Ratsional funktsiya ko'rinishning bir qismi bo'lib, uning soni va maxraji ko'phadlar yoki ko'phadlarning mahsulotidir.

1-misol. 2-qadam.

.

Biz aniqlanmagan koeffitsientlarni ushbu alohida kasrda bo'lmagan, lekin boshqa hosil bo'lgan kasrlarda bo'lgan polinomlarga ko'paytiramiz:

Biz qavslarni ochamiz va asl integrasiyaning hisobini hosil bo'lgan ifodaga tenglashtiramiz:

Tenglikning har ikki tomonida biz x ning kuchlari bir xil bo'lgan atamalarni qidiramiz va ulardan tenglamalar tizimini tuzamiz:

.

Biz barcha x larni bekor qilamiz va ekvivalent tenglamalar tizimini olamiz:

.

Shunday qilib, integratsiyaning oddiy kasrlar yig'indisiga yakuniy kengayishi:

.

2-misol. 2-qadam. 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlarda aniqlanmagan koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi parchalanishini oldik:

.

Endi biz noaniq koeffitsientlarni qidirishni boshlaymiz. Buning uchun funksiya ifodasidagi asl kasr sonini kasrlar yig‘indisini kamaytirgandan so‘ng olingan ifodaning ayirasiga tenglashtiramiz. umumiy maxraj:

Endi siz tenglamalar tizimini yaratishingiz va echishingiz kerak. Buning uchun biz o'zgaruvchining koeffitsientlarini funktsiyaning asl ifodasi hisoblagichidagi mos darajaga va oldingi bosqichda olingan ifodadagi shunga o'xshash koeffitsientlarga tenglashtiramiz:

Olingan tizimni hal qilamiz:

Demak, bu yerdan

.

3-misol. 2-qadam. 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlarda aniqlanmagan koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi parchalanishini oldik:

Biz noaniq koeffitsientlarni qidirishni boshlaymiz. Buning uchun funksiya ifodasidagi asl kasrning payini kasrlar yig‘indisini umumiy maxrajga keltirgandan so‘ng olingan ifodaning ayiruvchisiga tenglashtiramiz:

Oldingi misollarda bo'lgani kabi, biz tenglamalar tizimini tuzamiz:

Biz x ni kamaytiramiz va ekvivalent tenglamalar tizimini olamiz:

Tizimni yechishda biz noaniq koeffitsientlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

Integratsiyaning yakuniy parchalanishini oddiy kasrlar yig'indisiga olamiz:

.

4-misol. 2-qadam. 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlarda aniqlanmagan koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi parchalanishini oldik:

.

Asl kasrning ayiruvchisi bilan kasrni oddiy kasrlar yig‘indisiga parchalab, bu yig‘indini umumiy maxrajga keltirgandan so‘ng olingan payitdagi ifoda bilan qanday tenglashtirishni oldingi misollardan bilib oldik. Shuning uchun, faqat nazorat qilish uchun biz hosil bo'lgan tenglamalar tizimini taqdim etamiz:

Tizimni yechishda biz noaniq koeffitsientlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

Integratsiyaning yakuniy parchalanishini oddiy kasrlar yig'indisiga olamiz:

5-misol. 2-qadam. 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlarda aniqlanmagan koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi parchalanishini oldik:

.

Biz mustaqil ravishda bu yig'indini umumiy maxrajga qisqartiramiz, bu ifodaning payini asl kasrning soniga tenglashtiramiz. Natijada quyidagi tenglamalar tizimi bo'lishi kerak:

Tizimni yechishda biz noaniq koeffitsientlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

.

Integratsiyaning yakuniy parchalanishini oddiy kasrlar yig'indisiga olamiz:

.

6-misol. 2-qadam. 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlarda aniqlanmagan koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi parchalanishini oldik:

Biz oldingi misollardagi kabi bu miqdor bilan bir xil harakatlarni bajaramiz. Natijada quyidagi tenglamalar tizimi bo'lishi kerak:

Tizimni yechishda biz noaniq koeffitsientlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

.

Integratsiyaning yakuniy parchalanishini oddiy kasrlar yig'indisiga olamiz:

.

7-misol. 2-qadam. 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlarda aniqlanmagan koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi parchalanishini oldik:

.

Olingan miqdor bilan ma'lum harakatlardan so'ng, quyidagi tenglamalar tizimini olish kerak:

Tizimni yechishda biz noaniq koeffitsientlarning quyidagi qiymatlarini olamiz:

Integratsiyaning yakuniy parchalanishini oddiy kasrlar yig'indisiga olamiz:

.

8-misol. 2-qadam. 1-bosqichda biz asl kasrni hisoblagichlarda aniqlanmagan koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisiga quyidagi parchalanishini oldik:

.

Keling, tenglamalar tizimini olish uchun allaqachon avtomatlashtirilgan harakatlarga o'zgartirish kiritamiz. Ba'zi hollarda keraksiz hisob-kitoblardan qochishga yordam beradigan sun'iy texnika mavjud. Kasrlar yig'indisini umumiy maxrajga keltirib, biz ushbu ifodaning payini asl kasrning soniga tenglashtiramiz va olamiz.

Hammaga salom, aziz do'stlar!

Xo'sh, tabriklaymiz! Biz ratsional kasrlarni integratsiyalashda asosiy materialga ishonch bilan erishdik - noaniq koeffitsientlar usuli. Buyuk va qudratli.) Uning ulug'vorligi va qudrati nima? Va bu uning ko'p qirraliligida yotadi. Buni tekshirish mantiqiy, to'g'rimi? Men sizni ogohlantiraman, bu mavzu bo'yicha bir nechta darslar bo'ladi. Chunki mavzu juda uzun va material juda muhim.)

Darhol aytamanki, bugungi darsda (va keyingi darslarda ham) biz integratsiya bilan emas, balki ... tizimli yechim chiziqli tenglamalar! Ha ha! Shunday qilib, tizimlar bilan bog'liq muammolarga duch kelganlar matritsalarni, determinantlarni va Kramer usulini takrorlaydilar. Va matritsalar bilan bog'liq muammolarga duch kelgan o'rtoqlar uchun, men sizni, eng yomoni, hech bo'lmaganda tizimlarni echishning "maktab" usullari - almashtirish usuli va atama bo'yicha qo'shish / ayirish usuli haqida xotirangizni yangilashingizni so'rayman.

Tanishuvimizni boshlash uchun keling, filmni biroz orqaga aylantiramiz. Keling, oldingi darslarga qisqacha qaytaylik va biz ilgari birlashtirgan barcha kasrlarni tahlil qilaylik. To'g'ridan-to'g'ri, noaniq koeffitsientlar usulisiz! Mana ular, bu kasrlar. Men ularni uchta guruhga ajratdim.

1-guruh

Maxrajda - chiziqli funksiya o'z-o'zidan yoki darajaga qadar. Bir so'z bilan aytganda, maxraj mahsulotdir bir xil shakl qavslari (Ha).

Masalan:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

Va hokazo. Aytgancha, qavslar sizni chalkashtirib yubormasin (4x+5) yoki (2x+5) 3 koeffitsienti bilan k ichida. Bular hanuzgacha shaklning qavslaridir (Ha). Chunki bu eng ko'p k bunday qavslardan siz uni har doim tashqariga olib chiqishingiz mumkin.

Mana bunday:

Hammasi shu.) Va hisoblagichda aniq nima borligi muhim emas - shunchaki dx yoki qandaydir polinom. Biz har doim qavsning vakolatlarida hisoblagichni kengaytirdik (x-a), katta kasrni kichiklar yig'indisiga aylantirdi, differensial ostiga (kerak bo'lganda) qavs qo'ydi va birlashtirildi.

2-guruh

Bu fraksiyalarning umumiyligi nimada?

Va umumiy narsa shundaki, barcha denominatorlarda mavjud kvadratik trinomialbolta 2 + bx+ c. Lekin nafaqat, ya'ni bitta nusxada. Va bu erda uning diskriminanti ijobiy yoki salbiy bo'ladimi, muhim emas.

Bunday kasrlar har doim ikkita usuldan birida integrallashgan - yoki hisoblagichni maxrajning darajalariga kengaytirish yoki maxrajdagi mukammal kvadratni ajratib, keyin o'zgaruvchini almashtirish orqali. Bularning barchasi aniq integralga bog'liq.

3-guruh

Bu integratsiya qilish uchun eng yomon fraktsiyalar edi. Maxraj ajralmaydigan kvadrat uch a'zoni va hatto darajani o'z ichiga oladi n. Lekin, yana, bitta nusxada. Chunki maxrajda trinomdan tashqari boshqa omillar mavjud emas. Bunday kasrlar ustidan integrallashgan. To'g'ridan-to'g'ri yoki maxrajdagi mukammal kvadratni ajratib, keyinchalik o'zgaruvchini almashtirishdan keyin unga qisqartiriladi.

Ammo, afsuski, ratsional kasrlarning barcha boy xilma-xilligi faqat ushbu uchta guruh bilan cheklanmaydi.

Lekin maxraj bo'lsa-chi boshqacha qavslar? Masalan, shunga o'xshash narsa:

(x-1)(x+1)(x+2)

Yoki bir vaqtning o'zida qavs (Ha) va kvadrat trinomial, shunga o'xshash narsa (x-10)(x 2 -2x+17)? Va shunga o'xshash boshqa holatlarda? Aynan shunday hollarda u yordamga keladi noaniq koeffitsientlar usuli!

