Ko'p oddiy bo'lmagan formulalar tufayli bu mavzu dastlab murakkab ko'rinishi mumkin. Kvadrat tenglamalarning o'zi nafaqat uzun yozuvlarga ega, balki ildizlari ham diskriminant orqali topiladi. Hammasi bo'lib uchta yangi formulalar olinadi. Eslab qolish unchalik oson emas. Bu faqat keyin ishlaydi umumiy yechim bunday tenglamalar. Keyin barcha formulalar o'z-o'zidan eslab qoladi.

Kvadrat tenglamaning umumiy ko'rinishi

Bu erda biz eng katta daraja avval, keyin esa kamayish tartibida yozilganda ularni aniq qayd qilishni taklif qilamiz. Ko'pincha shartlar mos kelmaydigan holatlar mavjud. Keyin tenglamani o'zgaruvchining darajasining kamayish tartibida qayta yozgan ma'qul.

Keling, ba'zi belgilar bilan tanishaylik. Ular quyidagi jadvalda keltirilgan.

Agar bu yozuvlarni qabul qilsak, barcha kvadrat tenglamalar quyidagi belgiga keltiriladi.

Bundan tashqari, a ≠ 0 koeffitsienti. Bu formula birinchi raqam bilan belgilansin.

Tenglama berilganda, javobda nechta ildiz bo'lishi aniq emas. Chunki uchta variantdan biri har doim mumkin:

• eritma ikkita ildizga ega bo'ladi;
• javob bitta raqam bo'ladi;
• tenglamaning hech qanday ildizi bo'lmaydi.

Va qaror qabul qilinmaguncha, ma'lum bir holatda qaysi variant paydo bo'lishini tushunish qiyin.

Kvadrat tenglamalarni yozish turlari

Vazifalarda turli xil yozuvlar bo'lishi mumkin. Ular har doim ham o'xshamaydi umumiy formula kvadrat tenglama. Ba'zida ba'zi shartlar etishmaydi. Yuqorida yozilgan narsa to'liq tenglamadir. Agar siz undagi ikkinchi yoki uchinchi atamani olib tashlasangiz, siz boshqa narsani olasiz. Ushbu yozuvlar kvadrat tenglamalar deb ham ataladi, faqat to'liq emas.

Bundan tashqari, faqat "b" va "c" koeffitsientlari bilan atamalar yo'qolishi mumkin. "A" soni hech qanday sharoitda nolga teng bo'lishi mumkin emas. Chunki bu holda formula chiziqli tenglamaga aylanadi. Tenglamalarning to'liq bo'lmagan shakli uchun formulalar quyidagicha bo'ladi:

Shunday qilib, faqat ikkita tur mavjud; to'liqlardan tashqari, to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalar ham mavjud. Birinchi formula ikki raqam, ikkinchisi esa uchta bo'lsin.

Diskriminant va ildizlar sonining uning qiymatiga bog'liqligi

Tenglamaning ildizlarini hisoblash uchun bu raqamni bilishingiz kerak. Kvadrat tenglamaning formulasi qanday bo'lishidan qat'i nazar, uni har doim hisoblash mumkin. Diskriminantni hisoblash uchun siz quyida yozilgan tenglikdan foydalanishingiz kerak, unda to'rtinchi raqam bo'ladi.

Ushbu formulaga koeffitsient qiymatlarini almashtirgandan so'ng, siz raqamlarni olishingiz mumkin turli belgilar. Agar javob ha bo'lsa, tenglamaning javobi ikki xil ildiz bo'ladi. Agar raqam manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lmaydi. Agar u nolga teng bo'lsa, faqat bitta javob bo'ladi.

To'liq kvadrat tenglamani qanday yechish mumkin?

Aslida, bu masalani ko'rib chiqish allaqachon boshlangan. Chunki avval siz diskriminantni topishingiz kerak. Kvadrat tenglamaning ildizlari borligi va ularning soni ma'lum bo'lgandan so'ng, o'zgaruvchilar uchun formulalardan foydalanish kerak. Agar ikkita ildiz bo'lsa, unda siz quyidagi formulani qo'llashingiz kerak.

U "±" belgisini o'z ichiga olganligi sababli, ikkita qiymat bo'ladi. Kvadrat ildiz belgisi ostidagi ifoda diskriminant hisoblanadi. Shuning uchun formulani boshqacha tarzda qayta yozish mumkin.

