Styuart bunga loyiq eng yuqori reyting Jahon raqamlar hamjamiyatidagi har bir ishtirokchining o'rni naqadar buyuk, hayratlanarli va foydali ekanligi haqidagi hikoyasi uchun. Kirkus sharhlari Styuart murakkab masalalarni tushuntirishda ajoyib ish qiladi. Yangi olim Britaniyaning matematikani eng yorqin va samarali ommalashtirishchisi. Aleks Bellos Kitob nima haqida?Aslida, matematika raqamlardir, bu bizning dunyoni tushunishimiz uchun asosiy vositamiz. Matematikaning eng mashhur britaniyalik ommabop, professor Yan Styuart o'z kitobida bizni o'rab turgan raqamlarga, tanish belgilar kombinatsiyasidan tortib, yanada ekzotik - faktoriallar, fraktallar yoki Aperi doimiysigacha bo'lgan ajoyib kirishni taklif qiladi. Bu yo'lda muallif bizga tub sonlar, kub tenglamalari, nol tushunchasi, Rubik kubining mumkin bo'lgan versiyalari, raqamlarning insoniyat tarixidagi o'rni va bizning davrimizda ularni o'rganishning dolzarbligi haqida gapirib beradi. Styuart o'ziga xos aql va bilimdonligi bilan o'quvchiga matematikaning maftunkor olamini ochib beradi. Nima uchun kitob o'qishga arziydi Britaniyalik matematikaning eng yaxshi ommalashtiruvchisi, 2015 yilgi Lyuis Tomas mukofoti sovrindori hikoyasidagi eng aql bovar qilmaydigan raqamlar haqidagi eng qiziqarli narsa. Ian Styuart sharhlari ajoyib xususiyatlar noldan cheksizgacha bo'lgan raqamlar - tabiiy, murakkab, irratsional, ijobiy, salbiy, oddiy, kompozit - va ularning tarixini ko'rsatadi. ajoyib kashfiyotlar Oldin qadimgi matematiklar hozirgi holat matematika fani. Professorning tajribali rahbarligida siz matematik kodlar va Sudoku, Rubik kubi va musiqiy tarozilar sirlarini o'rganasiz, bir cheksizlik boshqasidan qanday kattaroq bo'lishini ko'rasiz, shuningdek, o'n bir o'lchovli fazoda yashayotganingizni bilib olasiz. Bu kitob raqamlarni yaxshi ko'radiganlarni va hali ham ularni sevmayman deb o'ylaydiganlarni quvontiradi. Muallif haqida Professor Yan Styuart matematikaning dunyoga mashhur ommabopchisi va ko'plab qiziqarli kitoblar muallifi bo'lib, qator oliy xalqaro akademik mukofotlarga sazovor bo'lgan. 2001 yilda London Qirollik jamiyatining a'zosi bo'ldi. Uorvik universitetining faxriy professori, u chiziqli bo'lmagan tizimlar dinamikasini tadqiq qiladi va matematik bilimlarni rivojlantiradi. "Eng buyuk" bestselleri kitobi muallifi matematik muammolar"Alpina" nashriyoti tomonidan 2015 yilda nashr etilgan. Asosiy tushunchalarMatematika, raqamlar, raqamlar, topishmoqlar, oliy matematika, matematik masalalar, matematik tadqiqotlar, matematika tarixi, fan, fan.

Styuart global raqamlar hamjamiyatidagi har bir insonning roli qanchalik buyuk, hayratlanarli va foydali ekanligi haqidagi hikoyasi uchun eng yuqori maqtovga loyiqdir. Kirkus sharhlari Styuart murakkab masalalarni tushuntirishda ajoyib ish qiladi. Yangi olim Britaniyaning matematikani eng yorqin va samarali ommalashtirishchisi. Aleks Bellos Kitob nima haqida?Aslida, matematika raqamlardir, bu bizning dunyoni tushunishimiz uchun asosiy vositamiz. Uning kitobida

...

Styuart global raqamlar hamjamiyatidagi har bir insonning roli qanchalik buyuk, hayratlanarli va foydali ekanligi haqidagi hikoyasi uchun eng yuqori maqtovga loyiqdir. Kirkus sharhlari Styuart murakkab masalalarni tushuntirishda ajoyib ish qiladi. Yangi olim Britaniyaning matematikani eng yorqin va samarali ommalashtirishchisi. Aleks Bellos Kitob nima haqida?Aslida, matematika raqamlardir, bu bizning dunyoni tushunishimiz uchun asosiy vositamiz. Matematikaning eng mashhur britaniyalik ommabop, professor Yan Styuart o'z kitobida bizni o'rab turgan raqamlarga, tanish belgilar kombinatsiyasidan tortib, yanada ekzotik - faktoriallar, fraktallar yoki Aperi doimiysigacha bo'lgan ajoyib kirishni taklif qiladi. Bu yo'lda muallif bizga tub sonlar, kub tenglamalari, nol tushunchasi, Rubik kubining mumkin bo'lgan versiyalari, raqamlarning insoniyat tarixidagi o'rni va bizning davrimizda ularni o'rganishning dolzarbligi haqida gapirib beradi. Styuart o'ziga xos aql va bilimdonligi bilan o'quvchiga matematikaning maftunkor olamini ochib beradi. Nima uchun kitob o'qishga arziydi Britaniyalik matematikaning eng yaxshi ommalashtiruvchisi, 2015 yilgi Lyuis Tomas mukofoti sovrindori hikoyasidagi eng aql bovar qilmaydigan raqamlar haqidagi eng qiziqarli narsa. Ian Styuart raqamlarning noldan cheksizgacha bo'lgan hayratlanarli xossalarini - tabiiy, murakkab, irratsional, musbat, manfiy, tub, kompozitsion - o'rganadi va ularning tarixini qadimgi matematiklarning ajoyib kashfiyotlaridan tortib, matematika fanining hozirgi holatigacha ko'rsatadi. Professorning tajribali rahbarligida siz matematik kodlar va Sudoku, Rubik kubi va musiqiy tarozilar sirlarini o'rganasiz, bir cheksizlik boshqasidan qanday kattaroq bo'lishini ko'rasiz, shuningdek, o'n bir o'lchovli fazoda yashayotganingizni bilib olasiz. Bu kitob raqamlarni yaxshi ko'radiganlarni va hali ham ularni sevmayman deb o'ylaydiganlarni quvontiradi. Muallif haqida Professor Yan Styuart matematikaning dunyoga mashhur ommabopchisi va ko'plab qiziqarli kitoblar muallifi bo'lib, qator oliy xalqaro akademik mukofotlarga sazovor bo'lgan. 2001 yilda London Qirollik jamiyatining a'zosi bo'ldi. Uorvik universitetining faxriy professori, u chiziqli bo'lmagan tizimlar dinamikasini tadqiq qiladi va matematik bilimlarni rivojlantiradi. 2015-yilda "Alpina Non-Fiction" nashriyoti tomonidan chop etilgan "Eng katta matematik muammolar" bestselleri muallifi. Asosiy tushunchalar: Matematika, raqamlar, raqamlar, topishmoqlar, oliy matematika, matematik muammolar, matematik tadqiqotlar, matematika tarixi, fan. , fan.

kitob" Professor Styuartning aql bovar qilmaydigan raqamlari"Styuart Ian tomonidan Kitob qo'llanmasiga tashrif buyuruvchilar tomonidan baholandi va uning o'quvchi reytingi 10 tadan 0,00 edi.
Quyidagilar bepul ko'rish uchun mavjud: referat, nashr, sharhlar, shuningdek yuklab olish uchun fayllar.

Uorvik universitetining faxriy matematika professori, mashhur fan ommabop Ian Styuart raqamlarning insoniyat tarixidagi o'rni va bizning davrimizda ularni o'rganishning dolzarbligiga bag'ishlangan.

Pifagor gipotenuzasi

Pifagor uchburchagi to'g'ri burchakli va butun tomonlarga ega. Ulardan eng oddiyining eng uzun tomoni uzunligi 5, qolganlari - 3 va 4. Hammasi bo'lib 5 ta muntazam ko'pburchaklar mavjud. Beshinchi darajali tenglamani beshinchi ildizlar yoki boshqa ildizlar yordamida yechish mumkin emas. Samolyotdagi va ichkaridagi panjaralar uch o'lchamli bo'shliq besh bargli aylanish simmetriyasiga ega emas, shuning uchun kristallarda bunday simmetriyalar mavjud emas. Biroq, ularni to'rt o'lchamdagi panjaralarda va kvazikristallar deb nomlanuvchi qiziqarli tuzilmalarda topish mumkin.

