Mavzu: Matematika kursining umumiy sharhi. Imtihonlarga tayyorgarlik

Dars: Funktsiyalar grafigini o'qish. Muammoni hal qilish B2

Bizning hayotimizda grafiklar juda tez-tez uchraydi, masalan, ba'zi ko'rsatkichlarning o'zgarishi grafigi shaklida taqdim etilgan ob-havo prognozini oling, masalan, vaqt o'tishi bilan harorat yoki shamol kuchi. Biz bu jadvalni o‘qiganimizda ikki marta o‘ylamaymiz, garchi bu jadvalni hayotimizda birinchi marta o‘qiyotgan bo‘lsak ham. Shuningdek, valyuta kurslarining vaqt o'tishi bilan o'zgarishi grafigiga va boshqa ko'plab misollarga misol keltirishingiz mumkin.

Shunday qilib, birinchi diagrammani ko'rib chiqamiz.

Guruch. 1. 1-chizmaning tasviri

Ko'rib turganingizdek, grafik 2 o'qga ega. O'ngga (gorizontal) qaratilgan o'q o'q deb ataladi . Yuqoriga (vertikal) qaratilgan o'q o'q deb ataladi .

Birinchidan, o'qni ko'rib chiqaylik. Ushbu grafikda ma'lum bir avtomobil dvigatelining daqiqasiga aylanishlar soni ushbu o'q bo'ylab chizilgan. Bu teng bo'lishi mumkin va hokazo.Bu o'qda bo'linishlar ham mavjud, ularning ba'zilari raqamlar bilan ko'rsatilgan, ularning ba'zilari oraliq va ko'rsatilmagan. Noldan birinchi bo'linish , uchinchisi va hokazo ekanligini taxmin qilish oson.

Endi o'qni ko'rib chiqaylik. Ushbu grafikda ushbu o'q bo'ylab chizilgan raqamli qiymatlar Metr uchun Nyuton qiymatlari (), teng bo'lgan moment qiymatlari va boshqalar. Bu holda, bo'linish narxi ga teng bo'ladi.

Endi funksiyaning o'ziga (grafikda keltirilgan qatorga) murojaat qilaylik. Ko'rib turganingizdek, bu chiziq har bir metr uchun qancha Nyutonni, ya'ni daqiqada ma'lum bir vosita tezligida qanday moment bo'lishini aks ettiradi. Agar biz 1000 rpm qiymatini olsak. va grafikning shu nuqtasidan biz chapga o'tamiz, chiziqning 20-nuqtadan o'tishini ko'ramiz, ya'ni 1000 aylanish tezligida momentning qiymati teng bo'ladi (2.2-rasm).

Agar biz 2000 rpm qiymatini olsak, u holda chiziq allaqachon nuqtadan o'tadi (2.2-rasm).

Guruch. 2. Bir daqiqada aylanishlar soni bo'yicha momentni aniqlash

Endi tasavvur qiling-a, bizning vazifamiz ushbu grafikdan eng katta qiymatni topishdir. Biz eng ko'p qidiramiz yuqori nuqta(), shunga ko'ra, ushbu grafikdagi momentning eng past qiymati 0 deb hisoblanadi. Grafikdan funktsiyaning eng yuqori qiymatini topish uchun siz eng ko'p hisobga olishingiz kerak. katta ahamiyatga ega, bu funksiya vertikal o'q bo'ylab etib boradi. Biz qaysi qiymat eng yuqori ekanligini ko'rib chiqamiz va vertikal o'q bo'ylab erishilgan eng yuqori raqam qancha bo'lishini ko'rib chiqamiz. Agar biz eng kichik qiymat haqida gapiradigan bo'lsak, unda biz, aksincha, eng past nuqtani olamiz va uning qiymatiga vertikal o'q bo'ylab qaraymiz.

Guruch. 3. Grafik bo'yicha funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymati

Bu holatda eng katta qiymat , va eng kichik qiymat, mos ravishda, 0. Maksimal qiymatni chalkashtirmaslik va to'g'ri ko'rsatish muhim, ba'zilari 4000 rpm maksimal qiymatini ko'rsatadi, bu maksimal qiymat emas, balki nuqta bunda maksimal qiymat olinadi (maksimal nuqta), eng katta qiymat aynan .

Shuningdek, siz vertikal o'qga, uning o'lchov birliklariga e'tibor berishingiz kerak, ya'ni, masalan, agar metr uchun Nyuton o'rniga () metrga yuzlab Nyuton () ko'rsatilgan bo'lsa, maksimal qiymatni yuzga ko'paytirish kerak bo'ladi. , va boshqalar.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari funktsiyaning hosilasi bilan chambarchas bog'liq.

Agar funktsiya ko'rib chiqilayotgan segmentda oshsa, u holda ushbu segmentdagi funktsiyaning hosilasi musbat yoki chekli nuqtalarda nolga teng bo'ladi, ko'pincha u shunchaki ijobiy bo'ladi. Xuddi shunday, agar funktsiya ko'rib chiqilayotgan segmentda kamaysa, u holda bu segmentdagi funktsiyaning hosilasi manfiy yoki cheklangan nuqtalarda nolga teng bo'ladi. Ikkala holatda ham qarama-qarshilik to'g'ri.

Quyidagi misolda gorizontal o'q cheklovi tufayli ba'zi qiyinchiliklar mavjud. Belgilangan segment bo'yicha eng katta va eng kichik qiymatni topish kerak.

Grafikda vaqt o'tishi bilan haroratning o'zgarishi ko'rsatilgan. Gorizontal o'qda biz vaqt va kunlarni, vertikal o'qda esa haroratni ko'ramiz. 22 yanvar kuni eng yuqori havo haroratini aniqlash kerak, ya'ni biz butun grafikni emas, balki 22 yanvarga tegishli qismini, ya'ni 22 yanvar soat 00:00 dan 23 yanvar soat 00:00 gacha bo'lgan qismini hisobga olishimiz kerak.

