Raqamli aylana trigonometriyasi. Trigonometriya. Birlik doirasi. funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin

Trigonometriya fan sifatida Qadimgi Sharqda vujudga kelgan. Birinchidan trigonometrik nisbatlar astronomlar tomonidan aniq taqvim yaratish va yulduzlar bo'ylab harakatlanish uchun ishlab chiqilgan. Bu hisob-kitoblar sferik trigonometriya bilan bog'liq bo'lsa-da maktab kursi tekis uchburchakning tomonlari va burchaklarining nisbatlarini o'rganish.

Trigonometriya - matematikaning xossalari bilan shug'ullanadigan bo'limi trigonometrik funktsiyalar va uchburchaklarning tomonlari va burchaklari orasidagi munosabat.

Milodiy 1-ming yillikda madaniyat va fanning gullab-yashnagan davrida bilimlar Qadimgi Sharqdan Yunonistonga tarqaldi. Ammo trigonometriyaning asosiy kashfiyotlari Arab xalifaligi odamlarining xizmatlaridir. Xususan, turkman olimi al-Marazviy tangens va kotangens kabi funksiyalarni kiritdi va sinuslar, tangenslar va kotangentlar uchun dastlabki qiymatlar jadvallarini tuzdi. Sinus va kosinus tushunchalari hind olimlari tomonidan kiritilgan. Trigonometriyaga Evklid, Arximed, Eratosfen kabi antik davrning buyuk arboblarining asarlarida katta e'tibor berilgan.

Trigonometriyaning asosiy miqdorlari

Asosiy trigonometrik funktsiyalar raqamli argument- bular sinus, kosinus, tangens va kotangens. Ularning har biri o'z grafigiga ega: sinus, kosinus, tangens va kotangens.

Ushbu miqdorlarning qiymatlarini hisoblash uchun formulalar Pifagor teoremasiga asoslanadi. Maktab o'quvchilariga "Hamma yo'nalishda teng Pifagor shimlari" formulasi ko'proq ma'lum, chunki dalil teng yonli to'g'ri burchakli uchburchak misolida keltirilgan.

Sinus, kosinus va boshqa bog'liqliklar o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi o'tkir burchaklar va har qanday to'g'ri burchakli uchburchakning tomonlari. Keling, A burchak uchun bu miqdorlarni hisoblash uchun formulalarni keltiramiz va trigonometrik funktsiyalar o'rtasidagi munosabatlarni kuzatamiz:

Ko'rib turganingizdek, tg va ctg teskari funktsiyalar. Agar a oyog'ini sin A va gipotenuza c ko'paytmasi, b oyog'ini cos A * c deb tasavvur qilsak, hosil bo'ladi. quyidagi formulalar tangens va kotangens uchun:

Trigonometrik doira

Grafik jihatdan ko'rsatilgan miqdorlar o'rtasidagi munosabatni quyidagicha ifodalash mumkin:

Aylana, bu holda, a burchagining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini ifodalaydi - 0 ° dan 360 ° gacha. Rasmdan ko'rinib turibdiki, har bir funktsiya burchakka qarab manfiy yoki ijobiy qiymat oladi. Masalan, agar a aylananing 1 va 2 choraklariga tegishli bo'lsa, ya'ni 0° dan 180° gacha bo'lgan oraliqda bo'lsa, sin a «+» belgisiga ega bo'ladi. 180° dan 360° gacha (III va IV chorak) a uchun sin a faqat manfiy qiymat bo'lishi mumkin.

Keling, qurishga harakat qilaylik trigonometrik jadvallar muayyan burchaklar uchun va miqdorlarning qiymatini toping.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° va boshqalarga teng a qiymatlari maxsus holatlar deyiladi. Ular uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlari hisoblab chiqiladi va maxsus jadvallar ko'rinishida taqdim etiladi.

