Dekart koordinata sistemasidagi tekislikdagi ikkita l va m to‘g‘ri chiziq umumiy tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Bu chiziqlarga normal vektorlar: = (A 1 , B 1) – l qatorga,

= (A 2 , B 2) – m qatorga.

l va m chiziqlar orasidagi burchak j bo‘lsin.

Tomonlari o'zaro perpendikulyar bo'lgan burchaklar teng yoki qo'shilishi p ga teng bo'lgani uchun , ya'ni cos j =.

Shunday qilib, biz quyidagi teoremani isbotladik.

Teorema. j tekislikdagi ikkita chiziq orasidagi burchak bo'lsin va bu chiziqlar Dekart koordinata tizimida A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 va A 2 x + B 2 y + C 2 umumiy tenglamalari bilan aniqlansin. = 0. U holda cos j = .

Mashqlar.

1) To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash formulasini chiqaring, agar:

(1) ikkala satr ham parametrik tarzda belgilanadi; (2) ikkala chiziq ham kanonik tenglamalar bilan berilgan; (3) bir qator parametrik, ikkinchi qator umumiy tenglama bilan belgilanadi; (4) ikkala chiziq burchak koeffitsientli tenglama bilan berilgan.

2) Tekislikdagi ikkita toʻgʻri chiziq orasidagi burchak j boʻlsin va bu toʻgʻri chiziqlar Dekart koordinata sistemasida y = k 1 x + b 1 va y =k 2 x + b 2 tenglamalar orqali aniqlansin.

Keyin tan j =.

3) Dekart koordinata tizimidagi umumiy tenglamalar bilan berilgan ikkita to‘g‘ri chiziqning nisbiy o‘rnini o‘rganing va jadvalni to‘ldiring:

Tekislikdagi nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa.

Dekart koordinata sistemasidagi tekislikdagi l to'g'ri chiziq Ax + By + C = 0 umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsin. M(x 0 , y 0) nuqtadan l to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa topilsin.

M nuqtadan l to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa HM perpendikulyar uzunligi (H O l, HM ^ l).

l chiziqning vektori va normal vektori kollinear, shuning uchun | | = | | | | va | | = .

H nuqtaning koordinatalari (x,y) bo'lsin.

H nuqta l to'g'riga tegishli bo'lganligi sababli, Ax + By + C = 0 (*).

Vektorlarning koordinatalari va: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - tomonidan, qarang (*))

Teorema. l to'g'ri chiziq Dekart koordinata tizimida Ax + By + C = 0 umumiy tenglama bilan aniqlansin. Keyin M(x 0 , y 0) nuqtadan bu to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa quyidagi formula bilan hisoblanadi: r ( M; l) =.

Mashqlar.

1) Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash formulasini chiqaring, agar: (1) chiziq parametrik berilgan bo'lsa; (2) chiziq kanonik tenglamalarga berilgan; (3) to'g'ri chiziq burchak koeffitsientli tenglama bilan berilgan.

2) Markazi Q(-2,4) nuqtada bo‘lgan 3x – y = 0 to‘g‘riga teguvchi aylana tenglamasini yozing.

3) 2x + y - 1 = 0 va x + y + 1 = 0 chiziqlar kesishmasidan hosil bo'lgan burchaklarni yarmiga bo'linadigan chiziqlar tenglamalarini yozing.

§ 27. Fazodagi tekislikning analitik ta'rifi

Ta'rif. Samolyotning normal vektori har qanday vakili berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan nolga teng bo'lmagan vektorni chaqiramiz.

Izoh. Ko'rinib turibdiki, agar vektorning kamida bitta vakili tekislikka perpendikulyar bo'lsa, u holda vektorning barcha boshqa vakillari ushbu tekislikka perpendikulyar bo'ladi.

Fazoda Dekart koordinata tizimi berilgan bo'lsin.

Bir tekislik berilgan bo'lsin, = (A, B, C) - bu tekislikning normal vektori, M nuqta (x 0 , y 0 , z 0) a tekislikka tegishli.

a tekislikning istalgan N(x, y, z) nuqtasi uchun va vektorlari ortogonal, ya’ni ularning skalyar ko‘paytmasi nolga teng: = 0. Oxirgi tenglikni koordinatalarda yozamiz: A(x - x 0). ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

-Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, keyin Ax + By + Cz + D = 0 bo'lsin.

