Ildiz formulalari. Kvadrat ildizlarning xossalari.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Juda "juda emas ..." bo'lganlar uchun
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)

Oldingi darsda biz kvadrat ildiz nima ekanligini aniqladik. Qaysi biri borligini aniqlash vaqti keldi ildizlar uchun formulalar nima ildizlarning xususiyatlari, va bularning barchasi bilan nima qilish mumkin.

Ildiz formulalari, ildizlarning xossalari va ildizlar bilan ishlash qoidalari- bu aslida bir xil narsa. uchun formulalar kvadrat ildizlar hayratlanarli darajada oz. Bu, albatta, meni xursand qiladi! To'g'rirog'i, siz juda ko'p turli xil formulalarni yozishingiz mumkin, ammo ildizlar bilan amaliy va ishonchli ishlash uchun faqat uchtasi etarli. Qolganlarning hammasi shu uchtasidan kelib chiqadi. Garchi ko'p odamlar uchta ildiz formulasida chalkashib ketishsa ham, ha ...

Eng oddiyidan boshlaylik. Mana u:

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Buni tartibga solish vaqti keldi ildiz chiqarish usullari. Ular ildizlarning xususiyatlariga, xususan, har qanday kishiga to'g'ri keladigan tenglikka asoslanadi Yo'q salbiy raqam b.

Quyida ildizlarni olishning asosiy usullarini birma-bir ko'rib chiqamiz.

Eng oddiy holatdan boshlaylik - kvadratlar jadvali, kublar jadvali va boshqalar yordamida natural sonlardan ildiz olish.

Agar kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari. Agar qo'lingizda bo'lmasa, ildizni ajratib olish usulidan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi, bu radikal sonni asosiy omillarga ajratishni o'z ichiga oladi.

Toq ko'rsatkichlari bo'lgan ildizlar uchun nima mumkinligini alohida ta'kidlash kerak.

Va nihoyat, ildiz qiymatining raqamlarini ketma-ket topishga imkon beradigan usulni ko'rib chiqaylik.

Qani boshladik.

Kvadratchalar jadvali, kublar jadvali va boshqalardan foydalanish.

Eng oddiy hollarda, kvadratchalar, kublar va boshqalar jadvallari ildizlarni olish imkonini beradi. Bu jadvallar nima?

0 dan 99 gacha bo'lgan butun sonlar kvadratlari jadvali (quyida ko'rsatilgan) ikkita zonadan iborat. Jadvalning birinchi zonasi kulrang fonda joylashgan bo'lib, ma'lum bir qator va ma'lum bir ustunni tanlab, 0 dan 99 gacha raqamni yaratishga imkon beradi. Masalan, 8 o'nlik qatorni va 3 birlikdan iborat ustunni tanlaymiz, bu bilan biz 83 raqamini tuzatdik. Ikkinchi zona stolning qolgan qismini egallaydi. Har bir katak ma'lum bir qator va ma'lum bir ustunning kesishmasida joylashgan bo'lib, 0 dan 99 gacha bo'lgan mos keladigan raqamning kvadratini o'z ichiga oladi. Biz tanlagan 8 o'nlik qatori va birliklarning 3-ustunining kesishmasida 83 sonining kvadrati bo'lgan 6889 raqamli katakcha mavjud.

Kublar jadvallari, 0 dan 99 gacha bo'lgan sonlarning to'rtinchi darajalari jadvallari va boshqalar kvadratlar jadvaliga o'xshaydi, faqat ular ikkinchi zonada kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalarni o'z ichiga oladi. mos keladigan raqamlar.

Kvadratlar, kublar, to'rtinchi darajalar va boshqalar jadvallari. kvadrat ildizlarni, kub ildizlarini, to'rtinchi ildizlarni va boshqalarni olish imkonini beradi. mos ravishda ushbu jadvallardagi raqamlardan. Keling, ildizlarni olishda ulardan foydalanish tamoyilini tushuntiramiz.

Aytaylik, a sonining n-chi ildizini ajratib olishimiz kerak, a soni esa n darajali darajalar jadvalida joylashgan. Ushbu jadvaldan foydalanib, a=b n bo'ladigan b sonini topamiz. Keyin , shuning uchun b soni n-darajaning kerakli ildizi bo'ladi.

Misol tariqasida, 19,683 ning kub ildizini olish uchun kub jadvalidan qanday foydalanishni ko'rsatamiz. Biz kublar jadvalida 19683 raqamini topamiz, undan bu raqam 27 raqamining kubi ekanligini topamiz, shuning uchun .

Ko'rinib turibdiki, n darajali jadvallar ildizlarni olish uchun juda qulaydir. Biroq, ular ko'pincha qo'lda emas va ularni tuzish biroz vaqt talab etadi. Bundan tashqari, ko'pincha tegishli jadvallarda mavjud bo'lmagan raqamlardan ildizlarni ajratib olish kerak bo'ladi. Bunday hollarda siz ildizni olib tashlashning boshqa usullariga murojaat qilishingiz kerak.

Radikal sonni tub omillarga ajratish

Tabiiy sonning ildizini ajratib olishning juda qulay usuli (agar, albatta, ildiz chiqarilgan bo'lsa) radikal sonni tub omillarga ajratishdir. Uning gap shu: shundan keyin uni kerakli ko'rsatkichga ega bo'lgan kuch sifatida ifodalash juda oson, bu sizga ildizning qiymatini olish imkonini beradi. Keling, ushbu fikrga aniqlik kiritaylik.

a natural sonning n- ildizi olinsin va uning qiymati b ga teng. Bu holda a=b n tenglik to'g'ri bo'ladi. b raqami har qanday kabi natural son p 1 · p 2 · … · p m ko‘rinishida uning barcha tub omillari p 1 , p 2 , …, p m ko‘paytmasi sifatida ifodalanishi mumkin va bu holda radikal son a (p 1 · p 2) shaklida ifodalanadi. · … · p m) n. Sonning tub omillarga ajralishi o‘ziga xos bo‘lgani uchun radikal a sonning tub omillarga ajralishi (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko‘rinishga ega bo‘ladi, bu esa ildiz qiymatini hisoblash imkonini beradi. kabi.

E'tibor bering, agar a radikal sonning tub omillarga bo'linishini (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lmasa, unda bunday a sonning n-chi ildizi to'liq chiqarilmaydi.

Keling, misollarni echishda buni aniqlaylik.

Misol.

144 ning kvadrat ildizini oling.

Yechim.

Oldingi xatboshida berilgan kvadratchalar jadvaliga qarasangiz, 144 = 12 2 ekanligini aniq ko'rishingiz mumkin, shundan 144 ning kvadrat ildizi 12 ga teng ekanligi aniq.

Ammo bu fikrni hisobga olgan holda, biz 144 radikal sonini tub omillarga ajratish orqali ildiz qanday olinishi bilan qiziqamiz. Keling, ushbu yechimni ko'rib chiqaylik.

Keling, parchalanaylik 144 dan asosiy omillarga:

Ya'ni, 144=2·2·2·2·3·3. Olingan parchalanish asosida quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Demak, .

Darajaning xossalari va ildizlarning xossalaridan foydalanib, eritmani biroz boshqacha shakllantirish mumkin: .

Javob:

Materialni birlashtirish uchun yana ikkita misolning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Ildizning qiymatini hisoblang.

Yechim.

243 radikal sonining tub koeffitsientlari 243=3 5 ko'rinishga ega. Shunday qilib, .

Javob:

Misol.

Ildiz qiymati butun sonmi?

Yechim.

Bu savolga javob berish uchun keling, radikal sonni tub omillarga ajratamiz va uni butun sonning kubi sifatida ifodalash mumkinligini bilib olaylik.

Bizda 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 bor. Olingan kengayishni butun sonning kubi sifatida tasvirlab bo'lmaydi, chunki 7-bosh omilning kuchi uchga karrali emas. Shuning uchun 285,768 ning kub ildizini to'liq ajratib bo'lmaydi.

Javob:

Yo'q.

Kasr sonlardan ildizlarni ajratib olish

Ildizni qanday qilib olish kerakligini aniqlash vaqti keldi kasr son. Kasr radikal son p/q shaklida yozilsin. Bo'lakning ildizining xususiyatiga ko'ra, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu tenglikdan kelib chiqadi kasrning ildizini ajratib olish qoidasi: Kasrning ildizi aylanmaning ildiziga boʻlingan qismga teng.

Kasrdan ildiz chiqarish misolini ko'rib chiqamiz.

Misol.

Kvadrat ildiz nima oddiy kasr 25/169 .

Yechim.

Kvadratlar jadvalidan foydalanib, biz asl kasrning kvadrat ildizi 5 ga, maxrajning kvadrat ildizi esa 13 ga teng ekanligini aniqlaymiz. Keyin . Bu 25/169 oddiy kasrning ildizini ajratib olishni yakunlaydi.

Javob:

O'nli kasr yoki aralash sonning ildizi radikal sonlarni oddiy kasrlar bilan almashtirgandan so'ng chiqariladi.

Misol.

474.552 o'nlik kasrning kub ildizini oling.

Yechim.

Keling, asl nusxani tasavvur qilaylik kasr oddiy kasr sifatida: 474,552=474552/1000. Keyin . Olingan kasrning hisoblagichi va maxrajidagi kub ildizlarini ajratib olish qoladi. Chunki 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 va 1 000 = 10 3, keyin Va . Faqat hisob-kitoblarni bajarish qoladi .

Javob:

.

Salbiy sonning ildizini olish

Salbiy raqamlardan ildizlarni ajratib olish haqida to'xtalib o'tishga arziydi. Ildizlarni o'rganayotganda, agar ildiz ko'rsatkichi toq son bo'lsa, u holda ildiz belgisi ostida manfiy son bo'lishi mumkinligini aytdik. Biz bu yozuvlarga quyidagi maʼnoni berdik: manfiy son −a va 2 n−1 ildizning toq koʻrsatkichi uchun, . Bu tenglik beradi manfiy sonlardan toq ildizlarni chiqarish qoidasi: manfiy sonning ildizini chiqarish uchun qarama-qarshi musbat sonning ildizini olib, natija oldiga minus belgisini qo'yish kerak.

Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ildizning qiymatini toping.

Yechim.

Keling, asl iborani ildiz belgisi ostida ijobiy son bo'lishi uchun o'zgartiramiz: . Hozir aralash raqam uni oddiy kasr bilan almashtiring: . Oddiy kasrning ildizini olish qoidasini qo'llaymiz: . Olingan kasrning numeratori va maxrajidagi ildizlarni hisoblash qoladi: .

Bu yechimning qisqacha mazmuni: .

Javob:

.

Ildiz qiymatini bitli aniqlash

IN umumiy holat ildiz ostida yuqorida ko'rib chiqilgan usullardan foydalangan holda hech qanday sonning n-darajasi sifatida ifodalanmaydigan son mavjud. Ammo ayni paytda ma'noni bilish kerak berilgan ildiz, hech bo'lmaganda ma'lum bir belgigacha. Bunday holda, ildizni olish uchun siz kerakli raqamning etarli miqdordagi raqamli qiymatlarini ketma-ket olish imkonini beruvchi algoritmdan foydalanishingiz mumkin.

Ushbu algoritmning birinchi bosqichi ildiz qiymatining eng muhim biti nima ekanligini aniqlashdir. Buning uchun 0, 10, 100, ... raqamlari radikal sondan oshib ketgan son olinmaguncha ketma-ket n darajaga ko'tariladi. Keyin oldingi bosqichda biz n darajasiga ko'targan raqam mos keladigan eng muhim raqamni ko'rsatadi.

Misol uchun, beshning kvadrat ildizini chiqarishda algoritmning ushbu bosqichini ko'rib chiqing. 0, 10, 100, ... raqamlarini oling va 5 dan katta raqam olinmaguncha ularni kvadratga aylantiring. Bizda 0 2 = 0 bor<5 , 10 2 =100>5, ya'ni eng muhim raqam birlar soni bo'ladi. Ushbu bitning qiymati, shuningdek, quyi bo'lganlar, ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichlarida topiladi.

Algoritmning barcha keyingi bosqichlari ildizning kerakli qiymatining keyingi bitlarining qiymatlarini topib, eng yuqorisidan boshlab va eng pastiga o'tish orqali ildiz qiymatini ketma-ket aniqlashtirishga qaratilgan. Misol uchun, birinchi qadamda ildizning qiymati 2, ikkinchisida - 2,2, uchinchisida - 2,23 va shunga o'xshash 2,236067977 ... ga aylanadi. Keling, raqamlarning qiymatlari qanday topilganligini tasvirlab beraylik.

Raqamlar 0, 1, 2, ..., 9 mumkin bo'lgan qiymatlarini qidirish orqali topiladi. Bunda mos keladigan sonlarning n darajalari parallel ravishda hisoblab chiqiladi va ular radikal son bilan taqqoslanadi. Agar biror bosqichda daraja qiymati radikal sondan oshsa, oldingi qiymatga mos keladigan raqamning qiymati topilgan deb hisoblanadi va ildiz chiqarish algoritmining keyingi bosqichiga o'tish amalga oshiriladi; agar bu sodir bo'lmasa, u holda bu raqamning qiymati 9 ga teng.

Keling, beshning kvadrat ildizini olishning xuddi shu misolidan foydalanib, ushbu fikrlarni tushuntiramiz.

Avval birlik raqamining qiymatini topamiz. Biz 0, 1, 2, ..., 9 qiymatlaridan o'tamiz, mos ravishda 0 2, 1 2, ..., 9 2 ni hisoblab, 5 radikal raqamidan kattaroq qiymatga ega bo'lgunimizcha. Ushbu hisob-kitoblarning barchasini jadval shaklida taqdim etish qulay:

Shunday qilib, birliklar raqamining qiymati 2 ga teng (2 2 dan beri<5 , а 2 3 >5). Keling, o'ninchi o'rinning qiymatini topishga o'tamiz. Bunday holda, olingan qiymatlarni 5 radikal raqami bilan taqqoslab, 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 raqamlarini kvadratga olamiz:

2.2 2 dan boshlab<5 , а 2,3 2 >5, u holda o'ninchi o'rinning qiymati 2 ga teng. Siz yuzinchi o'rinning qiymatini topishga o'tishingiz mumkin:

Beshning ildizining keyingi qiymati shunday topildi, u 2,23 ga teng. Shunday qilib, siz qiymatlarni topishni davom ettirishingiz mumkin: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materialni birlashtirish uchun biz ko'rib chiqilgan algoritmdan foydalanib, ildizning yuzdan birlik aniqligi bilan chiqarilishini tahlil qilamiz.

Avval biz eng muhim raqamni aniqlaymiz. Buning uchun biz 0, 10, 100 va hokazo raqamlarni kubik qilamiz. Biz 2 151 186 dan katta raqamni olguncha. Bizda 0 3 = 0 bor<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , shuning uchun eng muhim raqam o'nlik raqamidir.

Keling, uning qiymatini aniqlaymiz.

103 dan beri<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, u holda o'nliklarning qiymati 1 ga teng. Keling, birliklarga o'tamiz.

Shunday qilib, birlar sonining qiymati 2 ga teng. Keling, o'ndan biriga o'taylik.

Hatto 12,9 3 2 151,186 radikal raqamidan kichik bo'lgani uchun, o'ninchi o'rinning qiymati 9 ga teng. Algoritmning oxirgi bosqichini bajarish qoladi, u bizga kerakli aniqlik bilan ildizning qiymatini beradi.

Ushbu bosqichda ildizning qiymati yuzdan birgacha aniq topiladi: .

Ushbu maqolaning yakunida shuni aytmoqchimanki, ildizlarni olishning boshqa ko'plab usullari mavjud. Ammo ko'pgina vazifalar uchun biz yuqorida o'rganganlarimiz etarli.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: 8-sinf uchun darslik. ta'lim muassasalari.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. va boshqalar.Algebra va tahlilning boshlanishi: Umumta’lim muassasalarining 10-11-sinflari uchun darslik.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma).

Radikal ifoda - bu ildiz belgisi (kvadrat, kub yoki yuqori tartib) ostida joylashgan algebraik ifoda. Ba'zan turli iboralarning ma'nolari bir xil bo'lishi mumkin, masalan, 1/(√2 - 1) = √2 + 1. Radikal ifodani soddalashtirish, uni qandaydir kanonik yozuv shakliga keltirish uchun mo'ljallangan. Agar kanonik shaklda yozilgan ikkita ibora hali ham boshqacha bo'lsa, ularning qiymatlari teng emas. Matematikada radikal iboralarni yozishning kanonik shakli (shuningdek, ildizli iboralar) quyidagi qoidalarga mos keladi, deb ishoniladi:

• Iloji bo'lsa, ildiz belgisi ostidagi kasrdan xalos bo'ling
• Kasr darajali ifodalardan xalos bo'ling
• Iloji bo'lsa, denominatordagi ildizlardan xalos bo'ling
• Ildizdan ildizga ko'paytirish operatsiyasidan xalos bo'ling
• Ildiz belgisi ostida siz faqat butun sonni ajratib bo'lmaydigan shartlarni qoldirishingiz kerak

Ushbu qoidalar test topshiriqlariga qo'llanilishi mumkin. Misol uchun, agar siz muammoni hal qilgan bo'lsangiz, lekin natija berilgan javoblarning birortasiga mos kelmasa, natijani kanonik shaklda yozing. Yodda tutingki, test topshiriqlariga javoblar kanonik shaklda berilgan, shuning uchun natijani bir xil shaklda yozsangiz, to'g'ri javobni osongina aniqlashingiz mumkin. Agar muammo "javobni soddalashtirish" yoki "radikal ifodalarni soddalashtirish" ni talab qilsa, natijani kanonik shaklda yozish kerak. Bundan tashqari, kanonik shakl tenglamalarni echishni osonlashtiradi, garchi kanonik belgilarni bir muncha vaqt unutib qo'ysangiz, ba'zi tenglamalarni echish osonroq bo'ladi.

Qadamlar

To'liq kvadratchalar va to'liq kublardan qutulish

Kasr darajali ifodadan qutulish

Kasr darajali ifodani radikal ifodaga aylantiring. Yoki, agar kerak bo'lsa, radikal ifodani kasrli ifodaga aylantiring, lekin bunday iboralarni hech qachon bitta tenglamada aralashtirmang, masalan: √5 + 5^(3/2). Aytaylik, siz ildizlar bilan ishlashga qaror qildingiz; n ning kvadrat ildizini √n, n ning kub ildizini kub√n deb belgilaymiz.

Ildiz belgisi ostidagi kasrlardan qutulish

Belgilanishning kanonik shakliga ko'ra, kasrning ildizi butun sonlar ildizlarining bo'linishi sifatida ko'rsatilishi kerak.

Radikal ifodaga qarang. Agar u kasr bo'lsa, keyingi bosqichga o'ting.

Kasrning ildizini quyidagi o'ziga xoslikka ko'ra ikki ildiz nisbati bilan almashtiring:√(a/b) = √a/√b.

• Agar maxraj manfiy bo'lsa yoki manfiy bo'lishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchi bo'lsa, bu identifikatsiyadan foydalanmang. Bunday holda, birinchi navbatda kasrni soddalashtiring.

1. Mukammal kvadratlarni soddalashtiring (agar ular mavjud bo'lsa). Masalan, √(5/4) = √5/√4 = (√5)/2.

Ildizlarni ko'paytirish operatsiyasini bartaraf etish

Mukammal kvadratlar bo'lgan omillardan qutulish

Yotib qo'ying radikal sonlarni omillarga aylantiradi. Omillar - bu ko'paytirilganda asl raqamni beradigan ba'zi raqamlar. Masalan, 5 va 4 20 sonining ikkita omilidir. Agar radikal sondan butun son ildizini chiqarib bo'lmasa, sonni uning mumkin bo'lgan omillariga ko'paytiring va ular orasidan mukammal kvadrat toping.

• Masalan, 45 ning barcha omillarini yozing: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 45 koeffitsienti (9 x 5 = 45) va mukammal kvadrat (9 = 3 ^ 2).

1. Ildiz belgisidan tashqari mukammal kvadrat bo'lgan multiplikatorni oling. 9 - mukammal kvadrat, chunki 3 x 3 = 9. Ildiz belgisi ostidagi 9 dan xalos bo'ling va ildiz belgisidan oldin 3 ni yozing; ildiz belgisi ostida 5 bo'ladi. Agar 3 raqamini ildiz belgisi ostiga qo'ysangiz, u o'ziga va 5 raqamiga ko'paytiriladi, ya'ni 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Shunday qilib, 3 √ 5 - √45 yozuvining soddalashtirilgan shakli.

   • √45 = √(9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

2. Oʻzgaruvchisi boʻlgan radikal ifodada mukammal kvadratni toping. Esda tuting: √(a^2) = |a|. Bunday ifodani "a" ga soddalashtirish mumkin, lekin faqat o'zgaruvchi ijobiy qiymatlarni qabul qilsa. √(a^3) ni √a * √(a^2) ga ajratish mumkin, chunki bir xil oʻzgaruvchilar koʻpaytirilganda ularning koʻrsatkichlari qoʻshiladi (a * a^2 = a^3).

   • Shunday qilib, a ^ 3 ifodasida mukammal kvadrat a ^ 2 dir.

3. Ildiz belgisidan tashqarida mukammal kvadrat bo'lgan o'zgaruvchini chiqaring. Ildiz belgisi ostidagi a ^ 2 dan xalos bo'ling va ildiz belgisidan oldin "a" yozing. Shunday qilib, √(a^3) = a√a.

   O'xshash atamalarni keltiring va har qanday ratsional ifodalarni soddalashtiring.

Maxrajdagi ildizlardan qutulish (maxrajni ratsionalizatsiya qilish)

Kanonik shaklga ko'ra maxraj, agar iloji bo'lsa, faqat butun sonlarni (yoki o'zgaruvchi mavjud bo'lsa, ko'phadni) o'z ichiga olishi kerak.

• Agar maxraj radikal monom bo'lsa, masalan, [hisob]/√5, pay va maxrajni shu ildizga ko'paytiring: ([numerator] * √5)/(√5 * √5) = ([numerator] * √5 )/5.
  • Kub ildiz yoki kattaroq ildiz uchun pay va maxrajni radikal bilan ildizga ko'paytiring va maxrajni ratsionalizatsiya qiling. Agar, masalan, maxraj √5 kub bo'lsa, pay va maxrajni √(5^2) kubiga ko'paytiring.
• Agar maxraj kvadrat ildizlarning yig'indisi yoki ayirmasi bo'lsa, masalan, √2 + √6, pay va maxrajni konjugatga, ya'ni uning shartlari orasidagi qarama-qarshi belgili ifodaga ko'paytiring. Masalan: [numerator]/(√2 + √6) = ([numerator] * (√2 - √6))/((√2 + √6) * (√2 - √6)). Keyin maxrajni ratsionalizatsiya qilish uchun kvadratlar farqi formulasidan ((a + b)(a - b) = a^2 - b^2) foydalaning: (√2 + √6)(√2 - √6) = (√2) )^2 - (√6)^2 = 2 - 6 = -4.
  • Kvadratlar farqi formulasini 5 + √3 ko'rinishdagi ifodaga ham qo'llash mumkin, chunki har qanday butun son boshqa butun sonning kvadrat ildizi hisoblanadi. Masalan: 1/(5 + √3) = (5 - √3)/((5 + √3)(5 - √3)) = (5 - √3)/(5^2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3)/(25 - 3) = (5 - √3)/22
  • Bu usul √5 - √6 + √7 kabi kvadrat ildizlar yig'indisiga qo'llanilishi mumkin. Agar siz ushbu ifodani (√5 - √6) + √7 ko'rinishida guruhlab, uni (√5 - √6) - √7 ga ko'paytirsangiz, siz ildizlardan xalos bo'lmaysiz, balki shakl ifodasini olasiz. a + b * √30, bu erda "a" va "b" ildizsiz monomlardir. Keyin olingan ifodani uning konjugati bilan ko'paytirish mumkin: (a + b * √30)(a - b * √30) ildizlardan qutulish uchun. Ya'ni, agar konjugat iborani ma'lum miqdordagi ildizlardan qutulish uchun bir marta ishlatish mumkin bo'lsa, u holda barcha ildizlardan qutulish uchun qancha marta ishlatilishi mumkin.
  • Bu usul yuqori kuchlarning ildizlariga ham tegishli, masalan, "3 ning 4-chi ildizi va 9-ning 7-chi ildizi" iborasi. Bunday holda, son va maxrajni maxrajning konjugat ifodasiga ko'paytiring. Ammo bu erda konjugat ifodasi yuqorida tavsiflanganlardan biroz farq qiladi. Bu holat haqida algebra darsliklarida o'qishingiz mumkin.

1. Denominatordagi ildizlarni olib tashlaganingizdan so'ng, hisoblagichni soddalashtiring. Numerator asl ifoda va qo‘shma ifodaning hosilasidir.

Ba'zi matematik muammolarni hal qilishda siz bilan ishlashingiz kerak kvadrat ildizlar. Shuning uchun kvadrat ildizlar bilan amallar qoidalarini bilish va ularni o'z ichiga olgan ifodalarni o'zgartirishni o'rganish muhimdir. Maqsad: kvadrat ildizli amallar qoidalari va kvadrat ildizli ifodalarni o'zgartirish usullarini o'rganish.

Biz bilamizki, ba'zi ratsional sonlar cheksiz davriy o'nli kasrlar sifatida ifodalanadi, masalan, 1/1998=0,000500500500... Lekin o'nli kengayishi hech qanday davrni ochmaydigan sonni tasavvur qilishimizga hech narsa to'sqinlik qilmaydi. Bunday raqamlar irratsional deb ataladi.

Irratsional sonlar tarixi 6-asrda Pifagoriyaliklarning ajoyib kashfiyotidan boshlanadi. Miloddan avvalgi e. Hammasi oddiydek tuyulgan savol bilan boshlandi: tomoni 1 bo'lgan kvadrat diagonalining uzunligini qaysi raqam ifodalaydi?

Diagonal kvadratni ikkita bir xil to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi, ularning har birida u gipotenuza vazifasini bajaradi. Shuning uchun, Pifagor teoremasidan kelib chiqqan holda, kvadrat diagonalining uzunligi tengdir.

. Mikrokalkulyatorni chiqarib, kvadrat ildiz tugmachasini bosish vasvasasi darhol paydo bo'ladi. Tabloda biz 1.4142135 ni ko'ramiz. Yuqori aniqlik bilan hisob-kitoblarni amalga oshiradigan yanada rivojlangan kalkulyator 1,414213562373 ni ko'rsatadi. Va zamonaviy kuchli kompyuter yordamida siz yuzlab, minglab, millionlab kasrlar aniqligi bilan hisoblashingiz mumkin. Ammo eng kuchli kompyuter ham qancha vaqt ishlamasin, hech qachon barcha o'nlik raqamlarni hisoblay olmaydi yoki ulardagi biron bir davrni aniqlay olmaydi.

Pifagor va uning shogirdlarida kompyuter bo'lmasa ham, ular bu haqiqatni isbotlaganlar. Pifagorchilar kvadratning diagonali va uning tomoni umumiy o'lchovga ega emasligini isbotladilar (ya'ni, diagonal va yon tomonda butun son marta chizilgan segment). Shuning uchun ularning uzunliklari nisbati sondir

– m va n ba’zi butun sonlarning nisbati sifatida ifodalab bo‘lmaydi. Va shunday bo'lgani uchun, biz qo'shamiz, sonning o'nli kengayishi hech qanday muntazam naqshni aniqlamaydi.

Pifagorchilarning kashfiyotidan keyin

Bu raqamni qanday isbotlash mumkin

mantiqsizmi? Faraz qilaylik, m/n= ratsional son bor. Biz m/n kasrni kamaytirilmas deb hisoblaymiz, chunki qaytariladigan kasr har doim kamaytirilmaydigan kasrga keltirilishi mumkin. Tenglikning ikkala tomonini ko'tarib, biz olamiz. Bu erdan m - juft son, ya'ni m = 2K degan xulosaga kelamiz. Shuning uchun va, demak, , yoki. Ammo keyin biz n juft son ekanligini tushunamiz, lekin bu bo'lishi mumkin emas, chunki m/n kasr qisqartirilmaydi. Qarama-qarshilik paydo bo'ladi.

Bizning taxminimiz noto'g'ri va ratsional son m / n ga teng degan xulosaga kelish qoladi.

mavjud emas.

1. Sonning kvadrat ildizi

Vaqtni bilish t , siz quyidagi formula yordamida erkin tushish yo'lini topishingiz mumkin:

Keling, teskari masalani hal qilaylik.

Vazifa . 122,5 m balandlikdan tushgan tosh necha soniyada quladi?

Javobni topish uchun tenglamani yechish kerak

Undan topamizki, Endi uning kvadrati 25 ga teng bo'lgan musbat t raqamini topish qoladi. Bu raqam 5 ga teng, chunki tosh 5 soniya davomida tushadi.

Shuningdek, boshqa masalalarni yechishda, masalan, kvadrat tomonining uzunligini uning maydoni bo‘yicha topishda musbat sonni kvadratiga qarab izlashga to‘g‘ri keladi. Keling, quyidagi ta'rifni kiritaylik.

Ta'rif . Kvadrati manfiy bo'lmagan a soniga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan son a ning kvadrat ildizi deyiladi. Bu raqamni anglatadi

Shunday qilib

Misol . Chunki

Manfiy sonlardan kvadrat ildiz olish mumkin emas, chunki har qanday sonning kvadrati musbat yoki nolga teng. Masalan, ifoda

raqamli qiymatga ega emas. belgi radikal belgi (lotincha "radix" - ildizdan) va raqam deb ataladi A- radikal raqam. Masalan, yozuvda radikal son 25 ga teng. Chunki bu raqamning kvadrat ildizi bitta va tomonidan yozilganligini bildiradi. 2n nollar, bir va tomonidan yozilgan songa teng n nollar: = 10…0

2n nol n nol

Xuddi shunday, bu ham isbotlangan

2n nol n nol

Masalan,

2. Kvadrat ildizlarni hisoblash

Biz bilamizki, kvadrati 2 bo'lgan ratsional son yo'q. Bu shuni anglatadiki

ratsional son bo'lishi mumkin emas. Bu irratsional son, ya'ni. davriy bo'lmagan cheksiz o'nli kasr sifatida yoziladi va bu kasrning birinchi kasrlari 1,414 ga teng ... Keyingi kasrni topish uchun siz 1,414 raqamini olishingiz kerak. X, Qayerda X 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 qiymatlarini olishi, bu raqamlarni tartib bilan kvadratlash va shunday qiymatni topishi mumkin. X, bunda kvadrat 2 dan kichik, lekin keyingi kvadrat 2 dan katta. Bu qiymat x=2. Keyinchalik, xuddi shu narsani 1.4142 kabi raqamlar bilan takrorlaymiz X. Bu jarayonni davom ettirib, ga teng cheksiz o'nli kasrning raqamlarini birin-ketin olamiz.

Har qanday musbat haqiqiy sonning kvadrat ildizining mavjudligi ham xuddi shunday tarzda isbotlangan. Albatta, ketma-ket kvadratlashtirish juda ko'p vaqt talab qiladigan ishdir va shuning uchun kvadrat ildizning o'nli joylarini tezda topish usullari mavjud. Mikrokalkulyator yordamida siz qiymatni topishingiz mumkin

sakkizta to'g'ri raqam bilan. Buning uchun mikrokalkulyatorga raqamni kiritish kifoya a>0 va tugmani bosing - ekranda qiymatning 8 ta raqami ko'rsatiladi. Ba'zi hollarda kvadrat ildizlarning xususiyatlaridan foydalanish kerak, biz quyida ko'rsatamiz.

Agar mikrokalkulyator tomonidan taqdim etilgan aniqlik etarli bo'lmasa, siz quyidagi teorema bilan berilgan ildizning qiymatini aniqlashtirish usulidan foydalanishingiz mumkin.

Teorema. Agar a ijobiy son bo'lsa va ortiqcha uchun taxminiy qiymat bo'lsa, u holda

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va/yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining ommaviy so'rovlari yoki so'rovlari asosida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.