Bo'limlar: Matematika
Sinf: 9
Majburiy ta'lim natijasi - bu shakldagi tengsizliklarni hal qilish qobiliyati:
ax 2 + bx+ c ><0
sxematik diagrammaga asoslanadi kvadratik funktsiya.
Ko'pincha o'quvchilar salbiy birinchi koeffitsientli kvadrat tengsizliklarni echishda xato qiladilar. Bunday hollarda darslikda tengsizlikni x 2 da ijobiy koeffitsientli ekvivalentga almashtirish taklif qilinadi (3-misol).Talabalar dastlabki tengsizlikni “unutish” kerakligini tushunishlari muhim; masalani hal qilish uchun. , ular shoxlari yuqoriga qaragan parabolani chizishlari kerak. Biror kishi boshqacha bahslashishi mumkin.
Aytaylik, tengsizlikni yechishimiz kerak:
–x 2 + 2x –5<0
Avval y=-x 2 +2x-5 funksiyaning grafigi OX o‘qini kesib o‘tishini aniqlaymiz. Buning uchun tenglamani yechamiz:
Tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun y=-x 2 +2x-5 funksiyaning grafigi butunlay X o'qi va -x 2 +2x-5 tengsizligi ostida joylashgan.<0 выполняется при любых значения Х. Необходимо показать учащимся оба способа решения и разрешить пользоваться любым из них.
Yechish qobiliyati 111 va 119-sonlarda rivojlangan. Quyidagi tengsizliklarni hisobga olish majburiydir x 2 +5>0, -x 2 -3≤0; 3x 2 > 0 va boshqalar.
Albatta, bunday tengsizliklarni yechishda siz paraboladan foydalanishingiz mumkin. Biroq, kuchli talabalar rasmga murojaat qilmasdan darhol javob berishlari kerak. Bunday holda, tushuntirishlarni talab qilish kerak, masalan: x ning har qanday qiymatlari uchun x 2 ≥0 va x 2 +7>0. Sinfning tayyorgarlik darajasiga qarab, siz o'zingizni ushbu raqamlar bilan cheklashingiz yoki 120-sonli 121-sonli foydalanishingiz mumkin. Ularda oddiy bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish kerak, shuning uchun bu erda o'tilgan material takrorlanadi. Bu xonalar kuchli talabalar uchun mo'ljallangan. Agar yaxshi natijaga erishilsa va kvadrat tengsizliklarni yechish hech qanday muammo tug‘dirmasa, unda siz o‘quvchilardan bir yoki ikkala tengsizlik kvadrat bo‘lgan tengsizliklar tizimini yechishni so‘rashingiz mumkin (193, 194-mashq).
Kvadrat tengsizliklarni yechishgina emas, balki bu yechimni yana qayerda qo‘llash mumkinligi qiziq: parametrli kvadrat tenglamani o‘rganish funksiyasini aniqlash sohasini topish (122-124-mashq) Eng ilg‘or talabalar uchun siz shakl parametrlari bilan kvadrat tengsizliklarni ko'rib chiqish mumkin:
Ax 2 +Bx+C>0 (≥0)
Ax 2 +Bx+C<0 (≤0)
Bu yerda A,B,C parametrlarga bog’liq ifodalar, A≠0,x noma’lum.
Tengsizlik Ax 2 +Bx+C>0
U quyidagi sxemalar bo'yicha o'rganiladi:
1)Agar A=0 bo'lsa, Bx+C>0 chiziqli tengsizlikka ega bo'lamiz
2) Agar A≠0 va diskriminant D>0 bo'lsa, biz kvadrat uch a'zoni faktorlarga ajratib, tengsizlikni olamiz.
A(x-x1) (x-x2)>0
x 1 va x 2 Ax 2 +Bx+C=0 tenglamaning ildizlari
3) Agar A≠0 va D bo'lsa<0 то если A>0 yechim R haqiqiy sonlar to'plami bo'ladi; da A<0 решений нет.
Qolgan tengsizliklarni ham xuddi shunday o'rganish mumkin.
Kvadrat tengsizliklarni yechish uchun ishlatilishi mumkin, shuning uchun kvadrat uch a'zoning xossasi
1) Agar A>0 va D bo'lsa<0 то Ax2+Bx+C>0 - barcha x uchun.
2) Agar A<0 и D<0 то Ax2+Bx+C<0 при всех x.
Kvadrat tengsizlikni yechishda y=Ax2+Bx+C funksiya grafigining sxematik tasviridan foydalanish qulayroqdir.
Misol: Barcha parametr qiymatlari uchun tengsizlikni yeching
X 2 +2(b+1)x+b 2 >0
D=4(b+1) 2 -4b 2 =4b 2 +8b+4-4b 2
1) D<0 т.е. 2b+1<0
x 2 oldidagi koeffitsient 1>0 ga teng, u holda tengsizlik barcha x uchun qanoatlantiriladi, ya'ni. X ê R
2) D=0 => 2b+1=0
Keyin x 2 +x+¼>0
x є(-∞;-½) U (-½;∞)
3) D>0 =>2b+1>0
Kvadrat trinomialning ildizlari:
X 1 =-b-1-√2b+1
X 2 =-b-1+√2b+1
Tengsizlik shaklni oladi
(x-x 1) (x-x 2)>0
Interval usuli yordamida biz olamiz
x ê(-∞;x 1) U (x 2 ;∞)
Mustaqil yechim uchun quyidagi tengsizlikni keltiring
Tengsizliklarni yechish natijasida talaba tushunishi kerakki, ikkinchi darajali tengsizliklarni yechish uchun parabola uchlari koordinatalarini topishdan tortib, grafik tuzish usulida ortiqcha detallardan voz kechish taklif etiladi. masshtabli va kvadratik funksiya grafigining eskizini chizish bilan cheklanishi mumkin.
