x 2 10x funksiya grafigini tuzing 27. Funksiyalar va ularning grafiklari. Kvadrat funksiyaning asosiy xossalari

Funksiya grafigi funksiyaning koordinata tekisligidagi xatti-harakatlarining vizual tasviridir. Grafiklar funksiyaning o‘zidan aniqlab bo‘lmaydigan funksiyaning turli tomonlarini tushunishga yordam beradi. Siz ko'p funktsiyalarning grafiklarini qurishingiz mumkin va ularning har biriga ma'lum formulalar beriladi. Har qanday funktsiyaning grafigi ma'lum bir algoritm yordamida quriladi (agar siz ma'lum bir funktsiyaning grafigini chizishning aniq jarayonini unutgan bo'lsangiz).

Qadamlar

Chiziqli funktsiyaning grafigini tuzish

Funktsiyaning chiziqli ekanligini aniqlang. Chiziqli funktsiya shakl formulasi bilan berilgan F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) yoki y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(masalan, ) va uning grafigi to'g'ri chiziqdir. Shunday qilib, formulaga bitta o'zgaruvchi va bitta doimiy (doimiy) ko'rsatkichlar, ildiz belgilari va shunga o'xshashlarsiz kiradi. Agar shunga o'xshash turdagi funksiya berilgan bo'lsa, bunday funktsiyaning grafigini tuzish juda oddiy. Bu erda chiziqli funktsiyalarning boshqa misollari:

Y o'qidagi nuqtani belgilash uchun doimiydan foydalaning. Doimiy (b) bu grafikning Y o'qini kesib o'tadigan nuqtaning "y" koordinatasi. Ya'ni "x" koordinatasi 0 ga teng bo'lgan nuqta. Shunday qilib, agar x = 0 formulaga almashtirilsa. , keyin y = b (doimiy). Bizning misolimizda y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) doimiy 5 ga teng, ya'ni Y o'qi bilan kesishgan nuqta koordinatalariga (0,5) ega. Ushbu nuqtani joylashtiring koordinata tekisligi.

Toping qiyalik Streyt. U o'zgaruvchining ko'paytmasiga teng. Bizning misolimizda y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)"x" o'zgaruvchisi bilan 2 omil mavjud; demak, qiyalik koeffitsienti 2 ga teng. Nishab koeffitsienti to'g'ri chiziqning X o'qiga og'ish burchagini aniqlaydi, ya'ni qiyalik koeffitsienti qanchalik katta bo'lsa, funksiya shunchalik tez ortadi yoki kamayadi.

Nishabni kasr shaklida yozing. Burchak koeffitsienti nishab burchagi tangensiga, ya'ni vertikal masofaning (to'g'ri chiziqdagi ikkita nuqta orasidagi) gorizontal masofaga (bir xil nuqtalar orasidagi) nisbatiga tengdir. Bizning misolimizda qiyalik 2 ga teng, shuning uchun vertikal masofa 2 va gorizontal masofa 1 ekanligini aytishimiz mumkin. Buni kasr shaklida yozing: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Nishab salbiy bo'lsa, funktsiya pasayadi.

To'g'ri chiziq Y o'qini kesishgan nuqtadan vertikal va gorizontal masofalar yordamida ikkinchi nuqtani chizing. Jadval chiziqli funksiya ikki nuqtadan qurish mumkin. Bizning misolimizda Y o'qi bilan kesishish nuqtasi koordinatalariga ega (0,5); Shu nuqtadan boshlab, 2 bo'shliqni yuqoriga va keyin 1 bo'shliqni o'ngga siljiting. Nuqtani belgilang; uning koordinatalari (1,7) bo'ladi. Endi siz to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin.

O'lchagich yordamida ikkita nuqtadan to'g'ri chiziq o'tkazing. Xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun uchinchi nuqtani toping, lekin ko'p hollarda grafik ikkita nuqta yordamida chizilishi mumkin. Shunday qilib, siz chiziqli funktsiyani chizdingiz.

