Tengsizliklar tizimi.
1-misol. Ifodaning sohasini toping
Yechim. Belgi ostida kvadrat ildiz bo'lishi kerak manfiy bo'lmagan raqam, bu ikkita tengsizlikni bir vaqtning o'zida qondirish kerakligini anglatadi: Bunday hollarda ular muammo tengsizliklar tizimini echishgacha kamayadi, deyishadi

Lekin bu bilan matematik model(tengsizliklar tizimi) biz hali uchrashmaganmiz. Bu shuni anglatadiki, biz hali ham misolning echimini to'liq to'ldirishga qodir emasmiz.

Tizimni tashkil etuvchi tengsizliklar jingalak qavs bilan birlashtiriladi (tenglamalar tizimlarida ham xuddi shunday). Masalan, yozib oling

2x - 1 > 3 va 3x - 2 tengsizliklarni bildiradi< 11 образуют систему неравенств.

Ba'zan tengsizliklar sistemasi qo'sh tengsizlik ko'rinishida yoziladi. Masalan, tengsizliklar tizimi

qo'sh tengsizlik sifatida yozilishi mumkin 3<2х-1<11.

9-sinf algebra kursida faqat ikkita tengsizlik sistemalarini ko’rib chiqamiz.

Tengsizliklar tizimini ko'rib chiqing

Siz uning bir nechta maxsus echimlarini tanlashingiz mumkin, masalan, x = 3, x = 4, x = 3.5. Aslida, x = 3 uchun birinchi tengsizlik 5 > 3 ko'rinishini oladi, ikkinchisi esa 7 ko'rinishini oladi.< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Shu bilan birga, x = 5 qiymati tengsizliklar tizimining yechimi emas. x = 5 uchun birinchi tengsizlik 9 > 3 ko'rinishini oladi - rost raqamli tengsizlik, ikkinchisi esa 13-ko'rinishdir< 11- неверное числовое неравенство .
Tengsizliklar tizimini yechish uning barcha xususiy yechimlarini topishni anglatadi. Yuqorida ko'rsatilgan taxmin tengsizliklar tizimini yechish usuli emasligi aniq. Quyidagi misolda biz tengsizliklar tizimini echishda odamlar odatda qanday fikr yuritishlarini ko'rsatamiz.

3-misol. Tengsizliklar tizimini yeching:

Yechim.

A) Sistemaning birinchi tengsizligini yechib, 2x > 4, x > 2 ni topamiz; sistemaning ikkinchi tengsizligini yechib, 3x ni topamiz< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Sistemaning birinchi tengsizligini yechib, x > 2 ni topamiz; sistemaning ikkinchi tengsizligini yechish orqali topamiz Bu intervallarni bir koordinatali chiziqda belgilaymiz, birinchi interval uchun yuqori lyukdan, ikkinchisi uchun pastki chiziqdan foydalanamiz (23-rasm). Tengsizliklar tizimining yechimi tizimning tengsizliklari yechimlarining kesishishi bo'ladi, ya'ni. ikkala lyukka mos keladigan interval. Ko'rib chiqilayotgan misolda biz nurni olamiz

V) Sistemaning birinchi tengsizligini yechib, x ni topamiz< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Keling, ko'rib chiqilgan misolda amalga oshirilgan mulohazalarni umumlashtiramiz. Aytaylik, biz tengsizliklar tizimini yechishimiz kerak

Masalan, (a, b) interval fx 2 > g(x) tengsizlikning yechimi, (c, d) interval f 2 (x) > s 2 (x) tengsizlikning yechimi bo‘lsin. ). Bu intervallarni bir koordinatali chiziqda belgilaymiz, birinchi interval uchun yuqori lyukdan, ikkinchisi uchun pastki chiziqdan foydalanamiz (25-rasm). Tengsizliklar tizimining yechimi - bu tizimning tengsizliklari yechimlarining kesishishi, ya'ni. ikkala lyukka mos keladigan interval. Shaklda. 25 - interval (c, b).

