arctg qiymati 1 3. Arksinus, formula, arksinus funksiya grafigi, dars va taqdimot. Teskari tangens funksiyaning grafigi

gunoh funktsiyalari, cos, tg va ctg har doim arksinus, arkkosin, arktangens va arkkotangens bilan birga keladi. Ulardan biri ikkinchisining natijasidir va juft funksiyalar trigonometrik ifodalar bilan ishlash uchun bir xil darajada muhimdir.

Keling, rasmni ko'rib chiqaylik birlik doirasi, bu qiymatlarni grafik tarzda aks ettiradi trigonometrik funktsiyalar.

Agar OA, arcos OC, arctg DE va arcctg MK yoylarini hisoblasak, ularning barchasi a burchakning qiymatiga teng bo‘ladi. Quyidagi formulalar asosiy trigonometrik funktsiyalar va ularga mos keladigan yoylar o'rtasidagi munosabatni aks ettiradi.

Arksinusning xususiyatlari haqida ko'proq tushunish uchun uning funktsiyasini ko'rib chiqish kerak. Jadval koordinata markazidan o'tuvchi assimetrik egri chiziq shakliga ega.

Arksinusning xossalari:

Grafiklarni solishtirsak gunoh Va arcsin, ikkita trigonometrik funktsiya umumiy printsiplarga ega bo'lishi mumkin.

yoy kosinus

Sonning arkkosi - a burchakning qiymati, kosinusu a ga teng.

Egri chiziq y = arkos x oynalar arksin grafigi x, yagona farqi bilan u OY o'qidagi p/2 nuqtadan o'tadi.

Keling, yoy kosinus funksiyasini batafsil ko'rib chiqaylik:

Funksiya [-1 oraliqda aniqlanadi; 1].
Arccos uchun ODZ - .
Grafik butunlay birinchi va ikkinchi choraklarda joylashgan bo'lib, funktsiyaning o'zi ham juft va toq emas.
Y = 0 da x = 1.
Egri chiziq butun uzunligi bo'ylab kamayadi. Ark kosinusning ba'zi xossalari kosinus funktsiyasi bilan mos keladi.

Ark kosinusning ba'zi xossalari kosinus funktsiyasi bilan mos keladi.

Ehtimol, maktab o'quvchilari "arklar" ni bunday "batafsil" o'rganishni keraksiz deb bilishadi. Biroq, aks holda, ba'zi bir asosiy tipik Yagona davlat imtihon topshiriqlari talabalarni chalkashtirib yuborishi mumkin.

1-mashq. Rasmda ko'rsatilgan funktsiyalarni ko'rsating.

Javob: guruch. 1 – 4, 2 – 1-rasm.

Ushbu misolda urg'u kichik narsalarga qaratilgan. Odatda, o'quvchilar grafiklarni qurish va funktsiyalarning ko'rinishiga juda e'tibor bermaydilar. Haqiqatan ham, agar u har doim hisoblangan nuqtalar yordamida chizilishi mumkin bo'lsa, nega egri chiziq turini eslab qolish kerak. Shuni unutmangki, sinov sharoitida oddiy vazifani chizish uchun sarflangan vaqt murakkabroq vazifalarni hal qilish uchun talab qilinadi.

Arktangent

Arctg a raqamlari a burchakning qiymati, uning tangensi a ga teng.

Arktangens grafigini ko'rib chiqsak, quyidagi xususiyatlarni ajratib ko'rsatishimiz mumkin:

Grafik cheksiz va (- ∞; + ∞) oraliqda aniqlangan.
Arktangent g'alati funktsiya, shuning uchun arktan (- x) = - arktan x.
Y = 0 da x = 0.
Egri chiziq butun ta'rif mintaqasi bo'ylab ortadi.

Mana qisqacha qiyosiy tahlil tg x va arctg x jadval shaklida.

Arkotangent

Sonning Arcctg - (0; p) oraliqdan a qiymatini shunday qabul qiladiki, uning kotangenti a ga teng.