Eng kichik Pifagor uchligining gipotenuzasi

Pifagor teoremasi shuni ko'rsatadiki, to'g'ri burchakli uchburchakning eng uzun tomoni (mashhur gipotenuza) bu uchburchakning qolgan ikki tomoni bilan juda oddiy va chiroyli tarzda bog'langan: gipotenuzaning kvadrati uchburchak kvadratlarining yig'indisiga teng. boshqa ikki tomon.

An'anaga ko'ra, biz bu teoremani Pifagor nomi bilan ataymiz, lekin aslida uning tarixi juda noaniq. Gil lavhalar qadimgi bobilliklar Pifagor teoremasini Pifagorning o'zidan ancha oldin bilishganini ko'rsatadi; Kashfiyotchining shon-shuhratini unga Pifagorchilarning matematik kulti olib keldi, ularning tarafdorlari koinot raqamli qonunlarga asoslangan deb hisoblashgan. Qadimgi mualliflar Pifagorchilarga - shuning uchun Pifagorga - turli xil matematik teoremalar, lekin aslida biz Pifagorning o'zi qanday matematikani bilmaymiz. Pifagorchilar Pifagor teoremasini isbotlay oladimi yoki ular buni haqiqat deb hisoblashadimi, biz hatto bilmaymiz. Yoki, ehtimol, ularda uning haqiqatining ishonchli dalillari bor edi, ammo bu bugungi kunda biz ko'rib chiqadigan dalillar uchun etarli bo'lmaydi.

Pifagorning dalillari

Pifagor teoremasining birinchi isboti Evklid elementlarida topilgan. Bu Viktoriya maktab o'quvchilari darhol "Pifagor shimlari" deb tan olishlari mumkin bo'lgan rasm yordamida juda murakkab dalil; Chizma haqiqatan ham chiziqda quritilgan ichki ishtonga o'xshaydi. Tom ma'noda yuzlab boshqa dalillar mavjud, ularning aksariyati tasdiqni yanada aniqroq qiladi.

Perigalning parchalanishi boshqa jumboqning isbotidir.

Kvadratlarni tekislikda joylashtirish yordamida teoremaning isboti ham mavjud. Ehtimol, Pifagorchilar yoki ularning noma'lum o'tmishdoshlari bu teoremani shunday kashf qilishgan. Agar siz bukilgan kvadratning boshqa ikkita kvadratni qanday qilib bir-biriga yopishganini ko'rsangiz, katta kvadratni qanday qilib bo'laklarga kesib, keyin ularni ikkita kichikroq kvadratga birlashtirishni ko'rishingiz mumkin. Shuningdek, tomonlari ishtirok etgan uchta kvadratning o'lchamlarini beradigan to'g'ri burchakli uchburchaklarni ham ko'rishingiz mumkin.

Yemoq qiziqarli dalillar trigonometriyada o'xshash uchburchaklardan foydalanish. Kamida ellik xil dalil ma'lum.

Pifagor uchliklari

Sonlar nazariyasida Pifagor teoremasi samarali g'oyaning manbai bo'ldi: butun son echimlarini topish. algebraik tenglamalar. Pifagor uchligi a, b va c butun sonlar to'plamidir

a 2 + b 2 = c 2.

Geometrik jihatdan bunday uchlik aniqlaydi to'g'ri uchburchak butun tomonlari bilan.

Pifagor uchligining eng kichik gipotenuzasi 5 ga teng.

Bu uchburchakning qolgan ikki tomoni 3 va 4. Bu yerda

3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 .

Keyingi eng katta gipotenuza 10 ga teng, chunki

6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 = 10 2 .

Biroq, bu ikki tomonli bir xil uchburchakdir. Keyingi eng katta va haqiqatdan ham farqli gipotenuza 13 ga teng, buning uchun

5 2 + 12 2 = 25 + 144 = 169 = 13 2 .

Evklid Pifagor uchliklarining cheksiz ko'p turli xil o'zgarishlari borligini bilar edi va ularning barchasini topish uchun formulani berdi. Keyinchalik, Iskandariyalik Diophantus asosan Evklid bilan bir xil bo'lgan oddiy retseptni taklif qildi.

Istalgan ikkita natural sonni oling va hisoblang:

ularning ikki tomonlama mahsuloti;

ularning kvadratlari farqi;

ularning kvadratlari yig'indisi.

Olingan uchta raqam Pifagor uchburchagining tomonlari bo'ladi.

Masalan, 2 va 1 raqamlarini olaylik. Hisoblab chiqamiz:

er-xotin mahsulot: 2 × 2 × 1 = 4;

kvadratlar farqi: 2 2 – 1 2 = 3;

kvadratlar yig'indisi: 2 2 + 1 2 = 5,

va biz mashhur 3-4-5 uchburchagini oldik. Agar biz 3 va 2 raqamlarini olsak, biz quyidagilarni olamiz:

er-xotin mahsulot: 2 × 3 × 2 = 12;

kvadratlar farqi: 3 2 – 2 2 = 5;

kvadratlar yig'indisi: 3 2 + 2 2 = 13,

va biz keyingi eng mashhur uchburchakni olamiz 5 - 12 - 13. Keling, 42 va 23 raqamlarini olishga harakat qilaylik va olamiz:

er-xotin mahsulot: 2 × 42 × 23 = 1932;

kvadratlar farqi: 42 2 – 23 2 = 1235;

kvadratlar yig'indisi: 42 2 + 23 2 = 2293,

1235-1932-2293 uchburchak haqida hech kim eshitmagan.

Ammo bu raqamlar ham ishlaydi:

1235 2 + 1932 2 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 2293 2 .

Diophantine qoidasining yana bir xususiyati bor, u allaqachon ishora qilingan: uchta raqam berilgan bo'lsa, biz boshqa ixtiyoriy raqamni olib, barchasini ko'paytirishimiz mumkin. Shunday qilib, 3-4-5 uchburchakni barcha tomonlarini 2 ga ko'paytirish orqali 6-8-10 uchburchakka yoki barchasini 5 ga ko'paytirish orqali 15-20-25 uchburchakka aylantirish mumkin.

Agar algebra tiliga o'tsak, qoida quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: u, v va k bo'lsin butun sonlar. Keyin tomonlari bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak

2kuv va k (u 2 – v 2) gipotenuzaga ega

Asosiy g'oyani taqdim etishning boshqa usullari ham bor, ammo ularning barchasi yuqorida tavsiflanganiga to'g'ri keladi. Bu usul barcha Pifagor uchliklarini olish imkonini beradi.

Oddiy ko'p yuzli

To'liq beshta muntazam ko'pburchaklar mavjud. Muntazam ko'pburchak (yoki ko'pburchak) hisoblanadi hajmli raqam chekli sonli tekis yuzlar bilan. Yuzlar bir-biri bilan qirralar deb ataladigan chiziqlarda uchrashadi; qirralarning uchlari deb ataladigan nuqtalarda uchrashadi.

Evklid Prinsipiyasining kulminatsiyasi shundan dalolat beradiki, faqat beshta muntazam koʻpyoqlama boʻlishi mumkin, yaʼni har bir yuzi muntazam koʻpburchak (teng tomonlar, teng burchaklar), barcha yuzlari bir xil va barcha choʻqqilari teng koʻpburchaklar bilan oʻralgan boʻlgan koʻpyoqlamalar boʻlishi mumkin. teng masofada joylashgan yuzlar soni. Mana beshta oddiy ko'pburchaklar:

to'rtta uchburchak yuzli, to'rtta uchi va oltita qirrali tetraedr;

kub yoki olti burchakli, 6 kvadrat yuzi, 8 tepasi va 12 qirrasi;

8 ta uchburchak yuzli, 6 ta uchi va 12 ta qirrali oktaedr;

12 ta beshburchak yuzli, 20 ta cho'qqi va 30 qirrali dodekaedr;

20 ta uchburchak yuzi, 12 ta uchi va 30 ta qirrali ikosahedr.

Muntazam ko'pburchaklarni tabiatda ham topish mumkin. 1904 yilda Ernst Gekkel radiolariyaliklar deb nomlanuvchi mayda organizmlarning rasmlarini nashr etdi; ularning ko'pchiligi o'sha beshta oddiy ko'p yuzli shaklga ega. Ehtimol, u tabiatni biroz tuzatgan va chizmalar o'ziga xos tirik mavjudotlarning shaklini to'liq aks ettirmaydi. Birinchi uchta struktura kristallarda ham kuzatiladi. Kristallarda siz dodekaedr va ikosahedrlarni topa olmaysiz, garchi u erda tartibsiz dodekaedrlar va ikosahedrlar ham uchraydi. Haqiqiy dodekaedrlar kvazikristallar shaklida paydo bo'lishi mumkin, ular har jihatdan kristallarga o'xshaydi, faqat atomlari davriy panjara hosil qilmaydi.