Endi biz 1-misolda yuqorida olingan tengsizliklar tizimini osonlikcha yechishimiz mumkin:

Sistemaning birinchi tengsizligini yechib, x > 2 ni topamiz; sistemaning ikkinchi tengsizligini yechib, x ni topamiz< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Albatta, tengsizliklar tizimi quyidagilardan iborat bo'lishi shart emas chiziqli tengsizliklar, hozirgacha bo'lgani kabi; Har qanday ratsional (va nafaqat ratsional) tengsizliklar yuzaga kelishi mumkin. Texnik jihatdan, ratsional chiziqli bo'lmagan tengsizliklar tizimi bilan ishlash, albatta, murakkabroq, ammo bu erda tubdan yangi narsa yo'q (chiziqli tengsizliklar tizimlari bilan solishtirganda).

4-misol. Tengsizliklar sistemasini yeching

Yechim.

1) Bizda mavjud bo'lgan tengsizlikni yeching
Sanoq chizig'idagi -3 va 3 nuqtalarni belgilaymiz (27-rasm). Ular chiziqni uchta intervalga bo'lishadi va har bir oraliqda p(x) = (x- 3)(x + 3) ifodasi o'zgarmas belgini saqlab qoladi - bu belgilar rasmda ko'rsatilgan. 27. Bizni p(x) > 0 tengsizligi (ular 27-rasmda soyalangan) amal qiladigan intervallar va p(x) = 0 tengligi amal qiladigan nuqtalar, ya’ni. nuqtalar x = -3, x = 3 (ular qorong'u doiralar bilan 2 7-rasmda belgilangan). Shunday qilib, rasmda. 27-rasmda birinchi tengsizlikni yechishning geometrik modeli keltirilgan.

2) Bizda mavjud tengsizlikni yeching
0 va 5 nuqtalarni sonlar qatorida belgilaymiz (28-rasm). Ular chiziqni uchta intervalga bo'lishadi va har bir oraliqda ifoda<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (28-rasmda soyali) va g (x) - O tengligi bajariladigan nuqtalar, ya'ni. nuqtalar x = 0, x = 5 (ular qorong'u doiralar bilan 28-rasmda belgilangan). Shunday qilib, rasmda. 28-rasmda sistemaning ikkinchi tengsizligini yechishning geometrik modeli keltirilgan.

3) Tizimning birinchi va ikkinchi tengsizliklarining topilgan yechimlarini bir xil koordinatali chiziqda belgilaymiz, birinchi tengsizlikning yechimlari uchun yuqori lyukka, ikkinchisining yechimlari uchun pastki lyukdan foydalanamiz (29-rasm). Tengsizliklar tizimining yechimi tizimning tengsizliklari yechimlarining kesishishi bo'ladi, ya'ni. ikkala lyukka mos keladigan interval. Bunday interval segmentdir.

5-misol. Tengsizliklar tizimini yeching:

Yechim:

A) Birinchi tengsizlikdan biz x >2 ni topamiz. Keling, ikkinchi tengsizlikni ko'rib chiqaylik. Kvadrat trinomial x 2 + x + 2 mavjud emas haqiqiy ildizlar, va uning etakchi koeffitsienti (x 2 da koeffitsient) ijobiydir. Bu shuni anglatadiki, barcha x uchun x 2 + x + 2>0 tengsizlik o'rinli va shuning uchun tizimning ikkinchi tengsizligi yechimga ega emas. Bu tengsizliklar tizimi uchun nimani anglatadi? Bu tizimda hech qanday yechim yo'qligini anglatadi.

b) Birinchi tengsizlikdan biz x > 2 ni topamiz va ikkinchi tengsizlik x ning har qanday qiymatlari uchun qondiriladi. Bu tengsizliklar tizimi uchun nimani anglatadi? Demak, uning yechimi x>2 ko'rinishga ega, ya'ni. birinchi tengsizlikning yechimi bilan mos keladi.

Javob:

a) yechim yo'q; b) x >2.

Bu misol quyidagi foydali misoldir

1. Agar bir o'zgaruvchili bir nechta tengsizliklar sistemasida bitta tengsizlikning yechimlari bo'lmasa, u holda sistemaning yechimlari yo'q.

2. Agar bitta oʻzgaruvchiga ega boʻlgan ikkita tengsizlik sistemasida oʻzgaruvchining istalgan qiymatlari uchun bitta tengsizlik qanoatlansa, sistemaning yechimi sistemaning ikkinchi tengsizligining yechimi boʻladi.

