– tekis chegaralangan figuraning og'irlik markazini hisoblash. Ko'pgina o'quvchilar og'irlik markazi nima ekanligini intuitiv ravishda tushunishadi, ammo shunga qaramay, men darslardan biridagi materialni takrorlashni maslahat beraman. analitik geometriya, men aniqlagan joy uchburchakning og'irlik markazi haqidagi masala va uni kirish mumkin bo'lgan shaklda hal qildi jismoniy ma'no bu atama.
Mustaqil va test topshiriqlari yechim uchun, qoida tariqasida, eng oddiy holat taklif etiladi - tekis chegaralangan bir hil raqam, ya'ni doimiy raqam jismoniy zichlik– shisha, yog‘och, qalay, quyma o‘yinchoqlar, qiyin bolalik va hokazo. Bundan tashqari, sukut bo'yicha, biz faqat bunday raqamlar haqida gaplashamiz =)
Birinchi qoida va eng oddiy misol : agar tekis figuraga ega bo'lsa simmetriya markazi, keyin bu raqamning og'irlik markazi. Masalan, dumaloq bir hil plastinkaning markazi. Kundalik hayotda bu mantiqiy va tushunarli - bunday raqamning massasi markazga nisbatan "barcha yo'nalishlarda adolatli taqsimlangan". Men uni aylantirmoqchi emasman.
Biroq, qattiq haqiqatda ular sizga shirinlik tashlashi dargumon elliptik shokolad bar, shuning uchun siz jiddiy oshxona asboblari bilan qurollanishingiz kerak bo'ladi:
Yassi bir xil cheklangan figuraning og'irlik markazining koordinatalari yordamida hisoblanadi quyidagi formulalar :
, yoki:
, mintaqaning maydoni qayerda (rasm); yoki juda qisqacha:
, Qayerda
Biz shartli ravishda integralni “X” integrali, integralni esa “Y” integrali deb ataymiz.
Yordam eslatmasi
: tekis cheklangan uchun heterojen zichligi funktsiya tomonidan belgilangan raqamlar, formulalar murakkabroq:
, Qayerda 
- rasmning massasi;bir xil zichlikda bo'lsa, ular yuqoridagi formulalarga soddalashtiriladi.
Aslida, barcha yangilik formulalar bilan tugaydi, qolgani sizning mahoratingiz qo'sh integrallarni yechish Aytgancha, hozir mashq qilish va texnikangizni yaxshilash uchun ajoyib imkoniyat. Va siz bilganingizdek, mukammallikka cheklov yo'q =)
Keling, parabolalarning tetiklantiruvchi qismini kiritamiz:
1-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan bir jinsli yassi figuraning og‘irlik markazining koordinatalarini toping.
Yechim: bu yerdagi chiziqlar elementar: u x o'qini, tenglama esa parabolani aniqlaydi, uni yordamida osongina va tez qurish mumkin. grafiklarni geometrik o'zgartirishlar:
– parabola, 2 birlik chapga va 1 birlik pastga siljidi.
Men butun rasmni bir vaqtning o'zida rasmning og'irlik markazining tugallangan nuqtasi bilan yakunlayman: 
Ikkinchi qoida: agar raqam mavjud bo'lsa simmetriya o'qi, keyin bu raqamning og'irlik markazi, albatta, bu o'qda yotadi.
Bizning holatda, raqamga nisbatan nosimmetrikdir Streyt, ya'ni aslida biz "em" nuqtasining "x" koordinatasini allaqachon bilamiz.
Shuni ham yodda tutingki, og'irlik markazi vertikal ravishda x o'qiga yaqinroq siljiydi, chunki u erda raqam kattaroqdir.
Ha, ehtimol, hamma ham tortishish markazi nima ekanligini hali to'liq tushunmagan: iltimos, ko'rsatkich barmog'ingizni yuqoriga ko'taring va soyali "taglikni" nuqta bilan qo'ying. Nazariy jihatdan, raqam tushmasligi kerak.
Shaklning og'irlik markazining koordinatalarini formulalar yordamida topamiz 
, Qayerda.
Hududni bosib o'tish tartibi (rasm) bu erda aniq: 
Diqqat! Eng foydali o'tish tartibini tanlash bir marta- va undan foydalaning Barcha uchun integrallar!
1) Birinchidan, rasmning maydonini hisoblang. Integralning nisbatan soddaligi tufayli yechim ixcham yozilishi mumkin, asosiysi hisob-kitoblarda chalkashmaslikdir:
Biz chizmaga qaraymiz va maydonni hujayralar bo'yicha baholaymiz. Bu ish haqida bo'lib chiqdi.
2) Og'irlik markazining X koordinatasi allaqachon topilgan " grafik usul", shuning uchun siz simmetriyaga murojaat qilishingiz va keyingi nuqtaga o'tishingiz mumkin. Biroq, men hali ham buni qilishni tavsiya etmayman - "formuladan foydalaning" degan so'z bilan yechim rad etilishi ehtimoli katta.
E'tibor bering, bu erda siz faqat aqliy hisob-kitoblar bilan shug'ullanishingiz mumkin - ba'zida kasrlarni kamaytirishning hojati yo'q. umumiy maxraj yoki kalkulyatorni qiynash.
Shunday qilib: 
, bu olinishi kerak bo'lgan narsa.
3) Og‘irlik markazining ordinatasini toping. Keling, "o'yin" integralini hisoblaylik:
Ammo bu erda kalkulyatorsiz qiyin bo'lar edi. Har holda, men ko'p nomlarni ko'paytirish natijasida 9 ta atama olinganligini va ularning ba'zilari o'xshashligini izohlayman. Men shunga o'xshash atamalarni og'zaki aytdim (odatda shunga o'xshash holatlarda bo'lgani kabi) va darhol umumiy miqdorni yozdi.
Natijada: 
, bu haqiqatga juda o'xshash.
Yoniq yakuniy bosqich chizmadagi nuqtani belgilang. Shartga ko'ra, hech narsa chizish shart emas edi, lekin ko'p topshiriqlarda biz ixtiyoriy ravishda figurani chizishga majburmiz. Ammo mutlaq ortiqcha narsa bor - natijani vizual va juda samarali tekshirish.
Javob: 
Quyidagi ikkita misol siz o'zingiz hal qilishingiz uchun.
2-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan bir jinsli yassi figuraning og‘irlik markazining koordinatalarini toping 
Aytgancha, agar siz parabola qanday joylashganligini tasavvur qilsangiz va uning o'qni kesishgan nuqtalarini ko'rsangiz, bu erda siz rasmsiz qilishingiz mumkin.
Va yanada murakkab:
3-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan bir jinsli yassi figuraning og‘irlik markazini toping
Grafiklarni tuzishda qiyinchiliklarga duch kelsangiz, o'rganing (takrorlang) parabola haqida dars va/yoki maqolaning 11-misoli Dummies uchun qo'sh integrallar.
Dars oxirida namunali yechimlar.
Bundan tashqari, sahifadagi tegishli arxivda o'nlab yoki ikkita shunga o'xshash misollarni topish mumkin Oliy matematika uchun tayyor yechimlar.
Xo'sh, mendan qiyin masalalarni tahlil qilishimni tez-tez so'raydigan oliy matematika muxlislarini xursand qila olmayman:
4-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan bir jinsli yassi figuraning og‘irlik markazini toping. Chizmaga rasmni va uning og'irlik markazini chizing.
Yechim: bu vazifaning sharti allaqachon chizmani bajarishni talab qiladi. Lekin talab unchalik rasmiy emas! - hatto o'rtacha tayyorgarlik darajasiga ega bo'lgan odam ham bu raqamni o'z xayolida tasavvur qilishi mumkin: 
To'g'ri chiziq doirani 2 qismga va qo'shimcha bandga ajratadi (sm. chiziqli tengsizliklar)
kichik soyali bo'lak haqida gapirayotganimizni ko'rsatadi.
Shakl to'g'ri chiziqqa nisbatan nosimmetrikdir (nuqta chiziq bilan tasvirlangan), shuning uchun tortishish markazi bu chiziqda yotishi kerak. Va, shubhasiz, uning koordinatalari teng modul. Noto'g'ri javob berish ehtimolini deyarli yo'q qiladigan ajoyib ko'rsatma!
Endi yomon xabar =) Ufqda ildizning yoqimsiz integrali paydo bo'ladi, biz uni darsning 4-misolida batafsil ko'rib chiqdik. Integrallarni yechishning samarali usullari. Va u erda yana nima chizilganligini kim biladi. Bu mavjudligi tufayli ko'rinadi doira foydali, lekin hamma narsa juda oddiy emas. To'g'ri chiziq tenglamasi shaklga o'tkaziladi 
va integrallar ham shakarga aylanmaydi (garchi muxlislar trigonometrik integrallar qadrlaydi). Shu munosabat bilan to'xtalib o'tishga ko'proq e'tibor qaratish lozim Dekart koordinatalari Oh.
Shaklni aylanib o'tish tartibi: 
1) Shaklning maydonini hisoblang:
Birinchi integralni qabul qilish yanada oqilona differensial belgini yig'ish:
Va ikkinchi integralda biz standart almashtirishni amalga oshiramiz:
Keling, integratsiyaning yangi chegaralarini hisoblaylik: 
2) Keling, topamiz.
Bu erda 2-integralda yana ishlatilgan funktsiyani differentsial belgisi ostida yig'ish usuli. Ushbu optimallarni mashq qiling va qabul qiling (mening fikrimcha) standart integrallarni yechish texnikasi.
Qiyin va ko'p vaqt talab qiladigan hisob-kitoblardan so'ng biz yana rasmga e'tibor qaratamiz (bu fikrlarni eslang biz hali bilmaymiz! ) topilgan qiymatdan esa chuqur ma'naviy mamnuniyat olamiz.