Formula raqami besh. Xuddi shu yozuvdan ko'rinib turibdiki, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, unda ikkala ildiz ham bir xil qiymatlarni oladi.

Agar kvadrat tenglamalarni echish hali ishlab chiqilmagan bo'lsa, diskriminant va o'zgaruvchan formulalarni qo'llashdan oldin barcha koeffitsientlarning qiymatlarini yozib olish yaxshiroqdir. Keyinchalik bu daqiqa qiyinchiliklarga olib kelmaydi. Ammo boshida chalkashlik bor.

To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamani qanday yechish mumkin?

Bu erda hamma narsa ancha sodda. Hatto bunga hojat ham yo'q qo'shimcha formulalar. Va diskriminant va noma'lum uchun allaqachon yozib qo'yilgan narsalar kerak bo'lmaydi.

Birinchidan, ikkinchi raqamli to'liq bo'lmagan tenglamani ko'rib chiqaylik. Bu tenglikda noma’lum miqdorni qavs ichidan chiqarib, chiziqli tenglamani yechish kerak, bu esa qavs ichida qoladi. Javob ikkita ildizga ega bo'ladi. Birinchisi, albatta, nolga teng, chunki o'zgaruvchining o'zidan tashkil topgan multiplikator mavjud. Ikkinchisi chiziqli tenglamani yechish orqali olinadi.

To'liq bo'lmagan uchinchi tenglama raqamni tenglikning chap tomonidan o'ngga siljitish orqali hal qilinadi. Keyin noma'lum tomonga qaragan koeffitsientga bo'lish kerak. Kvadrat ildizni ajratib olish va uni ikki marta qarama-qarshi belgilar bilan yozishni unutmang.

Quyida kvadrat tenglamalarga aylanadigan barcha turdagi tengliklarni yechishni o'rganishga yordam beradigan bir necha qadamlar keltirilgan. Ular o'quvchiga e'tiborsizlik tufayli xatolardan qochishga yordam beradi. Ushbu kamchiliklar keng mavzuni o'rganishda yomon baholarga olib kelishi mumkin." Kvadrat tenglamalar(8-sinf)". Keyinchalik, bu harakatlar doimiy ravishda bajarilishi shart emas. Chunki barqaror mahorat paydo bo'ladi.

• Avval siz tenglamani standart shaklda yozishingiz kerak. Ya'ni, birinchi navbatda o'zgaruvchining eng katta darajasiga ega atama, keyin esa - darajasiz va oxirgi - faqat raqam.

• Agar "a" koeffitsientidan oldin minus paydo bo'lsa, bu kvadrat tenglamalarni o'rganayotgan yangi boshlanuvchilar uchun ishni murakkablashtirishi mumkin. Undan qutulish yaxshiroqdir. Buning uchun barcha tenglikni "-1" ga ko'paytirish kerak. Bu shuni anglatadiki, barcha shartlar ishorani teskari tomonga o'zgartiradi.

• Xuddi shu tarzda fraksiyalardan qutulish tavsiya etiladi. Denominatorlarni bekor qilish uchun tenglamani tegishli koeffitsientga ko'paytirish kifoya.

Misollar

Quyidagi kvadrat tenglamalarni yechish kerak:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Birinchi tenglama: x 2 − 7x = 0. U to'liq emas, shuning uchun u ikkinchi formulada ta'riflanganidek echiladi.

Uni qavsdan olib chiqqandan so'ng, shunday bo'ladi: x (x - 7) = 0.

Birinchi ildiz quyidagi qiymatni oladi: x 1 = 0. Ikkinchisi chiziqli tenglamadan topiladi: x - 7 = 0. X 2 = 7 ekanligini ko'rish oson.

Ikkinchi tenglama: 5x 2 + 30 = 0. Yana to'liq emas. Faqat uchinchi formulada tasvirlanganidek hal qilinadi.

30 ni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazgandan so'ng: 5x 2 = 30. Endi siz 5 ga bo'lishingiz kerak. Bu chiqadi: x 2 = 6. Javoblar raqamlar bo'ladi: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Uchinchi tenglama: 15 − 2x − x 2 = 0. Bu erda va keyin kvadrat tenglamalarni yechish ularni standart shaklda qayta yozishdan boshlanadi: − x 2 − 2x + 15 = 0. Endi ikkinchidan foydalanish vaqti keldi. foydali maslahat va hamma narsani minus birga ko'paytiring. Bu chiqadi x 2 + 2x - 15 = 0. To'rtinchi formuladan foydalanib, siz diskriminantni hisoblashingiz kerak: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Bu ijobiy raqam. Yuqorida aytilganlardan ko'rinib turibdiki, tenglama ikkita ildizga ega. Ularni beshinchi formuladan foydalanib hisoblash kerak. Aniqlanishicha, x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Keyin x 1 = 3, x 2 = - 5 bo'ladi.