Ushbu bo'limni yakunlab, keling, boshida berilgan mo'ljallangan raqam haqidagi muammoga qaytaylik va uni, ular aytganidek, barcha qoidalarga muvofiq hal qilaylik.

2-misol(29-betga qarang). Mo'ljallangan natural son. Ma'lumki, agar mo'ljallangan sonning kvadratiga 13 ni qo'shsangiz, yig'indi mo'ljallangan son va 14 sonining ko'paytmasidan katta bo'ladi. bo'lmoq kamroq mahsulot rejalashtirilgan raqam va 18 raqami. Qaysi raqam rejalashtirilgan?

Yechim.

Birinchi bosqich. Matematik modelni tuzish.
Belgilangan x soni, yuqorida ko'rganimizdek, tengsizliklar tizimini qondirishi kerak

Ikkinchi bosqich. Tuzilgan matematik model bilan ishlash.Tizimning birinchi tengsizligini shaklga aylantiramiz.
x2- 14x+ 13 > 0.

X 2 - 14x + 13 trinomining ildizlarini topamiz: x 2 = 1, x 2 = 13. y = x 2 - 14x + 13 parabolasidan foydalanib (30-rasm) bizni qiziqtirgan tengsizlik degan xulosaga kelamiz. x da qanoatlantiriladi< 1 или x > 13.

Sistemaning ikkinchi tengsizligini x2 - 18 2 + 45 ko'rinishga aylantiramiz< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Masalan:

\(\begin(holatlar)5x+2≥0\\x<2x+1\\x-4>2\end(holatlar)\)

\(\boshlash(holatlar)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end(holatlar)\)

\(\begin(holatlar)(x^2+1)(x^2+3)(x^2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)

Tengsizliklar sistemasini yechish

Kimga tengsizliklar tizimini yechish siz tizimdagi barcha tengsizliklarga mos keladigan x qiymatlarini topishingiz kerak - bu ularning bir vaqtning o'zida bajarilishini anglatadi.

Misol. Keling, tizimni hal qilaylik \(\begin(cases)x>4\\x\leq7\end(cases)\)
Yechim: Agar x \(4\) dan katta bo'lsa, birinchi tengsizlik to'g'ri bo'ladi. Ya'ni, birinchi tengsizlikning yechimlari \((4;\infty)\) dan yoki sonlar o'qidagi barcha x qiymatlari:

Ikkinchi tengsizlik 7 dan kichik bo'lgan x qiymatlari uchun mos keladi, ya'ni \((-\infty;7]\) oraliqdan yoki sonlar o'qi bo'yicha har qanday x uchun:

Ikkala tengsizlik uchun qanday qiymatlar mos keladi? Ikkala bo'shliqqa tegishli bo'lganlar, ya'ni bo'shliqlar kesishgan joyda.

Javob: \((4;7]\)

E'tibor bergan bo'lsangiz kerak, tizimdagi tengsizliklar yechimlarini kesish uchun son o'qlaridan foydalanish qulay.

Tengsizliklar tizimini yechishning umumiy printsipi: har bir tengsizlikning yechimini topishingiz kerak, so'ngra bu yechimlarni son chizig'i yordamida kesishingiz kerak.

Misol:(OGEdan topshiriq) Tizimni yeching \(\begin(holatlar) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

Yechim:

\(\begin(holatlar) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)	Har bir tengsizlikni boshqasidan alohida yechamiz.
	Olingan tengsizlikni teskari aylantiramiz.
	Butun tengsizlikni \(2\) ga bo'laylik.
	Birinchi tengsizlikning javobini yozamiz.
\(x∈(-∞;4)\)	Endi ikkinchi tengsizlikni yechamiz.
2) \((x-5)(x+8)<0\)	Tengsizlik allaqachon qo'llash uchun ideal shaklda.
	Ikkinchi tengsizlikning javobini yozamiz.
	Ikkala yechimni ham son o'qlari yordamida birlashtiramiz.
	Keling, javob sifatida ikkala tengsizlikning - birinchi va ikkinchisining yechimi bo'lgan intervalni yozamiz.

