EGOROVA VICTORIA VALEREVNA

Matematika o'qituvchisi

eng yuqori malaka toifasi

MAVZU: “IDENTAL TRANSFORMASIYA

LOGArifmik iboralar”

Ushbu darsni o'rgangandan so'ng talabalar egallashlari kerak bo'lgan bilim va ko'nikmalar:

sonning logarifmining ta’rifini, asosiy logarifmik tengligini, logarifmlarning xossalarini bilish;

logarifmlarni o'z ichiga olgan ifodalarni o'zgartirishni amalga oshirish va logarifmlarni hisoblay olish.

Adabiyot:

1. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. va boshqalar: Algebra va tahlilning boshlanishi: 10-11-sinflar uchun darslik ta'lim muassasalari. – M.: Ta’lim, 2001 yil.

2. Kochagin V.V., Kochagina M.V., Yagona davlat imtihoniga intensiv tayyorgarlik kursi. - M.: Eksmo, 2009 yil.

3. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir M.S., Algebraik simulyator: Maktab o'quvchilari va abituriyentlar uchun qo'llanma. - M.: Ilexa, 2005 yil.

4. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika: Malumot materiallari: Talabalar uchun kitob. – M.: Ta’lim, 2001 yil.

Dars rejasi:

Darslar davomida:

1) Logarifm - yunoncha so'z bo'lib, 2 so'zdan iborat: "logos" - nisbat, "arifmos" - son. Bu shuni anglatadiki, logarifm nisbatni o'lchaydigan raqamdir. 1614-yilda nashr etilgan nashr Napier logarifmlarni ixtiro qilgani haqida xabar berdi. Keyinchalik u logarifmik jadvallarni tuzdi, ular hozir bizga Bradis jadvallari sifatida ma'lum. Bir asrdan kamroq vaqt ichida jadvallar butun dunyoga tarqaldi va ajralmas hisoblash vositasiga aylandi. Keyinchalik, ular hisoblash jarayonini sezilarli darajada tezlashtiradigan qulay qurilmaga o'rnatildi - XX asrning 70-yillarigacha ishlatilgan slayd qoidasi.

1-ilova.

2) Logarifm ijobiy raqamb asoslangan a, va va noldan katta va birga teng emas,sonni ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkichdira raqamni olish uchunb.

Logarifmning ta'rifini ifodalovchi bu tenglik deyiladiasosiy logarifmik identifikatsiya .

C

YOKI 1

P

Kuchning asosi va logarifmning asosi o'n etti, ya'ni asosiy logarifmik identifikatsiyaga ko'ra, ifodaning qiymati uchtadir.

Keling, og'zaki ishlaylik:

SCH
FIR-BELLE

HAQIDA ikkinchisining pastki qismi nol besh nuqtaga teng, ya'ni ifoda beshning arifmetik kvadrat ildiziga teng.

P

2-ilova.

Tenglik shuni anglatadi

Logarifmning ta'rifidan quyidagi muhim tengliklar olinadi:

Masalan:

P
3-ilova.

Keling, davom etaylik Yagona davlat imtihon topshiriqlari:

4-ilova.

3
) O'nta logarifm uchun maxsus belgi va nom mavjudo'nlik logarifm .

L
asosiy kalaritmae chaqirditabiiy logarifm .

N
masalan,

4) Logarifm ta’rifidan quyidagi xossalar kelib chiqadi. Barcha xususiyatlar faqat logarifm belgilari ostida joylashgan o'zgaruvchilarning ijobiy qiymatlari uchun tuzilgan va tasdiqlangan.

Ikki musbat sonning asosga ko‘paytmasining logarifmi A summasiga teng bir xil asosga ega bu raqamlarning logarifmlari.

TsOR 2

Masalan,

Z
topshiriq 1.

Vazifa 2. Ifodani soddalashtiring

IN
Oldingi misolning yechimidan foydalanamiz. Biz almashtiramiz

Iltimos, logarifm kvadrat ekanligini unutmang, shuning uchun yig'indi kvadrat bo'lishi kerak. Yig'indi kvadratining formulasidan foydalanib, biz qavslarni ochamiz. Keling, shunga o'xshash atamalarni keltiraylik.

5) Bo'limning logarifmi dividend va bo'linuvchining logarifmlari orasidagi farqga teng.

C

Quvvatning asosiga va logarifmning asosiga e'tibor bering - ular bir xil.

YOKI 3

R

Keling, misol yordamida ushbu formulaning qo'llanilishini ko'rib chiqaylik:

Z
topshiriq 1. If ifodasining qiymatini toping

Vazifa 2. Qiymatni toping b uning logarifmi bo'yicha

6) Quvvatning bazaga logarifmiA , ko'rsatkich va logarifmning bir xil asosdan foydalangan holda ko'paytmasiga teng.

TsOR 4

Masalan,

Z
topshiriq 1. Agar hisoblang

Keling, ifodani soddalashtiraylik

Formula

chaqirdi yangi asosga o'tish formulasi.

Z

topshiriq 1. 2 ta logarifmdan foydalanib ifodalang.

Vazifa 2. Hisoblash

TsOR 5

TsOR 6

Masalan,

Z

topshiriq 1. Hisoblash

Z
vazifa 2. Hisoblash

9) Logarifmik o'zgarishlarni faqat quyidagi hollarda boshlash mumkin agar siz logarifmlarning barcha xususiyatlarini eslab qolsangiz. Ularni takrorlab, biz transformatsiya vazifalarini ko'rib chiqamiz logarifmik ifodalar boshqa tomondan.

Logarifmik ifodalarning yig’indisini yoki ayirmasini aylantirish uchun ba’zan logarifm ta’rifidan, ko’pincha mahsulot yoki qismning logarifmining xossalaridan foydalanish kifoya.

Z
topshiriq 1. Hisoblash

Keling, buni ikki yo'l bilan hal qilaylik.

Logarifm ta'rifidan foydalangan holda 1 usul:

2-usul, asoslangan qismning logarifmining xossasi:

Vazifa 2. Ifodaning ma'nosini toping

Keling, avval formulani qo'llaymiz mahsulotning logarifmi, keyin logarifmning ta'rifi.

Asosiy logarifmik identifikator logarifmni o'z ichiga olgan ifodalarni ko'rsatkich sifatida o'zgartirganda ishlatiladi. Bunday operatsiyalar g'oyasi olishdir teng asoslar logarifmning kuchlari va asoslari.