Yoy kotangent funksiyasining xossalari:

Funktsiyani aniqlash oralig'i cheksizlikdir.
Mintaqa qabul qilinadigan qiymatlar– interval (0; p).
F(x) juft ham, toq ham emas.
Butun uzunligi davomida funksiya grafigi kamayadi.

ctg x va arctg x ni solishtirish juda oddiy, siz faqat ikkita chizma chizishingiz va egri chiziqlarning harakatini tasvirlashingiz kerak.

Vazifa 2. Funktsiyaning grafigi va yozuv shaklini moslang.

Agar mantiqiy fikr yuritadigan bo'lsak, grafiklardan ikkala funktsiyaning ortib borayotgani aniq. Shuning uchun ikkala raqam ham ma'lum bir arktan funktsiyasini aks ettiradi. Arktangentning xossalaridan ma'lumki, x = 0 da y=0,

Javob: guruch. 1 – 1, rasm. 2 – 4.

Arcsin, arcos, arctg va arcctg trigonometrik identifikatsiyalari

Ilgari biz arklar va trigonometriyaning asosiy funktsiyalari o'rtasidagi bog'liqlikni allaqachon aniqladik. Bu qaramlikni, masalan, argumentning sinusini uning arksinusu, arkkosinasi yoki aksincha ifodalash imkonini beruvchi bir qancha formulalar bilan ifodalash mumkin. Bunday identifikatsiyalarni bilish aniq misollarni echishda foydali bo'lishi mumkin.

Arctg va arcctg uchun munosabatlar ham mavjud:

Yana bir foydali formulalar juftligi arcsin va arcos yig'indisining qiymatini, shuningdek, bir xil burchakning arcctg va arcctg qiymatini belgilaydi.

Muammoni hal qilishga misollar

Trigonometriya vazifalarini to'rt guruhga bo'lish mumkin: hisoblash raqamli qiymat maxsus ifoda, ushbu funktsiyaning grafigini tuzing, uning aniqlanish sohasini yoki ODZni toping va misolni yechish uchun analitik o'zgarishlarni bajaring.

Birinchi turdagi muammolarni hal qilishda siz quyidagi harakatlar rejasiga amal qilishingiz kerak:

Funksiya grafiklari bilan ishlashda asosiysi ularning xossalarini bilish va ko'rinish qiyshiq. Yechimlar uchun trigonometrik tenglamalar va tengsizliklar, identifikatsiya jadvallari kerak. Talaba qanchalik ko'p formulalarni eslab qolsa, topshiriqning javobini topish osonroq bo'ladi.

Aytaylik, Yagona davlat imtihonida siz quyidagi tenglamaga javob topishingiz kerak:

Agar ifodani to'g'ri o'zgartirsak va olib kelsak to'g'ri tur, keyin uni hal qilish juda oddiy va tez. Birinchidan, arcsin x ni tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz.

Agar formulani eslasangiz arksin (sin a) = a, keyin ikkita tenglama tizimini echish uchun javob izlashni qisqartirishimiz mumkin:

X modelidagi cheklov yana arksin xossalaridan kelib chiqdi: x uchun ODZ [-1; 1]. Agar ≠0 bo'lsa, tizimning bir qismi kvadrat tenglama x1 = 1 va x2 = - 1/a ildizlari bilan. a = 0 bo'lganda, x 1 ga teng bo'ladi.

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Arksinus. Yoylar jadvali. y=arksin(x) formulasi"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

1C dan 10-sinf uchun Integral onlayn-do'konidagi qo'llanmalar va simulyatorlar
"1C: Matematik konstruktor 6.1" dasturiy muhiti
Biz geometriyadan muammolarni hal qilamiz. Kosmosda qurish uchun interaktiv vazifalar

Biz nimani o'rganamiz:
1. Arksinus nima?
2. Arksinus belgisi.
3. Bir oz tarix.
4. Ta'rif.

6. Misollar.

Arksin nima?

Bolalar, biz allaqachon kosinus uchun tenglamalarni qanday echishni o'rgandik, endi sinus uchun o'xshash tenglamalarni qanday echishni o'rganamiz. sin(x)= √3/2 ni hisoblang. Bu tenglamani yechish uchun y= √3/2 to‘g‘ri chiziq qurish va uning qaysi nuqtalarda kesishishini ko‘rish kerak. raqam doirasi. Ko'rinib turibdiki, to'g'ri chiziq doirani ikkita F va G nuqtada kesib o'tadi. Bu nuqtalar tenglamamizning yechimi bo'ladi. F ni x1, G ni x2 deb qayta belgilaymiz. Biz bu tenglamaning yechimini topdik va quyidagini oldik: x1= p/3 + 2pk,
va x2= 2p/3 + 2pk.