Ax + By + Cz + D = 0 bo'ladigan K (x, y) nuqtani olaylik. D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0 bo'lgani uchun, u holda A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Yo'naltirilgan segmentning koordinatalari = (x - x 0, y - y 0, z - z 0, z - z 0) bo'lgani uchun, oxirgi tenglik ^ ni bildiradi va shuning uchun K O a.

Shunday qilib, biz quyidagi teoremani isbotladik:

Teorema. Dekart koordinata tizimidagi fazodagi har qanday tekislikni Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ko'rinishdagi tenglama bilan aniqlash mumkin, bu erda (A, B, C) bu tekislikka normal vektorning koordinatalari.

Buning aksi ham haqiqatdir.

Teorema. Dekart koordinata tizimidagi Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ko'rinishdagi har qanday tenglama ma'lum bir tekislikni belgilaydi va (A, B, C) normal koordinatalardir. bu tekislikka vektor.

Isbot.

M (x 0 , y 0 , z 0) nuqtani oling, Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 va vektor = (A, B, C) ( ≠ q).

M nuqtadan vektorga perpendikulyar tekislik (va faqat bitta) o'tadi. Oldingi teoremaga ko'ra, bu tekislik Ax + By + Cz + D = 0 tenglama bilan berilgan.

Ta'rif. Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ko'rinishdagi tenglama deyiladi. umumiy tekislik tenglamasi.

Misol.

M (0,2,4), N (1,-1,0) va K (-1,0,5) nuqtalardan o’tuvchi tekislik tenglamasini yozamiz.

1. Oddiy vektorning tekislikka (MNK) koordinatalarini toping. ´ vektor mahsuloti kollinear bo'lmagan vektorlarga ortogonal bo'lgani uchun va vektor kollinear ´ bo'ladi.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = (-11, 3, -5).

Demak, normal vektor sifatida = (-11, 3, -5) vektorni olamiz.

2. Endi birinchi teorema natijalaridan foydalanamiz:

bu tekislikning tenglamasi A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, bu erda (A, B, C) normal vektorning koordinatalari, (x 0 , y 0 , z 0) – tekislikda yotgan nuqtaning koordinatalari (masalan, M nuqta).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y – 5z + 14 = 0

Javob: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Mashqlar.

1) Agar tekislikning tenglamasini yozing

(1) tekislik 3x + y + z = 0 tekislikka parallel M (-2,3,0) nuqtadan o'tadi;

(2) tekislik (Ox) o'qni o'z ichiga oladi va x + 2y - 5z + 7 = 0 tekislikka perpendikulyar.

2) Berilgan uchta nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing.

§ 28. Yarim bo'shliqning analitik ta'rifi*

Izoh*. Samolyot tuzatsin. ostida yarim bo'shliq berilgan tekislikning bir tomonida yotgan nuqtalar to'plamini tushunamiz, ya'ni ikkita nuqta bir xil yarim fazoda yotadi, agar ularni tutashtiruvchi segment berilgan tekislikni kesib o'tmasa. Bu samolyot deyiladi bu yarim fazoning chegarasi. Bu tekislik va yarim fazoning birlashuvi deyiladi yopiq yarim bo'shliq.

Dekart koordinata tizimi fazoda o'rnatilgan bo'lsin.

Teorema. a tekislik Ax + By + Cz + D = 0 umumiy tenglama bilan berilgan bo'lsin. U holda a tekislik fazoni ajratadigan ikkita yarim fazodan biri Ax + By + Cz + D > 0 tengsizligi bilan berilgan. , va ikkinchi yarim bo'shliq Ax + By + Cz + D tengsizlik bilan berilgan< 0.

Isbot.

Bu tekislikda yotgan M (x 0, y 0, z 0) nuqtadan a tekislikka = (A, B, C) normal vektorni chizamiz: = , M O a, MN ^ a. Samolyot fazoni ikkita yarim fazoga ajratadi: b 1 va b 2. N nuqta ana shu yarim fazolardan biriga tegishli ekanligi aniq. Umumiylikni yo'qotmasdan, N O b 1 deb faraz qilamiz.

b 1 yarim fazo Ax + By + Cz + D > 0 tengsizlik bilan aniqlanganligini isbotlaylik.

