Eslash juda oson.

Xo'sh, uzoqqa bormaylik, darhol ko'rib chiqaylik teskari funktsiya. Qaysi funktsiyaga teskari funksiya eksponensial funktsiya? Logarifm:

Bizning holatda, asosiy raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Bu nimaga teng? Albatta, .

Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:

Misollar:

1. Funktsiyaning hosilasini toping.
2. Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Ko'rgazma ishtirokchisi va tabiiy logarifm- funksiyalar hosilalari jihatidan o‘ziga xos sodda. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Nima qoidalari? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Ana xolos. Bu jarayonni bir so'z bilan yana nima deb atash mumkin? Hosil emas... Matematiklar differensialni funksiyaning bir xil o'sish qismi deb atashadi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Ularning o'sishi uchun bizga formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - ba'zi doimiy raqam(doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Bo'lsin, yoki oddiyroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

1. bir nuqtada;
2. bir nuqtada;
3. bir nuqtada;
4. nuqtada.

Yechimlar:

1. (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki bu chiziqli funksiya, esingizdami?);

Mahsulot hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: keling, yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

1. va funksiyalarining hosilalarini toping;
2. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichlarni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (bu nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, qandaydir raqam qaerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga qisqartirishga harakat qilaylik:

Buning uchun biz foydalanamiz oddiy qoida: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Bo'ldimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: u xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Bu shunchaki kalkulyatorsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni oddiyroq shaklda yozib bo'lmaydi. Shuning uchun biz uni javobda ushbu shaklda qoldiramiz.

E'tibor bering, bu erda ikkita funktsiyaning nisbati mavjud, shuning uchun biz mos keladigan farqlash qoidasini qo'llaymiz:

Ushbu misolda ikkita funktsiyaning mahsuloti:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Bu erda ham xuddi shunday: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, boshqa asosli ixtiyoriy logarifmni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni bazaga qisqartirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Faqat hozir uning o'rniga yozamiz:

Maxraj oddiygina doimiy (o‘zgarmas son, o‘zgaruvchisiz). lotin juda oddiy olinadi:

Ko'rsatkichlarning hosilalari va logarifmik funktsiyalar Yagona davlat imtihonida deyarli ko'rinmaydi, lekin ularni bilish zarar qilmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, arktangent emas. Ushbu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi siz logarifmni qiyin deb bilsangiz, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va siz yaxshi bo'lasiz), lekin matematik nuqtai nazardan, "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Natijada kompozitsion ob'ekt paydo bo'ladi: shokolad bari o'ralgan va lenta bilan bog'langan. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari qadamlarni bajarishingiz kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda biz sonning kosinusini topamiz, so'ngra olingan sonning kvadratini olamiz. Shunday qilib, bizga raqam (shokolad) beriladi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funktsiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni to'g'ridan-to'g'ri o'zgaruvchi bilan, so'ngra ikkinchi amalni birinchisidan kelib chiqqan holda bajaramiz.

Boshqa so'z bilan, murakkab funksiya - bu argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funksiya: .

Bizning misolimiz uchun, .

Xuddi shu amallarni teskari tartibda bemalol bajarishimiz mumkin: avval siz uni kvadratga aylantirasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman: . Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Murakkab funktsiyalarning muhim xususiyati: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Oxirgi qilgan amalimiz chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchilarni o'zgartirishga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

1. Biz birinchi navbatda qanday harakat qilamiz? Birinchidan, sinusni hisoblab chiqamiz va shundan keyingina uni kubga aylantiramiz. Bu shuni anglatadiki, bu ichki funktsiya, lekin tashqi funktsiyadir.
   Va asl vazifasi ularning tarkibi: .
2. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
3. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
4. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
5. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .

Biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokolad barimizni ajratib olamiz va hosilani qidiramiz. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misolga kelsak, u quyidagicha ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

Yechimlar:

1) ichki: ;

Tashqi: ;

2) ichki: ;

(Faqat hozircha uni kesishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqmaydi, esingizdami?)

3) ichki: ;

Tashqi: ;

Bu uch darajali murakkab funktsiya ekanligi darhol ayon bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiyadir va biz undan ildizni ham chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'rashga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: biz hali ham bu funktsiyani odatdagidek tartibda "ochamiz": oxiridan.

Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.

Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifoda qiymatini hisoblash uchun qanday tartibda amallarni bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Harakat qanchalik kech bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi avvalgisiga o'xshaydi:

Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.