3) Ilgari o'tkazilgan tahlillarga asoslanib, ishonch hosil qilish kerak.
Ajoyib: 
Keling, nuqta chizamiz 
chizma ustida. Shartning matniga muvofiq, biz uni yakuniy deb yozamiz javob: 
Siz o'zingiz hal qilishingiz mumkin bo'lgan shunga o'xshash vazifa:
5-misol
Chiziqlar bilan chegaralangan bir jinsli yassi figuraning og‘irlik markazini toping. Chizmani bajaring.
Bu muammo qiziqish uyg'otadi, chunki u juda kichik o'lchamdagi raqamni o'z ichiga oladi va agar siz biron bir joyda xatoga yo'l qo'ysangiz, bu hududga umuman "kirmaslik" ehtimoli yuqori. Bu, albatta, qarorlarni nazorat qilish nuqtai nazaridan yaxshi.
Dars oxirida namunaviy dizayn.
Ba'zan bu mantiqiy qo'sh integrallarda qutbli koordinatalarga o'tish. Bu raqamga bog'liq. Men muvaffaqiyatli misolni qidirdim va qidirdim, lekin uni topa olmadim, shuning uchun men yuqoridagi darsning 1-namoyish muammosida yechimni ko'rsataman: 
Eslatib o'taman, o'sha misolda biz bordik qutb koordinatalari, hududni bosib o'tish tartibini aniqladi 
va uning maydonini hisoblab chiqdi
Keling, ushbu figuraning og'irlik markazini topamiz. Sxema bir xil: 
. Qiymat to'g'ridan-to'g'ri chizmadan ko'rib chiqiladi va "x" koordinatasini ordinat o'qiga biroz yaqinroq siljitish kerak, chunki u erda yarim doira kattaroq qismi joylashgan.
Integrallarda standart o'tish formulalaridan foydalanamiz:
Ehtimol, ular xato qilmaganlar.
Ma'ruza 4. Og'irlik markazi.
Ushbu ma'ruza quyidagi masalalarni o'z ichiga oladi
1. Og'irlik markazi qattiq.
2. Bir jinsli bo'lmagan jismlarning og'irlik markazlarining koordinatalari.
3. Bir jinsli jismlarning tortishish markazlarining koordinatalari.
4. Og`irlik markazlarining koordinatalarini aniqlash usullari.
5. Ayrim bir jinsli jismlarning tortishish markazlari.
Ushbu masalalarni o'rganish kelajakda jismlarning siljish va dumaloq ishqalanishni hisobga olgan holda harakat dinamikasini, mexanik tizimning massa markazining harakat dinamikasini, kinetik momentlarni o'rganish, muammolarni hal qilish uchun zarurdir. "Materiallarning mustahkamligi" intizomi.
Parallel kuchlarni olib kelish.
Yassi tizimni va kuchlarning ixtiyoriy fazoviy tizimini markazga olib kelishni ko'rib chiqqanimizdan so'ng, biz yana parallel kuchlar tizimining maxsus holatini ko'rib chiqishga qaytamiz.
Ikki parallel kuchni keltirish.
Bunday kuchlar tizimini ko'rib chiqish jarayonida quyidagi uchta qisqarish holati mumkin.
1. Ikki kollinear kuchlar sistemasi. Keling, bir yo'nalishda yo'naltirilgan ikkita parallel kuchlar tizimini ko'rib chiqaylik P Va Q, nuqtalarda qo'llaniladi A Va IN. Biz kuchlar ushbu segmentga perpendikulyar deb faraz qilamiz (1-rasm, A).
BILAN, segmentga tegishli AB va shartni qondirish:
AC/NE = Q/P.(1)
Tizimning asosiy vektori R C = P + Q moduli bo'yicha ushbu kuchlarning yig'indisiga teng: R C = P + Q.
BILAN hisobga olgan holda (1) nolga teng:MC = P ∙ AC- Q∙ CB = 0.
Shunday qilib, kasting natijasida biz quyidagilarga ega bo'ldik: R C ≠ 0, MC= 0. Bu asosiy vektor qisqarish markazidan o'tgan natijaga ekvivalent ekanligini anglatadi, ya'ni:
Kollinear kuchlarning natijasi moduli bo'yicha ularning yig'indisiga teng va uning ta'sir chizig'i ularning qo'llanilishi nuqtalarini bog'laydigan segmentni ushbu kuchlarning modullariga teskari proportsional ravishda ichki tarzda ajratadi.
Nuqtaning pozitsiyasiga e'tibor bering BILAN kuchlar bo'lsa o'zgarmaydi R Va Q burchakni aylantiring a. Nuqta BILAN, bu xususiyatga ega bo'lgan parallel kuchlar markazi.
2. Ikkita tizim antikollinear va kattaliklari teng bo'lmagan kuchlar. Kuch quvvat bersin P Va Q, nuqtalarda qo'llaniladi A Va IN, parallel, qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan va kattaligi teng bo'lmagan (1-rasm, b).
Keling, nuqtani qisqartirish markazi sifatida tanlaymiz BILAN, u hali ham (1) munosabatni qanoatlantiradi va bir xil chiziqda yotadi, lekin segmentdan tashqarida AB.
Ushbu tizimning asosiy vektori R C = P + Q modul endi vektorlarning modullari orasidagi farqga teng bo'ladi: R C = Q - P.
Markaz bilan bog'liq asosiy nuqta BILAN hali nolga teng:MC = P ∙ AC- Q∙ NE= 0, shuning uchun
Natija antikollinear va kattaligi teng bo'lmagan kuchlar ularning farqiga teng bo'lib, kattaroq kuch tomon yo'naltirilgan va uning ta'sir chizig'i ushbu kuchlarning tashqi modullariga teskari mutanosib ravishda ularni qo'llash nuqtalarini bog'laydigan segmentni ajratadi.
1-rasm
3. Ikkita tizim antikollinear va kattaliklari teng bo'lgan kuchlar. Keling, oldingi qisqartirish holatini boshlang'ich holat sifatida olaylik. Keling, kuchni tuzataylik R, va kuch Q modulni kuchga yo'naltiramiz R.
Keyin soat Q → R (1) formuladagi munosabat AC/NE → 1. Bu shuni anglatadiki AC → NE, ya'ni masofa AC →∞ .
Bunday holda, asosiy vektorning moduli R C → 0 va asosiy momentning moduli pasayish markazining holatiga bog'liq emas va dastlabki qiymatga teng bo'lib qoladi:
MC = P ∙ AC- Q∙ NE = P ∙ ( AC- NE) =P ∙ AB.
Shunday qilib, chegarada biz kuchlar tizimini oldik, buning uchun R C = 0, MC≠ 0 va qisqarish markazi cheksizlikka olib tashlanadi, uni natija bilan almashtirib bo'lmaydi. Bu tizimda bir necha kuchlarni tan olish qiyin emas, shuning uchun bir juft kuch hech qanday natijaga ega emas.
Parallel kuchlar tizimining markazi.
Tizimni ko'rib chiqing n kuch P i, nuqtalarda qo'llaniladiA i (x i , y i , z i) va o'qga parallelOv orth bilan l(2-rasm).
Agar biz bir juft kuchga ekvivalent tizim holatini oldindan istisno qilsak, oldingi paragrafga asoslanib, uning natijasi mavjudligini isbotlash qiyin emas.R.
Markazning koordinatalarini aniqlaymizC(x c, y c, z c) parallel kuchlar, ya'ni bu sistema natijasini qo'llash nuqtasi koordinatalari.
Buning uchun biz Varignon teoremasidan foydalanamiz, unga asoslanadi:
M0 (R) = Σ M0(P i).
2-rasm
Kuchning vektor momenti vektor mahsuloti sifatida ifodalanishi mumkin, shuning uchun:
M 0 (R) = r c× R = Σ M0i(P i) = Σ ( r i× P i ).
Shuni hisobga olib R = Rv ∙ l, A P i = Pvi ∙ l va xususiyatlardan foydalanish vektor mahsuloti, biz olamiz:
r c × Rv ∙ l = Σ ( r i × Pvi ∙ l),
r c ∙ R v× l = Σ ( r i ∙ Pvi × l) = Σ ( r i ∙ Pvi ) × l,
yoki:
[ r c R v - Σ ( r i Pvi )] × l= 0.
Oxirgi ifoda kvadrat qavs ichidagi ifoda nolga teng bo'lsagina amal qiladi. Shuning uchun indeksni o'tkazib yuborishvva natijani hisobga olgan holdaR = Σ P i , bu yerdan biz olamiz:
r c = (Σ P i r i )/(Σ P i ).
Oxirgi vektor tengligini koordinata o'qiga proyeksiya qilib, biz kerakli narsani olamiz parallel kuchlar markazining koordinatalari ifodasi:
x c = (Σ P i x i)/(Σ P i );
y c = (Σ P i y i )/(Σ P i );(2)
z c = (Σ P i z i )/(Σ P i ).
Jismlarning og'irlik markazi.
Bir jinsli jismning tortishish markazlarining koordinatalari.
Qattiq jismni tortishni ko'rib chiqing P va hajmi V koordinatalar tizimida Oxyz, o'qlar qayerda x Va y yer yuzasiga va o'qiga bog'langan z zenitga qaratilgan.
Agar tanani hajmli elementar qismlarga ajratsak∆ V i , keyin tortishish kuchi uning har bir qismiga ta'sir qiladi∆ P i, Yerning markaziga yo'naltirilgan. Keling, tananing o'lchamlari Yerning o'lchamlaridan sezilarli darajada kichikroq deb faraz qilaylik, u holda tananing elementar qismlariga qo'llaniladigan kuchlar tizimini yaqinlashuvchi emas, balki parallel deb hisoblash mumkin (3-rasm) va barcha xulosalar oldingi bobning qoidalari unga nisbatan qo'llaniladi.