Koordinata tekisligida nuqtalarni chizish
1. Funktsiyani aniqlang. Funktsiya f(x) bilan belgilanadi. “y” o‘zgaruvchisining barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari funksiya sohasi, “x” o‘zgaruvchisining barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari esa funksiya sohasi deb ataladi. Masalan, y = x+2, ya'ni f(x) = x+2 funksiyasini ko'rib chiqaylik.
  
  Ikkita kesishuvchi perpendikulyar chiziq chizing. Gorizontal chiziq X o'qi Vertikal chiziq Y o'qi.
  
  Koordinata o'qlarini belgilang. Har bir o'qni teng segmentlarga ajrating va ularni raqamlang. O'qlarning kesishish nuqtasi 0. X o'qi uchun: musbat sonlar o'ngga (0 dan), manfiy raqamlar esa chapga chiziladi. Y o'qi uchun: musbat raqamlar tepada (0 dan), manfiy raqamlar esa pastda joylashgan.
  
  “x” qiymatlaridan “y” qiymatlarini toping. Bizning misolimizda f(x) = x+2. Tegishli y qiymatlarini hisoblash uchun ushbu formulaga o'ziga xos x qiymatlarini qo'ying. Agar murakkab funktsiya berilgan bo'lsa, tenglamaning bir tomonidagi "y" ni ajratib, uni soddalashtiring.
  - -1: -1 + 2 = 1
  - 0: 0 +2 = 2
  - 1: 1 + 2 = 3
2. Nuqtalarni koordinata tekisligida chizing. Har bir juft koordinata uchun quyidagilarni bajaring: X o'qi bo'yicha mos keladigan qiymatni toping va vertikal chiziqni (nuqta) chizing; Y o'qi bo'yicha mos keladigan qiymatni toping va gorizontal chiziqni (chiziq chiziq) torting. Ikki nuqta chiziqning kesishish nuqtasini belgilang; Shunday qilib, siz grafikdagi nuqtani chizdingiz.
  
  Nuqtali chiziqlarni o'chiring. Grafikdagi barcha nuqtalarni koordinata tekisligida chizgandan keyin buni bajaring. Eslatma: f(x) = x funksiyaning grafigi koordinata markazidan [koordinatalari (0,0) bo'lgan nuqta] orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq; f(x) = x + 2 grafigi f(x) = x chiziqqa parallel, lekin ikki birlikka yuqoriga siljigan va shuning uchun (0,2) koordinatali nuqtadan o'tuvchi chiziqdir (chunki doimiy 2). .
Murakkab funktsiyaning grafigini tuzish

1. Kasr chiziqli funksiya va uning grafigi

P(x) va Q(x) polinom bo‘lgan y = P(x) / Q(x) ko‘rinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi.

Ehtimol, siz ratsional sonlar tushunchasi bilan tanish bo'lgansiz. Xuddi shunday ratsional funktsiyalar ikki ko‘phadning bo‘limi sifatida ifodalanishi mumkin bo‘lgan funksiyalardir.

Agar kasrli ratsional funktsiya ikkita chiziqli funktsiyaning koeffitsienti bo'lsa - birinchi darajali polinomlar, ya'ni. shakl funktsiyasi

y = (ax + b) / (cx + d), keyin u kasr chiziqli deb ataladi.

y = (ax + b) / (cx + d) funktsiyasida c ≠ 0 (aks holda funktsiya chiziqli y = ax/d + b/d ga aylanadi) va a/c ≠ b/d (aks holda funktsiya doimiy). Chiziqli kasr funktsiyasi x = -d/c dan tashqari barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlanadi. Kasr chiziqli funksiyalarning grafiklari siz bilgan y = 1/x grafigidan shakli jihatidan farq qilmaydi. y = 1/x funksiyaning grafigi bo'lgan egri chiziq deyiladi giperbola. X ning cheksiz o'sishi bilan mutlaq qiymat y = 1/x funktsiyasi mutlaq qiymatda cheksiz kamayadi va grafikning ikkala shoxlari x o'qiga yaqinlashadi: o'ng tomon yuqoridan, chap esa pastdan yaqinlashadi. Giperbolaning shoxlari yaqinlashadigan chiziqlar uning deyiladi asimptotlar.

1-misol.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Yechim.