Bu burchaklar tasodifan tanlanmagan. Jadvallardagi p belgisi radyanlar uchundir. Rad - aylana yoyi uzunligi uning radiusiga mos keladigan burchak. Ushbu qiymat universal bog'liqlikni o'rnatish uchun kiritilgan; radianlarda hisoblashda radiusning smdagi haqiqiy uzunligi muhim emas.

Trigonometrik funktsiyalar uchun jadvallardagi burchaklar radian qiymatlariga mos keladi:

Shunday qilib, 2p to'liq aylana yoki 360 ° ekanligini taxmin qilish qiyin emas.

Trigonometrik funksiyalarning xossalari: sinus va kosinus

Sinus va kosinus, tangens va kotangensning asosiy xossalarini ko'rib chiqish va solishtirish uchun ularning funktsiyalarini chizish kerak. Buni ikki o'lchovli koordinatalar tizimida joylashgan egri chiziq shaklida bajarish mumkin.

Sinus va kosinus xususiyatlarining qiyosiy jadvalini ko'rib chiqing:

Sinus to'lqini	Kosinus
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, x = pk uchun, bu erda k s Z	cos x = 0, x = p/2 + pk uchun, bu erda k s Z
sin x = 1, x = p/2 + 2pk uchun, bu erda k s Z	cos x = 1, x = 2pk da, bu erda k s Z
sin x = - 1, x = 3p/2 + 2pk da, bu erda k s Z	cos x = - 1, x = p + 2pk uchun, bu erda k s Z
sin (-x) = - sin x, ya'ni funksiya toq	cos (-x) = cos x, ya'ni funksiya juft
	funksiya davriy, eng qisqa davr- 2p
sin x › 0, x 1 va 2 choraklarga tegishli yoki 0° dan 180° gacha (2pk, p + 2pk)	cos x › 0, x bilan I va IV choraklarga tegishli yoki 270° dan 90° gacha (- p/2 + 2pk, p/2 + 2pk)
sin x ‹ 0, x uchinchi va to'rtinchi choraklarga tegishli yoki 180° dan 360° gacha (p + 2pk, 2p + 2pk)	cos x ‹ 0, x 2 va 3 choraklarga tegishli yoki 90° dan 270° gacha (p/2 + 2pk, 3p/2 + 2pk)
[- p/2 + 2pk, p/2 + 2p] oraliqda ortadi.	[-p + 2pk, 2pk] oraliqda ortadi
[p/2 + 2pk, 3p/2 + 2p] oraliqlarda kamayadi	intervallarda kamayadi
hosila (sin x)’ = cos x	hosila (cos x)’ = - sin x

Funksiyaning juft yoki juft emasligini aniqlash juda oddiy. Trigonometrik miqdorlarning belgilari bilan trigonometrik doirani tasavvur qilish va grafikni OX o'qiga nisbatan aqliy ravishda "katlash" kifoya. Agar belgilar bir-biriga to'g'ri kelsa, funktsiya juft, aks holda toq bo'ladi.

Radianlarning kiritilishi va sinus va kosinus to'lqinlarining asosiy xususiyatlarining ro'yxati bizga quyidagi naqshni taqdim etishga imkon beradi:

Formulaning to'g'riligini tekshirish juda oson. Misol uchun, x = p/2 uchun sinus 1 ga teng, x = 0 ning kosinasi kabi. Tekshirish jadvallarga murojaat qilish yoki berilgan qiymatlar uchun funktsiya egri chizig'ini kuzatish orqali amalga oshirilishi mumkin.

Tangensoidlar va kotangentsoidlarning xossalari

Tangens va kotangens funksiyalarning grafiklari sinus va kosinus funksiyalaridan sezilarli farq qiladi. tg va ctg qiymatlari bir-biriga o'zaro bog'liqdir.

Y = tan x.
Tangens x = p/2 + pk da y ning qiymatlariga intiladi, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.
Tangentoidning eng kichik musbat davri p dir.
Tg (- x) = - tg x, ya'ni funksiya toq.
Tg x = 0, x = p uchun.
Funktsiya ortib bormoqda.
Tg x › 0, x s uchun (pk, p/2 + pk).
Tg x ‹ 0, x s uchun (— p/2 + pk, pk).
Hosil (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Keling, ko'rib chiqaylik grafik tasvir matnda quyida kotangentoidlar.

