30-dars (Algebra va asosiy analiz, 11-sinf)

Dars mavzusi: v daraja ratsional ko'rsatkich.

Dars maqsadi: 1 . Daraja tushunchasini kengaytirish, daraja tushunchasini ratsional ko‘rsatkich bilan berish; ratsional ko‘rsatkichli darajani ildizga va aksincha aylantirishni o‘rgatish; ratsional ko'rsatkich bilan kuchlarni hisoblash.

2. Xotira va tafakkurni rivojlantirish.

3. Faoliyatning shakllanishi.

"Kimdir chiziqni kesib o'tishga harakat qilsin

matematika darajasidan, va u ko'radi,

Ularsiz uzoqqa bormasligingiz uchun." M.V.Lomonosov

Darslar davomida.

I. Dars mavzusi va maqsadini bayon qilish.

II. O'tilgan materialni takrorlash va mustahkamlash.

1. Yechilmagan uy misollarini tahlil qilish.

2. Mustaqil ishlarga rahbarlik qilish:

Variant 1.

1. Tenglamani yeching: √(2x – 1) = 3x – 12

2. Tengsizlikni yeching: √(3x – 2) ≥ 4 – x

Variant 2.

1. Tenglamani yeching: 3 – 2x = √(7x + 32)

2. Tengsizlikni yeching: √(3x + 1) ≥ x – 1

III. Yangi materialni o'rganish.

1 . Raqamlar tushunchasining kengayishini eslaylik: N ê Zê Q ê R.

Bu quyidagi diagrammada eng yaxshi ifodalangan:

Tabiiy (N)

Nol

Yo'q manfiy raqamlar

Salbiy raqamlar

Kasr sonlar

Butun sonlar (Z)

Mantiqsiz

Ratsional (Q)

Haqiqiy raqamlar

2. IN kichik sinflar Butun darajali sonning darajasi tushunchasi aniqlandi. a) Ko'rsatkich a) natural, b) manfiy butun, v) nol darajali ko'rsatkichning ta'rifini eslang.A ifodasi ekanligini ta'kidlang n a=0 va n≤0 dan tashqari barcha n butun sonlar va a ning istalgan qiymatlari uchun mantiqiy.

b) Butun darajali darajalarning xossalarini sanab bering.

3. Og'zaki ish.

1). Hisoblang: 1 -5 ; 4-3; (-100 ; (-5) -2; (1/2) -4; (3/7) -1 .

2). Uni manfiy darajali daraja sifatida yozing:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x 7; 1/a 9.

3).Birlik bilan solishtiring: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Endi siz 3-iboralarning ma'nosini tushunishingiz kerak 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 va hokazo. Buning uchun biz daraja tushunchasini shunday umumlashtirishimiz kerakki, hammasi sanab o'tilgan xususiyatlar daraja. Tenglikni ko'rib chiqing (a m/n ) n = a m . Keyin ta'rif bo'yicha ildiz n a deb taxmin qilish o'rinli m/n ildiz bo'ladi n-daraja a raqamidan m . Ratsional darajali daraja ta'rifi berilgan.

5. Darslikdagi 1 va 2-misollarni ko'rib chiqing.

6. Ratsional darajali daraja tushunchasiga tegishli bir qancha mulohazalarni aytamiz.

Eslatma 1 : Har qanday a>0 va r ratsional son uchun a soni r >0

Eslatma 2 : Kasrlarning asosiy xossasi bo’yicha ratsional son m/n ni har qanday natural k soni uchun mk/nk shaklida yozish mumkin. Keyindarajaning qiymati ratsional sonni yozish shakliga bog'liq emas, chunki a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

Eslatma 3: Qachon a Keling, buni bir misol bilan tushuntiramiz. Ko'rib chiqing (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Boshqa tomondan: 1/3 = 2/6 va keyin (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Biz qarama-qarshilikni olamiz.

"Ratsional ko'rsatkichli ko'rsatkich" video darsida ingl o'quv materiali ushbu mavzu bo'yicha dars o'tish. Videodarsda ratsional ko'rsatkichli daraja tushunchasi, bunday darajalarning xususiyatlari, shuningdek, amaliy muammolarni hal qilish uchun o'quv materialidan foydalanishni tavsiflovchi misollar haqida ma'lumotlar mavjud. Ushbu videodarsning maqsadi o‘quv materialini aniq va tushunarli qilib berish, uni o‘quvchilar tomonidan o‘zlashtirish va esda saqlashga ko‘maklashish, o‘rganilgan tushunchalardan foydalanib masalalar yechish ko‘nikmasini shakllantirishdan iborat.

Videodarsning asosiy afzalliklari - o'zgartirish va hisob-kitoblarni vizual tarzda bajarish qobiliyati, o'rganish samaradorligini oshirish uchun animatsiya effektlaridan foydalanish qobiliyati. Ovozli hamrohlik to'g'ri matematik nutqni rivojlantirishga yordam beradi, shuningdek, o'qituvchining tushuntirishini almashtirishga imkon beradi, uni individual ishlarni bajarish uchun bo'shatadi.