Yuqori darajadagi kvadratik tengsizliklarni echish amalda mustaqil vazifa emas, balki boshqa tenglama yoki tengsizlikni (logarifmik, eksponensial, trigonometrik) echish komponenti sifatida ishlaydi. Shuning uchun o’quvchilarga kvadrat tengsizliklarni ravon yechish usullarini o’rgatish zarur. A.A.ning darslikdan olingan uchta teoremaga murojaat qilishingiz mumkin. Kiseleva.
Teorema 1. A>0, 2 xil haqiqiy ildizga ega (D>0) bo'lgan 2 +bx+c kvadrat uch a'zoli aks berilsin.
Keyin: 1) x o'zgaruvchining kichik ildizdan kichik va katta ildizdan katta bo'lgan barcha qiymatlari uchun kvadrat trinomial ijobiy bo'ladi.
2) Kvadrat ildizlar orasidagi x qiymatlari uchun trinomial manfiy hisoblanadi.
Teorema 2. 2 +bx+c kvadrat trinomial aks berilsin, bunda a>0 2 ta bir xil haqiqiy ildizga ega (D=0).U holda x ning kvadrat trinomiyaning ildizlaridan farqli barcha qiymatlari uchun kvadrat trinomial musbat bo‘ladi. .
Teorema 3. a>0 bo'lmagan joyda 2 +bx+c kvadrat uch a'zoli aks berilsin haqiqiy ildizlar(D<0).Тогда при всех значениях x квадратный трехчлен положителен. Доказательство этих теорем приводить не надо.
Masalan: tengsizlikni yechish kerak:
D=1+288=289>0
Yechim shunday
X≤-4/3 va x≥3/2
Javob (-∞; -4/3] U
Javoblar teskari tomonga joylashtiriladi va belgilangan vaqt o'tgandan keyin ko'rish mumkin. Ushbu ishni darsning boshida o'qituvchining signaliga binoan bajarish eng qulaydir. (Diqqat, tayyorlaning, boshlaymiz). "To'xtatish" buyrug'i ishni to'xtatadi.
Ish vaqti sinfning tayyorgarlik darajasiga qarab belgilanadi. Tezlikning oshishi talabaning ishining ko'rsatkichidir.
Kvadrat tengsizliklarni yechish qobiliyati talabalar uchun Yagona davlat imtihonini topshirishda ham foydali bo'ladi. B guruhidagi masalalarda kvadrat tengsizliklarni yechish qobiliyatiga oid vazifalar tobora ko'proq uchraydi.
Masalan:
Tosh vertikal ravishda yuqoriga tashlanadi. Tosh tushmaguncha, u joylashgan balandlik formula bilan tavsiflanadi
(h - metrda balandlik, t - otish paytidan boshlab soniyalarda o'tgan vaqt).
Tosh kamida 9 metr balandlikda necha soniya bo'lganini toping.
Uni yechish uchun tengsizlikni yaratish kerak:
5t 2 +18t-9≥0
Javob: 2,4 s
Materialni o'rganish bosqichida 9-sinfda talabalarga Yagona davlat imtihonidan misollar berishni boshlaymiz, biz allaqachon imtihonga tayyorgarlik ko'rmoqdamiz; parametrni o'z ichiga olgan kvadratik tengsizliklarni echish C guruhidagi muammolarni hal qilishga imkon beradi.
9-sinfda mavzuni o‘rganishga norasmiy yondashish “Algebra va analizning boshlanishi” kursida “Hosila qo‘llanilishi”, “Tengsizliklarni intervallar usulida yechish” kabi mavzulardagi materialni o‘zlashtirishni osonlashtiradi. “Logarifmik va ko‘rsatkichli tengsizliklarni yechish” “Irratsional tengsizliklarni yechish”.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Nima bo'ldi "kvadrat tengsizlik"? Savol yo'q!) Agar olsangiz har qanday kvadrat tenglama va undagi belgini almashtiring "=" (teng) har qanday tengsizlik belgisiga ( > ≥ < ≤ ≠ ), kvadrat tengsizlikni olamiz. Masalan:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Xo'sh, tushunasiz ...)
Bu yerda tenglamalar va tengsizliklarni bog‘laganim bejiz emas. Gap shundaki, hal qilishda birinchi qadam har qanday kvadrat tengsizlik - bu tengsizlik tuzilgan tenglamani yeching. Shu sababli, kvadrat tenglamalarni yechishning mumkin emasligi avtomatik ravishda tengsizliklarda to'liq muvaffaqiyatsizlikka olib keladi. Maslahat aniqmi?) Agar biror narsa bo'lsa, har qanday kvadrat tenglamalarni qanday yechish kerakligini ko'rib chiqing. U erda hamma narsa batafsil tasvirlangan. Va bu darsda biz tengsizliklar bilan shug'ullanamiz.
Yechish uchun tayyor tengsizlik quyidagi ko'rinishga ega: chap - kvadratik trinomial ax 2 +bx+c, o'ngda - nol. Tengsizlik belgisi mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin. Birinchi ikkita misol bu erda allaqachon qaror qabul qilishga tayyor. Uchinchi misol hali tayyorlanishi kerak.
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)
Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Kvadrat tenglamalarni qanday yechish kerakligini aniqlash uchun biz kvadrat funktsiya nima ekanligini va u qanday xususiyatlarga ega ekanligini tushunishimiz kerak.