Men darhol aytaman: hozircha biz faqat u bilan ishlaymiz to'g'ri kasrlarda. Numerator darajasi maxraj darajasidan qat'iy kam bo'lganlar. Yo'q bilan qanday kurashish kerak to'g'ri kasrlar, kasrlarda batafsil tasvirlangan. Butun qismni (polinom) tanlash kerak. Numeratorni burchak bilan maxrajga bo'lish yoki raqamni ajratish orqali - xohlaganingizcha. Va hatto misol tahlil qilinadi. Va siz qandaydir tarzda polinomni birlashtirasiz. Allaqachon kichik emas.) Lekin davom eting noto'g'ri fraktsiyalar Keling, misollarni ham hal qilaylik!

Va endi biz tanishishni boshlaymiz. Oliy matematika bo‘yicha ko‘pgina darsliklardan farqli o‘laroq, biz tanishuvimizni algebraning asosiy teoremasi, Bezut teoremasi, ratsional kasrni eng oddiylar yig‘indisiga parchalash haqidagi quruq va og‘ir nazariya bilan boshlamaymiz (bu kasrlar haqida keyinroq) va. boshqa zerikarlilik, lekin biz oddiy misol bilan boshlaymiz.

Masalan, biz quyidagi noaniq integralni topishimiz kerak:

Avval integralga qarang. Maxraj uchta qavsning mahsulotidir:

(x-1)(x+3)(x+5)

Va barcha qavslar boshqacha. Shuning uchun, bizning eski texnologiyamiz hisoblagichni maxraj kuchlari bilan kengaytirish bu safar endi ishlamaydi: hisoblagichda qaysi qavsni ajratib ko'rsatish kerak? (x-1)? (x+3)? Aniq emas... Maxrajda toʻliq kvadratni tanlash ham yaxshi fikr emas: u yerda koʻphad bor. uchinchi daraja (agar siz barcha qavslarni ko'paytirsangiz). Nima qilish kerak?

Bizning kasrimizga qaraganimizda, butunlay tabiiy istak paydo bo'ladi ... To'g'ridan-to'g'ri chidab bo'lmas! Bizning katta fraktsiyamizdan, qaysi noqulay integratsiya qiling, qandaydir tarzda uchta kichikni yarating. Hech bo'lmaganda shunday:

Nega aynan shu turni izlash kerak? Va barchasi, chunki bu shaklda bizning boshlang'ich kasrimiz allaqachon mavjud qulay integratsiya uchun! Keling, har bir kichik kasrning maxrajini jamlaymiz va - oldinga.)

Hatto bunday parchalanishni olish mumkinmi? Xush habar! Matematikadagi tegishli teorema - Ha mumkin! Bunday parchalanish mavjud va noyobdir.

Ammo bitta muammo bor: koeffitsientlar A, IN Va BILAN Biz Xayr biz bilmaymiz. Va endi bizning asosiy vazifamiz aniq bo'ladi ularni aniqlang. Bizning harflarimiz nimaga teng ekanligini bilib oling A, IN Va BILAN. Shuning uchun nom - usul noaniq koeffitsientlar Keling, ajoyib sayohatimizni boshlaymiz!

Shunday qilib, bizni raqsga tushiradigan tenglik bor:

Keling, o'ngdagi uchta kasrni umumiy maxrajga keltiramiz va qo'shamiz:

Endi biz maxrajlarni xavfsiz tashlab qo'yishimiz mumkin (chunki ular bir xil bo'ladi) va shunchaki hisoblagichlarni tenglashtiramiz. Hammasi odatdagidek

Keyingi qadam barcha qavslarni oching(koeffitsientlar A, IN Va BILAN Xayr uni tashqarida qoldirish yaxshiroq):

Va endi (muhim!) Biz butun tuzilmamizni o'ng tomonga joylashtiramiz ilmiy darajalar bo'yicha: birinchi navbatda x 2 bilan barcha shartlarni qoziqqa yig'amiz, keyin faqat x bilan va nihoyat, bepul shartlarni yig'amiz. Aslida, biz shunchaki o'xshashlarni keltiramiz va atamalarni x ning kuchlari bo'yicha guruhlaymiz.

Mana bunday:

Endi natijani tushunamiz. Chap tomonda bizning asl polinomimiz joylashgan. Ikkinchi daraja. Bizning integrandimizning numeratori. O'ngda ham ikkinchi darajali ba'zi polinom. Burun noma'lum koeffitsientlar. Bu tenglik qachon amal qilishi kerak hamma qabul qilinadigan qiymatlar X. Chap va o'ngdagi kasrlar bir xil edi (shartimizga ko'ra)! Bu shuni anglatadiki, ular hisoblagich va (ya'ni polinomlarimiz) ham bir xil. Shuning uchun koeffitsientlar x ning bir xil kuchlarida bu polinomlar bo'lishi kerak teng bo'ling!

Biz eng yuqori darajadan boshlaymiz. Maydondan. Keling, qanday koeffitsientlarga ega ekanligimizni ko'rib chiqaylik X 2 chap va o'ng. O'ng tomonda biz koeffitsientlar yig'indisiga egamiz A+B+C, va chap tomonda ikkilik bor. Bizning birinchi tenglamamiz shunday tug'iladi.

Biz yozamiz:

A+B+C = 2

Yemoq. Birinchi tenglama tayyor.)

Keyinchalik, biz kamayib borayotgan traektoriyani kuzatib boramiz - biz X bilan atamalarni birinchi darajaga qaraymiz. X-ning o'ng tomonida biz bor 8A+4B+2C. Yaxshi. Va chapdagi X bilan bizda nima bor? Hm... Chap tomonda X bilan atama umuman yo'q! Faqat 2x 2 bor - 3. Nima qilish kerak? Juda oddiy! Bu chapdagi x koeffitsienti ekanligini anglatadi nolga teng! Biz chap tomonimizni quyidagicha yozishimiz mumkin:

Nima edi? Bizda to'liq huquq bor.) Demak, ikkinchi tenglama quyidagicha ko'rinadi:

8 A+4 B+2 C = 0

Xo'sh, bu deyarli hammasi. Bepul shartlarni tenglashtirish qoladi:

15A-5B-3C = -3

Bir so'z bilan aytganda, x ning bir xil kuchlari uchun koeffitsientlarni tenglashtirish quyidagi sxema bo'yicha amalga oshiriladi:

Bizning uchta tengligimiz qondirilishi kerak bir vaqtning o'zida. Shunday qilib, biz yozma tenglamalarimizdan tizim yig'amiz:

Tizim tirishqoq talaba uchun eng qiyin emas - uchta tenglama va uchta noma'lum. O'zingiz xohlagancha qaror qiling. Determinantlar bilan matritsalar orqali Kramer usulidan foydalanishingiz mumkin, siz Gauss usulidan foydalanishingiz mumkin, hatto odatiy maktab almashtirishdan ham foydalanishingiz mumkin.

Boshlash uchun, men bu tizimni madaniyat o'quvchilari odatda bunday tizimlarni hal qiladigan tarzda hal qilaman. Ya'ni, Kramer usuli.

Yechimni tizim matritsasini tuzishdan boshlaymiz. Eslatib o'taman, bu matritsa shunchaki plastinkadan iborat noma'lumlar uchun koeffitsientlar.

Mana u:

Avvalo, hisoblab chiqamiz tizim matritsasining determinanti. Yoki qisqasi, tizim determinanti. Odatda tayinlanadi Yunoncha harf∆ ("delta"):

Ajoyib, tizim determinanti nolga teng emas (-48≠0) . Chiziqli tenglamalar tizimlari nazariyasidan bu haqiqat bizning sistemamiz izchil va ekanligini anglatadi o‘ziga xos yechimga ega.

Keyingi qadam hisoblashdir noma'lumlarning determinantlari ∆A, ∆B, ∆C. Shuni eslatib o'tamanki, bu uchta aniqlovchining har biri tizimning asosiy determinantidan ustunlarni tegishli noma'lumlar uchun koeffitsientlar bilan erkin shartlar ustuniga almashtirish orqali olinadi.

Shunday qilib, biz determinantlarni yaratamiz va hisoblaymiz:

Men bu erda uchinchi darajali determinantlarni hisoblash texnikasini batafsil tushuntirmayman. Va so'ramang. Bu mavzudan butunlay chetga chiqish bo'ladi.) Mavzuda bo'lganlar nima haqida gapirayotganimizni tushunishadi. Va, ehtimol, siz ushbu uchta determinantni qanday hisoblaganimni aniq bilib oldingiz.)

Hammasi tayyor.)

Madaniyatli talabalar odatda tizimlarni shunday hal qilishadi. Lekin... Hamma o‘quvchilar ham do‘st va saralovchi emas. Afsuski. Ba'zilar uchun bu oddiy tushunchalar oliy matematika abadiy Xitoy harfi va tumandagi sirli yirtqich hayvon bo'lib qoladi ...

Xo'sh, ayniqsa, bunday madaniyatsiz talabalar uchun men tanishroq echimni taklif qilaman - noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli. Aslida, bu ilg'or "maktab" almashtirish usuli. Faqat ko'proq qadamlar bo'ladi.) Lekin mohiyati bir xil. Men qiladigan birinchi narsa o'zgaruvchini yo'q qilishdir BILAN. Buning uchun men ifoda etaman BILAN Birinchi tenglamadan uni ikkinchi va uchinchi tenglamaga almashtiring:

Biz soddalashtiramiz, o'xshashlarini keltiramiz va yangi tizimga ega bo'lamiz ikki noma'lum:

Endi ushbu yangi tizimda o'zgaruvchilardan birini boshqasi bilan ifodalash ham mumkin. Ammo eng diqqatli talabalar o'zgaruvchining oldidagi koeffitsientlarni payqashlari mumkin B – qarama-qarshi. Ikki va minus ikki. Shuning uchun, o'zgaruvchini yo'q qilish uchun ikkala tenglamani bir-biriga qo'shish juda qulay bo'ladi IN va faqat xatni qoldiring A.

