To'liq differentsial. To'liq differentsialning geometrik ma'nosi. Tangens tekislik va sirtga normal. Umumiy o'sish va to'liq differentsial masalalarni yechish misollari

BIR NECHAR OʻZGANCHILIKLAR FUNKSIYALARINING DIFFERENTIAL HISOBI.

Asosiy tushunchalar va ta'riflar.

Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalarini ko'rib chiqayotganda, biz o'zimizni cheklaymiz batafsil tavsif ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari, chunki olingan barcha natijalar o'zgaruvchilarning ixtiyoriy sonining funktsiyalari uchun haqiqiy bo'ladi.

Agar ma'lum bir to'plamdan bir-biridan mustaqil bo'lgan har bir juft son (x, y) qandaydir qoidaga ko'ra, z o'zgaruvchining bir yoki bir nechta qiymatlari bilan bog'langan bo'lsa, u holda z o'zgaruvchisi deyiladi. ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi.

Agar juft sonlar (x, y) bitta z qiymatiga mos kelsa, u holda funksiya chaqiriladi aniq, va agar bir nechta bo'lsa, unda - polisemantik.

Ta'rif sohasi z funksiyasi z funksiyasi mavjud bo‘lgan juftliklar (x, y) to‘plamidir.

Bir nuqtaning qo'shnisi r radiusli M 0 (x 0, y 0) shartni qanoatlantiradigan barcha nuqtalar (x, y) to‘plamidir.

A raqami deyiladi chegara f(x, y) funksiyasi M(x, y) nuqta M 0 (x 0, y 0) nuqtaga intiladi, agar har bir e > 0 son uchun r > 0 soni mavjud bo‘lsa, har qanday M nuqta uchun (x, y), buning uchun shart rost

shart ham to'g'ri .

Yozing:

M 0 (x 0, y 0) nuqta f(x, y) funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli bo'lsin. Keyin z = f(x, y) funksiya chaqiriladi davomiy nuqtada M 0 (x 0, y 0), agar

(1)

M(x, y) nuqta esa M 0 (x 0, y 0) nuqtaga ixtiyoriy ravishda intiladi.

Agar biror nuqtada (1) shart bajarilmasa, bu nuqta deyiladi uzilish nuqtasi f(x, y) funktsiyalari. Bu quyidagi hollarda bo'lishi mumkin:

1) M 0 (x 0, y 0) nuqtada z = f(x, y) funksiya aniqlanmagan.

2) Hech qanday cheklov yo'q.

3) Bu chegara mavjud, lekin f(x 0 , y 0) ga teng emas.

Bir necha o'zgaruvchilarning uzluksizligi bilan bog'liq funktsiyalarning xossalari.

Mulk. Agar f(x, y, ...) funksiya yopiq va chegaralangan D sohada aniqlangan va uzluksiz bo'lsa, bu sohada kamida bitta nuqta mavjud.

N(x 0 , y 0 , …), shunday boʻlsinki, qolgan nuqtalar uchun tengsizlik toʻgʻri boʻlsin.

f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)

shuningdek, N 1 nuqta (x 01, y 01, ...), boshqa barcha nuqtalar uchun tengsizlik to'g'ri bo'ladi.

f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)

u holda f(x 0 , y 0 , …) = M – eng yuqori qiymat funktsiyalari va f(x 01 , y 01 , ...) = m – eng kichik qiymat D sohasida f(x, y, …) funktsiyalari.

Yopiq va chegaralangan D sohasida uzluksiz funksiya kamida bir marta yetadi eng yuqori qiymat va bir marta eng kichik.

Mulk. Agar f(x, y, …) funksiyasi D yopiq chegaralangan sohada aniqlangan va uzluksiz bo'lsa va M va m mos ravishda ushbu sohadagi funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari bo'lsa, u holda har qanday m O nuqtasi uchun nuqta bor

N 0 (x 0 , y 0 , …) f(x 0 , y 0 , …) = m bo‘lsin.

Oddiy qilib aytganda, uzluksiz funksiya D domenidagi hamma narsani oladi oraliq qiymatlar M va m orasida. Ushbu xususiyatning natijasi shuni ko'rsatishi mumkinki, agar M va m raqamlari har xil belgilarga ega bo'lsa, D sohasida funktsiya kamida bir marta yo'qoladi.