Qaror qiling berilgan tenglama juda oddiy, lekin masalan, tenglamani qanday hal qilish kerak
sin(x)= 5/6. Shubhasiz, bu tenglama ham ikkita ildizga ega bo'ladi, lekin qanday qiymatlar son doirasidagi yechimga mos keladi? Keling, sin(x)= 5/6 tenglamamizni batafsil ko'rib chiqaylik.
Tenglamamizning yechimi ikkita nuqta bo'ladi: F= x1 + 2pk va G= x2 + 2pk,
bu yerda x1 - AF yoyi uzunligi, x2 - AG yoyi uzunligi.
Eslatma: x2= p - x1, chunki AF= AC - FC, lekin FC= AG, AF= AC - AG= p - x1.
Lekin bu nuqtalar nima?

Xuddi shunday vaziyatga duch kelgan matematiklar yangi belgi - arcsin(x)ni o'ylab topishdi. Arksinus sifatida o'qing.

Shunda tenglamamizning yechimi quyidagicha yoziladi: x1= arcsin(5/6), x2= p -arcsin(5/6).

Va yechim umumiy ko'rinish: x= arcsin(5/6) + 2pk va x= p - arcsin(5/6) + 2pk.
Arksinus - burchak (yoy uzunligi AF, AG) sinus, u 5/6 ga teng.

Arksinning bir oz tarixi

Bizning ramzimizning kelib chiqish tarixi arkkos bilan bir xil. Arksin belgisi birinchi marta matematik Sherfer va mashhur fransuz olimi J.L.ning asarlarida uchraydi. Lagrange. Biroz oldinroq, arksinus tushunchasi D. Bernuli tomonidan ko'rib chiqilgan, garchi u uni turli belgilar bilan yozgan bo'lsa ham.

Ushbu ramzlar faqat o'sha yili umumiy qabul qilingan XVIII oxiri asrlar. "Arc" prefiksi lotincha "arcus" (kamon, yoy) dan keladi. Bu tushunchaning ma'nosiga juda mos keladi: arcsin x - sinusi x ga teng bo'lgan burchak (yoki yoy deb aytish mumkin).

Arksinusning ta'rifi

Agar |a|≤ 1 boʻlsa, arcsin(a) [- p/2” segmentidagi son; p/2], uning sinusi a ga teng.

Agar |a|≤ 1 bo'lsa, sin(x)= a tenglama yechimga ega: x= arcsin(a) + 2pk va
x= p - arcsin(a) + 2pk

Keling, qayta yozamiz:

x= p - arcsin(a) + 2pk = -arksin(a) + p(1 + 2k).

Bolalar, bizning ikkita yechimimizga diqqat bilan qarang. Nima deb o'ylaysiz: ularni umumiy formuladan foydalanib yozish mumkinmi? E'tibor bering, agar arksinus oldida ortiqcha belgisi bo'lsa, u holda p ga ko'paytiriladi juft son 2pk, agar belgi minus bo'lsa, ko'paytiruvchi toq 2k+1 bo'ladi.
Buni hisobga olib, yozamiz umumiy formula sin(x)=a tenglamasining yechimlari:

Yechimlarni soddaroq tarzda yozish afzalroq bo'lgan uchta holat mavjud:

sin(x)=0, keyin x= pk,

sin(x)=1, keyin x= p/2 + 2pk,

sin(x)=-1, keyin x= -p/2 + 2pk.

Har qanday -1 ≤ a ≤ 1 uchun tenglik bajariladi: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Keling, kosinus qiymatlari jadvalini teskari yozamiz va arksinus uchun jadval olamiz.

Misollar

1. Hisoblang: arcsin(√3/2).
Yechish: arcsin(√3/2)= x, sin(x)= √3/2 bo‘lsin. Ta'rifi bo'yicha: - p/2 ≤x≤ p/2. Jadvaldagi sinus qiymatlarini ko'rib chiqaylik: x= p/3, chunki sin(p/3)= √3/2 va –p/2 ≤ p/3 ≤ p/2.
Javob: arcsin(√3/2)= p/3.