Ba'zan ifodani o'zgartirish kerak bo'ladi logarifm xossalari va daraja xossalari bilan ham o'tish formulasi yordamida osongina bir bazadan ikkinchisiga o'tishingiz mumkin. Boshqa hollarda, bir nechta xususiyatlar qo'llanilishi kerak.

Z
vazifa 3. Hisoblash

Z
topshiriq 4. Ifodaning ma'nosini toping

Vazifa 5. Ifodaning ma'nosini toping

Z
topshiriq 6. Uni logarifmlar farqi sifatida ifodalang

N
Eng katta qiyinchilik logarifmik ifodalarni radikal ostida aylantirishdir. O'zgartirish jarayonida logarifmik ifodalarning modullarini ko'rib chiqish kerak, ularni hal qilish uchun irratsional sonlarni yoki ratsional va irratsional sonlarni solishtirish kerak. Biz izchil harakat qilamiz. Keling, ichki radikal ostidagi ifodani ko'rib chiqaylik.

Keling, uni asl iboraga almashtiramiz.

Shuni ta'kidlash kerakki, logarifmik ifodalarni o'zgartirish tenglamalar va tengsizliklarni echishda yoki funktsiyalarni o'rganishda ham uchraydi, shuning uchun ular B va C guruhlari vazifalarida yashirin shaklda bo'lishi mumkin.

10) Xulosa qilish uchun savollar.

10 ta asosiy logarifm deyiladi

asosiy logarifm

asosiy logarifm

tabiiy logarifm

o'nlik logarifm

2) U qanday qadriyatlarni qabul qilishi mumkin?x ifodada

Qiymat aniqlanmagan

5) Hamma uchun to'g'ri bo'lgan nisbatni keltiringx ≠ 0 .

6) Yangi bazaga o'tish formulasining to'g'ri nisbatini ko'rsating.

7) uchun to'g'ri tenglikni belgilang

11) Tekshirish testi.

Matematika. Mavzu bo'yicha testlar. II qism. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2010. 10-11 sinflar. Ed. Lisenko F.F. - Rostov n/d.: Legion, 2009. - 176 p.

Matematika. Yagona davlat imtihoni 2009. Tematik testlar. II qism (B4-B8, C1-C2) Ed. Lisenko F.F. - Rostov n/D: Legion, 2008 yil - 160 p.

Qo'llanma matematika kurslarida an'anaviy bo'lgan va shuning uchun, qoida tariqasida, Yagona davlat imtihoniga kiritilgan individual mavzular bo'yicha testlardan iborat. Ular yagona davlat imtihonining murakkabligi yuqori va yuqori darajadagi vazifalar guruhlarini to'liq qamrab oladi, so'z muammolari va geometriya masalalari bundan mustasno. Har bir mavzu bo'yicha bir yoki bir nechta testlar to'plami taklif etiladi. Har bir to'plamda 10 ta test, har bir testda 8 ta topshiriq mavjud.

Ushbu kitobning maqsadi qisqa va uzoq javoblar bilan vazifalarni mashq qilishdir. Yagona davlat imtihonlari. Bu, birinchi navbatda, a olishni kutayotgan bitiruvchilar uchun zarur Yaxshi FOYDALANISH baholash, shuningdek, Yagona davlat imtihoni nuqtai nazaridan o'tilgan mavzularni birlashtira oladigan 10-sinf o'quvchilari uchun. Taklif etilayotgan qo'llanma matematikadan Yagona davlat imtihoniga tayyorlanayotgan barcha bitiruvchilar, shuningdek, talabalarni Yagona davlat imtihoniga tayyorlaydigan o'qituvchilar uchun foydali bo'lishi mumkin.

Format: djvu/zip (2009 , 176 b.)

Hajmi: 2,5 MB

Yuklab olish / Faylni yuklab olish 14

Format: pdf (2009 , 176 b.)

Hajmi: 8,6 MB

Yuklab oling: 14 .12.2018, havolalar Legion nashriyoti iltimosiga binoan o'chirildi (eslatmaga qarang)

Format: djvu/zip (2008 , 160s.)

Hajmi: 3 MB

Yuklab olish / Faylni yuklab olish 14 .12.2018, havolalar Legion nashriyoti iltimosiga binoan o'chirildi (eslatmaga qarang)

Format: pdf (2008 , 160s.)

Hajmi: 9,9 MB

Yuklab oling: 14 .12.2018, havolalar Legion nashriyoti iltimosiga binoan o'chirildi (eslatmaga qarang)

O'quv-uslubiy majmua"Matematika. Yagona davlat imtihoni-2010" nashri. Lisenko F.F. va Kulabuxova S.Yu. o'quv qo'llanmalarini o'z ichiga oladi:
1. Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2010.
2. Reshebnik. Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2010.
3. Matematika. Tematik testlar. I qism (asosiy daraja). Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2010. 10-11 sinflar.
4. Matematika. Tematik testlar. II qism. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2010. 10-11 sinflar.
5. Matematika. Tematik testlar: geometriya, so'z masalalari. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2010. 10-11 sinflar.
6. Matematika. Yagona davlat imtihonlari to'plami 2001 - 2010.
7. Matematika. Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik 2010. Ta'lim va o'quv testlari.
8. Cho'ntak uchun qo'llanma matematika.

