarni qo'shishni eslaymiz va javoblarning ikkinchi seriyasini yozamiz:

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z

Ana xolos. To'liq javob ikki qator ildizlardan iborat:

x 1 = p /6 + 2p n, n ∈ Z

x 2 = 5p /6 + 2p n, n ∈ Z

Tangens va kotangens tenglamalar trigonometrik tenglamalarni yechishda bir xil umumiy printsip yordamida osonlikcha yechilishi mumkin. Agar, albatta, siz trigonometrik doirada tangens va kotangensni qanday chizishni bilsangiz.

Yuqoridagi misollarda men sinus va kosinusning jadval qiymatidan foydalandim: 0,5. Bular. talaba biladigan ma'nolardan biri kerak. Endi imkoniyatlarimizni kengaytiramiz boshqa barcha qadriyatlar. Qaror qiling, qaror qiling!)

Deylik, bu trigonometrik tenglamani yechishimiz kerak:

Qisqa jadvallarda bunday kosinus qiymati yo'q. Biz bu dahshatli haqiqatni sovuqqonlik bilan e'tiborsiz qoldiramiz. Doira chizing, kosinus o'qiga 2/3 ni belgilang va mos keladigan burchaklarni chizing. Biz bu rasmni olamiz.

Keling, birinchi navbatda, birinchi chorakdagi burchakka qaraylik. Agar x ning nimaga tengligini bilsak edi, darhol javobni yozar edik! Biz bilmaymiz... Muvaffaqiyatsizlik!? Sokin! Matematika o'z xalqini qiyinchilikda qoldirmaydi! U bu holat uchun yoy kosinuslarini o'ylab topdi. Bilmayman? Bekordan bekorga. Aniqlang, bu siz o'ylagandan ham osonroq. Ushbu havolada "teskari trigonometrik funktsiyalar" haqida biron bir hiyla-nayrang yo'q ... Bu mavzuda bu ortiqcha.

Agar siz bilsangiz, shunchaki o'zingizga ayting: "X - kosinasi 2/3 ga teng bo'lgan burchak." Va darhol, yoy kosinusining ta'rifiga ko'ra, biz yozishimiz mumkin:

Biz qo'shimcha inqiloblarni eslaymiz va trigonometrik tenglamamizning birinchi qator ildizlarini xotirjamlik bilan yozamiz:

x 1 = arccos 2/3 + 2p n, n ∈ Z

Ikkinchi burchak uchun ildizlarning ikkinchi seriyasi deyarli avtomatik ravishda yoziladi. Hammasi bir xil, faqat X (arccos 2/3) minus bilan bo'ladi:

x 2 = - arccos 2/3 + 2p n, n ∈ Z

Va shunday! Bu to'g'ri javob. Jadval qiymatlariga qaraganda osonroq. Hech narsani eslab qolishning hojati yo'q.) Aytgancha, eng diqqatli kishi bu rasmda yechimni yoy kosinasi orqali ko'rsatayotganini sezadi. uchun rasmdan deyarli farq qilmaydi cos tenglamalari x = 0,5.

Aynan shunday! Umumiy printsip - bu! Men ataylab ikkita deyarli bir xil rasm chizdim. Doira bizga burchakni ko'rsatadi X uning kosinasi bilan. Bu jadvalli kosinusmi yoki yo'qmi, hamma uchun noma'lum. Bu qanday burchak, p /3 yoki yoy kosinasi nima - buni o'zimiz hal qilamiz.

Sinus bilan bir xil qo'shiq. Masalan:

Yana aylana chizing, sinusni 1/3 ga teng belgilang, burchaklarni chizing. Bu biz olgan rasm:

Va yana rasm tenglama bilan deyarli bir xil sinx = 0,5. Yana birinchi chorakda burchakdan boshlaymiz. Agar uning sinusi 1/3 bo'lsa, X nimaga teng? Hammasi joyida!

Endi ildizlarning birinchi to'plami tayyor:

x 1 = arksin 1/3 + 2p n, n ∈ Z

Keling, ikkinchi burchak bilan shug'ullanamiz. Jadval qiymati 0,5 bo'lgan misolda u quyidagilarga teng edi:

p - x

Bu erda ham xuddi shunday bo'ladi! Faqat x farq qiladi, arksin 1/3. Nima bo'libdi!? Siz ikkinchi ildiz to'plamini ishonch bilan yozishingiz mumkin:

x 2 = p - yoy 1/3 + 2p n, n ∈ Z

Bu mutlaqo to'g'ri javob. Garchi u juda tanish ko'rinmasa ham. Lekin bu aniq, umid qilamanki.)

Aylana yordamida trigonometrik tenglamalar shunday yechiladi. Bu yo'l aniq va tushunarli. Aynan u trigonometrik tenglamalarda ildizlarni ma'lum oraliqda tanlagan holda, trigonometrik tengsizliklarda saqlaydi - ular odatda deyarli har doim aylanada hal qilinadi. Muxtasar qilib aytganda, odatdagidan biroz qiyinroq bo'lgan har qanday vazifalarda.