1) b 1 yarim fazoda K(x,y,z) nuqtani oling. Burchak Ð NMK - o'tkir vektorlar orasidagi burchak, shuning uchun bu vektorlarning skalyar ko'paytmasi musbat: > 0. Bu tengsizlikni koordinatalarda yozamiz: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, ya'ni Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

M O b 1 ekan, u holda Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, demak -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Shuning uchun oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Ax + By + Cz + D > 0 bo'ladigan L(x,y) nuqtani oling.

D ni (-Ax 0 - By 0 - C z 0) bilan almashtirib, tengsizlikni qayta yozamiz (chunki M O b 1, keyin Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Koordinatalari (x - x 0,y - y 0, z - z 0) vektor vektor, shuning uchun A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) ifoda vektorlarning skalyar mahsuloti sifatida tushunish mumkin va. vektorlarning skalyar ko'paytmasi va musbat bo'lgani uchun ular orasidagi burchak o'tkir va nuqta L O b 1 .

Xuddi shunday, b 2 yarim fazo Ax + By + Cz + D tengsizligi bilan berilganligini isbotlashimiz mumkin.< 0.

Eslatmalar.

1) Yuqorida keltirilgan isbot a tekislikdagi M nuqtani tanlashga bog'liq emasligi aniq.

2) Bir xil yarim bo'shliqni turli xil tengsizliklar bilan aniqlash mumkinligi aniq.

Buning aksi ham haqiqatdir.

Teorema. Ax + By + Cz + D > 0 (yoki Ax + By + Cz + D) ko'rinishdagi har qanday chiziqli tengsizlik< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Isbot.

Kosmosdagi Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) tenglamasi ma'lum bir tekislikni belgilaydi a (§ ... ga qarang). Oldingi teoremada isbotlanganidek, tekislik fazoni ajratadigan ikkita yarim fazodan biri Ax Axe + By + Cz + D > 0 tengsizligi bilan berilgan.

Eslatmalar.

1) Ko'rinib turibdiki, yopiq yarim fazoni qat'iy bo'lmagan chiziqli tengsizlik bilan aniqlash mumkin va Dekart koordinata tizimidagi har qanday qat'iy bo'lmagan chiziqli tengsizlik yopiq yarim fazoni belgilaydi.

2) Har qanday qavariq ko'pburchakni yopiq yarim bo'shliqlarning kesishishi (ularning chegaralari ko'pburchak yuzlarini o'z ichiga olgan tekisliklar), ya'ni analitik jihatdan - chiziqli qat'iy bo'lmagan tengsizliklar tizimi bilan aniqlanishi mumkin.

Mashqlar.

1) Ixtiyoriy afin koordinatalar tizimi uchun berilgan ikkita teoremani isbotlang.

2) Har qanday qat'iy bo'lmagan chiziqli tengsizliklar tizimi qavariq ko'pburchakni belgilaydi, degan teskarisi to'g'rimi?

Mashq qilish.

1) Dekart koordinata tizimidagi umumiy tenglamalar bilan aniqlangan ikkita tekislikning nisbiy o‘rnini o‘rganing va jadvalni to‘ldiring.

Fazoda to'g'ri chiziqlar berilgan bo'lsin l Va m. Fazoning qandaydir A nuqtasi orqali biz to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz l 1 || l Va m 1 || m(138-rasm).

E'tibor bering, A nuqta o'zboshimchalik bilan tanlanishi mumkin, xususan, u ushbu chiziqlardan birida yotishi mumkin; To'g'ri bo'lsa l Va m kesishsa, bu chiziqlarning kesishish nuqtasi sifatida A ni olish mumkin ( l 1 = l Va m 1 = m).

Parallel bo'lmagan chiziqlar orasidagi burchak l Va m- kesishuvchi chiziqlardan hosil bo'lgan qo'shni burchaklarning eng kichik qiymati l 1 Va m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Parallel chiziqlar orasidagi burchak nolga teng deb hisoblanadi.

To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak l Va m\(\widehat((l;m))\) bilan belgilanadi. Ta'rifdan kelib chiqadiki, agar u darajalarda o'lchanadigan bo'lsa, u holda 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90 °, agar radianlarda bo'lsa, u holda 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubi berilgan (139-rasm).

AB va DC 1 toʻgʻri chiziqlar orasidagi burchakni toping.