To'rtinchi tenglama x 2 + 8 + 3x = 0 quyidagicha o'zgartiriladi: x 2 + 3x + 8 = 0. Uning diskriminanti bu qiymatga teng: -23. Bu raqam salbiy bo'lgani uchun, bu vazifaga javob quyidagi yozuv bo'ladi: "Hech qanday ildiz yo'q".

Beshinchi tenglama 12x + x 2 + 36 = 0 quyidagicha qayta yozilishi kerak: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant uchun formula qo'llanilgandan so'ng, nol soni olinadi. Bu shuni anglatadiki, u bitta ildizga ega bo'ladi, ya'ni: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Oltinchi tenglama (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) o'zgartirishlarni talab qiladi, ular avval qavslarni ochib, o'xshash atamalarni olib kelishingiz kerakligidan iborat. Birinchisining o'rnida quyidagi ifoda bo'ladi: x 2 + 2x + 1. Tenglikdan keyin bu yozuv paydo bo'ladi: x 2 + 3x + 2. O'xshash atamalar hisoblangandan so'ng, tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: x 2 - x = 0. U to'liq bo'lmagan. Bunga o'xshash narsa allaqachon biroz yuqoriroq muhokama qilingan. Buning ildizlari 0 va 1 raqamlari bo'ladi.

Kvadrat funksiyaning grafigi paraboladir. Kvadrat tenglamaning yechimlari (ildizlari) parabolaning x o'qi bilan kesishgan nuqtalaridir. Agar parabola tasvirlangan bo'lsa kvadratik funktsiya, x o'qi bilan kesishmaydi, tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q. Agar parabola x o'qini bir nuqtada (parabola cho'qqisida) kesib o'tsa, tenglama bitta haqiqiy ildizga ega bo'ladi (bu tenglamaning ikkita mos keladigan ildizi ham bor deyiladi). Agar parabola x o'qini ikki nuqtada kesib o'tsa, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo'ladi.

Agar koeffitsient bo'lsa A ijobiy bo'lsa, parabolaning shoxlari yuqoriga, manfiy bo'lsa, parabolaning shoxlari pastga yo'naltiriladi. Agar b koeffitsienti musbat bo'lsa, parabolaning tepasi chap yarim tekislikda, manfiy bo'lsa - o'ng yarim tekislikda yotadi.

Kvadrat tenglamani yechish formulasini chiqarish

Kvadrat tenglamani yechish formulasini quyidagicha olish mumkin:

a x 2 + b x+ c = 0
a x 2 + b x = - c

Tenglamani 4 ga ko'paytiring a

4a 2 x 2 + 4 ab x = -4 ac
4a 2 x 2 + 4 ab x+ b 2 = -4ac + b 2
(2a x+ b) 2 = b 2 -4ac
2a x+ b= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topish

Haqiqiy koeffitsientli kvadrat tenglama D = diskriminantning qiymatiga qarab 0 dan 2 gacha haqiqiy ildizga ega bo'lishi mumkin. b 2 − 4ac:

• D > 0 uchun ikkita ildiz mavjud va ular formula bo'yicha hisoblanadi
• D = 0 uchun bitta ildiz (ikkita teng yoki mos keladigan ildiz), ko'plik 2:

Matematikada tenglamalarni yechish alohida o'rin tutadi. Ushbu jarayondan oldin ko'p soatlik nazariyani o'rganish bo'lib, unda talaba tenglamalarni echishni, ularning turini aniqlashni o'rganadi va avtomatlashtirishni yakunlash ko'nikmasiga ega bo'ladi. Biroq, ildizlarni qidirish har doim ham mantiqiy emas, chunki ular mavjud bo'lmasligi mumkin. Ildizlarni topish uchun maxsus texnikalar mavjud. Ushbu maqolada biz asosiy funktsiyalarni, ularning ta'rif sohalarini, shuningdek ularning ildizlari etishmayotgan holatlarni tahlil qilamiz.