1. Radikal ifoda. .

2. Ildiz. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hammasini birlashtirib:

HOSILA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Funktsiyaning hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishi uchun argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

Yig'indining hosilasi:

Mahsulot hosilasi:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

1. Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
2. Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
3. Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

Biz eng oddiy hosilalarni tahlil qildik, shuningdek, farqlash qoidalari va ba'zilari bilan tanishdik. texnik usullar hosilalarni topish. Shunday qilib, agar siz funktsiyalarning hosilalarini yaxshi bilmasangiz yoki ushbu maqoladagi ba'zi fikrlar to'liq tushunarsiz bo'lsa, avval yuqoridagi darsni o'qing. Iltimos, jiddiy kayfiyatda bo'ling - material oddiy emas, lekin baribir uni sodda va aniq taqdim etishga harakat qilaman.

Amalda murakkab funksiyaning hosilasi bilan juda tez-tez shug‘ullanishga to‘g‘ri keladi, hattoki, hosilalarni topish bo‘yicha topshiriqlar berilganda ham, deyarli har doim aytaman.

Murakkab funktsiyani differensiallash uchun qoida (№ 5) jadvaliga qaraymiz:

Keling, buni aniqlaylik. Avvalo, kirishga e'tibor beraylik. Bu erda bizda ikkita funktsiya mavjud - va , va funksiya, majoziy ma'noda, funktsiya ichida joylashgan. Bunday turdagi funktsiya (bir funktsiya boshqasining ichiga joylashtirilganda) murakkab funktsiya deyiladi.

Men funktsiyani chaqiraman tashqi funktsiya, va funksiya – ichki (yoki ichki) funksiya.

! Ushbu ta'riflar nazariy emas va topshiriqlarning yakuniy dizaynida ko'rinmasligi kerak. murojaat qilaman norasmiy ifodalar“Tashqi funksiya”, “ichki” funksiyasi faqat materialni tushunishingizni osonlashtiradi.

Vaziyatni aniqlashtirish uchun quyidagilarni ko'rib chiqing:

1-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Sinus ostida bizda nafaqat "X" harfi, balki butun ifoda mavjud, shuning uchun hosilani jadvaldan darhol topish ishlamaydi. Bundan tashqari, biz bu erda birinchi to'rtta qoidani qo'llashning iloji yo'qligini payqadik, farq borga o'xshaydi, lekin haqiqat shundaki, sinusni "bo'laklarga bo'lib bo'lmaydi":

Ushbu misolda, mening tushuntirishlarimdan allaqachon intuitiv ravishda aniq bo'ladiki, funktsiya murakkab funktsiya, polinom esa ichki funktsiya (o'rnatish) va tashqi funktsiyadir.

Birinchi qadam murakkab funksiyaning hosilasini topishda nima qilish kerak qaysi funktsiya ichki va qaysi tashqi ekanligini tushunish.

Oddiy misollarda, ko'phad sinus ostida joylashganligi aniq ko'rinadi. Ammo hamma narsa aniq bo'lmasa-chi? Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini qanday aniq aniqlash mumkin? Buning uchun men aqliy yoki qoralama shaklida bajarilishi mumkin bo'lgan quyidagi texnikadan foydalanishni taklif qilaman.

Tasavvur qilaylik, biz kalkulyatorda ifoda qiymatini hisoblashimiz kerak (bitta o'rniga har qanday raqam bo'lishi mumkin).

Avval nimani hisoblaymiz? Birinchidan siz quyidagi amalni bajarishingiz kerak bo'ladi: , shuning uchun polinom ichki funktsiya bo'ladi:

Ikkinchidan topish kerak bo'ladi, shuning uchun sinus - tashqi funktsiya bo'ladi:

Bizdan keyin SOTILDI ichki va tashqi funktsiyalar bilan murakkab funktsiyalarni farqlash qoidasini qo'llash vaqti keldi .

Keling, qaror qabul qilishni boshlaylik. Darsdan hosilani qanday topish mumkin? Biz har qanday hosila uchun yechimning dizayni har doim shunday boshlanishini eslaymiz - biz ifodani qavs ichiga olamiz va yuqori o'ngga chiziq qo'yamiz:

Boshida tashqi funksiya (sinus) hosilasini toping, hosilalar jadvaliga qarang elementar funktsiyalar va biz buni sezamiz. Agar "x" murakkab ifoda bilan almashtirilsa, barcha jadval formulalari ham amal qiladi, Ushbu holatda:

E'tibor bering, ichki funktsiya o'zgarmadi, biz unga tegmaymiz.

Xo'sh, bu juda aniq

Formulani qo'llash natijasi yakuniy shaklda u quyidagicha ko'rinadi:

Doimiy omil odatda ifoda boshida joylashtiriladi:

Agar biron bir tushunmovchilik bo'lsa, echimni qog'ozga yozing va tushuntirishlarni qayta o'qing.