Ehtimol, nima uchun kvadratik funktsiya kerakligi haqida hayron bo'lgandirsiz? Uning grafigini (parabola) qayerga qo'llashimiz mumkin? Ha, siz shunchaki atrofga qarashingiz kerak va buni har kuni sezasiz Kundalik hayot siz u bilan uchrashasiz. Jismoniy tarbiyada tashlangan to'p qanday uchishini payqadingizmi? "Ark bo'ylab"? Eng to'g'ri javob "parabola" bo'ladi! Va favvorada reaktiv qanday traektoriya bo'ylab harakatlanadi? Ha, parabolada ham! O'q yoki qobiq qanday uchadi? To'g'ri, parabolada ham! Shunday qilib, kvadratik funktsiyaning xossalarini bilib, ko'plab amaliy masalalarni hal qilish mumkin bo'ladi. Masalan, eng katta masofani ta'minlash uchun to'pni qaysi burchakka tashlash kerak? Yoki, agar siz uni ma'lum bir burchak ostida uchirsangiz, snaryad qayerga tushadi? va hokazo.
Kvadrat funksiya
Keling, buni aniqlaylik.
Masalan, . Bu erda qanday tenglar bor va? Xo'sh, albatta!
Nima bo'lsa, ya'ni. noldan kammi? Albatta, biz "qayg'uli", ya'ni shoxlar pastga yo'naltiriladi! Keling, grafikni ko'rib chiqaylik.
Ushbu rasmda funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. Chunki, ya'ni. noldan kichik bo'lsa, parabolaning shoxlari pastga yo'naltiriladi. Bundan tashqari, siz ushbu parabolaning shoxlari o'qni kesib o'tishini allaqachon payqagansiz, ya'ni tenglama 2 ta ildizga ega va funktsiya ham ijobiy, ham salbiy qiymatlarni oladi!
Kvadrat funktsiyaning ta'rifini berganimizda boshida va ba'zi sonlar deyilgan edi. Ular nolga teng bo'lishi mumkinmi? Albatta, ular mumkin! Men hatto kattaroq sirni ham ochib beraman (bu sir emas, lekin aytib o'tish kerak): bu raqamlarga (va) umuman cheklovlar qo'yilmaydi!
Keling, agar va nolga teng bo'lsa, grafiklar bilan nima sodir bo'lishini ko'rib chiqaylik.
Ko'rib turganingizdek, ko'rib chiqilayotgan funktsiyalarning (va) grafiklari shunday o'zgardiki, ularning cho'qqilari endi koordinatalar bilan nuqtada, ya'ni o'qlar kesishmasida va bu shoxlarning yo'nalishiga ta'sir qilmaydi. . Shunday qilib, ular parabola grafigining koordinatalar tizimi bo'ylab "harakati" uchun javobgardir, degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Funksiya grafigi bir nuqtada o'qga tegadi. Demak, tenglama bitta ildizga ega. Shunday qilib, funktsiya noldan katta yoki teng qiymatlarni oladi.
Biz funktsiya grafigi bilan bir xil mantiqqa amal qilamiz. U bir nuqtada x o'qiga tegadi. Demak, tenglama bitta ildizga ega. Shunday qilib, funktsiya noldan kichik yoki teng qiymatlarni oladi, ya'ni.
Shunday qilib, ifoda belgisini aniqlash uchun birinchi navbatda tenglamaning ildizlarini topish kerak. Bu biz uchun juda foydali bo'ladi.
Kvadrat tengsizlik
Kvadrat tengsizlik bitta kvadrat funktsiyadan tashkil topgan tengsizlikdir. Shunday qilib, barcha kvadratik tengsizliklar quyidagi to'rt turga qisqartiriladi:
Bunday tengsizliklarni yechishda kvadratik funktsiya qayerda katta, kichik yoki nolga teng ekanligini aniqlash qobiliyatiga muhtoj bo'lamiz. Ya'ni:
- agar bizda shaklning tengsizligi bo'lsa, unda aslida vazifa parabola o'qdan yuqorida joylashgan qiymatlarning raqamli oralig'ini aniqlashga to'g'ri keladi.
- agar bizda shaklning tengsizligi bo'lsa, unda aslida vazifa parabola o'qdan pastda joylashgan x qiymatlarining raqamli oralig'ini aniqlashga to'g'ri keladi.
Agar tengsizliklar qat'iy bo'lmasa, u holda ildizlar (parabolaning o'q bilan kesishish koordinatalari) kerakli son oralig'iga kiritiladi; qat'iy tengsizliklar bo'lsa, ular chiqarib tashlanadi.
Bularning barchasi rasmiylashtirilgan, ammo umidsizlikka tushmang va qo'rqmang! Keling, misollarni ko'rib chiqaylik va hamma narsa joyiga tushadi.
Kvadrat tengsizliklarni yechishda biz berilgan algoritmga amal qilamiz va bizni muqarrar muvaffaqiyat kutmoqda!
| Algoritm | Misol: |
| 1) Tengsizlikka mos keladigan kvadrat tenglamani yozamiz (shunchaki tengsizlik belgisini “=” teng belgisiga o'zgartiramiz). | |
| 2) Bu tenglamaning ildizlarini topamiz. | |
| 3) O'qda ildizlarni belgilang va parabola shoxlarining yo'nalishini sxematik ravishda ko'rsating ("yuqoriga" yoki "pastga") |  |
| 4) Kvadrat funksiya belgisiga mos keladigan o‘qqa belgilarni joylashtiramiz: parabola o‘qdan yuqori bo‘lgan joyga “ ”, pastroqqa esa – “ ” qo‘yamiz. |  |
| 5) Tengsizlik belgisiga qarab “ ” yoki “ ” ga mos keladigan interval(lar)ni yozing. Tengsizlik qat'iy bo'lmasa, ildizlar intervalga kiritiladi, agar u qat'iy bo'lsa, ular kiritilmaydi. |
Tushundim? Keyin davom eting va uni himoya qiling!