Avval bir-biriga bog'langan yuzlar to'plamini kesib, qog'ozdan muntazam ko'pburchaklar modellarini yasash qiziqarli bo'lishi mumkin - bu ko'pburchakni ishlab chiqish deb ataladi; rivojlanish qirralarning bo'ylab katlanmış va mos keladigan qirralarning bir-biriga yopishtirilgan. Rasmda ko'rsatilganidek, har bir bunday juftlikning qovurg'alaridan biriga qo'shimcha elim yostig'ini qo'shish foydalidir. 39. Agar bunday platforma bo'lmasa, siz yopishqoq lentadan foydalanishingiz mumkin.

Beshinchi darajali tenglama

Mavjud emas algebraik formula 5-darajali tenglamalarni yechish uchun.

IN umumiy ko'rinish Beshinchi darajali tenglama quyidagicha ko'rinadi:

ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0.

Muammo shundaki, bunday tenglamaning yechimlari formulasini topish (u beshtagacha yechimga ega bo'lishi mumkin). Kvadrat va kub tenglamalar, shuningdek, to'rtinchi darajali tenglamalar bilan tajriba shuni ko'rsatadiki, bunday formula beshinchi darajali tenglamalar uchun ham mavjud bo'lishi kerak va nazariy jihatdan beshinchi, uchinchi va ikkinchi darajali ildizlar unda paydo bo'lishi kerak. Shunga qaramay, biz ishonch bilan taxmin qilishimiz mumkinki, bunday formula, agar mavjud bo'lsa, juda va juda murakkab bo'ladi.

Bu taxmin oxir-oqibat noto'g'ri bo'lib chiqdi. Aslida, bunday formula mavjud emas; hech bo'lmaganda qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish va ildiz olishdan foydalangan holda tuzilgan a, b, c, d, e va f koeffitsientlaridan iborat formula yo'q. Shunday qilib, 5 raqamida juda o'ziga xos narsa bor. Besh kishining bunday g'ayrioddiy xatti-harakatlarining sabablari juda chuqur va ularni tushunish uchun ko'p vaqt kerak bo'ldi.

Muammoning birinchi belgisi shundaki, matematiklar bunday formulani topishga qanchalik urinmasinlar, qanchalik aqlli bo'lmasin, ular doimo muvaffaqiyatsizlikka uchradilar. Bir muncha vaqt hamma sabablar formulaning aql bovar qilmaydigan murakkabligida ekanligiga ishonishdi. Hech kim bu algebrani to'g'ri tushuna olmaydi, deb ishonilgan. Biroq, vaqt o'tishi bilan ba'zi matematiklar bunday formulaning mavjudligiga shubha qila boshladilar va 1823 yilda Niels Xendrik Abel buning aksini isbotlay oldi. Bunday formula yo'q. Ko'p o'tmay, Evariste Galois u yoki bu darajadagi tenglama - 5, 6, 7, har qanday turdagi formulalar yordamida yechish mumkinmi yoki yo'qligini aniqlash yo'lini topdi.

Bularning barchasidan xulosa qilish oddiy: 5 raqami alohida. Siz algebraik tenglamalarni echishingiz mumkin ( n-chi ildizlar n) ning turli qiymatlari uchun darajalar 1, 2, 3 va 4 darajalar uchun, lekin 5-darajali uchun emas. Bu aniq naqsh tugaydi.

5 dan yuqori darajali tenglamalar bundan ham yomonroq harakat qilishiga hech kim ajablanmaydi; xususan, bir xil qiyinchilik ular bilan bog'liq: ularni hal qilish uchun umumiy formulalar mavjud emas. Bu tenglamalarning yechimlari yo'q degani emas; Bu shuningdek, ushbu echimlar uchun juda aniq raqamli qiymatlarni topish mumkin emas degani emas. Bu an'anaviy algebra vositalarining cheklovlari haqida. Bu o'lchagich va sirkul yordamida burchakni trisektsiya qilishning mumkin emasligini eslatadi. Javob mavjud, ammo sanab o'tilgan usullar etarli emas va bu nima ekanligini aniqlashga imkon bermaydi.

Kristallografik chegaralanish

Ikki va uch o'lchamdagi kristallar 5 nurli aylanish simmetriyasiga ega emas.

Kristaldagi atomlar panjara, ya'ni davriy ravishda bir necha mustaqil yo'nalishlarda takrorlanadigan tuzilma hosil qiladi. Misol uchun, devor qog'ozi ustidagi naqsh rulon uzunligi bo'ylab takrorlanadi; bundan tashqari, u odatda gorizontal yo'nalishda takrorlanadi, ba'zan devor qog'ozining bir qismidan ikkinchisiga o'tish bilan. Aslida, devor qog'ozi ikki o'lchovli kristalldir.

Samolyotda devor qog'ozi naqshlarining 17 turi mavjud (17-bobga qarang). Ular simmetriya turlarida, ya'ni naqshni asl holatida aynan o'zida yotadigan tarzda qattiq siljitish usullarida farqlanadi. Simmetriya turlari, xususan, aylanish simmetriyasining turli xil variantlarini o'z ichiga oladi, bu erda naqshni ma'lum bir nuqta atrofida ma'lum bir burchak bilan aylantirish kerak - simmetriya markazi.

Aylanish simmetriyasining tartibi - bu naqshning barcha tafsilotlari dastlabki holatiga qaytishi uchun tanani to'liq aylana bo'ylab necha marta aylantirish mumkin. Masalan, 90° ga aylanish 4-darajali aylanish simmetriyasidir*. Kristal panjaradagi aylanish simmetriyasining mumkin bo'lgan turlari ro'yxati yana 5 raqamining g'ayrioddiyligiga ishora qiladi: u erda yo'q. 2, 3, 4 va 6-darajali aylanish simmetriyasiga ega variantlar mavjud, ammo devor qog'ozi dizaynlarining hech biri 5-tartibli aylanish simmetriyasiga ega emas. 6 dan kattaroq tartibli aylanish simmetriyasi kristallarda ham mavjud emas, lekin ketma-ketlikning birinchi buzilishi hali ham 5-raqamda sodir bo'ladi.

Xuddi shu narsa uch o'lchovli fazoda kristallografik tizimlar bilan sodir bo'ladi. Bu erda panjara uchta mustaqil yo'nalishda takrorlanadi. Simmetriyaning 219 xil turi mavjud, agar hisoblasangiz, 230 ta oyna aksi uning alohida versiyasi sifatida chizish - bu holda ko'zgu simmetriyasi yo'qligiga qaramasdan. Shunga qaramay, 2, 3, 4 va 6 tartiblarning aylanish simmetriyalari kuzatiladi, lekin 5 emas. Bu fakt kristallografik chegaralanish deb ataladi.

To'rt o'lchovli fazoda 5-tartibli simmetriyaga ega bo'lgan panjaralar mavjud; Umuman olganda, etarlicha yuqori o'lchamdagi panjaralar uchun aylanish simmetriyasining oldindan belgilangan har qanday tartibi mumkin.

Kvazikristallar

2D yoki 3D panjaralarda 5-tartibli aylanish simmetriyasi mumkin bo'lmasa-da, u kvazikristallar deb nomlanuvchi biroz kamroq muntazam tuzilmalarda mavjud bo'lishi mumkin. Rojer Penrouz Keplerning eskizlaridan foydalanib, umumiy tipdagi besh karra simmetriyaga ega planar tizimlarni kashf etdi. Ular kvazikristallar deb ataladi.

Kvasikristallar tabiatda mavjud. 1984 yilda Daniel Shextman alyuminiy va marganets qotishmasi kvazikristallar hosil qilishi mumkinligini aniqladi; Dastlab, kristallograflar uning xabarini biroz shubha bilan kutib olishdi, ammo keyinchalik bu kashfiyot tasdiqlandi va 2011 yilda Shextman mukofotlandi. Nobel mukofoti kimyoda. 2009-yilda Luka Bindi boshchiligidagi olimlar guruhi Rossiyaning Koryak tog‘laridagi mineralda – alyuminiy, mis va temir birikmasi tarkibida kvazikristallarni topdilar. Bugungi kunda bu mineral ikosahedrit deb ataladi. Mass-spektrometr yordamida mineral tarkibidagi turli kislorod izotoplari miqdorini o‘lchab, olimlar bu mineral Yerda paydo bo‘lmaganligini ko‘rsatdi. U taxminan 4,5 milliard yil oldin, bir vaqtning o'zida shakllangan quyosh tizimi u endigina go‘daklik davrida bo‘lgan va ko‘p vaqtini asteroid kamarida, Quyosh atrofida aylanib yurgan, toki ba’zi bir buzilish orbitasini o‘zgartirib, oxir-oqibat uni Yerga olib kelgan.

