Ishning o'zaro teoremasining bayoni (Betti teoremasi), 1872 yilda E. Betti tomonidan isbotlangan: birinchi holat kuchlarining ikkinchi holat kuchlari tomonidan yuzaga keladigan mos keladigan siljishlar bo'yicha mumkin bo'lgan ishi ikkinchi holat kuchlarining tegishli siljishlar bo'yicha mumkin bo'lgan ishiga teng. birinchi davlatning kuchlari.
24. O'zaro siljishlar to'g'risidagi teorema (Maksvell)
|
|
|
Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin. Ko'chishlarning o'zaro bog'liqligi haqidagi teorema birlik kuchdan siljish uchun qabul qilingan belgini hisobga olgan holda u quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: .Siyohlanishlarning o'zaroligi haqidagi teorema Maksvell tomonidan isbotlangan. Ko'chishlarning o'zaro bog'liqligi haqidagi teoremani shakllantirish: ikkinchi kuchning ta'siridan kelib chiqqan birinchi birlik kuchning qo'llanilishi nuqtasining siljishi birinchi birlik kuchning ta'siridan kelib chiqqan ikkinchi birlik kuchning qo'llanilishi nuqtasining siljishiga teng.
25. Reaksiyalarning o'zaro bog'liqligi haqidagi Reley teoremasi. 
26. Gvozdevning siljishlar va reaksiyalarning o'zaro bog'liqligi haqidagi teoremasi.
27. Yuk ta’sirida siljishlarni aniqlash. Mohr formulasi.
O'latga qarshi formula
28. Harorat ta'siridan va siljishlardan kelib chiqadigan siljishlarni aniqlash.
Harorat effekti.
Qoralama
29. Vereshchagin hukmronligi. Trapezoidal ko'paytirish formulasi, Simpson formulasi.
Trapetsiyani ko'paytirish formulasi.
Egri trapezoidlarni ko'paytirish formulasi
31. Statik noaniq sistemalarning xossalari.
Kuchlar va reaksiyalarni aniqlash uchun statika tenglamalari yetarli emas, deformatsiya va siljishning uzluksizligi tenglamalaridan foydalanish kerak.
Kuchlar va reaktsiyalar alohida elementlarning qattiqlik nisbatiga bog'liq.
Haroratning o'zgarishi va qo'llab-quvvatlovchi joylashuv ichki kuchlarning paydo bo'lishiga olib keladi.
Yuk bo'lmasa, o'z-o'zidan kuchlanish holati mumkin.
32. Statik noaniqlik darajasini aniqlash, kuchlar usulining asosiy tizimini tanlash tamoyillari.
Statik noaniq tizimlar uchun W<0
Qo'shimcha ulanishlar soni quyidagi formula bo'yicha aniqlanadi:
L = -V+ 3K,
Bu erda W - strukturaning deformatsiyasini hisobga olmagan holda tekislikdagi strukturaning o'rnini belgilovchi mustaqil geometrik parametrlar soni (erkinlik darajalari soni), K - yopiq konturlar soni (bu erda bo'lgan konturlar). menteşe yo'q).
V= 3D – 2SH – Co
Chebyshevning erkinlik darajasini aniqlash formulasi, bu erda D - disklar soni, Sh - ilgaklar soni, Co - tayanch novdalar soni.
OSMS geometrik jihatdan o'zgarmas bo'lishi kerak.
Statik tarzda aniqlanishi kerak (keraksiz ulanishlarni olib tashlang).
Ushbu tizimni hisoblash oson bo'lishi kerak.
Agar dastlabki tizim nosimmetrik bo'lsa, OSMS, agar iloji bo'lsa, simmetrik bo'lishi uchun tanlanadi.
33. Kuch usulining kanonik tenglamalari, ularning fizik ma’nosi.
Kanonik tenglamalar:
Jismoniy ma'nosi:
Har bir masofaviy bog'lanish yo'nalishi bo'yicha umumiy harakat = 0 bo'lishi kerak
34. Kanonik tenglamalar koeffitsientlarini hisoblash, ularning fizik ma'nosi, topilgan koeffitsientlarning to'g'riligini tekshirish.
Bitta kuchdan kelib chiqqan masofaviy ulanish yo'nalishi bo'yicha harakatlanish.
Tashqi yukdan kelib chiqqan masofaviy ulanish yo'nalishi bo'yicha harakat.
Topilgan koeffitsientlarning to'g'riligini tekshirish uchun ularni kanonik tenglamalar tizimiga almashtirish va X1 va X2 ni topish kerak.