Videodars mavzuni tanishtirish bilan boshlanadi. O'qishni bog'lash yangi mavzu Oldin o'rganilgan material bilan n √a tabiiy n va musbat a uchun 1/n bilan aks holda belgilanishini esga olish tavsiya etiladi. Ushbu n-ildiz tasviri ekranda ko'rsatiladi. Keyinchalik, a musbat son va m/n kasr bo'lgan m/n ifodasi nimani anglatishini ko'rib chiqishni taklif qilamiz. Ratsional ko'rsatkichi m/n = n √a m bo'lgan darajaning ta'rifi ramkada ta'kidlangan. Ta'kidlanganidek, n ​​natural son, m esa butun son bo'lishi mumkin.

Ratsional darajali daraja aniqlangandan keyin uning ma'nosi misollar orqali ochiladi: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Misol, shuningdek, qaysi daraja bilan ifodalanganligi ko'rsatilgan kasr, ildiz sifatida ifodalash uchun oddiy kasrga aylantiriladi: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 va manfiy darajali misol: 3 -1/ 8 = 8 √3 -1.

Darajaning asosi nolga teng bo'lgan maxsus holatning o'ziga xos xususiyati alohida ko'rsatilgan. Ta'kidlanishicha, bu daraja faqat musbat kasr ko'rsatkichi bilan ma'noga ega. Bunda uning qiymati nolga teng: 0 m/n =0.

Ratsional darajali darajaning yana bir xususiyati qayd etilgan - kasr ko'rsatkichli darajani kasr ko'rsatkichi bilan ko'rib chiqish mumkin emas. Darajani noto'g'ri belgilashga misollar keltirilgan: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Keyingi video darsda biz ratsional ko'rsatkichli darajaning xususiyatlarini muhokama qilamiz. Qayd etilishicha, butun ko‘rsatkichli daraja xossalari ratsional ko‘rsatkichli daraja uchun ham amal qiladi. Bu holatda ham amal qiladigan xususiyatlar ro'yxatini esga olish taklif etiladi:

1. Bir xil asoslarga ega darajalarni ko'paytirishda ularning ko'rsatkichlari qo'shiladi: a p a q =a p+q.
2. Bir xil asosli darajalarning bo'linishi berilgan asos va ko'rsatkichlardagi farq bilan darajaga qisqartiriladi: a p:a q =a p-q.
3. Agar darajani ma'lum bir darajaga ko'tarsak, u holda biz berilgan asos va ko'rsatkichlar ko'paytmasi bo'lgan darajaga erishamiz: (a p) q =a pq.

Bu xossalarning barchasi ratsional darajalari p, q va musbat asosi a>0 bo‘lgan darajalar uchun amal qiladi. Bundan tashqari, qavslarni ochishda daraja o'zgarishlari to'g'ri bo'lib qoladi:

1. (ab) p =a p b p - ratsional ko'rsatkich bilan qandaydir darajaga ko'tarilganda, ikkita sonning ko'paytmasi sonlar ko'paytmasiga keltiriladi, ularning har biri berilgan darajaga ko'tariladi.
2. (a/b) p =a p /b p - kasrni ratsional darajali darajaga ko'tarish, pay va maxraji berilgan darajaga ko'tarilgan kasrga keltiriladi.

Video darslikda ratsional darajali darajalarning ko'rib chiqilgan xususiyatlaridan foydalanadigan misollarni echish muhokama qilinadi. Birinchi misol kasr darajasida x o'zgaruvchilari bo'lgan ifoda qiymatini topishni so'raydi: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Ifodaning murakkabligiga qaramay, kuchlarning xususiyatlaridan foydalangan holda uni juda oddiy hal qilish mumkin. Muammoni hal qilish ifodani soddalashtirishdan boshlanadi, unda ratsional ko'rsatkichga ega bo'lgan kuchni bir darajaga ko'tarish, shuningdek, bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarni ko'paytirish qoidasi qo'llaniladi. O'zgartirishdan keyin qiymatni belgilang x = 8 soddalashtirilgan ifodada x 1/3 +48, ​​qiymatni olish oson - 50.

Ikkinchi misolda siz hisoblagichi va maxraji ratsional ko'rsatkichli darajalarni o'z ichiga olgan kasrni kamaytirishingiz kerak. Darajaning xususiyatlaridan foydalanib, biz ayirmadan x 1/3 koeffitsientini chiqaramiz, u keyinchalik pay va maxrajda kamaytiriladi va kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, hisoblagich faktorlarga ajratiladi, bu esa bir xilning keyingi qisqarishini beradi. son va maxrajdagi omillar. Bunday o'zgarishlarning natijasi qisqa kasr x 1/4 +3.

O‘qituvchining yangi dars mavzusini tushuntirishi o‘rniga “Ratsional ko‘rsatkichli ko‘rsatkich” video darsidan foydalanish mumkin. Ushbu qo'llanma, shuningdek, tegishli to'liq ma'lumotlarni o'z ichiga oladi o'z-o'zini o'rganish talaba. Material masofaviy ta'lim uchun ham foydali bo'lishi mumkin.

Matematika o'qituvchisi: Nashkenova A.N. Maybaliq umumta’lim maktabi Ratsional darajali ko‘rsatkich” mavzusidagi dars ishlanmasi.