Guruch. 4. Haroratning o'zgarishi grafigi

Grafikni cheklash orqali biz uchun maksimal harorat nuqtaga to'g'ri kelishi ayon bo'ladi.

Uch kun davomida haroratning o'zgarishi grafigi berilgan. Ho'kiz o'qida - kun va oyning vaqti, oy o'qida - Selsiy bo'yicha havo harorati.

Biz butun jadvalni emas, balki 13 iyulga tegishli qismini, ya'ni 13 iyul soat 00:00 dan 14 iyul 00:00 gacha bo'lgan qismini hisobga olishimiz kerak.

Guruch. 5. Qo'shimcha misol uchun rasm

Agar siz yuqorida tavsiflangan cheklovlarni kiritmasangiz, siz noto'g'ri javob olishingiz mumkin, ammo berilgan oraliqda maksimal qiymat aniq: , va u 13 iyul kuni soat 12:00 da erishiladi.

3-misol: birinchi marta qaysi sanada besh millimetr yomg'ir yog'ganini aniqlang:

Grafikda 1909 yil 3 fevraldan 15 fevralgacha Qozondagi kunlik yog'ingarchilik ko'rsatilgan. Oy kunlari gorizontal ravishda, yog'ingarchilik miqdori esa millimetrda vertikal ravishda ko'rsatiladi.

Guruch. 6. Kunlik yog'ingarchilik

Keling, tartibda boshlaylik. 3-da, biz 0 dan bir oz ko'proq tushganini ko'ramiz, lekin 1 mm dan kam. yog'ingarchilik, 4 mm yog'ingarchilik 4-da tushdi va hokazo. 5 raqami birinchi marta 11-kuni paydo bo'ladi. Qulaylik uchun siz deyarli beshlikka qarama-qarshi to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin; u birinchi marta 11 fevralda jadvalni kesib o'tadi, bu to'g'ri javob.

4-misol: oltin untsiyasining narxi qaysi sanada eng past bo'lganini aniqlang

Grafikda 1996-yil 5-martdan 28-martgacha boʻlgan har bir kun uchun birja savdolari yopilishidagi oltin narxi koʻrsatilgan. Oy kunlari gorizontal, vertikal ravishda ko'rsatiladi,

shunga ko'ra, oltin untsiyasining AQSh dollaridagi narxi.

Nuqtalar orasidagi chiziqlar faqat aniqlik uchun chizilgan; ma'lumotlar faqat nuqtalarning o'zlari tomonidan olib boriladi.

Guruch. 7. Birjada oltin narxining o'zgarishlar grafigi

Qo'shimcha misol: segmentning qaysi nuqtasida funksiya eng katta qiymatni olishini aniqlang:

Muayyan funktsiyaning hosilasi grafikda berilgan.

Guruch. 8. Qo'shimcha misol uchun rasm

Hosil oraliqda aniqlanadi

Ko'rib turganingizdek, berilgan segmentdagi funksiyaning hosilasi manfiy va chap chegara nuqtasida nolga teng. Ma'lumki, agar funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lsa, ko'rib chiqilayotgan oraliqdagi funktsiya kamayadi, shuning uchun bizning funktsiyamiz ko'rib chiqilayotgan butun intervalda kamayadi, bu holda u eng chap chegarada eng katta qiymatni oladi. Javob: davr.

Shunday qilib, biz funktsiya grafigi tushunchasini ko'rib chiqdik, grafikdagi o'qlar nima ekanligini, grafikdan funktsiya qiymatini qanday topishni, eng katta va eng kichik qiymatni qanday topishni o'rgandik.

1. Mordkovich A.G. Algebra va matematik analizning boshlanishi. - M .: Mnemosin.
2. Muravin G.K., Muravin O.V. Algebra va matematik analizning boshlanishi. - M .: Bustard.
3. Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va matematik analizning boshlanishi. - M.: Ma'rifat.

1. Yagona davlat imtihoni ().
2. Pedagogik g'oyalar festivali ().
3. O'qish oson.RF ().

1. Diagrammada (9-rasm) 1973 yilning har bir oyi uchun Yekaterinburg (Sverdlovsk) shahridagi oʻrtacha oylik havo harorati koʻrsatilgan. Gorizontal o'q oylarni, vertikal o'q esa haroratni Selsiy gradusida ko'rsatadi. Diagrammadan 1973 yil maydan dekabrgacha bo'lgan davrda eng past o'rtacha oylik haroratni aniqlang. Javobingizni Selsiy gradusida bering.

Guruch. 9. Harorat jadvali

1. Xuddi shu grafikdan (9-rasm) foydalanib, 1973 yildagi eng yuqori va eng past o'rtacha oylik haroratlar orasidagi farqni aniqlang. Javobingizni Selsiy gradusida bering.
2. Grafikda (10-rasm) 15 daraja atrof-muhit haroratida ichki yonish dvigatelining isitish jarayoni ko'rsatilgan. Abscissa o'qi dvigatel ishga tushirilgandan beri o'tgan vaqtni daqiqalarda, y o'qi esa vosita haroratini Selsiy bo'yicha darajalarda ko'rsatadi. Dvigatel harorati 45 darajaga yetganda yuk dvigatelga ulanishi mumkin. Yukni dvigatelga ulashdan oldin minimal qancha daqiqa kutish kerak?

Guruch. 10. Dvigatelni isitish jadvali

Slayd 12

y=x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetriya

Bu funksiyalarning grafiklari > 1 bo‘lganda ortadi va 0 da kamayadi

Slayd 13

Rasmlardan birida y=2-x funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. Iltimos, ushbu rasmni ko'rsating. Jadval eksponensial funktsiya Ko'rsatkichli funktsiyaning grafigi (0, 1) nuqtadan o'tadi.Darajaning asosi 1 dan kichik bo'lgani uchun bu funktsiya kamayib borishi kerak.