Biz chap va o'ng qismlarni qo'shamiz, aqliy ravishda qisqartiramiz 2B Va -2B va tenglamani faqat nisbiy yeching A:

Yemoq. Birinchi koeffitsient topildi: A = -1/24.

Ikkinchi koeffitsientni aniqlang IN. Masalan, yuqori tenglamadan:

Bu erdan biz olamiz:

Ajoyib. Ikkinchi koeffitsient ham topildi: B = -15/8 . Hali xat qoldi BILAN. Uni aniqlash uchun biz eng yuqori tenglamadan foydalanamiz, bu erda uni ifodalaymiz A Va IN:

Shunday qilib:

OK, endi hammasi tugadi. Noma'lum koeffitsientlar topildi! Kramer orqalimi yoki almashtirish orqalimi farqi yo'q. Asosiy, To'g'ri topildi.)

Shunday qilib, bizning katta kasrni kichiklar yig'indisiga ajratishimiz quyidagicha bo'ladi:

Va hosil bo'lgan kasr koeffitsientlari bilan chalkashib ketmang: bu protsedurada (aniqlanmagan koeffitsientlar usuli) bu eng keng tarqalgan hodisa. :)

Endi koeffitsientlarimizni to'g'ri topganimizni tekshirish tavsiya etiladi A, B Va BILAN. Shuning uchun, endi biz qoralamani olamiz va sakkizinchi sinfni eslaymiz - biz uchta kichik kasrimizni qo'shamiz.

Agar biz asl katta kasrni olsak, unda hamma narsa yaxshi. Yo'q - bu meni urish va xato izlash degani.

Umumiy maxraj aniq 24(x-1)(x+3)(x+5) bo'ladi.

Boring:

Ha!!! Biz asl kasrni oldik. Bu tekshirilishi kerak bo'lgan narsa. Hammasi yaxshi. Shuning uchun, iltimos, meni urmang.)

Endi asl integralimizga qaytaylik. Bu vaqt ichida u osonlashmadi, ha. Ammo endi bizning kasrimiz kichiklar yig'indisiga bo'lingan, uni birlashtirish haqiqiy zavqga aylandi!

O'zingiz ko'ring! Biz kengaytmamizni asl integralga joylashtiramiz.

Biz olamiz:

Biz chiziqlilik xususiyatlaridan foydalanamiz va katta integralimizni kichiklar yig'indisiga ajratamiz, barcha doimiylarni integral belgilaridan tashqariga qo'yamiz.

Biz olamiz:

Olingan uchta kichik integralni olish allaqachon oson .

Biz integratsiyani davom ettiramiz:

Hammasi shu.) Va bu darsda mendan javobdagi logarifmlar qayerdan kelganini so'ramang! Kim eslasa, hamma narsani biladi va tushunadi. Va eslamaganlar uchun biz havolalarga amal qilamiz. Men ularni shunchaki qo'ymayman.

Yakuniy javob:

Mana shunday go'zal uchlik: uchta logarifm - qo'rqoq, tajribali va dunce. :) Va harakat qilib ko'ring, darhol shunday qiyin javobni taxmin qiling! Faqat noaniq koeffitsientlar usuli yordam beradi, ha.) Aslida, biz buni shu maqsadda ko'rib chiqamiz. Nima, qanday va qayerda.

Trening mashqi sifatida men sizga ushbu usulni qo'llashni va quyidagi fraktsiyani birlashtirishni taklif qilaman:

Amaliyot qiling, integralni toping, qiyinlashmang! Javob shunday bo'lishi kerak:

Noaniq koeffitsientlar usuli kuchli narsadir. Bu hatto eng umidsiz vaziyatda ham, baribir kasrni aylantirganda ham tejaydi. Va bu erda ba'zi diqqatli va qiziqqan o'quvchilar bir qator savollarga ega bo'lishi mumkin:

- Agar maxrajdagi ko'phad umuman ko'paytirilmagan bo'lsa nima qilish kerak?

- Har qanday katta ratsional kasrning kichiklar yig'indisiga parchalanishini QANDAY izlash kerak? Har qanday shaklda? Nima uchun aynan shu va bu emas?

- Agar denominatorning kengayishida bir nechta omillar mavjud bo'lsa, nima qilish kerak? Yoki (x-1) 2 kabi darajalardagi qavslar? Biz parchalanishni qanday shaklda izlashimiz kerak?

- Agar (x-a) ko'rinishdagi oddiy qavslardan tashqari, maxrajda bir vaqtning o'zida ajratilmaydigan kvadrat uch a'zo bo'lsa, nima qilish kerak? Aytaylik, x 2 +4x+5? Biz parchalanishni qanday shaklda izlashimiz kerak?

Xo'sh, oyoqlarning qaerdan o'sishini yaxshilab tushunish vaqti keldi. Keyingi darslarda.)

BASHQORTO RESPUBLIKASI FAN VA TA’LIM VAZIRLIGI STAN

SAOU SPO Boshqirdiston arxitektura va qurilish kolleji

Xaliullin Asxat Adelzyanovich,

Bashkirskiyda matematika o'qituvchisi

Arxitektura va qurilish kolleji

O'FA

2014 yil

Kirish ______________________________________________________3

Bob I. Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanishning nazariy jihatlari_________________________________________________4

Bob II. Noaniq koeffitsientlar usuli yordamida ko'phadli masalalar yechimini izlaydi_________________________________7

2.1.Ko‘phadni faktoringlash_____________________ 7

2.2. Parametrlar bilan bog'liq muammolar_________________________________ 10

2.3. Tenglamalarni yechish__________________________________________14

2.4. Funktsional tenglamalar____________________________19

Xulosa_________________________________________________23

Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati__________________________________________24

Ilova ________________________________________________25

Kirish.

bu ish maktab matematika kursiga noaniq koeffitsientlar usulini joriy etishning nazariy va amaliy jihatlariga bag‘ishlangan. Ushbu mavzuning dolzarbligi quyidagi holatlar bilan belgilanadi.

Hech kim matematika fan sifatida bir joyda turmaydi, u doimo rivojlanib boradi, murakkabligi oshgan yangi vazifalar paydo bo'ladi, bu ko'pincha ma'lum qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi, chunki bu vazifalar odatda tadqiqot bilan bog'liq. Bunday vazifalar ichida o'tgan yillar maktab, tuman va respublika miqyosida taklif qilingan matematika olimpiadalari, ular ichida ham mavjud Yagona davlat imtihonlari variantlari. Shuning uchun kerak edi maxsus usul, bu ularning hech bo'lmaganda ba'zilarini eng tez, samarali va arzon narxlarda hal qilish imkonini beradi. Bu ishda umumta’lim kursiga kiritilgan savollardan tortib uning eng ilg’or qismlarigacha bo’lgan matematikaning turli sohalarida keng qo’llaniladigan noaniq koeffitsientlar usulining mazmuni aniq ko’rsatilgan. Xususan, parametrli masalalar, kasr ratsional va funksional tenglamalar yechishda noaniq koeffitsientlar usulini qo‘llash ayniqsa qiziqarli va samaralidir; ular matematikaga qiziqqan har bir kishini osongina qiziqtirishi mumkin. Taklif etilayotgan ish va muammolarni tanlashning asosiy maqsadi - qisqa va nostandart echimlarni topish qobiliyatini aniqlash va rivojlantirish uchun keng imkoniyatlar yaratishdir.

Bu ish ikki bobdan iborat. Birinchisida foydalanishning nazariy jihatlari muhokama qilinadi

noaniq koeffitsientlar usuli, ikkinchidan, bunday foydalanishning amaliy va uslubiy jihatlari.

Ishga ilovada mustaqil hal qilish uchun aniq vazifalar uchun shart-sharoitlar ko'rsatilgan.

Bob I . Foydalanishning nazariy jihatlari noaniq koeffitsientlar usuli

“Inson... usta bo‘lish uchun tug‘ilgan,

hukmdor, tabiat shohi, lekin donolik,

u hukmronlik qilishi kerak bo'lgan narsa unga berilmagan

Tug'ilgandan: u o'rganish orqali erishiladi"

N.I.Lobachevskiy

Mavjud turli yo'llar bilan va muammolarni hal qilish usullari, lekin eng qulay, eng samarali, o'ziga xos, nafis va shu bilan birga hamma uchun juda sodda va tushunarli usullardan biri noaniq koeffitsientlar usulidir. Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli - shakli oldindan ma'lum bo'lgan ifodalarning koeffitsientlarini topish uchun matematikada qo'llaniladigan usul.

Har xil turdagi masalalarni echishda noaniq koeffitsientlar usulini qo'llashni ko'rib chiqishdan oldin biz bir qator nazariy ma'lumotlarni taqdim etamiz.

Ularga berilsin

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

nisbiy polinomlar X har qanday imkoniyat bilan.

Teorema. Bir va ga bog'liq ikkita polinom bir xil argument bir xil teng bo'ladi, agar va faqatn = m va ularning mos keladigan koeffitsientlari tengdira 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m Va T. d.

Shubhasiz, barcha qiymatlar uchun teng polinomlar qabul qilinadi X bir xil qiymatlar. Aksincha, agar ikkita polinomning qiymatlari barcha qiymatlar uchun teng bo'lsa X, keyin polinomlar teng, ya'ni ularning koeffitsientlari bir xil darajadaX mos kelish.

