Grafik yechim tenglamalar

Hayday, 2009 yil

Kirish

Kvadrat tenglamalarni yechish zaruriyati qadimgi davrlarda maydonlarni topishga oid masalalarni yechish zaruratidan kelib chiqqan yer uchastkalari va harbiy xarakterdagi tuproq ishlari bilan, shuningdek, astronomiya va matematikaning o'zi rivojlanishi bilan. Miloddan avvalgi 2000-yillarda bobilliklar kvadrat tenglamalarni yecha olishgan. Bobil matnlarida bayon etilgan ushbu tenglamalarni yechish qoidasi asosan zamonaviylarga to'g'ri keladi, ammo bobilliklar bu qoidaga qanday erishganligi noma'lum.

Evropada kvadrat tenglamalarni yechish formulalari birinchi marta italyan matematigi Leonardo Fibonachchi tomonidan 1202 yilda yozilgan Abakus kitobida keltirilgan. Uning kitobi nafaqat Italiyada, balki Germaniya, Fransiya va boshqa Yevropa mamlakatlarida ham algebraik bilimlarning tarqalishiga hissa qo‘shdi.

Lekin umumiy qoida b va c koeffitsientlarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalari uchun kvadrat tenglamalar echimlari Evropada faqat 1544 yilda M. Shtifel tomonidan tuzilgan.

1591 yilda Fransua Vyet kvadrat tenglamalarni yechish formulalarini kiritdi.

Qadimgi Bobilda ular kvadrat tenglamalarning ayrim turlarini yechishlari mumkin edi.

Iskandariya Diofanti Va Evklid, Al-Xorazmiy Va Umar Xayyom tenglamalarni geometrik va grafik usullar yordamida yechish.

7-sinfda biz funktsiyalarni o'rgandik y = C, y =kx, y =kx+ m, y =x 2,y = -x 2, 8-sinfda - y = √x, y =|x|, y =bolta2 + bx+ c, y =k/ x. 9-sinf algebra darsligida men hali menga ma'lum bo'lmagan funktsiyalarni ko'rdim: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– a) 2 + (y -b) 2 = r 2 va boshqalar. Bu funksiyalarning grafiklarini tuzish qoidalari mavjud. Ushbu qoidalarga bo'ysunadigan boshqa funktsiyalar bormi, deb o'yladim.

Mening vazifam funksiya grafiklarini o‘rganish va tenglamalarni grafik usulda yechishdir.

1. Funksiyalari nimalardan iborat?

Funktsiya grafigi barcha nuqtalar to'plamidir koordinata tekisligi, abtsissalari argumentlar qiymatlariga, ordinatalari esa funksiyaning mos qiymatlariga teng.

Chiziqli funksiya tenglama bilan berilgan y =kx+ b, Qayerda k Va b- ba'zi raqamlar. Ushbu funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziqdir.

Funktsiya teskari proportsionallik y =k/ x, bu yerda k ¹ 0. Bu funksiyaning grafigi giperbola deb ataladi.

Funktsiya (x– a) 2 + (y -b) 2 = r2 , Qayerda A, b Va r- ba'zi raqamlar. Bu funksiyaning grafigi radiusi r boʻlgan, markazi A nuqtada ( A, b).

Kvadrat funksiya y= bolta2 + bx+ c Qayerda A,b, Bilan- ba'zi raqamlar va A¹ 0. Bu funksiyaning grafigi paraboladir.

Tenglama da2 (a– x) = x2 (a+ x) . Ushbu tenglamaning grafigi strofoid deb ataladigan egri chiziq bo'ladi.

/>Tenglama (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Bu tenglamaning grafigi Bernulli lemniskati deb ataladi.

Tenglama. Bu tenglamaning grafigi astroid deb ataladi.

Egri chiziq (x2 y2 – 2 bolta)2 =4a2 (x2 + y2 ) . Ushbu egri chiziq kardioid deb ataladi.

Funksiyalari: y =x 3 - kubik parabola, y =x 4, y = 1/x 2.

2. Tenglama tushunchasi va uning grafik yechimi

Tenglama- o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifoda.

Tenglamani yeching- bu uning barcha ildizlarini topish yoki ularning yo'qligini isbotlashni anglatadi.

Tenglamaning ildizi tenglamaga almashtirilganda to‘g‘ri sonli tenglikni hosil qiluvchi son.

Tenglamalarni grafik usulda yechish ildizlarning aniq yoki taxminiy qiymatini topishga imkon beradi, tenglamaning ildizlari sonini topishga imkon beradi.

Grafiklarni qurishda va tenglamalarni yechishda funktsiyaning xossalaridan foydalaniladi, shuning uchun ham usul ko'pincha funksional-grafik deb ataladi.

Tenglamani yechish uchun biz uni ikki qismga “bo‘lamiz”, ikkita funksiya kiritamiz, ularning grafiklarini tuzamiz va grafiklarning kesishish nuqtalarining koordinatalarini topamiz. Bu nuqtalarning abstsissalari tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

3. Funksiya grafigini tuzish algoritmi

Funksiya grafigini bilish y =f(x) , funksiyalarning grafiklarini qurishingiz mumkin y =f(x+ m) ,y =f(x)+ l Va y =f(x+ m)+ l. Bu grafiklarning barchasi funksiya grafigidan olingan y =f(x) parallel tashish transformatsiyasidan foydalanish: to │ m│ masshtab birliklari x o'qi bo'ylab o'ngga yoki chapga │ l│ o'q bo'ylab yuqoriga yoki pastga o'lchov birliklari y.

4. Kvadrat tenglamaning grafik yechimi

Kvadrat funksiyadan misol sifatida foydalanib, kvadrat tenglamaning grafik yechimini ko‘rib chiqamiz. Kvadrat funksiyaning grafigi paraboladir.

Qadimgi yunonlar parabola haqida nima bilishgan?

Zamonaviy matematik simvolizm 16-asrda paydo bo'lgan.

Qadimgi yunon matematiklari bunday qilmagan koordinata usuli, funktsiya tushunchasi mavjud emas edi. Shunga qaramay, parabolaning xossalari ular tomonidan batafsil o'rganildi. Qadimgi matematiklarning zukkoligi shunchaki hayratlanarli - axir, ular faqat chizmalardan foydalanishlari mumkin edi og'zaki tavsiflar bog'liqliklar.

Eng to'liq parabola, giperbola va ellips o'rganildi Pergalik Apolloniy, miloddan avvalgi 3-asrda yashagan. U bu egri chiziqlarga nom berdi va u yoki bu egri chiziqda joylashgan nuqtalar qanday shartlarni qondirishini ko'rsatdi (axir, formulalar yo'q edi!).

Parabola qurish algoritmi mavjud:

A (x0; y0) parabola cho‘qqisining koordinatalarini toping: X=- b/2 a;

y0=axo2+in0+s;

Parabolaning simmetriya o'qini toping (to'g'ri chiziq x=x0);

PAGE_BREAK--

Biz nazorat nuqtalarini qurish uchun qiymatlar jadvalini tuzamiz;

Olingan nuqtalarni quramiz va ularga simmetriya o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtalarni quramiz.

1. Algoritm yordamida parabola tuzamiz y= x2 – 2 x– 3 . O'q bilan kesishish nuqtalarining abscissalari x va kvadrat tenglamaning ildizlari mavjud x2 – 2 x– 3 = 0.

Bu tenglamani grafik usulda yechishning beshta usuli mavjud.