Slayd 14

Rasmlardan birida y=log5 (x-4) funksiyaning grafigi keltirilgan. Ushbu jadvalning sonini ko'rsating. Jadval logarifmik funktsiya y=log5x (1;0) nuqtadan o'tadi, keyin ifh -4 =1, ny=0, x=1+4, x=5. (5;0) – grafikning OX o‘qi bilan kesishgan nuqtasi.Agar x -4 = 5 bo‘lsa, y = 1, x = 5 + 4, x = 9, logarifmik funksiya grafigi 9 5 1.

Slayd 15

(-6;7) oraliqda y=f(x) funksiya aniqlangan. Rasmda ushbu funktsiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan. y = 5-2x to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan barcha tangenslar (yoki unga to'g'ri keladigan) funktsiya grafigiga chiziladi. Bu teglar chizilgan funksiya grafigidagi nuqtalar sonini ko‘rsating. K = tga = f'(xo) k = -2 sharti bo'yicha.Shuning uchun f'(xo) = -2 y = -2 to'g'ri chiziqni o'tkazamiz.U grafani ikki nuqtada kesib o'tadi, ya'ni funktsiyaning tangenslarini bildiradi. ikki nuqtada chiziladi. Uning hosilasi grafigidan funksiya grafigiga teglar sonini topish

Slayd 16

y=f(x) funksiya [-7;3] oraliqda aniqlanadi. Rasmda uning hosilasining grafigi ko'rsatilgan. y=f(x) funksiya grafigining grafigining tangenslari x o‘qiga parallel yoki u bilan mos keladigan nuqtalar sonini toping. Nishab omili abtsissaga parallel yoki unga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqlar nolga teng. Shuning uchun K=tg a = f `(xo)=0 OX o'qi bu grafikni to'rt nuqtada kesib o'tadi. Funksiyaning hosilasi grafigidan unga teglar sonini topish

Slayd 17

(-6;6) oraliqda y=f(x) funksiya aniqlangan. Rasmda uning hosilasining grafigi ko'rsatilgan. y=f(x) funksiya grafigidagi grafaga teglar x o‘qining musbat yo‘nalishiga 135 burchak ostida qiya bo‘lgan nuqtalar sonini toping. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 Shuning uchun f`(xo)=-1 y=-1 to'g'ri chiziq chizing.U grafikni uch nuqtada kesib o'tadi. , bu uch nuqtada bajarilgan funksiyaga tegishlarni bildiradi. Funksiyaning hosilasi grafigidan unga teglar sonini topish

Slayd 18

y=f(x) funksiya [-2;6] oraliqda aniqlanadi. Rasmda ushbu funktsiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan. y=f(x) funksiya grafigiga tegish eng kichik burchak koeffitsientiga ega bo'lgan nuqtaning abssissasini ko'rsating k=tg a=f'(xo) Funktsiya hosilasi y=-3 eng kichik qiymatni oladi. x=2 nuqtada. Demak, grafikning tangensi x=2 nuqtada eng kichik qiyalikka ega. -3 2 funksiya hosilasi grafigidan tangens qiyaligini topish.

Slayd 19

y=f(x) funksiya [-7;3] oraliqda aniqlanadi. Rasmda ushbu funktsiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan. y=f(x) funksiya grafigiga teginish eng katta qiyalikka ega bo‘lgan absissani ko‘rsating. k=tg a=f’(xo) Funksiyaning hosilasi x=-5 nuqtada eng katta qiymati y=3 ni oladi. Demak, grafikning tangensi x = -5 nuqtada eng katta qiyalikka ega. 3 -5 funksiya hosilasi grafigidan tangens qiyaligini topish.

Slayd 20

Rasmda y=f(x) funktsiyaning grafigi va xo'ja abscissasi bo'lgan nuqtada unga teginish ko'rsatilgan. f `(x) hosilasining xo f ’(xo) nuqtadagi qiymatini toping =tg a rasmda a o'lchamli burchak bo'lgani uchun tan a bo'ladi.

Slayd 21

Funksiyaning hosilasi grafigidan uning minimumini (maksimalini) topish

X=4 nuqtada hosila minusdan ortiqcha ishorasini o'zgartiradi. Demak, x = 4 funksiyaning minimal nuqtasi y = f (x) 4 x = 1 nuqtalarda hosila plyus belgisini o'zgartiradi. minusMeanx=1 - y=f(x)) funksiyaning maksimal nuqtasi

Slayd 22

Mustaqil ish

11-rasm) Funksiyaning aniqlanish sohasini toping. 2) f(x) ≥ 0 tengsizlikni yeching 3) Funksiyaning kamayish oraliqlarini aniqlang. 2-rasm – hosilaviy funksiya y=f(x) grafigi 4) Funksiyaning minimal nuqtalarini toping. 5) y=f(x) funksiya grafigiga tegish eng katta burchak koeffitsientiga ega bo'lgan nuqtaning abssissasini ko'rsating. 11-rasm) Funktsiya qiymatlari diapazonini toping. 2) f(x)≤ 0 tengsizlikni yeching 3) Funksiyaning ortish oraliqlarini aniqlang. 2-rasm – hosilaviy funksiya y=f(x) grafigi 4) Funksiyaning maksimal nuqtalarini toping. 5) y=f(x) funksiya grafigiga tegish eng kichik qiyalikka ega bo‘lgan nuqtaning abssissasini ko‘rsating. 1-variant 2-variant

MAVZU “Hosila funksiya grafigini o‘qish”.

Darsning maqsadi: funksiya grafigidan hosila xossalarini, hosila grafigidan funksiya xossalarini aniqlash, funktsiya grafigini va hosila grafigini solishtirish malakalarini shakllantirish.

Materiallar va jihozlar: kompyuter taqdimoti.