Dunyo raqamlar kuchiga qurilgan.
Pifagorlar

Hatto erta bolalikda ham biz hisoblashni o'rganamiz, keyin maktabda cheksiz sonlar qatori, geometriya elementlari, kasr va irratsional sonlar haqida tasavvurga ega bo'lamiz, algebra va matematik tahlil tamoyillarini o'rganamiz. Zamonaviy bilim va zamonaviy amaliy faoliyatda matematikaning roli juda katta.

Matematikasiz fizika, muhandislik va ishlab chiqarishni tashkil etishda taraqqiyot imkonsiz bo'lar edi.
Raqam matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo'lib, hisoblash yoki o'lchash natijalarini ifodalash imkonini beradi. Butun hayotimizni tartibga solish uchun bizga raqamlar kerak. Ular bizni hamma joyda o'rab olishadi: uy raqamlari, mashina raqamlari, tug'ilgan sanalari, cheklar ...

Matematikani dunyoga mashhur ommalashtiruvchi va ko‘plab qiziqarli kitoblar muallifi Yan Styuartning tan olishicha, raqamlar uni boshidanoq hayratga solgan. erta bolalik, va "shu kungacha u raqamlarga qiziqadi va ular haqida tobora ko'proq yangi faktlarni o'rganadi."

Uning yangi kitobining qahramonlari raqamlardir. Ingliz professorining so'zlariga ko'ra, ularning har biri o'ziga xos xususiyatlarga ega. Ulardan ba'zilari o'ynaydi asosiy rol matematikaning ko'p sohalarida. Masalan, aylana aylanasining diametriga nisbatini ifodalovchi p soni. Ammo, muallifning fikriga ko'ra, "hatto eng kamtarona raqam ham bo'ladi g'ayrioddiy mulk" Shunday qilib, masalan, 0 ga bo'linib bo'lmaydi va "matematikaning poydevorida hamma raqamlar noldan olinishi mumkin". Eng kichik musbat butun son 1. Bu arifmetikaning boʻlinmas birligi boʻlib, kichikroq musbat sonlarni qoʻshib boʻlmaydigan yagona musbat sondir. Biz 1 dan sanashni boshlaymiz, hech kim 1 ga ko'paytirishda qiyinchilik tug'dirmaydi. 1 ga ko'paytirilganda yoki 1 ga bo'lingan har qanday son o'zgarishsiz qoladi. Bu birlik, bu shunday harakat qiladi.
Nashrni ochadi qisqa sharh sanoq tizimlari. Muallif raqamlar haqidagi insoniy g'oyalarni o'zgartirish kontekstida ular qanday rivojlanganligini ko'rsatadi. Agar uzoq o'tmishda matematik bilimlar kundalik muammolarni hal qilish uchun ishlatilgan bo'lsa, bugungi kunda amaliyot matematika uchun tobora murakkab muammolarni keltirib chiqarmoqda.
Kitobning har bir bobi bitta haqida gapiradi " qiziqarli raqam" “0”, “√2”, “-1” boblari bor... Ian Styuartning kitobini o'qib, siz haqiqatdan ham raqamlar olami naqadar hayratlanarli ekanligini tushuna boshlaysiz! Albatta, matematik bilimga ega bo'lmagan o'quvchi professor Styuartning aql bovar qilmaydigan raqamlarini tushunish qiyin bo'lishi mumkin. Nashr, aksincha, bilimdon bo'lishga intilayotgan yoki o'z bilimini ko'rsatishni istaganlar uchun mo'ljallangan. Ammo, agar siz matematikani yaxshi ko'rsangiz va, masalan, super-mega katta raqamlar yoki mega-kichik raqamlar haqida o'rganishni istasangiz, bu kitob siz uchun.

1 dan 10 gacha raqamlar bilan ishlagandan so'ng, biz bir qadam orqaga chekinamiz va 0 ga qaraymiz.
Keyin -1 ni olish uchun yana bir qadam orqaga qayting.
Bu biz uchun salbiy raqamlarning butun dunyosini ochadi. Shuningdek, raqamlar uchun yangi foydalanishni ko'rsatadi.
Endi ular nafaqat hisoblash uchun kerak.

0. Hech narsa raqam emasmi yoki yo'qmi?

Nol birinchi marta raqamlarni yozish tizimlarida paydo bo'lgan va aynan shu maqsadda - yozib olish, ya'ni belgilash uchun mo'ljallangan edi. Keyinchalik nol mustaqil son sifatida tan olindi va uning o'rnini - matematik sanoq tizimining asosiy komponentlaridan birining o'rnini egallashga ruxsat berildi. Biroq, nol juda ko'p noodatiy, ba'zan paradoksal xususiyatlarga ega. Xususan, biron bir narsani 0 ga bo'lishning iloji yo'q va matematikaning eng chuqur joyida barcha raqamlar 0 dan kelib chiqishi mumkin.

Sanoq tizimining tuzilishi

Ko'pgina qadimgi madaniyatlarda 1, 10 va 100 belgilari bir-biri bilan hech qanday aloqasi yo'q edi. Masalan, qadimgi yunonlar 1 dan 9 gacha, 10 dan 90 gacha va 100 dan 900 gacha raqamlarni ifodalash uchun alifbo harflaridan foydalanganlar. Bu tizim chalkashlikka olib kelishi mumkin, garchi odatda kontekstdan aniq nima ekanligini aniqlash oson. harf ma'nosini anglatadi: haqiqiy harf yoki raqam. Ammo, bundan tashqari, bunday tizim arifmetik operatsiyalarni juda qiyinlashtirdi.

Bizning raqamlarni yozish usuli, bir xil raqam deganda turli raqamlar, sondagi o'rniga qarab, pozitsion belgi deyiladi (10-bobga qarang). Ushbu tizim qog'ozda "ustun shaklida" hisoblash uchun juda jiddiy afzalliklarga ega va yaqin vaqtgacha dunyodagi ko'pgina hisob-kitoblar shunday amalga oshirilgan. Pozitsion belgilar bilan siz bilishingiz kerak bo'lgan asosiy narsa o'nta belgini 0 dan 9 gacha qo'shish va ko'paytirishning asosiy qoidalaridir. Bu naqshlar bir xil raqamlar boshqa pozitsiyalarda bo'lganda ham qo'llaniladi.
Masalan,
23 + 5 = 28   230 + 50 = 280   2300 + 500 = 2800.

Biroq, qadimgi yunon yozuvida birinchi ikkita misol quyidagicha ko'rinadi:
κγ + ε = κη     σλ + ν = σπ,
va ular orasida aniq o'xshashliklar yo'q.

Biroq, pozitsion belgilar, xususan, 2015 raqamida paydo bo'ladigan qo'shimcha xususiyatga ega: null belgiga bo'lgan ehtiyoj. Bunday holda, u sonda yuzlar yo'qligini aytadi. Yunon yozuvida null belgiga ehtiyoj yo'q. s sonida, aytaylik, s 200 ni, p esa 80 ni bildiradi. Raqamda a - th birlik belgilari yo'qligi sababli, unda hech qanday birliklar yo'qligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin. Null belgisini ishlatish o'rniga, biz raqamga bitta belgi yozmaymiz.

Agar biz o‘nlik sanoq sistemasida xuddi shunday qilishga harakat qilsak, 2015 yil 215 ga aylanadi va bu raqam nimani anglatishini ayta olmaymiz: 215, 2150, 2105, 2015 yoki ehtimol 2 000 150. Pozitsion tizimning dastlabki versiyalari bo'sh joy ishlatilgan, 2 15, lekin bo'sh joyni o'tkazib yuborish oson va ketma-ket ikkita bo'shliq faqat bir oz uzunroq bo'sh joy. Shunday qilib, chalkashlik bor va har doim xato qilish oson.

Nolning qisqacha tarixi

Bobil

Bobilliklar dunyo madaniyatlari orasida birinchi bo'lib "bu erda raqam yo'q" degan ma'noni anglatuvchi belgini o'ylab topdilar. Keling, (10-bobga qarang) Bobil sanoq tizimining asosi 10 emas, balki 60 ekanligini eslaylik. Ilk Bobil arifmetikasida 60 2 komponentining yo'qligi bo'sh joy bilan ko'rsatilgan, lekin III asrga kelib. Miloddan avvalgi e. buning uchun maxsus belgi ixtiro qildilar. Biroq, bobilliklar bu belgini haqiqiy raqam deb hisoblamagan ko'rinadi. Bundan tashqari, raqam oxirida bu belgi qo'yib yuborildi va uning ma'nosini kontekstdan taxmin qilish kerak edi.