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

3-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Har doimgidek, biz yozamiz:

Keling, qaerda tashqi funktsiyamiz borligini va qaerda ichki funksiyamiz borligini aniqlaylik. Buning uchun biz (aqliy yoki qoralamada) ifoda qiymatini hisoblashga harakat qilamiz. Avval nima qilish kerak? Avvalo, siz asos nimaga teng ekanligini hisoblashingiz kerak: shuning uchun polinom ichki funktsiyadir:

Va shundan keyingina eksponentsiya bajariladi, shuning uchun quvvat funktsiyasi tashqi funktsiyadir:

Formulaga ko'ra , birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini, bu holda darajani topishingiz kerak. Jadvaldan kerakli formulani qidiramiz: . Yana takrorlaymiz: har qanday jadval formulasi nafaqat "X" uchun, balki murakkab ifoda uchun ham amal qiladi. Shunday qilib, murakkab funktsiyani farqlash qoidasini qo'llash natijasi Keyingisi:

Yana bir bor ta'kidlaymanki, biz tashqi funktsiyaning hosilasini olganimizda, bizning ichki funktsiyamiz o'zgarmaydi:

Endi faqat ichki funktsiyaning juda oddiy hosilasini topish va natijani biroz o'zgartirish qoladi:

4-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (dars oxirida javob).

Murakkab funktsiyaning hosilasi haqidagi tushunchangizni mustahkamlash uchun men izohlarsiz misol keltiraman, buni o'zingiz aniqlashga harakat qiling, tashqi va ichki funktsiya qayerda ekanligini, nima uchun vazifalar bu tarzda hal qilingan?

5-misol

a) funksiyaning hosilasini toping

b) funksiyaning hosilasini toping

6-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda bizda ildiz bor va ildizni farqlash uchun uni kuch sifatida ifodalash kerak. Shunday qilib, avval biz funktsiyani farqlash uchun mos shaklga keltiramiz:

Funksiyani tahlil qilib, biz uchta hadning yig'indisi ichki funktsiya, kuchga ko'tarish esa tashqi funktsiya degan xulosaga kelamiz. Biz murakkab funksiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz :

Biz darajani yana radikal (ildiz) sifatida ifodalaymiz va ichki funktsiyaning hosilasi uchun yig'indini farqlash uchun oddiy qoidani qo'llaymiz:

Tayyor. Qavslar ichidagi ifodani ham berishingiz mumkin umumiy maxraj va hamma narsani bitta kasr sifatida yozing. Bu, albatta, go'zal, lekin siz og'ir uzun lotinlarni olganingizda, buni qilmaslik yaxshiroqdir (chalkashib ketish, keraksiz xatoga yo'l qo'yish oson va o'qituvchiga tekshirish noqulay bo'ladi).

7-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (dars oxirida javob).

Qizig'i shundaki, ba'zida murakkab funktsiyani farqlash qoidasi o'rniga, siz qismni farqlash qoidasidan foydalanishingiz mumkin. , lekin bunday yechim noodatiy buzuqlik kabi ko'rinadi. Mana odatiy misol:

8-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz qismni farqlash qoidasidan foydalanishingiz mumkin , lekin hosilani murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasi orqali topish ancha foydalidir:

Biz funktsiyani farqlash uchun tayyorlaymiz - biz minusni hosila belgisidan chiqaramiz va kosinusni hisoblagichga ko'taramiz:

Kosinus - ichki funktsiya, ko'rsatkich - tashqi funktsiya.
Keling, qoidamizdan foydalanaylik :

Biz ichki funktsiyaning hosilasini topamiz va kosinusni qayta tiklaymiz:

Tayyor. Ko'rib chiqilgan misolda, belgilarda chalkashmaslik kerak. Aytgancha, qoida yordamida uni hal qilishga harakat qiling , javoblar mos kelishi kerak.

9-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misol (dars oxirida javob).

Hozirgacha biz murakkab funktsiyada faqat bitta uyaga ega bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdik. Amaliy topshiriqlarda siz ko'pincha lotinlarni topishingiz mumkin, ularda qo'g'irchoqlar kabi, bir vaqtning o'zida 3 yoki hatto 4-5 funktsiya bir-birining ichiga joylashtirilgan.

10-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Keling, ushbu funktsiyaning qo'shimchalarini tushunaylik. Eksperimental qiymatdan foydalanib, ifodani hisoblashga harakat qilaylik. Kalkulyatorga qanday ishonishimiz mumkin?

Avval siz ni topishingiz kerak, ya'ni arksine eng chuqur joylashuvdir:

Birning bu yoyi kvadratiga aylantirilishi kerak:

Va nihoyat, ettitani kuchga ko'taramiz:

Ya'ni, bu misolda bizda uchta turli funksiya va ikkita o'rnatish mavjud, eng ichki funktsiya arksinus, eng tashqi funktsiya esa eksponensial funktsiyadir.