3-rasm
Ta'rif . Qattiq jismning og'irlik markazi bu jismning elementar qismlarining parallel tortishish kuchlarining markazidir.
Keling, buni eslaylik solishtirma og'irlik tananing elementar qismining og'irligiga nisbati deyiladi∆ P i∆ hajmiga V i : γ i = ∆ P i/ ∆ V i . Bir hil jism uchun bu qiymat doimiydir:γ i = γ = P/ V.
∆ ni (2) ga almashtirish P i = γ i ∙∆ V i o'rniga P i, oxirgi eslatmani hisobga olgan holda va son va maxrajni tomonidan kamaytirishg, olamiz bir jinsli jismning og'irlik markazining koordinatalari uchun ifodalar:
x c = (Σ ∆ V i∙ x i)/(Σ ∆ V i);
y c = (Σ ∆ V i∙ y i )/(Σ ∆ V i);(3)
z c = (Σ ∆ V i∙ z i )/(Σ ∆ V i).
Og'irlik markazini aniqlashda bir nechta teoremalar foydalidir.
1) Agar bir jinsli jismning simmetriya tekisligi bo'lsa, uning og'irlik markazi shu tekislikda bo'ladi.
Agar o'qlar X Va da bu simmetriya tekisligida joylashgan, so'ngra koordinatali har bir nuqta uchun. Va koordinata (3) ga ko'ra, nolga teng bo'ladi, chunki jami Hammasi qarama-qarshi belgilarga ega bo'lgan a'zolar juft bo'lib yo'q qilinadi. Bu og'irlik markazi joylashganligini anglatadi simmetriya tekisligida.
2) Agar bir jinsli jismda simmetriya o'qi bo'lsa, u holda jismning og'irlik markazi shu o'qda joylashgan.
Haqiqatan ham, bu holda, eksa bo'lsazkoordinatali har bir nuqta uchun simmetriya o'qi bo'ylab chizamizkoordinatalari bo'lgan nuqtani topishingiz mumkin va koordinatalar va , formulalar (3) yordamida hisoblangan, nolga teng bo'ladi.
Uchinchi teorema ham xuddi shunday isbotlangan.
3) Agar bir jinsli jismda simmetriya markazi bo'lsa, u holda tananing og'irlik markazi shu nuqtada bo'ladi.
Va yana bir nechta sharhlar.
Birinchidan. Agar tanani og'irlik markazining og'irligi va holati ma'lum bo'lgan qismlarga bo'lish mumkin bo'lsa, unda har bir nuqtani ko'rib chiqishning hojati yo'q va formulalarda (3) P i - mos keladigan qismning og'irligi sifatida aniqlanadi va- uning og'irlik markazining koordinatalari sifatida.
Ikkinchi. Agar tana bir hil bo'lsa, unda uning alohida qismining og'irligi, Qayerda - tanasi yasalgan materialning solishtirma og'irligi va V i - tananing ushbu qismining hajmi. Va formulalar (3) qulayroq shaklga ega bo'ladi. Masalan,
Va shunga o'xshash, qaerda - butun tananing hajmi.
Uchinchi eslatma. Tananing maydoni bo'lgan ingichka plastinka shakliga ega bo'lsin F va qalinligi t, samolyotda yotish Oksi. O'zgartirish (3)∆ V i =t ∙ ∆F i , biz bir hil plastinkaning og'irlik markazining koordinatalarini olamiz:
x c = (Σ ∆ F i∙ x i) / (Σ ∆ F i);
y c = (Σ ∆ F i∙ y i ) / (Σ ∆ F i).
z c = (Σ ∆ F i∙ z i ) / (Σ ∆ F i).
Qayerda - alohida plitalarning og'irlik markazining koordinatalari;- tananing umumiy maydoni.
To'rtinchi eslatma. Uzunlikdagi ingichka kavisli novda shaklidagi tana uchun L tasavvurlar maydoni bilan a elementar hajm∆ V i = a ∙∆ L i , Shunung uchun yupqa kavisli tayoqning og'irlik markazining koordinatalari teng bo'ladi:
x c = (Σ ∆ L i∙ x i)/(Σ ∆ L i);
y c = (Σ ∆ L i∙ y i )/(Σ ∆ L i);(4)
z c = (Σ ∆ L i∙ z i )/(Σ ∆ L i).
Qayerda - og'irlik markazining koordinatalarii- bo'lim; .
E'tibor bering, ta'rifga ko'ra, og'irlik markazi geometrik nuqtadir; u berilgan jismning chegaralaridan tashqarida ham yotishi mumkin (masalan, halqa uchun).
Eslatma.
Kursning ushbu qismida biz tortishish, tortishish va tana vaznini farqlamaymiz. Aslida, tortishish Yerning tortishish kuchi va uning aylanishi natijasida yuzaga keladigan markazdan qochma kuch o'rtasidagi farqdir.
Bir jinsli bo'lmagan jismlarning og'irlik markazlarining koordinatalari.
Og'irlik markazi koordinatalari bir hil bo'lmagan qattiq(4-rasm) tanlangan mos yozuvlar tizimida quyidagicha aniqlanadi:
4-rasm
Qayerda - tananing hajmi birligiga to'g'ri keladigan og'irlik (o'ziga xos tortishish)
- butun tana vazni.
bir xil bo'lmagan sirt(5-rasm), keyin tanlangan mos yozuvlar tizimidagi og'irlik markazining koordinatalari quyidagicha aniqlanadi:
5-rasm
Qayerda - tana birligining vazni,
- butun tana vazni.
Agar qattiq bo'lsa bir xil bo'lmagan chiziq(6-rasm), keyin tanlangan mos yozuvlar tizimidagi og'irlik markazining koordinatalari quyidagicha aniqlanadi:
6-rasm
Qayerda - tana uzunligi uchun vazn,
Butun tana vazni.
Og'irlik markazining koordinatalarini aniqlash usullari.
Yuqorida olingan umumiy formulalar asosida aniq usullarni ko'rsatish mumkin jismlarning og'irlik markazlarining koordinatalarini aniqlash.
1. Simmetriya. Agar bir jinsli jismda tekislik, o'q yoki simmetriya markazi bo'lsa (7-rasm), u holda uning og'irlik markazi mos ravishda simmetriya tekisligida, simmetriya o'qida yoki simmetriya markazida yotadi.
7-rasm
2. Bo'linish. Tana ichkariga kiradi yakuniy raqam qismlar (8-rasm), ularning har biri uchun og'irlik markazining pozitsiyasi va maydoni ma'lum.
8-rasm
S =S 1 +S 2.
3.Salbiy maydon usuli. Bo'lish usulining alohida holati (9-rasm). Agar kesiksiz tananing og'irlik markazlari va kesilgan qismi ma'lum bo'lsa, u kesiklari bo'lgan jismlarga taalluqlidir. Kesikli plastinka shaklidagi tanasi qattiq plastinka (kesimisiz) maydon bilan birikmasi bilan ifodalanadi. S 1 va kesilgan qismning maydoni S2.
9-rasm
S = S 1 - S 2.
4.Guruhlash usuli. Bu oxirgi ikki usulga yaxshi qo'shimcha hisoblanadi. Shaklni uning tarkibiy elementlariga bo'lgandan so'ng, ushbu guruhning simmetriyasini hisobga olgan holda yechimni soddalashtirish uchun ulardan ba'zilarini yana birlashtirish qulay.
Ayrim bir jinsli jismlarning tortishish markazlari.
1) Dumaloq yoyning og'irlik markazi. Arkni ko'rib chiqing AB radiusR markaziy burchak bilan. Simmetriya tufayli bu yoyning og'irlik markazi o'qda yotadiho'kiz(10-rasm).
10-rasm
Keling, koordinatani topamiz formula bo'yicha . Buni amalga oshirish uchun yoyni tanlang AB element MM ’ uzunligi, uning pozitsiyasi burchak bilan belgilanadi. Koordinata X element MM' bo'ladi. Ushbu qiymatlarni almashtirish X Va d l va integral yoyning butun uzunligi bo'ylab cho'zilishi kerakligini yodda tutib, biz quyidagilarni olamiz:
bu yerda L - AB yoyi uzunligi, ga teng.
Bu erdan nihoyat topamizki, aylana yoyning og'irlik markazi uning simmetriya o'qida markazdan uzoqda joylashgan. O teng
burchak qayerda radianlarda o'lchanadi.
2) Uchburchak maydonining og'irlik markazi. Samolyotda yotgan uchburchakni ko'rib chiqing Oksi, cho'qqilarining koordinatalari ma'lum: A i (x i,y i ), (i= 1,2,3). Uchburchakni yon tomonga parallel ravishda tor chiziqlarga ajratish A 1 A 2, biz uchburchakning og'irlik markazi medianaga tegishli bo'lishi kerak degan xulosaga keldik. A 3 M 3 (11-rasm).
11-rasm
Uchburchakni yon tomonga parallel chiziqlarga ajratish A 2 A 3, biz uning medianada yotishi kerakligini tekshirishimiz mumkin A 1 M 1 . Shunday qilib, uchburchakning og'irlik markazi uning medianalarining kesishish nuqtasida yotadi, ma'lumki, mos keladigan tomondan hisoblab, har bir medianadan uchinchi qismni ajratib turadi.
Xususan, median uchun A 1 M 1 nuqtaning koordinatalarini hisobga olgan holda olamiz M 1 - bu cho'qqilar koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymati A 2 va A 3 :
x c = x 1 + (2/3) ∙ (xM 1 - x 1 ) = x 1 + (2/3) ∙ [(x 2 + x 3 )/2 - x 1 ] = (x 1 + x 2 + x 3 )/3.
