Funksiya ekstremumining yetarli belgilari. Funksiyaning mahalliy ortishi va kamayishi belgilari. Funksiyaning nuqtada ekstremum mavjudligi uchun zarur va yetarli shartlar.Ekstremum mavjudligining yetarli belgisi.

y = f(x) funksiya chaqiriladi ortib boradi (kamaymoqda) ma'lum bir oraliqda, agar x 1 uchun< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Agar differensiallanuvchi funksiya y = f(x) intervalda ortib (kamaysa), uning shu oraliqdagi hosilasi f " (x) > 0 bo'ladi.

(f" (x)< 0).

Nuqta x o chaqirdi mahalliy maksimal nuqta (eng kam) f(x) funksiyasi, agar nuqtaning qo‘shnisi bo‘lsa x o, f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)) tengsizligi to’g’ri bo’lgan barcha nuqtalar uchun.

Maksimal va minimal nuqtalar deyiladi ekstremal nuqtalar, va bu nuqtalardagi funktsiyaning qiymatlari uning ekstremal.

Ekstremum uchun zarur shart-sharoitlar. Agar nuqta x o f(x) funksiyaning ekstremum nuqtasi bo'lsa, u holda yo f " (x o) = 0 yoki f (x o) mavjud emas. Bunday nuqtalar deyiladi. tanqidiy, funktsiyaning o'zi esa kritik nuqtada aniqlanadi. Funktsiyaning ekstremalini uning kritik nuqtalari orasidan izlash kerak.

Birinchi etarli shart. Mayli x o- tanqidiy nuqta. Agar nuqtadan o'tayotganda f "(x). x o ortiqcha belgisini minusga, keyin nuqtaga o'zgartiradi x o funksiya maksimalga ega, aks holda u minimalga ega. Agar kritik nuqtadan o'tayotganda hosila belgisini o'zgartirmasa, u holda nuqtada x o ekstremal yo'q.

Ikkinchi etarli shart. f(x) funksiya hosilaga ega bo'lsin
f "(x) nuqtaga yaqin joyda x o va nuqtaning o'zida ikkinchi hosila x o. Agar f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка x o f(x) funksiyaning mahalliy minimal (maksimal) nuqtasidir. Agar =0 bo'lsa, siz birinchi etarli shartni ishlatishingiz yoki yuqori hosilalardan foydalanishingiz kerak.

Segmentda y = f(x) funksiyasi kritik nuqtalarda ham, segmentning uchlarida ham minimal yoki maksimal qiymatga erishishi mumkin.

Shartlarni o'rganish va grafiklarni chizish.

Funksiya sohasini toping

Grafikning koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarini toping

Doimiylik belgisining intervallarini toping

Tenglik, g'alatilikni tekshirib ko'ring

Funksiya grafigining asimptotalarini toping

Funksiyaning monotonlik intervallarini toping

Funksiyaning ekstremal qismini toping

Qavariq intervallarni va burilish nuqtalarini toping

Funksiya grafiklarining asimptotalari. Funksiya grafiklarini o'rganish va chizishning umumiy sxemasi. Misollar.

Vertikal

Vertikal asimptota - chegara mavjudligi sharti bilan to'g'ri chiziq .

Qoidaga ko'ra, vertikal asimptotani aniqlashda ular bir chegarani emas, balki ikkita bir tomonlama (chap va o'ng) chegarani qidiradilar. Bu funksiya vertikal asimptotaga turli yo‘nalishlardan yaqinlashganda o‘zini qanday tutishini aniqlash uchun amalga oshiriladi. Masalan:

Eslatma: bu tengliklardagi cheksizlik belgilariga e'tibor bering.

[tahrir] Gorizontal

Gorizontal asimptota - to'g'ri chiziq, chegara mavjudligi

[tahrirlash] Oblik

Oblik asimptota - chegaralar mavjudligiga qarab to'g'ri chiziq

Egri asimptotaga misol

Eslatma: funktsiya ikkitadan ortiq qiya (gorizontal) asimptotaga ega bo'lishi mumkin!

Eslatma: Agar yuqorida ko'rsatilgan ikkita chegaradan kamida bittasi mavjud bo'lmasa (yoki ga teng bo'lsa), u holda (yoki ) da qiyshiq asimptota mavjud emas!

Egri va gorizontal asimptotlar o'rtasidagi munosabat

Agar limitni hisoblashda , u holda qiya asimptota gorizontal bilan mos kelishi aniq. Ushbu ikki turdagi asimptotlar o'rtasida qanday bog'liqlik bor?

Gap shundaki, gorizontal asimptota qiyalikning maxsus holati ekanligini da , va yuqoridagi sharhlardan shunday xulosaga keladi

1. Funksiya faqat bitta qiya asimptotaga yoki bitta vertikal asimptotaga yoki bitta qiya va bitta vertikal yoki ikkita qiya yoki ikkita vertikalga ega yoki umuman asimptotaga ega emas.

2. 1.) bandida ko'rsatilgan asimptotalarning mavjudligi tegishli chegaralarning mavjudligi bilan bevosita bog'liq.

Ikki gorizontal asimptotli funksiya grafigi

]Asimptotalarni topish

Asimptotalarni topish tartibi

1. Vertikal asimptotalarni topish.

2. Ikki chegarani topish

3. Ikki chegarani toping:

2. bandda bo'lsa, u holda , va chegara gorizontal asimptota formulasi yordamida izlanadi, .

Funksiyaning ekstremum nuqtasi funksiyani aniqlash sohasidagi nuqta, bunda funksiya qiymati minimal yoki maksimal qiymat oladi. Ushbu nuqtalardagi funktsiya qiymatlari funktsiyaning ekstremal (minimal va maksimal) deb ataladi.

Ta'rif. Nuqta x1 funktsiya domeni f(x) deyiladi funktsiyaning maksimal nuqtasi , agar funktsiyaning ushbu nuqtadagi qiymati unga etarlicha yaqin joylashgan, uning o'ng va chap tomonida joylashgan nuqtalardagi funktsiya qiymatlaridan katta bo'lsa (ya'ni, tengsizlik o'rinli bo'ladi) f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimal.

Ta'rif. Nuqta x2 funktsiya domeni f(x) deyiladi funktsiyaning minimal nuqtasi, agar funktsiyaning ushbu nuqtadagi qiymati unga etarlicha yaqin bo'lgan, uning o'ng va chap tomonida joylashgan nuqtalardagi funktsiya qiymatlaridan kichik bo'lsa (ya'ni, tengsizlik o'rinli bo'ladi) f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Bunday holda biz funktsiya nuqtada borligini aytamiz x2 eng kam.

Keling, nuqta aytaylik x1 - funksiyaning maksimal nuqtasi f(x). Keyin gacha bo'lgan oraliqda x1 funktsiyasi ortadi, shuning uchun funktsiyaning hosilasi noldan katta ( f "(x) > 0 ) va undan keyingi oraliqda x1 funktsiya kamayadi, shuning uchun funktsiyaning hosilasi noldan kam ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Keling, fikrni ham taxmin qilaylik x2 - funksiyaning minimal nuqtasi f(x). Keyin gacha bo'lgan oraliqda x2 funktsiya kamayib bormoqda va funktsiyaning hosilasi noldan kichik ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funktsiya ortib bormoqda va funktsiyaning hosilasi noldan katta ( f "(x) > 0). Bu holatda ham nuqtada x2 funksiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas.

Ferma teoremasi (funksiya ekstremumining mavjudligining zaruriy belgisi). Agar nuqta x0 - funksiyaning ekstremum nuqtasi f(x) u holda bu nuqtada funktsiyaning hosilasi nolga teng ( f "(x) = 0 ) yoki mavjud emas.

Ta'rif. Funktsiyaning hosilasi nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar deyiladi tanqidiy nuqtalar .

1-misol. Funktsiyani ko'rib chiqaylik.

Shu nuqtada x= 0 funktsiyaning hosilasi nolga teng, shuning uchun nuqta x= 0 kritik nuqtadir. Biroq, funktsiyaning grafigida ko'rinib turganidek, u ta'rifning butun maydoni bo'ylab ortadi, shuning uchun nuqta x= 0 bu funksiyaning ekstremum nuqtasi emas.