Mundarija
Mualliflardan 11
§ 1. Logarifmik ifodalarni bir xil o‘zgartirishlar 13
Variant No 1 13
Variant № 2 13
Variant No 3 14
Variant № 4 14
Variant No 5 15
Variant № 6 15
Variant No 7 16
Variant № 8 16
Variant No 9 17
Variant No 10 17
§ 2. 18 ning vakolatlarini o'z ichiga olgan iboralarning bir xil o'zgarishlari
Variant № 1 18
Variant № 2 19
Variant № 3 19
Variant № 4 20
Variant № 5 21
Variant № 6 21
Variant No 7 22
Variant No 8 23
Variant № 9 23
Variant No 10 24
§ 3. Identifikatsiya o'zgarishlari irratsional ifodalar 25
Variant No 1 25
Variant No 2 25
Variant No 3 26
Variant № 4 26
Variant No 5 27
Variant № 6 28
Variant No 7 28
Variant № 8 29
Variant № 9 30
Variant No 10 30
§ 4. Tenglamalar sistemalari 31
Variant No 1 31
Variant No 2 32
Variant No 3 33
Variant № 4 33
Variant No 5 34
Variant № 6 35
Variant No 7 36
Variant № 8 37
Variant № 9 38
Variant No 10 39
§ 5. Geometrik ma'no hosila 39
Variant No 1 39
Variant No 2 41
Variant No 3 43
Variant No 4 44
Variant No 5 46
Variant № 6 48
Variant № 7 50
Variant № 8 52
Variant № 9 54
Variant No 10 55
§ 6. Tengsizliklar 56
Variant No 1 g 56
Variant № 2 57
Variant № 3 58
Variant № 4 58
Variant № 5 59
Variant № 6 60
Variant № 7 60
Variant № 8 61
Variant No 9 62
Variant No 10 63
§ 7. Irratsional tenglamalar 63
Variant No 1 63
Variant No 2 64
Variant No 3 65
Variant № 4 65
Variant № 5 66
Variant № 6 66
Variant No 7 67
Variant № 8 67
Variant № 9 68
Variant raqami Yu 68
§ 8. Trigonometrik tenglamalar 69
Variant No 1 69
Variant № 2 69
Variant № 3 70
Variant № 4 70
Variant No 5 71
Variant № 6 72
Variant No 7 72
Variant № 8 73
Variant No 9 74
Variant No 10 74
§ 9. Logarifmik tenglamalar 75
Variant No 1 75
Variant No 2 75
Variant No 3 76
Variant № 4 76
Variant No 5 77
Variant № 6 77
Variant № 7 78
Variant № 8 * 78
Variant № 9 79
Variant No 10 79
§ 10. Ko‘rsatkichli tenglamalar 80
Variant № 1 80
Variant № 2 80
Variant No 3 81
Variant № 4 81
Variant № 5 82
Variant № 6 82
Variant № 7 83
Variant № 8 83
Variant № 9 84
Variant No 10 84
§o'n bir. Davriylik, juft va toq funksiyalar 85
Variant No 1 85
Variant № 2 86
Variant No 3 87
Variant № 4 89
Variant № 5 90
Variant raqami 6 91
Variant No 7 92
Variant № 8 93
Variant № 9 94
Variant No 10 95
§ 12. Nollar murakkab funktsiya. Cheklangan funksiya 97
Variant No 1 97
Variant No 2 97
Variant No 3 98
Variant № 4 98
Variant № 5 99
Variant № 6 99
Variant № 7 100
Variant № 8 100
Variant No 9 101
Variant No 10 101
§ 13. Ta'rif sohasi, qiymatlar to'plami, funktsiyalarning monotonligi 102
Variant No 1 102
Variant No 2 102
Variant No 3 103
Variant No 4 103
Variant No 5 104
Variant No 6 104
Variant No 7 105
Variant No 8 105
Variant No 9 106
Variant No 10 107
§ 14. Funksiyaning ekstremallari. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari 107
Variant No 1 107
Variant No 2 108
Variant No 3 108
Variant No 4 109
Variant No 5 109
Variant No 6 110
Variant No 7 110
Variant No 8 111
Variant No 9 111
Variant No 10 112
§ 15. Logarifmik tenglamalarni yechishning turli usullari 113
Variant No 1 113
Variant No 2 113
Variant No 3 114
Variant No 4 114
Variant No 5 115
Variant No 6 115
Variant No 7 116
Variant No 8 116
Variant No 9 117
Variant No 10 117
§ 16. Yechishning turli usullari trigonometrik tenglamalar 118
Variant No 1 118
Variant No 2 118
Variant No 3 118
Variant No 4 119
Variant No 5 119
Variant No 6 120
Variant No 7 120
Variant No 8 121
Variant No 9 121
Variant No 10 122
§ 17. Yechishning turli usullari irratsional tenglamalar 123
Variant No 1 123
Variant No 2 123
Variant No 3 124
Variant No 4 124
Variant No 5 125
Variant No 6 125
Variant No 7 125
Variant No 8 126
Variant No 9 126
Variant No 10 127
§ 18. Modul belgisi ostida o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar 127
Variant No 1 127
Variant No 2 128
Variant No 3 128
Variant No 4 129
Variant No 5 129
Variant No 6 130
Variant No 7 130
Variant No 8 131
Variant No 9 131
Variant No 10 131
§ 19. Yechishning turli usullari eksponensial tenglamalar.132
Variant No 1 132
Variant No 2 133
Variant No 3 133
Variant No 4 134
Variant No 5 134
Variant No 6 135
Variant No 7 135
Variant No 8 135
Variant No 9 136
Variant No 10 136
§ 20. Birlashtirilgan tenglamalarni yechishning turli usullari 137
Variant No 1 137
Variant No 2 137
Variant No 3 138
Variant No 4 138
Variant No 5 139
Variant No 6 139
Variant No 7 140
Variant No 8 140
Variant No 9 141
Variant No 10 141
§ 21. 142-modulni o'z ichiga olgan parametrli tenglamalar
Variant No 1 142
Variant No 2 142
Variant No 3 143
Variant No 4 144
Variant No 5 144
Variant No 6 145
Variant No 7 146
Variant No 8 146
Variant No 9 147
Variant No 10 148
Javoblar 149
§ 1. Identifikatsiya o'zgarishlari logarifmik ifodalar 149
§ 2. 150 darajali iboralarni bir xil o'zgartirish
§ 3. Irratsional ifodalarni bir xil o'zgartirishlari 150
§ 4. Tenglamalar sistemalari 151
§ 5. Hosilning geometrik ma’nosi 151
§ 6. Tengsizliklar 152
§ 7. Irratsional tenglamalar 152
§ 8. Trigonometrik tenglamalar 153
§ 9. Logarifmik tenglamalar 153
§ 10. Ko‘rsatkichli tenglamalar 154
§o'n bir. Davriylik, juft va toq funksiyalar 154
§ 12. Kompleks funksiyaning nollari. Cheklangan funksiya 155
§ 13. Ta'rif sohasi, qiymatlar to'plami, funktsiyalarning monotonligi 156
§ 14. Funksiyaning ekstremallari. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari 158
§ 15. Logarifmik tenglamalarni yechishning turli usullari 159
§ 16. Trigonometrik tenglamalarni yechishning turli usullari 160
§ 17. Irratsional tenglamalarni yechishning turli usullari 164
§ 18. Modul belgisi ostida o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tenglamalar 165
§ 19. Ko‘rsatkichli tenglamalarni yechishning turli usullari.166
§ 20. Birlashtirilgan tenglamalarni yechishning turli usullari 167
§ 21. 169-modulni o'z ichiga olgan parametrli tenglamalar
Adabiyot 170

B7 muammosi soddalashtirilishi kerak bo'lgan ba'zi ifodalarni beradi. Natija javoblar varag'iga yozib qo'yilishi mumkin bo'lgan oddiy raqam bo'lishi kerak. Barcha iboralar shartli ravishda uch turga bo'linadi:

1. Logarifmik,
2. Ko'rsatkich,
3. Birlashtirilgan.

Eksponensial va logarifmik ifodalar sof shaklda deyarli topilmaydi. Biroq, ular qanday hisoblanganligini bilish juda zarur.

