Biz "bir o'zgaruvchi bilan tengsizliklarni yechish" mavzusini o'rganishda davom etamiz. Biz allaqachon chiziqli tengsizliklar va kvadrat tengsizliklar bilan tanishmiz. Ular maxsus holatlar ratsional tengsizliklar, biz hozir o'rganamiz. Keling, qanday turdagi tengsizliklar ratsional deb ataladiganini aniqlashdan boshlaylik. Keyinchalik ularning butun ratsional va kasr ratsional tengsizliklarga bo'linishini ko'rib chiqamiz. Va shundan so'ng biz bitta o'zgaruvchi bilan ratsional tengsizliklarni qanday hal qilishni o'rganamiz, tegishli algoritmlarni yozamiz va batafsil tushuntirishlar bilan tipik misollarning echimlarini ko'rib chiqamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Ratsional tengsizliklar nima?
Maktabdagi algebra darslarida tengsizliklarni yechish haqida suhbat boshlanishi bilanoq biz darhol ratsional tengsizliklarga duch kelamiz. Biroq, dastlab ular o'z nomlari bilan chaqirilmaydi, chunki bu bosqichda tengsizlik turlari unchalik qiziqish uyg'otmaydi va asosiy maqsad tengsizliklar bilan ishlashda dastlabki ko'nikmalarga ega bo'lishdir. "Ratsional tengsizlik" atamasining o'zi keyinchalik 9-sinfda, ushbu turdagi tengsizliklarni batafsil o'rganish boshlanganda kiritilgan.
Keling, ratsional tengsizliklar nima ekanligini bilib olaylik. Mana ta'rif:
Belgilangan ta'rifda o'zgaruvchilar soni haqida hech narsa aytilmagan, ya'ni ularning istalgan soniga ruxsat beriladi. Bunga qarab, bir, ikkita va boshqalar bilan ratsional tengsizliklar ajratiladi. o'zgaruvchilar. Aytgancha, darslikda xuddi shunday ta'rif berilgan, ammo bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan ratsional tengsizliklar uchun. Bu tushunarli, chunki maktab bir o'zgaruvchili tengsizliklarni echishga qaratilgan (quyida biz faqat bitta o'zgaruvchili ratsional tengsizliklarni yechish haqida ham gaplashamiz). Ikki o‘zgaruvchili tengsizliklar kichik, uch va bilan tengsizliklar hisoblanadi katta raqam O'zgaruvchilarga deyarli e'tibor berilmaydi.
Demak, ratsional tengsizlikni uning yozuvi orqali tan olish mumkin, buning uchun uning chap va o‘ng tomonidagi ifodalarga qarash va ularning ratsional ifoda ekanligiga ishonch hosil qilish kifoya. Bu mulohazalar ratsional tengsizliklarga misollar keltirish imkonini beradi. Masalan, x>4 , x 3 +2 y≤5 (y−1) (x 2 +1), ratsional tengsizliklardir. Va tengsizlik 
ratsional emas, chunki uning chap tomonida ildiz belgisi ostida o'zgaruvchi mavjud va shuning uchun ratsional ifoda emas. Tengsizlik ham oqilona emas, chunki uning ikkala qismi ham ratsional ifoda emas.
Keyinchalik tavsiflash qulayligi uchun biz ratsional tengsizliklarni butun va kasrga bo'linishni kiritamiz.
Ta'rif.
Biz ratsional tengsizlikni chaqiramiz butun, agar uning ikkala qismi ham butun ratsional ifodalar bo'lsa.
Ta'rif.
Kasrli ratsional tengsizlik ratsional tengsizlik bo'lib, uning kamida bir qismi kasr ifodasidir.
Demak, 0,5 x≤3 (2−5 y) , 
butun sonli tengsizliklar va 1:x+3>0 va 
- kasrli ratsional.