2. Tenglamani ikkita funktsiyaga ajratamiz: y= x2 Va y= 2 x+ 3

3. Tenglamani ikkita funktsiyaga ajratamiz: y= x2 –3 Va y=2 x. Tenglamaning ildizlari parabola va chiziqning kesishish nuqtalarining abtsissalaridir.

4. Tenglamani aylantiring x2 – 2 x– 3 = 0 to'liq kvadratni funktsiyalarga ajratish orqali: y= (x–1) 2 Va y=4. Tenglamaning ildizlari parabola va chiziqning kesishish nuqtalarining abtsissalaridir.

5. Tenglamaning ikkala tomonini hadga ajrating x2 – 2 x– 3 = 0 yoqilgan x, olamiz x– 2 – 3/ x= 0 , keling, bu tenglamani ikkita funktsiyaga ajratamiz: y= x– 2, y= 3/ x. Tenglamaning ildizlari chiziq va giperbolaning kesishish nuqtalarining abstsissalaridir.

5. Darajali tenglamalarning grafik yechimin

1-misol. Tenglamani yeching x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Javob: x = 1.

2-misol. Tenglamani yeching 3 √ x= 10 – x.

Ildizlar berilgan tenglama ikki funktsiya grafiklarining kesishish nuqtasining abtsissasi: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Javob: x = 8.

Xulosa

Funktsiyalarning grafiklarini ko'rib chiqqach: y =bolta2 + bx+ c, y =k/ x, u = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Men bu grafiklarning barchasi o'qlarga nisbatan parallel tarjima qilish qoidasiga muvofiq qurilganligini payqadim x Va y.

Kvadrat tenglamani yechish misolidan foydalanib, grafik usul n darajali tenglamalar uchun ham amal qiladi degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Tenglamalarni echishning grafik usullari chiroyli va tushunarli, ammo hech qanday tenglamani echishning 100% kafolatini bermaydi. Grafiklarning kesishish nuqtalarining abstsissalari taxminiy bo'lishi mumkin.

9-sinfda va o'rta maktabda men boshqa funktsiyalar bilan tanishishni davom ettiraman. Men bu funksiyalar o‘z grafiklarini tuzishda parallel uzatish qoidalariga bo‘ysunadimi yoki yo‘qligini bilish qiziq.

Kelgusi yilda men tenglamalar va tengsizliklar tizimlarini grafik tarzda yechish masalalarini ham ko'rib chiqmoqchiman.

Adabiyot

1. Algebra. 7-sinf. 1-qism. uchun darslik ta'lim muassasalari/ A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007 yil.

2. Algebra. 8-sinf. 1-qism. Ta'lim muassasalari uchun darslik / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007 yil.

3. Algebra. 9-sinf. 1-qism. Ta'lim muassasalari uchun darslik / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007 yil.

4. Gleyzer G.I. Maktabda matematika tarixi. VII-VIII sinflar. – M.: Ta’lim, 1982 yil.

5. “Matematika” jurnali 2009 yil 5-son; № 8, 2007; № 23 2008 yil.

6. Internetdagi tenglamalarning grafik yechimi veb-saytlari: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

Kvadrat tengsizliklarni yechishning eng qulay usullaridan biri grafik usuldir. Ushbu maqolada kvadrat tengsizliklar qanday grafik tarzda yechilishini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, ushbu usulning mohiyati nima ekanligini muhokama qilaylik. Keyinchalik, algoritmni taqdim etamiz va kvadrat tengsizliklarni grafik tarzda yechish misollarini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Grafik metodning mohiyati

Umuman tengsizliklarni echishning grafik usuli bitta o'zgaruvchi bilan faqat kvadrat tengsizliklarni emas, balki boshqa turdagi tengsizliklarni yechishda ham qo'llaniladi. mohiyati grafik usuli tengsizliklarning yechimlari keyingi: chap va ga mos keladigan y=f(x) va y=g(x) funktsiyalarni ko'rib chiqing o'ng tomon Tengsizliklar, ularning grafiklarini bitta to'rtburchaklar koordinatalar tizimida tuzing va ulardan birining grafigi qaysi intervallarda ikkinchisidan past yoki yuqori ekanligini aniqlang. Bu intervallar qaerda

• g funksiya grafigi ustidagi f funksiya grafigi f(x)>g(x) tengsizlikning yechimlari;
• f funksiyaning grafigi g funktsiya grafigidan past bo'lmagan f(x)≥g(x) tengsizlikning yechimlari;
• g ning grafigidan pastdagi f ning grafigi f(x) tengsizlikning yechimlaridir.
• f funktsiyaning grafigi g funktsiya grafigidan yuqori bo'lmagan f(x)≤g(x) tengsizlikning yechimlari.

f va g funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtalarining abssissalari f(x)=g(x) tenglamaning yechimi ekanligini ham aytamiz.

Keling, bu natijalarni bizning holatimizga o'tkazamiz - a x 2 +b x+c kvadrat tengsizlikni yechish.<0 (≤, >, ≥).

Biz ikkita funktsiyani kiritamiz: birinchisi y=a x 2 +b x+c (f(x)=a x 2 +b x+c bilan) kvadrat tengsizlikning chap tomoniga mos keladi, ikkinchisi y=0 (g ( bilan) x)=0 ) tengsizlikning o'ng tomoniga mos keladi. Jadval kvadratik funktsiya f - parabola va grafik doimiy funktsiya g - abscissa o'qiga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziq Ox.

Keyinchalik, tengsizliklarni echishning grafik usuliga ko'ra, qaysi oraliqlarda bir funktsiyaning grafigi ikkinchisining tepasida yoki ostida joylashganligini tahlil qilish kerak, bu bizga kvadrat tengsizlikning kerakli echimini yozish imkonini beradi. Bizning holatda, Ox o'qiga nisbatan parabolaning holatini tahlil qilishimiz kerak.

a, b va c koeffitsientlarining qiymatlariga qarab, quyidagi oltita variant mavjud (bizning ehtiyojlarimiz uchun sxematik tasvir etarli va biz Oy o'qini tasvirlashimiz shart emas, chunki uning pozitsiyasi ta'sir qilmaydi. tengsizlikning yechimlari):

Ushbu chizmada shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan va Ox o'qini ikki nuqtada kesib o'tuvchi, abssissalari x 1 va x 2 bo'lgan parabolani ko'ramiz. Ushbu chizma a koeffitsienti ijobiy bo'lganda (parabola shoxlarining yuqoriga yo'nalishi uchun javob beradi) va qiymat ijobiy bo'lganda variantga mos keladi. kvadrat uchburchakning diskriminanti a x 2 +b x+c (bu holda trinomning ikkita ildizi bor, biz ularni x 1 va x 2 deb belgiladik va biz x 1 deb faraz qildik. 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Aniqlik uchun parabolaning x o'qi ustida joylashgan qismlarini qizil rangda, ko'k rangda esa x o'qi ostida joylashgan qismlarini tasvirlaymiz.