Keling, qaror qabul qilishni boshlaylik

Qoidaga ko'ra Avval siz tashqi funktsiyaning hosilasini olishingiz kerak. Biz hosilalar jadvaliga qaraymiz va ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini topamiz: Yagona farq shundaki, "x" o'rniga bizda murakkab ifoda mavjud bo'lib, bu formulaning haqiqiyligini inkor etmaydi. Demak, murakkab funktsiyani differensiallash qoidasini qo'llash natijasi Keyingisi.

Matematikada fizik masalalar yoki misollarni yechish hosila va uni hisoblash usullarini bilmasdan turib mutlaqo mumkin emas. Hosila matematik tahlildagi eng muhim tushunchalardan biridir. Biz bugungi maqolani ushbu asosiy mavzuga bag'ishlashga qaror qildik. hosila nima, uning jismoniy va nima geometrik ma'no funktsiyaning hosilasini qanday hisoblash mumkin? Bu savollarning barchasini bittaga birlashtirish mumkin: lotinni qanday tushunish kerak?

Hosilning geometrik va fizik ma'nosi

Funktsiya bo'lsin f(x) , ma'lum bir oraliqda ko'rsatilgan (a, b) . X va x0 nuqtalari shu intervalga tegishli. X o'zgarganda, funktsiyaning o'zi o'zgaradi. Argumentni o'zgartirish - uning qiymatlaridagi farq x-x0 . Bu farq quyidagicha yoziladi delta x va argument ortishi deyiladi. Funktsiyaning o'zgarishi yoki ortishi - bu funktsiyaning ikki nuqtadagi qiymatlari orasidagi farq. lotin ta'rifi:

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi - bu funksiyaning ma'lum nuqtadagi o'sishining argumentning o'sishiga nisbati chegarasi, bu nolga moyil bo'lganda.

Aks holda shunday yozilishi mumkin:

Bunday chegarani topishning nima keragi bor? Va bu nima:

nuqtadagi funktsiyaning hosilasi OX o'qi orasidagi burchak tangensiga va berilgan nuqtadagi funksiya grafigiga teginishga teng.

Hosilning fizik ma'nosi: yo'lning vaqtga nisbatan hosilasi to'g'ri chiziqli harakat tezligiga teng.

Darhaqiqat, maktab davridan beri hamma tezlikni o'ziga xos yo'l ekanligini biladi x=f(t) va vaqt t . o'rtacha tezlik ma'lum bir vaqt uchun:

Bir vaqtning o'zida harakat tezligini aniqlash t0 limitni hisoblashingiz kerak:

Birinchi qoida: doimiyni o'rnating

Konstantani hosila belgisidan chiqarish mumkin. Bundan tashqari, buni qilish kerak. Matematikadan misollarni yechayotganda, uni qoida sifatida qabul qiling - Agar siz ifodani soddalashtira olsangiz, uni soddalashtirishga ishonch hosil qiling .

Misol. Keling, hosilani hisoblaylik:

Ikkinchi qoida: funksiyalar yig'indisining hosilasi

Ikki funktsiya yig'indisining hosilasi bu funksiyalarning hosilalari yig'indisiga teng. Xuddi shu narsa funksiyalar farqining hosilasi uchun ham amal qiladi.

Biz bu teoremaning isbotini keltirmaymiz, balki amaliy misolni ko'rib chiqamiz.

Funktsiyaning hosilasini toping:

Uchinchi qoida: funksiyalar mahsulotining hosilasi

Ikki differentsiallanuvchi funktsiyaning hosilasi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Misol: funktsiyaning hosilasini toping:

Yechim:

Bu yerda murakkab funksiyalarning hosilalarini hisoblash haqida gapirish muhim. Murakkab funktsiyaning hosilasi bu funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasi va mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga teng.

Yuqoridagi misolda biz quyidagi iboraga duch kelamiz:

Bunday holda, oraliq argument beshinchi darajaga 8x. Bunday ifodaning hosilasini hisoblash uchun avval tashqi funktsiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasini hisoblab chiqamiz, so'ngra mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan oraliq argumentning hosilasiga ko'paytiramiz.

To'rtinchi qoida: ikkita funktsiyaning ko'rsatkichining hosilasi

Ikki funktsiyaning bo'linmasining hosilasini aniqlash formulasi:

Biz noldan dummies uchun derivativlar haqida gapirishga harakat qildik. Bu mavzu ko'rinadigan darajada oddiy emas, shuning uchun ogohlantiring: misollarda ko'pincha tuzoqlar mavjud, shuning uchun lotinlarni hisoblashda ehtiyot bo'ling.