Shunday qilib, uchburchakning og'irlik markazining koordinatalari uning uchlari koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymati hisoblanadi:
x c =(1/3) Σ x i ; y c =(1/3) Σ y i .
3) Dumaloq sektor maydonining og'irlik markazi. Radiusli aylana sektorini ko'rib chiqing R markaziy burchak bilan 2α , eksa atrofida nosimmetrik joylashgan ho'kiz (12-rasm) .
Bu aniq y c = 0 va bu sektor kesilgan doira markazidan uning og'irlik markazigacha bo'lgan masofani formula bilan aniqlash mumkin:
12-rasm
Ushbu integralni hisoblashning eng oson usuli integratsiya sohasini burchak bilan elementar sektorlarga bo'lishdir. dφ . Birinchi tartibdagi cheksiz kichiklargacha aniq, bunday sektorni asosi teng bo'lgan uchburchak bilan almashtirish mumkin. R × dφ va balandligi R. Bunday uchburchakning maydoni dF =(1/2)R 2 ∙ dφ , va uning tortishish markazi 2/3 masofada joylashgan R tepadan, shuning uchun (5) ga qo'yamiz x = (2/3)R∙ cosph. O'zgartirish (5) F= α R 2, biz olamiz:
Oxirgi formuladan foydalanib, biz, xususan, tortishish markaziga masofani hisoblaymiz yarim doira.
a = p /2 ni (2) ga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: x c = (4 R)/(3p) ≅ 0,4 R .
1-misol.Shaklda ko'rsatilgan bir hil jismning og'irlik markazini aniqlaymiz. 13.
13-rasm
Yechim.Tana bir hil, nosimmetrik shaklga ega bo'lgan ikki qismdan iborat. Ularning tortishish markazlarining koordinatalari:
Ularning hajmlari:
Shuning uchun tananing og'irlik markazining koordinatalari
2-misol. To'g'ri burchak ostida egilgan plastinkaning og'irlik markazini topamiz. O'lchamlar chizmada (14-rasm).
14-rasm
Yechim. Og'irlik markazlarining koordinatalari:
0.
Hududlar:
Shunung uchun:
3-misol.
Kvadrat varaqda
sm kvadrat teshik kesilgan
sm (15-rasm). Keling, varaqning og'irlik markazini topamiz. 4-misol. Rasmda ko'rsatilgan plastinkaning og'irlik markazining o'rnini toping. 16. O'lchamlar santimetrda berilgan.
16-rasm
Yechim. Plastinani raqamlarga ajratamiz (17-rasm), markazlari og'irligi ma'lum.
Ushbu raqamlarning maydonlari va ularning tortishish markazlarining koordinatalari:
1) tomonlari 30 va 40 sm bo'lgan to'rtburchaklar,S 1 =30 ∙ 40=1200 sm 2 ; x 1=15 sm; da 1 = 20 sm.
2) to'g'ri uchburchak poydevori 50 sm va balandligi 40 sm;S 2 =0,5 ∙ 50 ∙ 40= 1000 sm 2 ; X 2 =30+50/3=46,7 sm; y 2 =40/3 =13,3 sm;
3) yarim doira radiusli doira r = 20 sm;S 3 =0,5 ∙π∙ 20 2 =628 sm 2 ; X 3 =4 R /3 π =8,5 sm; da
Yechim. Eslatib o'tamiz, fizikada tananing zichligiρ va uning solishtirma og'irligigmunosabat bilan bog'lanadi:γ = ρ g , Qayerdag - tezlashuv erkin tushish. Bunday bir hil jismning massasini topish uchun zichlikni uning hajmiga ko'paytirish kerak.
19-rasm
"Chiziqli" yoki "chiziqli" zichlik atamasi truss novdasining massasini aniqlash uchun chiziqli zichlikni ushbu novda uzunligiga ko'paytirish kerakligini anglatadi.
Muammoni hal qilish uchun siz qismlarga ajratish usulidan foydalanishingiz mumkin. Berilgan trussni 6 ta alohida tayoqning yig'indisi sifatida ifodalab, biz quyidagilarni olamiz:
QayerdaL i uzunligii th truss rod, vax i , y i - uning og'irlik markazining koordinatalari.
Ushbu muammoni hal qilish trussning oxirgi 5 barini guruhlash orqali soddalashtirilishi mumkin. Ular to'rtinchi tayoqning o'rtasida joylashgan simmetriya markaziga ega bo'lgan figurani tashkil qilishini ko'rish oson, bu novdalar guruhining og'irlik markazi joylashgan.
Shunday qilib, ma'lum bir truss faqat ikkita novda guruhining kombinatsiyasi bilan ifodalanishi mumkin.
Birinchi guruh birinchi tayoqdan iborat, buning uchunL 1 = 4 m,x 1 = 0 m,y 1 = 2 m.Ikkinchi guruh tayoqchalari beshta tayoqdan iborat, buning uchunL 2 = 20 m,x 2 = 3 m,y 2 = 2 m.
Trussning og'irlik markazining koordinatalari quyidagi formula yordamida topiladi:
x c = (L 1 ∙ x 1 + L 2 ∙ x 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙0 + 20∙3)/24 = 5/2 m;
y c = (L 1 ∙ y 1 + L 2 ∙ y 2 )/(L 1 + L 2 ) = (4∙2 + 20∙2)/24 = 2 m.
E'tibor bering, markaz BILAN tutashtiruvchi toʻgʻri chiziqda yotadi BILAN 1 va BILAN 2 va segmentni ajratadi BILAN 1 BILAN 2 haqida: BILAN 1 BILAN/SS 2 = (x c - x 1 )/(x 2 - x c ) = L 2 / L 1 = 2,5/0,5.
O'z-o'zini tekshirish uchun savollar
- Parallel kuchlar markazi nima deyiladi?
- Parallel kuchlar markazining koordinatalari qanday aniqlanadi?
- Natijasi nolga teng bo'lgan parallel kuchlar markazi qanday aniqlanadi?
- Parallel kuchlar markazi qanday xossalarga ega?
- Parallel kuchlar markazining koordinatalarini hisoblash uchun qanday formulalar qo'llaniladi?
-Jismning og'irlik markazi nima deb ataladi?
- Nima uchun jismning biror nuqtasiga ta'sir etuvchi Yerning tortishish kuchlarini parallel kuchlar sistemasi sifatida qabul qilish mumkin?
- Bir jinsli va bir jinsli jismlarning og`irlik markazining o`rnini aniqlash formulasini, yassi kesmalarning og`irlik markazining o`rnini aniqlash formulasini yozing?
- Oddiyning og'irlik markazining o'rnini aniqlash formulasini yozing geometrik shakllar: to'rtburchak, uchburchak, trapezoid va yarim doira?
- Maydonning statik momenti nima deyiladi?
- Og'irlik markazi tanadan tashqarida joylashgan jismga misol keltiring.
- Jismlarning tortishish markazlarini aniqlashda simmetriya xossalaridan qanday foydalaniladi?
- Salbiy vaznlar usulining mohiyati nimada?
- Aylana yoyning og'irlik markazi qayerda joylashgan?
- Uchburchakning og‘irlik markazini qanday grafik konstruksiya yordamida topish mumkin?
- doiraviy sektorning og`irlik markazini aniqlovchi formulani yozing.
- Uchburchak va dumaloq sektorning og‘irlik markazlarini aniqlovchi formulalardan foydalanib, aylana segment uchun ham xuddi shunday formulani chiqaring.
- Bir jinsli jismlarning og`irlik markazlarining koordinatalari, tekis figuralar va chiziqlarni hisoblash uchun qanday formulalar qo`llaniladi?
- Samolyot figurasi maydonining o'qqa nisbatan statik momenti nima deb ataladi, u qanday hisoblanadi va u qanday o'lchamga ega?
- Agar uning alohida qismlarining og'irlik markazlarining holati ma'lum bo'lsa, hududning og'irlik markazining holati qanday aniqlanadi?
- Og'irlik markazining o'rnini aniqlash uchun qanday yordamchi teoremalardan foydalaniladi?
Ishning maqsadi – murakkab figuraning og‘irlik markazini analitik va eksperimental yo‘l bilan aniqlash.
Nazariy ma'lumot. Moddiy jismlardan iborat elementar zarralar, ularning fazodagi holati ularning koordinatalari bilan belgilanadi. Har bir zarrachaning Yerga tortish kuchlarini parallel kuchlar tizimi deb hisoblash mumkin, bu kuchlarning natijasi tananing tortishish kuchi yoki tananing og'irligi deb ataladi. Jismning og'irlik markazi og'irlikni qo'llash nuqtasidir.
Og'irlik markazi geometrik nuqta, bu tananing tashqarisida joylashgan bo'lishi mumkin (masalan, teshikli disk, ichi bo'sh to'p va boshqalar). Katta amaliy ahamiyati yupqa tekis bir hil plitalarning og'irlik markazining ta'rifiga ega. Ularning qalinligi odatda e'tiborsiz qolishi mumkin va tortishish markazi tekislikda joylashgan deb taxmin qilish mumkin. Agar koordinata tekisligi xOy figuraning tekisligiga to'g'ri keladi, keyin og'irlik markazining holati ikkita koordinata bilan aniqlanadi:
rasmning bir qismining maydoni qayerda, ();
– shakl qismlarining og‘irlik markazining koordinatalari, mm (sm).
| Shaklning bo'limi | A, mm 2 | X c, mm | Yc, mm |
 | bh | b/2 | h/2 |
 | bh/2 | b/3 | h/3 |
 | R 2a | ||
| 2a = p pR 2 /2 da |
Ish tartibi.