Mulk. F(x, y, …) funksiyasi yopiq chegaralangan D sohasida uzluksiz, cheklangan bu mintaqada, agar mintaqadagi barcha nuqtalar uchun tengsizlik to'g'ri bo'ladigan K soni mavjud bo'lsa .

Mulk. Agar f(x, y, …) funksiya aniqlangan va yopiq chegaralangan D sohada uzluksiz bo'lsa, u holda u bir xil uzluksiz bu sohada, ya'ni. har qanday musbat e soni uchun D > 0 soni mavjudki, D dan kichik masofada joylashgan mintaqaning har qanday ikkita nuqtasi (x 1, y 1) va (x 2, y 2) uchun tengsizlik amal qiladi.

2. Qisman hosilalar. Yuqori tartibli qisman hosilalar.

z = f(x, y) funksiya qaysidir sohada berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy M(x, y) nuqtani olib, x o‘zgaruvchiga Dx o‘sishini o‘rnatamiz. U holda D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) kattalik deyiladi. funksiyaning x dagi qisman o'sishi.

Siz yozib olishingiz mumkin

Keyin chaqiriladi qisman hosila x da z = f(x, y) funksiyalar.

Belgilash:

Funksiyaning y ga nisbatan qisman hosilasi ham xuddi shunday aniqlanadi.

Geometrik ma'no qisman hosila (aytaylik) N 0 nuqtada (x 0, y 0, z 0) chizilgan tangensning y = y 0 tekislik bilan sirt kesmasiga qiyalik burchagi tangensi.

Agar f(x, y) funksiya qaysidir D sohada aniqlansa, uning qisman hosilalari ham xuddi shu sohada yoki uning bir qismida aniqlanadi.

Biz bu hosilalarni chaqiramiz birinchi tartibli qisman hosilalar.

Bu funksiyalarning hosilalari bo'ladi ikkinchi tartibli qisman hosilalar.

Olingan tenglikni farqlashni davom ettirib, biz yuqori darajali qisman hosilalarni olamiz.

Shaklning qisman hosilalari va hokazo. chaqiriladi aralash hosilalar.

Teorema. Agar f(x, y) funksiya va uning qisman hosilalari M(x, y) nuqtada va unga yaqin joyda aniqlangan va uzluksiz bo‘lsa, quyidagi munosabat to‘g‘ri bo‘ladi:

Bular. yuqori tartibli qisman hosilalari farqlanish tartibiga bog'liq emas.

Yuqori tartibli differensiallar ham xuddi shunday aniqlanadi.

…………………

Bu erda n - hosilaning ramziy kuchi, uning o'rniga qavs ichidagi ifoda ko'tarilgandan so'ng haqiqiy kuch bilan almashtiriladi.

To'liq differentsial. To'liq differentsialning geometrik ma'nosi. Tangens tekislik va sirtga normal.

ifoda deyiladi to'liq o'sish f(x, y) funksiyalari bir nuqtada (x, y), bunda a 1 va 2 mos ravishda Dx ® 0 va Du ® 0 uchun cheksiz kichik funksiyalardir.

To'liq differentsial z = f(x, y) funksiya Dz funksiyaning (x, y) nuqtadagi ortishining Dx va Du ga nisbatan bosh chiziqli qismi deyiladi.

Ixtiyoriy sonli oʻzgaruvchilar funksiyasi uchun:

3.1-misol. Funksiyaning to‘liq differentsialini toping.

Ikki o‘zgaruvchili f(x, y) funksiyaning (x 0, y 0) nuqtadagi to‘liq differensialligining geometrik ma’nosi teginish tekisligining qo‘llanilishi (z koordinatalari) dan harakatlanayotganda sirtga o‘sishdir. nuqta (x 0, y 0) nuqtaga (x 0 + Dx, u 0 +Du).

Yuqori tartibli qisman hosilalar. : Agar f(x, y) funksiya qaysidir D sohada aniqlansa, uning qisman hosilalari ham xuddi shu sohada yoki uning bir qismida aniqlanadi. Bu hosilalarni birinchi tartibli qisman hosilalar deb ataymiz.

Bu funksiyalarning hosilalari ikkinchi tartibli qisman hosilalar bo'ladi.