Umuman olganda, B7 muammosi juda oddiy hal qilinadi va o'rtacha bitiruvchining imkoniyatlariga to'liq mos keladi. Aniq algoritmlarning yo'qligi uning standartlashuvi va monotonligi bilan qoplanadi. Bunday muammolarni hal qilishni oddiygina o'rganishingiz mumkin katta miqdor trening.

Logarifmik ifodalar

B7 muammolarining aksariyati u yoki bu shakldagi logarifmlarni o'z ichiga oladi. Ushbu mavzu an'anaviy ravishda qiyin deb hisoblanadi, chunki uni o'rganish odatda 11-sinfda - yakuniy imtihonlarga ommaviy tayyorgarlik davrida sodir bo'ladi. Natijada, ko'plab bitiruvchilar logarifmlar haqida juda noaniq tushunchaga ega.

Ammo bu vazifada hech kim chuqur nazariy bilim talab qilmaydi. Biz faqat eng ko'p uchrashamiz oddiy ifodalar, bu oddiy fikrlashni talab qiladi va mustaqil ravishda osonlik bilan o'zlashtirilishi mumkin. Quyida logarifmlarni engish uchun bilishingiz kerak bo'lgan asosiy formulalar mavjud:

Bundan tashqari, siz ildiz va kasrlarni kuch bilan almashtira olishingiz kerak ratsional ko'rsatkich, aks holda ba'zi iboralarda logarifm belgisi ostidan olib tashlash uchun hech narsa bo'lmaydi. O'zgartirish formulalari:

Vazifa. Ifodalar ma'nosini toping:
log 6 270 - log 6 7.5
log 5 775 - log 5 6.2

Birinchi ikkita ifoda logarifmlar farqi sifatida aylantiriladi:
log 6 270 - log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 - log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Uchinchi ifodani hisoblash uchun siz asosda ham, argumentda ham kuchlarni ajratib olishingiz kerak bo'ladi. Birinchidan, ichki logarifmni topamiz:

Keyin - tashqi:

log a log b x shaklining konstruksiyalari ko‘pchilik uchun murakkab va tushunarsiz ko‘rinadi. Ayni paytda, bu faqat logarifmning logarifmi, ya'ni. log a (log b x ). Birinchidan, ichki logarifm hisoblab chiqiladi (log b x = c qo'ying), keyin esa tashqi: log a c.

Ko'rgazmali ifodalar

Ko‘rsatkichli ifodani a k ​​ko‘rinishdagi har qanday konstruksiya deb ataymiz, bunda a va k sonlari ixtiyoriy doimiylar va a > 0. Bunday ifodalar bilan ishlash usullari ancha sodda va ular 8-sinf algebra darslarida muhokama qilinadi.

Quyida siz aniq bilishingiz kerak bo'lgan asosiy formulalar mavjud. Ushbu formulalarni amalda qo'llash, qoida tariqasida, muammo tug'dirmaydi.

1. a n · a m = a n + m;
2. a n / a m = a n - m;
3. (a n) m = a n · m;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

Agar siz kuchlar bilan murakkab iboraga duch kelsangiz va unga qanday yondashish kerakligi aniq bo'lmasa, universal texnikadan foydalaning - oddiy omillarga parchalanish. Natijada katta raqamlar darajalar asoslarida oddiy va tushunarli elementlar bilan almashtiriladi. Keyin yuqoridagi formulalarni qo'llash qoladi - va muammo hal qilinadi.

Vazifa. Ifodalar qiymatlarini toping: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

Yechim. Keling, barcha kuch asoslarini oddiy omillarga ajratamiz:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Birlashtirilgan vazifalar

Agar siz formulalarni bilsangiz, unda barcha eksponensial va logarifmik ifodalarni bir qatorda tom ma'noda echish mumkin. Biroq, B7 muammosida kuchlar va logarifmlar juda kuchli kombinatsiyalarni hosil qilish uchun birlashtirilishi mumkin.

Dnestryanı Davlat universiteti

ular. T.G. Shevchenko

Fizika-matematika fakulteti

Matematik tahlil kafedrasi

va matematika o‘qitish metodikasi

KURS ISHI

"Shaxsiy o'zgarishlar

eksponensial va logarifmik

ifodalar"

Ish tugallandi:

_______ guruhi talabasi

Fizika-matematika fakulteti

_________________________

Men ishni tekshirdim:

_________________________

Tiraspol, 2003 yil

Kirish……………………………………………………………………………2

1-bob. Maktab algebra kursida shaxsni o'zgartirish va o'qitish usullari va tahlilning boshlanishi……………………………………..4

§1. Muayyan turdagi o'zgarishlarni qo'llash ko'nikmalarini shakllantirish……………………………………………………………………………….4

§2. Shaxs o‘zgarishlarini o‘rganishda bilimlar tizimini tashkil etish xususiyatlari.…………………………….………..………….5.

§3. Matematika dasturi………………………………………………….11

2-bob. Koʻrsatkichli va logarifmik ifodalarni bir xil oʻzgartirishlar va hisoblar………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………13

§1. Daraja tushunchasini umumlashtirish…………………………………..13

§2. Eksponensial funktsiya…………………………………………………..15

§3. Logarifmik funksiya…………………………………….16

3-bob. Ko'rsatkichli va logarifmik ifodalarni amalda bir xil o'zgartirishlar...................................... ................................................................19

Xulosa…………………………………………………………..24

Adabiyotlar ro‘yxati…………………………………………………….25
Kirish

Bunda kurs ishi Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalarning bir xil o‘zgartirishlari ko‘rib chiqiladi, ularni maktab algebra kursida o‘qitish metodikasi va tahlilning boshlanishi ko‘rib chiqiladi.