Javob: \((-8;4)\)

Misol:(OGEdan topshiriq) Tizimni yeching \(\begin(holatlar) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≤14-3x \end(holatlar)\)

Yechim:

\(\begin(holatlar) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≤14-3x \end(holatlar)\)	Yana tengsizliklarni alohida yechamiz.
1)\(\frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)\) \(≥0\)	Agar denominator sizni qo'rqitsa, qo'rqmang, biz uni hozir olib tashlaymiz. Gap shundaki, \(3+(5-2x)^2\) har doim ijobiy ifodadir. O'zingiz baho bering: \((5-2x)^2 \)kvadrat tufayli u musbat yoki nolga teng. \((5-2x)^2+3\) – aynan ijobiy. Bu shuni anglatadiki, biz tengsizlikni \(3+(5-2x)^2\) ga xavfsiz ko'paytirishimiz mumkin.
	Oldimizda odatdagidek - \(x\) ifoda qilaylik. Buning uchun \(10\) ni o'ng tomonga o'tkazing.
	Tengsizlikni \(-2\) ga ajratamiz. Raqam manfiy bo'lgani uchun biz tengsizlik belgisini o'zgartiramiz.
	Yechimni son qatoriga belgilaymiz.
	Birinchi tengsizlikning javobini yozamiz.
\(x∈(-∞;5]\)	Bu bosqichda asosiy narsa ikkinchi tengsizlik mavjudligini unutmaslikdir.
2) \(2-7x≤14-3x\)	Yana chiziqli tengsizlik - yana \(x\) ni ifodalaymiz.
\(-7x+3x≤14-2\)	Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.
	Biz butun tengsizlikni belgini aylantirib \(-4\) ga ajratamiz.
	Yechimni sonlar qatoriga chizamiz va bu tengsizlikning javobini yozamiz.
\(x∈[-3;∞)\)	Endi yechimlarni birlashtiramiz.
	Keling, javobni yozamiz.

Javob: \([-3;5]\)

Misol: Tizimni yeching \(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end(holatlar)\)

Yechim:

\(\boshlash(holatlar)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end(holatlar)\)

Ikki o'zgaruvchidagi tengsizlikni yechish, va undan ham ko'proq ikki o'zgaruvchili tengsizliklar sistemalari, juda qiyin ish bo'lib tuyuladi. Biroq, bu turdagi juda murakkab ko'rinadigan muammolarni osongina va ko'p harakat qilmasdan hal qilishga yordam beradigan oddiy algoritm mavjud. Keling, buni tushunishga harakat qilaylik.

Quyidagi turlardan birining ikkita o'zgaruvchisi bo'lgan tengsizlikka ega bo'lsin:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Bunday tengsizlikning yechimlari to'plamini tasvirlash koordinata tekisligi quyidagicha davom eting:

1. Tekislikni ikki viloyatga ajratuvchi y = f(x) funksiyaning grafigini tuzamiz.

2. Olingan maydonlardan istalgan birini tanlaymiz va undagi ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqamiz. Biz ushbu nuqta uchun dastlabki tengsizlikning maqsadga muvofiqligini tekshiramiz. Agar test to'g'ri sonli tengsizlikka olib kelsa, biz dastlabki tengsizlik tanlangan nuqta tegishli bo'lgan butun mintaqada qondiriladi degan xulosaga kelamiz. Shunday qilib, tengsizlikning yechimlari to'plami tanlangan nuqta tegishli bo'lgan mintaqadir. Agar tekshirish natijasi noto'g'ri sonli tengsizlik bo'lsa, u holda tengsizlikning yechimlari to'plami tanlangan nuqta tegishli bo'lmagan ikkinchi mintaqa bo'ladi.

3. Agar tengsizlik qat’iy bo’lsa, u holda mintaqa chegaralari, ya’ni y = f(x) funksiya grafigining nuqtalari yechimlar to’plamiga kiritilmaydi va chegara nuqtali chiziq bilan tasvirlanadi. Agar tengsizlik qat'iy bo'lmasa, u holda mintaqa chegaralari, ya'ni y = f(x) funksiya grafigining nuqtalari ushbu tengsizlikning yechimlari to'plamiga kiritiladi va bu holda chegara tasvirlanadi. qattiq chiziq sifatida.
Keling, ushbu mavzu bo'yicha bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.

Vazifa 1.

X tengsizligi qanday nuqtalar to'plamini beradi · y ≤ 4?

Yechim.