1:1 masshtabda 3-4 ta oddiy figuradan (to`rtburchak, uchburchak, doira va hokazo) iborat murakkab shakldagi figurani chizing va uning o`lchamlarini ko`rsating.
Koordinata o'qlarini shunday chizingki, ular butun figurani qamrab oladi, murakkab figurani oddiy qismlarga ajratadi, tanlangan koordinata tizimiga nisbatan har bir oddiy figuraning og'irlik markazining maydoni va koordinatalarini aniqlang.
Butun figuraning og'irlik markazining koordinatalarini analitik tarzda hisoblang. Ushbu raqamni yupqa karton yoki kontrplakdan kesib oling. Ikkita teshikni burang, teshiklarning qirralari silliq bo'lishi kerak va teshiklarning diametri shaklni osib qo'yish uchun igna diametridan biroz kattaroq bo'lishi kerak.
Avval raqamni bir nuqtaga (teshik) osib qo'ying, qalam bilan chiziq chizig'iga to'g'ri keladigan chiziq torting. Shaklni boshqa nuqtaga osib qo'yganingizda ham xuddi shunday takrorlang. Tajriba yo'li bilan topilgan figuraning og'irlik markazi mos kelishi kerak.
Analitik yo'l bilan yupqa bir jinsli plastinkaning og'irlik markazining koordinatalarini aniqlang. Eksperimental tekshirish
Yechim algoritmi
1. Analitik usul.
a) 1:1 masshtabda chizma chizing.
b) Murakkab figurani oddiylarga ajrating
c) Koordinata o'qlarini tanlang va chizing (agar rasm simmetrik bo'lsa, simmetriya o'qi bo'ylab, aks holda rasm konturi bo'ylab)
d) oddiy figuralar va butun rasmning maydonini hisoblang
e) Chizmadagi har bir oddiy figuraning og'irlik markazining o'rnini belgilang
f) Har bir figuraning og'irlik markazining koordinatalarini hisoblang
(x va y o'qi)
g) Formuladan foydalanib, butun figuraning og'irlik markazining koordinatalarini hisoblang
h) C chizmada og'irlik markazining o'rnini belgilang (
2. Eksperimental aniqlash.
Muammoni hal qilishning to'g'riligini eksperimental tekshirish mumkin. Ushbu raqamni yupqa karton yoki kontrplakdan kesib oling. Uchta teshikni burang, teshiklarning qirralari silliq bo'lishi kerak va teshiklarning diametri shaklni osib qo'yish uchun igna diametridan biroz kattaroq bo'lishi kerak.
Avval raqamni bir nuqtaga (teshik) osib qo'ying, qalam bilan chiziq chizig'iga to'g'ri keladigan chiziq torting. Shaklni boshqa nuqtalarga osib qo'yganingizda ham xuddi shunday takrorlang. Shaklni ikki nuqtaga osib qo'yganda topilgan figuraning og'irlik markazi koordinatalarining qiymati: . Tajriba yo'li bilan topilgan figuraning og'irlik markazi mos kelishi kerak.
3. Analitik va eksperimental aniqlashda og'irlik markazining holati haqida xulosa.
Mashq qilish
Yassi kesimning og‘irlik markazini analitik va eksperimental yo‘l bilan aniqlang.
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
Amalga oshirish misoli
Vazifa
Yupqa bir jinsli plastinkaning og'irlik markazining koordinatalarini aniqlang.
I Analitik usul
1. Chizma masshtabga qarab chiziladi (o‘lchamlar odatda mm da beriladi)
2. Murakkab figurani oddiylarga ajratamiz.
1 - To'rtburchak
2- uchburchak (to'rtburchak)
3- Yarim doira maydoni (u yo'q, minus belgisi).
Nuqtalarning oddiy figuralarining og'irlik markazining o'rnini topamiz va
3. Koordinata o'qlarini qulay qilib chizing va koordinatalarning boshini belgilang.
4. Oddiy figuralarning maydonlarini va butun figuraning maydonini hisoblang. [hajmi sm]
(3. yo'q, belgisi -).
Butun figuraning maydoni
5. Markaziy nuqtaning koordinatasini toping. , va chizmada.
6. C 1, C 2 va C 3 nuqtalarning koordinatalarini hisoblang
7. S nuqtaning koordinatalarini hisoblang
8. Chizmadagi nuqtani belgilang
II tajribali
Eksperimental og'irlik markazining koordinatalari.
Nazorat savollari.
1. Jismning tortishish kuchini parallel kuchlarning natijaviy tizimi deb hisoblash mumkinmi?
2. Butun tananing og'irlik markazini joylashtirish mumkinmi?
3. Yassi figuraning og'irlik markazini tajribada aniqlashning mohiyati nimada?
4. Bir necha oddiy figuralardan tashkil topgan murakkab figuraning og`irlik markazi qanday aniqlanadi?
5. Butun figuraning og‘irlik markazini aniqlashda murakkab shakldagi figurani qanday qilib ratsional ravishda oddiy figuralarga bo‘lish kerak?
6. Og'irlik markazini aniqlash formulasida teshiklar maydoni qanday belgiga ega?
7. Uning ogirlik markazi uchburchakning qaysi chiziqlari kesishmasida joylashgan?
8. Agar figurani oz sonli oddiy figuralarga bo‘lish qiyin bo‘lsa, og‘irlik markazini aniqlashning qaysi usuli eng tezkor javobni berishi mumkin?
Amaliy ish №6
"Murakkab muammolarni hal qilish"
Ishning maqsadi: murakkab masalalarni hal qila olish (kinematika, dinamika)
Nazariy ma'lumot: Tezlik - bu nuqta harakatining kinematik o'lchovi bo'lib, uning holatini o'zgartirish tezligini tavsiflaydi. Nuqta tezligi - bu nuqtaning harakat tezligi va yo'nalishini tavsiflovchi vektor bu daqiqa vaqt. Nuqtaning harakatini tenglamalar bilan belgilashda Dekart koordinata o‘qlaridagi tezlik proyeksiyalari quyidagilarga teng bo‘ladi:
Nuqtaning tezlik moduli formula bilan aniqlanadi
Tezlik yo'nalishi kosinuslar yo'nalishi bilan belgilanadi:
Tezlikni o'zgartirish tezligining xarakteristikasi tezlanish a. Nuqtaning tezlanishi tezlik vektorining vaqt hosilasiga teng:
Nuqtaning harakatini belgilashda tezlanishni koordinata o'qlariga proyeksiya qilish tenglamalari quyidagilarga teng:
Tezlashtirish moduli:
To'liq tezlashtirish moduli
Tangensial tezlanish moduli formula bilan aniqlanadi
Oddiy tezlanish moduli formula bilan aniqlanadi
qayerda - berilgan nuqtada traektoriyaning egrilik radiusi.
Tezlanish yo'nalishi kosinuslar yo'nalishi bilan belgilanadi
Ruxsat etilgan o'q atrofida qattiq jismning aylanish harakati tenglamasi shaklga ega
Tananing burchak tezligi:
Ba'zan burchak tezligi daqiqada aylanishlar soni bilan tavsiflanadi va harf bilan belgilanadi. va o'rtasidagi bog'liqlik shaklga ega
Tananing burchak tezlashishi:
Berilgan nuqta massasining tezlanishiga koʻpaytmasiga va nuqta tezlanishiga toʻgʻridan-toʻgʻri qarama-qarshi yoʻnalishdagi yoʻnalishga teng boʻlgan kuchga inersiya kuchi deyiladi.
Quvvat - kuchning vaqt birligida bajaradigan ishi.
Aylanma harakat uchun asosiy dinamika tenglamasi
- jismning aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti - bu o'qga bo'lgan masofalar kvadratiga bo'lgan moddiy nuqtalarning massalari yig'indisi.
Mashq qilish
Massasi m bo‘lgan jism d diametrli barabanga o‘ralgan sim yordamida qiya tekislik bo‘ylab qiyalik burchagi a bilan yuqoriga yoki pastga harakatlanadi. Tana harakati tenglamasi S=f(t), baraban aylanish tenglamasi, bu yerda S metrda; ph - radianlarda; t - soniyalarda. P va ō mos ravishda tezlashuvning tugashi yoki tormozlanish boshlanishi momentidagi baraban milidagi quvvat va burchak tezligidir. Vaqt t 1 - tezlanish vaqti (dam olishdan ma'lum tezlikgacha) yoki tormozlash (ma'lum tezlikdan to'xtashgacha). Tana va tekislik orasidagi sirpanish ishqalanish koeffitsienti -f ga teng. Barabandagi ishqalanish yo'qotishlarini, shuningdek, barabanning massasini e'tiborsiz qoldiring. Masalalarni yechishda g=10 m/s 2 ni oling
| Yo'q | a, deg | Harakat qonuni | Masalan, harakat | m, kg | t 1, s | d, m | P, kVt | , rad/s | f | Def. miqdorlar |
| S=0,8t 2 | Pastga | - | - | 0,20 | 4,0 | 0,20 | m, t 1 | |||
| ph=4t 2 | Pastga | 1,0 | 0,30 | - | - | 0,16 | P,ō | |||
| S=1,5t-t 2 | yuqoriga | - | - | - | 4,5 | 0,20 | m, d | |||
| ō=15t-15t 2 | yuqoriga | - | - | 0,20 | 3,0 | - | 0,14 | m,ō | ||
| S=0,5t 2 | Pastga | - | - | 1,76 | 0,20 | d,t 1 | ||||
| S=1,5t 2 | Pastga | - | 0,6 | 0,24 | 9,9 | - | 0,10 | m,ō | ||
| S=0,9t 2 | Pastga | - | 0,18 | - | 0,20 | P, t 1 | ||||
| ph=10t 2 | Pastga | - | 0,20 | 1,92 | - | 0,20 | P, t 1 | |||
| S=t-1,25t 2 | yuqoriga | - | - | - | 0,25 | P,d | ||||
| ph=8t-20t 2 | yuqoriga | - | 0,20 | - | - | 0,14 | P, ō |
Amalga oshirish misoli
Muammo 1(1-rasm).