Qaysi tenglamaning ildizi yo'q?

Agar tenglama bir xil to'g'ri bo'lgan x haqiqiy argumentlar bo'lmasa, tenglamaning ildizlari bo'lmaydi. Mutaxassis bo'lmaganlar uchun bu formula, ko'pchilik kabi matematik teoremalar va formulalar juda loyqa va mavhum ko'rinadi, ammo bu nazariy jihatdan. Amalda, hamma narsa juda oddiy bo'ladi. Masalan: 0 * x = -53 tenglamaning yechimi yo'q, chunki nolga tenglamasi noldan boshqa narsani beradigan x raqami yo'q.

Endi biz tenglamalarning eng asosiy turlarini ko'rib chiqamiz.

1. Chiziqli tenglama

Agar tenglamaning o'ng va chap tomonlari shaklda ifodalangan bo'lsa, chiziqli deyiladi chiziqli funksiyalar: ax + b = cx + d yoki umumlashtirilgan shaklda kx + b = 0. Bu erda a, b, c, d - ma'lum raqamlar, va x - noma'lum miqdor. Qaysi tenglamaning ildizi yo'q? Chiziqli tenglamalarga misollar quyidagi rasmda keltirilgan.

Asosan, chiziqli tenglamalar oddiygina son qismini bir qismga va x tarkibini boshqasiga o'tkazish orqali hal qilinadi. Natijada mx = n ko'rinishdagi tenglama hosil bo'ladi, bu erda m va n sonlar, x esa noma'lum. X ni topish uchun ikkala tomonni m ga bo'lish kifoya. Keyin x = n/m. Ko'pgina chiziqli tenglamalar faqat bitta ildizga ega, ammo ildizlar cheksiz ko'p yoki umuman bo'lmagan holatlar mavjud. m = 0 va n = 0 bo'lganda, tenglama 0 * x = 0 ko'rinishini oladi. Bunday tenglamaning yechimi mutlaqo istalgan son bo'ladi.

Biroq, qanday tenglamaning ildizi yo'q?

m = 0 va n = 0 uchun tenglama haqiqiy sonlar to'plamida ildizlarga ega emas. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - bu tenglamalarning ildizlari yo'q.

2. Kvadrat tenglama

Kvadrat tenglama a = 0 uchun ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi tenglamadir. Eng keng tarqalgan yechim diskriminant orqali. Kvadrat tenglamaning diskriminantini topish formulasi: D = b 2 - 4 * a * c. Keyin ikkita ildiz bor x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

D > 0 uchun tenglama ikkita ildizga ega, D = 0 uchun esa bitta ildizga ega. Ammo qaysi kvadrat tenglamaning ildizi yo'q? Kvadrat tenglamaning ildizlari sonini kuzatishning eng oson usuli bu parabola bo'lgan funktsiyaning grafigini chizishdir. a > 0 uchun shoxlar yuqoriga yo'naltiriladi, a uchun< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Bundan tashqari, diskriminantni hisoblamasdan, ildizlar sonini vizual tarzda aniqlashingiz mumkin. Buning uchun parabolaning cho'qqisini topib, shoxlari qaysi tomonga yo'naltirilganligini aniqlash kerak. Tepalikning x koordinatasini quyidagi formula yordamida aniqlash mumkin: x 0 = -b / 2a. Bunday holda, cho'qqining y koordinatasi oddiy tenglamaga x 0 qiymatini almashtirish orqali topiladi.

X 2 - 8x + 72 = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari yo'q, chunki uning manfiy diskriminanti D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. Bu shuni anglatadiki, parabola x o'qiga tegmaydi va funktsiya hech qachon 0 qiymatini olmaydi, shuning uchun tenglama haqiqiy ildizlarga ega emas.

3. Trigonometrik tenglamalar

Trigonometrik funktsiyalar trigonometrik doirada ko'rib chiqiladi, lekin dekart koordinatalar tizimida ham ifodalanishi mumkin. Ushbu maqolada biz ikkita asosiy narsani ko'rib chiqamiz trigonometrik funktsiyalar va ularning tenglamalari: sinx va kosx. Chunki bu funktsiyalar shakllanadi trigonometrik doira radiusi 1, |sinx| bilan va |cosx| 1 dan ortiq bo‘lishi mumkin emas. Xo‘sh, nima sinks tenglamasi ildizlari yo'qmi? Keling, ko'rib chiqaylik funksiya grafigi sinx, quyidagi rasmda ko'rsatilgan.