Demak, muammolarni yechishda noaniq koeffitsientlar usulini qo'llash g'oyasi quyidagicha.

Aytaylik, ba'zi transformatsiyalar natijasida ma'lum turdagi ifoda olinadi va faqat bu ifodadagi koeffitsientlar noma'lum. Keyin bu koeffitsientlar harflar bilan belgilanadi va noma'lum deb hisoblanadi. Keyin bu noma'lumlarni aniqlash uchun tenglamalar tizimi tuziladi.

Masalan, polinomlar uchun bu tenglamalar bir xil darajalar uchun koeffitsientlar teng bo'lishi sharti bilan tuziladi. X ikkita teng polinom uchun.

Yuqorida aytilganlarni quyida ko'rsatamiz aniq misollar, va eng oddiyidan boshlaylik.

Demak, masalan, nazariy mulohazalar asosida kasr

summa sifatida ifodalanishi mumkin

, Qayerda a , b Va c - koeffitsientlari aniqlanadi. Ularni topish uchun biz ikkinchi ifodani birinchisiga tenglashtiramiz:

=

va o'zimizni maxrajdan ozod qilish va chap tomonda bir xil kuchlar bilan atamalar to'plash X, biz olamiz:

(a + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Chunki oxirgi tenglik barcha qiymatlar uchun to'g'ri bo'lishi kerak X, keyin bir xil kuchlardagi koeffitsientlarX o'ng va chap bir xil bo'lishi kerak. Shunday qilib, uchta noma'lum koeffitsientni aniqlash uchun uchta tenglama olinadi:

a+b+c = 2

b - c = - 5

A= 1, qaerdan a = 1 , b = - 2 , c = 3

Demak,

=
,

bu tenglikning haqiqiyligini bevosita tekshirish oson.

Aytaylik, siz ham kasrni ifodalashingiz kerak

sifatida a + b
+ c
+ d
, Qayerda a , b , c Va d- noma'lum ratsional koeffitsientlar. Ikkinchi ifodani birinchisiga tenglashtiramiz:

a + b
+ c
+ d
=
yoki, O'zimizni maxrajdan ozod qilib, iloji bo'lsa, ratsional omillarni ildiz belgilaridan olib tashlab, chap tomonga o'xshash atamalarni keltiramiz:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b - c + d )
= 1 +
-
.

Ammo bunday tenglik ikkala qismning ratsional hadlari va bir xil radikallarning koeffitsientlari teng bo'lgan taqdirdagina mumkin bo'ladi. Shunday qilib, noma'lum koeffitsientlarni topish uchun to'rtta tenglama olinadi a , b , c Va d :

a- 2b+ 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, qaerdan a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d=, ya'ni
= -
+
.

II bob. Ko‘phadli masalalar yechimini izlaydi aniqlanmagan koeffitsientlar usuli.

“Hech narsa fanni o'zlashtirishga undan ko'ra yaxshiroq yordam bermaydi

turli vaziyatlarda u bilan harakat qilish usuli"

Akademik B.V.Gnedenko

2. 1. Ko‘phadni ko‘paytmalarga ajratish.

Polinomlarni faktoring qilish usullari:

1) umumiy ko'rsatkichni qavslar tashqarisiga qo'yish;2) guruhlash usuli; 3) ko'paytirishning asosiy formulalarini qo'llash; 4) yordamchi atamalar kiritish 5) ma'lum formulalar yordamida berilgan ko'phadni dastlabki o'zgartirish; 6) berilgan ko‘phadning ildizlarini topish yo‘li bilan kengaytirish; 7) parametrni kiritish usuli; 8)aniqlanmagan koeffitsientlar usuli.

Masala 1. Ko‘phadni haqiqiy omillarga ko‘paytiring X 4 + X 2 + 1 .

Yechim. Bu ko'phadning erkin hadining bo'luvchilari orasida ildiz yo'q. Ko‘phadning ildizlarini boshqa elementar vositalar yordamida topa olmaymiz. Shuning uchun, avvalo, bu ko'phadning ildizlarini topib, kerakli kengaytirishni amalga oshirish mumkin emas. Muammoning yechimini yoki yordamchi atamalar kiritish yoki aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan izlash qoladi. Bu aniq X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Hosil boʻlgan kvadratik trinomlarning ildizlari yoʻq va shuning uchun haqiqiy chiziqli omillarga ajralmaydi.

Ta'riflangan usul texnik jihatdan sodda, ammo sun'iyligi tufayli qiyin. Darhaqiqat, kerakli yordamchi atamalarni o'ylab topish juda qiyin. Bu parchalanishni topishga faqat taxmin yordam berdi. Lekin

Bunday muammolarni hal qilishning yanada ishonchli usullari mavjud.

Buni quyidagicha davom ettirish mumkin: berilgan ko'phad mahsulotga parchalanadi deb faraz qilaylik

(X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

butun sonli koeffitsientli ikkita kvadrat trinomial.

Shunday qilib, biz bunga ega bo'lamiz

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

Koeffitsientlarni aniqlash uchun qoladia , b , c Va d .

Oxirgi tenglikning o'ng tomonidagi polinomlarni ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (reklama + miloddan avvalgi ) x + bd .

Ammo biz kerak bo'lgani uchun o'ng qism bu tenglik chap tomonda joylashgan bir xil polinomga aylandi, biz bajarilishini talab qilamiz quyidagi shartlar:

a + c = 0

b + A c + d = 1

reklama + miloddan avvalgi = 0

bd = 1 .

Natijada to'rtta noma'lumli to'rtta tenglamalar tizimi hosil bo'ladia , b , c Va d . Ushbu tizimdan koeffitsientlarni topish osona = 1 , b = 1 , c = -1 Va d = 1.

Endi muammo butunlay hal qilindi. Bizda bor:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Masala 2. Ko‘phadni haqiqiy omillarga ko‘paytiring X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Yechim. Bu ko‘phadni ko‘rinishda ifodalaylik

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + A )(X 2 + bx + c), Qayerda a , b Va Bilan - koeffitsientlar hali aniqlanmagan. Chunki ikkita polinom bir xil darajada teng bo'ladi, agar va faqat bir xil darajadagi koeffitsientlar bo'lsaX teng bo'lsa, koeffitsientlar mos ravishda tenglashtiriladiX 2 , X va erkin atamalar yordamida biz uchta noma'lumli uchta tenglamalar tizimini olamiz:

a+b= - 6

ab + c = 14

ac = - 15 .

Agar 3 raqami (erkin atamaning bo'luvchisi) ildiz ekanligini hisobga olsak, bu tizimning echimi juda soddalashtirilgan bo'ladi. berilgan tenglama, va shuning uchuna = - 3 ,

b = - 3 Va Bilan = 5 .

Keyin X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Qo'llaniladigan noaniq koeffitsientlar usuli, yordamchi atamalarni kiritishning yuqoridagi usuli bilan solishtirganda, hech qanday sun'iylikni o'z ichiga olmaydi, lekin u ko'plab nazariy tamoyillarni qo'llashni talab qiladi va juda katta hisob-kitoblar bilan birga keladi. Ko'proq polinomlar uchun yuqori daraja Aniqlanmagan koeffitsientlarning bu usuli noqulay tenglamalar tizimlariga olib keladi.

2.2. Vazifalar va parametrlar bilan.

So'nggi yillarda Yagona davlat imtihonining versiyalari parametrlar bilan vazifalarni taklif qildi. Ularning yechimi ko'pincha muayyan qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi. Parametrlar bilan bog'liq muammolarni hal qilishda, boshqa usullar bilan bir qatorda, siz noaniq koeffitsientlar usulidan juda samarali foydalanishingiz mumkin. Aynan shu usul ularning yechimini sezilarli darajada soddalashtirish va tezda javob olish imkonini beradi.

Vazifa 3. Parametrning qaysi qiymatlarida ekanligini aniqlang A tenglama 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 0 aniq ikkita ildizga ega.

Yechim. 1 yo'l. lotindan foydalanish.

Bu tenglamani ikkita funktsiya shaklida ifodalaymiz

2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – A .

f (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X– 3 va ph( X ) = – A .

Funktsiyani ko'rib chiqaylikf (x) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 hosiladan foydalanib uning grafigini sxematik tuzing (1.-rasm).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Funktsiya juft ham, toq ham emas.

3. Funksiyaning kritik nuqtalarini, uning ortish va kamayish oraliqlarini, ekstremallarini topamiz. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , shuning uchun tenglamani yechish orqali funksiyaning barcha kritik nuqtalarini topamiz f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = - teorema bo'yicha 2, teoremaning teskarisi Vyeta.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ maks - min +

2 3 x

f / (x) > 0 hamma uchun X< - 2 va X > 3 va funksiya nuqtalarda uzluksizdirx =- 2 va X = 3, shuning uchun u har bir oraliqda ortadi (- ; - 2] va [ 3 ; ).

f / (x ) < 0 da - 2 < X< 3, shuning uchun u [- 2 oraliqda kamayadi; 3 ].

X = - 2-maksimal nuqta, chunki bu vaqtda hosila belgisi dan o'zgaradi"+" dan "-" gacha.

f (– 2) = 2· (– 8) – 3·4 – 36·(– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 minimal nuqta, chunki bu nuqtada lotin belgisi o'zgaradi"-" dan "+" gacha.

f (3) = 2·27 – 3·9 – 36·3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

ph funksiyasining grafigi (X ) = – A x o'qiga parallel va koordinatalari (0.) bo'lgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqdir; – A ). Grafiklarda ikkita umumiy nuqta bor -A= 41, ya'ni. a =– 41 va – A= - 84, ya'ni. A = 84 .

da

41ph( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2-usul. Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli.