Olingan tenglikni farqlashni davom ettirib, biz yuqori darajali qisman hosilalarni olamiz. Ta'rif. Shaklning qisman hosilalari va hokazo. aralash hosilalar deyiladi. Shvarts teoremasi:

Agar yuqori tartibli qisman hosilalar f.m.p. uzluksiz bo'lsa, u holda bir xil tartibdagi aralash hosilalar faqat bir-biridan = farqlanish tartibida farqlanadi.

Bu erda n - hosilaning ramziy kuchi, uning o'rniga qavs ichidagi ifoda ko'tarilgandan so'ng haqiqiy kuch bilan almashtiriladi.

14. Tangens tekislik va sirt normal tenglamasi!

N va N 0 bu sirtning nuqtalari bo'lsin. NN 0 to‘g‘ri chiziq chizamiz. N 0 nuqtadan o'tuvchi tekislik deyiladi tangens tekisligi sirtga, agar NN 0 sekant va bu tekislik orasidagi burchak nolga moyil bo'lsa, masofa NN 0 nolga moyil bo'lganda.

Ta'rif. Oddiy N 0 nuqtadagi sirtga N 0 nuqtadan bu sirtga teginish tekisligiga perpendikulyar o'tadigan to'g'ri chiziq.

Har qanday nuqtada sirt faqat bitta teginish tekisligiga ega yoki umuman yo'q.

Agar sirt z = f(x, y) tenglama bilan berilgan bo’lsa, bu erda f(x, y) M 0 (x 0, y 0) nuqtada differentsiallanuvchi funktsiyadir. tangens tekisligi N 0 nuqtada (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) mavjud va tenglamaga ega:

Bu nuqtadagi normalning sirtga tenglamasi:

Geometrik ma'no(x 0, y 0) nuqtadagi ikkita o‘zgaruvchili f(x, y) funksiyaning to‘liq differentsiali, (x 0) nuqtadan harakatlanayotganda teginish tekisligining qo‘llanilishi (z koordinatalari)ning sirtga o‘sishidir. , y 0) nuqtaga (x 0 + Dx, y 0 +Du).

Ko'rinib turganidek, geometrik ma'no Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning to'liq differensialligi bir o'zgaruvchining funksiyasi differentsialining geometrik ma'nosining fazoviy analogidir.

16. Skalyar maydon va uning xarakteristikasi.Skalar maydonning sath chiziqlari, yoʻnalishi boʻyicha hosilalari, gradienti.

Agar fazodagi har bir nuqta skalyar miqdor bilan bog'langan bo'lsa, u holda skaler maydon paydo bo'ladi (masalan, harorat maydoni, maydon). elektr potentsiali). Kiritilgan bo'lsa Dekart koordinatalari, keyin biz ham yoki belgilaymiz Maydon markaziy bo'lsa, tekis bo'lishi mumkin (sferik) agar silindrsimon bo'lsa

Darajali yuzalar va chiziqlar: Skalyar maydonlarning xossalari tekis sirtlar yordamida vizual tarzda o'rganilishi mumkin. Bular kosmosdagi yuzalardir doimiy qiymat. Ularning tenglamasi: . Yassi skalyar maydonda sath chiziqlari egri chiziqlar bo'lib, ularda maydon doimiy qiymatni oladi: Ba'zi hollarda tekislik chiziqlari nuqtalarga, tekislangan sirtlar esa nuqta va egri chiziqlarga aylanishi mumkin.

Skalar maydonning yo‘nalishli hosilasi va gradienti:

Koordinatali birlik vektor skalyar maydon bo'lsin. Yo'nalish hosilasi ma'lum yo'nalishdagi maydonning o'zgarishini tavsiflaydi va formuladan foydalanib hisoblanadi Yo'nalishli hosila vektor va koordinatali vektorning skalyar mahsulotidir. , bu funktsiyaning gradienti deb ataladi va .Bundan buyon , bu erda va orasidagi burchak, keyin vektor maydondagi eng tez o'sish yo'nalishini ko'rsatadi va uning moduli bu yo'nalishdagi hosilaga teng. Gradientning tarkibiy qismlari qisman hosilalar bo'lganligi sababli, gradientning quyidagi xususiyatlarini olish qiyin emas:

17. F.m.p.ning ekstremmasi F.m.p.ning mahalliy ekstremumi, uning mavjudligi uchun zarur va etarli shart-sharoitlar. f.m.p.ning eng katta va eng kichik qiymati. cheklangan yopiq maydon.

z = ƒ(x;y) funksiya qandaydir D sohada aniqlansin, N(x0;y0) nuqta.