Shunday qilib, nuqtadagi funktsiya hosilasi nolga teng yoki mavjud bo'lmagan shartlar ekstremum uchun zarur shartlardir, ammo etarli emas, chunki bu shartlar bajarilgan funktsiyalarga boshqa misollar keltirilishi mumkin, lekin funktsiya. tegishli nuqtada ekstremumga ega emas. Shunung uchun etarli dalillar bo'lishi kerak, ma'lum bir tanqidiy nuqtada ekstremum bor yoki yo'qligini va u qanday ekstremum ekanligini - maksimal yoki minimal ekanligini aniqlash imkonini beradi.

Teorema (funksiya ekstremumining mavjudligining birinchi etarli belgisi). Kritik nuqta x0 f(x) agar bu nuqtadan oʻtganda funksiya hosilasi ishorani oʻzgartirsa va ishora “ortiqcha” dan “minus” ga oʻzgarmasa, u maksimal nuqta, agar “minus” dan “plyus”ga oʻtsa, u holda bu minimal nuqta.

Agar nuqtaga yaqin bo'lsa x0 , uning chap va o'ng tomonida hosila o'z belgisini saqlab qoladi, bu funktsiya nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida faqat kamayadi yoki faqat ortadi degan ma'noni anglatadi. x0 . Bunday holda, nuqtada x0 ekstremal yo'q.

Shunday qilib, funktsiyaning ekstremum nuqtalarini aniqlash uchun siz quyidagilarni bajarishingiz kerak :

Funktsiyaning hosilasini toping.
Hosilni nolga tenglashtiring va kritik nuqtalarni aniqlang.
Aqliy yoki qog'ozda raqamlar chizig'idagi kritik nuqtalarni belgilang va natijada olingan intervallarda funktsiya hosilasining belgilarini aniqlang. Agar lotin belgisi "ortiqcha" dan "minus" ga o'zgartirilsa, kritik nuqta maksimal nuqta, agar "minus" dan "ortiqcha" bo'lsa, u holda minimal nuqta.
Ekstremum nuqtalarda funksiya qiymatini hisoblang.

2-misol. Funksiyaning ekstremal qismini toping .

Yechim. Funktsiyaning hosilasini topamiz:

Kritik nuqtalarni topish uchun hosilani nolga tenglashtiramiz:

"X" ning har qanday qiymatlari uchun maxraj nolga teng bo'lmaganligi sababli, raqamni nolga tenglashtiramiz:

Bitta muhim nuqta bor x= 3. Ushbu nuqta bilan chegaralangan oraliqlarda hosilaning belgisini aniqlaymiz:

minus cheksizlikdan 3 gacha - minus belgisi, ya'ni funktsiya kamayadi,

3 dan plyus cheksizgacha bo'lgan oraliqda plyus belgisi mavjud, ya'ni funksiya ortadi.

Ya'ni, davr x= 3 - minimal nuqta.

Funksiyaning minimal nuqtadagi qiymatini topamiz:

Shunday qilib, funksiyaning ekstremum nuqtasi topiladi: (3; 0) va u minimal nuqtadir.

Teorema (funksiya ekstremumining mavjudligining ikkinchi etarli belgisi). Kritik nuqta x0 funksiyaning ekstremum nuqtasidir f(x) agar funktsiyaning bu nuqtadagi ikkinchi hosilasi nolga teng bo'lmasa ( f ""(x) ≠ 0 ) va agar ikkinchi hosila noldan katta bo'lsa ( f ""(x) > 0 ), u holda maksimal nuqta va agar ikkinchi hosila noldan kichik bo'lsa ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Eslatma 1. Agar nuqtada x0 Agar birinchi va ikkinchi hosilalar yo'q bo'lib ketgan bo'lsa, bu holda ikkinchi etarli mezon asosida ekstremum mavjudligini hukm qilish mumkin emas. Bunday holda, siz funktsiyaning ekstremumi uchun birinchi etarli mezondan foydalanishingiz kerak.

Izoh 2. Funktsiya ekstremumining ikkinchi yetarli mezoni birinchi hosila statsionar nuqtada mavjud bo'lmaganda ham qo'llanilmaydi (keyin ikkinchi hosila ham mavjud emas). Bunda funksiya ekstremumining birinchi yetarli belgisidan ham foydalanish kerak.

Funksiya ekstremalining mahalliy tabiati

Yuqoridagi ta'riflardan kelib chiqadiki, funktsiyaning ekstremumlari mahalliy xususiyatga ega - u yaqin qiymatlarga nisbatan funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatidir.

Aytaylik, siz bir yil davomidagi daromadingizni ko'rib chiqyapsiz. Agar may oyida siz 45 000 rubl, aprelda 42 000 rubl va iyun oyida 39 000 rubl ishlab olgan bo'lsangiz, may oyidagi daromad yaqin qiymatlarga nisbatan daromad funktsiyasining maksimal ko'rsatkichidir. Ammo oktyabr oyida siz 71 000 rubl, sentyabrda 75 000 rubl va noyabr oyida 74 000 rubl ishlab oldingiz, shuning uchun oktyabr oyidagi daromadlar yaqin qiymatlarga nisbatan daromadlar funktsiyasining minimalidir. Va aprel-may-iyun oylaridagi qiymatlar orasidagi maksimal sentyabr-oktyabr-noyabr oylarining minimalidan kamroq ekanligini osongina ko'rishingiz mumkin.

Umuman olganda, oraliqda funktsiya bir nechta ekstremalarga ega bo'lishi mumkin va funktsiyaning qandaydir minimali har qanday maksimaldan katta bo'lishi mumkin. Shunday qilib, yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan funktsiya uchun.

Ya'ni, funktsiyaning maksimal va minimal qiymatlari ko'rib chiqilayotgan butun segmentdagi mos ravishda uning eng katta va eng kichik qiymatlari deb o'ylamaslik kerak. Maksimal nuqtada funktsiya barcha nuqtalarda maksimal nuqtaga etarlicha yaqin bo'lgan qiymatlar bilan solishtirganda eng katta qiymatga ega va minimal nuqtada u faqat shu qiymatlarga nisbatan eng kichik qiymatga ega. u barcha nuqtalarda minimal nuqtaga etarlicha yaqin.

Demak, funksiyaning ekstremum nuqtalari haqidagi yuqoridagi tushunchasiga aniqlik kiritib, minimal nuqtalarni mahalliy minimal nuqtalar, maksimal nuqtalarni esa mahalliy maksimal nuqtalar deb atashimiz mumkin.

Biz birgalikda funksiyaning ekstremalini qidiramiz

3-misol.

Yechish: Funksiya butun sonlar qatorida aniqlangan va uzluksizdir. Uning hosilasi butun son qatorida ham mavjud. Shuning uchun, bu holda, tanqidiy nuqtalar faqat ularda, ya'ni. , qayerdan va . Kritik nuqtalar va funktsiyani aniqlashning butun sohasini uchta monotonlik oralig'iga bo'ling: . Ularning har birida bittadan nazorat nuqtasini tanlaymiz va shu nuqtadagi hosila belgisini topamiz.

Interval uchun nazorat nuqtasi bo'lishi mumkin: toping. Intervaldagi nuqtani olib, biz olamiz va intervalda bir nuqta olib, biz bor. Shunday qilib, intervallarda va , va intervalda . Ekstremum uchun birinchi etarli mezonga ko'ra, nuqtada ekstremum yo'q (chunki hosila intervalda o'z belgisini saqlab qoladi) va nuqtada funktsiya minimalga ega (chunki hosila o'tish paytida minusdan plyusga o'zgaradi. bu nuqta orqali). Funktsiyaning mos qiymatlarini topamiz: , a . Intervalda funktsiya kamayadi, chunki bu oraliqda , va intervalda u ortadi, chunki bu oraliqda .

Grafikni qurishni aniqlashtirish uchun uning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Ildizlari va bo'lgan tenglamani olganimizda, ya'ni funktsiya grafigining ikkita nuqtasi (0; 0) va (4; 0) topiladi. Qabul qilingan barcha ma'lumotlardan foydalanib, biz grafik tuzamiz (misolning boshiga qarang).

Hisob-kitoblar paytida o'z-o'zini tekshirish uchun siz foydalanishingiz mumkin onlayn lotin kalkulyatori .

4-misol. Funksiyaning ekstremal qismini toping va uning grafigini tuzing.

Funktsiyani aniqlash sohasi nuqtadan tashqari butun son chizig'idir, ya'ni. .

O'rganishni qisqartirish uchun siz ushbu funktsiyaning teng bo'lishidan foydalanishingiz mumkin, chunki . Shuning uchun uning grafigi o'qga nisbatan simmetrikdir Oy va tadqiqot faqat interval uchun amalga oshirilishi mumkin.