To'g'ridan-to'g'ri chiziqlar AB va DC 1 kesishadi. DC to'g'ri chiziq AB to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgani uchun, AB va DC 1 to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak, ta'rifga ko'ra, \(\widehat(C_(1)DC)\) ga teng.

Shuning uchun, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

To'g'ridan-to'g'ri l Va m chaqiriladi perpendikulyar, agar \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Masalan, kub shaklida

To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni hisoblash.

Fazoda ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni hisoblash masalasi xuddi tekislikdagi kabi hal qilinadi. Chiziqlar orasidagi burchak kattaligini ph bilan belgilaymiz l 1 Va l 2, va ps orqali - yo'nalish vektorlari orasidagi burchakning kattaligi A Va b bu to'g'ri chiziqlar.

Keyin agar

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (206.6-rasm), keyin ph = 180 ° - ps. Shubhasiz, ikkala holatda ham cos ph = |cos ps| tengligi to'g'ri. Formulaga ko'ra (a va b nolga teng bo'lmagan vektorlar orasidagi burchakning kosinuslari bu vektorlarning skalyar ko'paytmasini ularning uzunliklari mahsulotiga bo'linganiga teng)

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

shuning uchun,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Chiziqlar ularning kanonik tenglamalari bilan berilsin

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Va \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Keyin chiziqlar orasidagi burchak ph formula yordamida aniqlanadi

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Agar chiziqlardan biri (yoki ikkalasi) kanonik bo'lmagan tenglamalar bilan berilgan bo'lsa, burchakni hisoblash uchun siz ushbu chiziqlarning yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topishingiz kerak va keyin (1) formuladan foydalaning.

Vazifa 1. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;va\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

To'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlari koordinatalariga ega:

a = (-√2 ; √2 ; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Formuladan foydalanib (1) topamiz

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Shuning uchun bu chiziqlar orasidagi burchak 60 ° ga teng.

Vazifa 2. Chiziqlar orasidagi burchakni hisoblang

$$ \begin(holatlar)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(holatlar) va \begin(holatlar)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(holatlar) $$

Qo'llanma vektorining orqasida A Birinchi qatorda biz normal vektorlarning vektor mahsulotini olamiz n 1 = (3; 0; -12) va n 2 = (1; 1; -3) bu chiziqni aniqlovchi tekisliklar. \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) formulasidan foydalanib, biz olamiz

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Xuddi shunday, biz ikkinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini topamiz:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Ammo (1) formuladan foydalanib, biz kerakli burchakning kosinusini hisoblaymiz:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Shuning uchun bu chiziqlar orasidagi burchak 90 ° ga teng.

Vazifa 3. MABC uchburchak piramidasida MA, MB va MC qirralari o'zaro perpendikulyar (207-rasm);

ularning uzunligi mos ravishda 4, 3, 6. D nuqtasi o'rta [MA]. CA va DB chiziqlar orasidagi ph burchagini toping.

CA va DB CA va DB to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlari bo'lsin.

Koordinatalarning boshi sifatida M nuqtani olaylik. Tenglama sharti bo‘yicha bizda A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0) mavjud. Shuning uchun \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). (1) formuladan foydalanamiz:

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$

Kosinuslar jadvalidan foydalanib, CA va DB to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak taxminan 72 ° ekanligini aniqlaymiz.

Matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga tayyorlanayotgan har bir talaba uchun "To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni topish" mavzusini takrorlash foydali bo'ladi. Statistik ma'lumotlarga ko'ra, sertifikat sinovidan o'tishda stereometriyaning ushbu bo'limidagi vazifalar ko'plab talabalar uchun qiyinchiliklarga olib keladi. Shu bilan birga, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni topishni talab qiladigan vazifalar Yagona davlat imtihonida ham asosiy, ham ixtisoslashgan darajada topiladi. Bu har kim ularni hal qila olishi kerakligini anglatadi.

Asosiy daqiqalar

Chiziqlarning fazoda o'zaro joylashishining 4 turi mavjud. Ular mos kelishi, kesishishi, parallel yoki kesishishi mumkin. Ularning orasidagi burchak o'tkir yoki tekis bo'lishi mumkin.