(x0;y0) nuqta z=ƒ(x;y) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar (x0;y0) nuqtaning har bir (x;y) nuqtasi uchun dan farq qiladigan d-qo’shnisi mavjud bo’lsa. (xo;yo), bu qo‘shnilikdan ƒ(x;y) tengsizlik o‘rinli<ƒ(хо;уо). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(x0;y0). Funksiyaning maksimal (minimal) nuqtasidagi qiymati funksiyaning maksimal (minimal) qiymati deyiladi. Funksiyaning maksimal va minimumi uning ekstremasi deyiladi. E'tibor bering, ta'rifga ko'ra, funktsiyaning ekstremum nuqtasi funktsiyani aniqlash sohasi ichida joylashgan; maksimal va minimal mahalliy (mahalliy) xarakterga ega: (x0; y0) nuqtadagi funktsiyaning qiymati (x0; y0) ga etarlicha yaqin nuqtalardagi qiymatlari bilan taqqoslanadi. D hududida funktsiya bir nechta ekstremallarga ega bo'lishi mumkin yoki hech biri bo'lmasligi mumkin.

Mavjud bo'lish uchun zarur (1) va etarli (2) shartlar:

(1) Agar N(x0;y0) nuqtada z=ƒ(x;y) differentsiallanuvchi funksiya ekstremumga ega bo’lsa, uning bu nuqtadagi qisman hosilalari nolga teng: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0. Izoh. Funktsiya qisman hosilalardan kamida bittasi mavjud bo'lmagan nuqtalarda ekstremumga ega bo'lishi mumkin. z ≈ ƒ(x; y) funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng, ya’ni f"x=0, f"y=0 nuqta z funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi.

Statsionar nuqtalar va kamida bitta qisman hosilasi mavjud bo'lmagan nuqtalar tanqidiy nuqtalar deb ataladi

(2) Harakatsiz nuqtadagi (xo; y) ƒ(x;y) funksiya va uning ba’zi qo‘shnilari ikkinchi tartibligacha uzluksiz qisman hosilalarga ega bo‘lsin. (x0;y0) nuqtada A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) qiymatlarini hisoblaymiz. . belgilaylik Keyin:

1. agar D > 0 bo‘lsa, (x0;y0) nuqtadagi ƒ(x;y) funksiya ekstremumga ega: maksimal agar A bo‘lsa.< 0; минимум, если А > 0;

2. agar D< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

3. D = 0 bo'lganda (x0;y0) nuqtada ekstremum bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Ko'proq tadqiqot kerak.

Tangens tekislik va sirtga normal.

tangens tekisligi

Ta'rif. Oddiy N 0 nuqtadagi sirtga N 0 nuqtadan bu sirtga teginish tekisligiga perpendikulyar o'tadigan to'g'ri chiziq.

Har qanday nuqtada sirt faqat bitta teginish tekisligiga ega yoki umuman yo'q.

Agar sirt z = f(x, y) tenglama bilan berilgan bo’lsa, bu yerda f(x, y) M 0 (x 0, y 0) nuqtada differentsiallanuvchi funksiya bo’lsa, N 0 nuqtadagi teginish tekisligi ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) mavjud va tenglamaga ega:

Bu nuqtadagi normalning sirt tenglamasi:

Ko'rib turganingizdek, ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning to'liq differentsialining geometrik ma'nosi bir o'zgaruvchining funksiyasi differentsialining geometrik ma'nosining fazoviy analogidir.

Misol. Tangens tekislik va sirtga normal tenglamalarni toping

M(1, 1, 1) nuqtada.

Tangens tekislik tenglamasi:

Oddiy tenglama:

20.4. Jami differensiallar yordamida taxminiy hisob-kitoblar.

f(x, y) funksiya (x, y) nuqtada differentsiallanuvchi bo'lsin. Ushbu funktsiyaning umumiy o'sishini topamiz:

Bu formulaga ifodani almashtirsak

keyin taxminiy formulani olamiz:

Misol. X = 1, y = 2, z = 1 bo'lgan funktsiya qiymatiga asoslanib, taxminan qiymatni hisoblang.

Berilgan ifodadan x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01 ni aniqlaymiz,

z = 1,02 – 1 = 0,02.

u(x, y, z) = funksiyaning qiymati topilsin

Qisman hosilalarni topish:

u funktsiyaning to'liq differentsiali quyidagilarga teng:

Bu ifodaning aniq qiymati 1,049275225687319176.