Yechim 1. To'g'ri chiziqli harakat (1-rasm, a). Vaqtning qaysidir nuqtasida bir tekis harakatlanuvchi nuqta yangi harakat qonunini oldi va ma'lum vaqtdan keyin to'xtadi. Ikki holat uchun nuqta harakatining barcha kinematik xususiyatlarini aniqlang; a) to'g'ri yo'l bo'ylab harakatlanish; b) doimiy egrilik radiusi r=100sm bo'lgan egri chiziq bo'ylab harakat
1-rasm (a).
Nuqta tezligining o'zgarish qonuni
Shartdan nuqtaning dastlabki tezligini topamiz:
Biz shartdan to'xtash uchun tormozlanish vaqtini topamiz:
da, bu yerdan.
Bir tekis harakat davridagi nuqtaning harakat qonuni
Tormozlanish davrida nuqtaning traektoriya bo'ylab bosib o'tgan masofasi
Nuqta tangensial tezlanishining o'zgarish qonuni
shundan kelib chiqadiki, tormozlanish davrida nuqta bir xil darajada sekin harakatlanadi, chunki tangensial tezlanish manfiy va doimiy qiymatga ega.
Oddiy tezlashuv harakatning to'g'ri chiziqli traektoriyasidagi nuqtalar nolga teng, ya'ni. .
Yechim 2. Egri chiziqli harakat (1-rasm, b).
1(b)-rasm
Bu holatda, ish bilan solishtirganda to'g'ri chiziqli harakat Oddiy tezlanish bundan mustasno, barcha kinematik xususiyatlar o'zgarishsiz qoladi.
Nuqtaning normal tezlanishining o'zgarish qonuni
Tormozlanishning dastlabki momentida nuqtaning normal tezlashishi
Chizmada qabul qilingan traektoriyadagi nuqta pozitsiyalarining raqamlanishi: 1 - joriy pozitsiya tormozlash boshlanishidan oldin bir tekis harakatdagi nuqtalar; 2 – tormozlanish momentidagi nuqtaning holati; 3 – tormozlanish davridagi nuqtaning joriy holati; 4 - nuqtaning yakuniy pozitsiyasi.
Vazifa 2.
Yuk (2-rasm, a) barabanli vinç yordamida ko'tariladi. Barabanning diametri d=0,3m, aylanish qonuni esa .
Barabanning tezlashishi burchak tezligiga qadar davom etdi. Baraban va yuk harakatining barcha kinematik xususiyatlarini aniqlang.
Yechim. Baraban burchak tezligining o'zgarish qonuni. Dastlabki burchak tezligini shartdan topamiz: ; shuning uchun tezlanish dam olish holatidan boshlandi. Shartdan tezlanish vaqtini topamiz: . Tezlashuv davrida barabanning aylanish burchagi.
Barabanning burchak tezlanishining o'zgarish qonuni shundan kelib chiqadiki, tezlanish davrida baraban bir xil tezlanish bilan aylanadi.
Yukning kinematik xarakteristikalari tortish arqonining har qanday nuqtasining mos keladigan xususiyatlariga teng va shuning uchun barabanning chetida yotgan A nuqtasi (2-rasm, b). Ma'lumki, aylanuvchi jism nuqtasining chiziqli xarakteristikalari uning burchak xarakteristikalari orqali aniqlanadi.
Tezlanish davrida yukning bosib o'tgan masofasi, . Tezlanish oxirida yukning tezligi.
Yuk tashishni tezlashtirish.
Yuk tashish qonuni.
Yukning masofasi, tezligi va tezlanishi yukning topilgan harakat qonuni orqali boshqacha tarzda aniqlanishi mumkin:
Vazifa 3. Eğimli qo'llab-quvvatlovchi tekislik bo'ylab bir tekisda yuqoriga qarab harakatlanadigan yuk bir vaqtning o'zida yangi harakat qonuniga muvofiq tormozlangan. 
, bu erda s metrda va t soniyada. Yukning massasi m = 100 kg, yuk va tekislik orasidagi surma ishqalanish koeffitsienti f = 0,25. Ikki moment uchun tortish arqonida F kuch va quvvatni aniqlang: a) tormozlash boshlanishidan oldin bir xil harakat;
b) tormozlanishning dastlabki momenti. Hisoblashda g=10 m/ ni oling.
Yechim. Biz yuk harakatining kinematik xususiyatlarini aniqlaymiz.
Yuk tezligining o'zgarishi qonuni
Yukning dastlabki tezligi (t=0 da)
Yuk tashishni tezlashtirish
Tezlashuv salbiy bo'lgani uchun harakat sekin.
1. Yukning bir tekis harakatlanishi.
F harakatlantiruvchi kuchni aniqlash uchun yaqinlashuvchi kuchlar tizimi ta'sir qiladigan yukning muvozanatini ko'rib chiqamiz: F kabelga ta'sir qiladigan kuch, yukning tortishish kuchi G=mg, normal reaktsiya qo'llab-quvvatlovchi sirt N va tananing harakatiga yo'naltirilgan ishqalanish kuchi. Ishqalanish qonuniga ko'ra, . Biz chizmada ko'rsatilganidek, koordinata o'qlarining yo'nalishini tanlaymiz va yuk uchun ikkita muvozanat tenglamasini tuzamiz:
Tormozlash boshlanishidan oldin kabeldagi quvvat taniqli formula bilan aniqlanadi
m/s qayerda.
2. Yukning sekin harakatlanishi.
Ma'lumki, notekis bilan oldinga harakat jism, harakat yo'nalishi bo'yicha unga ta'sir qiluvchi kuchlar tizimi muvozanatli emas. D'Alember printsipiga (kinetostatik usul) ko'ra, bu holda jismga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarga vektori tezlanish vektoriga qarama-qarshi yo'naltirilgan inersiya kuchini qo'shsak, uni shartli muvozanatda deb hisoblash mumkin. Bizning holatimizda tezlashtirish vektori tezlik vektoriga qarama-qarshi yo'naltirilgan, chunki yuk sekin harakat qiladi. Biz yuk uchun ikkita muvozanat tenglamasini yaratamiz:
Tormozlash boshlanishida kabelni yoqing
Nazorat savollari.
1. Qanday aniqlash mumkin raqamli qiymat va hozirgi vaqtda nuqta tezligining yo'nalishi?
2. Umumiy tezlanishning normal va tangensial komponentlari nima bilan tavsiflanadi?
3. Burchak tezligini min -1 da ifodalashdan rad/s da ifodalashga qanday o'tish mumkin?
4. Tana vazni nima deyiladi? Massaning o'lchov birligini ayting
5. Qaysi harakatda moddiy nuqta inertial kuch paydo bo'ladimi? Uning raqamli qiymati nima va uning yo'nalishi qanday?
6. Shtat d'Alember printsipi
7. Moddiy nuqtaning bir tekis egri chiziqli harakatida inersiya kuchi vujudga keladimi?
8. Tork nima?
9. Berilgan uzatilgan quvvat uchun moment va burchak tezligi o'rtasidagi bog'liqlik qanday ifodalanadi?
10. Aylanma harakat uchun asosiy dinamika tenglamasi.
Amaliy ish № 7
"Kuchli tuzilmalarni hisoblash"
Ishning maqsadi: quvvatni, tasavvurlar o'lchamlarini va ruxsat etilgan yukni aniqlang
Nazariy ma'lumot.
Kuchlanish (siqilish) deformatsiyasida kesimning kuch omillari va geometrik xususiyatlarini bilib, formulalar yordamida kuchlanishni aniqlashimiz mumkin. Va bizning qismimiz (mil, tishli va boshqalar) tashqi yukga bardosh bera oladimi yoki yo'qligini tushunish uchun. Ushbu qiymatni ruxsat etilgan kuchlanish bilan solishtirish kerak.
Shunday qilib, statik kuch tenglamasi
Unga asoslanib, 3 turdagi muammolar hal qilinadi:
1) kuch sinovi
2) kesim o'lchamlarini aniqlash
3) ruxsat etilgan yukni aniqlash
Demak, statik qattiqlik tenglamasi
Unga asosan 3 turdagi masalalar ham yechiladi
Statik kuchlanish (siqilish) kuchi tenglamasi
1) Birinchi tur - kuch sinovi
,
ya'ni, biz chap tomonni hal qilamiz va uni ruxsat etilgan stress bilan solishtiramiz.
2) Ikkinchi tur - kesim o'lchamlarini aniqlash
o'ng tomondan kesma maydoni
Bo'lim doirasi
shuning uchun diametri d
To'rtburchaklar bo'limi
Kvadrat qism
A = a² (mm²)
Yarim doira bo'limi
Bo'limlar: kanal, I-nur, burchak va boshqalar.