Butun qismni tanlaymiz: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Endi bu funksiyaning grafigi y = 1/x funksiya grafigidan quyidagi o‘zgartirishlar orqali olinganligini ko‘rish oson: 3 birlik segmentga o‘ngga siljish, Oy o‘qi bo‘ylab 7 marta cho‘zish va 2 ga siljish. birlik segmentlari yuqoriga.

Har qanday kasr y = (ax + b) / (cx + d) "butun qism" ni ta'kidlab, shunga o'xshash tarzda yozilishi mumkin. Binobarin, barcha kasr chiziqli funksiyalarning grafiklari koordinata o'qlari bo'ylab turli yo'llar bilan siljigan va Oy o'qi bo'ylab cho'zilgan giperbolalardir.

Har qanday ixtiyoriy grafikni qurish uchun kasr chiziqli funksiya Bu funktsiyani aniqlovchi kasrni o'zgartirish umuman shart emas. Grafik giperbola ekanligini bilganimiz uchun uning shoxlari yaqinlashadigan to'g'ri chiziqlarni - x = -d/c va y = a/c giperbolaning asimptotalarini topish kifoya qiladi.

2-misol.

y = (3x + 5)/(2x + 2) funksiya grafigining asimptotalarini toping.

Yechim.

Funktsiya aniqlanmagan, x = -1 da. Demak, x = -1 to'g'ri chiziq vertikal asimptota vazifasini bajaradi. Gorizontal asimptotani topish uchun argument x mutlaq qiymatga oshganda y(x) funksiyaning qiymatlari qanday yondashishini aniqlaylik.

Buning uchun kasrning soni va maxrajini x ga bo'ling:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

X → ∞ sifatida kasr 3/2 ga moyil bo'ladi. Bu gorizontal asimptota y = 3/2 to'g'ri chiziq ekanligini anglatadi.

3-misol.

y = (2x + 1)/(x + 1) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Kasrning "butun qismini" tanlaymiz:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Endi bu funksiyaning grafigi y = 1/x funksiya grafigidan quyidagi oʻzgartirishlar orqali olinganligini koʻrish oson: chapga 1 birlikka siljish, Oxga nisbatan simmetrik displey va quyidagi oʻzgartirishlar. Oy o'qi bo'ylab 2 birlik segment yuqoriga.

Domen D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Qiymatlar diapazoni E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

O'qlar bilan kesishish nuqtalari: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funktsiya aniqlanish sohasining har bir oralig'ida ortadi.

Javob: 1-rasm.

2. Kasr ratsional funksiya

y = P(x) / Q(x) ko'rinishdagi kasrli ratsional funktsiyani ko'rib chiqaylik, bu erda P(x) va Q(x) birinchidan yuqori darajali polinomlardir.

Bunday ratsional funktsiyalarga misollar:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) yoki y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Agar y = P(x) / Q(x) funksiya ikki darajali ko‘phadning birinchisidan yuqori bo‘lgan qismini ifodalasa, u holda uning grafigi, qoida tariqasida, murakkabroq bo‘ladi va ba’zan uni to‘g‘ri qurish qiyin bo‘lishi mumkin. , barcha tafsilotlari bilan. Biroq, ko'pincha biz yuqorida tanishtirganlarga o'xshash usullardan foydalanish kifoya.

Kasr to'g'ri kasr bo'lsin (n< m). Известно, что любую несократимую ratsional kasr tasavvur qilish mumkin, va bundan tashqari yagona yo'l, jami sifatida chekli son elementar kasrlar, uning shakli Q(x) kasrning maxrajini real omillar ko‘paytmasiga ajratish yo‘li bilan aniqlanadi:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Shubhasiz, kasr ratsional funktsiyaning grafigi elementar kasrlar grafiklarining yig'indisi sifatida olinishi mumkin.

Kasrli ratsional funksiyalarning grafiklarini tuzish

Kasrli ratsional funktsiyaning grafiklarini qurishning bir necha usullarini ko'rib chiqamiz.

4-misol.

y = 1/x 2 funksiya grafigini chizing.

Yechim.

y = 1/x 2 grafigini qurish uchun y = x 2 funksiya grafigidan foydalanamiz va grafiklarni “bo‘lish” texnikasidan foydalanamiz.