Endi bu qismlarga qaysi intervallar mos kelishini aniqlaymiz. Quyidagi rasm ularni aniqlashga yordam beradi (kelajakda biz shunga o'xshash tanlovlarni to'rtburchaklar shaklida qilamiz):


Shunday qilib, abscissa o'qida ikkita oraliq (−∞, x 1) va (x 2, +∞) qizil rang bilan ajratilgan, ularda parabola Ox o'qi ustida joylashgan bo'lib, ular a x 2 +b x kvadrat tengsizlikning yechimini tashkil qiladi. +c>0 , va interval (x 1 , x 2) ko‘k rang bilan ajratilgan, Ox o‘qi ostida parabola mavjud, u a x 2 +b x+c tengsizlikning yechimini ifodalaydi.<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Va endi qisqacha: a>0 va D=b 2 −4 uchun a c>0 (yoki juft koeffitsient b uchun D"=D/4>0)

• a x 2 +b x+c>0 kvadrat tengsizlikning yechimi (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) yoki boshqa x yozuvida x 2;
• a x 2 +b x+c≥0 kvadrat tengsizlikning yechimi (−∞, x 1 ]∪ yoki boshqa yozuvda x 1 ≤x≤x 2 ,

bu yerda x 1 va x 2 kvadrat uchburchakning ildizlari a x 2 +b x+c va x 1


Bu erda shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan va abscissa o'qiga tegib turadigan, ya'ni u bilan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan parabolani ko'ramiz; bu nuqtaning abssissasini x 0 deb belgilaymiz. Taqdim etilgan holat a>0 (novdalar yuqoriga yo'naltirilgan) va D=0 ga mos keladi ( kvadratik trinomial bitta ildizga ega x 0 ). Masalan, siz olishingiz mumkin kvadratik funktsiya y=x 2 −4·x+4, bu yerda a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 va x 0 =2.

Chizmada parabola Ox o'qidan yuqorida, kontakt nuqtasidan tashqari hamma joyda, ya'ni (−∞, x 0), (x 0, ∞) oraliqlarida joylashganligi aniq ko'rsatilgan. Aniqlik uchun, oldingi paragrafga o'xshab, chizmadagi joylarni ajratib ko'rsatamiz.


Xulosa chiqaramiz: a>0 va D=0 uchun

• a·x 2 +b·x+c>0 kvadrat tengsizlikning yechimi (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) yoki boshqa yozuvda x≠x 0;
• a·x 2 +b·x+c≥0 kvadrat tengsizlikning yechimi (−∞, +∞) yoki boshqa belgida x∈R ;
• kvadratik tengsizlik a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• a x 2 +b x+c≤0 kvadrat tengsizlik yagona yechimga ega x=x 0 (u teginish nuqtasi bilan berilgan),

bu yerda x 0 kvadrat trinomialning ildizi a x 2 + b x + c.


Bunda parabola shoxlari yuqoriga yo'nalgan bo'lib, uning abscissa o'qi bilan umumiy nuqtalari bo'lmaydi. Bu erda a>0 (novdalar yuqoriga yo'naltirilgan) va D shartlari mavjud<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Shubhasiz, parabola butun uzunligi bo'ylab Ox o'qi ustida joylashgan (u Ox o'qi ostida bo'lgan intervallar yo'q, teginish nuqtasi yo'q).


Shunday qilib, a>0 va D uchun<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 va a x 2 +b x+c≥0 - barcha haqiqiy sonlar to'plami va a x 2 +b x+c tengsizliklari<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Ox o'qiga nisbatan yuqoriga emas, pastga yo'naltirilgan shoxlari bilan parabolaning joylashishi uchun uchta variant mavjud. Asosan, ularni ko'rib chiqishning hojati yo'q, chunki tengsizlikning ikkala tomonini -1 ga ko'paytirish bizga x 2 uchun ijobiy koeffitsientli ekvivalent tengsizlikka o'tish imkonini beradi. Ammo bu holatlar haqida tasavvurga ega bo'lish hali ham zarar qilmaydi. Bu erda mulohazalar o'xshash, shuning uchun biz faqat asosiy natijalarni yozamiz.

Yechim algoritmi

Oldingi barcha hisob-kitoblarning natijasi kvadrat tengsizliklarni grafik usulda yechish algoritmi:

Koordinata tekisligida Ox o'qi (Oy o'qini tasvirlash shart emas) va y=a·x 2 +b·x+c kvadrat funksiyasiga mos keladigan parabolaning eskizi tasvirlangan sxematik chizma tuziladi. Parabolaning eskizini chizish uchun ikkita fikrga aniqlik kiritish kifoya:

• Birinchidan, a koeffitsientining qiymati bo'yicha uning shoxlari qayerga yo'naltirilganligi aniqlanadi (a>0 uchun - yuqoriga, a uchun).<0 – вниз).
• Ikkinchidan, a x 2 + b x + c kvadrat trinomial diskriminantning qiymatidan kelib chiqib, parabolaning abscissa o'qini ikki nuqtada kesishi (D>0 uchun), unga bir nuqtada tegishi (D= uchun) aniqlanadi. 0) yoki Ox o'qi bilan umumiy nuqtalari yo'q (D da<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Chizma tayyor bo'lgach, uni algoritmning ikkinchi bosqichida ishlating

  • a·x 2 +b·x+c>0 kvadrat tengsizlikni yechishda parabola abtsissa ustida joylashgan oraliqlar aniqlanadi;
  • a·x 2 +b·x+c≥0 tengsizlikni yechishda parabolaning abscissa o‘qi ustida joylashgan oraliqlari aniqlanadi va kesishish nuqtalarining abssissalari (yoki teginish nuqtasi abssissalari) qo‘shiladi. ular;
  • a x 2 +b x+c tengsizlikni yechishda<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • nihoyat, a·x 2 +b·x+c≤0 ko‘rinishdagi kvadrat tengsizlikni yechishda parabola Ox o‘qidan va kesishish nuqtalarining abssissasidan (yoki teginish nuqtasi abtsissasidan) past bo‘lgan intervallar topiladi. ) ularga qo'shiladi;

  ular kvadrat tengsizlikning kerakli yechimini tashkil qiladi va agar bunday intervallar va teginish nuqtalari bo'lmasa, dastlabki kvadrat tengsizlikning yechimlari bo'lmaydi.

Bu algoritm yordamida bir nechta kvadrat tengsizliklarni yechishgina qoladi.

Yechimlari bilan misollar

Misol.

Tengsizlikni yeching .

Yechim.

Kvadrat tengsizlikni yechishimiz kerak, keling, oldingi paragrafdagi algoritmdan foydalanamiz. Birinchi bosqichda kvadratik funktsiyaning grafigini chizishimiz kerak . X 2 koeffitsienti 2 ga teng, u ijobiy, shuning uchun parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan. Shuningdek, parabolaning x o'qi bilan umumiy nuqtalari bor-yo'qligini bilib olaylik; buning uchun kvadrat trinomiyaning diskriminantini hisoblaymiz. . Bizda ... bor . Diskriminant noldan katta bo'lib chiqdi, shuning uchun trinomial ikkita haqiqiy ildizga ega: Va , ya'ni x 1 =−3 va x 2 =1/3.

Bundan ko'rinib turibdiki, parabola Ox o'qini ikki nuqtada -3 va 1/3 abscissalar bilan kesishadi. Biz chizmada bu nuqtalarni oddiy nuqtalar sifatida tasvirlaymiz, chunki biz qat'iy bo'lmagan tengsizlikni hal qilamiz. Aniqlangan ma'lumotlarga asoslanib, biz quyidagi rasmni olamiz (u maqolaning birinchi xatboshidagi birinchi shablonga mos keladi):

Keling, algoritmning ikkinchi bosqichiga o'tamiz. Biz ≤ ishorali qat'iy bo'lmagan kvadrat tengsizlikni yechayotganimiz uchun parabola abscissa ostida joylashgan oraliqlarni aniqlab, ularga kesishish nuqtalarining abssissalarini qo'shishimiz kerak.