20.5. Yuqori tartibli qisman hosilalar.

Agar f(x, y) funksiya qaysidir D sohada aniqlansa, uning qisman hosilalari ham xuddi shu sohada yoki uning bir qismida aniqlanadi.

Biz bu hosilalarni chaqiramiz birinchi tartibli qisman hosilalar.

Bu funksiyalarning hosilalari bo'ladi ikkinchi tartibli qisman hosilalar.

Olingan tenglikni farqlashni davom ettirib, biz yuqori darajali qisman hosilalarni olamiz.

Ta'rif. Shaklning qisman hosilalari va hokazo. chaqiriladi aralash hosilalar.

Teorema. Agar f(x, y) funksiya va uning qisman hosilalari M(x, y) nuqtada va unga yaqin joyda aniqlangan va uzluksiz bo‘lsa, quyidagi munosabat to‘g‘ri bo‘ladi:

Bular. yuqori tartibli qisman hosilalari farqlanish tartibiga bog'liq emas.

Yuqori tartibli differensiallar ham xuddi shunday aniqlanadi.

…………………

Bu erda n - hosilaning ramziy kuchi, uning o'rniga qavs ichidagi ifoda ko'tarilgandan so'ng haqiqiy kuch bilan almashtiriladi.

Bitta o'zgaruvchining funksiyasi uchun y = f(x) nuqtada x 0 differensialning geometrik ma'nosi funksiya grafigiga abscissa bilan nuqtada chizilgan tangens ordinatasining o'sishini bildiradi. x 0 bir nuqtaga o'tayotganda x 0 +  x. Ikki o'zgaruvchining funksiyasining bu boradagi differensialligi esa o'sishdir barmoqlar tangens samolyot tenglama bilan berilgan sirtga chizilgan z = f(x, y) , nuqtada M 0 (x 0 , y 0 ) bir nuqtaga o'tayotganda M(x 0 +  x, y 0 +  y). Keling, ma'lum bir sirtga teginish tekisligini aniqlaymiz:

Df . Bir nuqtadan o'tuvchi samolyot R 0 yuzalar S, chaqirildi tangens tekisligi berilgan nuqtada, agar bu tekislik va ikki nuqtadan o'tuvchi sekant orasidagi burchak bo'lsa R 0 Va R(sirtdagi istalgan nuqta S) , nuqta bo'lganda nolga intiladi R bu sirt bo'ylab bir nuqtaga intiladi R 0 .

Sirtga ruxsat bering S tenglama bilan berilgan z = f(x, y). Keyin bu sirt nuqtada borligini ko'rsatish mumkin P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) tangens tekislik, agar va faqat funksiya bo'lsa z = f(x, y) bu vaqtda farqlanadi. Bunday holda, tangens tekislik tenglama bilan berilgan:

z – z 0 = +
(6).

§5. Funktsiyaning yo'nalishli hosilasi, gradienti.

Qisman hosila funksiyalar y= f(x 1 , x 2 .. x n ) o'zgaruvchilar bo'yicha x 1 , x 2 . . . x n funktsiyaning koordinata o'qlari yo'nalishi bo'yicha o'zgarish tezligini ifodalang. Masalan, tomonidan funktsiyaning o'zgarish tezligi X 1 – ya’ni funksiyaning aniqlanish sohasiga mansub nuqta faqat o‘qga parallel harakat qiladi, deb faraz qilinadi. OH 1 , va boshqa barcha koordinatalar o'zgarishsiz qoladi. Shu bilan birga, funktsiya o'qlarning birortasi yo'nalishiga to'g'ri kelmaydigan boshqa yo'nalishda ham o'zgarishi mumkin deb taxmin qilish mumkin.

Uch o'zgaruvchidan iborat funktsiyani ko'rib chiqing: u= f(x, y, z).

Keling, nuqtani aniqlaylik M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) va ba'zi bir yo'naltirilgan to'g'ri chiziq (o'q) l, bu nuqtadan o'tish. Mayli M(x, y, z) - bu chiziqning ixtiyoriy nuqtasi va M 0 M- masofa M 0 oldin M.

u = f (x, y, z) – f(x 0 , y 0 , z 0 ) - funktsiyani bir nuqtada oshirish M 0 .