Ushbu va boshqa mavzular bo'yicha har qanday savollar bilan siz talabalar xizmatiga murojaat qilishingiz mumkin. Qisqa vaqt ichida biz sizga eng qiyin testni hal qilishda va vazifalarni tushunishda yordam beramiz, hatto siz ilgari hech qachon lotin hisob-kitoblarini qilmagan bo'lsangiz ham.

Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasi yordamida hosilalarni hisoblashga misollar keltirilgan.

Tarkib

Shuningdek qarang: Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasini isbotlash

Asosiy formulalar

Bu erda biz quyidagi funktsiyalarning hosilalarini hisoblash misollarini keltiramiz:
; ; ; ; .

Agar funktsiyani murakkab funktsiya sifatida quyidagi shaklda ko'rsatish mumkin bo'lsa:
,
u holda uning hosilasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.
Quyidagi misollarda biz ushbu formulani quyidagicha yozamiz:
.
Qayerda.
Bu yerda hosila belgisi ostida joylashgan yoki pastki belgisi farqlash amalga oshiriladigan o'zgaruvchilarni bildiradi.

Odatda, hosilalar jadvallarida x o'zgaruvchidan funksiyalarning hosilalari beriladi. Biroq, x rasmiy parametrdir. X o'zgaruvchisi istalgan boshqa o'zgaruvchi bilan almashtirilishi mumkin. Shuning uchun funktsiyani o'zgaruvchidan farqlashda biz hosilalar jadvalidagi x o'zgaruvchisini shunchaki u o'zgaruvchiga o'zgartiramiz.

Oddiy misollar

1-misol

Murakkab funksiyaning hosilasini toping
.

Keling, yozamiz berilgan funksiya ekvivalent shaklda:
.
Sanoat jadvalida biz quyidagilarni topamiz:
;
.

Murakkab funktsiyaning hosilasi formulasiga ko'ra, bizda:
.
Bu yerga .

2-misol

Hosilini toping
.

Biz doimiy 5 ni hosila belgisidan chiqaramiz va hosilalar jadvalidan topamiz:
.

.
Bu yerga .

3-misol

Hosilini toping
.

Biz doimiyni chiqaramiz -1 hosila belgisi uchun va hosilalar jadvalidan topamiz:
;
Sanoat jadvalidan biz quyidagilarni topamiz:
.

Murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz:
.
Bu yerga .

Keyinchalik murakkab misollar

Ko'proq murakkab misollar murakkab funksiyani farqlash qoidasini bir necha marta qo‘llaymiz. Bunday holda biz lotinni oxiridan hisoblaymiz. Ya'ni, funksiyani uning tarkibiy qismlariga ajratamiz va undan foydalanib, eng oddiy qismlarning hosilalarini topamiz hosilalar jadvali. Biz ham foydalanamiz summalarni farqlash qoidalari, mahsulotlar va fraksiyalar. Keyin almashtirishlarni amalga oshiramiz va murakkab funktsiyaning hosilasi uchun formulani qo'llaymiz.

4-misol

Hosilini toping
.

Keling, eng ko'p ta'kidlaymiz oddiy qism formulasini va uning hosilasini toping. .

.
Bu erda biz belgidan foydalandik
.

Olingan natijalardan foydalanib, asl funktsiyaning keyingi qismining hosilasini topamiz. Yig'indini farqlash qoidasini qo'llaymiz:
.

Yana bir bor murakkab funktsiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.

.
Bu yerga .

5-misol

Funktsiyaning hosilasini toping
.

Formulaning eng oddiy qismini tanlaymiz va hosilalar jadvalidan hosilasini topamiz. .

Biz murakkab funksiyalarni differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.
.
Bu yerga
.

Keling, olingan natijalardan foydalanib, keyingi qismni farqlaylik.
.
Bu yerga
.

Keling, keyingi qismni farqlaylik.

.
Bu yerga
.

Endi biz kerakli funksiyaning hosilasini topamiz.

.
Bu yerga
.

Shuningdek qarang:

Murakkab hosilalar. Logarifmik hosila.
Kuch-ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Biz farqlash texnikamizni yaxshilashda davom etamiz. Ushbu darsda biz o'rgangan materialimizni birlashtiramiz, yanada murakkab hosilalarni ko'rib chiqamiz, shuningdek, hosila topishning yangi usullari va usullari, xususan, logarifmik hosila bilan tanishamiz.