2. Hisoblang: arcsin(-1/2).
Yechish: arcsin(-1/2)= x, sin(x)= -1/2 bo‘lsin. Ta'rifi bo'yicha: - p/2 ≤x≤ p/2. Jadvaldagi sinus qiymatlarini ko'rib chiqaylik: x= -p/6, chunki sin(-p/6)= -1/2 va -p/2 ≤-p/6≤ p/2.
Javob: arcsin(-1/2)=-p/6.

3. Hisoblang: arcsin(0).
Yechish: arcsin(0)= x, sin(x)= 0 bo‘lsin. Ta’rifi bo‘yicha: - p/2 ≤x≤ p/2. Jadvaldagi sinusning qiymatlarini ko'rib chiqaylik: bu x= 0 degan ma'noni anglatadi, chunki sin(0)= 0 va - p/2 ≤ 0 ≤ p/2. Javob: arcsin(0)=0.

4. Tenglamani yeching: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2pk va x= p - arcsin(-√2/2) + 2pk.
Jadvaldagi qiymatni ko'rib chiqamiz: arcsin (-√2/2)= -p/4.
Javob: x= -p/4 + 2pk va x= 5p/4 + 2pk.

5. Tenglamani yeching: sin(x) = 0.
Yechish: Ta’rifdan foydalanamiz, keyin yechim quyidagi ko‘rinishda yoziladi:
x= arcsin(0) + 2pk va x= p - arcsin(0) + 2pk. Jadvaldagi qiymatni ko'rib chiqamiz: arcsin(0)= 0.
Javob: x= 2pk va x= p + 2pk

6. Tenglamani yeching: sin(x) = 3/5.
Yechish: Ta’rifdan foydalanamiz, keyin yechim quyidagi ko‘rinishda yoziladi:
x= arcsin(3/5) + 2pk va x= p - arcsin(3/5) + 2pk.
Javob: x= (-1) n - arcsin(3/5) + pk.

7. sin(x) tengsizlikni yeching Yechish: Sinus sonlar aylanasidagi nuqtaning ordinatasi. Buning ma'nosi: ordinatasi 0,7 dan kichik bo'lgan nuqtalarni topishimiz kerak. y=0,7 to‘g‘ri chiziq chizamiz. U raqamlar doirasini ikki nuqtada kesib o'tadi. Tengsizlik y U holda tengsizlikning yechimi quyidagicha bo'ladi: -p – arcsin(0,7) + 2p

Mustaqil hal qilish uchun Arksin muammolari

1) Hisoblang: a) arksin(√2/2), b) arksin(1/2), c) arksin(1), d) arksin(-0,8).
2) Tenglamani yeching: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Tengsizlikni yeching: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.

Arktangens (y = arktan x) tangensning teskari funksiyasi (x = tg y
tg(arctg x) = x
arktan(tg x) = x

Arktangent quyidagicha ifodalanadi:
.

Arktangens funksiya grafigi

y = funksiyaning grafigi arktan x

Agar abscissa va ordinata o'qlari almashtirilsa, tangens grafigidan arktangens grafigi olinadi. Noaniqlikni bartaraf qilish uchun qiymatlar to'plami funktsiya monoton bo'lgan interval bilan cheklangan. Bu ta'rif arktangentning asosiy qiymati deb ataladi.

Arkkotangent, arkktg

Yoy tangensi (y = arcctg x) kotangentning teskari funksiyasi (x = ctg y). U ta'rif sohasi va ma'nolar to'plamiga ega.
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Arkkotangens quyidagicha belgilanadi:
.

Teskari tangens funksiyaning grafigi

y = funksiyaning grafigi arcctg x

Yoy kotangens grafigi kotangens grafigidan abscissa va ordinata o'qlari almashtirilsa olinadi. Noaniqlikni bartaraf qilish uchun qiymatlar diapazoni funktsiya monotonik bo'lgan interval bilan cheklangan. Ushbu ta'rif yoy kotangentining asosiy qiymati deb ataladi.