Endi bizda bor aniq tushunish, ratsional tengsizliklar nima va siz bitta o'zgaruvchi bilan butun va kasr ratsional tengsizliklarni echish tamoyillarini xavfsiz tushunishni boshlashingiz mumkin.
Butun tengsizliklarni yechish
O'z oldimizga vazifa qo'yaylik: r(x) ko'rinishdagi bitta x o'zgaruvchisi bilan butun ratsional tengsizlikni yechishimiz kerak deylik.
Ifodani o'ng tomondan chapga siljitamiz, bu bizni r(x)−s(x) ko'rinishdagi ekvivalent tengsizlikka olib keladi.<0 (≤, >, ≥) o'ng tomonda nol bilan. Shubhasiz, chap tomonda hosil bo'lgan r(x)−s(x) ifoda ham butun son bo'lib, har qanday . r(x)−s(x) ifodani bir xil teng h(x) ko‘phadga aylantirib (bu yerda r(x)−s(x) va h(x) ifodalar bir xil x o‘zgaruvchiga ega ekanligini ta’kidlaymiz), h(x) ekvivalent tengsizlikka o'tamiz.<0 (≤, >, ≥).
Eng oddiy hollarda, bajarilgan o'zgarishlar kerakli echimni olish uchun etarli bo'ladi, chunki ular bizni asl butunlikdan uzoqlashtiradi. ratsional tengsizlik Biz yechishni biladigan tengsizlikka, masalan, chiziqli yoki kvadratik. Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.
Misol.
x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 butun ratsional tengsizlikning yechimini toping.
Yechim.
Avval ifodani o'ngdan chapga siljitamiz: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0. Chap tomonda hamma narsani tugatib, biz keldik chiziqli tengsizlik 3 x−2≤0 , bu asl butun son tengsizlikka ekvivalent. Yechim qiyin emas:
3 x≤2 ,
x≤2/3.
Javob:
x≤2/3.
Misol.
Tengsizlikni yeching (x 2 +1) 2 −3 x 2 >(x 2 −x) (x 2 +x).
Yechim.
Biz odatdagidek ifodani o'ng tomondan o'tkazishdan boshlaymiz, so'ngra chap tomonda o'zgarishlarni amalga oshiramiz:
(x 2 +1) 2 −3 x 2 −(x 2 −x) (x 2 +x)>0,
x 4 +2 x 2 +1−3 x 2 −x 4 +x 2 >0,
1>0
.
Shunday qilib, ekvivalent o'zgarishlarni amalga oshirib, biz x o'zgaruvchining istalgan qiymati uchun to'g'ri bo'lgan 1>0 tengsizlikka erishdik. Demak, asl butun son tengsizligining yechimi har qanday haqiqiy sondir.
Javob:
x - har qanday.
Misol.
Tengsizlikni yeching x+6+2 x 3 −2 x (x 2 +x−5)>0.
Yechim.
O'ng tomonda nol bor, shuning uchun undan hech narsa ko'chirishga hojat yo'q. Keling, chap tomondagi butun ifodani ko'phadga aylantiramiz:
x+6+2 x 3 −2 x 3 −2 x 2 +10 x>0,
−2 x 2 +11 x+6>0 .
Biz kvadrat tengsizlikni oldik, bu esa dastlabki tengsizlikka teng. Biz buni bizga ma'lum bo'lgan har qanday usul yordamida hal qilamiz. Kvadrat tengsizlikni grafik usulda yechamiz.
−2 x 2 +11 x+6 kvadrat uchburchakning ildizlarini toping: 
Biz sxematik chizma tuzamiz, unda biz topilgan nollarni belgilaymiz va parabola shoxlari pastga yo'naltirilganligini hisobga olamiz, chunki etakchi koeffitsient salbiy: 
Biz > ishorali tengsizlikni yechayotganimiz uchun bizni parabola x o'qi ustida joylashgan oraliqlar qiziqtiradi. Bu kerakli yechim bo'lgan (-0,5, 6) oraliqda sodir bo'ladi.
Javob:
(−0,5, 6) .
