Ko'rsatkichli va logarifmik tenglamalar bo'yicha test. “Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar























22 tadan 1 tasi

Taqdimotning individual slaydlar bo'yicha tavsifi:

Slayd № 1

Algebra bo'yicha ilmiy qo'llanma Mavzu: "Logarifmik va ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar" To'ldiruvchi: Manuilova L.N. - matematika o'qituvchisi MBOU 76-son o'rta maktab, Izhevsk Udmurtiya

Slayd № 2

Tarkib: 1-bob. 1.1. Logarifm tushunchasi 1.2. Logarifmning xossalari 1.3. Logarifmik tenglamalar A. Nazariy qism B. Misollar 1.4. Logarifmik tengsizliklar A. Nazariy qism B. Misollar 2-bob. 2.1. Ijobiy sonning kuchi 2,2 ga teng. Eksponensial funktsiya 2.3. Eksponensial tenglamalar A. Nazariy qism B. Misollar 2.4. Ko'rsatkichli tengsizliklar A. Nazariy qism B. Misollar 3-bob. 3.1. “Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar” mavzusidan test I murakkablik darajasi II murakkablik darajasi III murakkablik darajasi 3.2. “Ko‘rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar” mavzusi bo‘yicha test I murakkablik darajasi II murakkablik darajasi III murakkablik darajasi

Slayd № 3

1.1 Logarifm tushunchasi y x y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) x y = ax (0)< a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a ≠ 0) n soni shundayki, b = an musbat b sonining a asosi uchun logarifmi (a > 0,a ≠ 1) quyidagicha belgilanadi: n = loga b Logarifm ta’rifidan ko‘rinib turibdiki. a > 0, a ≠ 1, b > 0 uchun: a loga b = b

Slayd № 4

Logarifmik funksiya y y x x 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log½x y = loga x funksiya logarifmik funksiya deyiladi. y = loga x funksiyaning xossalari, a > 0 uchun: (0;+∞) oraliqda uzluksiz va ortib boruvchi; Agar x→+∞ bo‘lsa, u holda y→+∞; agar x→0 bo'lsa, u holda y→ -∞. loga1=0 ekan, u holda 1 xossadan shunday bo'ladi: agar x > 1 bo'lsa, u holda y > 0; agar 0< х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х >1, keyin y< 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

Slayd № 5

a, M va N musbat sonlar bo‘lsin, a ≠ 1, k esa haqiqiy son bo‘lsin. U holda tengliklar to'g'ri bo'ladi: 1. loga (M N) = loga M + loga N - musbat sonlar ko'paytmasining logarifmi. summasiga teng bu raqamlarning logarifmlari. 2. loga M = loga M – loga N - N musbat sonlar qismining logarifmasi dividend va bo'luvchining logarifmlari orasidagi farqga teng. 3. loga Mk = k · loga M - musbat sonning kuchining logarifmi ko'rsatkich va bu sonning logarifmi ko'paytmasiga teng. 4. loga M = logb M → loga b = 1 - logarifmlarni bir logb a logbdan boshqasiga o'tkazish formulasi. Alohida holatlar: 1. log10 b = log b - musbat b sonining 10 asosga logarifmi deyiladi. o'nlik logarifm raqamlar b. 2. loge b = ln b - musbat b sonining e asosiga logarifmi deyiladi tabiiy logarifm sonlar b 1.2 Logarifmlarning xossalari

Slayd № 6

1. Berilgan a 1 ga teng bo‘lmagan musbat son, b haqiqiy son bo‘lsin. U holda loga x = b tenglama eng oddiy logarifmik tenglama deyiladi. Masalan, a) log3 x = 3 tenglamalari; (1) b) log⅓ x = -2 ; (2) c) log25 x + 5·log4 x·log3 x + 7·log22 x = 0 ; (3) eng oddiy logarifmik tenglamalar. Logarifmning ta'rifiga ko'ra, agar x0 soni loga x = b son tengligini qanoatlantirsa, u holda x0 soni ab, bu x0 = ab soni yagonadir. Shunday qilib, har qanday b haqiqiy son uchun loga x = b tenglama yagona ildiz x0 = abga ega. 2. Noma’lumni almashtirgandan keyin eng oddiy logarifmik tenglamalarga aylanadigan tenglamalar: a) log5 (4x – 3) = 2; (4) b) 2 + 1 = -1 ; (5) log(3x + 1) + log0,01 log(3x + 1) 1.3 Tenglamalar (nazariy qism)