Ushbu ishning birinchi bobida maktab matematikasi kursida identifikatsiyani o'zgartirishni o'rgatish metodikasi tavsiflangan, shuningdek, ko'rsatkichli va logarifmik funktsiyalarni o'rganish bilan "Algebra va tahlilning boshlanishi" kursida matematika dasturi mavjud.

Ikkinchi bobda bevosita ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalarning o‘zlari, identifikatsiyani o‘zgartirishda qo‘llaniladigan asosiy xossalari ko‘rib chiqiladi.

Uchinchi bobda ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalarni bir xil o‘zgartirishlar yordamida misollar va masalalar yechiladi.

Ifodalar va formulalarning turli xil o'zgarishlarini o'rganish kursda o'qitish vaqtining katta qismini oladi maktab matematikasi. Xususiyatlarga asoslangan eng oddiy o'zgarishlar arifmetik amallar, allaqachon ishlab chiqarilgan boshlang'ich maktab va IV-V sinflarda. Ammo transformatsiyalarni amalga oshirish uchun ko'nikma va ko'nikmalarni rivojlantirishning asosiy yukini maktab algebra kursi o'z zimmasiga oladi. Bu amalga oshirilayotgan o'zgarishlarning soni va xilma-xilligining keskin ko'payishi, shuningdek, ularni asoslash va qo'llash shartlarini aniqlashtirish, o'ziga xoslik, bir xil transformatsiya, o'ziga xoslik, o'ziga xoslik, o'ziga xoslik, o'ziga xoslik haqidagi umumlashtirilgan tushunchalarni aniqlash va o'rganish bo'yicha tadbirlarning murakkablashishi bilan bog'liq. ekvivalent transformatsiya, mantiqiy natija.

Ob'ektlar (sonlar, vektorlar, ko'phadlar va boshqalar) ustida amallar xossalari va ularni amalga oshirish algoritmlari to'g'risidagi mustahkam bilimga asoslangan holda, identifikatsiya o'zgarishlarini amalga oshirish madaniyati xuddi hisoblash madaniyati kabi rivojlanadi. U nafaqat o'zgarishlarni to'g'ri asoslash qobiliyatida, balki asl analitik ifodadan transformatsiya maqsadiga eng mos keladigan ifodaga o'tishning eng qisqa yo'lini topish qobiliyatida, o'zgarishlarni kuzatish qobiliyatida ham namoyon bo'ladi. bir xil o'zgarishlar zanjirida analitik ifodalarni aniqlash sohasi, o'zgarishlarni amalga oshirish tezligi va aniqligi.

Xavfsizlik yuksak madaniyat hisob-kitoblar va identifikatsiya o'zgarishlar ifodalaydi muhim muammo matematika o'rgatish. Biroq, bu muammo hali ham qoniqarli hal qilishdan uzoqdir. Buning tasdig'i hokimiyatning statistik ma'lumotlaridir xalq ta'limi, unda turli sinf o'quvchilari tomonidan amalga oshirilgan xatolar va irratsional hisoblar va o'zgartirish usullari testlar. Bu kattalarning sharhlari bilan tasdiqlangan ta'lim muassasalari abituriyentlarning matematik bilim va malakalarining sifati haqida. Xalq ta’limi organlari va oliy o‘quv yurtlarining yetarli emasligi haqidagi xulosalariga qo‘shilmay bo‘lmaydi yuqori daraja Hisoblash madaniyati va shaxsiyatni o'zgartirish o'rta maktab talabalar bilimidagi formalizm, nazariyani amaliyotdan ajratish natijasidir.

Bir xil o'zgarishlar va o'qitish usullari

maktab algebra kursida va tahlilning boshlanishi.

§1. Qo'llash ko'nikmalarini shakllantirish

o'zgarishlarning o'ziga xos turlari.

Algebraning boshlang'ich bosqichida qo'llaniladigan o'zgartirishlarni amalga oshirish texnikasi va qoidalari tizimi juda keng qo'llanilishiga ega: u butun matematika kursini o'rganishda qo'llaniladi. Biroq, aynan past o'ziga xosligi tufayli, bu tizim o'zgartirilayotgan ifodalarning strukturaviy xususiyatlarini va yangi kiritilgan amallar va funktsiyalarning xususiyatlarini hisobga olgan holda qo'shimcha transformatsiyalarni talab qiladi. O'zgartirishning tegishli turlarini o'zlashtirish qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini kiritishdan boshlanadi. Keyin daraja ko'rsatish operatsiyasi bilan bog'liq o'zgarishlar turli sinflar bilan ko'rib chiqiladi elementar funktsiyalar– eksponensial, kuch, logarifmik, trigonometrik. Ushbu turdagi transformatsiyalarning har biri o'rganish bosqichidan o'tadi, bunda diqqat ularning xarakterli xususiyatlarini o'zlashtirishga qaratilgan.

Materiallar to'planganda, ko'rib chiqilayotgan barcha o'zgarishlarning umumiy xususiyatlarini ajratib ko'rsatish va shu asosda bir xil va ekvivalent o'zgarishlar tushunchalarini kiritish mumkin bo'ladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, o'ziga xoslikni o'zgartirish tushunchasi maktab algebrasi kursida to'liq umumiylikda emas, balki faqat ifodalarga qo'llaniladi. Transformatsiyalar ikki sinfga bo'linadi: bir xil transformatsiyalar - ifodalarning o'zgarishi va ekvivalent transformatsiyalar - formulalarning o'zgarishi. Formulaning bir qismini soddalashtirish zarurati tug'ilganda, ushbu formulada identifikatsiyani qo'llash uchun argument bo'lib xizmat qiladigan ifoda ajratib ko'rsatiladi. Tegishli predikat o'zgarmagan hisoblanadi.

Transformatsiyalarning (sintezlarning) yaxlit tizimini tashkil etishga kelsak, uning asosiy maqsadi moslashuvchan va kuchli shakllanishdir; turli masalalarni yechishda foydalanish uchun mos apparat tarbiyaviy topshiriqlar.