O'qigan o'quvchilarga past daraja tayyorlash, siz maqolaga murojaat qilishingiz kerak hosilani qanday topish mumkin? Yechimlarga misollar, bu sizning mahoratingizni deyarli noldan oshirishga imkon beradi. Keyinchalik, sahifani diqqat bilan o'rganishingiz kerak Murakkab funktsiyaning hosilasi, tushunish va hal qilish Hammasi men keltirgan misollar. Ushbu dars mantiqan uchinchisi bo'lib, uni o'zlashtirganingizdan so'ng siz juda murakkab funktsiyalarni ishonchli tarzda ajratasiz. “Yana qayerda? Ha, kifoya! ”, chunki barcha misollar va echimlar haqiqiydan olingan testlar va amaliyotda tez-tez uchrab turadi.

Keling, takrorlashdan boshlaylik. Darsda Murakkab funktsiyaning hosilasi Biz batafsil sharhlar bilan bir qator misollarni ko'rib chiqdik. Differensial hisobni va matematik tahlilning boshqa sohalarini o'rganish jarayonida siz tez-tez farqlashingiz kerak bo'ladi va misollarni batafsil tavsiflash har doim ham qulay emas (va har doim ham kerak emas). Shuning uchun biz hosilalarni og'zaki ravishda topishni mashq qilamiz. Buning uchun eng mos "nomzodlar" eng oddiy murakkab funktsiyalarning hosilalaridir, masalan:

Murakkab funktsiyalarni differentsiallash qoidasiga ko'ra :

Kelajakda boshqa matan mavzularini o'rganishda bunday batafsil yozuv ko'pincha talab qilinmaydi, talaba avtopilotda bunday lotinlarni qanday topishni biladi deb taxmin qilinadi. Tasavvur qilaylik, tungi soat 3 da telefon jiringladi va yoqimli ovoz so'radi: "Ikki X ning tangensining hosilasi nima?" Buning ortidan deyarli bir zumda va muloyim javob bo'lishi kerak: .

Birinchi misol darhol mustaqil yechim uchun mo'ljallangan bo'ladi.

1-misol

Quyidagi hosilalarni og‘zaki, bir harakatda toping, masalan: . Vazifani bajarish uchun siz faqat foydalanishingiz kerak elementar funksiyalarning hosilalari jadvali(agar siz buni hali eslamagan bo'lsangiz). Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, darsni qayta o'qishni maslahat beraman Murakkab funktsiyaning hosilasi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Dars oxirida javoblar

Murakkab hosilalar

Dastlabki artilleriya tayyorgarligidan so'ng, 3-4-5 funktsiyalarni o'rnatish misollari kamroq qo'rqinchli bo'ladi. Quyidagi ikkita misol ba'zilar uchun murakkab bo'lib tuyulishi mumkin, ammo agar siz ularni tushunsangiz (kimdir azoblanadi), differensial hisoblashda qolgan deyarli hamma narsa bolalarning haziliga o'xshaydi.

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Yuqorida aytib o'tilganidek, murakkab funktsiyaning hosilasini topishda, birinchi navbatda, kerak To'g'ri Investitsiyalaringizni TUSHUNING. Shubhalar mavjud bo'lsa, men sizga foydali texnikani eslataman: biz, masalan, "x" ning eksperimental qiymatini olamiz va bu qiymatni "dahshatli ifoda" ga almashtirishga harakat qilamiz (aqliy yoki qoralama).

1) Avval biz ifodani hisoblashimiz kerak, ya'ni yig'indi eng chuqur joylashuvdir.

2) Keyin logarifmni hisoblashingiz kerak:

4) Keyin kosinusni kubga aylantiring:

5) Beshinchi bosqichda farq:

6) Va nihoyat, eng tashqi funktsiya kvadrat ildizdir:

Murakkab funktsiyani farqlash formulasi teskari tartibda, eng tashqi funktsiyadan eng ichkigacha qo'llaniladi. Biz qaror qilamiz:

Hech qanday xatolik yo'qdek ...

(1) Kvadrat ildizning hosilasini oling.

(2) Biz qoida yordamida farqning hosilasini olamiz

(3) Uchlik hosilasi nolga teng. Ikkinchi muddatda biz darajaning hosilasini olamiz (kub).

(4) Kosinusning hosilasini oling.

(5) Logarifmning hosilasini oling.

(6) Va nihoyat, biz eng chuqur joylashtirishning hosilasini olamiz.

Bu juda qiyin tuyulishi mumkin, ammo bu eng shafqatsiz misol emas. Misol uchun, Kuznetsovning kollektsiyasini oling va tahlil qilingan lotinning barcha go'zalligi va soddaligini qadrlaysiz. Men shuni payqadimki, ular talaba murakkab funktsiyaning hosilasini qanday topishni tushunadimi yoki tushunmaydimi yoki yo'qligini tekshirish uchun imtihonda shunga o'xshash narsani berishni yaxshi ko'radilar.

Quyidagi misol siz o'zingiz hal qilishingiz mumkin.