Funksiya o‘sishning vektor uzunligiga nisbati topilsin
:

Df . Funktsiyaning hosilasi u = f (x, y, z) tomon l nuqtada M 0 funktsiya o'sishining vektor uzunligiga nisbatining chegarasi deyiladi M 0 M chunki ikkinchisi 0 ga intiladi (yoki bu bir xil narsa, bilan M Kimga M 0 ):

(1)

Bu hosila nuqtadagi funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflaydi M 0 yo'nalishda l.

Eksa bo'lsin l (vektor M 0 M) o'qlari bilan shakllar OX, OY, O.Z burchaklar
mos ravishda.

x-x 0 = ni belgilaymiz
;

y - y 0 =
;

z - z 0 =
.

Keyin vektor M 0 M = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 )=
va uning yo'nalishi kosinuslari:

;

(4).

(4) - yo'nalishli hosilani hisoblash formulasi.

Koordinatalari funktsiyaning qisman hosilalari bo'lgan vektorni ko'rib chiqaylik u= f(x, y, z) nuqtada M 0 :

grad u - funksiya gradienti u= f(x, y, z) nuqtada M(x, y, z)

Gradient xususiyatlari:

Xulosa: funktsiya gradient uzunligi u= f(x, y, z) - eng mumkin bo'lgan qiymat ayni paytda M(x, y, z) , va vektorning yo'nalishi grad u nuqtadan chiqayotgan vektor yo‘nalishiga to‘g‘ri keladi M, bunda funktsiya eng tez o'zgaradi. Ya'ni, funksiya gradientining yo'nalishi grad u - funksiyaning eng tez o'sish yo'nalishi.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Aytishlaricha, $f$ bor mahalliy maksimal$x_(0) \E$ nuqtasida, agar $x_(0)$ nuqtaning $U$ qo'shnisi bo'lsa, shundayki hamma $x \da U$da $f\chap (x\o'ng) tengsizlik bo'ladi. ) \leqslant f qanoatlantirildi \left(x_(0)\right)$.

Mahalliy maksimal deyiladi qattiq , agar $U$ mahallasi $x_(0)$ dan farq qiladigan $x \in U$ uchun $f\left(x\o'ng) bo'lishi uchun tanlanishi mumkin bo'lsa.< f\left(x_{0}\right)$.

Ta'rif
$E \subset \mathbb(R)^(n)$ ochiq to'plamda $f$ haqiqiy funksiya bo'lsin. Aytishlaricha, $f$ bor mahalliy minimal$x_(0) \E$ nuqtasida, agar $x_(0)$ nuqtaning $U$ qo'shnisi bo'lsa, shundayki $f\left(x\right) \geqslant f tengsizlik barcha $ uchun amal qiladi. x \in U$ \left(x_(0)\right)$.

Agar $U$ qoʻshnisi $x_(0)$ dan farq qiladigan $x \in U$ uchun $f\left(x\right) > f\left(x_) boʻlishi uchun tanlanishi mumkin boʻlsa, mahalliy minimum qattiq deb ataladi. ( 0)\o'ng)$.

Mahalliy ekstremum mahalliy minimal va mahalliy maksimal tushunchalarini birlashtiradi.

teorema ( zarur shart differensiallanuvchi funktsiyaning ekstremumi)
$E \subset \mathbb(R)^(n)$ ochiq to'plamda $f$ haqiqiy funksiya bo'lsin. Agar $x_(0) \E$ nuqtasida $f$ funksiyasi shu nuqtada lokal ekstremumga ega bo'lsa, $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Nolga teng differentsial hamma nolga teng ekanligiga teng, ya'ni. $$\displaystyle\frac(\qisman f)(\qisman x_(i))\chap(x_(0)\o'ng)=0.$$

Bir o'lchovli holatda bu -. $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ belgilaymiz, bunda $h$ ixtiyoriy vektor. $\phi$ funktsiyasi mutlaq qiymatda etarlicha kichik bo'lgan $t$ qiymatlari uchun aniqlanadi. Bundan tashqari, , va $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$ ga nisbatan farqlanadi.
$f$ x $0$ nuqtasida mahalliy maksimal bo'lsin. Demak, $t = 0$ da $\phi$ funksiyasi lokal maksimalga ega va Ferma teoremasi boʻyicha $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Shunday qilib, biz $df \left(x_(0)\right) = 0$ ni oldik, ya'ni. $x_(0)$ nuqtadagi $f$ funksiyasi har qanday $h$ vektorida nolga teng.