Murakkab holatlarda, hosil bo'lgan tengsizlikning chap tomonida h(x)<0 (≤, >, ≥) uchinchi yoki undan ortiq koʻphad boʻladi yuqori daraja. Bunday tengsizliklarni yechish uchun interval usuli mos keladi, uning birinchi bosqichida h(x) ko‘phadning barcha ildizlarini topish kerak bo‘ladi, bu ko‘pincha orqali amalga oshiriladi.
Misol.
Butun ratsional tengsizlikning yechimini toping (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .
Yechim.
Keling, hamma narsani chap tomonga o'tkazamiz, shundan so'ng:
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0
,
x 3 +4 x 2 +2 x+8−14+9 x<0
,
x 3 +4 x 2 +11 x−6<0
.
Amalga oshirilgan manipulyatsiyalar bizni asl tengsizlikka olib keladi. Uning chap tomonida uchinchi darajali ko'phad joylashgan. Uni interval usuli yordamida hal qilish mumkin. Buning uchun birinchi navbatda x 3 +4 x 2 +11 x−6=0 ga tayangan ko'phadning ildizlarini topish kerak. Keling, uning ratsional ildizlari bor yoki yo'qligini aniqlaymiz, ular faqat erkin terminning bo'luvchilari orasida, ya'ni ±1, ±2, ±3, ±6 sonlar orasida bo'lishi mumkin. X 3 +4 x 2 +11 x−6=0 tenglamaga x o‘zgaruvchisi o‘rniga bu raqamlarni navbatma-navbat qo‘yib, tenglamaning ildizlari 1, 2 va 3 sonlar ekanligini aniqlaymiz. Bu bizga x 3 +4 x 2 +11 x−6 ko‘phadni (x−1) (x−2) (x−3) ko‘paytmasi va x 3 +4 x 2 +11 x− tengsizlikni ko‘paytirish imkonini beradi. 6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.
Va shundan keyingina intervalli usulning standart bosqichlarini bajarish qoladi: raqam chizig'ida ushbu chiziqni to'rtta oraliqga ajratadigan 1, 2 va 3 koordinatalari bo'lgan nuqtalarni belgilang, belgilarni aniqlang va joylashtiring, ustiga soya torting. minus belgisi bo'lgan intervallar (chunki biz minus belgisi bilan tengsizlikni echamiz<) и записать ответ.
Bizda (−∞, 1)∪(2, 3) .
Javob:
(−∞, 1)∪(2, 3) .
Shuni ta'kidlash kerakki, ba'zida u r(x)−s(x) tengsizlikdan mos kelmaydi.<0 (≤, >, ≥) h(x) tengsizligiga o‘ting.<0 (≤, >, ≥), bu erda h(x) ikkidan yuqori darajali ko'phad. Bu r(x)−s(x) ifodani chiziqli binomlar koʻpaytmasi sifatida koʻrsatishdan koʻra h(x) koʻphadni faktorlarga ajratish qiyinroq boʻlgan holatlarga taalluqlidir. kvadrat trinomlar, masalan, umumiy omilni qavs ichidan chiqarish orqali. Keling, buni bir misol bilan tushuntiramiz.
Misol.
Tengsizlikni yeching (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1).
Yechim.
Bu butun tengsizlik. Agar ifodani o'ng tomondan chapga siljitsak, keyin qavslarni ochib, shunga o'xshash atamalarni qo'shsak, biz tengsizlikni olamiz. x 4 −4 x 3 −16 x 2 +40 x+19≥0. Uni yechish juda qiyin, chunki u to'rtinchi darajali ko'phadning ildizlarini topishni o'z ichiga oladi. Uning oqilona ildizlari yo'qligini tekshirish oson (ular 1, -1, 19 yoki -19 raqamlari bo'lishi mumkin), ammo uning boshqa ildizlarini izlash muammoli. Shuning uchun bu yo'l boshi berk ko'chadir.