3-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Maslahat: Avval chiziqlilik qoidalari va mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Kichikroq va chiroyliroq narsaga o'tish vaqti keldi.
Misol uchun ikkita emas, balki uchta funktsiyaning mahsulotini ko'rsatish odatiy hol emas. Uch omil mahsulotining hosilasi qanday topiladi?

4-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Avval qaraymiz, uchta funktsiyaning mahsulotini ikkita funktsiyaning mahsulotiga aylantirish mumkinmi? Misol uchun, agar mahsulotda ikkita polinom bo'lsa, biz qavslarni ochishimiz mumkin. Ammo ko'rib chiqilayotgan misolda barcha funktsiyalar boshqacha: daraja, ko'rsatkich va logarifm.

Bunday hollarda kerak ketma-ket mahsulotni farqlash qoidasini qo'llang ikki marta

Ayyorlik shundan iboratki, "y" bilan biz ikkita funktsiyaning mahsulotini belgilaymiz: va "ve" bilan logarifmni belgilaymiz: . Nima uchun buni qilish mumkin? Haqiqatan ham – bu ikki omilning mahsuli emas va qoida ishlamaydi?! Hech qanday murakkab narsa yo'q:

Endi qoidani ikkinchi marta qo'llash qoladi qavsga:

Siz ham buralib, qavs ichidan biror narsani qo'yishingiz mumkin, ammo bu holda javobni aynan shu shaklda qoldirgan ma'qul - tekshirish osonroq bo'ladi.

Ko'rib chiqilgan misolni ikkinchi usulda hal qilish mumkin:

Ikkala yechim ham mutlaqo ekvivalentdir.

5-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu mustaqil yechim uchun misol, namunada u birinchi usul yordamida hal qilinadi.

Keling, kasrlar bilan o'xshash misollarni ko'rib chiqaylik.

6-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu yerga bir necha usul bilan borishingiz mumkin:

Yoki shunday:

Lekin birinchi navbatda qismni differentsiallash qoidasidan foydalansak, yechim yanada ixchamroq yoziladi , butun hisoblagich uchun:

Asos sifatida, misol hal qilinadi va agar u shunday qoldirilsa, bu xato bo'lmaydi. Ammo vaqtingiz bo'lsa, javobni soddalashtirish mumkinligini bilish uchun har doim qoralamani tekshirish tavsiya etiladi? Numeratorning ifodasini umumiy maxrajga kamaytiramiz va keling, uch qavatli fraksiyadan xalos bo'laylik:

Qo'shimcha soddalashtirishlarning kamchiligi shundaki, hosilani topishda emas, balki maktabdagi oddiy o'zgarishlar paytida xato qilish xavfi mavjud. Boshqa tomondan, o'qituvchilar ko'pincha topshiriqni rad etadilar va lotinni "yodiga keltirishni" so'rashadi.

O'zingiz hal qilish uchun oddiyroq misol:

7-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz hosilani topish usullarini o'zlashtirishni davom ettirmoqdamiz va endi farqlash uchun "dahshatli" logarifm taklif qilingan odatiy holatni ko'rib chiqamiz.

8-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz murakkab funktsiyani farqlash qoidasidan foydalanib, uzoq yo'lni bosib o'tishingiz mumkin:

Ammo birinchi qadam sizni darhol tushkunlikka soladi - siz noxush hosilani olishingiz kerak. kasr quvvati, keyin esa kasrdan.

Shunung uchun oldin"Murakkab" logarifmning hosilasini qanday olish kerak, u birinchi navbatda taniqli maktab xususiyatlaridan foydalangan holda soddalashtiriladi:

! Agar qo'lingizda mashq daftaringiz bo'lsa, ushbu formulalarni to'g'ridan-to'g'ri u erga ko'chiring. Agar sizda daftar bo'lmasa, ularni qog'ozga ko'chiring, chunki darsning qolgan misollari ushbu formulalar atrofida aylanadi.

Yechimning o'zi shunday yozilishi mumkin:

Funktsiyani o'zgartiramiz:

Hosilini topish:

Funktsiyani oldindan konvertatsiya qilishning o'zi yechimni ancha soddalashtirdi. Shunday qilib, farqlash uchun shunga o'xshash logarifm taklif qilinganda, uni har doim "buzish" tavsiya etiladi.

Va endi siz o'zingiz hal qilishingiz uchun bir nechta oddiy misollar:

9-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

10-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Barcha o'zgarishlar va javoblar dars oxirida.

Logarifmik hosila

Agar logarifmlarning hosilasi shunday shirin musiqa bo'lsa, unda savol tug'iladi: ba'zi hollarda logarifmni sun'iy ravishda tashkil qilish mumkinmi? Mumkin! Va hatto zarur.