Xo'sh, hammasi chiqdimi? Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, echimlarni izlang.
Yechim:
Tengsizlik belgisi “ ” bo‘lgani uchun “” belgisiga mos oraliqlarni yozamiz. Tengsizlik qat'iy emas, shuning uchun ildizlar intervallarga kiritilgan:
Tegishli kvadrat tenglamani yozamiz:
Ushbu kvadrat tenglamaning ildizlarini topamiz:
Olingan ildizlarni eksa bo'yicha sxematik tarzda belgilaymiz va belgilarni tartibga solamiz:
Tengsizlik belgisi “ ” bo‘lgani uchun “” belgisiga mos oraliqlarni yozamiz. Tengsizlik qat'iy, shuning uchun ildizlar intervallarga kiritilmaydi:
Tegishli kvadrat tenglamani yozamiz:
Ushbu kvadrat tenglamaning ildizlarini topamiz:
bu tenglama bitta ildizga ega
Olingan ildizlarni eksa bo'yicha sxematik tarzda belgilaymiz va belgilarni tartibga solamiz:
Tengsizlik belgisi “ ” bo‘lgani uchun “” belgisiga mos oraliqlarni yozamiz. Har qanday funktsiya uchun manfiy bo'lmagan qiymatlarni oladi. Tengsizlik qat'iy bo'lmagani uchun javob bo'ladi.
Tegishli kvadrat tenglamani yozamiz:
Ushbu kvadrat tenglamaning ildizlarini topamiz:
Parabola grafigini sxematik tarzda chizamiz va belgilarini joylashtiramiz:
Tengsizlik belgisi “ ” bo‘lgani uchun “” belgisiga mos oraliqlarni yozamiz. Har qanday funktsiya uchun ijobiy qiymatlar qabul qilinadi, shuning uchun tengsizlikning echimi interval bo'ladi:
Kvadrat tengsizliklar. O'RTACHA DARAJASI
Kvadrat funksiya.
“Kvadrat tengsizliklar” mavzusi haqida gapirishdan oldin kvadrat funksiya nima ekanligini va uning grafigi nima ekanligini eslaylik.
| Kvadrat funktsiya shaklning funktsiyasidir, |
Boshqacha aytganda, bu ikkinchi darajali polinom.
Kvadrat funktsiyaning grafigi parabola (bu nima ekanligini eslaysizmi?). Uning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi, agar "a) funktsiya hamma uchun faqat ijobiy qiymatlarni oladi, ikkinchisida () - faqat salbiy:
Agar () tenglama aynan bitta ildizga ega bo'lsa (masalan, diskriminant nolga teng bo'lsa), bu grafik o'qga tegishini anglatadi:
Keyin, oldingi holatga o'xshab, for hamma uchun manfiy bo'lmagan va for - ijobiy bo'lmagan funktsiya.
Shunday qilib, biz yaqinda kvadratik funktsiya qayerda noldan katta va qayerda kichik ekanligini aniqlashni bilib oldik:
Agar kvadrat tengsizlik qat'iy bo'lmasa, unda ildizlar sonlar oralig'iga kiradi, agar u qat'iy bo'lsa, ular kiritilmaydi.
Agar faqat bitta ildiz bo'lsa, yaxshi, hamma joyda bir xil belgi bo'ladi. Agar ildizlar bo'lmasa, hamma narsa faqat koeffitsientga bog'liq: agar, u holda butun ifoda 0 dan katta bo'ladi va aksincha.
Misollar (o'zingiz qaror qiling):
Javoblar:
Hech qanday ildiz yo'q, shuning uchun chap tomondagi butun ifoda etakchi koeffitsientning belgisini oladi: hamma uchun. Bu tengsizlikning yechimlari yo'qligini anglatadi.
Agar chap tomondagi kvadrat funktsiya "tugallanmagan" bo'lsa, ildizlarni topish osonroq bo'ladi:
Kvadrat tengsizliklar. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA
Kvadrat funksiya shaklning funksiyasi: ,
Kvadrat funksiyaning grafigi paraboladir. Uning shoxlari yuqoriga, agar quyidagi hollarda pastga yo'naltiriladi:
- Agar kvadrat uch a'zo noldan katta bo'lgan sonli intervalni topmoqchi bo'lsangiz, bu parabola o'qdan yuqorida joylashgan son oraliqdir.
- Agar kvadrat uch a'zo noldan kichik bo'lgan sonli intervalni topmoqchi bo'lsangiz, u holda bu parabola o'qdan pastda joylashgan son oraliqdir.