Keling, boshqa mumkin bo'lgan echimlarni izlaylik. Ko'rinib turibdiki, ifodani dastlabki butun son tengsizlikning o'ng tomonidan chapga o'tkazgandan so'ng, qavs ichidan umumiy koeffitsient x 2 −2 x−1 ni olishimiz mumkin:
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0.
Amalga oshirilgan o'zgartirish ekvivalentdir, shuning uchun hosil bo'lgan tengsizlikning echimi ham dastlabki tengsizlikning echimi bo'ladi.
Endi esa hosil bo‘lgan tengsizlikning chap tomonida joylashgan ifodaning nollarini topishimiz mumkin, buning uchun bizga x 2 −2·x−1=0 va x 2 −2·x−19=0 kerak. Ularning ildizlari raqamlardir 
. Bu bizga ekvivalent tengsizlikka o'tish imkonini beradi va biz uni intervalli usul yordamida hal qilishimiz mumkin: 
Chizma bo'yicha javobni yozamiz.
Javob:
Ushbu fikrni yakunlash uchun shuni qo'shimcha qilmoqchimanki, h(x) ko'phadning barcha ildizlarini topish har doim ham mumkin emas va natijada uni chiziqli binomlar va kvadrat trinomlar ko'paytmasiga kengaytirish mumkin. Bunday hollarda h(x) tengsizlikni yechishning iloji yo‘q.<0 (≤, >, ≥), ya'ni asl butun sonli ratsional tenglamaning yechimini topishning hech qanday usuli yo'q.
Kasrli ratsional tengsizliklarni yechish
Endi quyidagi masalani yechamiz: r(x) ko‘rinishdagi bitta x o‘zgaruvchisi bilan kasrli ratsional tengsizlikni yechishimiz kerak deylik.
Kasrli ratsional tengsizliklarni yechish algoritmi bitta o'zgaruvchi bilan r(x)
- Avval siz hududni topishingiz kerak qabul qilinadigan qiymatlar Asl tengsizlik uchun x o'zgaruvchining (ODZ).
- Keyinchalik, ifodani tengsizlikning o'ng tomonidan chapga ko'chirishingiz va u erda hosil bo'lgan r(x)−s(x) ifodani p(x)/q(x) kasr shakliga o'tkazishingiz kerak, Bu yerda p(x) va q(x) butun sonli ifodalar boʻlib, ular chiziqli binomlar, ajratilmaydigan kvadrat uch aʼzolar va ularning natural koʻrsatkichli darajalari hosil boʻladi.
- Keyinchalik, interval usuli yordamida hosil bo'lgan tengsizlikni yechishimiz kerak.
- Nihoyat, oldingi bosqichda olingan yechimdan birinchi bosqichda topilgan dastlabki tengsizlik uchun x o'zgaruvchining ODZ ga kiritilmagan nuqtalarni chiqarib tashlash kerak.
Shu tarzda kasrli ratsional tengsizlikning kerakli yechimi olinadi.
Algoritmning ikkinchi bosqichi tushuntirishni talab qiladi. Ifodani tengsizlikning o‘ng tomonidan chap tomonga o‘tkazsak, r(x)−s(x) tengsizlik hosil bo‘ladi.<0 (≤, >, ≥), bu asl nusxaga teng. Bu erda hamma narsa aniq. Ammo uni p(x)/q(x) ko'rinishiga o'zgartirish orqali savollar tug'iladi.<0 (≤, >, ≥).
Birinchi savol: "Buni har doim amalga oshirish mumkinmi?" Nazariy jihatdan, ha. Biz hamma narsa mumkinligini bilamiz. Ratsional kasrning soni va maxraji tarkibida ko'phadlar mavjud. Va algebraning asosiy teoremasi va Bezout teoremasidan bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan har qanday n darajali ko'phadni chiziqli binomiallarning ko'paytmasi sifatida tasvirlash mumkinligi kelib chiqadi. Bu ushbu transformatsiyani amalga oshirish imkoniyatini tushuntiradi.