(algebra, 11-sinf)

Dars maqsadlari:

Talabalarning raqamlarning kuchlari haqidagi bilimlarini kengaytirish va chuqurlashtirish; talabalarni ratsional darajali daraja tushunchasi va ularning xossalari bilan tanishtirish;

Xususiyatlardan foydalangan holda ifodalarning qiymatlarini hisoblash uchun bilim, ko'nikma va ko'nikmalarni rivojlantirish;

Tahlil qilish, taqqoslash, asosiy narsani ajratib ko'rsatish, tushunchalarni aniqlash va tushuntirish ko'nikmalarini rivojlantirish ustida ishlashni davom ettirish;

Shakl aloqa qobiliyatlari, o'z harakatlariga sabablar keltira olish, mustaqillik va mehnatsevarlikni tarbiyalash.

Uskunalar: darslik, tarqatma kartalar, noutbuk,taqdimot materiali Power Point ;

Dars turi: yangi bilimlarni o'rganish va dastlab mustahkamlash darsi.

Dars rejasi:

1.Org. moment. - 1 min.

2.Darsning motivatsiyasi.-2 daqiqa

3.Asosiy bilimlarni yangilash. - 5 daqiqa.

4.Yangi materialni o‘rganish. - 15 daqiqa.

5. Jismoniy tarbiya daqiqasi - 1 min.

6.O'rganilayotgan materialni birlamchi mustahkamlash - 10 daqiqa

7.Mustaqil ish. - 7 min.

8.Uyga vazifa. - 2 daqiqa.

9. Reflektsiya – 1 min.

10. Darsning xulosasi. - 1 min.

Darslar davomida

1. Tashkiliy vaqt

Dars uchun hissiy kayfiyat.

Men ishlashni xohlayman, tilayman

ish,
Bugun sizga muvaffaqiyatlar tilayman.
Axir, kelajakda bularning barchasi siz uchun

yordam beradi.
Va kelajakda siz uchun osonroq bo'ladi

o'rganish(Slayd №1)

2.Dars motivatsiyasi

Ko'rsatkichlar va ildizlarni ajratib olish operatsiyalari, shuningdek, to'rtta arifmetik amallar amaliy ehtiyoj natijasida paydo bo'lgan. Shunday qilib, kvadratning maydonini hisoblash muammosi bilan bir qatorda yon tomon hamA ma'lum bo'lgan teskari masalaga duch keldi: "Kvadratning maydoni teng bo'lishi uchun uning tomoni qancha uzunlikka ega bo'lishi kerak.V. 14—15-asrlarda Gʻarbiy Yevropada banklar paydo boʻldi, ular knyazlar va savdogarlarga foiz evaziga pul berib, ularni yuqori foiz stavkalari bilan moliyalashtirdi. uzoq sayohatlar va fathlar. Murakkab foizlarni hisoblashni osonlashtirish uchun biz jadvallarni tuzdik, ular orqali siz qancha to'lashingiz kerakligini darhol bilib olishingiz mumkin.P yillar, agar summa qarzga olingan bo'lsaA tomonidanR % yiliga. To'langan summa formula bilan ifodalanadi: s = a(1+ ) P Ba'zan pul bir necha yilga emas, balki, masalan, 2 yil 6 oyga qarzga olingan. Agar 2,5 yildan keyin miqdorA aloqa oq , keyin keyingi 2,5 yil ichida u yana ko'payadiq marta va teng bo'ladioq 2 . 5 yildan keyin:a=(1+ 5 , Shunung uchun q 2 = (1 + 5 Va anglatadi q =

(2-slayd) .

Kasr ko'rsatkichli daraja g'oyasi shunday paydo bo'ldi.

3.Asosiy bilimlarni yangilash.

Savollar:

1.Kirish nimani anglatadi;A P

2. Nima A ?

3. Nima P ?

4. A -P =?

5. Butun ko‘rsatkichli daraja xossalarini daftaringizga yozing.

6.Natural, butun, ratsional sonlar qanday? Eyler doiralari yordamida ularni chizing.(3-slayd)

Javoblar: 1. Butun ko‘rsatkichli daraja

2. A- asos

3. P- ko'rsatkich

4. A -P =

5. Butun ko‘rsatkichli daraja xossalari:

a m *a n = a (m+n) ;

a m : a n = a (m-n) ( da a Yo'q teng nol );

(a m ) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n )/(b n ) (da b nolga teng emas);

a 1 = a;

a 0 = 1 (bilan a nolga teng emas);

Bu xususiyatlar har qanday a, b raqamlari va har qanday m va n butun sonlar uchun amal qiladi.