Hosilini topish va funktsiyaning muhim nuqtalari:

1) ;

2) ,

lekin funktsiya bu nuqtada uzilishga duchor bo'ladi, shuning uchun u ekstremum nuqta bo'la olmaydi.

Shunday qilib, berilgan funksiya ikkita kritik nuqtaga ega: va. Funktsiyaning paritetini hisobga olgan holda, biz ekstremum uchun ikkinchi etarli mezon yordamida faqat nuqtani tekshiramiz. Buning uchun biz ikkinchi hosilani topamiz va uning belgisini aniqlang: biz olamiz. Chunki va , u funktsiyaning minimal nuqtasi, va .

Funksiya grafigi haqida toʻliqroq tasavvurga ega boʻlish uchun uning taʼrif sohasi chegaralaridagi harakatini bilib olaylik:

(bu erda belgi istakni bildiradi x o'ngdan nolga, va x ijobiy bo'lib qoladi; xuddi shunday intilishni anglatadi x chapdan nolga, va x salbiy bo'lib qoladi). Shunday qilib, agar , keyin . Keyingi, biz topamiz

bular. agar, keyin.

Funksiya grafigida o‘qlar bilan kesishish nuqtalari yo‘q. Rasm misolning boshida.

Hisob-kitoblar paytida o'z-o'zini tekshirish uchun siz foydalanishingiz mumkin onlayn lotin kalkulyatori .

Biz birgalikda funktsiyaning ekstremallarini qidirishni davom ettiramiz

8-misol. Funksiyaning ekstremal qismini toping.

Yechim. Funksiyani aniqlash sohasini topamiz. Tengsizlik qanoatlantirilishi kerakligi sababli, dan olamiz.

Funktsiyaning birinchi hosilasi topilsin.

Funksiyaning maksimal va minimasini topish uchun ekstremumning uchta yetarli belgisidan birortasidan foydalanish mumkin. Garchi eng keng tarqalgan va qulay bo'lsa-da, birinchisi.

Ekstremum uchun birinchi etarli shart.

Funktsiyaga ruxsat bering y = f(x) nuqtaning -qo'shnisida differensiallanadi va nuqtaning o'zida uzluksiz bo'ladi. Keyin

Boshqa so'z bilan:

Algoritm.

Funktsiyani aniqlash sohasini topamiz.

Funktsiyaning hosilasini aniqlanish sohasi bo'yicha topamiz.

Numeratorning nollarini, hosila maxrajining nollarini va hosila mavjud bo'lmagan ta'rif sohasining nuqtalarini aniqlaymiz (bu nuqtalar deyiladi). mumkin bo'lgan ekstremal nuqtalar, bu nuqtalardan o'tib, hosila faqat o'z belgisini o'zgartirishi mumkin).

Bu nuqtalar funktsiyani aniqlash sohasini hosila o'z belgisini saqlaydigan intervallarga ajratadi. Har bir oraliqda hosilaning belgilarini aniqlaymiz (masalan, ma'lum bir oraliqning istalgan nuqtasida funktsiya hosilasining qiymatini hisoblash yo'li bilan).

Biz funktsiya uzluksiz bo'lgan nuqtalarni tanlaymiz va ular orqali hosila belgisini o'zgartiradi.

Misol. Funksiyaning ekstremal qismini toping.
Yechim.
Funksiyaning sohasi budan tashqari haqiqiy sonlarning butun to‘plamidir x = 2.
Hosilini topish:

Numeratorning nollari nuqtalardir x = -1 Va x = 5, maxraj da nolga boradi x = 2. Ushbu nuqtalarni raqamlar o'qida belgilang

Har bir oraliqda hosilaning belgilarini aniqlaymiz, buning uchun hosilaning qiymatini har bir intervalning istalgan nuqtasida, masalan, nuqtalarda hisoblaymiz. x = -2, x = 0, x = 3 Va x=6.

Shuning uchun, intervalda hosila ijobiy bo'ladi (rasmda biz bu oraliq ustiga ortiqcha belgisi qo'yamiz). Xuddi shunday

Shuning uchun biz ikkinchi oraliqdan minusni, uchinchidan minusni va to'rtinchidan ortiqcha qo'yamiz.

Funktsiya uzluksiz bo'lgan va uning hosilasi belgisini o'zgartiradigan nuqtalarni tanlash qoladi. Bu ekstremal nuqtalar.
Shu nuqtada x = -1 funktsiya uzluksiz va hosila belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi, shuning uchun ekstremumning birinchi belgisiga ko'ra, x = -1 maksimal nuqta; funktsiyaning maksimali unga mos keladi.
Shu nuqtada x = 5 funktsiya uzluksiz va hosila belgisi minusdan plyusga o'zgaradi, shuning uchun x = -1 minimal nuqta, funktsiyaning minimumi unga mos keladi.
Grafik illyustratsiya.

Javob: .

Funksiya ekstremumining ikkinchi yetarli belgisi.
Keling,

agar , u holda minimal nuqta;

bo'lsa, u holda maksimal nuqta.

Ko'rib turganingizdek, bu mezon nuqtada hech bo'lmaganda ikkinchi darajali hosila mavjudligini talab qiladi.
Misol. Funksiyaning ekstremal qismini toping.
Yechim.
Keling, ta'rif domenidan boshlaylik:

Keling, asl funktsiyani farqlaylik:

hosila nolga tushadi x = 1, ya'ni bu mumkin bo'lgan ekstremal nuqta.
Funktsiyaning ikkinchi hosilasini topamiz va uning qiymatini da hisoblaymiz x = 1:

Shunday qilib, ekstremum uchun ikkinchi etarli shartga ko'ra, x = 1- maksimal nuqta. Keyin - funktsiyaning maksimal qiymati.
Grafik illyustratsiya.

Javob: .
Funksiya ekstremumining uchinchi yetarli belgisi.
Funktsiyaga ruxsat bering y = f(x) gacha hosilalariga ega n-nuqta va hosilalarning qo'shniligidagi -chi tartib n+1-nuqtadagi tartib. Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin.
Keyin,

Ishning oxiri -

Ushbu mavzu bo'limga tegishli:

Algebra va analitik geometriya. Matritsa haqida tushuncha, matritsalar ustida amallar va ularning xossalari

Matritsa tushunchasi matritsalar va ularning xossalari boʻyicha amallardir.. matritsa bu boʻlishi mumkin boʻlmagan raqamlardan tashkil topgan toʻrtburchaklar jadval boʻlib, matritsani qoʻshish element boʻyicha amaldir.

Agar sizga ushbu mavzu bo'yicha qo'shimcha material kerak bo'lsa yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmagan bo'lsangiz, bizning ishlar ma'lumotlar bazasida qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:

Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:

Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lsa, uni ijtimoiy tarmoqlardagi sahifangizga saqlashingiz mumkin:

Ushbu bo'limdagi barcha mavzular:

Differensiallik ta'rifi
Hosilini topish amali funksiyani differentsiallash deyiladi. Funktsiya qaysidir nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, agar uning shu nuqtada chekli hosilasi bo'lsa va

Differensiallik qoidasi
Xulosa 1. O'zgarmas ko'rsatkichni hosila belgisidan chiqarish mumkin:

Hosilning geometrik ma'nosi. Tangens tenglamasi
y = kx+b to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi pozitsiyasidan o'lchangan burchakdir

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasining geometrik ma'nosi
y = f(x) funksiya grafigining AB sekantasini shunday ko‘rib chiqamizki, A va B nuqtalar mos ravishda koordinatalarga ega bo‘lsin.

Yechim
Funktsiya barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlanadi. Chunki (-1; -3) teginish nuqtasidir

Ekstremum uchun zarur shart-sharoitlar va ekstremum uchun etarli shartlar
O'sish funksiyasining ta'rifi. y = f(x) funksiya agar mavjud bo'lsa, X oralig'ida ortadi

Funksiyaning monotonligi va doimiyligi shartlari
Funksiyaning intervaldagi (qat'iy bo'lmagan) monotonlik sharti. Funktsiyaning har birida hosila bo'lsin

Antiderivativning ta'rifi
f(x) funksiyaning (a; b) oraliqdagi anti hosilasi F(x) funksiya bo‘lib, tenglik bo‘lsin.