Amalda, ko'phadlarni faktorlar bilan aniqlash juda qiyin va agar ularning darajasi to'rtdan yuqori bo'lsa, har doim ham mumkin emas. Agar faktorizatsiya imkonsiz bo'lsa, unda dastlabki tengsizlikka yechim topishning iloji bo'lmaydi, lekin bunday holatlar odatda maktabda uchramaydi.
Ikkinchi savol: “Tengsizlik p(x)/q(x) bo'ladimi?<0
(≤, >, ≥) r(x)−s(x) tengsizlikka ekvivalent.<0
(≤, >, ≥) va shuning uchun asl nusxaga"? U ekvivalent yoki teng bo'lmagan bo'lishi mumkin. Agar p(x)/q(x) ifoda uchun ODZ r(x)−s(x) ifodasi uchun ODZ bilan mos kelganda u ekvivalent hisoblanadi. Bunday holda, algoritmning oxirgi bosqichi ortiqcha bo'ladi. Lekin p(x)/q(x) ifodasi uchun ODZ r(x)−s(x) ifodasi uchun ODZdan kengroq bo‘lishi mumkin. ODZ ning kengayishi fraktsiyalar kamaytirilganda sodir bo'lishi mumkin, masalan, dan harakatlanayotganda 
ga. Shuningdek, ODZni kengaytirishga o'xshash atamalarni olib kelish orqali yordam berish mumkin, masalan, ko'chib o'tishda. 
ga. Algoritmning oxirgi bosqichi ushbu holat uchun mo'ljallangan, bunda ODZning kengayishi tufayli yuzaga keladigan begona qarorlar chiqarib tashlanadi. Quyidagi misollarning yechimlarini ko'rib chiqsak, bunga amal qilaylik.
Biz bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tengsizliklarni yechish yo'llarini ko'rib chiqishda davom etamiz. Biz allaqachon ratsional tengsizliklarning maxsus holatlari bo'lgan chiziqli va kvadrat tengsizliklarni o'rganib chiqdik. Ushbu maqolada biz qanday turdagi tengsizliklar ratsional deb hisoblanishini aniqlab beramiz va ular qanday turlarga (butun va kasr) bo'linganligini aytib beramiz. Shundan so'ng, biz ularni qanday qilib to'g'ri hal qilishni ko'rsatamiz, kerakli algoritmlarni taqdim etamiz va aniq muammolarni tahlil qilamiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ratsional tenglik tushunchasi
Maktabda tengsizliklarni yechish mavzusini o'rganganda, ular darhol ratsional tengsizliklarni qabul qiladilar. Ular ushbu turdagi ifoda bilan ishlash ko'nikmalariga ega bo'ladilar va aniqlaydilar. Keling, ushbu tushunchaning ta'rifini tuzamiz:
Ta'rif 1
Ratsional tengsizlik - bu ikkala qismda ham ratsional ifodalarni o'z ichiga olgan o'zgaruvchilar bilan tengsizlik.
E'tibor bering, ta'rif hech qanday tarzda o'zgaruvchilar soni haqidagi savolga ta'sir qilmaydi, ya'ni ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin. Shuning uchun 1, 2, 3 yoki undan ortiq o'zgaruvchiga ega bo'lgan ratsional tengsizliklar mumkin. Ko'pincha siz faqat bitta o'zgaruvchini o'z ichiga olgan iboralar bilan shug'ullanishingiz kerak, kamroq tez-tez ikkita va ko'p sonli o'zgaruvchilar bilan tengsizliklar odatda ramka ichida bo'ladi. maktab kursi umuman hisobga olinmaydi.
Shunday qilib, biz ratsional tengsizlikni uning yozilishiga qarab tan olamiz. Uning o'ng va chap tomonida ratsional ifodalar bo'lishi kerak. Mana bir nechta misollar:
x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2
Ammo bu erda 5 + x + 1 ko'rinishdagi tengsizlik mavjud< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.