Kvadrat tengsizliklar turlari:
Barcha kvadratik tengsizliklar quyidagi to'rt turga qisqartiriladi:
Yechim algoritmi:
| Algoritm | Misol: |
| 1) Tengsizlikka mos keladigan kvadrat tenglamani yozamiz (shunchaki tengsizlik belgisini tenglik belgisi "" ga o'zgartiramiz). | |
| 2) Bu tenglamaning ildizlarini topamiz. | |
| 3) O'qda ildizlarni belgilang va parabola shoxlarining yo'nalishini sxematik ravishda ko'rsating ("yuqoriga" yoki "pastga") | |
| 4) Kvadrat funksiya belgisiga mos keladigan o‘qga belgilar qo‘yaylik: parabola o‘qdan yuqori bo‘lgan joyda “ ”, pastroqda esa – “ “ qo‘yamiz. | |
| 5) Tengsizlik belgisiga qarab “ ” yoki “ ” ga mos keladigan interval(lar)ni yozing. Tengsizlik qat'iy bo'lmasa, ildizlar intervalga kiritiladi, agar u qat'iy bo'lsa, ular kiritilmaydi. |
Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak siz juda zo'rsiz.
Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘z kuchi bilan biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, unda siz ushbu 5% ga kirasiz!
Endi eng muhimi.
Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani tushundingiz. Va takror aytaman, bu... bu shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.
Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...
Sabab?
Uchun muvaffaqiyatli yakunlash Yagona davlat imtihoni, kollejga byudjetga kirish uchun va eng muhimi, umrbod.
Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...
Qabul qilgan odamlar yaxshi ta'lim, uni olmaganlarga qaraganda ko'proq pul ishlang. Bu statistika.
Lekin bu asosiy narsa emas.
Asosiysi, ular BAXTLI (Bunday tadqiqotlar bor). Ehtimol, ularning oldida juda ko'p ochiqlik borligi sababli ko'proq imkoniyatlar va hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...
Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...
Yagona davlat imtihonida boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?
SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QOLING.
Imtihon paytida sizdan nazariya so'ralmaydi.
Sizga kerak bo'ladi vaqtga qarshi muammolarni hal qilish.
Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki shunchaki vaqtingiz bo'lmaydi.
Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun buni ko'p marta takrorlash kerak.
To'plamni xohlagan joyingizda toping, albatta yechimlar bilan, batafsil tahlil va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!
Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.
Vazifalarimizdan yaxshiroq foydalanish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.
Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:
- Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni oching -
- Darslikning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Darslik sotib oling - 899 rubl
Ha, bizning darsligimizda 99 ta shunday maqola bor va ulardagi barcha vazifalar va yashirin matnlarga kirish darhol ochilishi mumkin.
Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning BUTUN muddati davomida taqdim etiladi.
Yakunida...
Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.
"Tushundim" va "Men hal qila olaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.
Muammolarni toping va ularni hal qiling!
Buni tushunishdan oldin, kvadrat tengsizlikni yechish usullari, keling, qanday tengsizlik kvadrat deb ataladiganini ko'rib chiqaylik.
Eslab qoling!
Tengsizlik deyiladi kvadrat, agar noma'lum "x" ning eng yuqori (eng katta) darajasi ikkiga teng bo'lsa.
Keling, misollar yordamida tengsizlik turini aniqlashni mashq qilaylik.
Kvadrat tengsizlikni yechish usullari
Oldingi darslarda chiziqli tengsizliklarni yechish usullarini ko‘rib chiqdik. Ammo farqli o'laroq chiziqli tengsizliklar kvadrat bo'lganlar butunlay boshqacha tarzda hal qilinadi.
Muhim!
Kvadrat tengsizlikni chiziqli tengsizlik bilan bir xil tarzda yechish mumkin emas!
Kvadrat tengsizlikni yechish uchun maxsus usul qo'llaniladi, u deyiladi interval usuli.
Interval usuli nima
Intervalli usul kvadrat tengsizliklarni yechishning maxsus usuli hisoblanadi. Quyida biz ushbu usuldan qanday foydalanishni va nima uchun uning nomini olganligini tushuntiramiz.
Eslab qoling!
Kvadrat tengsizlikni interval usuli yordamida yechish uchun:
Biz yuqorida tavsiflangan qoidalarni faqat nazariy jihatdan tushunish qiyinligini tushunamiz, shuning uchun biz darhol yuqoridagi algoritm yordamida kvadrat tengsizlikni yechish misolini ko'rib chiqamiz.
Kvadrat tengsizlikni yechishimiz kerak.
Endi, yuqorida aytib o'tilganidek, belgilangan nuqtalar orasidagi intervallarga "arklar" chizamiz.
Intervallar ichiga belgilar qo'yaylik. O'ngdan chapga, "+" dan boshlab, biz belgilarni belgilaymiz.
Bizga faqat bajarish kerak, ya'ni kerakli intervallarni tanlab, javob sifatida yozib qo'yamiz. Keling, tengsizligimizga qaytaylik.
Chunki bizning tengsizligimizda " x 2 + x - 12 ", ya'ni bizga salbiy intervallar kerak. Keling, raqamlar chizig'idagi barcha manfiy joylarni soya qilamiz va ularni javob sifatida yozamiz.
"−3" va "4" raqamlari orasida joylashgan bitta manfiy oraliq bor edi, shuning uchun uni javobda qo'sh tengsizlik sifatida yozamiz.
"−3".
Kvadrat tengsizlikning natijaviy javobini yozamiz.
Javob: −3
Aytgancha, aynan kvadrat tengsizlikni yechishda raqamlar orasidagi intervallarni hisobga olganimiz uchun interval usuli o'z nomini oldi.
Javobni olgandan so'ng, qarorning to'g'riligiga ishonch hosil qilish uchun uni tekshirish mantiqan.
Qabul qilingan javobning soyali qismida joylashgan istalgan raqamni tanlaymiz " −3” va uni asl tengsizlikdagi “x” o‘rniga qo‘ying. Agar biz to'g'ri tengsizlikni olsak, u holda kvadrat tengsizlikning javobini to'g'ri topgan bo'lamiz.