Slayd № 7

1.3 Misollar log3 x = 3 Tenglamani quyidagi ko'rinishda qayta yozamiz: log3 x = log3 27 Shunda bu tenglama bir ildizga ega ekanligi aniq bo'ladi x0 = 27. Javob: 27. b) log1/3 x = -2 Bu tenglama bitta ildizga ega x0 = ( ⅓)-2 =9 Javob: 9. c) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x = 0 (1) Barcha logarifmlarni bir xil asosga qisqartirib, biz tenglama: 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x · log5 4 · log5 3 log25 2 Qavslar ichidagi yig'indining har bir hadi musbat bo'lgani uchun yig'indi nolga teng emas. Demak, (1) tenglama, demak, (2) tenglama log25 x = 0 tenglamaga ekvivalent bo‘lib, uning bitta ildizi x0 = 1. Demak, (1) tenglamaning bitta ildizi x0 = 1. Javob: 1 . a, b – eng oddiy tenglamalar; c - transformatsiyalardan so'ng eng oddiy logga aylanadigan tenglama. tenglama

Slayd № 8

1.3 Misollar a) log5 (4x – 3) = 2 (1) Yangi maʼlum boʻlgan t = 4x – 3 ni kiritib, tenglamani quyidagi koʻrinishda qayta yozamiz: log5 t = 2. Bu tenglama bitta ildizga ega t1 = 52 =25. (1) tenglamaning ildizini topish uchun tenglamani yechish kerak: 4x – 3 = 25. (2) Uning bitta ildizi x1 =7. Demak, (1) tenglama ham x1=7 bitta ildizga ega. Javob: 7. b) 2 + 1 = -1 (1) log(3x + 1) + log0.01 log(3x + 1) Yangi nomaʼlum t = log (3x + 1) kiritish va shu log 0.01 ni hisobga olish = -2, tenglamani (1) qayta yozamiz: 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t Ratsional tenglamani (2) yechib, uning ikkita ildizi t1 = -2 va t2 = ekanligini topamiz. 1. (1) tenglamaning barcha ildizlarini topish uchun log(3x + 1) = -2 va log(3x + 1) = 1 ikkita tenglamaning ildizlarini birlashtirish kerak. Birinchi tenglama tenglamaga ekvivalent. 3x + 1 = 10-2, bu bitta ildizga ega x1 = -0,33. Ikkinchi tenglama 3x + 1 = 10 tenglamaga ekvivalent bo'lib, uning ham bitta ildizi x2 = 3. Javob: -0,33 ; 3. a, b – noma’lumning o‘rnini bosish orqali eng soddaga keltiriladigan tenglamalar

Slayd № 9

1.4 Tengsizliklar (nazariy qism) a berilgan musbat son 1 ga teng bo lmagan, b haqiqiy son bo lsin. U holda tengsizliklar: loga x > b (1) loga x< b (2) являются простейшими логарифмическими неравенствами. Неравенства (1) и (2) можно переписать в виде: loga x >loga x0 (3) loga x< loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, keyin y = loga x funksiyasi butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi, ya'ni. oraliqda (0;+∞). Demak, har qanday x > x0 soni uchun bu haqiqatdir raqamli tengsizlik loga x > loga x0 , va istalgan x soni uchun 0 oralig'idan< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а >1 va har qanday haqiqiy son b bo‘lsa, (3) tengsizlikning barcha yechimlari to‘plami interval (x0 ;+ ∞), tengsizlikning barcha yechimlari to‘plami (4) esa (0; x0) oraliqdir. Agar 0< a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x >x0 loga x sonli tengsizlik rost< loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x >loga x0. Bundan tashqari, loga x = loga x0 tengligi faqat x = x0 uchun amal qiladi. Shunday qilib, 0 da< a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).

Slayd № 10

1.4 Tengsizliklar (nazariy qism) Yon koordinata tekisligi xOy y = loga x va y = b funksiyaning grafiklarini ko'rib chiqing. y = b to'g'ri chiziq y = loga x funksiyaning grafigini bitta x0 = ab nuqtada kesib o'tadi. Agar a > 1 bo'lsa, u holda har bir x > x0 uchun y = loga x funksiya grafigidagi mos nuqta y = b to'g'ri chiziq ustida joylashgan, ya'ni. har bir x > x0 uchun mos keladigan y = ax ordinatasi ax0 ordinatasidan katta va har bir x uchun 0 oraliqdan katta.< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x >x0 y = loga x funksiya grafigidagi mos nuqta y = b to‘g‘ri chiziqdan pastda va har bir x oraliq uchun 0 ga teng.< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a >1) y = b y = loga x (0< a < 1) х0