Keling, bilimlarni amalda qo'llaylik?)

Trigonometrik tenglamalarni yeching:

Birinchidan, oddiyroq, to'g'ridan-to'g'ri ushbu darsdan.

Endi bu yanada murakkab.

Maslahat: bu erda siz doira haqida o'ylashingiz kerak bo'ladi. Shaxsan.)

Va endi ular tashqi ko'rinishida sodda ... Ularni maxsus holatlar ham deyiladi.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Maslahat: bu yerda siz aylana ichida ikkita javob seriyasi borligini va qaerda bitta javob borligini aniqlashingiz kerak ... Va ikkita javob seriyasi o'rniga qanday qilib bitta javob yozish kerak. Ha, cheksiz sondan birorta ham ildiz yo'qolmasligi uchun!)

Xo'sh, juda oddiy):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Maslahat: bu erda siz arksin va arkkosin nima ekanligini bilishingiz kerakmi? Arktangens, arktangens nima? Eng oddiy ta'riflar. Lekin siz hech qanday jadval qiymatlarini eslab qolishingiz shart emas!)

Javoblar, albatta, chalkashlikdir):

x 1= arcsin0,3 + 2p n, n ∈ Z
x 2= p - arcsin0,3 + 2

Hammasi yaxshi emasmi? Bo'ladi. Darsni yana o'qing. Faqat o'ylab(bunday eskirgan so'z bor...) Va havolalarni kuzatib boring. Asosiy havolalar doira haqida. Busiz trigonometriya yo'lni ko'r bilan kesib o'tishga o'xshaydi. Ba'zan ishlaydi.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalar tenglamalardir

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

cos(x) = a tenglama

Tushuntirish va asoslash

1. Ildizlar cosx tenglamalari= a. Qachon | a | > 1 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 yoki a da< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Keling | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Intervalda y = cos x funksiya 1 dan -1 gacha kamayadi. Ammo kamayuvchi funktsiya o'zining har bir qiymatini faqat ta'rif sohasining bir nuqtasida oladi, shuning uchun cos x = a tenglama bu oraliqda faqat bitta ildizga ega bo'lib, arkkosin ta'rifi bo'yicha quyidagilarga teng: x 1 = arccos a (va bu ildiz uchun cos x = A).

Kosinus - hatto funktsiya, shuning uchun [-n oraliqda; 0] tenglama cos x = va faqat bitta ildizga ega - x 1 ga qarama-qarshi raqam, ya'ni

x 2 = -arccos a.

Shunday qilib, [-n oraliqda; p] (uzunligi 2p) tenglama cos x = a | bilan a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

y = cos x funktsiyasi 2n davri bilan davriydir, shuning uchun boshqa barcha ildizlar 2n (n € Z) bilan topilganlardan farq qiladi. cos x = a qachon tenglamaning ildizlari uchun quyidagi formulani olamiz

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. cosx = a tenglamani yechishning maxsus holatlari.

Cos x = a qachon tenglamaning ildizlari uchun maxsus belgilarni eslab qolish foydalidir

a = 0, a = -1, a = 1, uni mos yozuvlar sifatida birlik doirasi yordamida osongina olish mumkin.

Chunki kosinus mos keladigan nuqtaning abssissasiga teng birlik doirasi, biz cos x = 0 ni faqat birlik doiraning mos nuqtasi A nuqta yoki B nuqta bo'lsagina olamiz.

Xuddi shunday, cos x = 1, agar birlik aylananing mos keladigan nuqtasi C nuqta bo'lsa, demak,

x = 2p, k € Z.

Shuningdek, cos x = -1, agar birlik doiraning mos nuqtasi D nuqtasi bo'lsa, shuning uchun x = n + 2n,

tenglama sin(x) = a

Tushuntirish va asoslash

1. Ildizlar sinks tenglamalari= a. Qachon | a | > 1 tenglamaning ildizlari yo'q, chunki | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 yoki a da< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Trigonometrik tenglamalarni yechish haqida tushuncha.

• Trigonometrik tenglamani yechish uchun uni bir yoki bir nechta asosiy trigonometrik tenglamalarga aylantiring. Trigonometrik tenglamani yechish oxir-oqibat to'rtta asosiy trigonometrik tenglamani yechishga to'g'ri keladi.

Asosiy trigonometrik tenglamalarni yechish.