Maydon qiymatlari - GOST bo'yicha qabul qilingan jadvaldan
3) Uchinchi tur - ruxsat etilgan yukni aniqlash;
kichikroq tomonga olinadi, butun son
MASHQ
Vazifa
A) Mustahkamlikni tekshirish (sinovni hisoblash)
Berilgan nur uchun uzunlamasına kuchlar diagrammasini tuzing va ikkala qismdagi kuchni tekshiring. Yog'och materiallari uchun (po'lat St3) qabul qilinadi 
| Variant raqami. | ||||||
| 12,5 | 5,3 | - | - | |||
| 2,3 | - | - | ||||
| 4,2 | - | - |
B) Bo'limni tanlash (loyihaviy hisoblash)
Berilgan nur uchun uzunlamasına kuchlar diagrammasini tuzing va ikkala qismdagi kesma o'lchamlarini aniqlang. Yog'och materiallari uchun (po'lat St3) qabul qilinadi
| Variant raqami. | ||
| 1,9 | 2,5 | |
| 2,8 | 1,9 | |
| 3,2 |
B) Ruxsat etilgan uzunlamasına kuchni aniqlash
Berilgan nur uchun yuklarning ruxsat etilgan qiymatlarini aniqlang va ,
uzunlamasına kuchlar diagrammasini tuzing. Yog'och materiallari uchun (po'lat St3) qabul qiling. Muammoni hal qilishda, yuklash turi nurning ikkala qismida bir xil bo'ladi deb taxmin qiling.
| Variant raqami. | ||||
| - | - | |||
| - | - | |||
| - | - |
Vazifani bajarishga misol
Muammo 1(1-rasm).
Berilgan o'lchamdagi I-profillardan yasalgan ustunning mustahkamligini tekshiring. Ustun materiali uchun (po'lat St3) ruxsat etilgan kuchlanish kuchlanishlarini qabul qiling 
va siqish paytida . Haddan tashqari yuk yoki sezilarli darajada kam yuklangan taqdirda, ustunning optimal mustahkamligini ta'minlaydigan I-nur o'lchamlarini tanlang.
Yechim.
Berilgan nurning ikkita bo'limi bor 1, 2. Bo'limlarning chegaralari - bu kesmalar bo'lib, ularda tashqi kuchlar. Nurni yuklaydigan kuchlar uning markaziy uzunlamasına o'qi bo'ylab joylashganligi sababli, kesmalarda faqat bitta ichki kuch omili paydo bo'ladi - uzunlamasına kuch, ya'ni. nurning kuchlanishi (siqilishi) mavjud.
Uzunlamasına kuchni aniqlash uchun biz kesma usulidan foydalanamiz. Har bir bo'limga aqliy ravishda qismni chizamiz, biz nurning pastki mahkamlangan qismini olib tashlaymiz va uni ko'rib chiqish uchun qoldiramiz. yuqori qismi. 1-bo'limda uzunlamasına kuch doimiy va tengdir
Minus belgisi nurning ikkala bo'limda siqilganligini ko'rsatadi.
Biz uzunlamasına kuchlarning diagrammasini quramiz. Diagrammaning asosiy (nol) chizig'ini nurning o'qiga parallel ravishda chizib, olingan qiymatlarni unga perpendikulyar ravishda ixtiyoriy masshtabda chizamiz. Ko'rib turganingizdek, diagramma asosiyga parallel ravishda to'g'ri chiziqlar bilan chizilgan.
Biz yog'ochning mustahkamligini tekshiramiz, ya'ni. Biz dizayn kuchlanishini aniqlaymiz (har bir bo'lim uchun alohida) va uni ruxsat etilgan bilan solishtiramiz. Buning uchun biz bosim kuchi holatidan foydalanamiz
bu erda maydon - kesma kuchining geometrik xarakteristikasi. Prokat stolidan biz quyidagilarni olamiz:
I-nur uchun
I-nur uchun
Kuch sinovi:
Uzunlamasına kuchlarning qiymatlari mutlaq qiymatda olinadi.
Nurning mustahkamligi ta'minlanadi, ammo sezilarli darajada (25% dan ortiq) kam yuk mavjud, bu materialning haddan tashqari iste'moli tufayli qabul qilinishi mumkin emas.
Quvvat holatidan biz nurning har bir qismi uchun I-nurning yangi o'lchamlarini aniqlaymiz:
Shunday qilib, kerakli maydon
GOST jadvaliga ko'ra, biz 16-sonli I-nurni tanlaymiz, buning uchun;
Shunday qilib, kerakli maydon
GOST jadvaliga ko'ra, biz 24-sonli I-nurni tanlaymiz, buning uchun;
Tanlangan I-nur o'lchamlari bilan kam yuk ham paydo bo'ladi, lekin u ahamiyatsiz (5% dan kam)
Vazifa № 2.
Berilgan tasavvurlar o'lchamlari bo'lgan nur uchun ruxsat etilgan yuk qiymatlarini aniqlang va . Yog'och material uchun (po'lat St3) ruxsat etilgan kuchlanish kuchlanishlarini qabul qiling 
va siqish paytida 
.
Yechim.
Berilgan nur ikkita bo'limga ega 1, 2. Nurning tarangligi (siqilishi) mavjud.
Bo'limlar usulidan foydalanib, biz uzunlamasına kuchni aniqlaymiz, uni kerakli kuchlar orqali ifodalaymiz va. Har bir bo'limda bir qismni bajarib, biz nurning chap qismini tashlab, uni ko'rib chiqish uchun qoldiramiz o'ng tomon. 1-bo'limda uzunlamasına kuch doimiy va tengdir
2-bo'limda uzunlamasına kuch ham doimiy va tengdir
Plyus belgisi nurning ikkala qismda cho'zilganligini ko'rsatadi.
Biz uzunlamasına kuchlarning diagrammasini quramiz. Diagramma asosiyga parallel ravishda to'g'ri chiziqlar bilan tasvirlangan.
Kesish kuchi holatidan biz ruxsat etilgan yuk qiymatlarini aniqlaymiz va berilgan kesmalarning maydonlarini oldindan hisoblab chiqamiz:
Nazorat savollari.
1. Taranglik va siqilish vaqtida dastaning kesimida qanday ichki kuch omillari yuzaga keladi?
2. Kesish va siqilish kuchi shartlarini yozing.
3. Uzunlamasına kuch va normal kuchlanish belgilari qanday belgilanadi?
4. Kesmaning maydoni 4 marta oshsa, kuchlanish qanday o'zgaradi?
5. Kesish va siqish hisoblari uchun mustahkamlik shartlari har xilmi?
6. Kuchlanish qanday birliklarda o'lchanadi?
7. Qaysi biri mexanik xususiyatlar egiluvchan va mo'rt materiallar uchun yakuniy stress sifatida tanlangan?
8. Cheklovchi va ruxsat etilgan stress o'rtasidagi farq nima?
Amaliy ish № 8
“Yassi geometrik figuralarning asosiy markaziy inersiya momentlarini aniqlash masalalarini yechish”
Ishning maqsadi: murakkab shakldagi yassi jismlarning inersiya momentlarini analitik tarzda aniqlang
Nazariy ma'lumot. Bo'limning og'irlik markazining koordinatalarini statik moment orqali ifodalash mumkin:
Bu erda Ox o'qiga nisbatan
Oy o'qiga nisbatan
Shakl maydonining bir xil tekislikda yotgan o'qga nisbatan statik momenti figuraning maydoni va uning og'irlik markazining ushbu o'qgacha bo'lgan masofasining mahsulotiga teng. Statik moment o'lchovga ega. Statik moment ijobiy, salbiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin (har qanday markaziy o'qga nisbatan).
Kesimning eksenel inertsiya momenti - bu ko'rib chiqilayotgan qism tekisligida yotgan ma'lum bir o'qgacha bo'lgan masofalarining kvadratlari bo'yicha butun kesim bo'ylab olingan mahsulot yoki elementar maydonlarning integral yig'indisi.
Eksenel moment inertsiya birliklarda ifodalanadi - . Eksenel inersiya momenti har doim ijobiy bo'lgan va nolga teng bo'lmagan miqdordir.
Shaklning og'irlik markazidan o'tadigan o'qlar markaziy deyiladi. Markaziy o'qqa nisbatan inersiya momenti markaziy inersiya momenti deyiladi.
Har qanday o'qqa nisbatan inersiya momenti markazga teng
Tizimning diagrammasini chizing va unda og'irlik markazini belgilang. Agar topilgan og'irlik markazi ob'ekt tizimidan tashqarida bo'lsa, siz noto'g'ri javob oldingiz. Siz turli xil mos yozuvlar nuqtalaridan masofani o'lchagan bo'lishingiz mumkin. O'lchovlarni takrorlang.
- Misol uchun, agar bolalar belanchakda o'tirishsa, og'irlik markazi belanchakning o'ng yoki chap tomonida emas, balki bolalar o'rtasida bo'ladi. Bundan tashqari, tortishish markazi hech qachon bolaning o'tirgan joyiga to'g'ri kelmaydi.
- Ushbu dalillar ikki o'lchovli fazoda haqiqiydir. Tizimning barcha ob'ektlarini o'z ichiga oladigan kvadrat chizing. Og'irlik markazi bu kvadrat ichida bo'lishi kerak.
Agar siz kichik natijaga erishsangiz, matematikani tekshiring. Agar mos yozuvlar nuqtasi tizimning bir uchida bo'lsa, kichik natija tortishish markazini tizimning oxiriga yaqinlashtiradi. Bu to'g'ri javob bo'lishi mumkin, lekin aksariyat hollarda bu natija xatoni ko'rsatadi. Momentlarni hisoblaganingizda, tegishli og'irlik va masofalarni ko'paytirdingizmi? Agar ko'paytirish o'rniga siz og'irlik va masofalarni qo'shsangiz, juda kichikroq natijaga erishasiz.
Agar siz bir nechta tortishish markazlarini topsangiz, xatoni tuzating. Har bir tizim faqat bitta tortishish markaziga ega. Agar siz bir nechta tortishish markazlarini topsangiz, ehtimol siz barcha daqiqalarni qo'shmagansiz. Og'irlik markazi nisbatga teng"Jami" og'irlikka "jami" moment. "Har bir lahzani" "har bir" vaznga bo'lishning hojati yo'q: shu tarzda siz har bir ob'ektning o'rnini topasiz.