Slayd № 11

1.4 Misollar log1/3 x > -2 tengsizlikni yechamiz. (1) -2 = log⅓ 9 ekan, u holda (1) tengsizlikni log ⅓x > log ⅓ 9 shaklida qayta yozish mumkin (2) ⅓ dan beri< 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x >½. (3) ½ = log4 2 ekan, u holda (3) tengsizlikni log4 x > log4 2 shaklida qayta yozish mumkin (4) 4 > 1 ekan, u holda y = log4 x funksiya ortib bormoqda. Demak, (4) tengsizlikning, demak, (3) tengsizlikning barcha yechimlari to‘plami (2;+∞) oraliqdir. Javob: (2;+∞). (1-rasmga qarang) x y 1 2 3 4 1 -1 0 1-rasm y = ½ y = log4 x

Slayd № 12

1.4 Misollar log3 x – 3log9 x – log81 x > 1,5 tengsizlikni yechamiz. (5) log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x), log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = bo'lgani uchun ¼ (log3 x), keyin tengsizlik (5) quyidagicha yozilishi mumkin: (1 – 1,5 – ¼) log3 x > 1,5 yoki log3 x sifatida< log3 1/9. (6) Так как 3 >1, u holda y = log3 x funksiyasi ortib bormoqda. Demak, (6) tengsizlik va demak, (5) tengsizlikning barcha yechimlari to‘plami 0 oralig‘idir.< x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

Slayd № 13

2.1 Musbat sonning kuchi c ning kuchi ratsional ko'rsatkich a musbat son va p/q bo'lsin ratsional son(q ≥ 2). Ta'rifga ko'ra, p / q kuchiga a soni a ning p darajasiga q kuchining arifmetik ildizidir, ya'ni. a p/q = q√ap . TEOREMA. a musbat son, p butun son, k va q bo‘lsin butun sonlar, q ≥ 2, k ≥ 2. U holda quyidagi tengliklar to‘g‘ri bo‘ladi: a) ap/q = (a1/p)p ; b) ap/q = a pk /qk ; c) ap = a pq /q ; Ratsional darajali daraja xossalari TEOREMA 1. Har qanday ratsional darajali r bo'lgan darajaga musbat a soni musbat: ar > 0 TEOREMA 2. a musbat son bo'lsin, r1, r2 va r esa ratsional sonlar. U holda quyidagi xossalar to'g'ri bo'ladi: 1. Bir xil musbat sonli ratsional darajalar bilan darajalarni ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi: ar1 ∙ ar2 = ar1 + r2. 2. Ratsional darajalari bir xil musbat sonli darajalarni bo‘lishda ko‘rsatkichlar ayiriladi: ar1: ar2 = ar1 – r2. 3. In musbat sonning ratsional ko'rsatkichi bilan quvvatni ko'tarishda ratsional daraja ko'rsatkichlar ko'paytiriladi: (a r1) r2 = a r1∙ r2. TEOREMA 3. a va b musbat sonlar, r ratsional son bolsin. U holda ratsional darajali darajaning quyidagi xossalari o‘rinli bo‘ladi: Musbat sonlar ko‘paytmasining ratsional ko‘rsatkichi bo‘lgan daraja omillarning bir xil darajalari ko‘paytmasiga teng: (ab)r = ar ∙ br . Musbat sonlar koeffitsientining ratsional ko'rsatkichiga ega bo'lgan quvvat dividend va bo'luvchining bir xil vakolatlari bo'limiga teng: (a / b)r = ar / br. TEOREMA 4. a > 1 soni, r esa ratsional son bo‘lsin. Keyin r > 0 0 uchun ar > 1< ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a >1 va r1 va r2 ratsional sonlari r1 tengsizlikni qanoatlantiradi.< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

Slayd № 14

2.2 Ko'rsatkichli funksiya Ratsional sonlar to'plamidagi a > 0 va a ≠ 0 bo'lgan y = a (1) funksiyani ko'rib chiqaylik. Har bir ratsional son r uchun ar soni aniqlanadi. Ratsional sonlar to'plamida hozircha funktsiya (1) shunday aniqlanadi. Bu funktsiyaning x0y koordinata tizimidagi grafigi nuqtalar yig'indisi (x; ax), bu erda x har qanday ratsional sondir. a > 1 uchun bu grafik sxematik shaklda (1) va 0 uchun ko'rsatilgan< a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют eksponensial funktsiya asosi bilan a.