Paritet

Arktangent funktsiyasi g'alati:
arktan(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arktan x

Teskari tangens funksiya juft yoki toq emas:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(p-arcctg x)) = p - arcctg x ≠ ± arcctg x.

Xususiyatlari - ekstremal, o'sish, pasayish

Arktangens va arkkotangens funksiyalar aniqlanish sohasida, ya'ni barcha x uchun uzluksizdir. (uzluksizlik isbotiga qarang). Arktangent va arkkotangensning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan.

	y = arktan x	y = arcctg x
Qamrov va davomiylik	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Ko'p ma'nolar
Ko'tarilish, pasayish	monoton ravishda ortadi	monoton ravishda kamayadi
Yuqori, past	Yo'q	Yo'q
Nollar, y = 0	x = 0	Yo'q
Ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalar, x = 0	y = 0	y = p/ 2
	-	π
		0

Arktangentlar va arkkotangentlar jadvali

Ushbu jadvalda argumentning ma'lum qiymatlari uchun arktangentlar va arkkotangentlarning daraja va radian qiymatlari keltirilgan.

x	arktan x		arcctg x
	do'l	xursand.	do'l	xursand.
- ∞	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
- 1	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Formulalar

Yig'indi va ayirma formulalari

da

da

da

Logarifmlar orqali ifodalash, kompleks sonlar

,
.

Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar

Hosilalar

Qarang: Arktangens va arkkotangens hosilalarining hosilasi > > >

Yuqori tartibli hosilalar:
Mayli. U holda arktangensning n-tartibli hosilasi quyidagi usullardan biri bilan ifodalanishi mumkin:
;
.
Belgini anglatadi xayoliy qism quyidagi ifoda.

Qarang: Arktangens va arkkotangensning yuqori tartibli hosilalari > > >
U erda birinchi besh tartibning hosilalari uchun formulalar ham berilgan.

Yoy tangensi uchun ham xuddi shunday. Mayli. Keyin
;
.

Integrallar

Biz x = almashtirishni qilamiz tg t va qismlar bo'yicha integratsiya:
;
;
;

Yoy tangensini yoy tangensi orqali ifodalaymiz:
.

Quvvat seriyasining kengayishi

Qachon |x| ≤ 1 quyidagi parchalanish sodir bo'ladi:
;
.

Teskari funksiyalar

Arktangent va arkkotangensning teskarilari mos ravishda tangens va kotangensdir.

Quyidagi formulalar butun ta'rif sohasi uchun amal qiladi:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .

Quyidagi formulalar faqat arktangens va arkkotangens qiymatlari to'plamida amal qiladi:
arktan(tg x) = x da
arcctg(ctg x) = x da .

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

Ilgari dasturda talabalar trigonometrik tenglamalarni yechish haqida tushunchaga ega bo‘ldilar, yoy kosinusu va yoy sinusi tushunchalari, yechimlar misollari bilan tanishdilar. cos tenglamalari t = a va sin t = a. Ushbu video darsimizda tg x = a va ctg x = a tenglamalarini yechishni ko'rib chiqamiz.

Ushbu mavzuni o'rganishni boshlash uchun tg x = 3 va tg x = - 3 tenglamalarini ko'rib chiqamiz. Agar tg x = 3 tenglamani grafik yordamida yechisak, y = tg x va funksiyalar grafiklarining kesishishini ko'ramiz. y = 3 ga ega cheksiz to'plam yechimlar, bu yerda x = x 1 + p k. X 1 qiymati y = tan x va y = 3 funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtasining x koordinatasidir. Muallif arktangens tushunchasini kiritadi: arktan 3 - tanligi 3 ga teng bo'lgan son va bu son. -p/2 dan p/2 gacha bo'lgan intervalga tegishli. Arktangens tushunchasidan foydalanib, tan x = 3 tenglamasining yechimini x = arktan 3 + pk shaklida yozish mumkin.

Analogiya bo‘yicha tg x = - 3 tenglama yechilgan.y = tg x va y = - 3 funksiyalarning tuzilgan grafiklaridan ko‘rinib turibdiki, grafiklarning kesishish nuqtalari, demak, tenglamalar yechimlari shunday bo‘ladi. x = x 2 + p k bo'lsin. Arktangens yordamida yechimni x = arktan (- 3) + p k shaklida yozish mumkin. Keyingi rasmda arctg (- 3) = - arctg 3 ekanligini ko'ramiz.