Imtihon
Natijani tekshirish uchun olingan ifodani farqlaymiz: Natijada, olamiz

Doimiy va funktsiyaning hosilasining anti hosilasi doimiy va funktsiyaning aksi hosilasiga teng.
Intervalda berilgan funktsiyaning anti hosilasi mavjudligi uchun etarli shart

Ta'rif
Bu belgilansin

Geometrik ma'no
Aniq integral son jihatdan abscissa o'qi va to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraning maydoniga teng.

Aniq integralning xossalari
Aniq integralning asosiy xossalari. Xususiyat 1. Aniq integralning yuqori chegarasiga nisbatan hosilasi o‘zgaruvchi o‘rniga integrallashgan integralga teng.

Nyuton-Leybnits formulasi (isbot bilan)
Nyuton-Leybnits formulasi. y = f(x) funksiya oraliqda uzluksiz va F(x) funksiyaning shu oraliqdagi aksi hosilalaridan biri bo‘lsin, u holda tenglama

Teorema (ekstremum uchun birinchi etarli shart). Funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lsin, hosila nuqtadan o'tganda ishorasi o'zgaradi. Keyin ekstremum nuqtasi bo'ladi: agar belgi "+" dan "-" ga o'zgarmasa, maksimal va "-" dan "+" ga minimal bo'lsa.

Isbot. Let at va at.

Lagranj teoremasiga ko'ra , qaerda .U holda agar , keyin ; shunung uchun , shuning uchun, , yoki . Agar, keyin; shunung uchun , shuning uchun, yoki .

Shunday qilib, har qanday nuqtada yaqin joyda, ya'ni isbotlangan. – funksiyaning maksimal nuqtasi.

Minimal nuqta uchun teoremani isbotlash ham xuddi shunday amalga oshiriladi. Teorema isbotlangan.

Agar nuqtadan o'tayotganda hosila belgisini o'zgartirmasa, nuqtada ekstremum yo'q.

Teorema (ekstremum uchun ikkinchi etarli shart). Ikki marta differentsiallanuvchi funktsiyaning nuqtadagi hosilasi 0 () ga teng bo'lsin va uning bu nuqtadagi ikkinchi hosilasi noldan () farqli va nuqtaning qaysidir qo'shnisida uzluksiz bo'lsin. Keyin ekstremum nuqta; bu erda minimal nuqta va bu erda maksimal nuqta.

Ekstremum uchun birinchi yetarli shart yordamida funksiyaning ekstremallarini topish algoritmi.

1. Hosilni toping.

2. Funksiyaning kritik nuqtalarini toping.

3. Har bir kritik nuqtaning chap va o’ng tomonidagi hosila belgisini o’rganing va ekstremalning mavjudligi haqida xulosa chiqaring.

4. Funksiyaning ekstremal qiymatlarini toping.

Ekstremum uchun ikkinchi yetarli shart yordamida funksiyaning ekstremallarini topish algoritmi.

1. Hosilni toping.

2. Ikkinchi hosilani toping.

3. Qaysi nuqtalarni toping.

4. Ushbu nuqtalardagi belgini aniqlang.

5. Ekstremaning mavjudligi va tabiati haqida xulosa chiqaring.

6. Funksiyaning ekstremal qiymatlarini toping.

Misol. Keling, ko'rib chiqaylik . Biz topamiz . Bundan tashqari, da va da. Keling, ekstremum uchun birinchi etarli shartdan foydalanib, tanqidiy nuqtalarni o'rganamiz. Bizda bu for va for , va for . Nuqtalarda va hosila o'z belgisini o'zgartiradi: at "+" dan "-" ga va at "-" dan "+" ga. Demak, bir nuqtada funksiya maksimalga, bir nuqtada esa minimalga ega; . Taqqoslash uchun biz ekstremum uchun ikkinchi etarli shartdan foydalanib, tanqidiy nuqtalarni o'rganamiz. Keling, ikkinchi hosilani topamiz. Bizda: , va bu funksiya bir nuqtada maksimalga, bir nuqtada esa minimumga ega ekanligini bildiradi.

Funksiya grafigining asimptotasi tushunchasi. Gorizontal, qiya va vertikal asimptotlar. Misollar.

Ta'rif. Funksiya grafigining asimptoti deb, grafik nuqtasi koordinata boshidan cheksiz harakat qilganda nuqtadan bu toʻgʻri chiziqgacha boʻlgan masofa nolga intiluvchi xossaga ega boʻlgan toʻgʻri chiziqdir.

Vertikal (6.6-rasm a), gorizontal (6.6-b-rasm) va qiya (6.6-v-rasm) asimptotalari mavjud.

Shaklda. 6.6a ko'rsatilgan vertikal asimptota.

6.6b-rasmda - gorizontal asimptota.

Shaklda. 6,6v - qiya asimptota.

Teorema 1. Vertikal asimptota nuqtalarida (masalan, ) funktsiya uzilishga duchor bo'ladi, uning nuqtaning chap va o'ng tomonidagi chegarasi quyidagilarga teng:

Teorema 2. Funktsiya etarlicha katta va cheklangan chegaralar uchun aniqlansin

VA .

U holda to'g'ri chiziq funksiya grafigining qiya asimptotasidir.

Teorema 3. Funksiya etarlicha kattalik uchun aniqlansin va funktsiyaning chegarasi mavjud. U holda to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining gorizontal asimptoti bo‘ladi.

Gorizontal asimptota qiya asimptotaning maxsus holati bo'lib, qachon . Shuning uchun, agar biron bir yo'nalishda egri chiziq gorizontal asimptotaga ega bo'lsa, u holda bu yo'nalishda hech qanday moyillik yo'q va aksincha.

Misol. Funksiya grafigining asimptotalarini toping.

Yechim. Funktsiya aniqlanmagan nuqtada nuqtaning chap va o'ng tomonidagi funksiya chegaralarini topamiz:

; .

Shuning uchun u vertikal asimptota hisoblanadi.

Funksiyalarni o'rganish va ularning grafiklarini qurishning umumiy sxemasi. Misol.

Funksional tadqiqotning umumiy sxemasi va uni tuzish.

1. Ta’rif sohasini toping.

2. Juftlik – toqlik funksiyasini o‘rganing.

3. Vertikal asimptotalarni va uzilish nuqtalarini toping (agar mavjud bo'lsa).

4. Funksiyaning cheksizlikdagi harakatini o‘rganing; gorizontal va qiya asimptotalarni toping (agar mavjud bo'lsa).

5. Funksiyaning monotonligining ekstremal va intervallarini toping.

6. Grafikning koordinata o’qlari bilan kesishish nuqtalarini toping va agar grafikni sxematik qurish uchun kerak bo’lsa, qo’shimcha nuqtalarni toping.

7. Grafikni sxematik chizing.

Funktsiyani o'rganishning batafsil diagrammasi va fitna .

1. Ta'rif sohasini toping .

a. Agar y ning maxraji bo'lsa, u 0 ga chiqmasligi kerak.

b. Juft darajali ildizning radikal ifodasi manfiy bo'lmasligi kerak (noldan katta yoki teng).

c. Sublog ifodasi ijobiy bo'lishi kerak.

2. Paritet – g‘alatilik funksiyasini o‘rganing.

a. Agar bo'lsa, funksiya juft bo'ladi.

b. Agar bo'lsa, u holda funksiya toq bo'ladi.

c. Agar na, na , keyin umumiy shaklning funksiyasi.

3. Vertikal asimptotalarni va uzilish nuqtalarini (agar mavjud bo'lsa) toping.

a. Vertikal asimptota faqat funktsiyani aniqlash sohasi chegarasida paydo bo'lishi mumkin.

b. Agar ( yoki ), u holda grafikning vertikal asimptotasi.

4. Funktsiyaning cheksizlikdagi harakatini o'rganish; gorizontal va qiya asimptotalarni toping (agar mavjud bo'lsa).

a. Agar bo'lsa, u holda grafikning gorizontal asimptotasi.

b. Agar , u holda to'g'ri chiziq grafikning qiya asimptotasidir.

c. Agar a, b bandlarida ko'rsatilgan chegaralar faqat bir tomonlama cheksizlikka (yoki ) moyil bo'lganda mavjud bo'lsa, natijada olingan asimptotlar bir tomonlama bo'ladi: chap qo'lda va o'ng qo'lda.

5. Funksiyaning monotonligining ekstremal va intervallarini toping.

a. Hosilini toping.

b. Muhim nuqtalarni toping (qayerda yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar).

c. Raqamlar o'qida ta'rif sohasini va uning muhim nuqtalarini belgilang.

d. Olingan sonli intervallarning har birida hosila belgisini aniqlang.

e. Hosila belgilariga asoslanib, y dagi ekstremmalarning mavjudligi va ularning turi haqida xulosa chiqaring.

f. Ekstremal qiymatlarni toping.

g. Hosila belgilariga asoslanib, o'sish va kamayish haqida xulosa chiqaring.

6. Grafikning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarini toping va agar grafikni sxematik chizish uchun kerak bo'lsa, qo'shimcha nuqtalarni toping.

a. Grafikning o'q bilan kesishish nuqtalarini topish uchun tenglamani yechish kerak. Nol bo'lgan nuqtalar grafikning o'q bilan kesishish nuqtalari bo'ladi.

b. Grafikning o'q bilan kesishish nuqtasi quyidagicha ko'rinadi. U nuqta funksiya sohasi ichida bo'lsagina mavjud bo'ladi.

8. Sxematik ravishda grafik chizing.

a. Koordinatalar sistemasi va asimptotalarni tuzing.

b. Ekstremal nuqtalarni belgilang.

c. Grafikning kesishish nuqtalarini koordinata o'qlari bilan belgilang.

d. Belgilangan nuqtalardan o'tib, asimptotalarga yaqinlashadigan qilib, sxematik grafik tuzing.

Misol. Funktsiyani o'rganing va uning grafigini sxematik tuzing.

2. – umumiy shakl funksiyasi.

3. beri va , keyin va chiziqlar vertikal asimptotadir; nuqtalar tanaffus nuqtalaridir. , qachon funksiyani aniqlash sohasiga kirmaydi

№1 chipta

antiderivativ funktsiyaTeoremaIsbot noaniq integral

(X 0 ;Y 0) nuqta chaqiriladi maksimal nuqta minimal nuqta funksiyalari: (X 0 ;Y 0) dan farq qiluvchi barcha (x;y) nuqtalar uchun, nuqtaning d-qo‘shnisidan (X 0 ;Y 0) f(x;y)>f(X 0 ;Y) tengsizlik. 0) qanoatlantiriladi.

Dalil:

Chipta № 2

IsbotGeometrik ma'no

shaxsiy o'sish qisman hosila Geometrik ma'no

№3 chipta

19. z=f(x,y) funksiyaning maksimal va minimal nuqtalarini aniqlash.(X 0 ;Y 0) nuqta chaqiriladi maksimal nuqta z=f(x;y) funksiya, agar f(x;y) tengsizlik bajariladigan (X 0 ;Y 0) nuqtaning d-qo‘shnisi bo‘lsa. minimal nuqta funksiyalari: (X 0 ;Y 0) dan farq qiluvchi barcha (x;y) nuqtalar uchun, nuqtaning d-qo‘shnisidan (X 0 ;Y 0) f(x;y)>f(X 0 ;Y) tengsizlik. 0) qanoatlantiriladi. Statsionar nuqtada (X 0 ;Y 0) va uning ba'zi qo'shnilarida f(x;y) funksiyaning ikkinchi tartibligacha uzluksiz qisman hosilalari bo'lsin. (X 0 ;Y 0) nuqtada A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" qiymatlarini hisoblaymiz. yy (X 0 ;Y 0). D=|AB ni belgilaymiz; BC|=AC-B^2. Keyin: 1) agar D> bo'lsa<0; минимум, если A>0; 2) agar D<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Chipta № 4 Aniq integral bilan Xususiyatlari Isbot.(x;y;z) koordinatali nuqtada.Du/Dl=LimDl→0(D l u/Dl)=(du/dx)*cosa+(du/dy)*cosb+(du/dz)*cosg Faraz qilaylik, u(x;y;z) funksiya uzluksiz va D sohasidagi argumentlariga nisbatan uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin: Du=(Du/Dx)Dx+(Du/Dy)Dy+(Du/dz)Dz+. E 1 Dx+E 2 Dy+E 3 Dz, bu yerda E 1, E 2, E 3 Dl→0 sifatida nolga intiladi. Keling, butun tenglikni D ga bo'laylik. Du/Dl=(Du/Dx)(Dx/Dl)+(Du/Dy)(Dy/Dl)+(Du/Dz)(Dz/Dl)+E 1 (Dx/Dl)+E 2 (Dy/ Dl)+E 3 (Dz/Dl). Dx/Dl=cosa; Dy/Dl=cosb; Dz/Dl=cosy. Tenglikni quyidagicha ifodalash mumkin: Du/Dl=(du/dx)cosa+(du/dy)cosb+(du/dz)cosg+E 1 cosa+E 2 cosb+E 3 cosy. Cheklovga o‘tsak, Du/Dl=LimDl→0(D l u/Dl)=(du/dx)*cosa+(du/dy)*cosb+(du/dz)*cosg ni olamiz.

Chipta № 5

1. Antiderivativ funksiya. Ikki antiderivativlar orasidagi farq haqidagi teorema (isbot bilan). Noaniq integral: ta'rif F(x) funksiya chaqiriladi antiderivativ funktsiya(a;b) oraliqda f(x), har qanday x∈(a;b) uchun F"(x)=f(x) tenglik bajarilsa. Teorema. Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning (a;b) ga qarshi hosilasi bo‘lsa, f(x) uchun barcha anti hosilalar to‘plami F(x)+C formula bilan topiladi, bunda C= const. Isbot. F(x)+C funksiya f(x) ning anti hosilasidir. Darhaqiqat, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). F(x) F(x) dan farqli boshqa f(x) funktsiya bo'lsin, ya'ni. F"(x)=f(x). U holda har qanday x∈(a;b) uchun (F(x)-F(x))"=F"(x)-F"(x)=f( x )-f(x)=0. Bu esa F(x)-F(x)=C, C=const deganidir. Shuning uchun F(x)=F(x)+C. f(x) uchun F(x)+C barcha antiderivativ funksiyalar to‘plami deyiladi. noaniq integral f(x) funksiyaning va ∫f(x)dx belgisi bilan belgilanadi.

19. z=f(x,y) funksiyaning maksimal va minimal nuqtalarini aniqlash.(X 0 ;Y 0) nuqta chaqiriladi maksimal nuqta z=f(x;y) funksiya, agar f(x;y) tengsizlik bajariladigan (X 0 ;Y 0) nuqtaning d-qo‘shnisi bo‘lsa. minimal nuqta funksiyalari: (X 0 ;Y 0) dan farq qiluvchi barcha (x;y) nuqtalar uchun, nuqtaning d-qo‘shnisidan (X 0 ;Y 0) f(x;y)>f(X 0 ;Y) tengsizlik. 0) qanoatlantiriladi. 20. z=f(x;y) funksiya ekstremumining mavjudligining yetarli belgisi. (so'z birikmasi). Statsionar nuqtada (X 0 ;Y 0) va uning ba'zi qo'shnilarida f(x;y) funksiyaning ikkinchi tartibligacha uzluksiz qisman hosilalari bo'lsin. (X 0 ;Y 0) nuqtada A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" qiymatlarini hisoblaymiz. yy (X 0 ;Y 0). D=|AB ni belgilaymiz; BC|=AC-B^2. U holda: 1) agar D>0 bo'lsa, (X 0 ;Y 0) nuqtadagi f(x;y) funksiya ekstremumga ega: maksimal, agar A bo'lsa.<0; минимум, если A>0; 2) agar D<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Chipta № 6

3. Aniq integralni segment ustida hisoblash. Nyuton-Leybnits formulasi (hosil qilish). Agar y=f(x) funksiya oraliqda uzluksiz bo‘lsa va F(x) uning (F"(x)=f(x)) ustidagi har qanday qarshi hosilalari bo‘lsa, u holda ∫(a dan b gacha) formula f( x) )dx=F(b)-F(a) ga mos keladi.Bu formula Nyuton-Leybnits formulasi.Bir xillikni ko‘rib chiqaylik:F(b)-F(a)=F(x n)-F(x 0)= (F(x n) -F(x n -1))+(f(x n -1)-F(x n -2))+…(F(x 2)-F(x 1))+(F(x 1) )-F(x 0)).Qavs ichidagi har bir farqni Lagranj formulasidan foydalanib o‘zgartiramiz: f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a).F(b)-F(a) ni olamiz. )=F'(c n)( x n -x n -1)+F'(c n -1)(x n -1 -x n -2)+F'(c 2)(x 2 -x 1)+F'(c) 1)(x 1 -x 0 )= SF'(Ci)DXi=Sf(Ci)DXi, ya'ni F(b)-F(a)= Sf(Ci)DXi, bunda Ci intervalning qaysidir nuqtasidir. (X i -1 ,X i).Demak, y=f(x) funksiya on ustida uzluksiz bo‘lganligi uchun u on ustida integrallanadi.Demak, f(x) ning aniq integraliga teng integral yig‘indining chegarasi mavjud. l=maxDXi→0 chegarasiga o‘tib, F(b)-F( a)=lim Sf(Ci)DXi, ya’ni ∫(a dan b gacha) f(x)dx=F( ni olamiz. b)-F(a).

z=f(x;y) funksiya chaqiriladi farqlanishi mumkin

11. Differensiallanuvchi funksiyaning xossasi: z=f(x;y) funksiyaning differensialligi bilan z=f(x;y) funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi o‘rtasidagi bog‘liqlik (tuzatish, isbotlash). Agar z=f(x;y) funksiya M(x;y) nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda bu nuqtada uzluksiz bo’lib, uning qisman hosilalari mavjud. Isbot. y=f(x) funksiya x 0 nuqtada differentsiallanuvchi bo'lsin. Bu nuqtada biz argumentga Dx ortishini beramiz. Funktsiya DU o'sishini oladi. limDx→0(Dy) ni topamiz. limDx→0(Dy)= limDx→0((Dy*Dx)/Dx))= limDx→0(Dy/Dx)* limDx→0(Dx)=f"(x0)*0=0. Shuning uchun y =f(x) x 0 nuqtada uzluksizdir.

Chipta № 7

Ekstremumning zaruriy belgisi.

Agar uzluksiz z=z(x,y) funksiya P0(x0,y0) nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, bu nuqtada uning barcha birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng yoki mavjud emas.

Dalil: z=f(x,y) funksiyaning P0(x0,y0) nuqtadagi x ga nisbatan qisman hosilasi bitta o‘zgaruvchining ph(x)=f(x,y0) nuqtadagi funksiyasining hosilasidir. x-x0. Lekin bu nuqtada ph(x) funksiyasi aniq ekstremumga ega. Demak, ph'(x0)=0. ph'(x0)=f'x(x0,y0), u holda f'x(x0,y0)=0 bo'lgani uchun xuddi shunday, f'y(x0, y0)=0. Teorema isbotlangan.

Chipta № 8

6. O'rtacha qiymat teoremasi (formalash, isbotlash, geometrik ma'no). Agar f(x) funksiya segmentda uzluksiz bo'lsa, u holda ∫(a dan b gacha) f(x)dx=f(c)*(b-a) bo'ladigan C∈ nuqta mavjud. Isbot. Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra, bizda ∫(a dan b gacha) f(x)dx=F(x)|(a dan b)=F(b)-F(a), bu erda F"(x) )=f( x).F(b)-F(a) ayirmasiga Lagranj teoremasini (funksiyaning chekli o‘sishi haqidagi teorema) qo‘llasak, F(b)-F(a)=F”(c) ni olamiz. )*(b-a)=f(c) *(b-a). Geometrik ma'no. f(x)≥0 teoremasi oddiy geometrik ma'noga ega: aniq integralning qiymati ba'zi C∈ (a;b) uchun balandligi f(c) va asosi bo'lgan to'rtburchakning maydoniga teng. b-a. f(c)=1/(b-a)∫(a dan b gacha) f(x)dx soni f(x) funksiyaning segmentdagi o'rtacha qiymati deyiladi.

8. z=f(x;y) funksiyaning qisman o‘sishi. Qisman hosilalar: ta'rifi va ularning geometrik ma'nosi. z=f(x;y) funksiya berilsin. X va y mustaqil o'zgaruvchilar bo'lgani uchun ulardan biri o'zgarishi mumkin, ikkinchisi esa doimiy bo'lib qoladi. y o‘zgaruvchining qiymatini o‘zgarmagan holda, x o‘zgaruvchiga ∆x ortishini beraylik. Keyin z funksiyasi qo'shimchani oladi, biz uni chaqiramiz shaxsiy o'sish x da z va ∆ x z ni belgilang. Demak, ∆ x z=f(x+∆x;y)–f(x;y). Xuddi shunday, z ning y ga nisbatan qisman o'sishini olamiz: ∆ y z=f(x;u+∆y)–f(x;y).Agar chegara bo'lsa lim∆x→0(∆ x z/∆x) )=lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), u holda deyiladi. qisman hosila funktsiya z=f(x;y) x o'zgaruvchining M(x;y) nuqtasida va quyidagi belgilardan biri bilan belgilanadi: z" x, dz/dx; f" x, df/dx. Geometrik ma'no. z=f(x;y) funksiyaning grafigi ma’lum sirtdir. z=f(x 0 ;y 0) funksiyaning grafigi bu sirtning y=y 0 tekislik bilan kesishish chizig’idir. Bitta o‘zgaruvchili funksiya uchun hosilaning geometrik ma’nosiga asoslanib, f” x (x 0 ;y 0)=tga degan xulosaga kelamiz, bu yerda a – Ox o‘qi bilan z=f egri chiziqqa chizilgan tangens orasidagi burchak. (x 0 ;y 0) M 0 nuqtada (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). f" y (x 0 ;y 0)=tgb ga o'xshash.

Chipta № 9

Isbot Geometrik ma'no

Tangens tekisligi Oddiy sirt

Chipta № 10

10. z=f(x;y) nuqtadagi differentsiallanuvchi funksiyaning ta’rifi. Jami differensial dz ta'rifi va uning shakli. z=f(x;y) funksiya chaqiriladi farqlanishi mumkin M(x;y) nuqtada, agar uning bu nuqtadagi umumiy oshib borishi quyidagicha ifodalanishi mumkin: ∆z=A*∆x+B*∆y+a*∆x+b*∆y, bunda a=a(∆) x;∆y)→0 va ∆x→0 va ∆y→0 uchun b=b(∆x;∆y)→0. z=f(x;y) funksiyaning ∆x va ∆y ga nisbatan chiziqli o‘sishning asosiy qismi deyiladi. to'liq differentsial bu funksiya va dz belgisi bilan belgilanadi: dz=A*∆x+B*∆y. dz=(dz/dx)dx+(dz/dy)dy.

Chipta № 11

4. Kesim ustidagi aniq integralning ta’rifi. Aniq integralning segment ustidagi asosiy xossalari (ulardan birining isboti bilan). Aniq integral bilan f(x) funksiyaning segmenti ustida Sf(c i)Dx i integral yig‘indisining chegarasi deyiladi, agar bu chegara mavjud bo‘lsa va na segmentning qismlarga bo‘linishiga, na t nuqtalarni tanlashga bog‘liq bo‘lmasa. eng katta qisman segmentlarning uzunligi (∆xi) nolga moyil bo'lishi sharti bilan har bir qismning ichida, ya'ni ∫(a dan b gacha) f(x)dx=lim Dx i →0 Sf(c i)Dx i . Xususiyatlari: 1) Agar c oʻzgarmas son boʻlsa va f(x) funksiya ga integrallash mumkin boʻlsa, ∫(a dan b gacha) c*f(x)dx=c*∫(a dan b gacha) f(x)dx .2) Agar f 1 (x) b f 2 (x) funksiyalar ustida integrallash mumkin bo‘lsa, ularning yig‘indisi ham integrallanadi ∫(a dan b gacha) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫( a dan b gacha) f 1 (x)dx+∫(a dan b gacha) f 2 (x)dx. 3)∫(a dan b gacha) f(x)dx= -∫(b dan a gacha) f(x)dx. 4)Agar f(x) funksiya integrallansa va a

10. z=f(x;y) nuqtadagi differentsiallanuvchi funksiyaning ta’rifi. z=f(x;y) funksiya chaqiriladi farqlanishi mumkin M(x;y) nuqtada, agar uning bu nuqtadagi umumiy oshib borishi quyidagicha ifodalanishi mumkin: ∆z=A*∆x+B*∆y+a*∆x+b*∆y, bunda a=a(∆) x;∆y)→0 va ∆x→0 va ∆y→0 uchun b=b(∆x;∆y)→0.

12. Differensiallanuvchi funksiyaning xossasi: z=f(x,y) funksiyaning differentsiallanishi bilan nuqtada qisman hosilalarning mavjudligi (formalash, isbotlash) o‘rtasidagi bog‘liqlik. Teorema: Agar funktsiya nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u holda bu nuqtada cheklangan qisman hosilalar mavjud, A va B son jihatdan teng Berilgan: Dz=AΔx+BDy+0(r) Isbotlang: Ǝ(dz/dx(x 0 ); y 0)=A Isbot: x 0 →Dx, y=y 0 =>D x z=(A*Dx+0(│x│) ni beraylik. r=√(Dx 2 +Dy 2)=│Dx│. D x z/Dx=A +0(│x│)/Dx.LimDx→0 (D x z/Dx)=lim=A. Dz/Dx(x 0 ;y 0)=A. Xuddi shunday: Y 0 →Dy, x=x 0 => D y Z. dz/Dy(x 0 ;y 0)=B.

Chipta № 12

Isbot

13-raqamli chipta

2. Segment ustidagi aniq integral tushunchasiga olib keladigan egri chiziqli trapetsiya maydoni muammosi. Segment ustidagi aniq integralning ta'rifi. Segmentda y=f(x)≥0 funksiya berilsin. Yuqorida y=f(x) funksiya grafigi bilan, pastdan Ox o'qi bilan, yon tomondan x=a va x=b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraga egri chiziqli trapetsiya deyiladi. Keling, ushbu trapetsiyaning maydonini topamiz. f(c 1)Dx 1 +f(c 2)Dx 2 +..+f(c n)Dx n =Sf(c i)Dx i =Sn. Dx i ning barcha qiymatlari kamayishi bilan egri chiziqli trapezoidni qadamli shaklga yaqinlashtirishning aniqligi va natijada olingan formulaning aniqligi ortadi. Demak, egri chiziqli trapetsiyaning S maydonining aniq qiymati uchun n chegarasiz ortib, l=maxDx i →0 bo‘lishi uchun pog‘onali Sn figurasining maydoni moyil bo‘lgan S chegarasini olamiz: S=lim n. →∞ Sn=lim n→∞(l→0 ) Sf(c i)Dx i , ya’ni S=∫(a dan b gacha) f(x)dx. Demak, noaniq funksiyaning aniq integrali son jihatdan egri chiziqli trapetsiyaning maydoniga teng.Agar Sn integral yig‘indisi I chegaraga ega bo‘lsa, u segmentni sonli segmentlarga bo‘lish usuliga ham, segmentga ham bog‘liq emas. ulardagi nuqtalarni tanlash, keyin I soni segmentdagi y=f(x) funksiyaning aniq integrali deyiladi va ∫(a dan b gacha) f(x)dx bilan belgilanadi. Shunday qilib, ∫(a dan b gacha) f(x)dx=lim n→∞(l→0) Sf(c i)Dx i .

17. Tangens tekislik va sirtga normal (ta'rif).Tangens tekisligi M nuqtadagi sirtga, sirtning shu nuqtasidan o'tuvchi tekislik deyiladi, agar bu tekislik bilan M nuqtadan o'tuvchi sekant orasidagi burchak va sirtning boshqa har qanday M 1 nuqtasi M ning M ga moyilligi kabi nolga moyil bo'lsa. 1. Oddiy sirt M nuqtada bu nuqtadan tangens tekislikka perpendikulyar o'tuvchi to'g'ri chiziq.

14-raqamli chipta

5. Kesim bo'yicha aniq integralni baholash haqidagi teorema (formalash, isbotlash, geometrik ma'no). Integralni baholash. Agar m va M mos ravishda y=f(x) funksiyaning segmentdagi eng kichik va eng katta qiymatlari bo‘lsa, (a) Isbot. Har qanday x∈ uchun bizda m≤f(x)≤M bo‘lgani uchun, ∫(a dan b gacha) mdx≤ ∫(a dan b gacha) f(x)dx≤∫(a dan b gacha) Mdx. Biz olamiz: m(b-a)≤∫(a dan b gacha) f(x)dx≤M(b-a). Geometrik ma'no. Egri chiziqli trapezoidning maydoni asosi m va balandligi m va M bo'lgan to'rtburchaklar maydonlari o'rtasida joylashgan.

15-raqamli chipta

Chipta № 16

21. u=u(x;y;z) funksiyaning l yo‘nalishdagi hosilasi (ta’rif). LimDl→0(Du/Dl) chegarasi deyiladi u(x;y;z) funksiyaning l vektor yo‘nalishi bo‘yicha hosilasi koordinatalari (x;y;z) bo'lgan nuqtada.

22. U=u(x;y;z) funksiyaning nuqtadagi gradienti (ta’rif). Koordinatalari (dyu/dx; dyu/dy; dyu/dz) bo'lgan vektor deyiladi.

17-raqamli chipta

7. O‘zgaruvchan yuqori chegarali integral. O‘zgaruvchan yuqori chegarali integral hosilasi haqidagi teorema (formalash, isbotlash). Aniq integralning o‘zgaruvchan yuqori chegarasiga nisbatan hosilasi integrasiya o‘zgaruvchisi shu chegara bilan almashtirilgan integralga teng, ya’ni (∫(a dan x gacha) f(t)dt)” x =f. (x). Isbot. Nyuton-Leybnits formulasiga ko‘ra, bizda: ∫(a dan x gacha) f(t)dt=F(t)|(a dan x gacha)=F(x)-F(a). Shuning uchun (∫(a dan x gacha) f(t)dt)" x =(F(x)-F(a))" x =F"(x)-0=f(x). Bu shuni anglatadiki, a o‘zgaruvchan yuqori chegarasi bo‘lgan aniq integral integrandning antiderivativlaridan biridir.

to'liq o'sish davomiy davomiy

18-raqamli chipta

1. Antiderivativ funksiya. Ikki antiderivativlar orasidagi farq haqidagi teorema (isbot bilan). Noaniq integral: ta'rifi, noaniq integralning eng oddiy xossalari (ulardan birining isboti bilan). F(x) funksiya chaqiriladi antiderivativ funktsiya(a;b) oraliqda f(x), har qanday x∈(a;b) uchun F"(x)=f(x) tenglik bajarilsa. Teorema. Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning (a;b) ga qarshi hosilasi bo‘lsa, f(x) uchun barcha anti hosilalar to‘plami F(x)+C formula bilan topiladi, bunda C= const. Isbot. F(x)+C funksiya f(x) ning anti hosilasidir. Darhaqiqat, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). F(x) F(x) dan farqli boshqa f(x) funktsiya bo'lsin, ya'ni. F"(x)=f(x). U holda har qanday x∈(a;b) uchun (F(x)-F(x))"=F"(x)-F"(x)=f( x )-f(x)=0. Bu esa F(x)-F(x)=C, C=const deganidir. Shuning uchun F(x)=F(x)+C. f(x) uchun F(x)+C barcha antiderivativ funksiyalar to‘plami deyiladi. noaniq integral f(x) funksiyaning va ∫f(x)dx belgisi bilan belgilanadi. Xususiyatlari: 1) Noaniq integralning differentsiali integradaga, noaniq integralning hosilasi esa d(∫f(x)dx)=f(x)dx, (∫f(x)dx integraliga teng. )"=f(x).d (∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F"(x)dx=f(x)dx. va (∫f(x)dx)"=(F(x)+C)"=F"(x)+0=f(x).2) Ayrim funksiya differensialining noaniq integrali yig'indiga teng. bu funksiya va ixtiyoriy doimiy: ∫dF(x)=F(x)+C.∫dF(x)=F"(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.3) O'zgarmas omilni integral belgisidan chiqarish mumkin: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.4) Chekli sonli uzluksiz funksiyalar algebraik yig'indisining noaniq integrali ning algebraik yig'indisiga teng. funksiyalar yig‘indilarining integrallari: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f (x)dx±∫g(x)dx.5) (Integratsiya formulasining invariantligi). Agar ∫f(x)dx=F(x)+C boʻlsa, ∫f(u)du=F(u)+C boʻladi, bu yerda u=ph(x) uzluksiz hosilali ixtiyoriy funktsiyadir.

22. u=u(x;y;z) funksiyaning nuqtadagi gradienti (ta’rifi, xossalari). Funktsiyaning yo'nalish hosilasi va gradienti o'rtasidagi bog'liqlik (mantiqiy asos). Koordinatalari (dyu/dx; dyu/dy; dyu/dz) bo'lgan vektor deyiladi. u=f(x;y;z) funksiyaning gradienti va gradU=(dyu/dx; dyu/dy; dyu/dz) bilan belgilanadi. gradU=(dyu/dx)*i+(du/dy)*j+(dyu/dz)*k. Xususiyatlari: 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU, bu yerda u*v u va v vektorlarning skalyar ko‘paytmalari. Ulanish. u=u(x;y;z) funksiya va gradient maydoni gradU=(du/dx)*i+(du/dy)*j+(du/dz)*k berilsin. U holda qandaydir l vektor yo‘nalishidagi Du/Dl hosilasi GradU vektorining l vektorga proyeksiyasiga teng bo‘ladi.

Chipta № 19

4. Kesim ustidagi aniq integralning ta’rifi. Aniq integralning segment ustidagi asosiy xossalari (ulardan birining isboti bilan). Aniq integral bilan f(x) funksiyaning segmenti ustida Sf(c i)Dx i integral yig‘indisining chegarasi deyiladi, agar bu chegara mavjud bo‘lsa va na segmentning qismlarga bo‘linishiga, na t nuqtalarni tanlashga bog‘liq bo‘lmasa. eng katta qisman segmentlarning uzunligi (∆xi) nolga moyil bo'lishi sharti bilan har bir qismning ichida, ya'ni ∫(a dan b gacha) f(x)dx=lim Dx i →0 Sf(c i)Dx i . Xususiyatlari: 1) Agar c oʻzgarmas son boʻlsa va f(x) funksiya ga integrallash mumkin boʻlsa, ∫(a dan b gacha) c*f(x)dx=c*∫(a dan b gacha) f(x)dx . Isbot. c*f(x) funksiyasi uchun integral yig‘indini tuzamiz. Bizda S*f(c i)Dx i =s*Sf(c i)Dx i mavjud. U holda lim n→∞ Ss*f(c i)Dx i =c*lim n→∞ f(c i)=s*∫(a dan b gacha) f(x)dx. Bundan kelib chiqadiki, s*f(x) funksiya integrallanadi va formula ∫(a dan b gacha) s*f(x)dx= s*∫(a dan b gacha) f(x)dx.2) Agar f 1 (x) b f 2 (x) funksiyalar ga integrallanadi, keyin ularning yig‘indisi integrallanadi va ∫(a dan b gacha) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫(a dan b gacha) ) f 1 (x)dx+∫(a dan b gacha) f 2 (x)dx. 3)∫(a dan b gacha) f(x)dx= -∫(b dan a gacha) f(x)dx. 4)Agar f(x) funksiya integrallansa va a

17. Tangens tekislik va sirtga normal (ta'rif). Tangens tekislikning mavjudligi haqidagi teorema (formalash, isbotlash). Tangens tekisligi M nuqtadagi sirtga, sirtning shu nuqtasidan o'tuvchi tekislik deyiladi, agar bu tekislik bilan M nuqtadan o'tuvchi sekant orasidagi burchak va sirtning boshqa har qanday M 1 nuqtasi M ning M ga moyilligi kabi nolga moyil bo'lsa. 1. Oddiy sirt M nuqtada bu nuqtadan tangens tekislikka perpendikulyar o'tuvchi to'g'ri chiziq. Teorema. Agar dF/dx; dF/dy; dF/dz Mo nuqtaga yaqin joyda aniqlanadi va M 0 nuqtaning o'zida uzluksiz bo'ladi va bir vaqtning o'zida yo'qolmaydi, u holda sirtdagi chiziqlarga teguvchi barcha chiziqlar bir tekislikda yotadi. Isbot. L: sistema(x=x(t); y=y(t); z=z(t)). Tangens chiziq (M 0 ;P) y=(x"(t 0); y"(t o); z"(t 0)). L∈Q (sirt). F(x(t), y(t) , z(t))=0 t o‘zgaruvchining kompleks funksiyasi.Kompleks funksiyaning differentsiallanish qoidasidan foydalanamiz: (dF/dx)*(dx/dt)+(dF/dy)*(dy/dt) )+(dF/dz)*( dz/dt)=0; (DF(M 0)/dx)*x"(t 0)+(dF(M 0)/dy)*y"(t 0)+ (DF(M 0)/dz) *z"(t 0)=0; g=(x"(t 0),y"(t 0),z"(t 0)); n=(DF(M 0)/dx; dF(M 0)/dy; dF(M 0) ni belgilang /dz);n⊥g.Ma’lum bir nuqta orqali sirtda yotgan cheksiz sonli chiziqlar va ularga cheksiz ko‘p teginish chiziqlar o‘tkazish mumkin bo‘lganligi sababli, barcha tangens chiziqlar bir tekislikda yotadi.

Chipta № 20

9. z=f(x;y) funksiyaning to‘liq o‘sishi. z=f(x;y) funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi (ikki ta’rif). z=f(x;y) funksiya berilsin. X mustaqil o‘zgaruvchiga ∆x o‘sish, y o‘zgaruvchisiga ∆y o‘sish beraylik. Keyin to'liq o'sish Funktsiyaning ∆z tengligi bilan aniqlanadi: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). 1)z=f(x;y) funksiya chaqiriladi davomiy M 0 (x 0 ;y 0)∈ D(z) nuqtada, agar uning bu nuqtadagi chegarasi funksiyaning shu nuqtadagi qiymatiga to'g'ri kelsa, ya'ni. limX→X 0 \Y→Y 0 (f(x;y))= f(x 0;y 0). 2) z=f(x;y) funksiya davomiy to'plamda, agar u ushbu to'plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa

Chipta № 21

21. u=u(x;y;z) funksiyaning l yo‘nalishidagi hosilasi (ta’rifi, hisoblash formulasi, hisoblash formulasining hosilasi). LimDl→0(Du/Dl) chegarasi deyiladi u(x;y;z) funksiyaning l vektor yo‘nalishi bo‘yicha hosilasi(x;y;z) koordinatali nuqtada.Du/Dl=LimDl→0(D l u/Dl)=(du/dx)*cosa+(du/dy)*cosb+(du/dz)*cosg Faraz qilaylik, u(x;y;z) funksiya uzluksiz va D sohasidagi argumentlariga nisbatan uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin: Du=(Du/Dx)Dx+(Du/Dy)Dy+(Du/dz)Dz+. E 1 Dx+E 2 Dy+E 3 Dz, bu yerda E 1, E 2, E 3 Dl→0 sifatida nolga intiladi. Keling, butun tenglikni D ga bo'laylik. Du/Dl=(Du/Dx)(Dx/Dl)+(Du/Dy)(Dy/Dl)+(Du/Dz)(Dz/Dl)+E 1 (Dx/Dl)+E 2 (Dy/ Dl)+E 3 (Dz/Dl). Dx/Dl=cosa; Dy/Dl=cosb; Dz/Dl=cosy. Tenglikni quyidagicha ifodalash mumkin: Du/Dl=(du/dx)cosa+(du/dy)cosb+(du/dz)cosg+E 1 cosa+E 2 cosb+E 3 cosy. Cheklovga o‘tsak, Du/Dl=LimDl→0(D l u/Dl)=(du/dx)*cosa+(du/dy)*cosb+(du/dz)*cosg ni olamiz.

Chipta № 22

20. z=f(x;y) funksiya ekstremumining mavjudligining yetarli belgisi. (so'z birikmasi). Statsionar nuqtada (X 0 ;Y 0) va uning ba'zi qo'shnilarida f(x;y) funksiyaning ikkinchi tartibligacha uzluksiz qisman hosilalari bo'lsin. (X 0 ;Y 0) nuqtada A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" qiymatlarini hisoblaymiz. yy (X 0 ;Y 0). D=|AB ni belgilaymiz; BC|=AC-B^2. U holda: 1) agar D>0 bo'lsa, (X 0 ;Y 0) nuqtadagi f(x;y) funksiya ekstremumga ega: maksimal, agar A bo'lsa.<0; минимум, если A>0; 2) agar D<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

23-raqamli chipta

17. Sirtga teguvchi tekislik (ta'rif).Tangens tekisligi M nuqtadagi sirtga, sirtning shu nuqtasidan o'tuvchi tekislik deyiladi, agar bu tekislik bilan M nuqtadan o'tuvchi sekant orasidagi burchak va sirtning boshqa har qanday M 1 nuqtasi M ning M ga moyilligi kabi nolga moyil bo'lsa. 1.

18. Aniq ko'rsatilgan sirtga teginish tekisligining tenglamalariShubhasiz. z=f(x;y) Mo(Xo;Yo;Zo) nuqtada. K: (dz/dx)|M 0 (X-X 0)+(dz/dy)|M 0 (Y-Y 0)-(Z-Z 0)=0

Chipta № 24