6.1,2,3, … - musbat sonlar – natural sonlar toʻplami –N

0,-1,-2,-3,.. soni O va manfiy sonlar - butun sonlar to'plami -Z

Q , – kasr sonlar(salbiy va ijobiy) - ratsional sonlar to'plami -Q Z

N

Eyler doiralari (slayd 4)

4. Yangi materialni o'rganish.

Bo'lsin. A - manfiy bo'lmagan raqam bo'lib, uni ko'tarish kerak kasr quvvati . Tenglikni bilasizmi (A m ) n = a m n (slayd 4) , ya'ni. hokimiyatni kuchga ko'tarish qoidasi. Yuqoridagi tenglikda biz buni taxmin qilamiz m = bo'lsa, biz quyidagilarni olamiz: (A ) P = a =a (slayd 4)

Shundan kelib chiqib, shunday degan xulosaga kelishimiz mumkinA ildiz P - raqamning kuchiA , ya'ni. A = . bundan kelib chiqadi (A P ) = P =a (4-slayd).

Shuning uchun A =(a ) m =(a m ) = m . ( slayd 4 ).

Shunday qilib, quyidagi tenglik amal qiladi:A = m (slayd 4)

Ta'rif: manfiy bo'lmagan sonning darajasi A ratsional ko'rsatkich bilan , Qayerda - qaytarilmas kasr, sonning n- ildizining qiymati deyiladi A T .

Shuning uchun, ta'rifga ko'ra A = m (5-slayd)

Keling, 1-misolni ko'rib chiqaylik : Ratsional darajali darajani n- ildiz shaklida yozing:

1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (6-slayd) Yechim: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( slayd 7) Ratsional darajali darajalar bilan siz ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish va ildiz chiqarish amallarini butun ko'rsatkichli darajalar va bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalar bilan bir xil qoidalarga muvofiq bajarishingiz mumkin:A = a + A = A - (A ) = a * (a*c) = a * V ) = A / V qaerda p, q – natural sonlar, t, p butun sonlar. (slayd 8) 5. Jismoniy tarbiya daqiqasi

Ko'zlaringizni o'ngga buring

Ko'zlaringizni chapga buring

Shiftga qaradi

Hamma oldinga qaradi.

Bir marta - egilib - tekislang,

Ikki ─ egilish - cho'zish,

Qo'llaringiz bilan uch-uch qarsak chalish,

Boshning uchta bosh irg'ishi.

Besh va oltita jimgina o'tirishadi.

Va yana yo'lda! (9-slayd)

6.O'rganilayotgan materialni birlamchi mustahkamlash:

51-bet, № 90, № 91 - buni o'zingiz daftaringizga qiling,

taxtada tekshirish bilan

7.Mustaqil ish

Variant 1

(10-slayd)

Variant 1

(11-slayd)

Bajarish mustaqil ish o'zaro tekshirish bilan.

Javoblar:

Variant 1

(12-slayd)

Shunday qilib, bugun darsda biz ratsional ko'rsatkichli daraja tushunchasi bilan tanishdik va uni ildiz shaklida yozishni, sonli ifodalarning qiymatlarini topishda darajalarning asosiy xususiyatlarini qo'llashni o'rgandik.8.Uyga vazifa: 92-son, 93-son haqida ma'lumot uy vazifasi

9. Reflektsiya

(13-slayd)

10. Dars xulosasi:

Butun koʻrsatkichli daraja va kasr koʻrsatkichli daraja oʻrtasida qanday oʻxshashlik va farq bor? (o‘xshashlik: butun ko‘rsatkichli darajaning barcha xossalari ratsional darajali daraja uchun ham amal qiladi;

farq: daraja)

Ratsional darajali darajalar xossalarini sanab bering

Bugungi dars tugadi,
Siz do'stona bo'la olmadingiz.
Ammo hamma bilishi kerak:
Bilim, qat'iyat, mehnat
Ular hayotda taraqqiyotga olib keladi.
Dars uchun rahmat! (14-slayd)

a (m/n) ko'rinishdagi ifoda, bunda n - qandaydir natural son, m - qandaydir butun son va a daraja asosi noldan katta, kasr darajali daraja deb ataladi. Bundan tashqari, quyidagi tenglik to'g'ri. n√(a m) = a (m/n) .

Bizga ma'lumki, n - qandaydir natural son, m - qandaydir butun son bo'lgan m/n ko'rinishdagi sonlar kasr yoki ratsional sonlar deyiladi. Yuqorida aytilganlarning barchasidan biz daraja har qanday ratsional ko'rsatkich va darajaning har qanday ijobiy asosi uchun aniqlanganligini bilib olamiz.

Har qanday uchun ratsional sonlar p,q va har qanday a>0 va b>0 quyidagi tengliklar to'g'ri bo'ladi:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p):(b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Bu xususiyatlar kasr ko'rsatkichlari bo'lgan darajalarni o'z ichiga olgan turli ifodalarni aylantirishda keng qo'llaniladi.

Kasr ko'rsatkichli darajalarni o'z ichiga olgan ifodalarni o'zgartirishga misollar

Keling, ushbu xususiyatlardan ifodalarni o'zgartirish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatadigan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1. 7 (1/4) * 7 (3/4) ni hisoblang.

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. 9 (2/3) ni hisoblang: 9 (1/6) .

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Hisoblang (16 (1/3)) (9/4) .

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. 24 (2/3) ni hisoblang.

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Hisoblang (8/27) (1/3) .

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) ifodani soddalashtiring.