Agar javob ba'zi bir butun qiymat bilan farq qilsa, mos yozuvlar nuqtasini tekshiring. Bizning misolimizda javob 3,4 m. Aytaylik, siz javobni 0,4 m yoki 1,4 m yoki “.4” bilan tugaydigan boshqa raqamni oldingiz. Buning sababi, siz boshlang'ich nuqta sifatida taxtaning chap uchini emas, balki butun o'ng tomonda joylashgan nuqtani tanladingiz. Aslida, qaysi mos yozuvlar nuqtasini tanlamasligingizdan qat'iy nazar, javobingiz to'g'ri! Esda tuting: mos yozuvlar nuqtasi har doim x = 0 holatidadir. Mana bir misol:
- Bizning misolimizda mos yozuvlar nuqtasi taxtaning chap uchida edi va biz tortishish markazi ushbu mos yozuvlar nuqtasidan 3,4 m masofada ekanligini aniqladik.
- Agar siz mos yozuvlar nuqtasi sifatida doskaning chap uchidan 1 m o'ngda joylashgan nuqtani tanlasangiz, siz 2,4 m javob olasiz.Ya'ni tortishish markazi yangi mos yozuvlar nuqtasidan 2,4 m masofada joylashgan. , o'z navbatida, taxtaning chap uchidan 1 m masofada joylashgan. Shunday qilib, tortishish markazi taxtaning chap uchidan 2,4 + 1 = 3,4 m masofada joylashgan. Bu eski javob bo'lib chiqdi!
- Eslatma: masofalarni o'lchashda, "chap" mos yozuvlar nuqtasiga masofalar salbiy va "o'ng" mos yozuvlar nuqtasiga ijobiy ekanligini unutmang.
To'g'ri chiziqlardagi masofalarni o'lchash. Faraz qilaylik, belanchakda ikkita bola bor, lekin bir bola ikkinchisidan ancha balandroq yoki bitta bola taxtada o'tirishdan ko'ra uning ostida osilgan. Bu farqni e'tiborsiz qoldiring va taxtaning to'g'ri chizig'i bo'ylab masofalarni o'lchang. Burchaklardagi masofalarni o'lchash yaqin, ammo to'liq aniq emas natijalar beradi.
- Arra taxtasi muammosi uchun tortishish markazi taxtaning o'ng va chap uchlari orasida ekanligini unutmang. Keyinchalik murakkabroq ikki o'lchovli tizimlarning og'irlik markazini hisoblashni o'rganasiz.
Muallif: Keling, ixtiyoriy shakldagi jismni olaylik. Uni ipga osib qo'yish mumkinmi, shunda u osilgandan keyin o'z holatini saqlab qoladi (ya'ni aylana boshlamaydi). har qanday boshlang'ich orientatsiya (27.1-rasm)?
Boshqacha qilib aytganda, tananing turli qismlariga ta'sir qiluvchi tortishish momentlarining yig'indisi nolga teng bo'lgan nuqta bormi? har qanday tananing kosmosdagi yo'nalishi?
O'quvchi: Ha, shunday deb o'ylayman. Bu nuqta deyiladi tananing og'irlik markazi.
Isbot. Oddiylik uchun kosmosda o'zboshimchalik bilan yo'naltirilgan ixtiyoriy shakldagi tekis plastinka ko'rinishidagi tanani ko'rib chiqaylik (27.2-rasm). Keling, koordinatalar tizimini olaylik X 0da boshi massa markazida - nuqtada BILAN, Keyin x C = 0, C da = 0.
Keling, bu tanani to'plam sifatida tasavvur qilaylik katta raqam nuqta massalari m i, ularning har birining pozitsiyasi radius vektori bilan belgilanadi.
Ta'rifga ko'ra, massa markazi , va koordinatasi x C = .
Koordinatalar tizimida biz qabul qilganimizdan beri x C= 0, keyin . Keling, bu tenglikni ga ko'paytiramiz g va biz olamiz
Shakldan ko'rinib turibdiki. 27.2, | x i| - bu hokimiyatning yelkasi. Va agar x i> 0, keyin kuch momenti M i> 0 va agar x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x i kuch momenti teng bo'ladi M i = m i gx i. Keyin tenglik (1) tenglikka teng bo'ladi , bu erda M i- tortishish momenti. Bu shuni anglatadiki, tananing o'zboshimchalik bilan yo'nalishi bilan tanaga ta'sir qiluvchi tortishish momentlarining yig'indisi uning massa markaziga nisbatan nolga teng bo'ladi.
Biz ko'rib chiqayotgan jism muvozanatda bo'lishi uchun unga nuqtada murojaat qilish kerak. BILAN kuch T = mg, vertikal yuqoriga yo'naltirilgan. Bu kuchning nuqtaga nisbatan momenti BILAN nolga teng.
Bizning fikrimiz hech qanday tarzda tananing kosmosda aniq yo'naltirilganligiga bog'liq emasligi sababli, biz tortishish markazi massa markaziga to'g'ri kelishini isbotladik, buni isbotlashimiz kerak edi.
Muammo 27.1. Uzunlikdagi vaznsiz tayoqning og'irlik markazini toping l, uning uchlarida ikkita nuqta massasi o'rnatiladi T 1 va T 2 .
| T 1 T 2 l | Yechim. Biz tortishish markazini emas, balki massa markazini qidiramiz (chunki bular bir xil). Keling, eksa bilan tanishtiramiz X(27.3-rasm).  Guruch. 27.3 |
| x C =? | |
Javob: massadan uzoqda T 1 .
STOP! O'zingiz qaror qiling: B1-B3.
Bayonot 1 . Agar bir hil tekis jism simmetriya o'qiga ega bo'lsa, tortishish markazi shu o'qda.
Darhaqiqat, har qanday nuqta massasi uchun m i, simmetriya o'qining o'ng tomonida joylashgan, birinchisiga nisbatan nosimmetrik tarzda joylashgan bir xil nuqta massasi mavjud (27.4-rasm). Bunday holda, kuchlar momentlarining yig'indisi .
Butun tanani o'xshash juft nuqtalarga bo'lingan holda tasvirlash mumkinligi sababli, simmetriya o'qida yotgan har qanday nuqtaga nisbatan umumiy tortishish momenti nolga teng, ya'ni tananing og'irlik markazi ushbu o'qda joylashgan. . Bu muhim xulosaga olib keladi: Agar tananing bir nechta simmetriya o'qlari bo'lsa, u holda og'irlik markazi ushbu o'qlarning kesishmasida joylashgan.(27.5-rasm).
Guruch. 27.5 
Bayonot 2. Agar ikkita jismning massasi bo'lsa T 1 va T 2 ta biriga ulangan bo'lsa, unda bunday jismning og'irlik markazi birinchi va ikkinchi jismlarning og'irlik markazlarini bog'laydigan to'g'ri chiziq segmentida yotadi (27.6-rasm).
Guruch. 27.6 
Guruch. 27.7
Isbot. Keling, kompozit tanani jismlarning og'irlik markazlarini bog'laydigan segment vertikal bo'lishi uchun joylashtiramiz. Keyin birinchi jismning nuqtaga nisbatan tortishish momentlari yig'indisi BILAN 1 nolga teng va ikkinchi jismning nuqtaga nisbatan tortishish momentlari yig'indisi BILAN 2 nolga teng (27.7-rasm).
e'tibor bering, bu elka har qanday nuqta massasining tortishish kuchi t i segmentda yotgan har qanday nuqtaga nisbatan bir xil BILAN 1 BILAN 2, va shuning uchun segmentda yotgan har qanday nuqtaga nisbatan tortishish momenti BILAN 1 BILAN 2, xuddi shunday. Binobarin, butun jismning tortishish kuchi segmentdagi istalgan nuqtaga nisbatan nolga teng BILAN 1 BILAN 2. Shunday qilib, kompozit tananing og'irlik markazi segmentda yotadi BILAN 1 BILAN 2 .
Ko'rsatmalar shaklida aniq ifodalangan 2-bayonotdan muhim amaliy xulosa kelib chiqadi.
Ko'rsatmalar,
qattiq jismning og'irlik markazini qanday topish mumkin, agar uni sindirish mumkin bo'lsa
qismlarga bo'linadi, ularning har birining og'irlik markazlarining joylashuvi ma'lum
1. Har bir qismni ushbu qismning og'irlik markazida joylashgan massa bilan almashtirish kerak.
2. Toping massa markazi(va bu og'irlik markazi bilan bir xil) nuqta massalari tizimining qulay koordinata tizimini tanlab, X 0da, formulalar bo'yicha:
Darhaqiqat, biz kompozit tanani segmentga aylantiramiz BILAN 1 BILAN 2 gorizontal edi va uni nuqtalarda iplarga osib qo'ying BILAN 1 va BILAN 2 (27.8-rasm, A). Tananing muvozanatda bo'lishi aniq. Va har bir jismni nuqta massalari bilan almashtirsak, bu muvozanat buzilmaydi T 1 va T 2 (27.8-rasm, b).
Guruch. 27.8
STOP! O'zingiz uchun qaror qiling: C3.
Muammo 27.2. Ikki cho'qqida teng tomonli uchburchak massali sharlar qo'yiladi T har. Uchinchi tepaga massasi 2 bo'lgan shar qo'yilgan T(27.9-rasm, A). Uchburchak tomoni A. Ushbu tizimning og'irlik markazini aniqlang.
| T 2T A |  Guruch. 27.9 |
| x C = ? C da = ? | |
Yechim. Keling, koordinatalar tizimini tanishtiramiz X 0da(27.9-rasm, b). Keyin
,
.
Javob: x C = A/2; ; og'irlik markazi yarim balandlikda joylashgan AD.