Kotangentoidlarning asosiy xususiyatlari:

Y = karavot x.
Sinus va kosinus funktsiyalaridan farqli o'laroq, tangentoidda Y barcha haqiqiy sonlar to'plamining qiymatlarini olishi mumkin.
Kotangentoid x = pk da y ning qiymatlariga intiladi, lekin ularga hech qachon etib bormaydi.
Kotangentoidning eng kichik musbat davri p ga teng.
Ctg (- x) = - ctg x, ya'ni funksiya toq.
Ctg x = 0, x = p/2 + pk uchun.
Funktsiya pasaymoqda.
Ctg x › 0, x s uchun (pk, p/2 + pk).
Ctg x ‹ 0, x s uchun (p/2 + pk, pk).
Hosil (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x To'g'ri

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot uchun mo'ljallangan va taqdimotning barcha xususiyatlarini aks ettirmasligi mumkin. Agar qiziqsangiz bu ish, iltimos, toʻliq versiyasini yuklab oling.

Maqsad: turli trigonometrik masalalarni yechishda birlik aylanasidan foydalanishni o‘rgatish.

Maktab matematika kursida trigonometrik funktsiyalarni kiritish uchun turli xil variantlar mavjud. Eng qulay va tez-tez ishlatiladigan "raqamli birlik doirasi". Uning "Trigonometriya" mavzusida qo'llanilishi juda keng.

Birlik doirasi uchun ishlatiladi:

– burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangens ta’riflari;
- raqamli va ba'zi qiymatlari uchun trigonometrik funktsiyalarning qiymatlarini topish burchak argumenti;
– asosiy trigonometriya formulalarini chiqarish;
– qisqartirish formulalarini chiqarish;
- trigonometrik funktsiyalarning ta'rif sohasi va qiymatlari diapazonini topish;
– trigonometrik funksiyalarning davriyligini aniqlash;
– trigonometrik funksiyalarning pariteti va toqligini aniqlash;
– trigonometrik funksiyalarning ortib boruvchi va kamayuvchi intervallarini aniqlash;
– trigonometrik funksiyalarning doimiy ishorali intervallarini aniqlash;
– burchaklarni radian bilan o‘lchash;
– teskari trigonometrik funksiyalarning qiymatlarini topish;
- eng oddiy yechim trigonometrik tenglamalar;
– oddiy tengsizliklarni yechish va h.k.

Shunday qilib, talabalarning vizualizatsiyaning ushbu turini faol, ongli ravishda o'zlashtirishlari matematikaning "Trigonometriya" bo'limini o'zlashtirish uchun inkor etilmaydigan afzalliklarni beradi.

Matematika o’qitish darslarida AKTdan foydalanish son birlik doirasini o’zlashtirishni osonlashtiradi. Albatta, interaktiv doska ilovalar keng doirasiga ega, lekin hamma sinflarda ham mavjud emas. Agar taqdimotlardan foydalanish haqida gapiradigan bo'lsak, Internetda keng tanlov mavjud va har bir o'qituvchi o'z darslari uchun eng mos variantni topishi mumkin.

Men taqdim etayotgan taqdimotning o'ziga xos xususiyati nimada?