Masalan, intervaldan "0" raqamini oling. Uni “x 2 + x − 12” asl tengsizlikka almashtiramiz.
X 2 + x − 12
0 2 + 0 − 12 −12 (to‘g‘ri)
Yechim maydonidan raqamni almashtirishda biz to'g'ri tengsizlikni oldik, bu javob to'g'ri topilganligini anglatadi.
Interval usuli yordamida yechimning qisqacha qayd etilishi
Kvadrat tengsizlik yechimining qisqartirilgan shakli " x 2 + x − 12 "interval usulida quyidagicha ko'rinadi:
X 2 + x − 12
x 2 + x − 12 = 0
x 1 =
|
x 2 =
|
||||||||||||||||||||
x 1 =
|
x 2 =
 Javob: x ≤ 0 ; x ≥
Kvadrat tengsizlikda "x 2" oldida manfiy koeffitsient mavjud bo'lgan misolni ko'rib chiqing. 12. Dalinger V.A. Umumiy xatolar matematika bo'yicha kirish imtihonlari va ularning oldini olish usullari. - Omsk: Omsk IUU nashriyoti, 1991 yil. 3. Dalinger V.A. Matematika bo'yicha yakuniy va kirish imtihonlarida muvaffaqiyatga erishish uchun hamma narsa. 5-masala. Ko‘rsatkichli, logarifmik tenglamalar, tengsizliklar va ularning sistemalari: Qo'llanma. - Omsk: Omsk davlat pedagogika universiteti nashriyoti, 1996 yil. 4. Dalinger V.A. Matematik tahlilning boshlanishi: Odatdagi xatolar, ularning kelib chiqish sabablari va oldini olish usullari: Darslik. - Omsk: "Nashriyot-pligrafist", 2002 yil. 5. Dalinger V.A., Zubkov A.N. Matematika imtihonini topshirish bo'yicha qo'llanma: abituriyentlarning matematikadan yo'l qo'ygan xatolarini tahlil qilish va ularni oldini olish yo'llari. - Omsk: Omsk davlat pedagogika universiteti nashriyoti, 1991 yil. 6. Kutasov A.D. Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar, tengsizliklar, tizimlar: O‘quv-uslubiy qo‘llanma N7. - Rossiya ochiq universiteti nashriyoti, 1992 yil. Logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni echishda talabalar tomonidan yo'l qo'yilgan xatolar juda xilma-xildir: yechimni noto'g'ri formatlashdan mantiqiy xarakterdagi xatolargacha. Ushbu va boshqa xatolar ushbu maqolada muhokama qilinadi. 1. Eng tipik xatolik shundan iboratki, o‘quvchilar tenglama va tengsizliklarni qo‘shimcha tushuntirishsiz yechishda ekvivalentlikni buzadigan o‘zgartirishlardan foydalanadilar, bu esa ildizlarning yo‘qolishiga va begona otlarning paydo bo‘lishiga olib keladi. Keling, ko'rib chiqaylik aniq misollar Bunday xatolar, lekin birinchi navbatda biz o'quvchi e'tiborini quyidagi fikrga qaratamiz: begona ildizlarni olishdan qo'rqmang, ularni tekshirish orqali olib tashlash mumkin, ildizlarni yo'qotishdan qo'rqing. a) tenglamani yeching: log3 (5 - x) = 3 - log3 (-1 - x). Talabalar ko'pincha bu tenglamani quyidagicha yechishadi. log3(5 - x) = 3 - log3(-1 - x), log3(5 - x) + log3(-1 - x) = 3, log3((5 - x)(-1 - x)) = 3 , (5 - x)(-1 - x) = 33, x2 - 4x - 32 = 0, x1 = -4; x2 = 8. Talabalar ko'pincha ikkala raqamni ham javob sifatida yozadilar. Ammo tekshirish shuni ko'rsatadiki, x = 8 soni dastlabki tenglamaning ildizi emas, chunki x = 8 da tenglamaning chap va o'ng tomonlari ma'nosiz bo'lib qoladi. Tekshirish x = -4 soni berilgan tenglamaning ildizi ekanligini ko'rsatadi. b) tenglamani yeching Asl tenglamani aniqlash sohasi tizim tomonidan belgilanadi Berilgan tenglamani yechish uchun x asosining logarifmiga o'tamiz, olamiz X = 1 da bu oxirgi tenglamaning chap va o'ng tomonlari aniqlanmaganligini ko'ramiz, lekin bu raqam asl tenglamaning ildizidir (siz buni to'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali tekshirishingiz mumkin). Shunday qilib, yangi bazaga rasmiy o'tish ildizning yo'qolishiga olib keldi. Ildizni yo'qotmaslik uchun x = 1, yangi bazaning bittadan boshqa ijobiy son bo'lishi kerakligini ko'rsatishingiz kerak va x = 1 holatini alohida ko'rib chiqing. 2. Xatolarning, toʻgʻrirogʻi, kamchiliklarning butun guruhi oʻquvchilar tenglamalarni aniqlash sohasini topishga yetarlicha eʼtibor bermasliklaridan iborat boʻlsa-da, garchi baʼzi hollarda aynan shu yechimning kaliti boʻlsa ham. Keling, bu borada bir misolni ko'rib chiqaylik. Tenglamani yeching Tengsizliklar tizimini yechish uchun ushbu tenglamaning aniqlanish sohasini topamiz:
Bizda x = 0 bor. Keling, x = 0 soni asl tenglamaning ildizi ekanligini to'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali tekshiramiz. Javob: x = 0. 3. Talabalarning tipik xatosi tushunchalar, formulalar, teoremalarning bayonlari va algoritmlar ta’riflari bo‘yicha zarur bilim darajasiga ega emasligidir. Buni quyidagi misol bilan tasdiqlaylik. Tenglamani yeching