Domen D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

E(y) = (0; +∞) qiymatlar diapazoni.

O'qlar bilan kesishish nuqtalari yo'q. Funktsiya teng. Barcha x uchun (-∞; 0) oraliqdan ortadi, x uchun 0 dan +∞ gacha kamayadi.

Javob: 2-rasm.

5-misol.

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Domen D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Bu erda chiziqli funktsiyani faktorizatsiya qilish, kamaytirish va kamaytirish texnikasidan foydalandik.

Javob: 3-rasm.

6-misol.

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) funksiya grafigini tuzing.

Yechim.

Ta'rif sohasi D(y) = R. Funktsiya juft bo'lgani uchun grafik ordinataga nisbatan simmetrikdir. Grafikni qurishdan oldin, keling, butun qismini ajratib ko'rsatib, ifodani yana o'zgartiramiz:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

E'tibor bering, kasr ratsional funktsiya formulasida butun son qismini ajratib olish grafiklarni qurishda asosiylaridan biridir.

Agar x → ±∞ bo'lsa, u holda y → 1, ya'ni. y = 1 to'g'ri chiziq gorizontal asimptotadir.

Javob: 4-rasm.

7-misol.

y = x/(x 2 + 1) funksiyani ko'rib chiqamiz va uning eng katta qiymatini aniq topishga harakat qilamiz, ya'ni. eng yuqori nuqta grafikning o'ng yarmi. Ushbu grafikni to'g'ri tuzish uchun bugungi bilim etarli emas. Shubhasiz, bizning egri chiziq juda baland "ko'tarilishi" mumkin emas, chunki maxraj tezlik bilan hisoblagichni "quvib o'tishni" boshlaydi. Funktsiyaning qiymati 1 ga teng bo'lishi mumkinligini ko'rib chiqamiz. Buning uchun x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 tenglamani yechishimiz kerak. Bu tenglamada mavjud emas. haqiqiy ildizlar. Bu bizning taxminimiz noto'g'ri ekanligini anglatadi. Eng ko'p topish uchun katta ahamiyatga ega funktsiya uchun A = x/(x 2 + 1) tenglama qaysi eng katta A bo'yicha yechimga ega bo'lishini aniqlashingiz kerak. Dastlabki tenglamani kvadratik tenglamaga almashtiramiz: Ax 2 – x + A = 0. Bu tenglama 1 – 4A 2 ≥ 0 bo‘lganda yechimga ega. Bu yerdan topamiz. eng yuqori qiymat A = 1/2.

Javob: 5-rasm, max y(x) = ½.

Hali ham savollaringiz bormi? Funksiyalarni qanday grafik qilishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

y=x^2 funksiya kvadratik funksiya deyiladi. Jadval kvadratik funktsiya parabola hisoblanadi. Umumiy shakl Parabola quyidagi rasmda ko'rsatilgan.

Kvadrat funksiya

1-rasm. Parabolaning umumiy ko'rinishi

Grafikdan ko'rinib turibdiki, u Oy o'qiga nisbatan simmetrikdir. Oy o'qiga parabolaning simmetriya o'qi deyiladi. Bu shuni anglatadiki, agar siz ushbu o'qning ustidagi Ox o'qiga parallel ravishda grafik ustida to'g'ri chiziq chizsangiz. Keyin u parabolani ikki nuqtada kesib o'tadi. Bu nuqtalardan Oy o'qigacha bo'lgan masofa bir xil bo'ladi.

Simmetriya o'qi parabola grafigini ikki qismga ajratadi. Bu qismlar parabolaning shoxlari deb ataladi. Parabolaning simmetriya o'qi ustida joylashgan nuqtasi esa parabolaning cho'qqisi deyiladi. Ya'ni simmetriya o'qi parabola cho'qqisidan o'tadi. Bu nuqtaning koordinatalari (0;0).

Kvadrat funksiyaning asosiy xossalari

1. x =0 da y=0, x0 da y>0

2. Kvadrat funksiya o‘zining eng kichik qiymatiga cho‘qqi nuqtasida erishadi. Ymin x=0 da; Shuni ham ta'kidlash kerakki, funktsiya maksimal qiymatga ega emas.