Chizmadan ko'rinib turibdiki, parabola x o'qi ostida (−3, 1/3) oraliqda joylashgan va unga kesishish nuqtalarining abssissalarini, ya'ni -3 va 1/3 raqamlarini qo'shamiz. Natijada biz [−3, 1/3] sonli intervalga erishamiz. Bu biz izlayotgan yechim. Uni −3≤x≤1/3 juft tengsizlik sifatida yozish mumkin.

Javob:

[−3, 1/3] yoki −3≤x≤1/3 .

Misol.

−x 2 +16 x−63 kvadrat tengsizlikning yechimini toping<0 .

Yechim.

Odatdagidek, biz chizish bilan boshlaymiz. O'zgaruvchining kvadrati uchun raqamli koeffitsient manfiy, -1, shuning uchun parabolaning shoxlari pastga yo'naltirilgan. Keling, diskriminantni yoki undan ham yaxshisi, uning to'rtinchi qismini hisoblaylik: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Uning qiymati musbat, keling, kvadrat trinomiyaning ildizlarini hisoblaymiz: Va , x 1 =7 va x 2 =9. Shunday qilib, parabola Ox o'qini 7 va 9 abscissalar bilan ikki nuqtada kesib o'tadi (asl tengsizlik qat'iy, shuning uchun biz bu nuqtalarni bo'sh markaz bilan tasvirlaymiz) Endi biz sxematik chizmani tuzishimiz mumkin:

Qattiq kvadrat tengsizlikni belgi bilan yechayotganimiz uchun<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Chizma shuni ko'rsatadiki, dastlabki kvadrat tengsizlikning echimlari ikkita intervalli (−∞, 7) , (9, +∞) .

Javob:

(−∞, 7)∪(9, +∞) yoki boshqa x belgisida<7 , x>9 .

Kvadrat tengsizliklarni yechishda, kvadrat uch a’zoning chap tomonidagi diskriminanti nolga teng bo‘lsa, javobga teginish nuqtasining abssissasini kiritish yoki chiqarib tashlashda ehtiyot bo‘lish kerak. Bu tengsizlikning belgisiga bog'liq: agar tengsizlik qat'iy bo'lsa, unda bu tengsizlikning yechimi emas, lekin agar u qat'iy bo'lmasa, unda shunday bo'ladi.

Misol.

10 x 2 −14 x+4,9≤0 kvadrat tengsizlik kamida bitta yechimga egami?

Yechim.

y=10 x 2 −14 x+4,9 funksiya grafigini tuzamiz. Uning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan, chunki x 2 koeffitsienti musbat bo'lib, abscissalar o'qiga 0,7 bo'lgan nuqtada tegadi, chunki D"=(−7) 2 −10 4,9=0, bu erdan yoki 0,7 ko'rinishda. o'nli kasrning sxematik ko'rinishi quyidagicha:

Biz ≤ ishorali kvadrat tengsizlikni yechayotganimiz sababli, uning yechimi parabola Ox o'qidan pastda joylashgan oraliqlar, shuningdek, teginish nuqtasi abssissasi bo'ladi. Chizmadan ko'rinib turibdiki, parabola Ox o'qi ostida bo'ladigan biron bir bo'shliq yo'q, shuning uchun uning yechimi faqat teginish nuqtasining abssissasi bo'ladi, ya'ni 0,7.

Javob:

bu tengsizlik yagona yechimga ega 0,7.

Misol.

–x 2 +8 x−16 kvadrat tengsizlikni yeching<0 .

Yechim.

Kvadrat tengsizliklarni yechish algoritmiga amal qilamiz va grafik tuzishdan boshlaymiz. Parabola shoxlari pastga yo'naltirilgan, chunki x 2 koeffitsienti manfiy, -1. –x 2 +8 x−16 kvadrat trinomining diskriminantini topamiz, bizda bor D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 va keyin x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Shunday qilib, parabola 4-abtsissa nuqtasida Ox o'qiga tegadi. Keling, rasm chizamiz:

Biz asl tengsizlik belgisiga qaraymiz, u mavjud<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Bizning holatlarimizda bu ochiq nurlar (−∞, 4) , (4, +∞) . Alohida ta'kidlaymizki, 4 - aloqa nuqtasining abssissasi - bu yechim emas, chunki aloqa nuqtasida parabola Ox o'qidan past emas.

Javob:

(−∞, 4)∪(4, +∞) yoki boshqa belgida x≠4 .

Kvadrat tengsizlikning chap tomonidagi kvadrat uch a'zoning diskriminanti noldan kichik bo'lgan holatlarga alohida e'tibor bering. Bu erda shoshilib, tengsizlikning yechimlari yo'q deyishning hojati yo'q (biz manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalar uchun bunday xulosa chiqarishga odatlanganmiz). Gap shundaki, D uchun kvadrat tengsizlik<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Misol.

3 x 2 +1>0 kvadrat tengsizlikning yechimini toping.

Yechim.

Odatdagidek, biz chizish bilan boshlaymiz. a koeffitsienti 3 ga teng, u musbat, shuning uchun parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilgan. Diskriminantni hisoblaymiz: D=0 2 −4·3·1=−12 . Diskriminant manfiy bo'lgani uchun parabolaning Ox o'qi bilan umumiy nuqtalari yo'q. Olingan ma'lumotlar sxematik grafik uchun etarli:

Qattiq kvadrat tengsizlikni > belgisi bilan yechamiz. Uning yechimi parabola Ox o'qidan yuqori bo'lgan barcha intervallar bo'ladi. Bizning holatda, parabola butun uzunligi bo'ylab x o'qi ustida joylashgan, shuning uchun kerakli yechim barcha haqiqiy sonlar to'plami bo'ladi.

Ox , shuningdek, kesishish nuqtalarining abtsissasini yoki ularga teginish abscissasini qo'shishingiz kerak. Ammo chizmadan aniq ko'rinib turibdiki, bunday intervallar yo'q (parabola hamma joyda abscissa o'qi ostida joylashgan), xuddi kesishish nuqtalari bo'lmaganidek, teginish nuqtalari ham yo'q. Shuning uchun dastlabki kvadrat tengsizlikning yechimlari yo'q.

Javob:

yechim yo'q yoki boshqa yozuvda ∅.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9-sinf: tarbiyaviy. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2009. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Algebra. 9-sinf. 2 qismda 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Algebra va matematik analizning boshlanishi. 11-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumta'lim muassasalari talabalari uchun darslik (profil darajasi) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01027-2.

L.A. Kustova

matematika o'qituvchisi

Voronej, 5-sonli MBOU litseyi

Loyiha

"Tenglamalar va tengsizliklarni echishning grafik usulining afzalliklari."

Sinf:

7-11

Element:

Matematika

Tadqiqot maqsadi:

Aniqlash uchuntenglamalar va tengsizliklarni echishning grafik usulining afzalliklari.

Gipoteza:

Ba'zi tenglamalar va tengsizliklarni grafik tarzda yechish osonroq va estetik jihatdan yoqimliroq.

Tadqiqot bosqichlari:

Analitik va grafik yechim usullarini solishtiringtenglamalar va tengsizliklar.

Qanday hollarda grafik usulning afzalliklari borligini aniqlang.

Modulli va parametrli tenglamalarni yechishni ko'rib chiqing.

Tadqiqot natijalari:

1.Matematikaning go'zalligi falsafiy muammodir.

2.Ba'zi tenglamalar va tengsizliklarni yechishda grafik yechimeng amaliy va jozibali.