1) x · y = 4 tenglamaning grafigini tuzamiz. Buning uchun avvalo uni o'zgartiramiz. Shubhasiz, bu holda x 0 ga aylanmaydi, chunki aks holda bizda 0 · y = 4 bo'ladi, bu noto'g'ri. Bu bizning tenglamamizni x ga bo'lishimizni anglatadi. Biz olamiz: y = 4/x. Bu funksiyaning grafigi giperboladir. U butun tekislikni ikkita hududga ajratadi: giperbolaning ikkita shoxlari orasidagi va ularning tashqarisidagi.

2) Birinchi mintaqadan ixtiyoriy nuqta tanlaymiz, u nuqta (4; 2) bo'lsin.
Tengsizlikni tekshiramiz: 4 · 2 ≤ 4 – noto‘g‘ri.

Bu shuni anglatadiki, ushbu mintaqaning nuqtalari dastlabki tengsizlikni qanoatlantirmaydi. Shunda biz tengsizlikning yechimlari to'plami tanlangan nuqta tegishli bo'lmagan ikkinchi mintaqa bo'ladi, degan xulosaga kelishimiz mumkin.

3) Tengsizlik qat’iy bo‘lmagani uchun chegara nuqtalarini, ya’ni y=4/x funksiya grafigining nuqtalarini yaxlit chiziq bilan chizamiz.

Keling, asl tengsizlikni aniqlaydigan nuqtalar to'plamini sariq rangga bo'yaymiz (1-rasm).

Vazifa 2.

Tizim tomonidan koordinata tekisligida aniqlangan maydonni chizing
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Yechim.

Boshlash uchun biz quyidagi funktsiyalarning grafiklarini quramiz (2-rasm):

y = x 2 + 2 - parabola,

y + x = 1 - to'g'ri chiziq

x 2 + y 2 = 9 – aylana.

1) y > x 2 + 2.

Funksiya grafigidan yuqorida joylashgan (0; 5) nuqtani olamiz.
Tengsizlikni tekshiramiz: 5 > 0 2 + 2 – rost.

Demak, berilgan y = x 2 + 2 parabola ustida yotgan barcha nuqtalar sistemaning birinchi tengsizligini qanoatlantiradi. Keling, ularni sariq rangga bo'yaylik.

2) y + x > 1.

Funksiya grafigidan yuqorida joylashgan (0; 3) nuqtani olamiz.
Tengsizlikni tekshiramiz: 3 + 0 > 1 – rost.

Demak, y + x = 1 to'g'ri chiziq ustida yotgan barcha nuqtalar sistemaning ikkinchi tengsizligini qanoatlantiradi. Keling, ularni yashil soya bilan bo'yaymiz.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

x 2 + y 2 = 9 aylanadan tashqarida joylashgan (0; -4) nuqtani oling.
Tengsizlikni tekshiramiz: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – noto'g'ri.

Demak, aylanadan tashqarida joylashgan barcha nuqtalar x 2 + y 2 = 9, sistemaning uchinchi tengsizligini qanoatlantirmaydi. Shunda x 2 + y 2 = 9 aylana ichida yotgan barcha nuqtalar sistemaning uchinchi tengsizligini qanoatlantiradi, degan xulosaga kelishimiz mumkin. Keling, ularni binafsha rang bilan bo'yaymiz.

Shuni unutmangki, agar tengsizlik qat'iy bo'lsa, unda tegishli chegara chizig'ini nuqta chiziq bilan chizish kerak. Biz quyidagi rasmni olamiz (3-rasm).

(4-rasm).

Vazifa 3.

Tizim tomonidan koordinata tekisligida aniqlangan maydonni chizing:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Yechim.

Boshlash uchun biz quyidagi funktsiyalarning grafiklarini tuzamiz:

x 2 + y 2 = 16 - aylana,

x = -y - to'g'ri chiziq

x 2 + y 2 = 4 – aylana (5-rasm).

Endi har bir tengsizlikni alohida ko'rib chiqamiz.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

x 2 + y 2 = 16 aylana ichida joylashgan (0; 0) nuqtani oling.
Tengsizlikni tekshiramiz: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – rost.

Demak, x 2 + y 2 = 16 aylana ichida yotgan barcha nuqtalar sistemaning birinchi tengsizligini qanoatlantiradi.
Keling, ularni qizil soya bilan bo'yaymiz.