Mana bu tenglamaning xato yechimi: Tekshirish shuni ko'rsatadiki, x = -2 asl tenglamaning ildizi emas. Xulosa shuki berilgan tenglama ildizlari yo'q. Biroq, unday emas. Berilgan tenglamaga x = -4 ni almashtirib, uning ildiz ekanligini tekshirishimiz mumkin. Keling, nima uchun ildiz yo'qolganini tahlil qilaylik. Dastlabki tenglamada x va x + 3 ifodalari bir vaqtning o'zida ikkalasi ham manfiy yoki ikkalasi ham ijobiy bo'lishi mumkin, lekin tenglamaga o'tishda xuddi shu ifodalar faqat ijobiy bo'lishi mumkin. Binobarin, ta'rif sohasining torayishi yuzaga keldi, bu esa ildizlarning yo'qolishiga olib keldi. Ildizni yo'qotmaslik uchun biz quyidagicha harakat qilishimiz mumkin: dastlabki tenglamada biz yig'indining logarifmasidan mahsulotning logarifmiga o'tamiz. Bunday holda, begona ildizlarning paydo bo'lishi mumkin, ammo siz ularni almashtirish orqali qutulishingiz mumkin. 4. Tenglama va tengsizliklarni yechishda yo‘l qo‘yiladigan ko‘plab xatolar o‘quvchilarning ko‘pincha qolip bo‘yicha, ya’ni odatiy usulda masalalar yechishga harakat qilishlari natijasidir. Buni misol bilan ko'rsatamiz. Tengsizlikni yechish Bu tengsizlikni tanish algoritmik usullar yordamida yechishga urinish javobga olib kelmaydi. Bu erda yechim tengsizlikni aniqlash sohasida tengsizlikning chap tomonidagi har bir atamaning qiymatlarini baholashdan iborat bo'lishi kerak. Tengsizlikni aniqlash sohasini topamiz:
(9;10) oraliqdagi barcha x uchun ifoda ijobiy qiymatlarga ega (qiymatlar eksponensial funktsiya har doim ijobiy). (9;10] oraliqdagi barcha x uchun x - 9 ifodasi ijobiy qiymatlarga ega va lg(x - 9) ifodasi manfiy yoki nol qiymatlarga ega, keyin (- (x - 9) lg(x -) ifodasi. 9) musbat yoki nolga teng. Nihoyat, bizda x∈ (9;10] bor. E'tibor bering, o'zgaruvchining bunday qiymatlari uchun tengsizlikning chap tomonidagi har bir a'zo musbat (ikkinchi had nolga teng bo'lishi mumkin), ya'ni ularning yig'indisi har doim bo'ladi. noldan katta.Demak, asl tengsizlikning yechimi bo’shliqdir (9;10). 5. Xatolardan biri tenglamalarning grafik yechimi bilan bog'liq. Tenglamani yeching Bizning tajribamiz shuni ko'rsatadiki, talabalar ushbu tenglamani grafik usulda yechishda (uni boshqa elementar usullar bilan yechish mumkin emasligiga e'tibor bering) faqat bitta ildiz oladi (u y = x to'g'rida yotgan nuqtaning abssissasi), chunki funktsiyalar grafiklari Bular o'zaro teskari funksiyalarning grafiklari. Aslida, dastlabki tenglamaning uchta ildizi bor: ulardan biri birinchi koordinata burchagi y = x bissektrisasida yotgan nuqtaning abssissasi, ikkinchisi va uchinchi ildizi.Aytilganlarning to'g'riligini tekshirishingiz mumkin. berilgan tenglamaga raqamlarni to'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali. E'tibor bering, logax = ax ko'rinishidagi tenglamalar 0 da< a < e-e всегда имеют три действительных корня. Ushbu misol quyidagi xulosani yaxshi ko'rsatadi: grafik yechim f(x) = g(x) tenglamasi, agar ikkala funktsiya har xil-monotonik bo'lsa (ulardan biri ortib borayotgan, ikkinchisi kamayib borayotgan) va monoton funksiyalarda (ikkalasi ham) matematik jihatdan yetarlicha to'g'ri bo'lmagan bo'lsa, "benuqson" bo'ladi. bir vaqtning o'zida kamayadi yoki bir vaqtning o'zida ortib boradi). 6. Bir qator tipik xatolar o‘quvchilarning tenglama va tengsizliklarni funksional yondashuv asosida to‘liq to‘g‘ri yechmasligi bilan bog‘liq. Keling, bunday turdagi odatiy xatolarni ko'rsatamiz. a) xx = x tenglamani yeching. Tenglamaning chap tomonidagi funksiya eksponensialdir va agar shunday bo'lsa, daraja asosida quyidagi cheklovlar qo'yilishi kerak: x > 0, x ≠ 1. Berilgan tenglamaning ikkala tomonining logarifmini olaylik: Bizda x = 1 bor. Logarifmizatsiya asl tenglamani aniqlash sohasining torayishiga olib kelmadi. Ammo shunga qaramay, biz tenglamaning ikkita ildizini yo'qotdik; darhol kuzatish orqali biz x = 1 va x = -1 asl tenglamaning ildizlari ekanligini aniqlaymiz. b) tenglamani yeching Oldingi holatda bo'lgani kabi, bizda eksponensial funktsiya mavjud bo'lib, u x > 0, x ≠ 1 ni bildiradi. Dastlabki tenglamani yechish uchun ikkala tomonning logarifmini istalgan asosga, masalan, 10 ta asosga olamiz: Ikki omilning mahsuloti nolga teng ekanligini hisobga olsak, ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, ikkinchisi mantiqiy bo'lsa, biz ikkita tizimning kombinatsiyasiga egamiz: Birinchi tizim hech qanday yechimga ega emas; ikkinchi sistemadan biz x = 1 ni olamiz. Ilgari kiritilgan cheklovlarni hisobga olgan holda, x = 1 soni dastlabki tenglamaning ildizi bo'lmasligi kerak, garchi to'g'ridan-to'g'ri almashtirish orqali biz bunday emasligiga ishonch hosil qilamiz. 