Arktangensning umumiy ta'rifi quyidagicha: a -p/2 dan p/2 gacha bo'lgan oraliqdagi son, tangensi a ga teng. U holda tan x = a tenglamaning yechimi x = arktan a + p k bo'ladi.

Muallif 1-misol keltiradi. Arktan ifodasining yechimini toping.. Belgilanishini kiritamiz: sonning arktangensi x ga teng, u holda tg x berilgan songa teng bo'ladi, bunda x -p dan kesmaga tegishli. /2 dan p/2 gacha. Oldingi mavzulardagi misollarda bo'lgani kabi, biz qiymatlar jadvalidan foydalanamiz. Ushbu jadvalga ko'ra, tangens berilgan raqam x = p/3 qiymatiga mos keladi. Tenglamaning yechimini yozamiz: berilgan sonning arktangensi p/3 ga teng, p/3 ham -p/2 dan p/2 gacha bo‘lgan oraliqga tegishli.

2-misol - arttangentni hisoblash salbiy raqam. arctg (- a) = - arctg a tengligidan foydalanib, x ning qiymatini kiritamiz. 2-misolga o'xshab, -p/2 dan p/2 gacha bo'lgan segmentga tegishli bo'lgan x qiymatini yozamiz. Qiymatlar jadvalidan biz x = p/3 ekanligini topamiz, shuning uchun -- tg x = - p/3. Tenglamaning javobi - p/3.

3-misolni ko'rib chiqamiz. tg x = 1 tenglamani yeching. X = arctan 1 + p k ekanligini yozing. Jadvalda tg 1 qiymati x = p/4 qiymatiga mos keladi, shuning uchun arctg 1 = p/4. Keling, bu qiymatni dastlabki x formulasiga almashtiramiz va javobni x = p/4 + p k deb yozamiz.

4-misol: tan x = - ni hisoblang 4.1. Bu holda x = arktan (- 4.1) + p k. Chunki Bu holda arctg qiymatini topish mumkin emas, javob x = arctg (- 4.1) + pk kabi ko'rinadi.

5-misolda tg x > 1 tengsizlikning yechimi ko’rib chiqiladi.Uni yechish uchun y = tan x va y = 1 funksiyalarning grafiklarini tuzamiz. Rasmda ko’rinib turibdiki, bu grafiklar x = nuqtalarda kesishadi. p/4 + pk. Chunki bu holda tg x > 1, grafikda y = 1 grafigidan yuqorida joylashgan tangentoid mintaqani ajratib ko'rsatamiz, bu erda x p/4 dan p/2 gacha bo'lgan intervalga tegishli. Javobni p/4 + pk deb yozamiz< x < π/2 + πk.

Keyinchalik ko'rib chiqamiz ctg tenglamasi x = a. Rasmda ko'p kesishish nuqtalariga ega bo'lgan y = kot x, y = a, y = - a funktsiyalarining grafiklari ko'rsatilgan. Yechimlarni x = x 1 + pk shaklida yozish mumkin, bu erda x 1 = arcctg a va x = x 2 + pk, bu erda x 2 = arcctg (- a). X 2 = p - x 1 ekanligi qayd etilgan. Bu arcctg (- a) = p - arcctg a tengligini bildiradi. Quyida yoy kotangentining ta'rifi keltirilgan: a - yoy kotangensi 0 dan p gacha bo'lgan oraliqdagi son, kotangensi a ga teng. stg x = a tenglamaning yechimi quyidagicha yoziladi: x = arcctg a + pk.

Videodars yakunida yana bir muhim xulosa chiqariladi - ctg x = a ifodasini tg x = 1/a shaklida yozish mumkin, agar a noga teng bo'lmasa.

MATNNI dekodlash:

tg x = 3 va tg x = - 3 tenglamalarni yechishni ko'rib chiqamiz. Birinchi tenglamani grafik usulda yechish, y = tg x va y = 3 funksiyalarning grafiklari cheksiz ko'p kesishish nuqtalariga ega ekanligini ko'ramiz, ularning abssissalarini yozamiz. shaklida

x = x 1 + pk, bu erda x 1 - y = 3 to'g'ri chiziqning tangentoidning asosiy novdasi bilan kesishish nuqtasining abtsissasi (1-rasm), buning uchun belgilash ixtiro qilingan.

arktan 3 (uchning yoy tangensi).