Ushbu taqdimot turli xil foydalanish holatlarini taklif qiladi va "Trigonometriya" mavzusidagi muayyan darsni namoyish qilish uchun mo'ljallanmagan. Ushbu taqdimotning har bir slaydidan materialni tushuntirish, ko'nikmalarni rivojlantirish bosqichida ham, fikr yuritish uchun ham alohida foydalanish mumkin. Ushbu taqdimotni yaratishda uning uzoq masofadan "o'qilishi" ga alohida e'tibor berildi, chunki ko'rish qobiliyati past talabalar soni doimiy ravishda o'sib bormoqda. Rang sxemasi o'ylab topilgan, mantiqiy bog'liq ob'ektlar bitta rang bilan birlashtirilgan. Taqdimot shunday jonlantirilganki, o‘qituvchi slayddan parcha bo‘yicha fikr bildirishi, o‘quvchi esa savol berishi mumkin. Shunday qilib, ushbu taqdimot o'ziga xos "harakatlanuvchi" jadvallardir. Oxirgi slaydlar jonlantirilmaydi va trigonometrik vazifalarni echishda materialni o'zlashtirishni tekshirish uchun ishlatiladi. Slaydlardagi doira tashqi ko'rinishi bo'yicha imkon qadar soddalashtirilgan va o'quvchilar tomonidan daftar qog'ozida tasvirlangan doiraga iloji boricha yaqinroq. Men bu shartni asosiy deb hisoblayman. Talabalar uchun trigonometrik vazifalarni hal qilishda birlik doirasi haqida fikrni shakllantirish juda muhim, bu aniqlikning qulay va mobil (yagona bo'lmasa ham) shakli.

Ushbu taqdimot o‘qituvchilarga 9-sinf geometriya darslarida “Uchburchak tomonlari va burchaklari o‘rtasidagi munosabatlar” mavzusini o‘rganishda o‘quvchilarni birlik doirasi bilan tanishtirishga yordam beradi. Va, albatta, bu algebra darslarida yuqori sinf o'quvchilari uchun trigonometrik masalalarni yechishda birlik doirasi bilan ishlash ko'nikmalarini kengaytirish va chuqurlashtirishga yordam beradi.

Slaydlar 3, 4 birlik aylanasining yasalishini tushuntirish; 1 va 2 koordinata choragida birlik aylanasidagi nuqtaning joylashishini aniqlash printsipi; dan o'tkazish geometrik ta'riflar sinus va kosinus funktsiyalari (in to'g'ri uchburchak) birlik doiradagi algebraik.

Slaydlar 5-8 Birinchi koordinatali kvadrantning asosiy burchaklari uchun trigonometrik funksiyalarning qiymatlarini qanday topishni tushuntiring.

Slaydlar 9-11 koordinata choraklaridagi funksiyalarning belgilarini tushuntiradi; trigonometrik funksiyalarning doimiy belgisi intervallarini aniqlash.

Slayd 12 ijobiy va salbiy burchak qiymatlari haqida g'oyalarni shakllantirish uchun foydalaniladi; trigonometrik funksiyalarning davriyligi tushunchasi bilan tanishish.

Slaydlar 13, 14 radian burchak o'lchoviga o'tishda ishlatiladi.

Slaydlar 15-18 jonlantirilmaydi va turli trigonometrik vazifalarni hal qilishda, materialni o'zlashtirish natijalarini mustahkamlash va tekshirishda qo'llaniladi.

Sarlavha sahifasi.
Maqsadni belgilash.
Birlik doirasini qurish. Burchaklarning darajalardagi asosiy qiymatlari.
Birlik aylanadagi burchakning sinusi va kosinusini aniqlash.
Sinus uchun jadval qiymatlari ortib boruvchi tartibda.
Kosinus uchun jadval qiymatlari ortib boruvchi tartibda.
Tangens uchun jadval qiymatlari ortib boruvchi tartibda.
Kotangens uchun jadval qiymatlari o'sish tartibida.
Funktsiya belgilari gunoh a.
Funktsiya belgilari cos a.
Funktsiya belgilari tan a Va ctg a.
Ijobiy va salbiy qiymatlar birlik aylanasidagi burchaklar.
Radian burchak o'lchovi.
Birlik aylanasidagi radianlarda ijobiy va salbiy burchak qiymatlari.
Turli xil variantlar materialni o'zlashtirish natijalarini mustahkamlash va tekshirish uchun birlik doirasi.

Miloddan avvalgi V asrda qadimgi yunon faylasufi Eleyalik Zenon o'zining mashhur aporiyalarini tuzgan, ulardan eng mashhuri "Axilles va toshbaqa" aporiyasidir. Bu qanday eshitiladi:

Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon infinitum davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.

Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi Zenonning aporiyasini u yoki bu tarzda hisoblagan. Shok shu qadar kuchli ediki " ... munozaralar shu kungacha davom etmoqda, ilmiy jamoatchilik hali paradokslarning mohiyati bo‘yicha umumiy fikrga kela olmadi... masalani o‘rganishga matematik tahlil, to‘plamlar nazariyasi, yangi fizik va falsafiy yondashuvlar jalb etildi. ; ularning hech biri muammoning umumiy qabul qilingan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya, "Zeno's Aporia". Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim yolg'on nimadan iboratligini tushunmaydi.

Matematik nuqtai nazardan Zenon o'z aporiyasida miqdordan ga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga qo'llanilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasi tufayli o'zaro qiymatga doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqt sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.

Agar biz odatdagi mantiqimizni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, "Axilles toshbaqani cheksiz tezlikda ushlaydi" deyish to'g'ri bo'ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt birliklarida qoling va o'zaro birliklarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:

Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Birinchisiga teng bo'lgan keyingi vaqt oralig'ida Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Lekin unday emas to'liq yechim Muammolar. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidab bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:

Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada dam bo'lgani uchun u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlab bo'lmaydi. Mashinaning harakatlanayotganligini aniqlash uchun sizga vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo siz ulardan masofani aniqlay olmaysiz. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan siz harakat faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi ). Men alohida e'tibor qaratmoqchi bo'lgan narsa shundaki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta chalkashmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlar yaratadi.

Chorshanba, 4-iyul, 2018-yil

To'plam va multiset o'rtasidagi farqlar Vikipediyada juda yaxshi tasvirlangan. Ko'raylikchi.

Ko'rib turganingizdek, "to'plamda ikkita bir xil element bo'lishi mumkin emas", lekin to'plamda bir xil elementlar mavjud bo'lsa, bunday to'plam "ko'p to'plam" deb ataladi. Aqlli mavjudotlar bunday bema'ni mantiqni hech qachon tushunmaydilar. Bu "to'liq" so'zidan aqlga ega bo'lmagan gapiradigan to'tiqushlar va o'qitilgan maymunlarning darajasi. Matematiklar oddiy murabbiy sifatida harakat qilib, bizga o'zlarining bema'ni g'oyalarini targ'ib qilishadi.

Bir vaqtlar ko'prikni qurgan muhandislar ko'prikni sinovdan o'tkazayotganda ko'prik ostidagi qayiqda bo'lishgan. Agar ko'prik qulab tushsa, o'rtamiyona muhandis o'zi yaratgan vayronalar ostida vafot etdi. Agar ko'prik yukga bardosh bera olsa, iste'dodli muhandis boshqa ko'priklarni qurdi.

Matematiklar qanday qilib "meni vidala, men uydaman" yoki aniqrog'i "matematikani o'rganish" iborasi orqasida yashirinishmasin. mavhum tushunchalar", ularni haqiqat bilan uzviy bog'laydigan bitta kindik bor. Bu kindik puldir. Qo'llash. matematik nazariya matematiklarning o'zlariga qo'yadi.

Biz matematikani juda yaxshi o'rgandik va hozir biz kassada o'tirib, maosh beramiz. Shunday qilib, matematik bizga pul uchun keladi. Biz unga to'liq miqdorni hisoblaymiz va uni stolimizga turli xil qoziqlarga qo'yamiz, ularga bir xil nomdagi veksellarni joylashtiramiz. Keyin biz har bir qoziqdan bitta hisob-kitobni olib, matematikaga uning "ish haqining matematik to'plamini" beramiz. Keling, matematikaga bir xil elementlari bo'lmagan to'plam bir xil elementlarli to'plamga teng emasligini isbotlagandagina qolgan hisob-kitoblarni olishini tushuntirib beraylik. Qiziq shu erda boshlanadi.