Dars rejasi

1. Tashkiliy vaqt.
2. Og'zaki hisoblash "Xatoni qo'lga oling"
3. "O'z yordamingiz" mavzusidagi nazariy materialni takrorlash
4. Malaka oshirish
5. "Kompetensiya" o'yini
6. Xulosa qilish.

Darslar davomida.

1. Tashkiliy vaqt. “Funksiyalarni hosilalar yordamida o‘rganish” mavzusini o‘rganish jarayonida funktsiyaning kritik nuqtalarini, hosilasini topish, uning yordamida funksiya xossalarini aniqlash va grafigini qurish malakalari shakllantirildi. Bugun biz ushbu mavzuni boshqa tomondan ko'rib chiqamiz: funktsiyaning hosilasi grafigi orqali funktsiyaning o'ziga xos xususiyatlarini qanday aniqlash mumkin. Bizning vazifamiz: funktsiyalar grafiklari va ularning hosilalari bilan bog'liq bo'lgan turli xil Yagona davlat imtihon topshiriqlarini boshqarishni o'rganish.
2. Og'zaki hisoblash

(2x 2) / =2x; (3x-x 3) / =3-3x; X / =1 X

1. Mavzu bo'yicha nazariy materialni takrorlash. (dars boshidagi kayfiyatni ifodalash uchun daftaringizga kichkina odamni chizing)

Funktsiyaning ba'zi xossalarini takrorlaymiz: o'sish va kamaytirish, funktsiyaning ekstremal.

Ortib borayotgan (kamayuvchi) funktsiyaning etarli belgisi. Unda shunday deyilgan:

1. Agar funktsiyaning hosilasi X oraliqning har bir nuqtasida musbat bo'lsa, u holda funksiya X oralig'ida ortadi.
2. Agar funktsiyaning hosilasi X oraliqning har bir nuqtasida manfiy bo'lsa, u holda funksiya X oralig'ida kamayadi.

Ekstremum uchun etarli shartlar:

y=f(x) funksiya X oraliqda uzluksiz va oraliq ichida x 0 kritik nuqtaga ega bo‘lsin. Agar x 0 nuqtasidan o'tayotganda hosila quyidagicha bo'lsa:

a) belgini "+" dan "-" ga o'zgartiradi, keyin x 0 funksiyaning maksimal nuqtasidir,

b) keyin “-” belgisini “+” ga o'zgartiradi x 0- funktsiyaning minimal nuqtasi,

v) belgini o'zgartirmaydi, keyin nuqtada x 0 ekstremal yo'q.

Funktsiya hosilasining o'zi funktsiyadir. Bu uning o'z jadvaliga ega ekanligini anglatadi.

X(bizda segment bor [ A; b]) x o‘qi ustida joylashgan bo‘lsa, u holda funksiya shu oraliqda ortadi.

Interval bo'yicha hosilaning grafigi bo'lsa X x o'qi ostida joylashgan bo'lsa, bu oraliqda funktsiya kamayadi. Bundan tashqari, lotin grafik variantlari boshqacha bo'lishi mumkin.

Shunday qilib, funktsiya hosilasining grafigiga ega bo'lgan holda, biz funktsiyaning o'zi haqida xulosa chiqarishimiz mumkin.

1. Qobiliyatni rivojlantirish. Muammoni ko'rib chiqaylik:
2. "Kompetensiya" o'yini
3. Xulosa qilish. (dars oxiridagi kayfiyatni ko'rsatib, daftarga kichkina odamni chizish) "Xulosa qilish" (u qanday fikrni (xulosa, natijani ...) aytadi) darsdagi roli, uning fikricha, asosiy rol o'ynagan. bitta)

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

Taqdimotni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini yarating va unga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Hosila funktsiya grafigini o'qish va Yagona davlat imtihoniga ketayotganda.

Dars rejasi Tashkiliy moment. Og'zaki hisoblash “Xatoni qo'lga oling” Mavzu bo'yicha nazariy materialni takrorlash, eslatma “Sizning yordamingiz” Ko'nikmalarni rivojlantirish “Kompetentlik” o'yini Xulosa qilish.

Og'zaki hisoblash “Xatoni toping” (2x 2) / = x (3x-x 3) / = 3-3 2 4 x 2 - -5

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 mavzusidagi nazariy materialni takrorlash. 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 Funksiyaning ortishi (kamayishi)ning yetarli belgisi: Agar funktsiyaning hosilasi X oraliqning har bir nuqtasida musbat bo‘lsa, u holda funksiya intervalda ortadi. X. Agar funktsiyaning hosilasi X oralig'ining har bir nuqtasida manfiy bo'lsa, u holda funksiya X oralig'ida kamayadi. Agar X oralig'idagi hosila grafigi x o'qi ustida joylashgan bo'lsa, u holda funktsiya X oralig'ida ortadi. bu interval. Agar X intervalidagi hosila grafigi x o'qi ostida joylashgan bo'lsa, u holda bu oraliqda funktsiya kamayadi.

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 -5 -4 - 3 -2 - 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 “O'z qo'llab-quvvatlashi” O'sish pasayish ortish

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) y x + 1 E, agar x 0 nuqtadan o'tayotganda hosila: a) ishorani “+” dan “-” ga o'zgartirsa, u holda x 0 funksiyaning maksimal nuqtasi, b) ishorani “-” dan “+” ga o‘zgartiradi, keyin x 0 funksiyaning minimal nuqtasidir, c) ishorani o‘zgartirmaydi, u holda x 0 nuqtada ekstremum yo‘q. . “O‘z tayanching” mavzusidagi nazariy materialni takrorlash Ekstremum mavjudligining zaruriy sharti: Agar y=f (x) funksiya x=x0 nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, bu nuqtada hosila yoki teng bo‘ladi. 0 yoki mavjud emas. maksimal min

Ko'nikmalarni rivojlantirish (ochiq Yagona Davlat imtihon bankidan muammolarni hal qilish) ortib borayotgan intervallar: (-5;-1), (2;8), (11;12) Javob: 6 1 f(x) f / (x) + + +