Funktsiya simmetrik ekanligini va takrorlanish davri 2pi ekanligini ko'ramiz. Shunga asoslanib aytishimiz mumkinki, bu funksiyaning maksimal qiymati 1, minimali esa -1 bo'lishi mumkin. Masalan, cosx = 5 ifodasi ildizga ega bo'lmaydi, chunki uning mutlaq qiymati birdan katta.

Bu trigonometrik tenglamalarning eng oddiy misolidir. Aslida, ularni hal qilish juda ko'p sahifalarni olishi mumkin, buning oxirida siz noto'g'ri formuladan foydalanganingizni tushunasiz va barchasini qaytadan boshlashingiz kerak. Ba'zan, agar siz ildizlarni to'g'ri topsangiz ham, OD bo'yicha cheklovlarni hisobga olishni unutishingiz mumkin, shuning uchun javobda qo'shimcha ildiz yoki interval paydo bo'ladi va butun javob xatoga aylanadi. Shuning uchun, barcha cheklovlarga qat'iy rioya qiling, chunki barcha ildizlar vazifa doirasiga to'g'ri kelmaydi.

4. Tenglamalar sistemalari

Tenglamalar tizimi jingalak yoki kvadrat qavslar bilan birlashtirilgan tenglamalar to'plamidir. Jingalak qavslar barcha tenglamalar birgalikda bajarilganligini bildiradi. Ya'ni, agar tenglamalarning kamida bittasi ildizga ega bo'lmasa yoki boshqasiga zid bo'lsa, butun tizimning echimi yo'q. Kvadrat qavslar "yoki" so'zini bildiradi. Bu shuni anglatadiki, agar tizim tenglamalaridan kamida bittasi yechimga ega bo'lsa, unda butun tizim yechimga ega.

c tizimining javobi individual tenglamalarning barcha ildizlari to'plamidir. Va jingalak qavsli tizimlar faqat umumiy ildizlarga ega. Tenglamalar tizimlari butunlay boshqa funktsiyalarni o'z ichiga olishi mumkin, shuning uchun bunday murakkablik bizga qaysi tenglamaning ildizlari yo'qligini darhol aytishga imkon bermaydi.

Muammoli kitoblar va darsliklarda topilgan turli xil turlari tenglamalar: ildizga ega bo'lganlar va yo'qlar. Birinchidan, agar siz ildizlarni topa olmasangiz, ular umuman yo'q deb o'ylamang. Ehtimol, siz biron bir joyda xatoga yo'l qo'ygan bo'lsangiz, unda siz qaroringizni diqqat bilan ikki marta tekshirishingiz kerak.

Biz eng asosiy tenglamalarni va ularning turlarini ko'rib chiqdik. Endi siz qaysi tenglamaning ildizi yo'qligini ayta olasiz. Aksariyat hollarda buni qilish qiyin emas. Tenglamalarni echishda muvaffaqiyatga erishish uchun faqat diqqat va konsentratsiya kerak. Ko'proq mashq qiling, bu sizga materialni yaxshiroq va tezroq boshqarishga yordam beradi.

Shunday qilib, tenglamaning ildizlari yo'q, agar:

• V chiziqli tenglama mx = n qiymati m = 0 va n = 0;
• kvadrat tenglamada, agar diskriminant noldan kichik bo'lsa;
• cosx = m / sinx = n ko'rinishdagi trigonometrik tenglamada, agar |m| > 0, |n| > 0;
• jingalak qavsli tenglamalar tizimida, agar kamida bitta tenglamaning ildizlari bo'lmasa va kvadrat qavslar bilan, agar barcha tenglamalarning ildizlari bo'lmasa.

Kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalar. Haqiqiy, ko'p va murakkab ildiz hollari ko'rib chiqiladi. Faktorizatsiya kvadratik trinomial. Geometrik talqin. Ildizlarni aniqlash va faktoringga misollar.

Tarkib

Shuningdek qarang: Kvadrat tenglamalarni onlayn yechish

Asosiy formulalar

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing:
(1) .
Kvadrat tenglamaning ildizlari(1) formulalar bilan aniqlanadi:
; .
Ushbu formulalarni quyidagicha birlashtirish mumkin:
.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ma'lum bo'lsa, ikkinchi darajali ko'phadni omillar ko'paytmasi (ko'paytmali) sifatida ko'rsatish mumkin:
.