Avvalo, deputatlarning “Buni boshqalarga nisbatan qo‘llash mumkin, lekin menga emas!” degan mantig‘i ishlaydi. Keyin ular bizni bir xil nomdagi veksellar turli xil veksel raqamlariga ega ekanligiga ishontirishni boshlaydilar, ya'ni ularni bir xil elementlar deb hisoblash mumkin emas. Mayli, maoshlarni tangalarda hisoblaylik - tangalarda raqamlar yo'q. Bu erda matematik fizikani hayajon bilan eslay boshlaydi: har xil tangalar har xil miqdordagi axloqsizlikka ega, kristal tuzilishi va atomlarning joylashishi har bir tanga uchun o'ziga xosdir ...

Va endi menda eng qiziqarli savol bor: ko'p to'plamning elementlari to'plam elementlariga aylanadigan chiziq qayerda va aksincha? Bunday chiziq mavjud emas - hamma narsani shamanlar hal qiladi, fan bu erda yolg'on gapirishga ham yaqin emas.

Mana qarang. Biz maydon maydoni bir xil bo'lgan futbol stadionlarini tanlaymiz. Maydonlarning maydonlari bir xil - bu bizda multiset mavjudligini anglatadi. Ammo bir xil stadionlarning nomlariga qarasak, nomlari har xil bo'lgani uchun ko'plarini olamiz. Ko'rib turganingizdek, bir xil elementlar to'plami ham to'plam, ham multisetdir. Qanday to'g'ri? Va bu erda matematik-shaman-o'tkir yengidan ko'zni chiqarib, bizga to'plam yoki multiset haqida gapira boshlaydi. Har holda, u bizni o'zining haq ekanligiga ishontiradi.

Zamonaviy shamanlar to'plamlar nazariyasi bilan qanday ishlashini, uni haqiqatga bog'lashini tushunish uchun bitta savolga javob berish kifoya: bir to'plamning elementlari boshqa to'plamning elementlaridan qanday farq qiladi? Men sizga hech qanday "yaxlit bir butun sifatida tasavvur qilinmaydigan" yoki "bir butun sifatida tasavvur qilib bo'lmaydigan" holda ko'rsataman.

Yakshanba, 18-mart, 2018-yil

Raqam raqamlarining yig'indisi - bu matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmagan shamanlarning daf bilan raqsi. Ha, matematika darslarida bizga son raqamlari yig'indisini topish va undan foydalanish o'rgatiladi, lekin shuning uchun ular shamanlar, o'z avlodlariga o'z mahoratlari va donoliklarini o'rgatishlari kerak, aks holda shamanlar shunchaki o'lib ketadi.

Sizga dalil kerakmi? Vikipediyani oching va "Raqam raqamlari yig'indisi" sahifasini topishga harakat qiling. U mavjud emas. Matematikada biron bir raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun ishlatiladigan formula yo'q. Axir, raqamlar biz raqamlarni yozadigan grafik belgilardir va matematika tilida vazifa quyidagicha yangraydi: "Har qanday raqamni ifodalovchi grafik belgilar yig'indisini toping." Matematiklar bu muammoni hal qila olmaydilar, ammo shamanlar buni osonlikcha hal qilishlari mumkin.

Keling, berilgan sonning raqamlari yig'indisini topish uchun nima va qanday qilishimizni aniqlaymiz. Shunday qilib, 12345 raqamiga ega bo'lsin. Bu raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun nima qilish kerak? Keling, barcha bosqichlarni tartibda ko'rib chiqaylik.

1. Raqamni qog'ozga yozing. Biz nima qildik? Biz raqamni grafik raqam belgisiga aylantirdik. Bu matematik operatsiya emas.

2. Olingan bitta rasmni alohida raqamlarni o'z ichiga olgan bir nechta rasmga kesib tashladik. Rasmni kesish matematik operatsiya emas.