Ko'nikmalarni rivojlantirishning qisqarish oralig'i: (-1;0), (9;12) Javob: 3 2 f(x) f / (x) – – Ko'nikmalarni rivojlantirish (ochiq Yagona Davlat imtihon bankidan masalalarni yechish)

Ko'nikmalarni rivojlantirish Javob: -3 3 f(x) f / (x) Ko'nikmalarni rivojlantirish (ochiq Yagona Davlat imtihon bankidan muammolarni hal qilish)

Ko'nikmalarni rivojlantirish Javob: - 3 4 f(x) f / (x) Ko'nikmalarni rivojlantirish (ochiq Yagona Davlat imtihon bankidan muammolarni hal qilish)

Ko'nikmalarni rivojlantirish 5 f(x) f / (x) Ko'nikmalarni rivojlantirish (ochiq Yagona Davlat imtihon bankidagi muammolarni hal qilish)

“Kompetensiya” o‘yini Ishtirokchilar: ikki jamoa – raqobatchi kompaniyalar.Jamoalar bir-birlari uchun dars mavzusi bo‘yicha 3 ta vazifa o‘ylab topadilar, vazifalar almashadilar, ularni bajaradilar va doskada yechimini ko‘rsatadilar. Agar raqib muvaffaqiyatsizlikka uchrasa, savol bergan jamoa o'zi javob berishi kerak. Har bir kompaniya raqobatdosh kompaniyaning ishini 5 ballli tizim yordamida baholaydi (har bir vazifa va har bir javob) Bilim homiylari: Petrova Gelena va Semenova Kunnai

Xulosa: odamni chizish Xulosa: darsda asosiy narsa nima edi? nima qiziq edi? nimani o'rgandingiz? Baholash mezonlari: 28-30 ball - "5" ball 20-27 ball - "4" ball 10-19 ball - "3" ball 10 balldan past - Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rishda mashaqqatli mehnat uchun tavsiya.

Mavzu bo'yicha umumiy dars:

"Funksiya xususiyatlarini o'qish uchun hosila va uning grafigidan foydalanish"

Dars turi: taqdimot shaklida AKTdan foydalangan holda umumiy dars.

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

Talabalarning amaliy topshiriqlarda hosilalardan foydalanish haqidagi tushunchalarini rivojlantirish;

Talabalarni funksiya va hosilalarning xossalarini aniq ishlatishga o'rgatish.

Tarbiyaviy:

Vazifa savolini tahlil qilish va xulosa chiqarish qobiliyatini rivojlantirish;

Mavjud bilimlarni amaliy vazifalarda qo'llash qobiliyatini rivojlantirish.

Tarbiyaviy:

Mavzuga qiziqishni rivojlantirish;

O'qishni davom ettirish uchun ushbu nazariy va amaliy ko'nikmalarga bo'lgan ehtiyoj.

Dars maqsadlari:

Yagona davlat imtihonini topshirishda ulardan foydalanish uchun hosilaviy funktsiya grafigi bilan ishlash bo'yicha aniq ko'nikmalarni rivojlantirish;

Sinovga tayyorlaning.

Dars rejasi.

1. Ma'lumotnoma bilimlarini yangilash (BK).

2. Mavzu bo`yicha bilim, ko`nikma va malakalarni shakllantirish.

3. Sinov (Yagona davlat imtihonidan B8).

4. O'zaro tekshirish, "qo'shni" ga belgilar berish.

5. Dars darslarini yakunlash.

Uskunalar: kompyuter sinfi, doska, marker, testlar (2 variant).

Darslar davomida.

Tashkilot momenti.

O'qituvchi . Salom, o'tiring.

“Funksiyalarni hosilalar yordamida o‘rganish” mavzusini o‘rganish jarayonida funktsiyaning kritik nuqtalarini, hosilasini topish, uning yordamida funksiya xossalarini aniqlash va grafigini qurish malakalari shakllantirildi. Bugun biz ushbu mavzuni boshqa tomondan ko'rib chiqamiz: funktsiyaning hosilasi grafigi orqali funktsiyaning o'ziga xos xususiyatlarini qanday aniqlash mumkin. Bizning vazifamiz: funktsiyalar va ularning hosilalari grafiklari bilan bog'liq turli xil vazifalarni boshqarishni o'rganish.

Matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rishda KIMlarga funktsiyalarni o'rganish uchun hosilaviy grafikdan foydalanish bo'yicha muammolar beriladi. Shuning uchun ushbu darsda biz ushbu mavzu bo'yicha bilimlarimizni tizimlashtirishimiz va B8 topshiriqlari savollariga tezda javob topishni o'rganishimiz kerak.

Slayd № 1.

Mavzu: "Funksiyalarning xossalarini o'qish uchun hosila va uning grafigidan foydalanish"

Dars maqsadlari:

Hosilaning qo‘llanilishi, uning geometrik ma’nosi va funksiyalarning xossalarini aniqlash uchun hosila grafigi haqidagi bilimlarni rivojlantirish.

Yagona davlat imtihonlarini o'tkazishda samaradorlikni rivojlantirish.

Ehtiyotkorlik, matn bilan ishlash qobiliyati, hosilaviy grafiklar bilan ishlash qobiliyati kabi shaxsiy fazilatlarni rivojlantirish.

2.Asosiy bilimlarni yangilash (BK). № 4 dan 10 gacha slaydlar.

Tekshirish savollari endi ekranda paydo bo'ladi. Sizning vazifangiz: har bir nuqtaga aniq va aniq javob bering. Javobingizning to'g'riligi ekranda tekshirilishi mumkin.

( Ekranda birinchi savol paydo bo'ladi, talabalar javob bergandan so'ng, tekshirish uchun to'g'ri javob paydo bo'ladi.)

AOD uchun savollar ro'yxati.

Tsiklning ta'rifi.