11-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz yaqinda shunga o'xshash misollarni ko'rib chiqdik. Nima qilish kerak? Ketma-ket ko'rsatkichni farqlash qoidasini, keyin esa mahsulotning differentsiallash qoidasini qo'llashingiz mumkin. Ushbu usulning nochorligi shundaki, siz uch qavatli katta qismga ega bo'lasiz, bu bilan siz umuman shug'ullanishni xohlamaysiz.

Ammo nazariya va amaliyotda logarifmik hosila kabi ajoyib narsa bor. Logarifmlarni sun'iy ravishda ikkala tomonga "osish" orqali tashkil qilish mumkin:

Eslatma : chunki funksiya qabul qilishi mumkin salbiy qiymatlar, keyin, umuman olganda, modullardan foydalanishingiz kerak: , bu farqlanish natijasida yo'qoladi. Biroq, joriy dizayn ham qabul qilinadi, bu erda sukut bo'yicha u hisobga olinadi murakkab ma'nolari. Ammo agar qat'iy bo'lsa, unda ikkala holatda ham buni oldindan belgilash kerak.

Endi siz o'ng tomonning logarifmini iloji boricha "parchalashingiz" kerak (ko'zlaringiz oldida formulalar?). Men bu jarayonni batafsil tasvirlab beraman:

Keling, farqlashdan boshlaylik.
Biz ikkala qismni asosiy ostida yakunlaymiz:

O'ng tomonning hosilasi juda oddiy, men bunga izoh bermayman, chunki agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, uni ishonchli tarzda boshqarishingiz kerak.

Chap tomon haqida nima deyish mumkin?

Chap tomonda biz bor murakkab funktsiya. Men savolni oldindan ko'raman: "Nega, logarifm ostida bitta "Y" harfi bormi?"

Gap shundaki, bu "bir harfli o'yin" - O'ZI FUNKSIYA(agar u juda aniq bo'lmasa, bevosita ko'rsatilgan funktsiyaning hosilasi maqolasiga qarang). Demak, logarifm tashqi funktsiya, “y” esa ichki funktsiyadir. Va biz murakkab funktsiyani farqlash uchun qoidadan foydalanamiz :

Chap tomonda, go'yo sehr bilan, bizda lotin bor. Keyinchalik, mutanosiblik qoidasiga ko'ra, biz "y" ni chap tomonning maxrajidan o'ng tomonning yuqori qismiga o'tkazamiz:

Keling, differensiatsiya paytida qanday "o'yinchi" funksiyasi haqida gapirganimizni eslaylik? Keling, shartni ko'rib chiqaylik:

Yakuniy javob:

12-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Ushbu turdagi namunaning namunaviy dizayni dars oxirida.

Logarifmik hosiladan foydalanib, 4-7-sonli misollarning har qandayini hal qilish mumkin edi, boshqa narsa shundaki, u erda funktsiyalar oddiyroq va, ehtimol, logarifmik hosiladan foydalanish unchalik oqlanmagan.

Kuch-ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Biz bu funktsiyani hali ko'rib chiqmadik. Quvvat-eksponensial funktsiya bu uchun funktsiyadir daraja ham, asos ham "x" ga bog'liq. Har qanday darslikda yoki ma'ruzada sizga beriladigan klassik misol:

Kuch-eksponensial funksiyaning hosilasi qanday topiladi?

Hozirgina muhokama qilingan texnikadan foydalanish kerak - logarifmik lotin. Biz logarifmlarni ikkala tomonga osib qo'yamiz:

Qoida tariqasida, o'ng tomonda daraja logarifm ostidan chiqariladi:

Natijada, o'ng tomonda biz standart formula bo'yicha farqlanadigan ikkita funktsiya mahsulotiga egamiz. .

Biz hosilani topamiz, buning uchun ikkala qismni ham chiziqlar ostiga qo'yamiz:

Keyingi harakatlar oddiy:

Nihoyat:

Agar biron bir konvertatsiya to'liq aniq bo'lmasa, iltimos, 11-misolning tushuntirishlarini diqqat bilan qayta o'qing.

IN amaliy vazifalar Quvvat-eksponensial funktsiya har doim ma'ruzada muhokama qilingan misoldan ko'ra murakkabroq bo'ladi.

13-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz logarifmik hosiladan foydalanamiz.

O'ng tomonda bizda doimiy va ikkita omil ko'paytmasi bor - "x" va "logarifm x logarifmi" (boshqa logarifm logarifm ostida joylashgan). Farqlashda, biz eslayotganimizdek, konstantani darhol hosila belgisidan chiqarib tashlagan ma'qul, to'sqinlik qilmasligi uchun; va, albatta, biz tanish qoidani qo'llaymiz :