Muammoning shartlariga ko'ra, bu tenglama faqat ikkita ildizga ega bo'lishi kerakligi sababli, tenglik aniq:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 miloddan avvalgi ) x + b 2 c ,

Endi koeffitsientlarni bir xil darajalarda tenglashtirish X, biz tenglamalar tizimini olamiz

4 b + c = - 3

2b 2 + 2miloddan avvalgi = - 36

b 2 c = a – 3 .

Tizimning dastlabki ikkita tenglamasidan biz topamizb 2 + b – 6 = 0, qaerdan b 1 = - 3 yoki b 2 = 2 . Tegishli qiymatlarBilan 1 va Bilan 2 tizimning birinchi tenglamasidan topish oson:Bilan 1 = 9 yoki Bilan 2 = - 11. Nihoyat, parametrning kerakli qiymati tizimning oxirgi tenglamasidan aniqlanishi mumkin:

A = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 yoki a 2 = 84.

Javob: bu tenglama ikki xil farqga ega

ildiz da A= - 41 va A= 84 .

Muammo 4. Toping eng yuqori qiymat parametrA , buning uchun tenglamaX 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0

Butun sonli koeffitsientlar uchta turli ildizga ega, ulardan biri - 2 ga teng.

Yechim. 1 yo'l. O'rnini bosish X= - 2 tenglamaning chap tomoniga, biz olamiz

8 + 20 – 2 A + b= 0, ya'ni b = 2 a – 12 .

Raqam - 2 ildiz bo'lganligi sababli, biz umumiy omilni olishimiz mumkin X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a - 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (a – 6) ) .

Shartga ko'ra, tenglamaning yana ikkita ildizi mavjud. Bu ikkinchi omilning diskriminanti ijobiy ekanligini anglatadi.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0, ya'ni A < 8,25 .

Aftidan, javob bo'lardi a = 8 . Ammo biz 8 raqamini dastlabki tenglamaga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

ya'ni tenglama faqat ikki xil ildizga ega. Lekin qachon a = 7 aslida uch xil ildiz hosil qiladi.

2-usul. Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli.

Agar tenglama X 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0 ildizga ega X = - 2, keyin siz har doim raqamlarni olishingiz mumkinc Va d shuning uchun hammaning oldidaX tenglik haqiqat edi

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = (X + 2)(X 2 + Bilan x + d ).

Raqamlarni topish uchunc Va d Keling, o'ng tarafdagi qavslarni ochib, shunga o'xshash shartlarni qo'shamiz va olamiz

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + (2 + Bilan ) X 2 +(2 s + d ) X + 2 d

Tegishli kuchlarda koeffitsientlarni tenglashtirish X tizimimiz bor

2 + Bilan = 5

2 Bilan + d = a

2 d = b , qayerda c = 3 .

Demak, X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 yoki

d < 2.25, shuning uchun d (- ; 2 ].

Muammo shartlari qiymat bilan qondiriladi d = 1 . Parametrning oxirgi kerakli qiymatiA = 7.

JAVOB: qachon a = 7 bu tenglama uch xil ildizga ega.

2.3. Tenglamalarni yechish.

“Kichik muammolarni hal qilish orqali buni unutmang

O'zingizni katta va qiyin ishlarni bajarishga tayyorlang

yangi vazifalar”.

Akademik S.L.Sobolev

Ba'zi tenglamalarni echishda siz topqirlik va zukkolikni ko'rsatishingiz va maxsus usullardan foydalanishingiz mumkin va kerak. Turli xil o'zgartirish usullarini egallash va mantiqiy fikr yuritish qobiliyati matematikada muhim ahamiyatga ega. katta ahamiyatga ega. Ushbu hiylalardan biri yaxshi tanlangan ifoda yoki raqamni qo'shish va ayirishdir. Ko'rsatilgan faktning o'zi, albatta, hammaga yaxshi ma'lum - asosiy qiyinchilik - bu ma'lum bir konfiguratsiyada uni qo'llash qulay va maqsadga muvofiq bo'lgan tenglamalarning o'zgarishlarini ko'rish.

Oddiy algebraik tenglamadan foydalanib, biz tenglamalarni echishning bitta nostandart texnikasini ko'rsatamiz.

Masala 5. Tenglamani yeching

=
.

Yechim. Keling, bu tenglamaning ikkala tomonini 5 ga ko'paytiramiz va uni quyidagicha qayta yozamiz

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 yoki
= 0

Olingan tenglamalarni aniqlanmagan koeffitsientlar usuli yordamida yechamiz

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (reklama + miloddan avvalgi ) x++ bd

Koeffitsientlarni tenglashtirish X 3 , X 2 , X va bepul shartlar, biz tizimni olamiz

a + c = -1

b + A c + d = 0

reklama + miloddan avvalgi = -7

bd = -3, qaerdan topamiz:A = -2 ; b = - 1 ;

Bilan = 1 ; d = 3 .

Shunday qilib X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 yoki X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
ildizlari yo'q.

Xuddi shunday bizda ham bor

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

qayerda X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Javob: X 1,2 =

Masala 6. Tenglamani yeching

= 10.

Yechim. Ushbu tenglamani yechish uchun siz raqamlarni tanlashingiz kerakA Va b shuning uchun ikkala kasrning sanoqchilari bir xil bo'ladi. Shunday qilib, bizda tizim mavjud:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Shunday qilib, vazifa raqamlarni topishdirA Va b , buning uchun tenglik mavjud

(a + 6) X 2 + ah - 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Endi, ko'phadlarning tengligi haqidagi teoremaga ko'ra, bu tenglikning o'ng tomoni chap tomonidagi bir xil ko'phadga aylanishi kerak.

Boshqacha qilib aytganda, munosabatlar qoniqtirilishi kerak

a + 6 = 1

A = 5 + 2 b

– 5 = b , qiymatlarni qaerdan topamizA = - 5 ;

b = - 5 .

Ushbu qiymatlardaA Va b tenglik A + b = - 10 ham adolatli.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 yoki X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Javob: X 1,2 =
, X 3,4 =

Masala 7. Tenglamani yeching

= 4

Yechim. Bu tenglama avvalgilariga qaraganda murakkabroq va shuning uchun biz uni quyidagicha guruhlaymiz: X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Ikki ko'phadning tenglik shartidan

Oh 2 + (a + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

noma'lum koeffitsientlar uchun tenglamalar tizimini olamiz va yechamizA Va b :

A = 1

a + 6 = b + 11

12 = – 3 b , qayerda a = 1 , b = - 4 .

Polinomlar - 3 – 6X + cx 2 + 8 cx Va X 2 + 21 + 12 d – dx bir-biriga teng bo'lgandagina

Bilan = 1

8 Bilan - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , Bilan = 1 , d = - 2 .

Qadriyatlar bilana = 1 , b = - 4 , Bilan = 1 , d = - 2

tenglik
= - 4 to'g'ri.

Natijada, bu tenglama quyidagi shaklni oladi:

= 0 yoki
= 0 yoki
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Ko'rib chiqilgan misollardan ko'rinib turibdiki, noaniq koeffitsientlar usulidan qanday qilib mohirona foydalanish,

ancha murakkab, noodatiy tenglamaning yechimini soddalashtirishga yordam beradi.

2.4. Funktsional tenglamalar.

“Matematikaning eng oliy maqsadi...

ichida yashirin tartibni topishdir

bizni o'rab turgan tartibsizlik"

N. Viner

Funktsional tenglamalar juda umumiy sinf kerakli funksiya ma'lum funktsiya bo'lgan tenglamalar. So'zning tor ma'nosida funktsional tenglama deganda, kerakli funktsiyalar murakkab funktsiyani shakllantirish operatsiyasidan foydalangan holda bir yoki bir nechta o'zgaruvchilarning ma'lum funktsiyalari bilan bog'liq bo'lgan tenglamalar tushuniladi. Funksional tenglamani funksiyalarning ma'lum sinfini tavsiflovchi xususiyatning ifodasi sifatida ham ko'rish mumkin

[masalan, funksional tenglama f ( x ) = f (- x ) juft funksiyalar sinfini, funksional tenglamani xarakterlaydif (x + 1) = f (x ) – 1-davrga ega funksiyalar sinfi va boshqalar.].

Eng oddiy funksional tenglamalardan biri bu tenglamadirf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Ushbu funksional tenglamaning uzluksiz yechimlari shaklga ega

f (x ) = Cx . Biroq, uzluksiz funksiyalar sinfida bu funksional tenglama boshqa yechimlarga ega. Ko'rib chiqilayotgan funktsional tenglama bilan bog'langan

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

uzluksiz eritmalar, ular mos ravishda shaklga ega

e cx , BILANlnx , x α (x > 0).

Shunday qilib, bular funksional tenglamalar ko'rsatkichli, logarifmik va darajali funktsiyalarni aniqlash uchun ishlatilishi mumkin.

Eng ko'p qo'llaniladigan tenglamalar murakkab funktsiyalardagi tenglamalar bo'lib, unda zarur funktsiyalar tashqi funktsiyalardir. Nazariy va amaliy ilovalar

Aynan shu tenglamalar taniqli matematiklarni ularni o'rganishga undagan.

Masalan, da tekislash

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

N.I.Lobachevskiygeometriyamdagi parallellik burchagini aniqlashda foydalaniladi.