Geometrik ma'no hosila.

Hosilning qiymatlari, tangens qiyaligi, tangens orasidagi burchak va OX o'qining musbat yo'nalishi o'rtasidagi bog'liqlik.

Funktsiyaning monotonlik oraliqlarini topish uchun hosiladan foydalanish.

Kritik nuqtalarni, ekstremum nuqtalarni aniqlash uchun hosiladan foydalanish

6 .Zarur va etarli sharoitlar ekstremum

7 . Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun hosiladan foydalanish

(Talabalar har bir bandga javob beradilar, oʻz javoblariga doskadagi yozuvlar va chizmalar bilan birga javob beradilar. Agar xato va toʻliq boʻlmagan javoblar boʻlsa, sinfdoshlar ularni toʻgʻrilaydilar va toʻldiradilar. Talabalar javob bergandan soʻng ekranda toʻgʻri javob paydo boʻladi. Shunday qilib, talabalar darhol aniqlab olishlari mumkin. ularning javoblarining to'g'riligi.)

3. Mavzu bo`yicha bilim, ko`nikma va malakalarni shakllantirish. № 11 dan 15 gacha slaydlar.

Talabalarga o'tgan yillardagi matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonining KIMlaridan, funktsiyalarning xususiyatlarini o'rganish uchun hosila va uning grafigidan foydalanish bo'yicha Internet saytlaridan topshiriqlar taklif etiladi. Vazifalar ketma-ket paydo bo'ladi. Talabalar doskada yoki og'zaki fikrlash orqali yechimlarni tuzadilar. Shundan so‘ng to‘g‘ri yechim slaydda paydo bo‘ladi va o‘quvchilarning yechimiga nisbatan tekshiriladi. Yechishda xatolik yuzaga kelsa, u butun sinf tomonidan tahlil qilinadi.

Slayd № 16 va № 17.

Keyinchalik, sinfda asosiy vazifani ko'rib chiqish tavsiya etiladi: hosilaning berilgan grafigidan foydalanib, talabalar (albatta, o'qituvchining yordami bilan) funktsiyaning o'ziga xos xususiyatlari bilan bog'liq turli xil savollarni berishlari kerak. Tabiiyki, bu masalalar muhokama qilinadi, kerak bo'lsa tuzatiladi, umumlashtiriladi, daftarga yoziladi, shundan so'ng bu vazifalarni hal qilish bosqichi boshlanadi. Bu erda o'quvchilarning nafaqat to'g'ri javob berishlarini, balki tegishli ta'riflar, xususiyatlar va qoidalardan foydalangan holda, uni bahslasha (isbotlash) qobiliyatini ta'minlash kerak.

Sinov (Yagona davlat imtihonidan B8). № 18 dan 29 gacha slaydlar. 30-sonli slaydlar - test kalitlari.

O'qituvchi : Shunday qilib, biz ushbu mavzu bo'yicha bilimlaringizni umumlashtirdik: hosilaning asosiy xususiyatlarini takrorladik, hosila grafigiga oid masalalarni yechdik, hosila va hosila grafigini qo'llashning murakkab va muammoli tomonlarini tahlil qildik. funktsiyalari.

Endi biz 2 variantda sinab ko'ramiz. Vazifalar ikkala versiyada bir vaqtning o'zida ekranda paydo bo'ladi. Siz savolni o'rganasiz, javobni topasiz va javoblar varag'ingizga yozasiz. Testni tugatgandan so'ng, shakllarni almashtiring va tayyor javoblar yordamida qo'shningizning ishini tekshiring. Baho bering(10 ballgacha – “2”, 11 dan 15 ballgacha – “3”, 16 dan 19 ballgacha – “4”, 19 balldan ortiq – “5”.).

Darsni yakunlash

Biz funktsiyaning monotonligi va hosilasi belgisi o'rtasidagi bog'liqlikni va ekstremum mavjudligi uchun etarli shartlarni ko'rib chiqdik. Biz lotin funktsiyaning grafigini o'qish uchun turli xil vazifalarni ko'rib chiqdik, ular bitta matn matnlarida mavjud. davlat imtihoni. Biz ko'rib chiqqan barcha vazifalar yaxshi, chunki ularni bajarish uchun ko'p vaqt kerak emas.

Yagona davlat imtihonida bu juda muhim: javobni tez va to'g'ri yozing.

Javob shakllarini topshiring. Dars uchun baho allaqachon sizga ma'lum va jurnalga kiritiladi.

Menimcha, sinf sinovga tayyorlandi.

Uy vazifasi ijodiy bo'ladi . Slayd raqami 33 .