3. Siz maktabda matematikaning jozibadorligini grafik yechim yordamida qo'llashingiz mumkintenglamalar va tengsizliklar.

“Matematika fanlari qadim zamonlardan beri alohida e’tiborni tortgan.

Ayni paytda ular san'at va sanoatga ta'siriga yanada ko'proq qiziqish bildirishdi.

Pafnutiy Lvovich Chebishev.

7-sinfdan boshlab tenglamalar va tengsizliklarni echishning turli usullari, shu jumladan grafik usullar ko'rib chiqiladi. Matematikani quruq fan deb o'ylaydiganlar, menimcha, ba'zi turlarni qanday chiroyli tarzda yechish mumkinligini ko'rib, o'z fikrlarini o'zgartiradilar.tenglamalar va tengsizliklar. Sizga bir nechta misollar keltiraman:

1).Tenglamani yeching: = .

Siz uni analitik tarzda hal qilishingiz mumkin, ya'ni tenglamaning ikkala tomonini uchinchi darajaga ko'taring va hokazo.

Agar siz shunchaki echimlar sonini ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, grafik usul ushbu tenglama uchun qulaydir.

Shunga o'xshash vazifalar 9-sinf OGE ning "geometriya" blokini echishda tez-tez uchraydi.

2).Parametrli tenglamani yeching:

││ x│- 4│= a

Eng murakkab misol emas, lekin agar siz uni analitik tarzda hal qilsangiz, modul qavslarini ikki marta ochishingiz kerak bo'ladi va har bir holat uchun parametrning mumkin bo'lgan qiymatlarini ko'rib chiqing. Grafik jihatdan hamma narsa juda oddiy. Biz funktsiya grafiklarini chizamiz va buni ko'ramiz:

Manbalar:

Kompyuter dasturiKengaytirilgan grafik .

Shuningdek qarang: Chiziqli dasturlash masalasini grafik usulda yechish, Chiziqli dasturlash masalalarining kanonik shakli

Bunday muammo uchun cheklovlar tizimi ikkita o'zgaruvchidagi tengsizliklardan iborat:
maqsad funksiyasi esa shaklga ega F = C 1 x + C 2 y Buni maksimal darajada oshirish kerak.

Keling, savolga javob beraylik: qanday raqamlar juftligi ( x; y) tengsizliklar sistemasining yechimlari, ya'ni tengsizliklarning har birini bir vaqtda qanoatlantiradimi? Boshqacha qilib aytganda, tizimni grafik tarzda yechish nimani anglatadi?
Avval siz birining yechimi nima ekanligini tushunishingiz kerak chiziqli tengsizlik ikkita noma'lum bilan.
Ikki noma'lumli chiziqli tengsizlikni yechish, tengsizlik amal qiladigan noma'lum qiymatlarning barcha juftlarini aniqlashni anglatadi.
Masalan, tengsizlik 3 x – 5y≥ 42 juftlikni qondirish ( x , y): (100, 2); (3, –10) va hokazo. Vazifa barcha shunday juftlarni topishdir.
Keling, ikkita tengsizlikni ko'rib chiqaylik: bolta + tomonidan≤ c, bolta + tomonidan≥ c. Streyt bolta + tomonidan = c tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi, shunda ulardan birining nuqtalarining koordinatalari tengsizlikni qanoatlantiradi. bolta + tomonidan >c, va boshqa tengsizlik bolta + +tomonidan <c.
Haqiqatan ham, keling, koordinatali nuqtani olaylik x = x 0 ; keyin chiziq ustida yotgan va abscissaga ega nuqta x 0, ordinataga ega

Ishonch hosil qilaylik a< 0, b>0, c>0. Abtsissa bilan barcha nuqtalar x 0 yuqorida yotadi P(masalan, nuqta M), bor y M>y 0 , va nuqta ostidagi barcha nuqtalar P, abscissa bilan x 0, bor y N<y 0 . Chunki x 0 - bu ixtiyoriy nuqta, u holda chiziqning bir tomonida har doim nuqtalar bo'ladi bolta+ tomonidan > c, yarim tekislikni hosil qiladi va boshqa tomondan - buning uchun nuqtalar bolta + tomonidan< c.

1-rasm

Yarim tekislikdagi tengsizlik belgisi raqamlarga bog'liq a, b , c.
Bu ikkita o'zgaruvchidagi chiziqli tengsizliklar tizimini grafik tarzda echishning quyidagi usulini nazarda tutadi. Tizimni hal qilish uchun sizga kerak:

1. Har bir tengsizlik uchun ushbu tengsizlikka mos keladigan tenglama yozing.
2. Tenglamalar bilan belgilangan funksiyalarning grafiklari bo'lgan to'g'ri chiziqlarni tuzing.
3. Har bir chiziq uchun tengsizlik bilan berilgan yarim tekislikni aniqlang. Buning uchun chiziqda yotmaydigan ixtiyoriy nuqtani oling va uning koordinatalarini tengsizlikka almashtiring. agar tengsizlik to'g'ri bo'lsa, unda tanlangan nuqtani o'z ichiga olgan yarim tekislik asl tengsizlikning yechimidir. Agar tengsizlik noto'g'ri bo'lsa, u holda chiziqning boshqa tomonidagi yarim tekislik bu tengsizlikning echimlari to'plamidir.
4. Tengsizliklar tizimini echish uchun tizimning har bir tengsizligining yechimi bo'lgan barcha yarim tekisliklarning kesishish maydonini topish kerak.

Bu maydon bo'sh bo'lib chiqishi mumkin, keyin tengsizliklar tizimi hech qanday yechimga ega emas va mos kelmaydi. Aks holda, tizim izchil deb aytiladi.
Yechimlar bo'lishi mumkin yakuniy raqam Va cheksiz to'plam. Hudud yopiq ko'pburchak yoki cheklanmagan bo'lishi mumkin.

Keling, uchta tegishli misolni ko'rib chiqaylik.

Misol 1. Tizimni grafik tarzda yeching:
x + y - 1 ≤ 0;
–2x - 2y + 5 ≤ 0.

• tengsizliklarga mos keladigan x+y–1=0 va –2x–2y+5=0 tenglamalarni ko‘rib chiqing;
• Ushbu tenglamalar orqali berilgan to'g'ri chiziqlarni quramiz.

2-rasm

Tengsizliklar bilan aniqlangan yarim tekisliklarni aniqlaylik. Keling, ixtiyoriy nuqtani olaylik, (0; 0). Keling, ko'rib chiqaylik x+ y– 1 0, nuqtani (0; 0) almashtiring: 0 + 0 – 1 ≤ 0. Bu (0; 0) nuqta yotadigan yarim tekislikda, x + y – 1 ≤ 0, ya'ni. chiziq ostida yotgan yarim tekislik birinchi tengsizlikning yechimidir. Ushbu nuqtani (0; 0) ikkinchisiga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, ya'ni. (0; 0) nuqta yotadigan yarim tekislikda, –2 x – 2y+ 5≥ 0 va bizdan qayerda -2 so'rashdi x – 2y+ 5 ≤ 0, shuning uchun boshqa yarim tekislikda - to'g'ri chiziq ustidagi birida.
Keling, bu ikki yarim tekislikning kesishishini topamiz. Chiziqlar parallel, shuning uchun tekisliklar hech qanday joyda kesishmaydi, demak bu tengsizliklar sistemasi yechimga ega emas va mos kelmaydi.