Arctg 3 ni qanday tushunish mumkin?

Bu tangensi 3 ga teng bo'lgan va bu raqam (- ;) oralig'iga tegishli bo'lgan sondir. U holda tg x = 3 tenglamaning barcha ildizlarini x = arctan 3+pk formulasi bilan yozish mumkin.

Xuddi shunday, tg x = - 3 tenglamaning yechimini x = x 2 + pk ko'rinishda yozish mumkin, bu erda x 2 - y = - 3 to'g'ri chiziqning asosiy tarmog'i bilan kesishgan nuqtasining abssissasi. tangentoid (1-rasm), buning uchun belgi arctg(- 3) (yoy tangensi minus uch). U holda tenglamaning barcha ildizlarini quyidagi formula bilan yozish mumkin: x = arctan(-3)+ pk. Rasmda arctg(- 3)= - arctg 3 ekanligini ko'rsatadi.

Arktangentning ta'rifini tuzamiz. Arktangens a - tangensi a ga teng bo'lgan (-;) oraliqdagi son.

Tenglik tez-tez ishlatiladi: arctg(-a) = -arctg a, bu har qanday a uchun amal qiladi.

Arktangensning ta'rifini bilib, tenglamaning yechimi haqida umumiy xulosa chiqarishimiz mumkin

tg x= a: tg x = a tenglamasi x = arctan a + pk yechimga ega.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

O'RNAK 1. Arktanni hisoblang.

Yechim. arctg = x, keyin tgx = va xs (- ;) bo'lsin. Qiymatlar jadvalini ko'rsating, shuning uchun x =, chunki tg = va s (-;).

Shunday qilib, arktan =.

O'RNAK 2. Arktan (-) ni hisoblang.

Yechim. arctg(- a) = - arctg a tengligidan foydalanib, yozamiz:

arctg(-) = - arctg . - arctg = x, keyin - tgx = va xs (- ;) bo'lsin. Demak, x =, chunki tg = va s (- ;). Qiymatlar jadvalini ko'rsatish

Bu degani - arctg=- tgx= - .

O'RNAK 3. tgx = 1 tenglamani yeching.

1. Eritma formulasini yozing: x = arctan 1 + pk.

2. Arktangentning qiymatini toping

chunki tg = . Qiymatlar jadvalini ko'rsatish

Shunday qilib, arktan1=.

3. Topilgan qiymatni yechim formulasiga kiriting:

O'RNAK 4. tgx = - 4.1 tenglamani yeching (tangens x minus to'rt nuqtaga teng).

Yechim. Yechim formulasini yozamiz: x = arktan (- 4.1) + pk.

Arktangentning qiymatini hisoblab bo'lmaydi, shuning uchun biz tenglamaning yechimini olingan ko'rinishda qoldiramiz.

MISOL 5. tgx 1 tengsizlikni yeching.

Yechim. Biz buni grafik tarzda hal qilamiz.

Keling, tangensni tuzamiz

y = tgx va to'g'ri chiziq y = 1 (2-rasm). Ular x = + p k nuqtalarda kesishadi.

2. Tangentoidning bosh novdasi y = 1 to'g'ri chiziq ustida joylashgan x o'qi oralig'ini tanlaymiz, chunki tgx 1 shart bo'yicha. Bu interval (;).

3. Funksiyaning davriyligidan foydalanamiz.

2-xususiyat. y=tg x - davriy funktsiya asosiy davr bilan p.

y = tgx funksiyaning davriyligini hisobga olib, javobni yozamiz:

(;). Javobni ikki tomonlama tengsizlik sifatida yozish mumkin:

ctg x = a tenglamasiga o'tamiz. Musbat va manfiy a tenglama yechimining grafik tasvirini keltiramiz (3-rasm).

y = ctg x va y = a funksiyalarning grafiklari va shuningdek

y=ctg x va y=-a

cheksiz ko'p umumiy nuqtalarga ega, ularning abscissalari quyidagicha ko'rinadi:

x = x 1 +, bu erda x 1 - y = a to'g'ri chiziqning tangentoidning asosiy tarmog'i bilan kesishgan nuqtasining abssissasi va

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, bu erda x 2 - chiziqning kesishish nuqtasining abtsissasi

y = - a tangentoidning bosh shoxi bilan va x 2 = arcstg (- a).