Algebra kursida va tahlilning boshlanishida o'zining asosiy xususiyatlarida allaqachon shakllangan yaxlit o'zgarishlar tizimi asta-sekin takomillashishda davom etmoqda. Unga ba'zi yangi turdagi transformatsiyalar ham qo'shiladi, lekin ular faqat uni boyitadi, imkoniyatlarini kengaytiradi, lekin tuzilishini o'zgartirmaydi. Ushbu yangi o'zgarishlarni o'rganish metodologiyasi algebra kursida qo'llaniladigan usuldan deyarli farq qilmaydi.

§2. Vazifalar tizimini tashkil etish xususiyatlari

identifikatsiya o'zgarishlarini o'rganayotganda.

Har qanday topshiriqlar tizimini tashkil qilishning asosiy printsipi talabalarning mumkin bo'lgan qiyinchiliklarni engib o'tish va yaratish zarurligini hisobga olgan holda ularni oddiydan murakkabgacha taqdim etishdir. muammoli vaziyatlar. Ushbu asosiy tamoyil ushbu o'quv materialining xususiyatlariga nisbatan spetsifikatsiyani talab qiladi. Matematik usullarda turli xil vazifalar tizimini tavsiflash uchun mashqlar tsikli tushunchasidan foydalaniladi. Mashqlar tsikli o'rganishning bir necha jihatlari va materialni tartibga solish usullarining mashqlar ketma-ketligida kombinatsiyasi bilan tavsiflanadi. Shaxsning o'zgarishi bilan bog'liq holda, tsikl g'oyasini quyidagicha berish mumkin.

Mashqlar sikli bir o'ziga xoslikni o'rganish bilan bog'liq bo'lib, uning atrofida u bilan tabiiy aloqada bo'lgan boshqa o'ziga xosliklar birlashtirilgan. Tsikl, ijro etuvchi vazifalar bilan bir qatorda, ko'rib chiqilayotgan shaxsning qo'llanilishini tan olishni talab qiladigan vazifalarni o'z ichiga oladi. O'rganilayotgan identifikator turli raqamli domenlarda hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ishlatiladi. Shaxsning o'ziga xosligi hisobga olinadi; xususan, unga aloqador nutqiy figuralar tashkil etilgan.

Har bir tsikldagi vazifalar ikki guruhga bo'lingan. Birinchisi, shaxs bilan dastlabki tanishish paytida bajariladigan vazifalarni o'z ichiga oladi. Ular xizmat qiladi o'quv materiali bir mavzu bilan birlashtirilgan bir necha ketma-ket darslar uchun. Ikkinchi guruh mashqlari o'rganilayotgan shaxsni turli ilovalar bilan bog'laydi. Bu guruh kompozitsion birlikni tashkil etmaydi - bu erdagi mashqlar turli mavzularda tarqalgan.

Ta'riflangan tsikl tuzilishi o'zgarishlarning muayyan turlarini qo'llash bo'yicha ko'nikmalarni rivojlantirish bosqichini anglatadi. Yoniq yakuniy bosqich- sintez bosqichida tsikllar o'zgartiriladi. Birinchidan, vazifalarning ikkala guruhi ham "kengaytirilgan" tsiklni hosil qilish uchun birlashtiriladi va topshiriqni bajarishning murakkabligi yoki so'zlari bo'yicha eng oddiylari birinchi guruhdan chiqariladi. Qolgan turdagi vazifalar yanada murakkablashadi. Ikkinchidan, turli xil identifikatsiyalar bilan bog'liq tsikllarning birlashishi mavjud, buning natijasida ma'lum bir identifikatsiyaning qo'llanilishini tan olish uchun harakatlarning roli oshadi.

Elementar funktsiyalar uchun identifikatorlar bilan bog'liq vazifa davrlarining xususiyatlarini qayd qilaylik. Bu xususiyatlar, birinchidan, mos keladigan identifikatsiyalar funktsional materialni o'rganish bilan bog'liq holda o'rganiladi, ikkinchidan, ular birinchi guruh identifikatorlaridan kechroq paydo bo'ladi va shaxsni o'zgartirish uchun allaqachon shakllangan ko'nikmalardan foydalangan holda o'rganiladi. .

Har bir yangi kiritilgan elementar funktsiya alohida belgilanishi va nomlanishi mumkin bo'lgan raqamlar oralig'ini keskin kengaytiradi. Shuning uchun tsikl vazifalarining birinchi guruhi ushbu yangi raqamli maydonlar va asl maydon o'rtasida aloqa o'rnatish vazifalarini o'z ichiga olishi kerak. ratsional sonlar. Keling, bunday vazifalarga misollar keltiraylik.

Misol 1. Hisoblang:

Har bir iboraning yonida taklif qilingan vazifalar mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan davrlarda o'ziga xoslik ko'rsatilgan. Bunday topshiriqlarning maqsadi yozuvlarning xususiyatlarini, jumladan, yangi amallar va funktsiyalarning belgilarini o'zlashtirish va matematik nutq ko'nikmalarini rivojlantirishdir.

Elementar funktsiyalar bilan bog'liq bo'lgan identifikatsiya o'zgarishlaridan foydalanishning muhim qismi irratsional va transsendental tenglamalarni hal qilishga to'g'ri keladi. Shaxslarni assimilyatsiya qilish bilan bog'liq davrlar faqat eng ko'plarini o'z ichiga oladi oddiy tenglamalar, lekin allaqachon bu erda bunday tenglamalarni echish usulini o'zlashtirish bo'yicha ishlarni bajarish tavsiya etiladi: noma'lumni almashtirish orqali uni qisqartirish. algebraik tenglama.

Ushbu yechim uchun qadamlar ketma-ketligi quyidagicha:

a) qaysi funksiyani toping berilgan tenglama shaklda ifodalanishi mumkin;

b) almashtirishni amalga oshirish va tenglamani yechish;

c) tenglamalarning har birini yeching, bu erda tenglamaning ildizlari to'plami.

Ta'riflangan usuldan foydalanganda, b) qadami ko'pincha uchun belgini kiritmasdan, aniq bajariladi. Bundan tashqari, talabalar ko'pincha javob topishga olib keladigan turli yo'llardan algebraik tenglamaga tezroq va osonroq olib keladiganni tanlashni afzal ko'radilar.

2-misol. Tenglamani yeching.