Muvozanatdagi elastik sistemaning ikkita holatini ko'rib chiqamiz. Ushbu holatlarning har birida tizim ma'lum bir statik yukga duchor bo'ladi (4a-rasm). Keling, F1 va F2 kuchlari yo'nalishidagi harakatlarni quyidagicha belgilaymiz, bu erda "i" indeksi harakat yo'nalishini ko'rsatadi va "j" indeksi bunga sabab bo'lgan sababdir.
Birinchi holat yukining (F1 kuchi) birinchi holatning siljishlaridagi ishini A11 bilan, F2 kuchining esa A22 tomonidan yuzaga kelgan siljishlar ustida ishini belgilaymiz:
(1.9) dan foydalanib, A11 va A22 ishlarini ichki kuch omillari bilan ifodalash mumkin:
Xuddi shu tizimning statik yuklanishini (5-rasm, a) quyidagi ketma-ketlikda ko'rib chiqamiz. Birinchidan, tizimga statik ravishda ortib borayotgan kuch F1 qo'llaniladi (23-rasm, b); uning statik o'sishi jarayoni tugagach, tizimning deformatsiyasi va unda ta'sir qiluvchi ichki kuchlar birinchi holatdagi kabi bo'ladi (23-rasm, a). F1 kuchi bilan bajarilgan ish quyidagicha bo'ladi:
Keyin statik ravishda ortib borayotgan F2 kuchi tizimga ta'sir qila boshlaydi (5-rasm, b). Buning natijasida tizim qo'shimcha deformatsiyalarni oladi va unda ikkinchi holatdagi kabi qo'shimcha ichki kuchlar paydo bo'ladi (5-rasm, a). F2 kuchini noldan yakuniy qiymatiga oshirish jarayonida F1 kuchi o'zgarmagan holda qo'shimcha burilish miqdori bilan pastga siljiydi va shuning uchun qo'shimcha ishlarni bajaradi:
Force F2 ishni bajaradi:
F1, F2 kuchlari bilan tizimning ketma-ket yuklanishi bilan umumiy ish A ga teng:
Boshqa tomondan, (1.4) ga muvofiq umumiy ish quyidagicha belgilanishi mumkin:
(1.11) va (1.12) ifodalarni bir-biriga tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
A12=A21 (1,14)
Tenglik (1.14) ishning o'zaro teoremasi yoki Betti teoremasi deb ataladi: birinchi holat kuchlarining o'z yo'nalishi bo'yicha ikkinchi holat kuchlari tomonidan sodir bo'lgan siljishlar bo'yicha ishi ikkinchi holat kuchlarining ishiga teng. birinchi davlat kuchlari ta'sirida ularning yo'nalishlari bo'yicha siljishlar. Oraliq hisob-kitoblarni qoldirib, biz A12 ishini birinchi va ikkinchi holatda yuzaga keladigan egilish momentlari, uzunlamasına va ko'ndalang kuchlar bo'yicha ifodalaymiz:
Bu tenglikning o'ng tomonidagi har bir integrandni birinchi holat kuchlaridan novda kesimida paydo bo'ladigan ichki kuch va ikkinchi holat kuchlari ta'sirida dz elementining deformatsiyasi ko'paytmasi deb hisoblash mumkin.
Ishning o'zaro teoremasini isbotlash
Nurda ikkita 1 va 2 nuqtani belgilaymiz (15.4-rasm, a).
Keling, 1-nuqtaga statik kuchni qo'llaymiz. Bu nuqtada burilishga olib keladi va 2-bandda - .
Harakatlarni ko'rsatish uchun ikkita indeksdan foydalanamiz. Birinchi indeks harakat joyini, ikkinchisi esa bu harakatni keltirib chiqaradigan sababni anglatadi. Ya'ni, deyarli xat konvertida bo'lgani kabi, biz ko'rsatamiz: qaerda va kimdan.
Shunday qilib, masalan, bu nurning 2-nuqtadagi yukdan burilishini anglatadi.
Quvvatning o'sishi tugagandan so'ng. 2-nuqtadagi nurning deformatsiyalangan holatiga statik kuch (15.4, b) ta'sir qilaylik. Nur qo'shimcha burilishlarni oladi: 1 nuqtada va 2 nuqtada.
Bu kuchlarning mos siljishlarida bajaradigan ishiga ifoda hosil qilaylik: .
Bu yerda birinchi va uchinchi hadlar kuchlarning elastik ishini va . Klapeyron teoremasiga ko'ra, ular koeffitsientga ega. Ikkinchi atama bu koeffitsientga ega emas, chunki kuch o'z qiymatini o'zgartirmaydi va boshqa kuch tufayli yuzaga keladigan siljishda mumkin bo'lgan ishni bajaradi.