Hindiston

10-sonli sanoq tizimidagi raqamlarning pozitsiyali yozuvi g'oyasi birinchi marta eramizning 458-yildagi Jain kosmologik matni Lokavibhagada paydo bo'lgan, u ham foydalanadi. Shunya(“bo‘shliq” degan ma’noni bildiradi) 0 ni qo‘yamiz. 498-yilda mashhur hind matematigi va astronomi Aryabxata raqamlarni yozishning pozitsion tizimini “har bir joydan keyin joy, kattaligi bo‘yicha 10 marta katta” deb ta’riflagan. O'nlik 0 raqami uchun maxsus belgining birinchi ma'lum qo'llanilishi Gvaliordagi Chaturbhuja ibodatxonasidagi yozuvda 876 yilga to'g'ri keladi; bu belgi ifodalaydi - taxmin qiling, nima? Kichik doira.

Mayya

Miloddan avvalgi 250-900 yillarda o'zining eng yuqori cho'qqisiga chiqqan Markaziy Amerika Mayya tsivilizatsiyasi 20-sonli raqam tizimidan foydalangan va nolni ifodalovchi maxsus belgiga ega edi. Aslida, bu usul ancha oldin paydo bo'lgan va Olmeklar tomonidan ixtiro qilingan deb hisoblanadi (miloddan avvalgi 1500-400). Bundan tashqari, mayyaliklar o'zlarining taqvim tizimida raqamlardan faol foydalanganlar, ularning qoidalaridan biri "uzoq hisoblash" deb nomlangan. Bu, zamonaviy G'arb taqvimiga ko'ra, miloddan avvalgi 3114 yil 11 avgustga to'g'ri keladigan afsonaviy yaratilish sanasidan keyingi kunlarda sanani hisoblashni anglatadi. e. Ushbu tizimda nol belgisi mutlaqo zarur, chunki usiz noaniqlikdan qochish mumkin emas.

Nol raqammi?

9-asrgacha. nol qulay deb hisoblangan ramzi raqamli hisoblar uchun, lekin o'z-o'zidan raqam hisoblanmadi. Ehtimol, hisoblash uchun ishlatilmagani uchun.

Qancha sigiringiz borligini so'rashsa - va sizda ham sigir bor - siz ularning har birini navbatma-navbat ko'rsatasiz va sanaysiz: "Bir, ikki, uch..." Lekin sigiringiz bo'lmasa, unday olmaysiz. Bir sigirni ko'rsating va ayting: "Nol", chunki sizda ko'rsatadigan hech narsa yo'q. 0 hech qachon hisoblanmaganligi sababli, bu raqam emas.

Agar bu pozitsiya sizga g'alati tuyulsa, shuni ta'kidlash kerakki, bundan oldin "bitta" ham raqam hisoblanmagan. Ba'zi tillarda "son" so'zi "bir necha" yoki hatto "ko'p" degan ma'noni ham anglatadi. Deyarli barcha zamonaviy tillarda birlik va ko'plik o'rtasida farq mavjud. Qadimgi yunon tilida "ikki" raqam ham mavjud bo'lib, ikkita narsa yoki shaxs haqidagi suhbatlarda so'zlarning maxsus shakllari ishlatilgan. Shu ma'noda, "ikki" ham boshqalar kabi bir xil raqam hisoblanmadi. Xuddi shu narsa boshqa bir nechta klassik tillarda va hatto ba'zi zamonaviy tillarda, masalan, Shotlandiya gael yoki sloven tillarida kuzatiladi. Xuddi shu shakllarning izlari ingliz tilida ko'rinadi, bu erda "ikkalasi" ( ikkalasi ham) va tamom" ( hammasi) - turli xil so'zlar.

Nol belgisi kengroq qo'llanila boshlagani va raqamlar shunchaki hisoblash uchun emas, balki ko'proq uchun ishlatila boshlaganligi sababli, nol ko'p jihatdan boshqa raqamlar kabi o'zini tutishi aniq bo'ldi. 9-asrga kelib. Hind matematiklari nolni faqat aniqlik uchun boshqa belgilar orasidagi bo'shliqlarni qulay tarzda ifodalovchi belgi emas, balki haqiqiy raqam deb hisoblashgan. Kundalik hisob-kitoblarda nol erkin ishlatilgan.

1, 2, 3... raqamlari chapdan o‘ngga tartibda yoziladigan son qatorida nolni qayerga qo‘yish borasida hech kim muammoga duch kelmaydi: 1 ning chap tomoniga. Sababi juda aniq: har qanday raqamga 1 qo'shilishi uni bir qadam o'ngga siljitadi. 1 dan 0 ga qo‘shish uni 1 ga siljitadi, shuning uchun o‘ngga bir qadam 1 ni beradigan joyga 0 qo‘yish kerak. Bu 1 dan bir qadam chapga degan ma’noni anglatadi.

Salbiy sonlarni tan olish nihoyat haqiqiy sonlar qatoridagi nol o'rnini ta'minladi. Hech kim 3 raqam ekanligini bahslashmagan. Agar −3 ham son ekanligini va ikkita sonni qo‘shish har doim raqamni hosil qilishini qabul qilsak, 3 + (−3) ning natijasi raqam bo‘lishi kerak. Va bu raqam 0 ga teng.

G'ayrioddiy xususiyatlar

Men "ko'p jihatdan, nol boshqa raqamlar kabi o'zini tutadi" dedim. Ko'pchilikda, lekin hammasida emas. Nol - bu maxsus raqam. Bu alohida bo'lishi kerak, chunki u musbat va manfiy raqamlar o'rtasida aniq siqilgan yagona raqam.

Har qanday raqamga 0 qo'shilishi bu raqamni o'zgartirmasligi aniq. Agar menda uchta sigir bo'lsa va ularga yana bitta sigir qo'shsam, menda uchta sigir bo'ladi. To'g'ri, bunday g'alati hisoblar mavjud:

Bitta mushukning dumi bor.
Hech bir mushukning sakkizta dumi yo'q.
Shuning uchun, qo'shing:
Bitta mushukning to'qqizta dumi bor.

Bu kichik hazil "Yo'q" inkorining turli talqinlarida o'ynaydi.

Nolning ushbu maxsus xususiyatidan 0 + 0 = 0, ya'ni -0 = 0 degan ma'noni anglatadi. Nol o'ziga qarama-qarshidir. Bu shunday yagona raqam va bu aniq sodir bo'ladi, chunki raqamlar chizig'ida nol musbat va manfiy sonlar o'rtasida joylashgan.

Ko'paytirish haqida nima deyish mumkin? Agar ko'paytirishni ketma-ket qo'shish deb hisoblasak, u holda
2 × 0 = 0 + 0 = 0
3 × 0 = 0 + 0 + 0 = 0
4 × 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0,
va shuning uchun
n× 0 = 0
har qanday raqam uchun n. Aytgancha, bu moliyaviy masalalarda ham mantiqiy: agar men hisobimga uch marta nol rubl qo'ysam, oxir-oqibat u erga hech narsa qo'ymayman. Shunga qaramay, nol - bu xususiyatga ega bo'lgan yagona raqam.

Arifmetikada m × n teng n × m barcha raqamlar uchun n Va m. Bu kelishuv shuni anglatadi
0 × n = 0
har kim uchun n, tomonidan "nol marta" qo'sha olmasligimizga qaramay n.

Bo'linishning nimasi yomon? Nolni nolga teng bo'lmagan songa bo'lish oddiy va tushunarli: natija nolga teng. Hech narsaning yarmi, uchinchisi yoki boshqa qismi hech narsa emas. Ammo raqamni nolga bo'lish haqida gap ketganda, nolning g'alatiligi o'yinga tushadi. Masalan, 1:0 nima? Biz aniqlaymiz m : n raqam kabi q, buning uchun ifoda to'g'ri q × n = m. Demak, 1:0 bu q, buning uchun q× 0 = 1. Biroq, bunday raqam mavjud emas. Biz nima deb qabul qilsak q, olamiz q× 0 = 0. Va biz hech qachon birliklarni olmaymiz.