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Hisoblang (25 (1/5))*(125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Ifodani soddalashtiring

• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)).
• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a (2/3) + a (-1/3)) =
• = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
• = 1 +a - (1-a) = 2*a.

Ko'rib turganingizdek, ushbu xususiyatlardan foydalanib, kasr ko'rsatkichlari bilan kuchlarni o'z ichiga olgan ba'zi ifodalarni sezilarli darajada soddalashtirishingiz mumkin.

Ifodalar, ifoda konvertatsiyasi

Quvvat ifodalari (kuchli ifodalar) va ularning transformatsiyasi

Ushbu maqolada biz iboralarni kuchlar bilan aylantirish haqida gapiramiz. Birinchidan, biz har qanday turdagi ifodalar bilan amalga oshiriladigan o'zgarishlarga e'tibor qaratamiz, shu jumladan kuch ifodalari Qavslarni ochish va shunga o'xshash atamalarni keltirish kabi. Va keyin biz darajali ifodalarga xos bo'lgan o'zgarishlarni tahlil qilamiz: asos va ko'rsatkich bilan ishlash, darajalar xususiyatlaridan foydalanish va hk.

Sahifani navigatsiya qilish.

Quvvat ifodalari nima?

"Kuch ifodalari" atamasi maktab matematika darsliklarida deyarli uchramaydi, lekin u ko'pincha muammolar to'plamida, xususan, Yagona davlat imtihoniga va Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish uchun mo'ljallangan. Har qanday harakatlarni kuch ifodalari bilan bajarish zarur bo'lgan vazifalarni tahlil qilgandan so'ng, kuch ifodalari ularning yozuvlarida vakolatlarni o'z ichiga olgan iboralar sifatida tushunilishi aniq bo'ladi. Shunday qilib, siz o'zingiz uchun quyidagi ta'rifni qabul qilishingiz mumkin:

Ta'rif.

Quvvat ifodalari darajalarni o'z ichiga olgan ifodalardir.

beraylik kuch ifodalariga misollar. Bundan tashqari, biz ularni tabiiy ko'rsatkichli darajadan haqiqiy darajali darajaga qarashlarning rivojlanishi qanday sodir bo'lishiga qarab taqdim etamiz.

Ma'lumki, birinchi navbatda natural darajali sonning kuchi bilan tanishadi, bu bosqichda 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) tipidagi birinchi eng oddiy daraja ifodalari. 4, 3 a 2 paydo bo'ladi -a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 va hokazo.

Biroz vaqt o'tgach, butun ko'rsatkichli sonning kuchi o'rganiladi, bu manfiy butun darajali darajali iboralarning paydo bo'lishiga olib keladi, masalan: 3 -2, , a -2 +2 b -3 +c 2.

O'rta maktabda ular darajaga qaytadilar. U erda ratsional ko'rsatkichli daraja kiritiladi, bu tegishli kuch ifodalarining paydo bo'lishiga olib keladi: , , va h.k. Nihoyat, irratsional darajali darajalar va ularni o'z ichiga olgan ifodalar ko'rib chiqiladi: , .

Masala sanab o'tilgan kuch ifodalari bilan cheklanmaydi: bundan keyin o'zgaruvchi ko'rsatkichga kiradi va, masalan, quyidagi iboralar paydo bo'ladi: 2 x 2 +1 yoki . Bilan tanishgandan keyin esa daraja va logarifmli ifodalar paydo bo'la boshlaydi, masalan, x 2·lgx -5·x lgx.

Shunday qilib, biz kuch ifodalari nimani ifodalaydi degan savol bilan shug'ullandik. Keyinchalik biz ularni o'zgartirishni o'rganamiz.

Quvvat ifodalarini o'zgartirishning asosiy turlari

Quvvat ifodalari yordamida siz iboralarning asosiy identifikatori oʻzgarishlarini amalga oshirishingiz mumkin. Misol uchun, siz qavslarni kengaytirishingiz, almashtirishingiz mumkin raqamli ifodalar ularning qiymatlari, o'xshash atamalarni berish va hokazo. Tabiiyki, bu holda, harakatlarni amalga oshirish uchun qabul qilingan tartib-qoidaga rioya qilish kerak. Keling, misollar keltiraylik.

Misol.

Quvvat ifodasining qiymatini hisoblang 2 3 ·(4 2 −12) .

Yechim.

Harakatlarni bajarish tartibiga ko'ra, birinchi navbatda qavs ichidagi amallarni bajaring. U erda, birinchidan, 4 2 kuchini uning qiymati 16 (kerak bo'lsa, qarang) bilan almashtiramiz, ikkinchidan, 16−12=4 farqni hisoblaymiz. Bizda ... bor 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Hosil bo'lgan ifodada 2 3 quvvatni uning qiymati 8 bilan almashtiramiz, shundan so'ng 8·4=32 ko'paytmani hisoblaymiz. Bu kerakli qiymat.

Shunday qilib, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Javob:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Misol.

Kuchlar bilan ifodalarni soddalashtiring 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Yechim.

Bu aniq bu ifoda 3·a 4 ·b −7 va 2·a 4 ·b −7 ga o‘xshash atamalarni o‘z ichiga oladi va ularni berishimiz mumkin: .