3. Alohida grafik belgilarni raqamlarga aylantirish. Bu matematik operatsiya emas.

4. Olingan raqamlarni qo'shing. Endi bu matematika.

12345 raqamining raqamlari yig'indisi 15 ga teng. Bu matematiklar foydalanadigan shamanlar tomonidan o'qitiladigan "kesish va tikish kurslari". Lekin bu hammasi emas.

Matematik nuqtai nazardan, sonni qaysi sanoq sistemasida yozishimiz muhim emas. Demak, turli sanoq sistemalarida bir xil son raqamlari yig’indisi har xil bo’ladi. Matematikada sanoq sistemasi sonning o'ng tomonida pastki belgisi sifatida ko'rsatilgan. BILAN katta raqam 12345 Men boshimni aldashni xohlamayman, keling, haqidagi maqoladan 26 raqamini ko'rib chiqaylik. Bu sonni ikkilik, sakkizlik, o‘nlik va o‘n oltilik sanoq sistemalarida yozamiz. Biz har bir qadamni mikroskop ostida ko'rib chiqmaymiz; biz buni allaqachon qilganmiz. Keling, natijani ko'rib chiqaylik.

Ko'rib turganingizdek, turli sanoq tizimlarida bir xil son raqamlari yig'indisi har xil bo'ladi. Bu natijaning matematikaga hech qanday aloqasi yo'q. Bu xuddi to'rtburchakning maydonini metr va santimetrda aniqlaganingiz bilan bir xil, siz butunlay boshqacha natijalarga erishasiz.

Nol barcha sanoq tizimlarida bir xil ko'rinadi va raqamlar yig'indisiga ega emas. Bu haqiqat foydasiga yana bir dalil. Matematiklar uchun savol: matematikada raqam bo'lmagan narsa qanday qilib belgilanadi? Nima, matematiklar uchun raqamlardan boshqa hech narsa yo'q? Men shamanlar uchun ruxsat berishim mumkin, ammo olimlar uchun emas. Haqiqat faqat raqamlardan iborat emas.

Olingan natija sanoq sistemalarining sonlar uchun o'lchov birliklari ekanligiga dalil sifatida qaralishi kerak. Axir, biz raqamlarni turli o'lchov birliklari bilan taqqoslay olmaymiz. Agar bir xil miqdorning turli o'lchov birliklari bilan bir xil harakatlar ularni solishtirgandan keyin turli xil natijalarga olib keladigan bo'lsa, unda bu matematikaga hech qanday aloqasi yo'q.

Haqiqiy matematika nima? Bu matematik operatsiya natijasi raqamning o'lchamiga, ishlatiladigan o'lchov birligiga va bu harakatni kim bajarishiga bog'liq bo'lmaganda.

Eshikda imzo qo'ying U eshikni ochadi va aytadi:

Oh! Bu ayollar hojatxonasi emasmi?
- Yosh ayol! Bu jannatga ko'tarilish paytida qalblarning muqaddasligini o'rganish uchun laboratoriya! Yuqorida halo va yuqoriga o'q. Yana qanday hojatxona?

Ayol... Yuqoridagi halo va pastga o'q erkakdir.

Agar bunday dizayn san'ati asari kuniga bir necha marta ko'z oldingizda porlab tursa,

Shunda siz to'satdan mashinangizda g'alati belgini topsangiz ajablanarli emas:

Shaxsan men najas qilayotgan odamda minus to'rt darajani ko'rishga harakat qilaman (bitta rasm) (bir nechta rasmlarning kompozitsiyasi: minus belgisi, to'rtta raqam, darajalar belgisi). Va menimcha, bu qiz fizikani bilmaydigan ahmoq emas. U shunchaki grafik tasvirlarni idrok etishning kuchli stereotipiga ega. Va matematiklar buni bizga doimo o'rgatishadi. Mana bir misol.

1A "minus to'rt daraja" yoki "bir a" emas. Bu "pooping man" yoki o'n oltilik tizimda "yigirma olti" raqami. Ushbu sanoq tizimida doimiy ravishda ishlaydigan odamlar avtomatik ravishda raqam va harfni bitta grafik belgi sifatida qabul qiladilar.