Slayd № 15

2.3 Ko‘rsatkichli tenglamalar (nazariy qism) 1. Berilgan a 1 ga teng bo‘lmagan musbat son, b haqiqiy son bo‘lsin. U holda ax = b (1) tenglama eng oddiy ko'rsatkichli tenglama deyiladi. Masalan, 2x = 8, (1/3)x = 9, 25x = -25 tenglamalar eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalardir. Noma'lum x bo'lgan tenglamaning ildizi (yoki yechimi) x0 soni bo'lib, uni x o'rniga tenglamaga qo'shganda to'g'ri sonli tenglik olinadi. Tenglamani yechish deganda uning barcha ildizlarini topish yoki ularning yo‘qligini ko‘rsatish tushuniladi. Chunki ax0 = b raqamli tenglik rost bo'ladigan har qanday x0 haqiqiy soni uchun ax0 > 0 bo'ladi. birlik x0 = loga b. Shunday qilib, (1) tenglama: b ≤ 0 uchun ildizlari yo'q; b > 0 uchun u bitta ildizga ega x0 = loga b. 2. Noma’lumni almashtirgandan so‘ng eng oddiy ko‘rsatkichli tenglamalarga aylanadigan tenglamalar.

Slayd № 16

2.3 Misollar (1/2)x = 2 (2) tenglamani yechamiz. 2 > 1 bo'lgani uchun bu tenglama bitta ildizga ega x0 = log½ 2 = -1. Javob: -1. 3x = 5 tenglamani yechamiz (3) 5 > 0 bo'lgani uchun bu tenglama bitta ildizga ega x0 = log3 5. Javob: log3 5. 25x = -25 tenglamani yeching, chunki -25< 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b >0 bu tenglama ko'pincha ax = aa shaklida yoziladi, bu erda a = loga b. Shunda bu tenglamaning, demak (1) tenglamaning yagona ildizi a soni ekanligi ayon bo‘ladi. (2) tenglamani (1/2)x = (1/2)-1 ko'rinishida yozish mumkin bo'lganligi sababli, uning yagona ildizi x0 = -1 bo'ladi. (3) tenglamani 3x = 3log 35 shaklida yozish mumkinligi sababli uning yagona ildizi x0 = log3 5 dir.

Slayd № 17

2.3 Misollar Endi oddiy o'zgarishlardan so'ng oddiy ko'rsatkichli tenglamalarga aylanadigan tenglamalarni ko'rib chiqamiz. 5x+2 - 2 5x - 3 5x+1 = 200 tenglamani yechamiz (4) 5x+2 = 25 5x, 5x+1 = 5 5x boʻlgani uchun (4) tenglamani 5x ( 25 - 2 –) shaklida qayta yozish mumkin. 15) = 200 yoki 5x = 52 ko'rinishida (5) Ko'rinib turibdiki, (5) tenglama, demak, (4) tenglamaning bitta ildizi x0 = 2. Javob: 2. 4 3x - 9 2x tenglamani yeching. = 0 (6) Har qanday haqiqiy son uchun 2x ≠ 0 boʻlgani uchun (6) tenglamani 2x ga boʻlsak, (6 ) tenglamaga ekvivalent 4 (3/2)x - 9 = 0, (7) tenglamani olamiz. (7) tenglamani (3/2)x = (3/2)2 shaklida qayta yozish mumkin. (8) (8) tenglama bitta ildizga ega bo'lganligi uchun x0 = 2, ekvivalent tenglama (6) bitta ildizga ega x0 = 2. Javob: 2.

Slayd № 18

2.3 Misollar 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0 tenglamasini yechamiz. (9) (9) tenglamani 34x2 – 8x + 3 = 1 ko‘rinishida qayta yozib, yangi noma’lum t = 4x2 – 8x + 3 kiritamiz. Keyin (9) tenglamani 3t = 1 ko‘rinishda qayta yozish mumkin. (10) ) (10 ) tenglamaning bitta ildizi t1 = 0 boʻlgani uchun (9) tenglamaning ildizlarini topish uchun 4x2 – 8x + 3 = 0 tenglamani yechish kerak. Bu tenglamaning ikkita ildizi x1 = 1. /2, x2 = 3/2, shuning uchun (9) tenglama bir xil ildizlarga ega. Javob: 1/2; 3/2. Endi yangi noma'lum t kiritilgandan so'ng, t ga ega kvadratik yoki ratsional tenglamalarga aylanadigan tenglamalarni echishni ko'rib chiqing. 4x - 3 2x + 2 = 0 tenglamani yechamiz. (11) 4x = (2x)2 bo'lgani uchun (11) tenglamani (2x)2 - 3 2x + 2 = 0 ko'rinishida qayta yozish mumkin. Yangi noma'lumni kiritish orqali t = 2x, t2 - 3t + 2 = 0 kvadrat tenglamani olamiz, uning ikkita ildizi t1 = 1, t2 = 2. Shuning uchun (11) tenglamaning barcha ildizlarini topish uchun biz barcha ildizlarni birlashtirishimiz kerak. ikkita tenglama 2x = 1 va 2x = 2 Ushbu eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni yechib, (11) tenglamaning barcha ildizlari x1 = 0 ekanligini topamiz; x2 = 1. Javob: 0; 1 .