2-misol. Tengsizliklar sistemasining grafik yechimlarini toping:

3-rasm
1. Tengsizliklarga mos tenglamalarni yozamiz va to‘g‘ri chiziqlarni tuzamiz.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. (0; 0) nuqtani tanlab, yarim tekisliklardagi tengsizliklar belgilarini aniqlaymiz:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, ya'ni. x + 2y– to‘g‘ri chiziq ostidagi yarim tekislikda 2 ≤ 0;
0 – 0 – 1 ≤ 0, ya’ni. y –x– to‘g‘ri chiziq ostidagi yarim tekislikda 1 ≤ 0;
0 + 2 =2 ≥ 0, ya'ni. y To'g'ri chiziq ustidagi yarim tekislikda + 2 ≥ 0.
3. Ushbu uchta yarim tekislikning kesishishi uchburchak bo'lgan maydon bo'ladi. Tegishli chiziqlarning kesishish nuqtalari sifatida mintaqaning uchlarini topish qiyin emas


Shunday qilib, A(–3; –2), IN(0; 1), BILAN(6; –2).

Keling, tizimning natijaviy yechim sohasi cheklanmagan boshqa misolni ko'rib chiqaylik.

Biz sof algebraik tarzda hisoblashga odatlangan ko'plab vazifalarni ancha oson va tezroq hal qilish mumkin, bunda funktsiya grafiklaridan foydalanish yordam beradi. Siz “qanday qilib?” deysiz. biror narsani chizish va nimani chizish kerak? Ishoning, ba'zida bu qulayroq va osonroq. Boshlaylikmi? Keling, tenglamalardan boshlaylik!

Tenglamalarning grafik yechimi

Chiziqli tenglamalarning grafik yechimi

Siz allaqachon bilganingizdek, chiziqli tenglamaning grafigi to'g'ri chiziqdir, shuning uchun bu turning nomi. Chiziqli tenglamalarni algebraik tarzda echish juda oson - biz barcha noma'lumlarni tenglamaning bir tomoniga o'tkazamiz, biz bilgan hamma narsani boshqasiga o'tkazamiz va voila! Biz ildizni topdik. Endi men sizga buni qanday qilishni ko'rsataman grafik jihatdan.

Shunday qilib, sizda tenglama mavjud:

Uni qanday hal qilish kerak?
Variant 1, va eng keng tarqalgani noma'lumlarni bir tomonga, ma'lumlarni boshqa tomonga o'tkazishdir, biz quyidagilarni olamiz:

Endi quraylik. Nima oldingiz?

Sizningcha, bizning tenglamamizning ildizi nima? To'g'ri, grafiklarning kesishish nuqtasining koordinatasi:

Bizning javobimiz

Bu grafik yechimning butun donoligi. Osonlik bilan tekshirishingiz mumkin, tenglamamizning ildizi raqamdir!

Yuqorida aytganimdek, bu eng keng tarqalgan variant, yaqin algebraik yechim, lekin siz uni boshqacha hal qilishingiz mumkin. Muqobil yechimni ko'rib chiqish uchun tenglamamizga qaytaylik:

Bu safar biz hech narsani u yoqdan bu yoqqa siljitmaymiz, balki to'g'ridan-to'g'ri grafiklarni tuzamiz, ular hozirgidek:

Qurilganmi? Ko'raylikchi!

Bu safar qanday yechim bor? Hammasi to'g'ri. Xuddi shu narsa - grafiklarning kesishish nuqtasining koordinatasi:

Va yana, bizning javobimiz.

Ko'rib turganingizdek, bilan chiziqli tenglamalar hamma narsa juda oddiy. Murakkabroq narsani ko'rib chiqish vaqti keldi... Masalan, kvadrat tenglamalarning grafik yechimi.

Kvadrat tenglamalarning grafik yechimi

Demak, endi kvadrat tenglamani yechishni boshlaylik. Aytaylik, siz ushbu tenglamaning ildizlarini topishingiz kerak:

Albatta, endi siz diskriminant orqali yoki Vyeta teoremasiga ko'ra hisoblashni boshlashingiz mumkin, lekin ko'p odamlar asabiylashib, ko'paytirish yoki kvadratlashtirishda xato qilishadi, ayniqsa misol bilan bo'lsa. katta raqamlar, va siz bilganingizdek, sizda imtihon uchun kalkulyator bo'lmaydi ... Shuning uchun, keling, bu tenglamani yechishda biroz dam olishga va chizishga harakat qilaylik.

Ushbu tenglamaning yechimlarini turli usullar bilan grafik tarzda topish mumkin. Keling, ko'rib chiqaylik turli xil variantlar, va siz qaysi birini ko'proq yoqtirishingizni tanlashingiz mumkin.

1-usul. To'g'ridan-to'g'ri

Ushbu tenglama yordamida oddiygina parabola quramiz:

Buni tezda amalga oshirish uchun men sizga bir kichik maslahat beraman: Parabolaning uchini aniqlash orqali qurilishni boshlash qulay. Quyidagi formulalar parabolaning uchining koordinatalarini aniqlashga yordam beradi:

Siz aytasiz: "To'xtang! ning formulasi diskriminantni topish formulasiga juda o'xshaydi," ha, shunday va bu uning ildizlarini topish uchun "to'g'ridan-to'g'ri" parabolani qurishning katta kamchiligidir. Biroq, keling, oxirigacha hisoblaylik, keyin men buni qanday qilishni ko'rsataman (ko'p!) osonroq!

Hisobladingizmi? Parabolaning tepasi uchun qanday koordinatalarni oldingiz? Keling, buni birgalikda aniqlaymiz:

Aynan bir xil javobmi? Juda qoyil! Va endi biz cho'qqining koordinatalarini allaqachon bilamiz, lekin parabolani qurish uchun bizga ko'proq ... nuqta kerak. Sizningcha, bizga qancha minimal ball kerak? To'g'ri, .

Parabola o'z cho'qqisiga nisbatan simmetrik ekanligini bilasiz, masalan:

Shunga ko'ra, bizga parabolaning chap yoki o'ng shoxiga yana ikkita nuqta kerak va kelajakda biz ushbu nuqtalarni qarama-qarshi tomonda nosimmetrik tarzda aks ettiramiz:

Keling, parabolamizga qaytaylik. Bizning holatimiz uchun, davr. Bizga yana ikkita ochko kerak, shuning uchun ijobiylarini olishimiz mumkinmi yoki salbiyni olishimiz mumkinmi? Qaysi nuqtalar siz uchun qulayroq? Men uchun ijobiylar bilan ishlash qulayroq, shuning uchun men va da hisoblayman.

Endi bizda uchta nuqta bor, biz oxirgi ikki nuqtani uning cho'qqisiga nisbatan aks ettirib, parabolamizni osongina qurishimiz mumkin:

Sizningcha, tenglamaning yechimi qanday? To'g'ri, nuqtalar qaysi, ya'ni va. Chunki.

Va agar shunday desak, u ham teng bo'lishi kerak degan ma'noni anglatadi, yoki.

Shunchaki? Biz siz bilan murakkab grafik usulda tenglamani yechishni tugatdik, aks holda ko'proq bo'ladi!

Albatta, siz bizning javobimizni algebraik tarzda tekshirishingiz mumkin - Vieta teoremasi yoki Diskriminant yordamida ildizlarni hisoblashingiz mumkin. Nima oldingiz? Xuddi shu? Mana ko'rasiz! Endi juda oddiy grafik yechimni ko'rib chiqamiz, ishonchim komilki, sizga juda yoqadi!