So'nggi yillarda matematika olimpiadalarida funktsional tenglamalarni echish bilan bog'liq masalalar ko'pincha taklif qilinadi. Ularning yechimi matematika dasturi doirasidan tashqarida bilimlarni talab qilmaydi o'rta maktablar. Biroq, funktsional tenglamalarni yechish ko'pincha ma'lum qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi.

Funksional tenglamalar yechimini topish usullaridan biri noaniq koeffitsientlar usulidir. Qachon foydalanish mumkin ko'rinish tenglamalarni aniqlash mumkin umumiy shakl kerakli funksiya. Bu, birinchi navbatda, tenglamalar yechimlari butun son yoki kasr ratsional funktsiyalar orasidan izlanishi kerak bo'lgan holatlarga tegishli.

Keling, quyidagi muammolarni hal qilish orqali ushbu texnikaning mohiyatini ko'rsatamiz.

Vazifa 8. Funktsiyaf (x ) barcha haqiqiy x uchun aniqlanadi va hamma uchun qanoatlantiradiX R holat

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Topingf (x ).

Yechim. Chunki bu tenglamaning chap tomonida mustaqil o'zgaruvchi x va funktsiya qiymatlarif faqat chiziqli amallar bajariladi, tenglamaning o'ng tomoni esa kvadratik funktsiya, u holda talab qilinadigan funktsiyani ham kvadratik deb taxmin qilish tabiiydir:

f (X) = bolta 2 + bx + c , Qayerdaa, b, c – aniqlanadigan koeffitsientlar, ya’ni noaniq koeffitsientlar.

Funktsiyani tenglamaga almashtirib, biz o'ziga xoslikka erishamiz:

3(bolta 2 + bx+ c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

bolta 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Ikki polinom, agar ular teng bo'lsa, bir xil teng bo'ladi

o'zgaruvchining bir xil kuchlari uchun koeffitsientlar:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

Ushbu tizimdan biz koeffitsientlarni topamiz

a = 1 , b = - , c = , Shuningdekqanoatlantiraditenglik

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 barcha haqiqiy sonlar to'plamida. Shu bilan birga, bundaylar mavjudx 0 9-topshiriq. Funksiyay =f(x) hamma uchun x aniqlangan, uzluksiz va shartni qanoatlantiradif (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Bunday ikkita funktsiyani toping.

Yechim. Istalgan funktsiya bo'yicha ikkita amal bajariladi - murakkab funktsiyani tuzish operatsiyasi va

ayirish. Tenglamaning o'ng tomoni chiziqli funktsiya ekanligini hisobga olsak, kerakli funktsiyani ham chiziqli deb taxmin qilish tabiiydir:f(x) = ah +b , QayerdaA Vab - noaniq koeffitsientlar. Ushbu funktsiyani ga almashtirishf (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , bular funksional tenglamaning yechimlarif (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Xulosa.

Xulosa qilib shuni ta'kidlash kerakki, ushbu ish asl nusxani yanada o'rganishga hissa qo'shishi shubhasiz samarali usul murakkabligi kuchaygan va maktab matematika kursini chuqur bilishni va yuksak mantiqiy madaniyatni talab qiluvchi turli xil matematik masalalarni yechish.Matematika boʻyicha oʻz bilimini mustaqil ravishda chuqurlashtirishni istagan har bir kishi ushbu ishda mulohaza yuritish va qiziqarli masalalar uchun material ham topadi. , uning yechimi foyda va mamnuniyat keltiradi.

Mavjud ichida ishlashda maktab o'quv dasturi va samarali idrok etish uchun qulay shaklda, matematika bo'yicha maktab kursini chuqurlashtirishga yordam beradigan noaniq koeffitsientlar usuli taqdim etiladi.

Albatta, noaniq koeffitsientlar usulining barcha imkoniyatlarini bir ishda ko'rsatib bo'lmaydi. Aslida, usul hali ham qo'shimcha o'rganish va tadqiqotlarni talab qiladi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati.

Gleyzer G.I..Maktabda matematika tarixi.-M.: Ta'lim, 1983 yil.

Gomonov S.A. Funktsional tenglamalar maktab kursi matematika // Maktabda matematika. - 2000. -№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.X.. Matematika bo'yicha qo'llanma. - M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Algebraik tenglamalar ixtiyoriy darajalar.-M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M.. Funktsional tenglamalarga elementar kirish. - Sankt-Peterburg. : Lan, 1997 yil.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. Matematik atamalarning izohli lug'ati.-M.: Ta'lim, 1971 y.

Modenov V.P.. Matematika bo'yicha qo'llanma. 1-qism.-M.: Moskva davlat universiteti, 1977 yil.

Modenov V.P.. Parametrlar bilan bog'liq muammolar. - M.: Imtihon, 2006 yil.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. Algebra va elementar funktsiyalar tahlili.- M.: Nauka, 1980.

Xaliullin A.A.. Siz buni osonroq hal qilishingiz mumkin // Maktabda matematika. – 2003 . - №8 .

Xaliullin.

4. 2 ko‘phadni kengaytiringX 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X Butun koeffitsientli ko'paytiruvchilar uchun + 3.

5. Qaysi qiymatda A X 3 + 6X 2 + Oh+ 12 boshiga X+ 4 ?

6. Parametrning qaysi qiymatidaA tenglamaX 3 +5 X 2 + + Oh + b Butun koeffitsientli = 0 ikkita turli ildizga ega, ulardan biri 1 ?

7. Ko‘phadning ildizlari orasida X 4 + X 3 – 18X 2 + Oh + b butun son koeffitsientlari bilan uchta teng butun son mavjud. Qiymatni toping b .

8. Parametrning eng katta butun qiymatini toping A, qaysi tenglama X 3 – 8X 2 + ah +b Butun sonli koeffitsientli = 0 uchta turli ildizga ega, ulardan biri 2 ga teng.

9. Qaysi qiymatlarda A Va b bo'linish qoldiqsiz bajariladi X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Oh + b yoqilgan X 2 – 3X + 2 ?

10. Omilli polinomlar:

A)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 d)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Tenglamalarni yeching:

A)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Toping f (X) .

13. Funktsiya da= f (X) hammaning oldida X belgilangan, uzluksiz va shartni qondiradi f ( f (X)) = f (X) + X. Bunday ikkita funktsiyani toping.

Kasr-ratsional funktsiyani integrallash.
Noaniq koeffitsient usuli

Biz kasrlarni integratsiyalash ustida ishlashni davom ettiramiz. Biz darsda kasrlarning ayrim turlarining integrallarini ko'rib chiqdik va bu darsni ma'lum ma'noda davomi deb hisoblash mumkin. Materialni muvaffaqiyatli tushunish uchun asosiy integratsiya ko'nikmalari talab qilinadi, shuning uchun agar siz integrallarni o'rganishni endi boshlagan bo'lsangiz, ya'ni siz yangi boshlovchi bo'lsangiz, unda siz maqoladan boshlashingiz kerak. Noaniq integral. Yechimlarga misollar.

G'alati, endi biz integrallarni topish bilan emas, balki... chiziqli tenglamalar tizimini yechish bilan shug'ullanamiz. Ushbu munosabatda zudlik bilan Darsga qatnashishni tavsiya qilaman, ya'ni almashtirish usullarini ("maktab" usuli va tizim tenglamalarini davr bo'yicha qo'shish (ayirish) usulini) yaxshi bilishingiz kerak.

Kasrli ratsional funksiya nima? Oddiy so'zlar bilan aytganda, kasr-ratsional funktsiya - bu son va maxrajida ko'phadlar yoki ko'phadlarning mahsuloti bo'lgan kasr. Bundan tashqari, fraktsiyalar maqolada muhokama qilinganlarga qaraganda ancha murakkab Ayrim kasrlarni integrallash.

To'g'ri kasr-ratsional funktsiyani integrallash

Darhol misol va kasr-ratsional funktsiyaning integralini echishning tipik algoritmi.

1-misol

1-qadam. Kasrli ratsional funktsiyaning integralini yechishda biz har doim qiladigan birinchi narsa quyidagi savolga aniqlik kiritishdir: kasr to'g'rimi? Ushbu qadam og'zaki ravishda amalga oshiriladi va endi men buni qanday qilib tushuntiraman:

Avval biz numeratorga qaraymiz va bilib olamiz oliy daraja polinom:

Numeratorning etakchi kuchi ikkitadir.

Endi biz maxrajga qaraymiz va aniqlaymiz oliy daraja maxraj. Aniq yo'l qavslarni ochish va shunga o'xshash shartlarni keltirishdir, lekin siz buni oddiyroq qilishingiz mumkin har biri qavs ichida eng yuqori darajani toping

va aqliy ko'paytiring: - demak, maxrajning eng yuqori darajasi uchga teng. Agar biz qavslarni ochsak, biz uchtadan yuqori darajaga ega bo'lmasligimiz aniq.

Xulosa: Numeratorning asosiy darajasi QAT'IQ maxrajning eng yuqori kuchidan kichik, ya'ni kasr to'g'ri.

Agar bu misolda hisoblagich 3, 4, 5 va hokazo ko'phadni o'z ichiga olgan bo'lsa. daraja bo'lsa, kasr bo'ladi noto'g'ri.

Endi biz faqat to'g'ri kasr ratsional funktsiyalarni ko'rib chiqamiz. Numeratorning darajasi maxraj darajasidan katta yoki teng bo'lgan holat dars oxirida muhokama qilinadi.