Yagona davlat imtihonida matematik tahlil elementlari Malinovskaya Galina Mixaylovna [elektron pochta himoyalangan] Malumot materiali Asosiy funksiyalarning hosilalari jadvali.  Differensiallash qoidalari (ikki funksiyaning yig‘indisi, ko‘paytmasi, qismi).  Murakkab funktsiyaning hosilasi.  Hosilning geometrik ma’nosi.  Jismoniy ma'no hosila.  Malumot materiali Grafik ko'rinishda ko'rsatilgan funksiyaning ekstremum nuqtalari (maksimal yoki minimal).  Berilgan oraliqda uzluksiz funksiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini topish.  Funksiyaga qarshi hosila. Nyuton-Leybnits formulasi. Egri trapezoidning maydonini topish.  Jismoniy ilovalar  1.1 Moddiy nuqta qonunga ko'ra to'g'ri chiziqli harakat qiladi 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23, bu erda x - mos yozuvlar nuqtasidan metrdagi masofa, t - harakat boshidan o'lchangan soniyalarda vaqt. Uning t= 3s vaqtdagi tezligini (sekundiga metrlarda) toping.  1.2 Moddiy nuqta qonunga muvofiq 1 3 toʻgʻri chiziqli harakat qiladi 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 3 3𝑡 2 − 5𝑡 + 3, bu yerda x — mos yozuvlar nuqtasidan metrlarda masofa, t — sekundlarda, vaqt boshidan oʻlchangan. harakat. Vaqtning qaysi nuqtasida (sekundlarda) uning tezligi 2 m/s ga teng edi? Yechish: Biz x(t) ning hosilasini qidiramiz (vaqtga nisbatan yo‘l funksiyasi).  1.1 masalada uning qiymatini t ga almashtiring va tezlikni hisoblang (Javob: 59).  1.2-masalada topilgan hosilani ga tenglashtiramiz berilgan raqam va tenglamani t o‘zgaruvchisiga nisbatan yechish. (Javob: 7).  Geometrik qoʻllanmalar 2.1 𝑦 = 7𝑥 − 5 toʻgʻri chiziq 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 funksiyaning 2-grafigining tangensiga parallel. Tangens nuqtaning abtsissasini toping. 2.2 𝑦 = 3𝑥 + 1 toʻgʻri chiziq 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3 funksiyaning 2-grafigiga tangens. a toping. 2.3 𝑦 = −5𝑥 + 8 toʻgʻri chiziq 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15 funksiyaning 2-grafigiga tangens. Tegish nuqtasining abssissasi 0 dan katta ekanligini hisobga olib, b ni toping. 2.4 𝑦 = 3𝑥 + 4 chiziq 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐 funksiyaning 2-grafigiga teging. c toping. Yechish: 2.1 masalada funksiyaning hosilasini qidiramiz va uni to‘g‘ri chiziq qiyaligiga tenglashtiramiz (Javob: 0,5).  2.2-2.4 masalalarda ikkita tenglama sistemasini tuzamiz. Birida funksiyalarni tenglashtirsak, ikkinchisida ularning hosilalarini tenglashtiramiz. Ikki noma'lum (x o'zgaruvchisi va parametr) bo'lgan tizimda biz parametrni qidiramiz. (Javoblari: 2,2) a=0,125; 2.3) b=-33; 2.4) c=7).   2.5 Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va abtsissa 𝑥0 boʻlgan nuqtada unga tegish koʻrsatilgan. f(x) funksiyaning hosilasining 𝑥0 nuqtadagi qiymatini toping.  2.6 Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va abtsissa 𝑥0 bo‘lgan nuqtada unga teginish ko‘rsatilgan. f(x) funksiyaning hosilasining 𝑥0 nuqtadagi qiymatini toping.  2.7 Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. Koordinata boshi orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq abssissa 10 nuqtada shu funksiyaning grafigiga tegadi.X=10 nuqtadagi funksiya hosilasining qiymatini toping. 𝑥0 = 0 Yechish:     Funksiyaning nuqtadagi hosilasining qiymati bu nuqtada chizilgan funksiya grafigiga teginish burchagining tangensiga teng. "Chizimni tugatamiz" to'g'ri uchburchak va mos burchakning tangensini qidiramiz, agar tangens Ox o'qining musbat yo'nalishi bilan o'tkir burchak hosil qilsa (tangens "ortadi") va agar burchak o'tmas bo'lsa (tangens kamayadi) manfiy bo'lsa, uni ijobiy qabul qilamiz. 2.7-masalada ko'rsatilgan nuqta va koordinata orqali tangens chizish kerak. Javoblar: 2,5) 0,25; 2,6) -0,25; 2.7) -0.6. Funksiya grafigini yoki funksiya hosilasi grafigini o‘qish  3.1 Rasmda (6;8) oraliqda aniqlangan y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. Funktsiyaning hosilasi musbat bo'lgan butun nuqtalar sonini aniqlang.  3.2 Rasmda (-5;5) oraliqda aniqlangan y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. f(x) funksiyaning hosilasi manfiy bo'lgan butun nuqtalar sonini aniqlang. Yechish: hosila belgisi funksiyaning harakati bilan bog‘liq.  Agar hosila musbat bo‘lsa, u holda funksiya grafigining funksiya ortib boruvchi qismini tanlaymiz. Agar hosila manfiy bo'lsa, u holda funktsiya qayerda kamayadi. Ox o'qida ushbu qismga mos keladigan intervalni tanlaymiz.  Masalaning savoliga muvofiq, berilgan oraliqga kiritilgan butun sonlar sonini qayta hisoblaymiz yoki ularning yig’indisini topamiz.  Javoblar: 3.1) 4; 3.2) 8.   3.3 Rasmda (-2;12) oraliqda aniqlangan y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. f(x) funksiyaning ekstremum nuqtalari yig‘indisini toping. Avvalo, biz rasmda nima borligini ko'rib chiqamiz: funktsiya grafigi yoki lotin grafigi.  Agar bu hosilaning grafigi bo'lsa, bizni faqat hosilaning belgilari va Ox o'qi bilan kesishgan nuqtalarning abssissalari qiziqtiradi.  Aniqlik uchun hosil boʻlgan oraliqlar boʻyicha hosila belgilari va funksiyaning harakati bilan tanishroq rasm chizishingiz mumkin.  Masaladagi savolga rasmga muvofiq javob bering. (Javob: 3.3) 44).   