3. Funksiya (-∞;0] oraliqda kamayadi va oraliqda ortadi \(x"\left(t \right) = 0,\) tenglamani yechib \(x\) funksiyaning statsionar nuqtalarini aniqlaymiz. chap(t \o'ng):\ ) \[ (x"\left(t \o'ng) = 0,)\;\; (\O'ngga 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\O'ng strelka (t_(1, 2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] \ uchun (t = 1\) funksiya \ (x\left(t \o'ng)\) ga teng bo'lgan maksimalga etadi va \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) nuqtada minimal teng: \[ (x\left(( \frac(1)(3)) \right) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \o'ng)^3) + (\ chap ((\ frac (1) (3)) \ o'ng) ^ 2) - \ chap ((\ frac (1) (3)) \ o'ng) ) = (\ frac (1) ((27)) + \ frac(1)(9) - \frac(1 )(3) = - \frac(5)((27)).) \] \(y"\left(t \o'ng):\) \ hosilasini ko'rib chiqing. [ (y"\left(t \o'ng) = ( \left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \o'ng)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \] Funktsiyaning statsionar nuqtalarini toping \(y \left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\O'ng 3-yo'l). (t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\ ; (\Oʻng koʻrsatkich (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2 ;\;\frac(2)(3).) \] Bu yerda xuddi shunday funksiya \(y\left(t \o'ng)\) \(t = -2:\) \ nuqtada maksimalga etadi va nuqtada minimal \(t = \katta\frac(2)(3)\normalsize :\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \o'ng) ) = ((\chap) ((\frac(2)(3)) \o'ng)^3) + 2(\ chap((\frac(2)(3)) \o'ng)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) ) = (\frac(8)((27)) + \frac(8)( 9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27))) \] \(x\left(t \o'ng)\), \(y\ left(t \o'ng)\) funksiyalar grafiklari sxematik tarzda \(15a.\) rasmda ko'rsatilgan.


15a-rasm		15b-rasm


15c-rasm

E'tibor bering, chunki \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] u holda egri chiziq \(y\left(x \right)\) vertikalga ham ega emas, gorizontal asimptotlar yo'q. Bundan tashqari, \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \o'ng))))((x\left(t \o'ng))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \pm \infty ) \left[ (y\left(t \o'ng) - kx\left(t \o'ng)) \o'ng] ) = (\lim\limits_(t \pm \infty ) \left((\ bekor (\ rang) (ko'k)(t^3)) + \rang(qizil)(2(t^2)) - \rang(yashil)(4t) - \bekor(\rang(ko'k)(t^3)) - \ rang (qizil)(t^2) + \rang(yashil)(t)) \o'ng) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\rang(qizil)(t^ 2) ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] u holda \(y\left(x \right)\) egri chiziq ham qiya asimptotalarga ega emas.

\(y\left(x \o'ng)\) grafigining koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz. X o'qi bilan kesishish quyidagi nuqtalarda sodir bo'ladi: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\O'ng strelka t\chap(((t^2) + 2t - 4) \o'ng) = 0;) \]

\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\O'ngga D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \o'ng) = 20,)\;\; (\ O‘ng strelka (t_(2,3)) = \katta\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5.) \)

\ \[ (x\left(((t_2)) \o'ng) = x\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ) = ((\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \o'ng) ^3) + (\left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right)^2) - \left(( - 1 - \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \left((1 + 3\sqrt) 5 + 15 + 5\sqrt 5 ) \right) + \left((1 + 2\sqrt 5 + 5) \right) + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 16 - 8\sqrt 5 + 6 + 2\ sqrt 5 + 1 + \sqrt 5 ) = ( - 9 - 5\sqrt 5 \taxminan 20,18;) \] \[ (x\left(((t_3)) \o'ng) = x\left(( - 1 + \ sqrt 5 ) \right) ) = ((\left(( - 1 + \sqrt 5 ) \right)^3) + (\left(( - 1 + \sqrt 5 ) \right)^2) - \ chap( ( - 1 + \sqrt 5 ) \right) ) = ( - \left((1 - 3\sqrt 5 + 15 - 5\sqrt 5 ) \o'ng) + \left((1 - 2\sqrt 5 + 5) \right) + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 16 + 8\sqrt 5 + 6 - 2\sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 ) = ( - 9 + 5\sqrt 5 \taxminan 2.18. ) \] In xuddi shu tarzda grafikning ordinata o'qi bilan kesishish nuqtalarini topamiz: \[ (x\left(t \right) = (t^3) + (t^2) - t = 0,)\;\; (\O'ng strelka t\chap(((t^2) + t - 1) \o'ng) = 0;) \]