2-qadam. Keling, maxrajni koeffitsientlarga ajratamiz. Keling, bizning maxrajimizni ko'rib chiqaylik:

Umuman olganda, bu allaqachon omillar mahsulidir, lekin shunga qaramay, biz o'zimizga savol beramiz: boshqa narsani kengaytirish mumkinmi? Qiynoq ob'ekti, shubhasiz, kvadrat trinomial bo'ladi. Keling, qaror qilaylik kvadrat tenglama:

Diskriminant noldan katta, ya'ni trinomial haqiqatan ham faktorlarga ajratilishi mumkin:

Umumiy qoida: Maxrajga ko‘paytirilishi MUMKIN HAMMA NARSA - biz uni faktor qilamiz

Keling, yechimni shakllantirishni boshlaylik:

3-qadam. Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanib, biz integratsiyani oddiy (elementar) kasrlar yig'indisiga kengaytiramiz. Endi aniqroq bo'ladi.

Keling, integral funktsiyamizni ko'rib chiqaylik:

Va, bilasizmi, qandaydir tarzda intuitiv fikr paydo bo'ladi, bizning katta kasrimizni bir nechta kichik qismlarga aylantirsak yaxshi bo'lardi. Masalan, bu kabi:

Savol tug'iladi, hatto buni qilish mumkinmi? Keling, yengil nafas olaylik, matematik tahlilning tegishli teoremasi aytilgan - MUMKIN. Bunday parchalanish mavjud va noyobdir.

Faqat bitta ushlash bor, ehtimol Xayr Biz bilmaymiz, shuning uchun nom - noaniq koeffitsientlar usuli.

Siz taxmin qilganingizdek, keyingi tana harakatlari shunday, qichqirmang! faqat ularni tan olishga qaratilgan bo'ladi - ular nimaga teng ekanligini aniqlash.

Ehtiyot bo'ling, men faqat bir marta batafsil tushuntiraman!

Shunday qilib, raqsga tushishni boshlaylik:

Chap tomonda biz ifodani umumiy maxrajga qisqartiramiz:

Endi biz maxrajlardan xavfsiz xalos bo'lishimiz mumkin (chunki ular bir xil):

Chap tomonda biz qavslarni ochamiz, ammo hozircha noma'lum koeffitsientlarga tegmang:

Shu bilan birga, biz takrorlaymiz maktab qoidasi polinomlarni ko'paytirish. Men o'qituvchi bo'lganimda, men bu qoidani tekis yuz bilan talaffuz qilishni o'rgandim: Ko'phadni ko'phadga ko'paytirish uchun bitta ko'phadning har bir hadini boshqa ko'phadning har bir hadiga ko'paytirish kerak..

Aniq tushuntirish nuqtai nazaridan, koeffitsientlarni qavs ichiga qo'yish yaxshiroqdir (garchi men vaqtni tejash uchun buni hech qachon qilmayman):

Biz chiziqli tenglamalar tizimini tuzamiz.
Avval biz yuqori darajalarni qidiramiz:

Va tizimning birinchi tenglamasiga mos keladigan koeffitsientlarni yozamiz:

Quyidagi fikrni yaxshilab eslang. Agar o'ng tomonda umuman s bo'lmasa nima bo'lar edi? Aytaylik, u hech qanday kvadratsiz o'zini ko'rsatadimi? Bunday holda, tizim tenglamasida o'ng tomonga nol qo'yish kerak bo'ladi: . Nega nol? Ammo o'ng tomonda siz har doim bir xil kvadratni nol bilan belgilashingiz mumkin bo'lgani uchun: Agar o'ng tomonda o'zgaruvchilar va/yoki bo'sh atama bo'lmasa, tizimning mos keladigan tenglamalarining o'ng tomonlariga nol qo'yamiz.

Tizimning ikkinchi tenglamasiga mos keladigan koeffitsientlarni yozamiz:

Va nihoyat, mineral suv, biz bepul a'zolarni tanlaymiz.

E... Hazil qildim. Hazillar chetga suriladi - matematika jiddiy fan. Institutimiz guruhida dotsent atamalarni son chizig‘i bo‘ylab sochaman, eng kattasini tanlayman, desa, hech kim kulmadi. Keling, jiddiy gapiraylik. Garchi... kim bu darsning oxirini ko'rish uchun yashasa, baribir jimgina tabassum qiladi.

Tizim tayyor:

Biz tizimni hal qilamiz:

(1) Birinchi tenglamadan biz uni ifodalaymiz va tizimning 2 va 3 tenglamalariga almashtiramiz. Aslida, boshqa tenglamadan (yoki boshqa harfni) ifodalash mumkin edi, lekin bu holda uni 1-tenglamadan ifodalash foydalidir, chunki u erda eng kichik imkoniyatlar.

(2) Biz 2 va 3 tenglamalarda o'xshash atamalarni keltiramiz.

(3) 2 va 3 tenglamalarni hadlar bo'yicha qo'shamiz, tenglikni olamiz, bundan kelib chiqadiki

(4) Biz buni topadigan ikkinchi (yoki uchinchi) tenglamani almashtiramiz

(5) Birinchi tenglamaga almashtiring va ni oling.

Agar siz tizimni hal qilish usullarida qiyinchiliklarga duch kelsangiz, ularni sinfda mashq qiling. Chiziqli tenglamalar sistemasi qanday yechiladi?

Tizimni hal qilgandan so'ng, har doim tekshirish foydali bo'ladi - topilgan qiymatlarni almashtiring har tizimning tenglamasi, natijada hamma narsa "yaqinlashishi" kerak.

Deyarli bor. Koeffitsientlar topildi va:

Tugallangan ish quyidagicha ko'rinishi kerak:

Ko‘rib turganingizdek, vazifaning asosiy qiyinligi chiziqli tenglamalar tizimini tuzish (to‘g‘ri!) va yechish (to‘g‘ri!) edi. Va oxirgi bosqichda hamma narsa unchalik qiyin emas: biz noaniq integralning chiziqlilik xususiyatlaridan foydalanamiz va integrallaymiz. Esda tutingki, uchta integralning har birida bizda "erkin" mavjud. murakkab funktsiya, Men sinfda uning integratsiyalashuvining xususiyatlari haqida gapirdim Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli.

Tekshiring: Javobni farqlang:

Asl integral funksiyasi olindi, ya'ni integral to'g'ri topildi.
Tekshirish paytida biz ifodani umumiy maxrajga qisqartirishimiz kerak edi va bu tasodifiy emas. Noaniq koeffitsientlar usuli va ifodani umumiy maxrajga keltirish o'zaro teskari harakatlardir.

2-misol

Noaniq integralni toping.

Birinchi misoldagi kasrga qaytaylik: . Aytish osonki, maxrajda barcha omillar TURLI. Savol tug'iladi, agar, masalan, quyidagi kasr berilgan bo'lsa, nima qilish kerak: ? Bu erda bizda maxraj bo'yicha darajalar bor yoki matematik jihatdan, karrali. Bundan tashqari, faktorlarga ajratib bo'lmaydigan kvadrat trinomiya mavjud (tenglamaning diskriminantini tekshirish oson manfiy, shuning uchun trinomialni koeffitsientlarga ajratish mumkin emas). Nima qilish kerak? Yig'inning kengayishi elementar kasrlar kabi ko'rinadi tepada noma'lum koeffitsientlar yoki boshqa narsa bilanmi?

3-misol

Funktsiyani kiriting

1-qadam. To'g'ri kasr borligini tekshirish
Asosiy hisoblagich: 2
Maxrajning eng yuqori darajasi: 8
, ya'ni kasr to'g'ri.

2-qadam. Maxrajga biror narsani koeffitsient qilish mumkinmi? Shubhasiz, yo'q, hamma narsa allaqachon qo'yilgan. Kvadrat trinomialni yuqorida ko'rsatilgan sabablarga ko'ra mahsulotga kengaytirib bo'lmaydi. Kaput. Kamroq ish.

3-qadam. Kasr-ratsional funktsiyani elementar kasrlar yig'indisi sifatida tasavvur qilaylik.
Bunday holda, kengayish quyidagi shaklga ega:

Keling, bizning maxrajimizni ko'rib chiqaylik:
Kasr-ratsional funktsiyani elementar kasrlar yig'indisiga ajratishda uchta asosiy nuqtani ajratib ko'rsatish mumkin:

1) Agar denominator birinchi darajaga "yolg'iz" omilni o'z ichiga olsa (bizning holatlarimizda), biz yuqoriga noaniq koeffitsient qo'yamiz (bizning holatlarimizda). 1, 2-misollar faqat shunday "yolg'iz" omillardan iborat edi.

2) Agar maxraj mavjud bo'lsa bir nechta multiplikator bo'lsa, unda siz uni quyidagicha parchalashingiz kerak:
- ya'ni "X" ning barcha darajalarini birinchi darajadan n darajagacha ketma-ket bosib o'ting. Bizning misolimizda ikkita bir nechta omil mavjud: va men bergan kengaytmani yana bir bor ko'rib chiqing va ular aynan shu qoidaga muvofiq kengaytirilganligiga ishonch hosil qiling.

3) Agar maxraj ikkinchi darajali ajralmaydigan ko'phadni o'z ichiga olsa (bizning holimizda), u holda hisoblagichga parchalashda siz yozishingiz kerak. chiziqli funksiya noaniq koeffitsientlar bilan (bizning holatlarimizda noaniq koeffitsientlar va ).

Aslida, yana 4-holati bor, lekin men bu haqda jim turaman, chunki amalda bu juda kam uchraydi.