Keyin biz haqiqiy sonlar deb hisoblaymiz.
Keling, ko'rib chiqaylik kvadrat tenglamaning diskriminanti:
.
Agar diskriminant musbat bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikki xil haqiqiy ildizga ega bo'ladi:
; .
Kvadrat uch a'zoni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.
Agar diskriminant nolga teng bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita ko'p (teng) haqiqiy ildizga ega:
.
Faktorizatsiya:
.
Agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglama (1) ikkita murakkab konjugat ildizga ega:
;
.
Bu yerda xayoliy birlik, ;
va ildizlarning haqiqiy va xayoliy qismlari:
; .
Keyin

.

Grafik talqini

Agar siz funktsiyani chizsangiz
,
qaysi parabola bo'lsa, u holda grafikning o'q bilan kesishish nuqtalari tenglamaning ildizlari bo'ladi.
.
Qachon bo'lsa, grafik x o'qini (o'qini) ikki nuqtada () kesib o'tadi.
Qachon bo'lsa, grafik x o'qiga bir nuqtada () tegadi.
Qachon bo'lsa, grafik x o'qini () kesmaydi.

Kvadrat tenglamaga oid foydali formulalar

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini chiqarish

Biz o'zgartirishlarni amalga oshiramiz va (f.1) va (f.3) formulalarni qo'llaymiz:




,
Qayerda
; .

Shunday qilib, biz ikkinchi darajali ko'phadning formulasini quyidagi shaklda oldik:
.
Bu tenglama ekanligini ko'rsatadi

da amalga oshirildi
Va .
Ya'ni va kvadrat tenglamaning ildizlari
.

Kvadrat tenglamaning ildizlarini aniqlashga misollar

1-misol

(1.1) .

.
Bizning tenglamamiz (1.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant musbat bo'lgani uchun tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega:
;
;
.

Bu erdan kvadrat uch a'zoni koeffitsientlarga ajratishni olamiz:

.

y = funksiyaning grafigi 2 x 2 + 7 x + 3 x o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U abtsissa o'qini (o'qini) ikki nuqtada kesib o'tadi:
Va .
Bu nuqtalar dastlabki tenglamaning ildizlari (1.1).

;
;
.

2-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(2.1) .

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
.
Dastlabki tenglama (2.1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant nolga teng bo'lganligi sababli, tenglama ikkita ko'p (teng) ildizga ega:
;
.

Keyin trinomialni koeffitsientga ajratish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
.

y = x funksiyaning grafigi 2 - 4 x + 4 bir nuqtada x o'qiga tegadi.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U bir nuqtada x o'qiga (o'qiga) tegadi:
.
Bu nuqta dastlabki tenglamaning (2.1) ildizidir. Chunki bu ildiz ikki marta faktorlarga ajratiladi:
,
unda bunday ildiz odatda ko'p deb ataladi. Ya'ni, ular ikkita teng ildiz borligiga ishonishadi:
.

;
.

3-misol

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping:
(3.1) .

Kvadrat tenglamani umumiy shaklda yozamiz:
(1) .
Dastlabki tenglamani (3.1) qayta yozamiz:
.
(1) bilan taqqoslab, biz koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:
.
Diskriminantni topamiz:
.
Diskriminant salbiy, . Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Siz murakkab ildizlarni topishingiz mumkin:
;
;
.

Keyin


.

Funktsiya grafigi x o'qini kesib o'tmaydi. Haqiqiy ildizlar Yo'q.

Keling, funktsiyani chizamiz
.
Bu funksiyaning grafigi paraboladir. U x o'qini (o'qi) kesib o'tmaydi. Shuning uchun haqiqiy ildizlar yo'q.

Haqiqiy ildizlar yo'q. Murakkab ildizlar:
;
;
.

Shuningdek qarang:

Umid qilamanki, ushbu maqolani o'rganganingizdan so'ng, siz to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini qanday topishni o'rganasiz.

Diskriminantdan foydalanib, faqat to'liq kvadrat tenglamalar yechiladi; to'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish uchun siz "To'liq bo'lmagan kvadrat tenglamalarni echish" maqolasida topishingiz mumkin bo'lgan boshqa usullardan foydalaniladi.