7. Keling, kontseptsiya bilan bog'liq ba'zi xatolarni ko'rib chiqaylik murakkab funktsiya mehribon. Keling, ushbu misol yordamida xatoni ko'rsatamiz. Funktsiyaning monotonlik turini aniqlang. Bizning amaliyotimiz shuni ko'rsatadiki, talabalarning aksariyati bu holatda monotonlikni faqat logarifm asosi bilan aniqlaydilar va 0 dan boshlab.< 0,5 < 1, то отсюда следует ошибочный вывод - функция убывает. Yo'q! Bu funktsiya ortib bormoqda. An'anaviy ravishda, shakl funktsiyasi uchun biz yozishimiz mumkin: O'sish (kamayish) = pasayish; O'sish (O'sish) = O'sish; Kamaytirish (Kamaytirish) = O'sish; Kamaytirish (O'sish) = Kamaytirish; 8. Tenglamani yeching Bu vazifa Yagona davlat imtihonining uchinchi qismidan olingan bo'lib, u ball bilan baholanadi ( maksimal ball - 4). Biz xatolarni o'z ichiga olgan yechimni taqdim etamiz, ya'ni u maksimal ball olmaydi. Biz logarifmlarni 3 asosga keltiramiz. Tenglama shaklni oladi Potentsiyalash orqali biz olamiz x1 = 1, x2 = 3. Keling, begona ildizlarni aniqlash uchun tekshiramiz.
bu x = 1 asl tenglamaning ildizi ekanligini anglatadi. Bu x = 3 asl tenglamaning ildizi emasligini anglatadi. Keling, nima uchun bu yechimda xatolar borligini tushuntirib beraylik. Xatoning mohiyati shundaki, yozuvda ikkita qo'pol xato mavjud. Birinchi xato: yozuvning hech qanday ma'nosi yo'q. Ikkinchi xato: bittasi 0 bo'lgan ikkita omilning mahsuloti nolga teng bo'lishi to'g'ri emas. Agar bitta omil 0 bo'lsa va ikkinchi omil mantiqiy bo'lsa, u nolga teng bo'ladi. Biroq, bu erda ikkinchi omil hech qanday ma'noga ega emas. 9. Keling, yuqorida sharhlangan xatoga qaytaylik, lekin ayni paytda biz yangi asoslar keltiramiz. Logarifmik tenglamalarni yechishda tenglamaga o'ting. Birinchi tenglamaning har bir ildizi ikkinchi tenglamaning ham ildizidir. Umuman olganda, aksincha, to'g'ri emas, shuning uchun tenglamadan tenglamaga o'tayotganda, oxirida asl tenglamaga almashtirish orqali ikkinchisining ildizlarini tekshirish kerak. Ildizlarni tekshirish o'rniga, tenglamani ekvivalent tizim bilan almashtirish tavsiya etiladi. Agar qaror qabul qilganda logarifmik tenglama ifodalar qaerda n - juft son, , , , formulalari bo'yicha o'zgartiriladi, u holda ko'p hollarda bu tenglamani aniqlash sohasini toraytiradi, chunki uning ba'zi ildizlarini yo'qotish mumkin. Shuning uchun ushbu formulalardan quyidagi shaklda foydalanish tavsiya etiladi:
n - juft son. Aksincha, agar logarifmik tenglamani yechishda , , , bu yerda n juft son bo‘lgan ifodalar mos ravishda ifodalarga aylantiriladi. keyin tenglamani aniqlash sohasi kengayishi mumkin, buning natijasida begona ildizlar olinishi mumkin. Shuni inobatga olgan holda, bunday vaziyatlarda o'zgarishlarning ekvivalentligini kuzatish kerak va agar tenglamani aniqlash sohasi kengaytirilsa, natijada olingan ildizlarni tekshirish kerak. 10. Qaror qabul qilishda logarifmik tengsizliklar O'zgartirish yordamida biz har doim yangi o'zgaruvchiga nisbatan yangi tengsizlikni yechamiz va faqat uni yechishda eski o'zgaruvchiga o'tamiz. Maktab o'quvchilari ko'pincha noto'g'ri teskari o'tishni avvalroq, ildizlarni topish bosqichida qilishadi ratsional funktsiya, tengsizlikning chap tomonida olingan. Buni qilmaslik kerak. 11. Tengsizliklarni yechish bilan bog'liq yana bir xatoga misol keltiramiz. Tengsizlikni yeching
Talabalar tez-tez taklif qiladigan noto'g'ri yechim. Dastlabki tengsizlikning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz. Bo'ladi: noto'g'ri ma'lumotni qayerdan olamiz? raqamli tengsizlik, bu bizga xulosa qilish imkonini beradi: berilgan tengsizlikning yechimlari yo'q. Shuningdek o'qing:
|
, 1 = 1,
.