Funksiya grafigidan yuqorida joylashgan (1; 1) nuqtani olamiz.
Tengsizlikni tekshiramiz: 1 ≥ -1 – rost.

Binobarin, x = -y chiziq ustida joylashgan barcha nuqtalar sistemaning ikkinchi tengsizligini qanoatlantiradi. Keling, ularni ko'k soya bilan bo'yaymiz.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

x 2 + y 2 = 4 aylanadan tashqarida joylashgan (0; 5) nuqtani oling.
Tengsizlikni tekshiramiz: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – rost.

Demak, x 2 + y 2 = 4 aylanadan tashqarida yotgan barcha nuqtalar sistemaning uchinchi tengsizligini qanoatlantiradi. Keling, ularni ko'k rangga bo'yaylik.

Bu masalada barcha tengsizliklar qat'iy emas, ya'ni biz barcha chegaralarni qattiq chiziq bilan chizamiz. Biz quyidagi rasmni olamiz (6-rasm).

Qidiruv maydoni - bu uchta rangli maydonlar bir-biri bilan kesishadigan maydon (7-rasm).

Hali ham savollaringiz bormi? Ikki o‘zgaruvchili tengsizliklar sistemasini qanday yechish kerakligini bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Ushbu darsda biz tengsizliklar tizimini o'rganishni boshlaymiz. Birinchidan, chiziqli tengsizliklar tizimini ko'rib chiqamiz. Dars boshida biz tengsizliklar sistemasi qayerda va nima uchun paydo bo'lishini ko'rib chiqamiz. Keyinchalik, biz tizimni yechish nimani anglatishini o'rganamiz va to'plamlarning birlashishi va kesishishini eslaymiz. Oxirida chiziqli tengsizliklar sistemalarining aniq misollarini yechamiz.

Mavzu: Parheztengsizliklar va ularning tizimlari

Dars:Asosiytushunchalar, chiziqli tengsizliklar sistemalarini yechish

Hozirgacha biz individual tengsizliklarni yechdik va ularga interval usulini qo'lladik, bular bo'lishi mumkin chiziqli tengsizliklar, ham kvadrat, ham ratsional. Endi tengsizliklar tizimini echishga o'tamiz - birinchi chiziqli tizimlar. Tengsizliklar tizimini ko'rib chiqish zarurati kelib chiqadigan misolni ko'rib chiqaylik.

Funksiya sohasini toping

Funksiya sohasini toping

Funktsiya ikkala kvadrat ildiz mavjud bo'lganda mavjud bo'ladi, ya'ni.

Bunday tizimni qanday hal qilish mumkin? Birinchi va ikkinchi tengsizliklarni qanoatlantiradigan barcha x ni topish kerak.

Ho'kiz o'qida birinchi va ikkinchi tengsizliklarning yechimlari to'plamini tasvirlaymiz.

Ikki nurning kesishish oralig'i bizning yechimimizdir.

Tengsizliklar tizimining yechimini tasvirlashning bunday usuli ba'zan tom usuli deb ataladi.

Tizimning yechimi ikkita to'plamning kesishishidir.

Keling, buni grafik tarzda tasvirlaylik. Bizda ixtiyoriy tabiatli A to'plami va ixtiyoriy tabiatli B to'plami mavjud bo'lib, ular kesishadi.

Ta'rif: A va B ikkita to'plamning kesishishi A va B ga kiritilgan barcha elementlardan iborat uchinchi to'plamdir.

Keling, ko'rib chiqaylik aniq misollar chiziqli tengsizliklar sistemalarining yechimlari, tizimga kiritilgan individual tengsizliklar yechimlari to‘plamining kesishishlarini qanday topish.

Tengsizliklar tizimini yeching:

Javob: (7; 10).

4. Tizimni yechish

Tizimning ikkinchi tengsizligi qayerdan kelib chiqishi mumkin? Masalan, tengsizlikdan

Har bir tengsizlikning yechimlarini grafik tarzda belgilaymiz va ularning kesishish oralig'ini topamiz.

Shunday qilib, agar bizda tengsizliklardan biri x ning istalgan qiymatini qondiradigan tizimga ega bo'lsak, uni yo'q qilish mumkin.

Javob: tizim bir-biriga zid.

Biz odatiy holga qaradik yordamchi vazifalar, unga har qanday chiziqli tengsizliklar tizimining yechimi qisqartiriladi.