Usul 2. Bir nechta funktsiyalarga bo'lingan

Keling, bir xil tenglamamizni olaylik: , lekin biz uni biroz boshqacha yozamiz, ya'ni:

Buni shunday yoza olamizmi? Biz qila olamiz, chunki transformatsiya ekvivalentdir. Keling, batafsilroq ko'rib chiqaylik.

Keling, ikkita funktsiyani alohida tuzamiz:

1. - grafik oddiy parabola bo'lib, uni formulalar yordamida cho'qqisini aniqlamasdan va boshqa nuqtalarni aniqlash uchun jadval tuzmasdan ham osongina qurishingiz mumkin.
2. - grafik to'g'ri chiziq bo'lib, siz hatto kalkulyatorga murojaat qilmasdan ham boshingizdagi qiymatlarni taxmin qilish orqali osongina qurishingiz mumkin.

Qurilganmi? Keling, men olgan narsalar bilan taqqoslaylik:

Sizningcha, bu holatda tenglamaning ildizlari nima? To'g'ri! Ikki grafikning kesishishi natijasida olingan koordinatalar, ya'ni:

Shunga ko'ra, bu tenglamaning yechimi:

Nima deysan? Qabul qiling, bu yechim usuli avvalgisidan ancha oson va hatto diskriminant orqali ildiz izlashdan ham osonroq! Agar shunday bo'lsa, ushbu usul yordamida quyidagi tenglamani echishga harakat qiling:

Nima oldingiz? Grafiklarimizni solishtiramiz:

Grafiklar javoblar quyidagicha ekanligini ko'rsatadi:

Siz boshqardingizmi? Juda qoyil! Endi biroz murakkabroq tenglamalarni, ya'ni aralash tenglamalar yechimini, ya'ni har xil turdagi funksiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni ko'rib chiqamiz.

Aralash tenglamalarning grafik yechimi

Endi quyidagi masalalarni hal qilishga harakat qilaylik:

Albatta, biz hamma narsani olib kelishimiz mumkin umumiy maxraj, ODZ ni hisobga olishni unutmasdan, hosil bo'lgan tenglamaning ildizlarini toping, lekin biz avvalgi barcha holatlarda bo'lgani kabi, uni yana grafik tarzda echishga harakat qilamiz.

Bu safar quyidagi 2 ta grafikni tuzamiz:

1. - grafik giperbola
2. - grafik to'g'ri chiziq bo'lib, siz hatto kalkulyatorga murojaat qilmasdan ham boshingizdagi qiymatlarni taxmin qilish orqali osongina qurishingiz mumkin.

Tushundingizmi? Endi qurishni boshlang.

Mana menda nima bor:

Ushbu rasmga qarab, ayting-chi, bizning tenglamamizning ildizlari nima?

To'g'ri va. Mana tasdiq:

Bizning ildizlarimizni tenglamaga kiritishga harakat qiling. Bo'ldimi?

Hammasi to'g'ri! Qabul qiling, bunday tenglamalarni grafik tarzda yechish juda yoqimli!

Tenglamani grafik tarzda o'zingiz hal qilishga harakat qiling:

Men sizga maslahat beraman: tenglamaning bir qismini o'ng tomonga o'tkazing, shunda tuziladigan eng oddiy funktsiyalar har ikki tomonda bo'ladi. Maslahat oldingizmi? Harakat qiling!

Endi nima borligini bilib olaylik:

Mos ravishda:

1. - kubik parabola.
2. - oddiy to'g'ri chiziq.

Xo'sh, quraylik:

Siz allaqachon yozganingizdek, bu tenglamaning ildizi -.

Bunga qaror qilib katta miqdorda Misollar, ishonchim komilki, siz tenglamalarni grafik tarzda qanday oson va tez echishingiz mumkinligini tushungansiz. Tizimlarni shu tarzda qanday hal qilishni aniqlash vaqti keldi.

Tizimlarning grafik yechimi

Tizimlarni grafik echish mohiyatan tenglamalarni grafik yechishdan farq qilmaydi. Shuningdek, biz ikkita grafik tuzamiz va ularning kesishish nuqtalari ushbu tizimning ildizlari bo'ladi. Bitta grafik bitta tenglama, ikkinchi grafik boshqa tenglama. Hammasi juda oddiy!

Keling, eng oddiy narsadan boshlaylik - chiziqli tenglamalar tizimini echish.

Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish

Aytaylik, bizda quyidagi tizim mavjud:

Birinchidan, uni shunday o'zgartiramizki, chap tomonda u bilan bog'liq bo'lgan hamma narsa, o'ngda esa - u bilan bog'liq bo'lgan hamma narsa bor. Boshqacha qilib aytganda, bu tenglamalarni funksiya sifatida odatdagi shaklda yozamiz:

Endi biz ikkita to'g'ri chiziq quramiz. Bizning holatimizda qanday yechim bor? To'g'ri! Ularning kesishish nuqtasi! Va bu erda siz juda ehtiyot bo'lishingiz kerak! O'ylab ko'ring, nega? Sizga bir maslahat beraman: biz tizim bilan shug'ullanmoqdamiz: tizimda ikkalasi ham bor va ... Maslahat oldingizmi?

Hammasi to'g'ri! Tizimni yechishda biz faqat tenglamalarni yechishdagi kabi emas, balki ikkala koordinataga ham qarashimiz kerak! Yana bir muhim jihat shundaki, ularni to'g'ri yozib, qayerda ma'no bor va qayerda ma'no borligini chalkashtirmaslik! Siz yozdingizmi? Endi hamma narsani tartibda taqqoslaylik:

Va javoblar: va. Tekshiring - topilgan ildizlarni tizimga almashtiring va biz uni grafik tarzda to'g'ri hal qilganimizga ishonch hosil qiling?

Nochiziqli tenglamalar sistemalarini yechish

Agar bizda bitta to'g'ri chiziq o'rniga bo'lsa-chi? kvadrat tenglama? Hammasi joyida! Siz shunchaki to'g'ri chiziq o'rniga parabola qurasiz! Ishonma? Quyidagi tizimni hal qilishga harakat qiling:

Keyingi qadamimiz nima? To'g'ri, grafiklarni yaratish biz uchun qulay bo'lishi uchun uni yozib qo'ying:

Va endi hamma narsa mayda-chuydalar masalasi - uni tezda yarating va mana sizning yechimingiz! Biz quramiz:

Grafiklar bir xil chiqdimi? Endi rasmda tizimning yechimlarini belgilang va aniqlangan javoblarni to'g'ri yozing!

Men hammasini qildimmi? Mening qaydlarim bilan solishtiring:

Hammasi to'g'ri? Juda qoyil! Siz allaqachon yong'oq kabi vazifalarni bajaryapsiz! Agar shunday bo'lsa, keling, sizga murakkabroq tizimni beraylik:

Biz nima qilyapmiz? To'g'ri! Biz tizimni qurish qulay bo'lishi uchun yozamiz:

Men sizga bir oz maslahat beraman, chunki tizim juda murakkab ko'rinadi! Grafiklarni qurishda ularni "ko'proq" quring va eng muhimi, kesishish nuqtalarining soniga hayron bo'lmang.

Xo'sh, ketaylik! Nafas chiqarilganmi? Endi qurishni boshlang!

Qanday? Chiroylimi? Qancha kesishish nuqtasini oldingiz? Menda uchtasi bor! Grafiklarimizni solishtiramiz:

Shuningdek? Endi tizimimizning barcha yechimlarini diqqat bilan yozing:

Endi tizimga yana qarang:

Buni atigi 15 daqiqada hal qilganingizni tasavvur qila olasizmi? Qabul qiling, matematika hali ham oddiy, ayniqsa iboraga qaraganingizda xato qilishdan qo'rqmaysiz, shunchaki uni oling va uni hal qiling! Siz katta yigitsiz!

Tengsizliklarning grafik yechimi

Chiziqli tengsizliklarning grafik yechimi

Oxirgi misoldan keyin siz hamma narsani qilishingiz mumkin! Endi nafas oling - oldingi bo'limlarga qaraganda, bu juda oson bo'ladi!

Biz odatdagidek chiziqli tengsizlikning grafik yechimidan boshlaymiz. Masalan, bu:

Birinchidan, eng oddiy o'zgarishlarni amalga oshiramiz - qavslarni oching to'liq kvadratlar va shunga o'xshash shartlarni bering:

Tengsizlik qat'iy emas, shuning uchun u intervalga kiritilmaydi va yechim o'ngdagi barcha nuqtalar bo'ladi, chunki ko'proq, ko'proq va hokazo:

Javob:

Ana xolos! Osonmi? Ikki o‘zgaruvchili oddiy tengsizlikni yechamiz:

Funksiyani koordinatalar sistemasida chizamiz.

Siz bunday jadvalni oldingizmi? Endi bizda qanday tengsizlik borligini diqqat bilan ko'rib chiqaylik? Ozroq? Bu bizning to'g'ri chiziqning chap tomonidagi hamma narsani bo'yashimizni anglatadi. Agar ko'proq bo'lsa-chi? To'g'ri, biz to'g'ri chiziqning o'ng tomonidagi hamma narsani bo'yab qo'yamiz. Hammasi oddiy.

Ushbu tengsizlikning barcha yechimlari "soyali" apelsin. Hammasi shunday, ikkita o'zgaruvchili tengsizlik echildi. Demak, soyali maydondan istalgan nuqtaning koordinatalari yechimlardir.

Kvadrat tengsizliklarning grafik yechimi

Endi biz kvadrat tengsizliklarni grafik tarzda qanday yechish kerakligini tushunamiz.

Ammo ishga kirishishdan oldin kvadrat funktsiyaga oid ba'zi materiallarni ko'rib chiqaylik.

Diskriminant nima uchun javobgar? To'g'ri, grafikning o'qga nisbatan pozitsiyasi uchun (agar buni eslamasangiz, kvadrat funktsiyalar haqidagi nazariyani albatta o'qing).

Qanday bo'lmasin, siz uchun bir oz eslatma:

Xotiramizdagi barcha materiallarni yangilaganimizdan so'ng, keling, ishga kirishamiz - tengsizlikni grafik tarzda hal qilamiz.

Men sizga darhol aytaman, uni hal qilishning ikkita varianti bor.

Variant 1

Biz parabolani funktsiya sifatida yozamiz:

Formulalardan foydalanib, biz parabola cho'qqisining koordinatalarini aniqlaymiz (aynan kvadrat tenglamalarni echishda bo'lgani kabi):

Hisobladingizmi? Nima oldingiz?

Keling, yana ikkita turli nuqtani olamiz va ular uchun hisoblaymiz:

Keling, parabolaning bitta shoxini qurishni boshlaylik:

Biz nuqtalarimizni parabolaning boshqa tarmog'iga simmetrik tarzda aks ettiramiz:

Endi tengsizligimizga qaytaylik.

Bizga mos ravishda noldan kichik bo'lishi kerak:

Bizning tengsizligimizda belgi qat'iy kamroq bo'lganligi sababli, biz oxirgi nuqtalarni istisno qilamiz - "teshilish".

Javob:

Uzoq yo'l, to'g'rimi? Endi men sizga bir xil tengsizlik misolidan foydalanib, grafik echimning soddaroq versiyasini ko'rsataman:

Variant 2

Biz tengsizligimizga qaytamiz va kerakli intervallarni belgilaymiz:

Qabul qilaman, bu juda tez.

Keling, javobni yozamiz:

Keling, algebraik qismni soddalashtiradigan yana bir yechimni ko'rib chiqaylik, lekin asosiy narsa chalkashmaslikdir.

Chap va o'ng tomonlarni ko'paytiring:

Quyidagi kvadrat tengsizlikni o'zingiz xohlagan usulda yechishga harakat qiling: .

Siz boshqardingizmi?

Mening grafigim qanday bo'lganiga qarang:

Javob: .

Aralash tengsizliklarning grafik yechimi

Endi murakkabroq tengsizliklarga o'tamiz!

Bu sizga qanday yoqadi:

Bu qo'rqinchli, shunday emasmi? Rostini aytsam, men buni algebraik tarzda qanday hal qilishni bilmayman ... Lekin bu kerak emas. Grafik jihatdan bu borada murakkab narsa yo'q! Ko'zlar qo'rqadi, lekin qo'llar qiladi!

Biz boshlashimiz kerak bo'lgan birinchi narsa ikkita grafikni qurishdir:

Men har biri uchun jadval yozmayman - ishonchim komilki, siz buni o'zingiz qilishingiz mumkin (voy, hal qilish uchun juda ko'p misollar bor!).

Siz uni bo'yadingizmi? Endi ikkita grafik tuzing.

Keling, chizmalarimizni solishtiraylikmi?

Siz bilan ham shundaymi? Ajoyib! Keling, kesishish nuqtalarini tartibga solamiz va nazariy jihatdan qaysi grafik kattaroq bo'lishi kerakligini aniqlash uchun rangdan foydalanamiz. Oxiri nima bo'lganiga qarang:

Endi biz tanlagan grafigimiz grafikdan qayerda balandroq ekanligini ko'rib chiqaylik? Bemalol qalam olib, ustiga bo'yashingiz mumkin bu hudud! U bizning murakkab tengsizligimiz uchun yechim bo'ladi!

O'q bo'ylab qaysi oraliqlarda biz yuqorida joylashganmiz? To'g'ri, . Bu javob!

Xo'sh, endi siz har qanday tenglamani, har qanday tizimni va undan ham ko'proq har qanday tengsizlikni boshqarishingiz mumkin!

ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Funksiya grafiklari yordamida tenglamalarni yechish algoritmi:

1. Keling, buni orqali ifoda qilaylik
2. Funktsiya turini aniqlaymiz
3. Olingan funksiyalarning grafiklarini tuzamiz
4. Grafiklarning kesishish nuqtalarini topamiz
5. Javobni to'g'ri yozamiz (ODZ va tengsizlik belgilarini hisobga olgan holda)
6. Javobni tekshiramiz (tenglama yoki tizimning ildizlarini almashtiring)

Funktsiya grafiklarini qurish haqida ko'proq ma'lumot olish uchun "" mavzusiga qarang.

QOGAN 2/3 MAQOLALAR FAQAT SIZLARGA MUMKIN!

YouClever talabasi bo'ling,

Yagona davlat imtihoniga yoki matematika bo'yicha yagona davlat imtihoniga "oyiga bir chashka qahva" narxiga tayyorlaning.

Shuningdek, "YouClever" darsligiga, "100gia" tayyorgarlik dasturiga (ishchi kitobiga) cheksiz kirish, cheksiz Yagona davlat ekspertizasi va OGE, 6000 yechimlarni tahlil qilish va boshqa xizmatlar YouClever va 100gia muammolari.