Mumkin bo'lgan siljishlarning boshlanishi mexanikaning umumiy printsipi bo'lib, elastik tizimlar nazariyasi uchun juda muhimdir. Ularga nisbatan ushbu printsipni quyidagicha shakllantirish mumkin: agar tizim qo'llaniladigan yuk ta'sirida muvozanatda bo'lsa, u holda tizimning mumkin bo'lgan cheksiz kichik siljishlari bo'yicha tashqi va ichki kuchlarning ishining yig'indisi nolga teng.
Qayerda 
- tashqi kuchlar; 
- bu kuchlarning mumkin bo'lgan harakatlari; 
- ichki kuchlarning ishi.
E'tibor bering, tizim tomonidan mumkin bo'lgan harakat jarayonida tashqi va ichki kuchlarning kattaligi va yo'nalishi o'zgarishsiz qoladi. Shuning uchun, ishni hisoblashda, tegishli kuchlar va siljishlar mahsulotining yarmini va to'liq qiymatini olish kerak.
Muvozanatda bo'lgan tizimning ikkita holatini ko'rib chiqamiz (2.2.9-rasm). Holatida 
sistema umumlashgan kuch ta’sirida deformatsiyalanadi 
(2.2.9-rasm, a), holatda 
- kuch bilan 
(2.2.9-rasm, b).
Davlat kuchlarining ishi 
davlat harakatlari haqida 
, shuningdek, davlat kuchlarining ishi 
davlat harakatlari haqida 
, mumkin bo'ladi.
(2.2.14)
Keling, davlatning ichki kuchlarining mumkin bo'lgan ishini hisoblaylik 
davlat yukidan kelib chiqadigan harakatlar bo'yicha 
. Buning uchun uzunlikdagi ixtiyoriy novda elementini ko'rib chiqing 
ikkala holatda ham. Yassi egilish uchun uzoq qismlarning elementga ta'siri kuchlar tizimi bilan ifodalanadi 
,
,
(2.2.10-rasm, a). Ichki kuchlar tashqi kuchlarga qarama-qarshi yo'nalishga ega (chiziq chiziqlar bilan ko'rsatilgan). Shaklda. 2.2.10, b tashqi kuchlarni ko'rsatadi 
,
,
, elementga ta'sir qiladi 
holatida 
. Keling, ushbu harakatlar natijasida yuzaga kelgan deformatsiyalarni aniqlaylik.
Elementning cho'zilishi aniq 
kuchlar tomonidan yuzaga kelgan 
.
Ichki eksenel kuchlarning ishi 
bu mumkin bo'lgan harakatda
. (2.2.15)
Element yuzlarining o'zaro burilish burchagi juftlikdan kelib chiqadi 
,
.
Ichki egilish momentlarining ishi 
bu harakatda
. (2.2.16)
Xuddi shunday, biz ko'ndalang kuchlarning ishini aniqlaymiz 
kuchlar ta'sirida sodir bo'lgan harakatlar haqida 
. (2.2.17)
Olingan ishni umumlashtirib, biz elementga qo'llaniladigan ichki kuchlarning mumkin bo'lgan ishini olamiz 
novda, indeks bilan belgilangan boshqa, butunlay o'zboshimchalik bilan yuzaga kelgan harakatlarda 
Tayoq ichidagi elementar ishni jamlab, biz ichki kuchlarning mumkin bo'lgan ishining to'liq qiymatini olamiz:
(2.2.19)
Keling, tizimning mumkin bo'lgan siljishlari bo'yicha ichki va tashqi kuchlarning ishini umumlashtirib, mumkin bo'lgan siljishlarning boshlanishini qo'llaymiz va tekis elastik novda tizimi uchun mumkin bo'lgan siljishlarning boshlanishi uchun umumiy ifodani olamiz:
(2.2.20)
Ya'ni, elastik sistema muvozanatda bo'lsa, tashqi va ichki kuchlarning ishi bir holatda bo'ladi. 
indeks bilan belgilangan boshqa, butunlay o'zboshimchalik bilan yuzaga kelgan mumkin bo'lgan harakatlar bo'yicha 
, nolga teng.
Ish va harakatning o'zaro bog'liqligi haqidagi teoremalar
Keling, rasmda ko'rsatilgan nur uchun mumkin bo'lgan harakatlarning boshlanishi uchun ifodalarni yozamiz. 2.2.9, davlat uchun qabul qilingan 
vaziyatdan kelib chiqadigan mumkin bo'lgan harakatlar sifatida 
, va davlat uchun 
- vaziyatdan kelib chiqqan harakatlar 
.