Yagona davlat imtihonida chiziqlar orasidagi burchakni topish yoki masalan, echishda Moskva va boshqa shaharlardagi maktab o'quvchilari stereometriyaning ushbu bo'limidagi muammolarni hal qilishning bir necha usullaridan foydalanishlari mumkin. Klassik konstruktsiyalar yordamida vazifani bajarishingiz mumkin. Buning uchun stereometriyaning asosiy aksiomalari va teoremalarini o'rganishga arziydi. O‘quvchi topshiriqni planimetrik masalaga keltirish uchun mantiqiy fikr yurita olishi va chizmalar tuzishi kerak.

Oddiy formulalar, qoidalar va algoritmlar yordamida koordinatalar vektor usulidan ham foydalanishingiz mumkin. Bu holatda asosiy narsa barcha hisob-kitoblarni to'g'ri bajarishdir. Shkolkovo o'quv loyihasi stereometriya va maktab kursining boshqa bo'limlarida muammoni hal qilish ko'nikmalaringizni rivojlantirishga yordam beradi.

Samolyotlar orasidagi burchak

Tenglamalar bilan aniqlangan ikkita a 1 va a 2 tekisliklarni ko'rib chiqing:

ostida burchak ikki tekislik o'rtasida biz bu tekisliklar hosil qilgan dihedral burchaklardan birini tushunamiz. Ko'rinib turibdiki, normal vektorlar va a 1 va a 2 tekisliklar orasidagi burchak ko'rsatilgan qo'shni ikki burchakli burchaklardan biriga teng yoki . Shunung uchun . Chunki Va , Bu

.

Misol. Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlang x+2y-3z+4=0 va 2 x+3y+z+8=0.

Ikki tekislikning parallellik sharti.

Ikki tekislik a 1 va a 2 parallel bo'ladi, agar ularning normal vektorlari parallel bo'lsa va shuning uchun .

Shunday qilib, ikkita tekislik bir-biriga parallel, agar tegishli koordinatalarning koeffitsientlari proportsional bo'lsa:

yoki

Tekisliklarning perpendikulyarligi sharti.

Ikki tekislik perpendikulyar bo'lishi aniq, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa va shuning uchun, yoki .

Shunday qilib, .

Misollar.

TO'G'RI FOSOSDA.

CHIZIQ UCHUN VEKTOR TENGLAMA.

PARAMETRIK TO'G'RISIY TENGLAMALAR

Chiziqning fazodagi o'rni uning har qanday qo'zg'almas nuqtasini ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi M 1 va bu chiziqqa parallel vektor.

Chiziqga parallel vektor deyiladi qo'llanmalar bu chiziqning vektori.

Shunday qilib, to'g'ri chiziq bo'lsin l nuqtadan o'tadi M 1 (x 1 , y 1 , z 1), vektorga parallel chiziq ustida yotgan .

Ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing M(x,y,z) to'g'ri chiziqda. Rasmdan ko'rinib turibdiki .

Vektorlar va kollinear, shuning uchun bunday raqam mavjud t, nima , ko'paytuvchi qayerda t nuqtaning joylashuviga qarab har qanday raqamli qiymatni qabul qilishi mumkin M to'g'ri chiziqda. Faktor t parametr deb ataladi. Nuqtalarning radius vektorlarini belgilab M 1 va M mos ravishda, va orqali, biz . Bu tenglama deyiladi vektor to'g'ri chiziq tenglamasi. Bu har bir parametr qiymati uchun ekanligini ko'rsatadi t qaysidir nuqtaning radius vektoriga mos keladi M, to'g'ri chiziqda yotish.

Bu tenglamani koordinata shaklida yozamiz. E'tibor bering, va bu yerdan

Olingan tenglamalar deyiladi parametrik to'g'ri chiziq tenglamalari.

Parametrni o'zgartirganda t koordinatalari o'zgaradi x, y Va z va davr M to'g'ri chiziqda harakat qiladi.

DIREKTNING KANONIK TENGLAMALARI

Mayli M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - to'g'ri chiziqda yotgan nuqta l, Va uning yo'nalishi vektoridir. Keling, yana chiziqning ixtiyoriy nuqtasini olaylik M(x,y,z) va vektorni ko'rib chiqing.

Vektorlar ham kollinear ekanligi aniq, shuning uchun ularning mos keladigan koordinatalari proportsional bo'lishi kerak, shuning uchun

– kanonik to'g'ri chiziq tenglamalari.