X 2 = p - x 1 ekanligini unutmang. Shunday qilib, keling, muhim tenglikni yozamiz:

arcstg (-a) = p - arcstg a.

Ta’rifni shakllantiramiz: yoy kotangensi a kotangensi a ga teng bo‘lgan (0;p) oraliqdagi son.

ctg x = a tenglamaning yechimi quyidagicha yoziladi: x = arcctg a + .

E'tibor bering, ctg x = a tenglamani ko'rinishga o'zgartirish mumkin

tg x =, a = 0 hollari bundan mustasno.

Arksinus (y = arcsin x) sinusning teskari funksiyasi (x = gunohkor -1 ≤ x ≤ 1 va qiymatlar to'plami -p /2 ≤ y ≤ p/2.
sin(arksin x) = x
arcsin(sin x) = x

Arksin ba'zan quyidagicha ifodalanadi:
.

Arksinus funksiyasining grafigi

y = funksiyaning grafigi arcsin x

Agar abscissa va ordinata o'qlari almashtirilsa, arksinus grafigi sinus grafigidan olinadi. Noaniqlikni bartaraf qilish uchun qiymatlar diapazoni funktsiya monotonik bo'lgan interval bilan cheklangan. Bu ta'rif arksinusning asosiy qiymati deb ataladi.

Arkkosin, arkkos

Ark kosinus (y = arccos x) kosinusning teskari funksiyasi (x = cos y). Uning doirasi bor -1 ≤ x ≤ 1 va ko'p ma'nolar 0 ≤ y ≤ p.
cos(arccos x) = x
arccos (cos x) = x

Arkkosin ba'zan quyidagicha ifodalanadi:
.

Yoy kosinus funksiyasining grafigi

y = funksiyaning grafigi arccos x

Agar abscissa va ordinata o'qlari almashtirilsa, yoy kosinus grafigi kosinus grafigidan olinadi. Noaniqlikni bartaraf qilish uchun qiymatlar diapazoni funktsiya monotonik bo'lgan interval bilan cheklangan. Bu ta'rif yoy kosinusining asosiy qiymati deb ataladi.

Paritet

Arcsine funktsiyasi g'alati:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Ark kosinus funktsiyasi juft yoki toq emas:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(p-arccos x)) = p - arccos x ≠ ± arccos x

Xususiyatlari - ekstremal, o'sish, pasayish

Arksinus va arkkosin funktsiyalari o'z ta'rif sohasida uzluksizdir (uzluksizlik isbotiga qarang). Arksin va arkkosinning asosiy xossalari jadvalda keltirilgan.

	y = arcsin x	y = arccos x
Qamrov va davomiylik	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Qiymatlar diapazoni
Ko'tarilish, pasayish	monoton ravishda ortadi	monoton ravishda kamayadi
Yuqori darajalar
Minimallar
Nollar, y = 0	x = 0	x = 1
Ordinata o'qi bilan kesishgan nuqtalar, x = 0	y = 0	y = p/ 2

Arksinuslar va arkkosinlar jadvali

Ushbu jadvalda argumentning ma'lum qiymatlari uchun arksinuslar va arkkosinlar, darajalar va radyanlar qiymatlari keltirilgan.

x	arcsin x		arccos x
	do'l	xursand.	do'l	xursand.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formulalar

Yig'indi va ayirma formulalari

da yoki

da va

da va

da

da

Logarifmlar orqali ifodalash, kompleks sonlar

Giperbolik funksiyalar orqali ifodalar

Hosilalar

;
.
Qarang: Arksin va arkkosin hosilalarining hosilasi > > >

Yuqori tartibli hosilalar:
,
qayerda darajali polinom. U quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
;
;
.

Arksinus va arkkosinning yuqori tartibli hosilalarining hosilasi > > > ga qarang