Slayd № 19

2.4 Ko‘rsatkichli tengsizliklar (nazariy qism) a berilgan 1 ga teng bo‘lmagan musbat son, b haqiqiy son bo‘lsin. Keyin ax > b (1) va ax tengsizliklari< b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x >4√3, 25x< -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 >Har qanday x0 haqiqiy soni uchun 0, u holda b ≤ 0 uchun a x0 > b tengsizlik har qanday x0 haqiqiy soni uchun to'g'ri, lekin a x0 sonli tengsizlik to'g'ri bo'ladigan yagona x0 haqiqiy soni yo'q.< b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b >0 bo'lsa, (1) va (2) tengsizlikni ax > ax0 (1) va ax deb qayta yozish mumkin.< ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а >1. Bunday uchun y = ax funksiyasi ortib borayotganligi sababli, ixtiyoriy x > > ax0 soni uchun va x > x0 ixtiyoriy soni uchun ax sonli tengsizlik to‘g‘ri bo‘ladi.< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

Slayd № 20

2.4 Ko‘rsatkichli tengsizliklar (nazariy qism) Shunday qilib, b > 0 va a > 1 uchun (3) tengsizlikning barcha yechimlari to‘plami interval (x0 ;+∞), tengsizlikning barcha yechimlari to‘plami (4) bo‘ladi. interval (-∞; x0) , bu erda x0 = loga b. Endi 0 bo'lsin< a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х >x0 sonli tengsizlik oqi rost< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b >0 va 0< a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax >b va tengsizlik bo'lgan x mavjud emas< b . При b >0 to'g'ri chiziq y = b y = ah funksiya grafigini bitta x0 = loga b nuqtada kesib o'tadi. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = ax (a > 1) 0 1 y = b (b)< 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

Slayd № 22

2.4 Misollar 2x tengsizlikni yeching< 8 . (1) Так как 8 >0 bo'lsa, (1) tengsizlikni 2x sifatida qayta yozish mumkin< 23. (2) Так как 2 >1, u holda y = 2x funksiya ortib bormoqda. Demak, (2) tengsizlikning, demak, (1) tengsizlikning yechimlari hammasi x< 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 >0 bo'lsa, bu tengsizlikni (3) (1/3) x sifatida qayta yozish mumkin< (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х >log⅓5. Javob: (log⅓ 5; +∞). Noma'lumni almashtirgandan so'ng eng oddiyga aylanadigan tengsizlikni ko'rib chiqaylik eksponensial tengsizlik. 5 3x2 - 2x – 6 tengsizlikni yechamiz< 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 >1, u holda bu tengsizlikning barcha yechimlari hammasi t< -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив kvadratik tengsizlik(6), uning barcha yechimlarini topamiz: -1< x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Diqqatning jamlanishi: Diqqatning jamlanishi N ga teng. N = (to'g'ri javoblar soni) x 0,125 x 100%. Yozing maxsus holat boshqa asosning logarifmiga o'tish formulalari Boshqa asosning logarifmiga o'tish formulasini yozing Son va asosning darajasining logarifmi nimaga teng? Bazaning logarifmi nima? Sonning kuchining logarifmi nima? Bo'limning logarifmi nima? Mahsulotning logarifmi nima? Logarifm ta'rifini tuzing Javob Savol

Keling, ko'rib chiqaylik o'zaro tartibga solish y = log a x (a > 0, a ≠ 1) funksiya grafigi va y = b to‘g‘ri chiziq. y = log a x (a>1) y x 0 y = log a x (0

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari XULOSA: y = log a x funksiya grafigi (a > 0, a ≠ 1) va y = b to‘g‘ri chiziq bir nuqtada kesishadi, ya’ni. log a x = b, a > 0, a ≠ 1, x > 0 tenglamasi yagona yechimga ega x 0 = a b.

TA’RIF: log a x = b, a > 0, a ≠ 1, x > 0 tenglama eng oddiy logarifmik tenglama deyiladi. Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Misol:

Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. TA'RIF: Logarifmik tenglamalar logarifm belgisi ostida yoki logarifmning (yoki ikkalasi) asosidagi noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamalardir. Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari

Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. QO'ShIMChA: Logarifmik tenglamalarni yechishda quyidagilarni hisobga olish kerak: logarifmning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni: logarifm belgisi ostida faqat ijobiy qiymatlar bo'lishi mumkin; logarifmlar negizida faqat birlikdan farq qiluvchi ijobiy miqdorlar mavjud; logarifmlarning xossalari; potentsial harakat. Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. 1) Eng oddiy logarifmik tenglamalar. 1-misol Javob: Yechish:

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. 2) Eng oddiy logarifmik tenglamalarga keltiriladigan logarifmik tenglamalar. 1-misol Javob: Yechish:

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. 2) Eng oddiy logarifmik tenglamalarga keltiriladigan logarifmik tenglamalar. 2-misol Javob: Yechish:

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. 2) Eng oddiy logarifmik tenglamalarga keltiriladigan logarifmik tenglamalar. 3-misol Javob: Yechish:

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. 2) Eng oddiy logarifmik tenglamalarga keltiriladigan logarifmik tenglamalar. 4-misol Javob: Yechish:

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. 3) Kvadrat tenglamalarga keltiruvchi logarifmik tenglamalar. 1-misol Javob: Yechish:

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. 3) Kvadrat tenglamalarga keltiruvchi logarifmik tenglamalar. Misol № 2 Javob: Yechish: X o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlarining topilgan diapazonida biz tenglamani logarifmlarning xususiyatlaridan foydalangan holda o'zgartiramiz. Qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz: 10; 100

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. 4) ga kamaytiruvchi logarifmik tenglamalar ratsional tenglamalar. 1-misol Javob: Yechish: X o‘zgaruvchisiga qaytaylik

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. 4) Logarifmik tenglamalar, ratsional tenglamalarga keltirish. Misol № 2 Javob: Yechim: X o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlarining topilgan diapazonida biz o'zgartiramiz berilgan tenglama va biz quyidagilarni olamiz: Keling, x o'zgaruvchisiga qaytaylik:

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. 5) O'zgaruvchisi asosi va logarifm belgisi ostidagi logarifmik tenglamalar. 1-misol Javob: Yechim: X o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlarining topilgan diapazonida biz tenglamani o'zgartiramiz va quyidagilarni olamiz: x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini hisobga olgan holda, biz quyidagilarni olamiz:

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari Logarifmik tenglamalarni yechish turlari va usullari. 5) O'zgaruvchisi asosi va logarifm belgisi ostidagi logarifmik tenglamalar. Misol № 2 Javob: Yechish: X o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlarining topilgan diapazonida tenglama to'plamga ekvivalent bo'ladi: x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari diapazonini hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz: 5; 6.

Logarifmik tenglamalar, ularning turlari va yechish usullari

Logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechishda logarifmlarning xossalari bilan bir qatorda logarifmik funksiyaning xossalaridan ham foydalaning.

y=log a x, a > 0, a 1:

1) Aniqlash sohasi: x > 0;

2) diapazon: y R ;

3) log a x 1 =log a x 2 x 1 =x 2 ;

4) a>1 uchun y=log a x funksiya ortadi, 0 uchun< a < 1 функция y=log a x убывает при всех x >0, ya'ni.

a >1 va log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2,
0 log a x 2 x 1< x 2 ;

Logarifmik tenglamalardan (tengsizliklardan) logarifm belgisi bo'lmagan tenglamalarga (tengsizliklarga) o'tishda asl tenglamaning (tengsizlik) ruxsat etilgan qiymatlari (APV) oralig'ini hisobga olish kerak.

“Logarifmik tenglamalar” mavzusidagi masalalar va testlar

  • Logarifmik tenglamalar

    Darslar: 4 Topshiriqlar: 25 Testlar: 1

  • Ko'rsatkichli va logarifmik tenglamalar tizimlari - Ko'rgazmali va logarifmik funktsiya 11-sinf

    Darslar: 1 Topshiriqlar: 15 Testlar: 1

  • §5.1. Logarifmik tenglamalarni yechish

    Darslar: 1 Vazifalar: 38

  • §7 Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar va tengsizliklar - 5-bo‘lim. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar, 10-sinf

    Darslar: 1 Vazifalar: 17

  • Tenglamalarning ekvivalentligi - Tenglamalar va tengsizliklar 11-sinf

    Darslar: 2 Topshiriqlar: 9 Testlar: 1

Logarifmik tenglamalarni yechishda ko‘p hollarda ko‘paytma, qism yoki daraja logarifmining xossalaridan foydalanish kerak bo‘ladi. Bitta logarifmik tenglamada turli asoslarga ega bo'lgan logarifmlar mavjud bo'lgan hollarda belgilangan xususiyatlar teng asosli logarifmlarga o'tgandan keyingina mumkin.

Bundan tashqari, logarifmik tenglamani echish ruxsat etilgan qiymatlar oralig'ini (O.D.Z.) topishdan boshlanishi kerak. berilgan tenglama, chunki Eritma jarayonida begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Yechimni yakunlayotganda, topilgan ildizlarni O.D.Z.ga tegishli ekanligini tekshirishni unutmang.