• Asosiy trigonometrik tenglamalarning 4 turi mavjud:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Asosiy trigonometrik tenglamalarni echish birlik aylanasidagi turli x pozitsiyalarni ko'rib chiqishni, shuningdek, konversiya jadvalini (yoki kalkulyator) ishlatishni o'z ichiga oladi.
• Misol 1. sin x = 0,866. O'tkazish jadvali (yoki kalkulyator) yordamida siz javob olasiz: x = p/3. Birlik doirasi boshqa javob beradi: 2p/3. Esda tuting: barcha trigonometrik funktsiyalar davriydir, ya'ni ularning qiymatlari takrorlanadi. Masalan, sin x va cos x ning davriyligi 2pn, tg x va ctg x ning davriyligi pn ga teng. Shuning uchun javob quyidagicha yoziladi:
• x1 = p/3 + 2pn; x2 = 2p/3 + 2pn.
• 2-misol. cos x = -1/2. O'tkazish jadvali (yoki kalkulyator) yordamida siz javob olasiz: x = 2p/3. Birlik doirasi boshqa javob beradi: -2p/3.
• x1 = 2p/3 + 2p; x2 = -2p/3 + 2p.
• 3-misol. tg (x - p/4) = 0.
• Javob: x = p/4 + pn.
• 4-misol. ctg 2x = 1,732.
• Javob: x = p/12 + p n.

Trigonometrik tenglamalarni yechishda qo'llaniladigan o'zgartirishlar.

• Trigonometrik tenglamalarni o'zgartirish uchun algebraik o'zgarishlar qo'llaniladi (faktorizatsiya, qisqartirish bir hil a'zolar boshqalar) va trigonometrik identifikatsiyalar.
• 5-misol: trigonometrik identifikatsiyalar yordamida sin x + sin 2x + sin 3x = 0 tenglama 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 tenglamasiga aylantiriladi. Shunday qilib, quyidagi asosiy trigonometrik tenglamalar hal qilish kerak: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Ma'lum funktsiya qiymatlari yordamida burchaklarni topish.

  • Trigonometrik tenglamalarni echishni o'rganishdan oldin ma'lum funksiya qiymatlari yordamida burchaklarni topishni o'rganishingiz kerak. Buni konversiya jadvali yoki kalkulyator yordamida amalga oshirish mumkin.
  • Misol: cos x = 0,732. Kalkulyator x = 42,95 daraja javob beradi. Birlik doirasi qo'shimcha burchaklarni beradi, ularning kosinasi ham 0,732.

• Eritmani birlik doirasiga qo'ying.

  • Trigonometrik tenglamaning yechimlarini birlik doirasi bo‘yicha chizishingiz mumkin. Birlik doiradagi trigonometrik tenglamaning yechimlari muntazam ko‘pburchakning uchlaridir.
  • Misol: Birlik doiradagi x = p/3 + pn/2 yechimlari kvadratning uchlarini ifodalaydi.
  • Misol: Birlik aylanadagi x = p/4 + pn/3 yechimlari muntazam olti burchakli uchlarini ifodalaydi.

• Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari.

  • Agar berilgan trigonometrik tenglama faqat bitta trigonometrik funktsiyani o'z ichiga olsa, bu tenglamani asosiy trigonometrik tenglama sifatida yeching. Agar berilgan tenglama ikki yoki undan ortiq trigonometrik funktsiyani o'z ichiga olgan bo'lsa, unda bunday tenglamani echishning 2 ta usuli mavjud (uni o'zgartirish imkoniyatiga qarab).
    • 1-usul.
  • Bu tenglamani quyidagi ko’rinishdagi tenglamaga aylantiring: f(x)*g(x)*h(x) = 0, bu yerda f(x), g(x), h(x) asosiy trigonometrik tenglamalar.
  • 6-misol. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Yechim. Ikki burchakli sin 2x = 2*sin x*cos x formulasidan foydalanib, sin 2x ni almashtiring.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos x = 0 va (sin x + 1) = 0.
  • 7-misol. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Yechish: Trigonometrik o‘ziga xosliklardan foydalanib, bu tenglamani quyidagi ko‘rinishdagi tenglamaga aylantiring: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos 2x = 0 va (2cos x + 1) = 0.
  • Misol 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Yechish: Trigonometrik o‘ziga xosliklardan foydalanib, bu tenglamani quyidagi ko‘rinishdagi tenglamaga aylantiring: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Endi ikkita asosiy trigonometrik tenglamani yeching: cos 2x = 0 va (2sin x + 1) = 0 .
    • 2-usul.
  • Berilgan trigonometrik tenglamani faqat bitta trigonometrik funksiyadan iborat tenglamaga aylantiring. Keyin bu trigonometrik funktsiyani noma'lum funktsiya bilan almashtiring, masalan, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t va boshqalar).
  • 9-misol. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0)< x < 2π).
  • Yechim. IN berilgan tenglama(cos ^ 2 x) ni (1 - sin ^ 2 x) bilan almashtiring (identifikatsiyaga ko'ra). O'zgartirilgan tenglama:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x ni t bilan almashtiring. Endi tenglama quyidagicha ko'rinadi: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Bu kvadrat tenglama, ikkita ildizga ega: t1 = -1 va t2 = 9/5. Ikkinchi ildiz t2 funktsiya diapazonini qoniqtirmaydi (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • 10-misol. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Yechim. tg x ni t bilan almashtiring. Dastlabki tenglamani quyidagicha qayta yozing: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Endi t ni toping va keyin t = tan x uchun x ni toping.