3.4 Rasmda (-7;14] oraliqda aniqlangan f(x) funksiyaning hosilasi ′ y=𝑓 (𝑥) ning grafigi ko‘rsatilgan.f(x) funksiyaning maksimal nuqtalari sonini toping. ) [-6;9] segmentiga tegishli  3.5 Rasmda (-11;11) oraliqda aniqlangan y=𝑓 ′ (𝑥) - f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko’rsatilgan. f(x) funksiyaning [-10;10] segmentiga tegishli ekstremum nuqtalari soni Yechish: hosilaviy grafikning Ox o‘qi bilan kesishish nuqtalarini qidiramiz, o‘qning o‘qda ko‘rsatilgan qismini ajratib ko‘rsatamiz. Masala. Hosil boʻlgan har bir interval boʻyicha hosilaning ishorasini aniqlaymiz (agar hosila grafigi oʻqdan pastda boʻlsa, “-”, agar yuqorida boʻlsa, “+” )  Maksimal nuqtalar boʻladi. belgisi “+” dan “-” ga, minimal - “-” dan “+” ga o'zgartirildi.Ekstremum nuqtalar o'sha va boshqalar bo'ladi. Javoblar: 3.4) 1; 3.5) 5.   3.6 Rasmda (-8;3) intervalda aniqlangan y=𝑓 ′ (𝑥) – f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko‘rsatilgan. [-3;2] segmentning qaysi nuqtasida f(x) funksiya eng katta qiymatni oladi.  3.7 Rasmda (-8;4) oraliqda aniqlangan ′ y=𝑓 (𝑥) – f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko‘rsatilgan. [-7;-3] segmentning qaysi nuqtasida f(x) funksiya eng kichik qiymatni oladi. Yechish:    Agar hosila ko‘rilayotgan segmentda ishorasini o‘zgartirsa, u holda yechim teoremaga asoslanadi: agar segmentdagi uzluksiz funksiyada bitta ekstremum nuqta bo‘lsa va bu maksimal (minimal) nuqta bo‘lsa, u holda Ushbu segmentdagi funksiyaning eng katta (eng kichik) qiymatiga shu nuqtada erishiladi. Agar intervalda uzluksiz funksiya monotonik bo'lsa, u holda u o'zining minimumiga etadi va eng yuqori qiymatlar uning uchlarida berilgan segmentda. Javoblar: 3.6) -3; 3.7) -7.  3.8 Rasmda (-5;5) oraliqda aniqlangan y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. Funksiya grafigining tangensi y=6 to‘g‘ri chiziqqa parallel yoki to‘g‘ri keladigan nuqtalar sonini toping.  3.9 Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va abtsissalar o‘qidagi sakkizta nuqta ko‘rsatilgan: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . Shu nuqtalarning nechtasida f(x) ning hosilasi musbat bo‘ladi?  4.2 Rasmda (-5;7) intervalda aniqlangan f(x) funksiyaning hosilasi y=𝑓 ′ (𝑥) grafigi ko‘rsatilgan. f(x) funksiyaning kamayish oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig'indisini ko'rsating.  4.5 Rasmda (-4;8) intervalda aniqlangan y=𝑓 ′ (𝑥) - f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko‘rsatilgan. f(x) funksiyaning [-2;6] segmentiga tegishli ekstremum nuqtasini toping.  4.6 Rasmda (-10;2) oraliqda aniqlangan y=𝑓 ′ (𝑥) – f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko‘rsatilgan. f(x) funksiya grafigining tangensi y=-2x-11 to‘g‘ri chiziqqa parallel yoki to‘g‘ri keladigan nuqtalar sonini toping. Yechish: 4.6 Rasmda hosilaning grafigi ko‘rsatilganligi va tangensi shu chiziqqa parallel bo‘lgani uchun funksiyaning bu nuqtadagi hosilasi -2 ga teng. Biz hosilaviy grafikda ordinatasi -2 ga teng nuqtalarni qidiramiz va ularning sonini hisoblaymiz. Biz 5 ni olamiz.  Javoblar: 3.8) 4; 3.9) 5; 4.2) 18; 4.5) 4; 4.6) 5.   4.8 Rasmda y=𝑓 ′ (𝑥) - f(x) funksiyaning hosilasi grafigi koʻrsatilgan. y=f(x) grafigining tangensi abscissa o‘qiga parallel yoki to‘g‘ri keladigan nuqtaning abssissasini toping. Yechish: Agar to‘g‘ri chiziq O‘q o‘qiga parallel bo‘lsa, uning qiyaligi nolga teng.  Tangensning qiyaligi nolga teng, ya’ni hosila nolga teng.  Biz hosilaviy grafikning Ox o'qi bilan kesishish nuqtasining abssissasini qidiramiz.  Biz -3 ni olamiz.   4.9 Rasmda f(x) funksiyaning hosilasi y=𝑓 ′ (x) funksiyaning grafigi va abtsissalar o‘qidagi sakkizta nuqta ko‘rsatilgan: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . Ushbu nuqtalarning nechtasida f(x) funksiyaning hosilasi ortadi? Aniq integralning geometrik ma'nosi  5.1 Rasmda qandaydir y=f(x) funksiyaning grafigi ko'rsatilgan (umumiy boshlang'ich nuqtasi bo'lgan ikkita nur). Rasmdan foydalanib, F(8)-F(2) hisoblang, bunda F(x) f(x) funksiyaning antiderivativlaridan biridir. Yechish:     Egri chiziqli trapetsiyaning maydoni aniq integral orqali hisoblanadi. Aniq integral Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, antiderivativning o'sishi sifatida hisoblanadi. 5.1-masalada biz taniqli geometriya kursi formulasidan foydalangan holda trapezoidning maydonini hisoblaymiz (bu antiderivativning o'sishi bo'ladi). 5-topshiriqlarda. 2 va 5.3 antiderivativ allaqachon berilgan. Segmentning oxirida uning qiymatlarini hisoblash va farqni hisoblash kerak.  5.2 Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 - funksiya f(x) funksiyaning 8 ta anti hosilasidan biridir. Soyali figuraning maydonini toping. Yechish:     Egri chiziqli trapetsiyaning maydoni aniq integral orqali hisoblanadi. Aniq integral Nyuton-Leybnits formulasidan foydalanib, antiderivativning o'sishi sifatida hisoblanadi. 5.1-masalada biz taniqli geometriya kursi formulasidan foydalangan holda trapezoidning maydonini hisoblaymiz (bu antiderivativning o'sishi bo'ladi). 5.2-masalada antiderivativ allaqachon berilgan. Segmentning oxirida uning qiymatlarini hisoblash va farqni hisoblash kerak. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonida omad tilaymiz 