Ta'rif
Differensial nolga teng bo'lgan nuqtalar, ya'ni. barcha qisman hosilalari nolga teng bo'lganlar statsionar deyiladi. Kritik nuqtalar$f$ funksiyalari $f$ farqlanmaydigan yoki nolga teng bo'lgan nuqtalardir. Agar nuqta statsionar bo'lsa, bundan funktsiyaning bu nuqtada ekstremum borligi kelib chiqmaydi.

1-misol.
$f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$ bo'lsin. Keyin $\displaystyle\frac(\qisman f)(\qisman x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\qisman f)(\qisman y) = 3 \cdot y^(2) )$, shuning uchun $\left(0,0\right)$ statsionar nuqtadir, lekin bu nuqtada funktsiyaning ekstremumi yo'q. Haqiqatan ham, $f \left(0,0\right) = 0$, lekin $\left(0,0\right)$ nuqtaning istalgan qo'shnisida funktsiya ham ijobiy, ham salbiy qiymatlarni qabul qilishini ko'rish oson.

2-misol.
$f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ funksiyaning kelib chiqishida statsionar nuqta bor, lekin bu nuqtada ekstremum yo‘qligi aniq.

teorema ( etarli shart ekstremum).
$F$ funksiyasi $E \subset \mathbb(R)^(n)$ ochiq to'plamda ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo'lsin. $x_(0) \da E$ statsionar nuqta va $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \ekviv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1) bo‘lsin. ) ^n \frac(\qisman^(2) f)(\qisman x_(i) \qisman x_(j)) \left(x_(0)\o'ng)h^(i)h^(j).$ $ Keyin

agar $Q_(x_(0))$ – bo‘lsa, $x_(0)$ nuqtadagi $f$ funksiyasi lokal ekstremumga ega bo‘ladi, ya’ni, agar shakl musbat aniqlangan bo‘lsa, minimumga, agar shakl bo‘lsa, maksimalga ega. salbiy aniqlik;
agar $Q_(x_(0))$ kvadrat shakli aniqlanmagan bo'lsa, $x_(0)$ nuqtadagi $f$ funksiyasi ekstremumga ega emas.

Kengayishni Teylor formulasiga muvofiq ishlatamiz (12,7 s. 292). $x_(0)$ nuqtadagi birinchi tartibli qisman hosilalar nolga teng ekanligini hisobga olsak, $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ ni olamiz. o'ng) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\qisman^(2) f)(\qisman x_(i) \qisman x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ bu yerda $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, va $h \rightarrow 0$ uchun $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ boʻlsa, oʻng tomoni yetarlicha kichik uzunlikdagi har qanday $h$ vektori uchun ijobiy boʻladi.
Shunday qilib, biz shunday xulosaga keldikki, $x_(0)$ nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ tengsizlik faqat $ bo'lganda amal qiladi. x \neq x_ (0)$ (biz $x=x_(0)+h$\o'ngga qo'yamiz). Demak, $x_(0)$ nuqtada funksiya qat’iy lokal minimumga ega va shu tariqa teoremamizning birinchi qismi isbotlangan.
Keling, $Q_(x_(0))$ noaniq shakl deb faraz qilaylik. Keyin $h_(1)$, $h_(2)$ vektorlari borki, $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \chap(h_(2)\o'ng)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Keyin $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) ni olamiz. \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\o'ng) \o'ng] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Etarlicha kichik $t>0$ uchun o'ng qo'l tomoni ijobiy. Bu shuni anglatadiki, $x_(0)$ nuqtaning istalgan qo'shnisida $f$ funktsiyasi $f \left(x\right)$ $f \left(x_(0)\right)$ dan katta qiymatlarni oladi.
Xuddi shunday, biz $x_(0)$ nuqtaning istalgan qo'shnisida $f$ funktsiyasi $f \left(x_(0)\right)$ dan kichik qiymatlarni olishini topamiz. Bu avvalgisi bilan birgalikda $x_(0)$ nuqtada $f$ funksiyasi ekstremumga ega emasligini bildiradi.