\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\O'ng strelka D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \o'ng) = 5,)\;\; (\ O'ng strelka (t_(2,3)) = \katta\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normal o'lcham.) \)

\ \[ (y\left(((t_2)) \o'ng) = y\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \o'ng) ) = ((\left((\) frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right)^3) + 2(\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right)^2) - 4\left((\frac(( - 1 - \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ( - \frac(1)(8)\left((1 + 3\sqrt 5 + 15 +) 5\sqrt 5 ) \right) + \frac(1)(2)\left((1 + 2\sqrt 5 + 5) \o'ng) + 2\left((1 + \sqrt 5 ) \o'ng) ) = ( - \bekor qilish(2) - \bekor qilish(\sqrt 5) + 3 + \bekor qilish(\sqrt 5) + \bekor qilish(2) + 2\sqrt 5 ) = (3 + 2\sqrt 5 \taxminan 7,47 ;) \] \[ (y\left(((t_3)) \o'ng) = y\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \o'ng) ) = ((\left (() \frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \o'ng)^3) + 2(\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \o'ng) ^2 ) - 4\left((\frac(( - 1 + \sqrt 5 ))(2)) \right) ) = ( - \frac(1)(8)\left((1 - 3\sqrt 5 + 15) - 5\sqrt 5 ) \right) + \frac(1)(2)\left((1 - 2\sqrt 5 + 5) \right) + 2\left((1 - \sqrt 5 ) \right ) ) = ( - \bekor qilish(2) + \bekor qilish(\sqrt 5) + 3 - \bekor qilish(\sqrt 5) + \bekor qilish(2) - 2\sqrt 5 ) = (3 - 2\sqrt 5 \taxminan - 1,47 .) \] \(t\) o'qini \(5\) intervallarga bo'ling: \[ (\left(( - \infty , - 2) \right),)\;\; (\left(( - 2, - 1) \o'ng),)\;\; (\left(( - 1,\frac(1)(3)) \o'ng),)\;\; (\left((\frac(1)(3),\frac(2)(3)) \o'ng),)\;\; (\left((\frac(2)(3), + \infty ) \right).) \] Birinchi intervalda \(\left((- \infty , - 2) \right)\) qiymatlar \(x \) va \(y\) \(-\infty\) dan \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) va \(y\left(( - 2)) gacha oshadi. \o'ng) = 8.\) Bu sxematik tarzda \(15b.\) rasmda ko'rsatilgan.

Ikkinchi intervalda \(\left(( - 2, - 1) \right)\) o'zgaruvchisi \(x\) \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) dan \ ga oshadi. (x \left(( - 1) \right) = 1,\) va \(y\) o'zgaruvchisi \(y\left(( - 2) \right) = 8\) dan \(y\left) ga kamayadi (( - 1) \right) = 5.\) Bu erda bizda kamayib boruvchi egri chiziqning kesimi mavjud \(y\left(x \right).\) U ordinata o'qini \(\left((0,3) nuqtada kesib o'tadi. + 2\sqrt 5 ) \o'ng).\)

Uchinchi intervalda \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) ikkala o'zgaruvchi ham kamayadi. \(x\) qiymati \(x\left(( - 1) \right) = 1\) dan \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right ga oʻzgaradi ) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) Shunga ko'ra, \(y\) qiymati \(y\left(( - 1) \right) = 5\) gacha kamayadi. \(y\ chap((\lage\frac(1)(3)\normalsize) \o'ng) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Egri chiziq \(y\chap(x) \right)\ ) koordinatalarning kelib chiqishini kesib o'tadi.