Agar siz allaqachon tanish bo'lsangiz trigonometrik doira , va siz shunchaki ma'lum elementlar haqida xotirangizni yangilashni xohlaysiz yoki butunlay sabrsiz bo'lsangiz, mana bu:

Bu erda biz hamma narsani bosqichma-bosqich batafsil tahlil qilamiz.

Trigonometrik doira hashamat emas, balki zaruratdir

Trigonometriya Ko'pchilik uni o'tib bo'lmaydigan chakalakzor bilan bog'laydi. To'satdan, trigonometrik funktsiyalarning juda ko'p qiymatlari, juda ko'p formulalar to'planib ketdi ... Lekin bu boshida ishlamaganga o'xshaydi va ... biz ketamiz ... to'liq tushunmovchilik ...

Taslim bo'lmaslik juda muhim trigonometrik funksiyalarning qiymatlari, - deyishadi, siz har doim qiymatlar jadvali bilan shpurga qarashingiz mumkin.

Agar siz doimiy ravishda qiymatlar bilan jadvalga qarasangiz trigonometrik formulalar, keling, bu odatdan voz kechaylik!

U bizga yordam beradi! Siz u bilan bir necha marta ishlaysiz, keyin u sizning boshingizda paydo bo'ladi. Qanday qilib stoldan yaxshiroq? Ha, jadvalda siz cheklangan miqdordagi qiymatlarni topasiz, lekin aylanada - HAMMA!

Masalan, qaraganingizda ayting trigonometrik formulalar qiymatlarining standart jadvali , sinus nimaga teng, aytaylik, 300 daraja yoki -45.

Hechqisi yo'q?.. siz, albatta, ulanishingiz mumkin kamaytirish formulalari... Va trigonometrik doiraga qarab, bunday savollarga osongina javob berishingiz mumkin. Va tez orada qanday qilib bilib olasiz!

Va trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni trigonometrik doirasiz yechishda, bu mutlaqo hech qanday joyda emas.

Trigonometrik doira bilan tanishtirish

Keling, tartibda boraylik.

Birinchidan, keling, ushbu raqamlar qatorini yozamiz:

Va endi bu:

Va nihoyat, bu:

Albatta, aniqki, aslida birinchi o'rinda , ikkinchi o'rinda , va oxirgi o'rinda . Ya'ni, biz zanjirga ko'proq qiziqish bildiramiz.

Ammo bu qanday go'zal bo'lib chiqdi! Agar biror narsa yuz bersa, biz bu "mo''jizaviy narvon" ni tiklaymiz.

Va nima uchun bizga kerak?

Bu zanjir birinchi chorakda sinus va kosinusning asosiy qiymatlari hisoblanadi.

To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimida birlik radiusi bo'lgan doira chizamiz (ya'ni uzunligi bo'yicha istalgan radiusni olamiz va uning uzunligini birlik deb e'lon qilamiz).

"0-Start" nuridan biz burchaklarni o'q yo'nalishi bo'yicha yotqizamiz (rasmga qarang).

Biz doira bo'ylab mos keladigan nuqtalarni olamiz. Shunday qilib, agar biz nuqtalarni har bir o'qga proyeksiya qilsak, yuqoridagi zanjirdan aniq qiymatlarni olamiz.

Nega bu, deb so'rayapsizmi?

Keling, hamma narsani tahlil qilmaylik. Keling, ko'rib chiqaylik tamoyili, bu sizga boshqa, shunga o'xshash vaziyatlarni engishga imkon beradi.

AOB uchburchagi to'rtburchak bo'lib, ni o'z ichiga oladi. Va bilamizki, b burchagiga qarama-qarshi tomonda gipotenuzaning yarmi kattalikdagi oyoq yotadi (bizda gipotenuza = aylananing radiusi, ya'ni 1 ga teng).

Bu AB= (va shuning uchun OM =) degan ma'noni anglatadi. Va Pifagor teoremasiga ko'ra