Quyidagi tizimni ko'rib chiqing.

7.

Ba'zan chiziqli tizim qo'shaloq tengsizlik bilan beriladi; bu holatni ko'rib chiqing.

8.

Biz chiziqli tengsizliklar tizimlarini ko'rib chiqdik, ular qaerdan kelib chiqqanligini tushundik, standart tizimlarni ko'rib chiqdik. chiziqli tizimlar, va ulardan ba'zilarini hal qildi.

1. Mordkovich A.G. va boshqalar.Algebra 9-sinf: Darslik. Umumiy ta'lim uchun Institutlar.- 4-nashr. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 b.: kasal.

2. Mordkovich A.G. va boshqalar.Algebra 9-sinf: O’quvchilar uchun muammoli kitob ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina va boshqalar - 4-nashr. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 b.: kasal.

3. Makarychev Yu.N. Algebra. 9-sinf: tarbiyaviy. umumiy ta'lim talabalari uchun. muassasalar / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7-nashr, rev. va qo'shimcha - M.: Mnemosyne, 2008 yil.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9-sinf. 16-nashr. - M., 2011. - 287 b.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9-sinf. 2 qismda 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12-nashr, o'chirilgan. - M.: 2010. - 224 b.: kasal.

6. Algebra. 9-sinf. 2 qismdan iborat 2-qism. Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun muammoli kitob / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina va boshqalar; Ed. A. G. Mordkovich. - 12-nashr, rev. - M.: 2010.-223 b.: kasal.

1. Portal Tabiiy fanlar ().

2. Elektron o‘quv-uslubiy majmua 10-11 sinflarni tayyorlash uchun kirish imtihonlari informatika, matematika, rus tili ().

4. "O'qitish texnologiyasi" ta'lim markazi ().

5. College.ru ning matematika bo'limi ().

1. Mordkovich A.G. va boshqalar.Algebra 9-sinf: Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun muammoli kitob / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina va boshqalar - 4-nashr. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 b.: kasal. № 53; 54; 56; 57.

"Tengsizliklar tizimlari. Yechish misollari" mavzusidagi dars va taqdimot.

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

Integral onlayn do'konida 9-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
9-sinf uchun interfaol darslik "Geometriyadan qoidalar va mashqlar"
7-9-sinflar uchun “Tushunadigan geometriya” elektron darsligi

Tengsizliklar tizimi

Bolalar, siz chiziqli va kvadratik tengsizliklar, bu mavzular bo'yicha masalalar yechishni o'rgandi. Endi matematikada yangi tushunchaga – tengsizliklar tizimiga o‘tamiz. Tengsizliklar sistemasi tenglamalar sistemasiga o'xshaydi. Tenglamalar tizimini eslaysizmi? Siz ettinchi sinfda tenglamalar tizimini o'rgandingiz, ularni qanday yechganingizni eslashga harakat qiling.

Tengsizliklar tizimining ta'rifi bilan tanishamiz.
Ba'zi bir x o'zgaruvchisi bo'lgan bir nechta tengsizliklar tengsizliklar tizimini tashkil qiladi, agar siz x ning barcha qiymatlarini topishingiz kerak bo'lsa, ular uchun tengsizliklarning har biri haqiqatni tashkil qiladi. raqamli ifoda.

Har bir tengsizlik to'g'ri sonli ifodani oladigan x ning har qanday qiymati tengsizlikning yechimidir. Shaxsiy yechim deb ham atash mumkin.
Shaxsiy yechim nima? Masalan, javobda biz x>7 ifodasini oldik. U holda x=8, yoki x=123 yoki yettidan katta boshqa har qanday son xususiy yechim, x>7 ifodasi esa umumiy yechim hisoblanadi. Umumiy yechim ko'plab xususiy echimlar bilan shakllanadi.

Tenglamalar tizimini qanday birlashtirdik? To'g'ri, jingalak qavs va shuning uchun ular tengsizliklar bilan xuddi shunday qilishadi. Tengsizliklar sistemasiga misol keltiramiz: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Agar tengsizliklar sistemasi bir xil ifodalardan iborat bo'lsa, masalan, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Xo'sh, bu nimani anglatadi: tengsizliklar tizimiga yechim topish?
Tengsizlikning yechimi - bu tizimning ikkala tengsizligini bir vaqtning o'zida qanoatlantiradigan tengsizlikning qisman yechimlari to'plami.