Bu muammoni hal qilishning aniq yo'li - buni odatiy hol sifatida qabul qilish. Nolga bo'linish taqiqlanadi, chunki bu mantiqiy emas. Boshqa tomondan, kasrlar kiritilgunga qadar 1:2 iborasi ham ma'noga ega emas edi, shuning uchun biz bu qadar tez taslim bo'lmasligimiz kerak. Biz nolga bo'lishimizga imkon beradigan yangi raqamni topishga harakat qilishimiz mumkin. Muammo shundaki, bunday raqam arifmetikaning asosiy qoidalarini buzadi. Masalan, biz 1 × 0 = 2 × 0 ekanligini bilamiz, chunki ikkalasi ham individual ravishda nolga teng. Ikkala tomonni 0 ga bo'linib, biz 1 = 2 ni olamiz, bu ochiqchasiga kulgili. Shunday qilib, nolga bo'linishga yo'l qo'ymaslik oqilona ko'rinadi.

Hech narsadan olingan raqamlar

"Hech narsa" tushunchasiga eng yaqin bo'lgan matematik tushunchani to'plamlar nazariyasida topish mumkin. Bir guruh- bu matematik ob'ektlarning ma'lum bir to'plami: raqamlar, geometrik raqamlar, funktsiyalar, grafiklar ... To'plam uning elementlarini sanab o'tish yoki tavsiflash orqali aniqlanadi. "2, 4, 6, 8 raqamlar to'plami" va "1 dan katta va 9 dan kichik juft sonlar to'plami" bir xil to'plamni aniqlaydi, biz ularni sanab o'tishimiz mumkin: (2, 4, 6, 8),
Bu erda jingalak qavslar () to'plam elementlarining ichida joylashganligini bildiradi.

Taxminan 1880 yilda nemis matematigi Kantor rivojlandi batafsil nazariya to'plamlar. U matematik tahlilning funktsiyaning to'xtash nuqtalari bilan bog'liq ba'zi texnik jihatlarini - funktsiya kutilmagan sakrashlarni amalga oshiradigan joylarni tushunishga harakat qildi. Uning javobida bir nechta uzilishlar tuzilishi muhim rol o'ynadi. Bunday holda, alohida bo'shliqlar emas, balki ularning to'liqligi muhim edi. Kantor haqiqatan ham tahlil bilan bog'liq holda cheksiz katta to'plamlarga qiziqdi. U jiddiy kashfiyot qildi: u cheksizliklar bir xil emasligini aniqladi - ularning ba'zilari kattaroq, boshqalari kichikroq (ℵ 0 bobga qarang).

“Raqam nima?” bo‘limida aytib o‘tganimdek, boshqa nemis matematigi Frege Kantorning g‘oyalarini tanladi, lekin u chekli to‘plamlarga ko‘proq qiziqdi. U ularning yordami bilan global muammolarni hal qilish mumkinligiga ishondi falsafiy muammo raqamlarning tabiati bilan bog'liq. U to'plamlarning bir-biri bilan qanday bog'liqligi haqida o'yladi: masalan, qancha stakan ko'plab likopchalar bilan bog'liq. Haftaning etti kuni, etti mitti va 1 dan 7 gacha bo'lgan raqamlar bir-biriga juda mos tushadi, shunda ularning barchasi bir xil raqamni belgilaydi.

Yetti raqamni ifodalash uchun quyidagi to‘plamlardan qaysi birini tanlashimiz kerak? Frege bu savolga javob berib, so'zlarni ayamadi: hammasi birdan. U raqamni berilgan to'plamga mos keladigan barcha to'plamlar to'plami sifatida aniqladi. Bunday holda, hech qanday to'plam afzal ko'rilmaydi va tanlov tasodifiy yoki o'zboshimchalik bilan emas, balki bir ma'noda amalga oshiriladi. Bizning belgilarimiz va raqamlar nomlarimiz bu ulkan to'plamlar uchun qulay yorliqlardir. Etti raqam to'plamdir hamma gnomlarga ekvivalent to'plamlar va bu haftaning kunlariga yoki ro'yxatga (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) ekvivalent barcha to'plamlar to'plami bilan bir xil.

Ehtimol, bu juda oqlangan yechim ekanligini ta'kidlash kerak emas kontseptual muammo bizga raqamlarni ifodalashning oqilona tizimi nuqtai nazaridan aniq hech narsa bermaydi.

Frege o‘z g‘oyalarini ikki jildlik “Arifmetikaning asosiy qonunlari” (1893 va 1903) asarida taqdim etganida, ko‘pchilik uni bu masalani hal qildi, deb o‘yladi. Endi hamma raqam nima ekanligini bilardi. Ammo ikkinchi jild nashr etilishidan oldin, Bertran Rassell Fregega maktub yozdi, unda (men ibora bilan aytaman): "Hurmatli Gottlob, o'zida bo'lmagan barcha to'plamlar to'plamini ko'rib chiqing". O‘zi soqol qo‘ymaganlarning soqolini olgan qishloq sartaroshiga o‘xshaydi; Bunday ta'rif bilan qarama-qarshilik paydo bo'ladi. Rasselning paradoksi, hozirda deyilganidek, hamma narsani qamrab oluvchi to'plamlar mavjudligini taxmin qilish qanchalik xavfli ekanligini ko'rsatdi (ℵ 0 bobga qarang).

Matematik mantiq bo'yicha mutaxassislar muammoni hal qilishga harakat qilishdi. Javob Fregening "keng fikrlashi" va uning barcha mumkin bo'lgan to'plamlarni bir uyumga yig'ish siyosatiga mutlaqo zid bo'lib chiqdi. Hiyla barcha mumkin bo'lgan to'plamlardan birini tanlash edi. 2 raqamini aniqlash uchun ikkita elementdan iborat standart to'plamni qurish kerak edi. 3 ni aniqlash uchun siz uchta elementli standart to'plamdan foydalanishingiz mumkin va hokazo. Agar bu to'plamlar birinchi navbatda raqamlardan aniq foydalanilmasdan tuzilgan bo'lsa va shundan keyingina ularga raqamli belgilar va nomlar berilsa, bu erda mantiq tsikllarga kirmaydi.

Asosiy muammo foydalanish uchun standart to'plamlarni tanlash edi. Ular aniq va aniq belgilanishi kerak edi yagona yo'l, va ularning tuzilishi qandaydir tarzda hisoblash jarayoni bilan bog'liq bo'lishi kerak edi. Javob bo'sh to'plam deb nomlanuvchi juda aniq to'plamdan keldi.

Nol - bu butun sanoq sistemamizning asosi. Shunday qilib, u ma'lum bir to'plamning elementlarini hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. Qancha ko'p? Xo'sh, u hech qanday elementsiz to'plam bo'lishi kerak. Bunday to'plamni topish qiyin emas: masalan, "har birining og'irligi 20 tonnadan ortiq bo'lgan barcha sichqonlar to'plami" bo'lsin. Matematik tilda bu bitta elementga ega bo'lmagan to'plam mavjudligini anglatadi: bo'sh to'plam. Matematikada misollarni topish ham oson: 4 ga karrali tub sonlar to'plami yoki to'rtta uchli barcha uchburchaklar to'plami. Bu to'plamlar har xil ko'rinadi - birida raqamlar, ikkinchisida uchburchaklar mavjud - lekin aslida ular bir xil to'plamdir, chunki bunday raqamlar va uchburchaklar aslida mavjud emas va to'plamlarni farqlashning iloji yo'q. Barcha bo'sh to'plamlar aynan bir xil elementlarni o'z ichiga oladi: aniqrog'i, yo'q. Shuning uchun bo'sh to'plam noyobdir. Uning belgisi 1939 yilda Bourbaki taxallusi ostida ishlaydigan bir guruh olimlar tomonidan kiritilgan va u quyidagicha ko'rinadi: ∅. To'plamlar nazariyasi bo'sh to'plamga arifmetika 0 raqami kerak bo'lganidek kerak bo'ladi: agar siz uni qo'shsangiz, hamma narsa ancha sodda bo'ladi.

Bundan tashqari, biz 0 bo'sh to'plam ekanligini aniqlashimiz mumkin.

1 raqami haqida nima deyish mumkin? Intuitiv ravishda aniqki, bu erda bizga aynan bitta elementdan va noyobdan iborat to'plam kerak. Xo'sh ... bo'sh to'plam noyobdir. Shunday qilib, biz 1 ni yagona elementi bo'sh to'plam bo'lgan to'plam sifatida aniqlaymiz: ramziy tilda (∅). Bu bo'sh to'plam bilan bir xil emas, chunki bu to'plam bitta elementga ega, bo'sh to'plam esa yo'q. Qabul qilaman, bu bitta element bo'sh to'plam, shunday bo'ldi, lekin baribir bu element to'plamda mavjud. To'plamni elementlari bo'lgan qog'oz sumka sifatida tasavvur qiling. Bo'sh to'plam bo'sh paketdir. Yagona elementi bo'sh to'plam bo'lgan to'plam boshqa paketni, bo'sh to'plamni o'z ichiga olgan to'plamdir. Bu bir xil emasligini o'zingiz ko'rishingiz mumkin - bir paketda hech narsa yo'q, ikkinchisida esa paket bor.