Eslatma 1. E'tibor bering, chiziqning kanonik tenglamalarini parametriklardan parametrni yo'q qilish orqali olish mumkin. t. Haqiqatan ham, biz parametrik tenglamalardan olamiz yoki .

Misol. Chiziq tenglamasini yozing parametrik shaklda.

belgilaylik , bu yerdan x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Eslatma 2. To'g'ri chiziq koordinata o'qlaridan biriga perpendikulyar bo'lsin, masalan, o'q ho'kiz. Keyin chiziqning yo'nalishi vektori perpendikulyar bo'ladi ho'kiz, shuning uchun, m=0. Demak, chiziqning parametrik tenglamalari shaklni oladi

Parametrni tenglamalardan chiqarib tashlash t, shakldagi chiziq tenglamalarini olamiz

Biroq, bu holatda ham chiziqning kanonik tenglamalarini shaklda yozishga rozi bo'lamiz . Shunday qilib, agar kasrlardan birining maxraji nolga teng bo'lsa, bu to'g'ri chiziq mos keladigan koordinata o'qiga perpendikulyar ekanligini anglatadi.

Kanonik tenglamalarga o'xshash o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziq mos keladi ho'kiz Va Oy yoki o'qga parallel Oz.

Misollar.

TO'G'RI CHIZIQNING UMUMIY TENGLAMALARI IKKI TASIZLIKNI KESISHISH CHIZIQLARI

Kosmosdagi har bir to'g'ri chiziq orqali son-sanoqsiz tekisliklar mavjud. Ularning istalgan ikkitasi kesishib, uni kosmosda aniqlaydi. Binobarin, har qanday ikkita bunday tekislikning tenglamalari birgalikda ko'rib chiqilib, ushbu chiziq tenglamalarini ifodalaydi.

Umuman olganda, umumiy tenglamalar bilan berilgan har qanday ikkita parallel bo'lmagan tekislik

ularning kesishuvining to‘g‘ri chizig‘ini aniqlang. Bu tenglamalar deyiladi umumiy tenglamalar Streyt.

Misollar.

Tenglamalar orqali berilgan chiziqni tuzing

To'g'ri chiziqni qurish uchun uning istalgan ikkita nuqtasini topish kifoya. Eng oson yo'li to'g'ri chiziqning koordinata tekisliklari bilan kesishish nuqtalarini tanlashdir. Masalan, tekislik bilan kesishish nuqtasi xOy faraz qilib, to'g'ri chiziq tenglamalaridan olamiz z= 0:

Ushbu tizimni hal qilib, biz nuqta topamiz M 1 (1;2;0).

Xuddi shunday, taxmin qilish y= 0, biz chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini olamiz xOz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalaridan uning kanonik yoki parametrik tenglamalariga o'tish mumkin. Buni amalga oshirish uchun siz biron bir nuqtani topishingiz kerak M To'g'ri chiziqda 1 va to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori.

Nuqta koordinatalari M 1 koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib, ushbu tenglamalar tizimidan olamiz. Yo'nalish vektorini topish uchun bu vektor ikkala normal vektorga perpendikulyar bo'lishi kerakligini unutmang Va . Shuning uchun, to'g'ri chiziqning yo'nalish vektoridan tashqari l oddiy vektorlarning vektor mahsulotini olishingiz mumkin:

.

Misol. Chiziqning umumiy tenglamalarini keltiring kanonik shaklga.

Chiziqda yotgan nuqtani topamiz. Buning uchun biz o'zboshimchalik bilan koordinatalardan birini tanlaymiz, masalan, y= 0 va tenglamalar tizimini yeching:

Chiziqni aniqlaydigan tekisliklarning normal vektorlari koordinatalarga ega Shuning uchun yo'nalish vektori to'g'ri bo'ladi

. Demak, l: .

TO'G'RILAR ORASIDAGI BURChAK

Burchak fazodagi to'g'ri chiziqlar orasidagi ma'lumotlarga parallel ravishda ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan qo'shni burchaklarning har qandayini chaqiramiz.

Bo'shliqda ikkita qator berilgan bo'lsin:

Shubhasiz, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak ph ni ularning yo'nalish vektorlari orasidagi burchak va . dan boshlab, u holda vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasidan foydalanamiz