(2.2.21)
(2.2.22)
Ichki kuchlar ishining ifodalari bir xil bo'lganligi sababli, bu aniq
(2.2.23)
Olingan ifoda ishning o'zaro teoremasi (Betti teoremasi) deb ataladi. U quyidagicha tuzilgan: tashqi (yoki ichki) davlat kuchlarining mumkin bo'lgan ishi 
davlat harakatlari haqida 
davlatning tashqi (yoki ichki) kuchlarining mumkin bo'lgan ishiga teng 
davlat harakatlari haqida 
.
Tizimning har ikkala holatida ham bir birlik umumlashgan kuch qo'llanilganda, ishning o'zaro ta'siri teoremasini yuklanishning maxsus holatiga tatbiq qilaylik. 
Va 
.
Guruch. 2.2.11
Ishning o'zaro teoremasiga asoslanib, biz tenglikni olamiz
, (2.2.24)
siljishlarning o'zaro teoremasi (Maksvell teoremasi) deb ataladi. U quyidagicha ifodalanadi: ikkinchi birlik kuchning ta'siridan kelib chiqqan birinchi kuchni qo'llash nuqtasining o'z yo'nalishi bo'yicha harakati ikkinchi kuchning ta'sir qilish nuqtasining o'z yo'nalishi bo'yicha harakatiga tengdir. birinchi birlik kuchining harakati bilan.
Ish va joy almashishning o'zaro bog'liqligi haqidagi teoremalar ko'chirishni aniqlashda ko'plab muammolarni hal qilishni sezilarli darajada soddalashtiradi.
Ishning o'zaro teoremasidan foydalanib, biz burilishni aniqlaymiz 
bir moment tayanchiga ta'sir qilganda, oraliqning o'rtasida nurlar 
(2.2.12-rasm, a).
Biz nurning ikkinchi holatidan foydalanamiz - konsentrlangan kuchning 2-nuqtadagi harakati 
. Malumot bo'limining burilish burchagi 
B nuqtasida nurni mahkamlash shartidan aniqlaymiz:
Guruch. 2.2.12
Ishning o'zaro teoremasiga ko'ra
,
Ishning o'zaro teoremasi. Ko'chishlarning o'zaro bog'liqligi haqidagi teorema
Ikki xil yukga mos keladigan ikki xil holatda chiziqli deformatsiyalanuvchi sistemani ko'rib chiqamiz (5.15-rasm).Hisoblashning soddaligi uchun ikkita konsentrlangan kuch tomonidan ketma-ket yuklangan oddiy ikki tayanchli nurni ko'rib chiqamiz.
15-rasm. Yukni qo'llashning to'g'ridan-to'g'ri va teskari tartibi
Yuklarni qo'llashning to'g'ridan-to'g'ri va teskari tartibi uchun umumiy ishni tenglashtirib, biz olamiz
Boshqa kuch yoki kuchlar ta'sirida yuzaga kelgan siljishlarda kuchning amalda bajargan ishiga qo'shimcha ish deyiladi.
Ishning o'zaro teoremasiga ko'ra, birinchi holat kuchlarining ikkinchi holatni ko'chirish uchun qilgan ishi ikkinchi holat kuchlarining birinchi holatni harakatga keltirish uchun qilgan ishiga teng.
Xuddi shunday, ichki kuchlarning qo'shimcha ishining o'zaro bog'liqligi ham isbotlanishi mumkin.
16-rasm. Ichki kuchlarning qo'shimcha ishining o'zaro bog'liqligi.
Energiyaning saqlanish qonunidan foydalanib, tashqi kuchlarning qo'shimcha ishi ichki kuchlarning qo'shimcha ishiga mutlaq qiymatda teng ekanligini ko'rsatish mumkin:
Qabul qilish
siljishlarning o'zaroligi haqidagi teoremani olamiz.
Ikkinchi birlik kuch ta'sirida birlik kuch qo'llash nuqtasining o'z yo'nalishi bo'yicha siljishi ikkinchi birlik kuchning ta'sir qilish nuqtasining ikkinchi birlik kuchining ta'siridan kelib chiqqan ikkinchi birlik kuchning qo'llash nuqtasining ikkinchisiga siljishiga tengdir. birinchi birlik kuchi.