Asosiy qadam 2 raqamini aniqlashdir. Biz ikkita elementli ma'lum bir to'plamni noyob tarzda olishimiz kerak. Xo'sh, nega biz hozirgacha aytib o'tgan ikkita to'plamdan foydalanmasligingiz kerak: ∅ va (∅)? Shuning uchun biz 2 ni (∅, (∅)) to'plam sifatida aniqlaymiz. Va bu, bizning ta'riflarimizga ko'ra, 0, 1 bilan bir xil.

Endi umumiy naqsh paydo bo'la boshlaydi. Keling, 3 = 0, 1, 2 - biz allaqachon aniqlagan uchta elementli to'plamni aniqlaymiz. Keyin 4 = 0, 1, 2, 3; 5 = 0, 1, 2, 3, 4 va boshqalar. Hamma narsa, agar qarasangiz, orqaga qaytadi bo'sh to'plam. Masalan,
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}.

Ehtimol, siz gnomlarning soni qanday ko'rinishini ko'rishni xohlamaysiz.

Bu yerdagi qurilish materiallari abstraktsiyalardir: bo'sh to'plam va uning elementlarini sanab o'tish orqali to'plamni shakllantirish harakati. Lekin bu to‘plamlarning bir-biriga bog‘liqligi sanoq sistemasi uchun qat’iy asosni yaratishga olib keladi, bunda har bir raqam (intuitiv ravishda) aynan shu miqdordagi elementlarga ega bo‘lgan maxsus to‘plamni ifodalaydi. Va hikoya shu bilan tugamaydi. Natural sonlarni aniqlagandan so'ng, biz manfiy sonlarni, kasrlarni, haqiqiy sonlarni (cheksiz o'nli kasrlarni) aniqlash uchun shunga o'xshash to'plam nazariyasi fokuslaridan foydalanishimiz mumkin. murakkab sonlar va hokazo, kvant nazariyasidagi eng zamonaviy zukko matematik kontseptsiyaga.

Endi siz matematikaning dahshatli sirini bilasiz: uning negizida hechlik yotadi.

-1. Hech narsadan kamroq

Raqam noldan kichik bo'lishi mumkinmi? Agar siz kimgadir qarzdor ekanligingizni "virtual sigirlar" ni tasavvur qilmasangiz, sigirlarni sanash bunday ishlamaydi. Bunday holda, siz algebraistlar va buxgalterlar uchun hayotni ancha osonlashtiradigan raqamli kontseptsiyaning tabiiy kengaytmasiga egasiz. Shu bilan birga, sizni kutilmagan hodisalar kutmoqda: minus uchun minus ortiqcha beradi. Nega yer yuzida?

Salbiy raqamlar

Raqamlarni qo'shishni o'rganib, biz teskari operatsiyani o'zlashtirishni boshlaymiz: ayirish. Masalan, javobdagi 4 − 3 soni 3 ga qo‘shilganda 4 ni beradigan sonni beradi. Bu, albatta, 1. Ayirish foydali, chunki usiz biz uchun, masalan, qancha pulni bilish qiyin. agar bizda dastlab 4 rubl bo'lsa, biz ketgan bo'lamiz, lekin biz 3 rubl sarfladik.

Kattaroq raqamdan kichikroq raqamni ayirish deyarli hech qanday muammo tug'dirmaydi. Agar biz cho'ntagimiz yoki hamyonimizdagidan kamroq pul sarflagan bo'lsak, unda bizda hali ham biror narsa qoladi. Ammo olib tashlasak nima bo'ladi kattaroq raqam kamroqdan? 3 - 4 nima?

Agar cho'ntagingizda uchta 1 rubllik tanga bo'lsa, unda siz cho'ntagingizdan to'rtta shunday tanga olib, supermarketdagi kassirga bera olmaysiz. Ammo bugungi kunda kredit kartalari bilan har kim o'zida yo'q pulni nafaqat cho'ntagida, balki bankdagi hisobida ham bemalol sarflashi mumkin. Bu sodir bo'lganda, odam qarzga botadi. Bunday holda, qarz bank foizlarini hisobga olmagan holda 1 rublni tashkil qiladi. Demak, ma'lum ma'noda 3 - 4 1 ga teng, lekin boshqa 1: pul emas, qarz birligi. Agar 1 ning teskarisi bo'lsa, aynan shunday bo'lar edi.

Qarzni naqd puldan ajratish uchun raqamni minus belgisi bilan belgilash odatiy holdir. Bunday yozuvda
3 − 4 = −1,
va biz raqamning yangi turini ixtiro qildik deb hisoblashimiz mumkin: salbiy raqam.

Salbiy raqamlar tarixi

Tarixiy jihatdan sanoq tizimining birinchi yirik kengaytmasi kasrlar bo'lgan (½ bobga qarang). Ikkinchisi manfiy raqamlar edi. Biroq, men bu turdagi raqamlar bilan teskari tartibda shug'ullanish niyatidaman. Salbiy raqamlar haqida birinchi ma'lum bo'lgan eslatma Xan sulolasidan (miloddan avvalgi 202 - miloddan avvalgi 220) "To'qqiz qismda hisoblash san'ati" (Jiu Zhang Xuan Shu) deb nomlangan Xitoy hujjatida keltirilgan.

Ushbu kitobda hisoblash uchun jismoniy "yordamchi" ishlatilgan: tayoqlarni hisoblash. Bu yog'och, suyak yoki boshqa materiallardan tayyorlangan kichik tayoqlar. Raqamlarni ifodalash uchun tayoqlar ma'lum shakllarda yotqizilgan. Raqamning birlik raqamida gorizontal chiziq "bir" va vertikal chiziq "besh" degan ma'noni anglatadi. Yuzinchi o'rindagi raqamlar bir xil ko'rinadi. O'nlab va minglab raqamlarda tayoqlarning yo'nalishlari teskari: vertikal "bir", gorizontal "besh" degan ma'noni anglatadi. Biz 0 ni qo'yadigan joyga xitoyliklar shunchaki bo'sh joy qoldirdilar; biroq, bo'sh joyni o'tkazib yuborish oson, bu holda yo'nalishlarni o'zgartirish qoidasi, masalan, o'nlik qismida hech narsa bo'lmasa, chalkashlikdan qochishga yordam beradi. Agar raqam ketma-ket bir nechta noldan iborat bo'lsa, bu usul unchalik samarali emas, ammo bu kamdan-kam uchraydigan holat.

“To‘qqiz bo‘limda sanash san’ati” asarida manfiy sonlarni ifodalash uchun tayoqchalar ham qo‘llanilgan va juda oddiy usulda: ular qizil emas, qora rangga bo‘yalgan. Shunday qilib
4 ta qizil tayoq minus 3 ta qizil tayoq 1 ta qizil tayoqqa teng,
Lekin
3 ta qizil tayoq minus 4 ta qizil tayoq 1 ta qora tayoqqa teng.

Shunday qilib, qora tayoq shakli qarzni ifodalaydi va qarzning kattaligi qizil tayoq raqamlariga mos keladi.

Hind matematiklari ham manfiy raqamlarni tan olishgan; bundan tashqari, ular bilan arifmetik amallarni bajarishning izchil qoidalarini tuzdilar.

Taxminan 3-asrga oid Baxshali qoʻlyozmasi manfiy raqamlar bilan hisob-kitoblarni oʻz ichiga oladi, ularni biz ishlatadigan joylarda + belgisi bilan boshqalardan ajratib olish mumkin. ( Matematik belgilar vaqt oʻtishi bilan bir necha marta oʻzgardi, baʼzan shunday boʻldiki, biz ularda adashib qolsak ajabmas.) Bu gʻoyani arab matematiklari oʻzlashtirib olishdi va ulardan u asta-sekin butun Yevropaga tarqaldi. 17-asrgacha Evropa matematiklari odatda salbiy javobni ko'rib chiqilayotgan muammoning echimi yo'qligining isboti sifatida talqin qilishdi, ammo Fibonachchi moliyaviy hisob-kitoblarda ular qarzlarni ko'rsatishi mumkinligini allaqachon tushungan. 19-asrga kelib manfiy raqamlar endi matematiklarni qo'rqitmay, ularni hayratda qoldirdi.