Logarifmik tenglamalarni O.D.Z.dan foydalanmasdan yechishingiz mumkin. Bunday holda, tekshirish yechimning majburiy elementi hisoblanadi.

Misollar.

Tenglamalarni yeching:

a) log 3 (5x – 1) = 2.

Yechim:

ODZ: 5x – 1 > 0; x > 1/5.
log 3 (5x– 1) = 2,
log 3 (5x – 1) = log 3 3 2,
5x - 1 =9,
x = 2.

asosiy maqsad taklif qilingan chiptalar bilan ishlashda:

  1. javob yozishda o‘quvchilarni mos tenglama va tengsizliklarni yechishdagi umumiylikni hamda farqlarni ko‘rishga o‘rgatish;
  2. vaqtni tejash;
  3. ushbu materialning mazmunini boshqarish qobiliyati.

Agar birinchi maqsad savollar tug'dirmasa, vaqtni tejash darhol sezilmaydi. Garchi chiptalar tuzilishiga vaqt etishmasligi ta'sir qilgan bo'lsa-da. Ular bir xil printsip bo'yicha tuzilgan. Tenglamalar va tengsizliklar ular orasidagi yozishmalarni o'rnatish osonroq bo'lishi uchun tartibga solinadi.

Va o'qituvchining tavsiyasiga qaramay: tenglamani yechish va darhol unga mos keladigan tengsizlik yechimi bilan o'quvchilarning yarmi birinchi ustundan barcha tenglamalarni echishni afzal ko'rishdi va keyin tengsizliklarni echishni boshlashdi. Javobni yozayotganda, tenglamada ildizlar yo'qligi sababli, tengsizlikning yechimlari bo'lmaydi, degan xulosaga kelmasligiga e'tibor bering.

Ikkinchi testdan o'tishda bunday muammolar yuzaga kelmadi, chunki ko'pchilik "ko'rish" qobiliyatini rivojlantirdi va ma'lum ko'nikmalarni rivojlantirdi.

Har bir chiptada material shunday tanlanadiki, ta'rif va xossalar bo'yicha yechilgan tenglamalar (tengsizliklar) bilan bir qatorda faktorizatsiya yo'li bilan yechilgan tenglamalar (tengsizliklar) mavjud; o'zgaruvchan o'zgaruvchilar. Va, tabiiyki, qaror takrorlanadi kvadrat tenglamalar va ikkinchi darajali tengsizliklar.

Chiptalarda atigi 26 ta vazifa bor. Shuning uchun talabalarga quyidagi standartlar taklif qilindi: "5" - 26 ass. , “4” – 19–25 ass. , “3” – 14–18 ass. , "2" - 14 assdan kam.

“5” bahoga hujjat topshirayotgan talaba dars davomida barcha tenglama va tengsizliklarni yechish uchun ulgurishi kerak. Dastlabki o'n to'rtta vazifa talab qilinadigan minimaldir. Albatta, testni qayta topshirish mumkin. Lekin buni belgilangan vaqt ichida qilish tavsiya etiladi.

Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rayotganda, tenglamalarni (tengsizliklarni) echish ko'nikmalari allaqachon shakllangan bo'lsa, vazifalarni almashtirish mumkin. Masalan, bular:

  1. tenglama ildizlarining yig‘indisini (ko‘paytmasini) ko‘rsating;
  2. tenglamaning eng kichik (eng katta) ildizini ko'rsating;
  3. tengsizlikning eng kichik (eng katta) butun yechimini toping;
  4. tengsizlikning butun son yechimlari yig‘indisini (ko‘paytmasini) toping.

Albatta, har bir o'qituvchi bu ro'yxatga o'zi qo'shishi mumkin. Sinfga qarab, ba'zi vazifalarga ko'proq e'tibor berish, boshqalarga esa kamroq e'tibor berish kerak bo'ladi.

Chiptalardan test sinovlari uchun ham, mustaqil ish uchun ham foydalanish mumkin. Har bir chipta ikkita blokdan iborat: ning asosiy darajasi(1-daraja) va baland (2-daraja). Blok ikki qismdan iborat: tenglamalar va tengsizliklar, ular o'quvchilar o'rtasida yozishmalarni o'rnatishni osonlashtirish uchun ikkita ustunga bo'lingan.

Quyida har bir mavzu uchun oltita chipta varianti mavjud. Ularga javoblar berildi.

1-ilova. Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar.

2-ilova. Ko'rsatkichli tenglamalar va tengsizliklar.

3-ilova. Algebra va tahlilning boshlanishi bo'yicha chiptalarga javoblar.