Javob:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Misol.

Mahsulot sifatida kuchlar bilan ifodani ifodalang.

Yechim.

Siz 9 raqamini 3 2 ning kuchi sifatida ifodalab, so'ngra qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib, vazifani engishingiz mumkin - kvadratlar farqi:

Javob:

Raqam ham bor identifikatsiya o'zgarishlari, ayniqsa kuch ifodalariga xosdir. Biz ularni batafsil tahlil qilamiz.

Baza va ko‘rsatkich bilan ishlash

Shunday darajalar borki, ularning asosi va/yoki ko‘rsatkichi shunchaki raqamlar yoki o‘zgaruvchilar emas, balki ba’zi ifodalardir. Misol tariqasida (2+0,3·7) 5−3,7 va (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) yozuvlarini keltiramiz.

Bunday iboralar bilan ishlashda daraja asosidagi ifodani ham, ko'rsatkichdagi ifodani ham uning o'zgaruvchilari ODZidagi bir xil teng ifoda bilan almashtirish mumkin. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bizga ma'lum bo'lgan qoidalarga ko'ra, biz daraja asosini alohida va ko'rsatkichni alohida o'zgartirishimiz mumkin. Ushbu o'zgartirish natijasida asli bilan bir xilda teng bo'lgan ifoda olinishi aniq.

Bunday o'zgarishlar bizga vakolatlar bilan ifodalarni soddalashtirish yoki bizga kerak bo'lgan boshqa maqsadlarga erishish imkonini beradi. Masalan, yuqorida qayd etilgan quvvat ifodasida (2+0,3 7) 5−3,7 asos va ko’rsatkichdagi sonlar bilan amallarni bajarish mumkin, bu esa 4,1 1,3 darajaga o’tish imkonini beradi. Qavslarni ochib, o‘xshash atamalarni daraja asosiga keltirgandan so‘ng (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) a 2·(x+) oddiyroq ko‘rinishdagi daraja ifodasini olamiz. 1) .

Degree xususiyatlaridan foydalanish

Kuchlar bilan ifodalarni o'zgartirishning asosiy vositalaridan biri aks ettiruvchi tenglikdir. Keling, asosiylarini eslaylik. Har qanday musbat a va b sonlar va ixtiyoriy r va s haqiqiy sonlar uchun darajalarning quyidagi xossalari to‘g‘ri bo‘ladi:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Esda tutingki, natural, butun va musbat ko‘rsatkichlar uchun a va b raqamlariga cheklovlar unchalik qattiq bo‘lmasligi mumkin. Masalan, uchun natural sonlar m va n tenglik a m ​​·a n =a m+n faqat musbat a uchun emas, balki manfiy a uchun ham, a=0 uchun ham to‘g‘ri.

Maktabda kuch ifodalarini o'zgartirishda asosiy e'tibor tegishli xususiyatni tanlash va uni to'g'ri qo'llash qobiliyatiga qaratiladi. Bunday holda, darajalar asoslari odatda ijobiy bo'lib, bu darajalarning xususiyatlarini cheklovlarsiz ishlatishga imkon beradi. Xuddi shu narsa kuchlar asoslarida o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan ifodalarni o'zgartirish uchun ham amal qiladi - maydon qabul qilinadigan qiymatlar o'zgaruvchilar odatda shunday bo'ladiki, undagi asoslar faqat ijobiy qiymatlarni oladi, bu sizga darajalar xususiyatlaridan erkin foydalanish imkonini beradi. Umuman olganda, siz doimo o'zingizdan bu holatda darajalarning har qanday xususiyatidan foydalanish mumkinmi, deb so'rashingiz kerak, chunki xususiyatlardan noto'g'ri foydalanish ta'lim qiymatining torayishi va boshqa muammolarga olib kelishi mumkin. Ushbu fikrlar batafsil va misollar bilan maqolada darajalar xususiyatlaridan foydalangan holda ifodalarni o'zgartirishga qaratilgan. Bu erda biz bir nechta oddiy misollarni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz.

Misol.

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ifodani a asosli daraja sifatida ifodalang.

Yechim.

Birinchidan, biz ikkinchi omilni (a 2) −3 ni quvvatni kuchga ko'tarish xususiyatidan foydalanib o'zgartiramiz: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Asl kuch ifodasi a 2,5 ·a -6:a -5,5 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarni ko'paytirish va bo'lish xususiyatlaridan foydalanish qoladi.
a 2,5 ·a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Javob:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Quvvat ifodalarini o'zgartirishda kuchlarning xususiyatlari chapdan o'ngga ham, o'ngdan chapga ham qo'llaniladi.

Misol.

Quvvat ifodasining qiymatini toping.

Yechim.

O'ngdan chapga qo'llaniladigan (a·b) r =a r ·b r tengligi bizga asl ifodadan shaklning ko'paytmasiga va undan keyingisiga o'tishga imkon beradi. Va darajalarni bir xil asoslar bilan ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi: .

Asl iborani boshqa yo'l bilan o'zgartirish mumkin edi:

Javob:

.

Misol.