Salbiy raqamlarni yozish

Geometrik jihatdan raqamlarni chapdan o‘ngga o‘tuvchi va 0 dan boshlanadigan chiziqda nuqta sifatida ko‘rsatish qulay. raqamlar qatori salbiy sonlarni o'z ichiga olgan va teskari yo'nalishda ketadigan tabiiy davomi mavjud.

Son qatorida qo'shish va ayirish amallarini bajarish juda qulay va sodda. Misol uchun, istalgan raqamga 3 qo'shish uchun siz uch qadam o'ngga o'tishingiz kerak. 3 ni ayirish uchun 3 qadam chapga siljish kerak. Ushbu harakat ijobiy va salbiy raqamlar uchun to'g'ri natija beradi; masalan, -7 dan boshlasak va 3 ni qo'shsak, 3 qadam o'ngga siljiymiz va -4 ni olamiz. Salbiy sonlar uchun arifmetik amallarni bajarish qoidalari ham manfiy sonni qo'shish yoki ayirish mos keladigan musbat sonni ayirish yoki qo'shish bilan bir xil natija berishini ko'rsatadi. Demak, har qanday raqamga -3 qo'shish uchun biz 3 qadam chapga siljitishimiz kerak. Har qanday sondan −3 ni ayirish uchun 3 qadam o‘ngga o‘tish kerak.

Salbiy sonlar bilan ko'paytirish qiziqroq. Ko'paytirishni birinchi marta o'rganganimizda, biz uni takroriy qo'shish deb hisoblaymiz. Masalan:
6 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30.

Xuddi shu yondashuv shuni ko'rsatadiki, 6 × -5 ni ko'paytirishda biz xuddi shunday harakat qilishimiz kerak:
6 × −5 = −5 + (−5) + (−5) + (−5) + (−5) + (−5) = −30.

Bundan tashqari, arifmetika qoidalaridan biri ikkita musbat sonni ko'paytirish raqamlarni qabul qilish tartibidan qat'i nazar, bir xil natijani berishini aytadi. Demak, 5 × 6 ham 30 ga teng bo'lishi kerak. Bu, chunki
5 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.

Shunday qilib, manfiy raqamlar uchun bir xil qoidani qabul qilish oqilona ko'rinadi. U holda -5 × 6 ham -30 ga teng.

-6 × -5 haqida nima deyish mumkin? Bu masala bo'yicha aniqlik kamroq. Biz ketma-ket yoza olmaymiz minus olti marta -5 va keyin ularni qo'shing. Shuning uchun biz bu muammoni izchil hal qilishimiz kerak. Keling, allaqachon bilganimizni ko'rib chiqaylik.

6 × 5 = 30
6 × −5 = −30
−6 × 5 = −30
−6 × −5 =?

Bir qarashda ko'pchilik javob -30 bo'lishi kerak deb o'ylaydi. Psixologik nuqtai nazardan, bu, ehtimol, oqlanadi: butun harakat "salbiy" ruhi bilan singib ketgan, shuning uchun javob, ehtimol, salbiy bo'lishi kerak. "Ammo men hech narsa qilmadim" degan iboraning orqasida xuddi shunday tuyg'u yotadi. Biroq, agar siz Hech narsa buni qilmagan, demak, siz "hech narsa" qilmasligingiz kerak edi, ya'ni nimadur. Bunday izohning adolatli bo'lishi siz foydalanadigan grammatika qoidalariga bog'liq. Qo'shimcha inkor ham kuchaytiruvchi qurilish sifatida qaralishi mumkin.

Xuddi shu tarzda, -6 × -5 ga teng bo'lgan narsa insonning kelishuvi masalasidir. Biz yangi raqamlarni o'ylab topsak, eski tushunchalar ularga tegishli bo'lishiga kafolat yo'q. Shunday qilib, matematiklar -6 × -5 = -30 deb qaror qilishlari mumkin edi. To'g'risini aytganda, ular -6 ni -5 ga ko'paytirish binafsha begemot hosil qilishiga qaror qilgan bo'lishlari mumkin edi.

Biroq, bu holatda -30 noto'g'ri tanlov bo'lishining bir qancha yaxshi sabablari bor va bu sabablarning barchasi teskari yo'nalishni - 30 raqamiga ishora qiladi.

Buning sabablaridan biri shundaki, agar −6 × −5 = −30 bo'lsa, bu −6 × 5 bilan bir xil bo'ladi. Ikkalasini ham −6 ga bo'lsak, biz −5 = 5 ni olamiz, bu biz allaqachon manfiy sonlar haqida aytgan hamma narsaga ziddir.

Ikkinchi sabab, biz allaqachon bilganimiz uchun: 5 + (−5) = 0. Raqamlar qatoriga qarang. 5 raqamining chap tomonidagi besh qadam nima? Nol. Har qanday ijobiy sonni 0 ga ko'paytirish 0 ni hosil qiladi va bu manfiy raqamlarga ham tegishli deb taxmin qilish oqilona ko'rinadi. Shuning uchun -6 × 0 = 0 deb o'ylash mantiqan to'g'ri keladi
0 = -6 × 0 = -6 × (5 + (-5)).

Arifmetikaning odatiy qoidalariga ko'ra, bu tengdir
−6 × 5 + −6 × −5.

Boshqa tomondan, agar biz -6 × -5 = 30 ni tanlasak, biz olamiz
0 = −6 × 0 = −6 × (5 + (−5)) = −6 × 5 + (−6) × −5 =
= −30 + 30 = 0,
va hammasi joyiga tushadi.

Uchinchi sabab - sonlar qatorining tuzilishi. Ijobiy sonni -1 ga ko'paytirish orqali biz uni mos keladigan raqamga aylantiramiz manfiy raqam; ya'ni son chizig'ining butun musbat yarmini o'ngdan chapga siljitib, 180 ° ga aylantiramiz. Nazariy jihatdan salbiy yarmi qaerga ketishi kerak? Agar biz uni joyida qoldirsak, biz bir xil muammoga duch kelamiz, chunki −1 × −1 −1 ga teng, bu −1 × 1 ga teng va biz −1 = 1 degan xulosaga kelishimiz mumkin. Yagona oqilona muqobil aynan shu Yoki. raqam chizig'ining salbiy qismini 180 ° ga aylantiring, uni chapdan o'ngga siljiting. Bu juda yaxshi, chunki endi -1 ga ko'paytirish raqamlar qatorini butunlay o'zgartiradi va raqamlar tartibini o'zgartiradi. Bundan kelib chiqadiki, kechaning kunduzi kelishi bilan, -1 ga yangi ko'paytma raqam chizig'ini yana 180 ° ga aylantiradi. Raqamlar tartibi yana teskari bo'ladi va hamma narsa boshlangan joyga qaytadi. Demak, −1 × −1 son chizig‘ini aylantirganimizda −1 tugaydi, ya’ni 1. Va agar biz −1 × −1 = 1 deb qaror qilsak, to‘g‘ridan-to‘g‘ri −6 × −5 = 30 bo‘ladi.

To'rtinchi sabab - salbiy pul miqdorini qarz sifatida talqin qilish. Ushbu variantda ma'lum miqdordagi pulni salbiy raqamga ko'paytirish, uni mos keladigan ijobiy raqamga ko'paytirish bilan bir xil natijani beradi, faqat haqiqiy pul qarzga aylanadi. Boshqa tomondan, ayirish, Qarzni "olib qo'yish" xuddi bank sizning qarzingizning bir qismini o'z yozuvlaridan olib tashlagan va aslida sizga pulni qaytarib bergandek ta'sir qiladi. Hisobingiz miqdoridan 10 rubl qarzni olib tashlash, ushbu hisob raqamiga 10 rubl pul qo'yish bilan bir xil bo'ladi: hisob miqdori esa ortadi 10 rubl uchun. Ushbu sharoitlarda ikkalasining birgalikdagi ta'siri sizning bank balansingizni nolga qaytarishga intiladi. Bundan kelib chiqadiki, -6 × -5 sizning hisobingizga 5 rubl qarzni olti marta ayirish (olib tashlash) bilan bir xil ta'sir ko'rsatadi, bu sizning bank balansingizni 30 rublga oshirishi kerakligini anglatadi.

Bitta mushukning dumi bor. Nolinchi mushuklarning sakkizta dumi bor. (Yana bir o'qish "Sakkiz dumli mushuklar yo'q.") Shunday qilib, biz shunday olamiz: Bitta mushukning to'qqiz dumi bor. - Eslatma ed.