To'rtinchi intervalda \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \o'ng)\) o'zgaruvchisi \(x\) dan ortadi. \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \o'ng) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) dan \(x\left((\) large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \lige\frac(2)((27))\normalsize,\) va \(y\) o'zgaruvchisi \(y\left(() dan kamayadi. \large\ frac(1)(3)\normalsize) \o'ng) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) dan \(y\left((\large\frac(2))( 3)\ normal o'lcham) \o'ng) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) Ushbu bo'limda egri chiziq \(y\left(x \right)\) ordinata o'qini kesishadi. nuqta \(\chap( (0,3 - 2\sqrt 5 ) \o'ng).\)

Nihoyat, oxirgi intervalda \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) ikkala funksiya \(x\left(t \o'ng)\), \ ( y\left(t \o'ng)\) oshirish. \(y\left(x \o'ng)\) egri chiziq x o'qini \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \taxminan 2,18.\) nuqtada kesib o'tadi.

\(y\left(x \o'ng)\) egri chizig'ining shaklini aniqlashtirish uchun maksimal va minimal nuqtalarni hisoblaymiz. \(y"\left(x \right)\) hosilasi \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) shaklida ifodalanadi. ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \o'ng))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \o'ng)\left((t - \frac(2)(3)) \ o'ng)))((\cancel(3)\left((t + 1) \o'ng)\left((t - \frac(1)(3)) \o'ng))) ) = (\frac(() \ chap((t + 2) \o'ng)\left((t - \frac(2)(3)) \o'ng)))(\left((t + 1) \o'ng)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] \(y"\left(x \right)\) hosilasi belgisining o'zgarishi \(15c.\) rasmda ko'rsatilgan. ko'rinib turibdiki, \(t = - 2,\) nuqtada ya'ni. \(I\)-chi va \(II\)-chi oraliqlar chegarasida egri chiziq maksimalga ega va \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) da (da \(IV\)-chi va \(V\)-chi oraliqlarning chegarasi) minimal mavjud. \(t = \katta\frac(1)(3)\normalsize\) nuqtadan oʻtayotganda hosila ham ishorasini plyusdan minusga oʻzgartiradi, lekin bu mintaqada egri chiziq \(y\left(x \right) \) yagona funksiya emas. Shuning uchun ko'rsatilgan nuqta ekstremum emas.

Biz bu egri chiziqning qavariqligini ham tekshiramiz. Ikkinchi hosila\(y""\left(x \o'ng)\) quyidagi shaklga ega: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac(((\left() ( (y"_x)) \o'ng))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \o'ng))^\prime )))((((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ o'ng ))^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \o'ng)\left((3(t^2) + 2t - 1) \o'ng) - \left((3() t ^2) + 4t - 4) \o'ng)\left((6t + 2) \o'ng))))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \o'ng))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^) 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \o‘ng)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \o‘ng))^3))) = \ frac((\cancel(\rang(koʻk))(18(t^3))) + \rang(qizil)(24(t^2)) + \rang(yashil)(2t) - \rang(toʻq qizil) ( 4) - \cancel(\rang(ko'k)(18(t^3))) - \rang(qizil)(30(t^2)) + \rang(yashil)(16t) + \rang(to'q qizil) ( 8)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \o'ng))^3))) = \frac(( - \rang(qizil)(6(t^2) ) ) + \color(yashil)(18t) + \color(maroon)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \o'ng))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \o'ng)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105)) ) )(6)) \o'ng)))((((\left((t + 1) \o'ng))^3)((\left((3t - 1) \o'ng))^3))). \] Demak, ikkinchi hosila quyidagi nuqtalardan oʻtganda oʻz belgisini teskari tomonga oʻzgartiradi (\(15s\)-rasm): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1) ) \right ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \o'ng) \taxminan 0,24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \o'ng) \taxminan 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \o'ng) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \o'ng) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \) sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \o'ng) \taxminan 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \taxminan 40.8.) \] Shuning uchun koʻrsatilgan nuqtalar egri chiziqning burilish nuqtalarini ifodalaydi \(y\left() x \o'ng).\)

\(y\left(x \o'ng)\) egri chizig'ining sxematik grafigi yuqorida \(15b.\) rasmda ko'rsatilgan.