Quvvat ifodasi a 1,5 −a 0,5 −6 bo‘lsa, yangi t=a 0,5 o‘zgaruvchisini kiriting.

Yechim.

a 1,5 darajasi 0,5 3 sifatida ifodalanishi mumkin va keyin o'ngdan chapga qo'llaniladigan darajaning (a r) s =a r s xossasidan kelib chiqib, uni (a 0,5) 3 ko'rinishiga aylantiring. Shunday qilib, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Endi t=a 0,5 yangi o‘zgaruvchini kiritish oson, biz t 3 −t−6 ni olamiz.

Javob:

t 3 −t−6 .

Darajani o'z ichiga olgan kasrlarni aylantirish

Quvvat iboralari vakolatli kasrlarni o'z ichiga olishi yoki ifodalashi mumkin. Har qanday turdagi kasrlarga xos bo'lgan kasrlarning asosiy o'zgarishi bunday kasrlarga to'liq mos keladi. Ya'ni, darajalarni o'z ichiga olgan kasrlarni qisqartirish, yangi maxrajga keltirish, o'z hisoblagichi bilan alohida va maxraj bilan alohida ishlash mumkin va hokazo. Ushbu so'zlarni tasvirlash uchun bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Quvvat ifodasini soddalashtiring .

Yechim.

Bu kuch ifodasi kasrdir. Keling, uning soni va maxraji bilan ishlaymiz. Numeratorda biz qavslarni ochamiz va natijada olingan ifodani darajalar xususiyatlaridan foydalangan holda soddalashtiramiz va maxrajda biz shunga o'xshash atamalarni keltiramiz:

Kasr oldiga minus qo'yib, maxraj belgisini ham o'zgartiramiz: .

Javob:

.

Huddi o'z ichiga olgan kasrlarni yangi maxrajga kamaytirish ratsional kasrlarni yangi maxrajga qisqartirish kabi amalga oshiriladi. Bunda qo'shimcha ko'rsatkich ham topiladi va kasrning son va maxraji unga ko'paytiriladi. Ushbu amalni bajarayotganda, yangi maxrajga qisqartirish VA ning torayishiga olib kelishi mumkinligini yodda tutish kerak. Buning oldini olish uchun qo'shimcha omil asl ifoda uchun ODZ o'zgaruvchilari o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun nolga tushmasligi kerak.

Misol.

Kasrlarni yangi maxrajga keltiring: a) maxraj a, b) maxrajga.

Yechim.

a) Bunday holda, kerakli natijaga erishish uchun qaysi qo'shimcha multiplikator yordam berishini aniqlash juda oson. Bu 0,3 ning ko'paytmasi, chunki 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. E'tibor bering, a o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ida (bu barcha musbat haqiqiy sonlar to'plami) 0,3 ning kuchi yo'qolmaydi, shuning uchun biz berilgan raqam va maxrajni ko'paytirish huquqiga egamiz. ushbu qo'shimcha omil bo'yicha qism:

b) maxrajga diqqat bilan qarasangiz, buni bilib olasiz

va bu ifodani ga ko'paytirsak, kublar yig'indisi va , ya'ni . Va bu asl kasrni kamaytirishimiz kerak bo'lgan yangi maxrajdir.

Shunday qilib, biz qo'shimcha omil topdik. X va y o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ida ifoda yo'qolmaydi, shuning uchun biz kasrning soni va maxrajini unga ko'paytirishimiz mumkin:

Javob:

A) , b) .

Kuchlarni o'z ichiga olgan kasrlarni kamaytirishda ham yangilik yo'q: hisoblagich va maxraj bir qator omillar sifatida ifodalanadi va hisoblagich va maxrajning bir xil omillari kamayadi.

Misol.

Kasrni kamaytiring: a) , b).

Yechim.

a) Birinchidan, pay va maxrajni 30 va 45 raqamlariga kamaytirish mumkin, bu 15 ga teng. Bundan tashqari, aniqki, x 0,5 +1 va tomonidan qisqartirishni amalga oshirish mumkin . Mana bizda nima bor:

b) Bunda ayiruvchi va maxrajdagi bir xil omillar darhol ko'rinmaydi. Ularni olish uchun siz dastlabki o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak bo'ladi. Bunday holda, ular kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, maxrajni faktorlarga ajratishdan iborat:

Javob:

A)

b) .

Kasrlarni yangi maxrajga aylantirish va kasrlarni qisqartirish asosan kasrli ishlarni bajarish uchun ishlatiladi. Harakatlar ma'lum qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Kasrlarni qo'shishda (ayirishda) ular qisqartiriladi umumiy maxraj, shundan so'ng sanoqchilar qo'shiladi (ayiriladi), lekin maxraj bir xil bo'lib qoladi. Natijada ayiruvchisi ayirmalarning ko‘paytmasiga, maxraji esa maxrajlarning ko‘paytmasiga teng bo‘lgan kasr hosil bo‘ladi. Kasrga bo'lish uning teskari qismiga ko'paytirishdir.

Misol.

Qadamlarni bajaring .

Yechim.