Birinchi usul:

Ikkinchi yo'l:

A)

b)

Bu erda birinchi usul bilan a) qadam ikkinchisiga qaraganda qiyinroq ekanligini ko'rishingiz mumkin. Birinchi usul "boshlash qiyinroq", garchi yechimning keyingi yo'nalishi ancha sodda. Boshqa tomondan, ikkinchi usulning afzalliklari algebraik tenglamaga kamaytirishni o'rganishda katta qulaylik va aniqlikdir.

Uchun maktab kursi Algebra vazifalari tipik bo'lib, unda algebraik tenglamaga o'tish ushbu misoldagidan ham oddiyroqdir. Bunday vazifalarning asosiy yuki o'rganilayotgan elementar funktsiyaning xususiyatlaridan foydalanish bilan bog'liq bo'lgan hal qilish jarayonining mustaqil qismi sifatida c) bosqichni aniqlash bilan bog'liq.

Misol 3. Tenglamani yeching:

A) ; b) .

Bu tenglamalar tenglamalarga keltiriladi: a) yoki ; b) yoki. Bu tenglamalarni yechish uchun faqat eng oddiy faktlarni bilish talab etiladi eksponensial funktsiya: uning monotonligi, qiymatlar diapazoni. Oldingi misol kabi, a) va b) tenglamalarni kvadrat ko'rsatkichli tenglamalarni yechish uchun mashqlar qatorining birinchi guruhi sifatida tasniflash mumkin.

Shunday qilib, biz eksponensial funktsiyani o'z ichiga olgan transsendental tenglamalarni echish bilan bog'liq bo'lgan tsikllardagi vazifalar tasnifiga keldik:

1) ko'rinishdagi tenglamalarga keltiruvchi va oddiy, umumiy javobga ega bo'lgan tenglamalar: ;

2) tenglamalarga keltiruvchi tenglamalar , bu yerda butun son yoki , bu yerda;

3) tenglamalarga keltiruvchi va son yoziladigan shaklni aniq tahlil qilishni talab qiluvchi tenglamalar.

Boshqa elementar funktsiyalar uchun topshiriqlarni ham xuddi shunday tasniflash mumkin.

Ularda algebra va algebra fanlarida o'rganiladigan o'ziga xosliklarning muhim qismi va tahlil kurslari tamoyillari isbotlangan yoki hech bo'lmaganda tushuntirilgan. Shaxslarni o'rganishning bu tomoni bor katta ahamiyatga ega ikkala kurs uchun ham, chunki ulardagi daliliy mulohazalar aniqlik bilan bog'liq holda eng aniq va qat'iylik bilan amalga oshiriladi. Ushbu materialdan tashqari, dalillar odatda unchalik to'liq emas;

Arifmetik amallarning xossalari identifikatorlarni tasdiqlovchi dalillar sifatida foydalaniladi.

Hisob-kitoblar va bir xil o'zgarishlarning tarbiyaviy ta'siri, agar talabalardan muntazam ravishda hisob-kitoblar va bir xil o'zgarishlarni asoslash talab etilsa, mantiqiy fikrlashni rivojlantirishga va turli yo'llar bilan erishiladigan funktsional fikrlashni rivojlantirishga qaratilgan bo'lishi mumkin. Iroda, xotira, aql, o'zini tuta bilish, ijodiy tashabbusni rivojlantirishda hisob-kitoblar va bir xil o'zgarishlarning ahamiyati juda aniq.

Kundalik va sanoat hisoblash amaliyotining talablari talabalardan oqilona hisob-kitoblar va identifikatsiyani o'zgartirish bo'yicha kuchli, avtomatlashtirilgan ko'nikmalarni rivojlantirishni talab qiladi. Ushbu ko'nikmalar har qanday hisoblash ishlari jarayonida rivojlanadi, ammo tezkor hisob-kitoblar va o'zgartirishlar bo'yicha maxsus o'quv mashqlari zarur.

Shunday qilib, agar dars asosiy logarifmik identifikatsiyadan foydalangan holda logarifmik tenglamalarni echishni o'z ichiga olsa, u holda dars rejasiga ifodalarning qiymatlarini soddalashtirish yoki hisoblash bo'yicha og'zaki mashqlarni kiritish foydalidir: , , . Mashqlarning maqsadi doimo talabalarga yetkaziladi. Mashq davomida o'quvchilardan individual o'zgarishlarni, harakatlarni yoki butun muammoni hal qilishni, hatto bu rejalashtirilmagan bo'lsa ham, asoslashni talab qilish kerak bo'lishi mumkin. Mumkin bo'lgan joyda turli yo'llar bilan Muammoni hal qilishda har doim quyidagi savollarni berish tavsiya etiladi: "Muammo qanday hal qilindi?", "Muammoni kim boshqa yo'l bilan hal qildi?"

VI sinf algebra kursida o‘ziga xoslik va o‘ziga xoslikni o‘zgartirish tushunchalari aniq kiritilgan. Aynan ta'rif bir xil ifodalar ikkita iboraning bir xilligini isbotlash uchun amalda qo'llanilmaydi va bir xil o'zgarishlarning mohiyati ifodada ko'rsatilgan harakatlarning ta'riflari va xususiyatlarini ifodaga qo'llash yoki unga bir xil ifoda qo'shish ekanligini tushunadi. 0 ga teng yoki uni ifoda bilan ko'paytirish uchun bir xil birga teng. Ammo bu qoidalarni o'zlashtirgan bo'lsa ham, talabalar ko'pincha nima uchun bu o'zgarishlar asl va natijada iboralar bir xil ekanligini tasdiqlashga imkon berishini tushunmaydilar, ya'ni. o'zgaruvchan qiymatlarning har qanday tizimlari (to'plamlari) uchun bir xil qiymatlarni oling.

Talabalarning bir xil o'zgarishlarning bunday xulosalari tegishli harakatlarning ta'riflari va xususiyatlarining natijasi ekanligini aniq tushunishlarini ta'minlash ham muhimdir.

VI sinfda oldingi yillarda to‘plangan shaxsni o‘zgartirish apparati kengaytirilgan. Bu kengaytma bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalar mahsulotining xususiyatini ifodalovchi identifikatsiyani kiritish bilan boshlanadi: , bu erda , butun sonlar.