Qanday kvadrat tenglamalar to'liq deyiladi? Bu ax 2 + b x + c = 0 ko'rinishdagi tenglamalar, bu erda a, b va c koeffitsientlari nolga teng emas. Demak, toʻliq kvadrat tenglamani yechish uchun D diskriminantini hisoblashimiz kerak.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantning qiymatiga qarab, biz javobni yozamiz.

Agar diskriminant bo'lsa manfiy raqam(D< 0),то корней нет.

Diskriminant nolga teng bo'lsa, x = (-b)/2a. Diskriminant musbat son bo'lsa (D > 0),

keyin x 1 = (-b - √D)/2a va x 2 = (-b + √D)/2a.

Masalan. Tenglamani yeching x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Javob: 2.

2-tenglamani yeching x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Javob: ildiz yo'q.

2-tenglamani yeching x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Javob: – 3,5; 1.

Shunday qilib, keling, 1-rasmdagi diagrammadan foydalanib, to'liq kvadrat tenglamalarning yechimini tasavvur qilaylik.

Ushbu formulalar yordamida siz har qanday to'liq kvadrat tenglamani echishingiz mumkin. Siz shunchaki ehtiyot bo'lishingiz kerak tenglama standart ko'rinishdagi ko'phad sifatida yozildi

A x 2 + bx + c, aks holda siz xato qilishingiz mumkin. Masalan, x + 3 + 2x 2 = 0 tenglamasini yozishda siz noto'g'ri qaror qabul qilishingiz mumkin

a = 1, b = 3 va c = 2. Keyin

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 va keyin tenglamaning ikkita ildizi bor. Va bu haqiqat emas. (Yuqoridagi 2-misol yechimiga qarang).

Shuning uchun, agar tenglama standart ko'rinishdagi ko'phad sifatida yozilmagan bo'lsa, birinchi navbatda to'liq kvadrat tenglama standart shakldagi ko'phad sifatida yozilishi kerak (eng katta ko'rsatkichga ega monom birinchi bo'lishi kerak, ya'ni A x 2 , keyin kamroq bilan – bx va keyin bepul a'zo Bilan.

Qisqartirilgan kvadrat tenglama va juft koeffitsientli kvadrat tenglamani ikkinchi hadda yechishda siz boshqa formulalardan foydalanishingiz mumkin. Keling, ushbu formulalar bilan tanishaylik. Agar to'liq kvadrat tenglamada ikkinchi hadning juft koeffitsienti (b = 2k) bo'lsa, unda siz 2-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalar yordamida tenglamani yechishingiz mumkin.

Agar koeffitsient at bo'lsa, to'liq kvadrat tenglama qisqartirilgan deb ataladi x 2 birga teng va tenglama shaklni oladi x 2 + px + q = 0. Bunday tenglamani yechish uchun berish mumkin yoki tenglamaning barcha koeffitsientlarini koeffitsientga bo'lish yo'li bilan olish mumkin. A, da turgan x 2 .

3-rasmda qisqartirilgan kvadratni yechish sxemasi ko'rsatilgan
tenglamalar. Keling, ushbu maqolada muhokama qilingan formulalarni qo'llash misolini ko'rib chiqaylik.

Misol. Tenglamani yeching

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Bu tenglamani 1-rasmdagi diagrammada ko‘rsatilgan formulalar yordamida yechamiz.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))/6 = –1 + √3

Javob: –1 – √3; –1 + √3

Siz bu tenglamada x koeffitsientini ko'rishingiz mumkin juft son, ya'ni b = 6 yoki b = 2k, bundan k = 3. Keyin D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 rasm diagrammasida berilgan formulalar yordamida tenglamani yechishga harakat qilaylik. = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3))/3 = – 1 + √3

Javob: –1 – √3; –1 + √3. Ushbu kvadrat tenglamadagi barcha koeffitsientlar 3 ga bo'linishini ko'rib, bo'linishni bajarib, biz qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz x 2 + 2x – 2 = 0 Bu tenglamani qisqartirilgan kvadratik formulalar yordamida yeching.
tenglamalar 3-rasm.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3))/2 = – 1 + √3

Javob: –1 – √3; –1 + √3.

Ko'rib turganingizdek, bu tenglamani turli formulalar yordamida yechishda biz bir xil javob oldik. Shuning uchun, 1-rasmdagi diagrammada ko'rsatilgan formulalarni puxta o'zlashtirib, siz har doim to'liq kvadrat tenglamani yecha olasiz.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.