Keling, ko'rib chiqaylik maxsus holat$\left(x_(0),y_(0)\right)$ nuqtaning ma'lum qo'shnisida aniqlangan va uzluksiz qismga ega bo'lgan ikki o'zgaruvchining $f \left(x,y\right)$ funktsiyasi uchun ushbu teorema. bu mahallada birinchi va ikkinchi tartiblarning hosilalari. $\left(x_(0),y_(0)\right)$ statsionar nuqta deb faraz qiling va $$\displaystyle a_(11)= \frac(\qisman^(2) f)(\qisman x ^) ni belgilang. (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\o'ng), a_(12)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x \qisman y) \left(x_( 0) ), y_(0)\o'ng), a_(22)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman y^(2)) \chap(x_(0), y_(0)\o'ng ) .$$ U holda oldingi teorema quyidagi shaklni oladi.

Teorema
$\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$ boʻlsin. Keyin:

agar $\Delta>0$ boʻlsa, $f$ funksiyasi $\left(x_(0),y_(0)\right)$ nuqtada lokal ekstremumga ega, yaʼni $a_(11)> minimal boʻlsa. 0$ va maksimal, agar $a_(11)<0$;
agar $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Muammoni hal qilishga misollar

Ko'p o'zgaruvchilar funksiyasining ekstremumini topish algoritmi:

Statsionar nuqtalarni topish;
Barcha statsionar nuqtalarda 2-tartibli differentsialni toping
Ko'p o'zgaruvchilar funksiyasining ekstremumining etarli shartidan foydalanib, biz har bir statsionar nuqtada 2-tartibli differentsialni ko'rib chiqamiz.

Ekstremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ funksiyasini o‘rganing.
Yechim
1-tartibli qisman hosilalarni topamiz: $$\displaystyle \frac(\qisman f)(\qisman x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\qisman) f)(\qisman y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Tizimni tuzamiz va yechamiz: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\qisman f)(\qisman x) = 0\\\frac(\qisman f)(\qisman y)= 0\end(holatlar) \O'ng strelka \boshlash(holatlar)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(holatlar) \Oʻng tomon \begin(holatlar)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(holatlar)$$ 2-tenglamadan $x=4 \cdot y^(2)$ ifodalaymiz - uni 1-tenglamaga almashtiramiz: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Natijada 2 ta statsionar nuqta olinadi:
1) $y=0 \O'ng strelka x = 0, M_(1) = \left(0, 0\o'ng)$;
2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \O‘ng strelka y^(3)=\frac(1)(8) \O‘ng strelka y = \frac(1)(2) \O‘ng strelka x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\o'ng)$
Ekstremum uchun etarli shart qanoatlanganligini tekshirib ko'ramiz:
$$\displaystyle \frac(\qisman^(2) f)(\qisman x^(2))=6 \cdot x; \frac(\qisman^(2) f)(\qisman x \qisman y)=-6; \frac(\qisman^(2) f)(\qisman y^(2))=48 \cdot y$$
1) $M_(1)= \left(0,0\right)$ nuqtasi uchun:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x^(2)) \left(0,0\o'ng)=0; B_(1)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x \qisman y) \left(0,0\o'ng)=-6; C_(1)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman y^(2)) \left(0,0\o'ng)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) $M_(2)$ nuqtasi uchun:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\o'ng)=6; B_(2)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x \qisman y) \left(1,\frac(1)(2)\o'ng)=-6; C_(2)=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\o'ng)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, demak $M_(2)$ nuqtada ekstremum mavjud va $A_(2)> dan beri 0$, keyin bu minimal.
Javob: $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ nuqtasi $f$ funksiyasining minimal nuqtasidir.
$f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ ekstremum uchun funktsiyani o'rganing.
Yechim
Statsionar nuqtalarni topamiz: $$\displaystyle \frac(\qisman f)(\qisman x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\qisman f)(\qisman y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
Keling, tizimni tuzamiz va hal qilamiz: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\qisman f)(\qisman x)= 0\\\frac(\qisman f)(\qisman y)= 0\end(holatlar) ) \ O'ngga strelka \begin(holatlar)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(holatlar) \O'ng strelka \begin(holatlar) y = 2\\y + x = 1\end(holatlar) \O'ng strelka x = -1$$
$M_(0) \left(-1, 2\right)$ statsionar nuqtadir.
Ekstremum uchun yetarli shart bajarilganligini tekshiramiz: $$\displaystyle A=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman x \qisman y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\qisman^(2) f)(\qisman y^(2)) \left(-1,2\o'ng)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Javob: haddan tashqari holatlar yo'q.