Tengsizliklar tizimining umumiy shaklini $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$ shaklida yozamiz.

f(x)>0 tengsizlikning umumiy yechimi sifatida $X_1$ ni belgilaymiz.
$X_2$ g(x)>0 tengsizlikning umumiy yechimidir.
$X_1$ va $X_2$ maxsus yechimlar toʻplamidir.
Tengsizliklar tizimining yechimi $X_1$ va $X_2$ ga tegishli raqamlar bo'ladi.
Keling, to'plamlardagi amallarni eslaylik. Bir vaqtning o'zida ikkala to'plamga tegishli bo'lgan to'plam elementlarini qanday topamiz? To'g'ri, buning uchun kesishish operatsiyasi mavjud. Demak, tengsizligimiz yechimi $A= X_1∩ X_2$ toʻplam boʻladi.

Tengsizliklar sistemalarini yechishga misollar

Tengsizliklar sistemalarini yechish misollarini ko'rib chiqamiz.

Tengsizliklar sistemasini yeching.
a) $\begin(holatlar)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(holatlar)2x-4≤6\\-x-4
Yechim.
a) Har bir tengsizlikni alohida yeching.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
5x-10 dollar
Bir koordinatali chiziqda intervallarimizni belgilaymiz.

Tizimning yechimi bizning intervallarimiz kesishish segmenti bo'ladi. Tengsizlik qat'iy, keyin segment ochiq bo'ladi.
Javob: (1;3).

B) Har bir tengsizlikni ham alohida yechamiz.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$.


Tizimning yechimi bizning intervallarimiz kesishish segmenti bo'ladi. Ikkinchi tengsizlik qat'iy, keyin segment chap tomonda ochiq bo'ladi.
Javob: (-5; 5].

Keling, o'rganganlarimizni umumlashtiramiz.
Aytaylik, tengsizliklar sistemasini yechish kerak: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Keyin interval ($x_1; x_2$) birinchi tengsizlikning yechimidir.
Interval ($y_1; y_2$) ikkinchi tengsizlikning yechimidir.
Tengsizliklar sistemasining yechimi har bir tengsizlikning yechimlarining kesishishidir.

Tengsizliklar sistemalari nafaqat birinchi tartibli tengsizliklardan, balki boshqa har qanday turdagi tengsizliklardan ham iborat bo'lishi mumkin.

Tengsizliklar tizimini yechishning muhim qoidalari.
Agar tizimning tengsizliklaridan birining yechimlari bo'lmasa, butun tizimning yechimlari yo'q.
Agar o'zgaruvchining har qanday qiymatlari uchun tengsizliklardan biri qondirilsa, tizimning yechimi boshqa tengsizlikning yechimi bo'ladi.

Misollar.
Tengsizliklar tizimini yeching:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Yechim.
Har bir tengsizlikni alohida yechamiz.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Ikkinchi tengsizlikni yechamiz.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Tengsizlikning yechimi intervaldir.
Ikkala intervalni ham bir chiziqqa chizamiz va kesmani topamiz.
Intervallarning kesishishi segmentdir (4; 6).
Javob: (4;6].

Tengsizliklar sistemasini yeching.
a) $\begin(holatlar)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(holatlar)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(holatlar) )$.

Yechim.
a) Birinchi tengsizlik x>1 yechimga ega.
Ikkinchi tengsizlik uchun diskriminant topilsin.
$D=16-4*2*4=-16$. $D Qoidani eslaylik: tengsizliklardan birining yechimi bo'lmasa, butun tizimning yechimi yo'q.
Javob: Hech qanday yechim yo'q.

B) Birinchi tengsizlik x>1 yechimga ega.
Ikkinchi tengsizlik barcha x uchun noldan katta. U holda sistemaning yechimi birinchi tengsizlikning yechimi bilan mos tushadi.
Javob: x>1.

Mustaqil yechish uchun tengsizliklar sistemasiga oid masalalar

Tengsizliklar tizimini yechish:
a) $\begin(holatlar)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(holatlar)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(holatlar)x^2-25 d) $\begin(holatlar)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(holatlar)$
e) $\begin(holatlar)x^2+36