§3. Matematika dasturi. Maktabning “Algebra va tahlilning boshlanishi” kursida talabalar ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar va ularning xossalarini, logarifmik va ko‘rsatkichli ifodalarning bir xil o‘zgarishlarini va ularning tegishli tenglama va tengsizliklarni yechishda qo‘llanilishini tizimli ravishda o‘rganadilar, asosiy tushuncha va bayonotlar bilan tanishadilar. . 11-sinfda algebra darslari haftasiga 3 soatdan, yiliga jami 102 soatdan iborat. Dastur eksponensial, logarifmik va quvvat funksiyalarini o'rganish uchun 36 soat vaqt oladi. Dastur quyidagi masalalarni ko'rib chiqish va o'rganishni o'z ichiga oladi: Ratsional ko'rsatkichli daraja tushunchasi. Irratsional tenglamalarni yechish. Ko‘rsatkichli funksiya, uning xossalari va grafigi. Ko'rsatkichli ifodalarning bir xil o'zgarishlari. Ko‘rsatkichli tenglamalar va tengsizliklarni yechish. Raqamning logarifmi. Logarifmlarning asosiy xossalari. Logarifmik funksiya, uning xossalari va grafigi. Logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechish. Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi. Raqam va tabiiy logarifm. Quvvat funksiyasining hosilasi. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar bo‘limining asosiy maqsadi talabalarni ko‘rsatkichli, logarifmik va darajali funksiyalar bilan tanishtirishdan iborat; o‘quvchilarni ko‘rsatkichli yechishga o‘rgatish va logarifmik tenglamalar va tengsizliklar. Ratsional ko‘rsatkichli th ildiz va daraja tushunchalari kvadrat ildiz va butun ko‘rsatkichli daraja tushunchalarini umumlashtirishdir. Talabalar bu erda ko'rib chiqilgan ratsional ko'rsatkichli ildizlar va darajalarning xususiyatlari ilgari o'rganilgan xususiyatlarga o'xshashligiga e'tibor berishlari kerak. kvadrat ildizlar va butun darajali darajalar. Darajalar xususiyatlarini mashq qilish va shaxsiyatni o'zgartirish ko'nikmalarini rivojlantirish uchun etarli vaqt ajratish kerak. v daraja tushunchasi irratsional ko'rsatkich vizual va intuitiv asosda kiritiladi. Ushbu material yordamchi rol o'ynaydi va eksponensial funktsiyani kiritishda ishlatiladi. Ko'rsatkichli, logarifmik va darajali funktsiyalarning xususiyatlarini o'rganish funktsiyalarni o'rganish uchun qabul qilingan umumiy sxemaga muvofiq tuzilgan. Bunday holda, parametr qiymatlariga qarab xususiyatlarning umumiy ko'rinishi beriladi. Tasviriy va logarifmik tengsizliklar funksiyalarning o‘rganilgan xossalari asosida yechiladi. Xarakterli xususiyat Kurs talabalarning bilimlarini tizimlashtirish va umumlashtirish, algebra kursida olingan ko'nikmalarni mustahkamlash va rivojlantirish bo'lib, u yangi materialni o'rganishda ham, umumlashtirilgan takrorlashni o'tkazishda ham amalga oshiriladi.
2-bob. Ko'rsatkichli va logarifmik ifodalarni bir xil o'zgartirishlar va hisoblashlar

§1. Daraja tushunchasini umumlashtirish.

Ta'rif: Sof sonning th ildizi - bu th darajasi ga teng bo'lgan sondir.

Ga binoan bu ta'rif Sonning ildizi tenglamaning yechimidir. Bu tenglamaning ildizlari soni va ga bog'liq. Funktsiyani ko'rib chiqaylik. Ma'lumki, intervalda bu funktsiya har qanday qiymat uchun ortadi va intervaldan barcha qiymatlarni oladi. Ildiz teoremasiga ko'ra, har qanday uchun tenglama manfiy bo'lmagan ildizga ega va bundan tashqari, faqat bitta. U sonning uchinchi darajali arifmetik ildizi deyiladi va quyidagicha belgilanadi; son radikal ko'rsatkich, sonning o'zi esa radikal ifoda deyiladi. Belgi ham radikal deb ataladi.

Ta'rif: Sonning uchinchi darajali arifmetik ildizi deyiladi manfiy bo'lmagan raqam, --chi darajasi ga teng.

Juft sonlar uchun funksiya juftdir. Bundan kelib chiqadiki, agar , u holda tenglama ildizdan tashqari, ildizga ham ega. Agar , u holda bitta ildiz bor: ; bo'lsa, bu tenglamaning ildizlari yo'q, chunki hatto daraja har qanday raqam manfiy emas.

Toq qiymatlar uchun funktsiya butun son chizig'i bo'ylab ortadi; uning diapazoni barcha haqiqiy sonlar to'plamidir. Ildiz teoremasini qo'llagan holda, tenglama har qanday va, xususan, uchun bitta ildizga ega ekanligini aniqlaymiz. Har qanday qiymat uchun bu ildiz bilan belgilanadi.

Toq darajadagi ildizlar uchun tenglik amal qiladi. Aslida, , ya'ni. raqam ning ildizidir. Ammo g'alati uchun bunday ildiz yagonadir. Demak, .

Izoh 1: Har qanday haqiqiy uchun

Keling, th darajali arifmetik ildizlarning ma'lum xususiyatlarini eslaylik.

Har qanday natural son uchun butun va manfiy bo'lmagan butun sonlar va tengliklar o'rinlidir:

1.

2.

3.

4.

Ratsional darajali daraja.

Ifoda hamma uchun aniqlangan va quyidagi holatdan tashqari. Keling, bunday kuchlarning xususiyatlarini eslaylik.

Har qanday raqamlar va har qanday butun sonlar va tengliklar uchun amal qiladi:

Shuningdek, agar , keyin uchun va uchun .. va

Yakutsk shahridagi 26-sonli o'rta maktabning matematika o'qituvchilari yagona davlat imtihonini topshirayotgan o'quvchilar uchun maktab matematika kursi uchun 2007 yildagi yagona davlat imtihonini topshirishda o'zlashtirilishi sinovdan o'tkaziladigan mazmunli savollar ro'yxatidan (kodifikator) foydalanadilar. Tanlov kursi Birlashtirilganga tayyorgarlik ko'rmoqda Davlat imtihoni ilgari olingan bilimlarni takrorlash, tizimlashtirish va chuqurlashtirishga asoslangan. Darslar bepul...