1 variant

    1. Tenglama ildizlarining ko‘paytmasini toping: log p (x 2 + 0,1) = 0
    1) - 1,21; 2) - 0,9; 3) 0,81; 4) 1,21.
    2. Tenglamaning ildizlari tegishli bo'lgan intervalni ko'rsating: log 0,5 (x - 9) = 1 + log 0,5 5
    1) (11; 13); 2) (9; 11); 3) (-12; -10); 4) [ -10; -9 ].
    3. log 4 (4 - x) + log 4 x = 1 tenglamaning ildizi tegishli bo'lgan intervalni ko'rsating.
    1) (-3; -1); 2) (0; 2); 3) [ 2; 3 ]; 4) [ 4; 8 ].
    4. log √3 x 2 = log √3 (9x - 20) tenglamaning ildizlari yig‘indisini toping.
    1) - 13; 2) - 5; 3) 5; 4) 9.
    5. Log 1/3 (2x - 3) 5 = 15 tenglamaning ildizi qaysi intervalga tegishli ekanligini ko'rsating.
    1) [ -3; 2); 2) [ 2; 5); 3) [ 5; 8); 4) [ 8; 11).
    6. . lg (x + 7) - log (x + 5) = 1 tenglamaning ildizi tegishli bo'lgan intervalni ko'rsating.
    1) (-∞; -7); 2) (-7; -5); 3) (-5; -3); 4) (0; +∞).
    7. 3 (4 - 2x) >= 1 tengsizlik jurnalini yeching
    1) (-∞; 0,5 ]; 2) (-∞; 2 ]; 3) [ 2; + ∞); 4) [ 0,5; + ∞).
    8. p (3x + 2) tengsizlik jurnalini yeching.<= log π (х - 1)
    1) (-2/3; + ∞); 2) (-∞; - 2/3 ]; 3) [ -1,5; - 2/3 ]; 4) hech qanday yechim yo'q.
    9. 1/9 (6 - 0,3x) > -1 tengsizlik jurnalini yeching
    1) (-10; +∞); 2) (-∞; -10); 3) (-10; 20); 4) (-0,1; 20).
    10. lg (x + 5) tengsizligining butun manfiy yechimlari sonini toping.<= 2 - lg 2
    15; 2) 4; 3) 10; 4) yo'q

Variant 2

    1. Tenglama ildizlarining ko‘paytmasini toping: lg (x 2 + 1) = 1.
    1) - 99; 2) - 9; 3) 33; 4) -33.
    2. log 4 (x - 5) = log 25 5 tenglamaning ildizi tegishli bo‘lgan intervalni ko‘rsating.
    1) (-4; -2); 2) (6; 8); 3) (3; 6); 4) [ -8; -6 ].
    3. log 0.4 (5 - 2x) - log 0.4 2 = 1 tenglamaning ildizi tegishli boʻlgan intervalni koʻrsating.
    1) (-∞; -2); 2) [ -2; 1 ]; 3) [ 1; 2 ]; 4) (2; +∞).
    4. log (4x - 3) = 2 log x tenglamaning ildizlari yig‘indisini toping.
    1) - 2; 2) 4; 3) -4; 4) 2.
    5. Log 2 (64x²) = 6 tenglamaning ildizi tegishli bo‘lgan intervalni ko‘rsating.
    1) [ 5; 7]; 2) [ 9; 11 ]; 3) (3; 5); 4) [ 1; 3 ].
    6. . Tenglamaning ildizi tegishli bo'lgan intervalni ko'rsating log 2 (x - 1)³ = 6 log 2 3
    1) [ 0; 5); 2) [ 5; 8); 3) [ 8; 11); 4) [ 11; 14).
    7. 0,8 (0,25 - 0,1x) > -1 tengsizlik jurnalini yeching.
    1) (-∞; 2,5); 2) (-10; 2,5); 3) (2,5; + ∞); 4) (-10; + ∞).
    8. 1,25 (0,8x + 0,4) tengsizlik jurnalini yeching.<= - l
    1) (-0,5; + ∞); 2) (-∞; - 0,5 ]; 3) (-0,5; 0,5 ]; 4) (-2; 2 ] .
    9. 10/3 (1 - 1,4x) tengsizlik jurnalini yeching.< -1
    1) (0,5; +∞); 2) (-∞; 0,5); 3) (1,4; 2); 4) (0,5; 5/7).
    10. 0,5 (x - 2) >= - 2 tengsizlik logining butun son yechimlari sonini toping.
    15; 2) 4; 3) cheksiz ko'p; 4) yo'q.

Kalit

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 B1 B2 C1
1 variant 2 1 3 4 1 3 1 4 3 2
Variant 2 2 2 4 2 4 3 2 3 4 2


Shuningdek o'qing:

Kategoriyalar:

Mashhur: