Kasrni kasr darajasiga ko'tarish. Algebraik kasrni darajaga ko'tarish. Algebraik kasrlarni tabiiy kuchlarga ko'tarish uchun eng oddiy misollar

Tanishish vaqti keldi qurilish algebraik kasr darajaga qadar. Daraja ma'nosida algebraik kasrlar bilan bu harakat ko'paytirishga kamayadi kasrlar kabi. Ushbu maqolada biz tegishli qoidani beramiz va algebraik kasrlarni qurish misollarini ko'rib chiqamiz tabiiy daraja.

Sahifani navigatsiya qilish.

Algebraik kasrni darajaga ko`tarish qoidasi, uning isboti

Algebraik kasrni bir darajaga ko'tarish haqida gapirishdan oldin, kuch bazasida bir xil omillarning mahsuloti nima ekanligini eslash zarar qilmaydi va ularning soni eksponent bilan belgilanadi. Masalan, 2 3 =2·2·2=8.

Endi eksponentsiya qoidasini eslaylik oddiy kasr- buning uchun siz hisoblagichni ko'rsatilgan quvvatga alohida ko'tarishingiz kerak va alohida - denominator. Masalan, . Bu qoida algebraik kasrni tabiiy kuchga ko'tarish uchun amal qiladi.

Algebraik kasrni tabiiy darajaga ko'tarish yangi kasrni beradi, uning numeratori asl kasrning ko'rsatilgan darajasini va maxraji - maxrajning darajasini o'z ichiga oladi. To'g'ridan-to'g'ri shaklda bu qoida tenglikka mos keladi , bu erda a va b ixtiyoriy ko'phadlar (ayniqsa, monomlar yoki raqamlar), b esa nolga teng bo'lmagan polinom, n esa .

Algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasining isboti tabiiy ko'rsatkichli darajani aniqlashga va algebraik kasrlarni ko'paytirishni qanday aniqlaganimizga asoslanadi: .

Misollar, yechimlar

Oldingi paragrafda olingan qoida algebraik kasrni darajaga ko'tarishni asl kasrning hisoblagichi va maxrajini ushbu darajaga ko'tarishga kamaytiradi. Va asl algebraik kasrning hisoblagichi va maxraji polinomlar (muayyan holatda, monomlar yoki raqamlar) bo'lganligi sababli, asl vazifa polinomlarni bir darajaga ko'tarishdan iborat. Ushbu amalni bajargandan so'ng, asl algebraik kasrning belgilangan darajasiga teng bo'lgan yangi algebraik kasr olinadi.

Keling, bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Algebraik kasrning kvadrati.

Yechim.

Keling, darajani yozamiz. Endi biz algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasiga murojaat qilamiz, bu bizga tenglikni beradi . Hosil bo'lgan kasrni monomiallarni bir darajaga ko'tarish orqali algebraik kasr shakliga aylantirish qoladi. Shunday qilib .

Odatda, algebraik kasrni darajaga ko'tarishda yechim tushuntirilmaydi, lekin yechim qisqacha yoziladi. Bizning misolimiz kirishga mos keladi .

Javob:

Agar algebraik kasrning payi va/yoki maxrajida ko‘phadlar, ayniqsa binomlar bo‘lsa, uni bir darajaga ko‘tarishda tegishli qisqartirilgan ko‘paytirish formulalaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir.

Misol.

Algebraik kasrni tuzing ikkinchi darajaga.

Yechim.

Kasrni kuchga ko'tarish qoidasiga ko'ra, bizda bor .

Olingan ifodani numeratorga aylantirish uchun biz foydalanamiz kvadrat ayirma formulasi, va maxrajda - uchta hadlar yig'indisining kvadrati formulasi:

Javob:

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, agar kamaytirilmaydigan algebraik kasrni tabiiy darajaga ko'tarsak, natijada ham qaytarilmas kasr bo'ladi. Agar dastlabki kasr kamaytiriladigan bo'lsa, uni bir darajaga ko'tarishdan oldin algebraik kasrni bir darajaga ko'targandan keyin qisqartirishni amalga oshirmaslik uchun uni kamaytirishni amalga oshirish tavsiya etiladi.

Adabiyotlar ro'yxati.

Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 1-qism. Talabalar uchun darslik ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

cleverstudent tomonidan mualliflik huquqi

Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Saytning hech bir qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi ko'rinish, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz har qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.

Kasr sonning maxrajga nisbati bo'lib, maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak va hisoblagich har qanday bo'lishi mumkin.

Har qanday kasrni ixtiyoriy darajaga ko'targanda, biz kasrning sonini va maxrajini ushbu darajaga alohida ko'tarishimiz kerak, shundan so'ng biz bu darajalarni sanashimiz va shu bilan darajaga ko'tarilgan kasrni olishimiz kerak.

Masalan:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2/3)^3 = (2/3) · (2 /3) · (2 /3) = 2^3/3^3

Salbiy daraja

Agar biz salbiy daraja bilan shug'ullanadigan bo'lsak, unda biz birinchi navbatda "Kasrni teskari" qilishimiz kerak va shundan keyingina uni yuqorida yozilgan qoidaga muvofiq darajaga ko'tarishimiz kerak.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Harf darajasi

“X” va “y” kabi harfiy qiymatlar bilan ishlashda eksponentsiya avvalgidek bir xil qoidaga amal qiladi.

Shuningdek, biz ½ kasrni 3-darajali darajaga ko'tarish orqali o'zimizni sinab ko'rishimiz mumkin, buning natijasida biz ½ * ½ * ½ = 1/8 ni olamiz, bu aslida bir xil.

(1/2)^3 = 1/8.

Harf koʻrsatkichi x^y

Kasrlarni darajalari bilan ko'paytirish va bo'lish

Agar biz bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirsak, unda bazaning o'zi bir xil bo'lib qoladi va biz ko'rsatkichlarni qo'shamiz. Agar darajalarni bir xil asoslarga bo'ladigan bo'lsak, daraja asosi ham bir xil bo'lib qoladi va darajalarning ko'rsatkichlari ayiriladi.

Buni misol bilan juda oson ko'rsatish mumkin:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Agar biz maxraj va ayiruvchini alohida-alohida 3 va 4 ning darajasiga ko'tarsak, xuddi shu narsani olishimiz mumkin.

Kuchli kasrni boshqa kuchga ko'tarish

Bir darajali kasrni yana bir darajaga ko'targanda, biz avval ichki darajani ko'rsatishimiz kerak, keyin esa darajaning tashqi qismiga o'tishimiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, biz bu kuchlarni oddiygina ko'paytirishimiz va kasrni hosil bo'lgan kuchga ko'tarishimiz mumkin.

Masalan:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Birga ko'tarilgan, kvadrat ildiz

Shuni ham unutmasligimiz kerakki, har qanday kasrni nol darajaga ko'tarish bizga 1 ni beradi, xuddi boshqa raqamlar singari, nolga teng darajaga ko'tarilganda biz 1 ni olamiz.

Oddiy Kvadrat ildiz kasrning darajasi sifatida ham ifodalanishi mumkin

Kvadrat ildiz 3 = 3^(1/2)

Agar biz kasr joylashgan kvadrat ildiz bilan ishlayotgan bo'lsak, unda biz bu kasrni hisoblagichida 2-darajali kvadrat ildiz bo'lishini tasavvur qilishimiz mumkin (chunki u kvadrat ildizdir)

Va maxraj kvadrat ildizni ham o'z ichiga oladi, ya'ni. boshqacha qilib aytganda, biz ikkita ildizning munosabatini ko'ramiz, bu ba'zi muammolar va misollarni hal qilish uchun foydali bo'lishi mumkin.

Kvadrat ildiz ostidagi kasrni ikkinchi darajaga ko'tarsak, xuddi shu kasrni olamiz.

Xuddi shu kuch ostidagi ikkita kasrning mahsuloti ushbu ikki kasrning ko'paytmasiga teng bo'ladi, ularning har biri alohida o'z kuchi ostida bo'ladi.

Esingizda bo'lsin: siz nolga bo'linmaysiz!

Bundan tashqari, kasr uchun juda muhim eslatma haqida unutmang, masalan, maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak. Kelajakda ko'plab tenglamalarda biz ODZ deb nomlangan ushbu cheklovdan foydalanamiz - ruxsat etilgan qiymatlar oralig'i

Bir xil asosli ikkita kasrni solishtirganda, lekin turli darajalar, darajasi katta bo'lgan kasr qanchalik katta bo'ladi va darajasi kichikroq bo'lsa, qanchalik kichik bo'lsa, faqat asoslar emas, balki darajalar ham teng bo'lsa, kasr bir xil deb hisoblanadi.

Misollar:

masalan: 14^3,8 / 14^(-0,2) = 14^(3,8 -0,2) = 139,6

6^(1,77) 6^(- 0,75) = 6^(1,77+(- 0,75)) = 79,7 - 1,3 = 78,6

Dars kasrlarni ko'paytirishning yanada umumlashtirilgan versiyasini ko'rib chiqadi - kuchga ko'tarish. Avvalo, biz kasrlarning tabiiy kuchlari va kasrlar bilan o'xshash operatsiyalarni ko'rsatadigan misollar haqida gapiramiz. Darsning boshida biz butun iboralarni tabiiy kuchlarga ko'tarishni ko'rib chiqamiz va bu keyingi misollarni hal qilish uchun qanday foydali bo'lishini bilib olamiz.

Mavzu: Algebraik kasrlar. Arifmetik amallar algebraik kasrlar ustida

Dars: Algebraik kasrni darajaga ko'tarish

1. Kasrlar va butun ifodalarni elementar misollar bilan tabiiy darajalarga ko‘tarish qoidalari

Oddiy va algebraik kasrlarni tabiiy kuchga ko'tarish qoidasi:

Siz butun iboraning darajasi bilan o'xshashlikni chizishingiz va uni kuchga ko'tarish nimani anglatishini eslab qolishingiz mumkin:

1-misol. .

Misoldan ko'rinib turibdiki, kasrni kuchga ko'tarish maxsus holat oldingi darsda o'rganilgan kasrlarni ko'paytirish.

2-misol. a) , b) - minus yo'qoladi, chunki biz ifodani teng kuchga ko'tardik.

Darajalar bilan ishlash qulayligi uchun tabiiy darajaga ko'tarishning asosiy qoidalarini eslaylik:

- kuchlar mahsuloti;

- darajalarni taqsimlash;

Ilmiy darajani darajaga ko'tarish;

Mahsulot darajasi.

3-misol. - biz buni “Bütün iboralar ko'rsatkichi” mavzusidan bilamiz, bitta holatdan tashqari: u mavjud emas.

2. Algebraik kasrlarni tabiiy darajalarga ko'tarishning eng oddiy misollari

Misol 4. Kasrni darajaga ko'taring.

Yechim. Bir tekis quvvatga ko'tarilganda, minus yo'qoladi:

Misol 5. Kasrni darajaga ko'taring.

Yechim. Endi biz alohida jadvalsiz darhol darajani darajaga ko'tarish qoidalaridan foydalanamiz:

Keling, kasrlarni darajalarga ko'tarish, ularni ko'paytirish va bo'lish kerak bo'lgan birlashtirilgan muammolarni ko'rib chiqaylik.

Misol 6. Harakatlarni bajaring.

Yechim. . Keyinchalik siz qisqartirishni amalga oshirishingiz kerak. Keling, buni qanday qilishimizni bir marta batafsil tasvirlab beramiz, keyin esa natijani darhol analogiya bilan ko'rsatamiz: . Xuddi shunday (yoki hokimiyat taqsimoti qoidasiga ko'ra). Bizda ... bor: .

Misol 7. Harakatlarni bajaring.

Yechim. . Qisqartirish yuqorida muhokama qilingan misolga o'xshash tarzda amalga oshirildi.

Misol 8. Harakatlarni bajaring.

Yechim. . Ushbu misolda biz ushbu usulni birlashtirish uchun kasrlarda vakolatlarni qisqartirish jarayonini yana bir bor batafsil bayon qildik.

3. Algebraik kasrlarni tabiiy darajalarga ko'tarish uchun murakkabroq misollar (belgilarni hisobga olgan holda va qavs ichidagi atamalar bilan)

9-misol: Harakatlarni bajaring .

Yechim. Ushbu misolda biz kasrlarni alohida ko'paytirishni o'tkazib yuboramiz va darhol ularni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz va ularni bitta maxraj ostida yozamiz. Shu bilan birga, biz belgilarga amal qilamiz - bu holda, kasrlar ko'tariladi hatto darajalar, shuning uchun kamchiliklar yo'qoladi. Oxirida biz qisqartirishni amalga oshiramiz.

10-misol: Harakatlarni bajaring .

Yechim. Ushbu misolda kasrlar bo'linishi mavjud; esda tutingki, bu holda birinchi kasr ikkinchisiga ko'paytiriladi, lekin teskari.

Kasr sonning maxrajga nisbati bo'lib, maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak va hisoblagich har qanday bo'lishi mumkin.

Masalan:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2/3)^3 = (2/3) · (2 /3) · (2 /3) = 2^3/3^3

Salbiy daraja

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Harf darajasi

“X” va “y” kabi harfiy qiymatlar bilan ishlashda eksponentsiya avvalgidek bir xil qoidaga amal qiladi.

Shuningdek, biz ½ kasrni 3-darajali darajaga ko'tarish orqali o'zimizni sinab ko'rishimiz mumkin, buning natijasida biz ½ * ½ * ½ = 1/8 ni olamiz, bu aslida bir xil.

Harf koʻrsatkichi x^y

Kasrlarni darajalari bilan ko'paytirish va bo'lish

Buni misol bilan juda oson ko'rsatish mumkin:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

Agar biz maxraj va ayiruvchini alohida-alohida 3 va 4 ning darajasiga ko'tarsak, xuddi shu narsani olishimiz mumkin.

Kuchli kasrni boshqa kuchga ko'tarish

Masalan:

(2^4)^2 = 2^ 4 2 = 2^8

Birga ko'tarilgan, kvadrat ildiz

Shuni ham unutmasligimiz kerakki, har qanday kasrni nol darajaga ko'tarish bizga 1 ni beradi, xuddi boshqa raqamlar singari, nolga teng darajaga ko'tarilganda biz 1 ni olamiz.

Oddiy kvadrat ildizni kasrning kuchi sifatida ham ifodalash mumkin

Kvadrat ildiz 3 = 3^(1/2)

Agar biz kasr joylashgan kvadrat ildiz bilan ishlayotgan bo'lsak, unda biz bu kasrni hisoblagichida 2-darajali kvadrat ildiz bo'lishini tasavvur qilishimiz mumkin (chunki u kvadrat ildizdir)

Va maxraj kvadrat ildizni ham o'z ichiga oladi, ya'ni. boshqacha qilib aytganda, biz ikkita ildizning munosabatini ko'ramiz, bu ba'zi muammolar va misollarni hal qilish uchun foydali bo'lishi mumkin.

Kvadrat ildiz ostidagi kasrni ikkinchi darajaga ko'tarsak, xuddi shu kasrni olamiz.

Xuddi shu kuch ostidagi ikkita kasrning mahsuloti ushbu ikki kasrning ko'paytmasiga teng bo'ladi, ularning har biri alohida o'z kuchi ostida bo'ladi.

Esingizda bo'lsin: siz nolga bo'linmaysiz!

Bir xil asosga ega, ammo darajalari har xil bo'lgan ikkita kasrni solishtirganda, qanchalik katta bo'lsa, kuchi katta bo'lgan kasr, kichikroq esa kichikroq bo'ladi; agar nafaqat asoslar, balki kuchlar ham teng bo'lsa, kasr bir xil deb hisoblanadi.

Ba'zan matematikada sonni kasrni ifodalovchi darajaga ko'tarish kerak. Bizning maqolamiz sizga raqamni kasr darajasiga qanday ko'tarish kerakligini aytib beradi va bu juda oddiy ekanligini ko'rasiz.

Kasr darajasidagi son kamdan-kam hollarda butun son bo'ladi. Ko'pincha bunday qurilishning natijasi ma'lum darajada aniqlik bilan taqdim etilishi mumkin. Shuning uchun, agar hisoblashning to'g'riligi ko'rsatilmagan bo'lsa, unda butun sonlargacha aniqlik bilan hisoblangan qiymatlar va mavjud bo'lgan qiymatlar topiladi. katta miqdorda kasrdan keyingi oʻrinlar ildizlar bilan qoldiriladi. Masalan, ettining kub ildizi yoki ikkitaning kvadrat ildizi. Fizikada bu ildizlarning hisoblangan qiymatlari boshqa darajadagi aniqlik kerak bo'lmaganda yuzdan biriga yaxlitlanadi.

Yechim algoritmi

Kasr ko'rsatkichini noto'g'ri ko'rsatkichga aylantirish yoki to'g'ri kasr. Qism noto'g'ri kasr, ya'ni butun sonni ajratib ko'rsatishga arzimaydi. Agar kasr darajasi butun son va kasr qism sifatida taqdim etilsa, uni noto'g'ri kasrga aylantirish kerak.
Darajaning qiymatini hisoblang berilgan raqam, bu to'g'ri yoki noto'g'ri kasrning soniga teng
Biz 2-bosqichda olingan raqamning ildizini hisoblaymiz, uning ko'rsatkichi bizning kasrimizning maxrajidir.

Keling, bunday hisob-kitoblarga misollar keltiramiz

Bundan tashqari, ushbu hisob-kitoblar uchun siz kalkulyatorni kompyuteringizga yuklab olishingiz yoki onlayn kalkulyatorlardan foydalanishingiz mumkin, masalan, Internetda juda ko'p.