4-misol

Funktsiyani kiriting noma'lum koeffitsientli elementar kasrlar yig'indisi sifatida.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Algoritmga qat'iy rioya qiling!

Agar siz kasr-ratsional funktsiyani yig'indiga kengaytirishingiz kerak bo'lgan tamoyillarni tushunsangiz, ko'rib chiqilayotgan turdagi deyarli har qanday integralni chaynashingiz mumkin.

5-misol

Noaniq integralni toping.

1-qadam. Shubhasiz, kasr to'g'ri:

2-qadam. Maxrajga biror narsani koeffitsient qilish mumkinmi? mumkin. Bu erda kublarning yig'indisi . Qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib, maxrajni ko'paytiring

3-qadam. Noaniq koeffitsientlar usulidan foydalanib, biz integratsiyani elementar kasrlar yig'indisiga kengaytiramiz:

E'tibor bering, polinomni faktorlarga ajratib bo'lmaydi (diskriminantning manfiy ekanligini tekshiring), shuning uchun yuqori qismida biz bitta harf emas, balki noma'lum koeffitsientli chiziqli funktsiyani qo'yamiz.

Biz kasrni umumiy maxrajga keltiramiz:

Keling, tizimni tuzamiz va hal qilamiz:

(1) Biz birinchi tenglamadan ifodalaymiz va uni tizimning ikkinchi tenglamasiga almashtiramiz (bu eng oqilona yo'l).

(2) Biz ikkinchi tenglamada o'xshash shartlarni keltiramiz.

(3) Biz tizimning ikkinchi va uchinchi tenglamalarini davr bo'yicha qo'shamiz.

Barcha keyingi hisob-kitoblar, qoida tariqasida, og'zaki, chunki tizim oddiy.

(1) Topilgan koeffitsientlarga muvofiq kasrlar yig'indisini yozamiz.

(2) Biz noaniq integralning chiziqlilik xossalaridan foydalanamiz. Ikkinchi integralda nima sodir bo'ldi? Siz ushbu usul bilan darsning oxirgi xatboshida tanishishingiz mumkin. Ayrim kasrlarni integrallash.

(3) Biz yana bir bor chiziqlilik xususiyatlaridan foydalanamiz. Uchinchi integralda biz to'liq kvadratni ajratishni boshlaymiz (darsning oxirgi paragrafi Ayrim kasrlarni integrallash).

(4) Biz ikkinchi integralni olamiz, uchinchisida biz to'liq kvadratni tanlaymiz.

(5) Uchinchi integralni oling. Tayyor.

Usul har qanday miqdordagi o'zgaruvchilarning mantiqiy algebra funktsiyalarini minimallashtirish uchun qo'llaniladi.

Keling, uchta o'zgaruvchining holatini ko'rib chiqaylik. DNF-dagi mantiqiy funktsiya DNF-ga kiritilishi mumkin bo'lgan barcha turdagi kon'yunktiv atamalar shaklida ifodalanishi mumkin:

bu yerda kO(0,1) koeffitsientlar. Usul koeffitsientlarni natijada DNF minimal bo'ladigan tarzda tanlashdan iborat.

Agar biz endi 000 dan 111 gacha bo'lgan o'zgaruvchilarning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini o'rnatsak, koeffitsientlarni aniqlash uchun 2 n (2 3 = 8) tenglamani olamiz. k:

Funktsiya nol qiymatini oladigan to'plamlarni hisobga olib, 0 ga teng bo'lgan koeffitsientlarni aniqlang va ularni o'ng tomonida 1 bo'lgan tenglamalardan kesib tashlang. Har bir tenglamada qolgan koeffitsientlardan bittasi bitta koeffitsientga tenglashtiriladi, bu esa eng past darajali birikma. Qolgan koeffitsientlar 0 ga teng. Demak, birlik koeffitsientlari k tegishli minimal shaklni aniqlang.

Misol. Minimallashtirish berilgan funksiya

qiymatlar ma'lum bo'lsa: ; ; ; ; ; ; ; .

Yechim.

Nolinchi koeffitsientlarni kesib tashlaganimizdan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

=1;

=1;

=1.

Eng past darajali birikmaga mos keladigan koeffitsientni birga tenglashtiramiz va oxirgi to'rtta tenglamani 1 ga aylantiramiz va birinchi tenglamada koeffitsientni 1 ga tenglashtirish tavsiya etiladi. Qolgan koeffitsientlar 0 ga o'rnatiladi.

Javob: minimallashtirilgan funksiya turi.

Shuni ta'kidlash kerakki, noaniq koeffitsientlar usuli o'zgaruvchilar soni kichik bo'lganda va 5-6 dan oshmasa samarali bo'ladi.

Ko'p o'lchovli kub

Funktsiyaning ko'p o'lchovli kub shaklida grafik tasvirini ko'rib chiqaylik. Har bir cho'qqi n-o'lchovli kubni birlikning tarkibiy qismi bilan moslashtirish mumkin.

Belgilangan cho'qqilarning pastki to'plami xaritalashdir n-dan mantiqiy funktsiyaning o'lchovli kubi n SDNF-dagi o'zgaruvchilar.

Funktsiyani ko'rsatish uchun n har qanday DNFda taqdim etilgan o'zgaruvchilar uchun uning minitermlari va elementlari o'rtasida yozishmalarni o'rnatish kerak n- o'lchovli kub.

(n-1) darajali minitermni ikkita minitermni bir-biriga yopishtirish natijasi deb hisoblash mumkin n- daraja, ya'ni.

Yoniq n-o'lchovli kub, bu faqat koordinata qiymatlarida farq qiluvchi ikkita cho'qqi o'rniga mos keladi x i, bu cho'qqilarni chekka bilan bog'lash (qirra unga tushgan cho'qqilarni qoplash uchun aytiladi).

Shunday qilib, minitermlar ( n-1)-tartib n o'lchovli kubning chetlariga mos keladi.

Xuddi shunday, minitermlarning yozishmalari ( n-2) tartibli yuzlar n-har biri to'rtta cho'qqini (va to'rtta qirrani) qamrab olgan o'lchovli kub.

Elementlar n-o'lchovli kub, bilan xarakterlanadi S o'lchovlar deyiladi S- kublar

Demak, uchlari 0 kub, qirralari 1 kub, yuzlar 2 kub va hokazo.

Xulosa qilib aytishimiz mumkinki, miniterm ( n-S) funktsiya uchun DNF darajasida n o'zgaruvchilar ko'rsatiladi S- har biri bir kub S-kub faqat uchlari bilan bog'langan pastki o'lchamdagi barcha kublarni qamrab oladi.

Misol. Shaklda. xaritalash berilgan

Bu erda minitermlar va 1-kubga to'g'ri keladi ( S=3-2=1) va miniterm x 3 2 kubgacha ko'rsatiladi ( S=3-1=2).

Shunday qilib, har qanday DNF bilan xaritalanadi n-jamilikda o'lchovli kub S-tarkibiy birliklarga mos keladigan barcha uchlarini qamrab oluvchi kublar (0-kub).

Tarkibi. O'zgaruvchilar uchun x 1,x 2,…x n ifoda birlikning tarkibiy qismi deb ataladi va - nolning tarkibiy qismi (yoki yoki degan ma'noni anglatadi).

Bitta (nol) ning ushbu tarkibiy qismi faqat bitta mos keladigan o'zgaruvchilar qiymatlari to'plami bilan bitta (nol) ga aylanadi, bu barcha o'zgaruvchilar bir (nol) ga va ularning inkorlari nolga (bir) teng olinsa olinadi.

Masalan: tashkil etuvchi to'plamga (1011) to'g'ri keladi va tashkil etuvchi nol. - to'plam (1001).

SD(K)NF bir (nol) ning tarkibiy qismlarining dis'yunksiyasi (konjunksiyasi) bo'lganligi sababli, u ifodalovchi mantiqiy funktsiyani ta'kidlash mumkin. f(x 1 , x 2 ,…, x n) faqat o'zgaruvchan qiymatlar to'plami uchun bitta (nol) ga aylanadi x 1 , x 2 ,…, x n, bu kostitutlarga mos keladi. Boshqa to'plamlarda bu funksiya 0 (bir) ga aylanadi.

Qarama-qarshi gap ham to'g'ri bo'lib, unga asoslanadi har qanday ifodalash usuli Jadvalda ko'rsatilgan mantiqiy funktsiya.

Buning uchun funktsiya qiymat oladigan o'zgaruvchilar qiymatlari to'plamiga mos keladigan bitta (nol) ning tarkibiy qismlarining dis'yunksiyalarini (konjunksiyalarini) yozish kerak, birga teng(nol).

Masalan, jadval orqali berilgan funksiya

mos keladi

Olingan ifodalarni mantiq algebrasining xossalari asosida boshqa shaklga aylantirish mumkin.

Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar biron bir to'plam S-kublar mos keladigan barcha cho'qqilar to'plamini qamrab oladi yagona qiymatlar funksiyalar, so'ngra ularga mos keladigan dis'yunksiya S-minitermlar kublari bu funksiyaning DNF da ifodasidir.

Ular shunday to'plamni aytishadi S-kublar (yoki ularga mos keladigan minitermlar) funksiyaning qoplamasini tashkil qiladi. Minimal shaklga bo'lgan istak intuitiv ravishda bunday qoplamani, raqamni izlash sifatida tushuniladi S-ulardan kamroq kublar va ularning o'lchamlari S- Ko'proq. Minimal shaklga mos keladigan qoplama minimal qamrov deb ataladi.

Masalan, funksiya uchun da= qoplama minimal bo'lmagan shaklga mos keladi.