Birinchidan, qavs ichidagi kasrlarni ayiramiz. Buning uchun biz ularni umumiy maxrajga keltiramiz, ya'ni , shundan so'ng biz sonlarni ayiramiz:

Endi kasrlarni ko'paytiramiz:

Shubhasiz, x 1/2 kuch bilan kamaytirish mumkin, shundan keyin bizda bor .

Shuningdek, kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, maxrajdagi kuch ifodasini soddalashtirishingiz mumkin: .

Javob:

Misol.

Quvvat ifodasini soddalashtiring .

Yechim.

Shubhasiz, bu kasrni (x 2,7 +1) 2 ga kamaytirish mumkin, bu kasrni beradi. . X ning vakolatlari bilan yana bir narsa qilish kerakligi aniq. Buning uchun hosil bo'lgan kasrni mahsulotga aylantiramiz. Bu bizga bir xil asoslar bilan vakolatlarni taqsimlash xususiyatidan foydalanish imkoniyatini beradi: . Va jarayonning oxirida biz ko'chib o'tamiz oxirgi ish kasrga.

Javob:

.

Yana shuni qo‘shimcha qilamizki, ko‘rsatkich belgisini o‘zgartirgan holda manfiy ko‘rsatkichlari bo‘lgan omillarni ayiruvchidan maxrajga yoki maxrajdan hisoblagichga o‘tkazish mumkin va ko‘p hollarda maqsadga muvofiqdir. Bunday o'zgarishlar ko'pincha keyingi harakatlarni soddalashtiradi. Masalan, kuch ifodasi bilan almashtirilishi mumkin.

Ildiz va kuch bilan ifodalarni aylantirish

Ko'pincha, ba'zi transformatsiyalar talab qilinadigan iboralarda, kasr ko'rsatkichlari bo'lgan ildizlar ham vakolatlar bilan birga mavjud. Bunday ifodani aylantirish uchun to'g'ri tur, aksariyat hollarda faqat ildizlarga yoki faqat kuchlarga o'tish kifoya. Ammo kuchlar bilan ishlash qulayroq bo'lgani uchun ular odatda ildizlardan kuchlarga o'tadilar. Biroq, asl ifoda uchun o'zgaruvchilarning ODZ modulga murojaat qilmasdan yoki ODZni bir nechta intervallarga bo'lmasdan ildizlarni kuchlar bilan almashtirishga imkon berganda bunday o'tishni amalga oshirish tavsiya etiladi (biz buni batafsil muhokama qildik. artiklning ildizlardan darajalarga va orqaga o'tishi Ratsional darajali daraja bilan tanishgandan so'ng c darajasi kiritiladi. irratsional ko'rsatkich, bu bizga o'zboshimchalik bilan haqiqiy ko'rsatkichli daraja haqida gapirish imkonini beradi. Ushbu bosqichda maktab o'qishni boshlaydi eksponensial funktsiya , u analitik jihatdan bir daraja bilan beriladi, uning asosi son va ko'rsatkichi o'zgaruvchidir. Shunday qilib, biz darajalar bazasida raqamlarni va ko'rsatkichni o'z ichiga olgan kuch ifodalariga duch kelamiz - o'zgaruvchili ifodalar va tabiiyki, bunday ifodalarni o'zgartirish zarurati tug'iladi.

Aytish kerakki, ko'rsatilgan turdagi ifodalarni o'zgartirish odatda hal qilishda amalga oshirilishi kerak eksponensial tenglamalar Va eksponensial tengsizliklar , va bu konvertatsiyalar juda oddiy. Aksariyat hollarda ular darajaning xususiyatlariga asoslanadi va ko'pincha kelajakda yangi o'zgaruvchini kiritishga qaratilgan. Tenglama bizga ularni ko'rsatishga imkon beradi 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Birinchidan, ko'rsatkichlari ma'lum bir o'zgaruvchining (yoki o'zgaruvchilar bilan ifodalangan) va sonning yig'indisidan iborat bo'lgan kuchlar mahsulot bilan almashtiriladi. Bu chap tomondagi ifodaning birinchi va oxirgi shartlariga taalluqlidir:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Keyinchalik, tenglikning ikkala tomoni 7 2 x ifodasiga bo'linadi, bu x o'zgaruvchisining ODZ-da dastlabki tenglama uchun faqat ijobiy qiymatlarni oladi (bu bunday turdagi tenglamalarni echishning standart usuli, biz emas hozir bu haqda gapirganda, shuning uchun kuchlar bilan ifodalarni keyingi o'zgartirishlarga e'tibor bering ):

Endi biz kasrlarni kuchlar bilan bekor qilishimiz mumkin, bu beradi .

Nihoyat, bir xil ko'rsatkichlarga ega bo'lgan kuchlar nisbati munosabatlarning vakolatlari bilan almashtiriladi, natijada tenglama hosil bo'ladi. , bu ekvivalent . Amalga oshirilgan o'zgarishlar bizga yangi o'zgaruvchini kiritish imkonini beradi, bu esa yechimni asl nusxaga qisqartiradi eksponensial tenglama kvadrat tenglamani yechish uchun

I. V. Boykov, L. D. Romanova Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish uchun vazifalar to'plami. 1-qism. Penza 2003 yil.