Mohr usulida siljishlarni aniqlash
F 1 va F 2 kuchlar tizimi o'rniga biz yuk va yordamchi holatlarni kiritamiz:
17-rasm. Yuk va yordamchi davlatlarning kiritilishi
Keling, ushbu ikki holat uchun ishning o'zaro bog'liqligi haqidagi teoremani yozamiz:
Nurning alohida bo'limlari bo'yicha yig'ilgandan so'ng, biz Mohr integralini olamiz
5.2-misol. Mohr integralidan konsentrlangan kuch bilan yuklangan konsol nurining siljishlarini aniqlash uchun foydalanish misolini ko'rib chiqaylik.
18-rasm. Konsolli nur uchun yuk va yordamchi diagrammani qurish
Biz Mohr integralidan foydalanamiz.
Amalda, bu yondashuvdan foydalanish qiyin. Ushbu qiyinchilik integratsiyani tashkil etish orqali bartaraf etiladi, integratsiya kompyuterda osonlik bilan amalga oshiriladi.
Bukilishning siljishini aniqlashning grafik-analitik usuli. Vereshchagin usuli
Keling, ikkita soddalashtiruvchi holatni keltiramiz:
Ko'rib chiqilayotgan maydon chegarasida chiziqli funktsiya.
19-rasm Mohr integralining grafik-analitik hisobi
Oxirgi integral ABCD shaklining y o'qiga nisbatan statik momentini ifodalaydi. Ish
yukning og'irlik markazi ostidagi yordamchi diagrammada olingan ordinatani ifodalaydi.
bu erda n - sayt raqami.
5.3-misol. Keling, yana konsol nuriga qaraylik
20-rasm. Konsolli nur uchun Vereshchagin usulidan foydalanish
Keyinchalik murakkab holatlar:
1. Trapetsiyani trapetsiyaga ko'paytirish
Guruch. 21. Trapetsiyani trapetsiya bilan ko'paytirish
Trapetsiyani trapetsiya bilan ko'paytirish uchun siz to'rtburchakni trapetsiyaga va uchburchakni trapezoidga ko'paytirishga o'tishingiz mumkin.
To'g'ri to'rtburchakni trapetsiyaga ko'paytirishning ta'rifi shuni anglatadiki, biz to'rtburchaklar ustidan A f ni, trapetsiya ustidan esa M ni c ga olamiz.
O'zgartirish qoidasi faqat chiziqli diagrammalar uchun amal qiladi.
2. Parabolik segment
22-rasm. Parabolik segment uchun og'irlik markazining maydoni va holati
3. Botiq parabolik uchburchak
23-rasm. Konkav parabolik uchburchak uchun og'irlik markazining maydoni va holati
4. Qavariq uchburchak
24-rasm. Qavariq parabolik uchburchak uchun og'irlik markazining maydoni va holati
5. Qavariq parabolik trapesiya.
25-rasm. Qavariq parabolik trapezoid uchun og'irlik markazlarining maydonlari va pozitsiyalarini ajratish
Misol: 5.4. Keling, har uch turdagi tashqi yuklar harakat qilganda konsol nurini yuklashning yanada murakkab holatini ko'rib chiqaylik. Nurning maksimal burilish burchagini aniqlash kerak
Guruch. Konsol nurlari bir vaqtning o'zida uchta yukning ta'siri ostida
I usul M f diagrammasini oddiyroq raqamlar to'plami bilan almashtiramiz.
ya’ni parabolaning cho‘qqisi nurdan tashqarida.
Yordamchi diagrammani yaratish uchun sizga kerak:
1. Tashqi yuklarsiz ba'zi nurni ko'rib chiqing.
2. Berilgan nuqtada burilish yoki burilish burchagini aniqlash uchun mos ravishda F=1 yoki M=1 amal qiling. Tashqi yuklarning harakat yo'nalishi o'zboshimchalik bilan.
3. Birlik yukni tashqi deb hisoblab, reaksiyalarni aniqlaymiz va diagrammalarni tuzamiz.
Vereshchagin usuli yordamida burilish burchagini aniqlash formulasi quyidagi shaklni oladi
yuk diagrammasining og'irlik markazi ostida M k yordamchi diagrammasi bo'yicha olingan ordinata qayerda - yukning elementar raqamlarga bo'linishini hisobga olgan holda
Nurning egri o'qini qurishda biz quyidagilardan foydalanamiz:
1. Umumlashtirilgan siljish belgisi. Ko'rib chiqilayotgan holat uchun nuqta soat yo'nalishi bo'yicha aylantiriladi.
2. Yuklanish diagrammasida egilish momentining belgisidan foydalanamiz.
Nurning egri o'qining taxminiy ko'rinishi rasmda ko'rsatilgan. 5.24.
II usul. Superpozitsiya printsipidan foydalanish.
Guruch Superpozitsiya printsipidan foydalanish