Barcha ratsional tengsizliklar butun va kasrga bo'linadi.
Ta'rif 2
Butun ratsional tenglik butun ratsional ifodalardan iborat (har ikki qismda ham).
Ta'rif 3
Kasrli ratsional tenglik uning bir yoki ikkala qismida kasr ifodasini o'z ichiga olgan tenglik.
Masalan, 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 va 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 ko‘rinishdagi tengsizliklar: kasr ratsional va 0, 5 x ≤ 3 (2 − 5 y) Va 1: x + 3 > 0- butun.
Biz ratsional tengsizliklar nima ekanligini tahlil qildik va ularning asosiy turlarini aniqladik. Biz ularni hal qilish yo'llarini ko'rib chiqishga o'tishimiz mumkin.
Aytaylik, biz butun ratsional tengsizlikka yechim topishimiz kerak r(x)< s (x) , bu faqat bitta x o'zgaruvchisini o'z ichiga oladi. Qayerda r(x) Va s(x) har qanday ratsional butun sonlar yoki ifodalarni ifodalaydi va tengsizlik belgisi farq qilishi mumkin. Ushbu muammoni hal qilish uchun biz uni o'zgartirishimiz va ekvivalent tenglikni olishimiz kerak.
Keling, ifodani o'ng tomondan chapga siljitishdan boshlaylik. Biz quyidagilarni olamiz:
r (x) − s (x) ko‘rinishdagi< 0 (≤ , > , ≥)
Biz buni bilamiz r (x) − s (x) butun son qiymati bo'ladi va har qanday butun son ifodasi ko'phadga aylantirilishi mumkin. Keling, aylantiraylik r (x) − s (x) h(x) da. Bu ifoda bir xil teng polinom bo'ladi. r (x) - s (x) va h (x) ning x ning ruxsat etilgan qiymatlarining bir xil diapazoniga ega ekanligini hisobga olsak, biz h (x) tengsizliklariga o'tishimiz mumkin.< 0 (≤ , >, ≥), bu asl nusxaga teng bo'ladi.
Ko'pincha bunday oddiy o'zgartirish tengsizlikni echish uchun etarli bo'ladi, chunki natijada chiziqli yoki kvadratik tengsizlik bo'lishi mumkin, uning qiymatini hisoblash oson. Keling, bunday muammolarni tahlil qilaylik.
1-misol
Vaziyat: butun ratsional tengsizlikni yechish x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.
Yechim
Keling, qarama-qarshi belgi bilan ifodani o'ng tomondan chapga siljitishdan boshlaylik.
x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0
Chap tarafdagi ko‘phadlar bilan barcha amallarni bajarganimizdan so‘ng, chiziqli tengsizlikka o‘tishimiz mumkin. 3 x − 2 ≤ 0, shartda berilgan narsaga teng. Buni hal qilish oson:
3 x ≤ 2 x ≤ 2 3
Javob: x ≤ 2 3 .
2-misol
Vaziyat: tengsizlikning yechimini toping (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).
Yechim
Biz ifodani chap tomondan o'ng tomonga o'tkazamiz va qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida keyingi o'zgarishlarni amalga oshiramiz.
(x 2 + 1) 2 − 3 x 2 − (x 2 − x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 − 3 x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0
O'zgartirishlarimiz natijasida biz x ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri bo'lgan tengsizlikni oldik, shuning uchun asl tengsizlikning echimi har qanday haqiqiy son bo'lishi mumkin.
Javob: har qanday raqam, albatta.
3-misol
Vaziyat: tengsizlikni yeching x + 6 + 2 x 3 − 2 x (x 2 + x − 5) > 0.
Yechim
Biz o'ng tomondan hech narsani o'tkazmaymiz, chunki u erda 0 bor. Keling, chap tomonni polinomga aylantirish orqali darhol boshlaylik:
x + 6 + 2 x 3 - 2 x 3 - 2 x 2 + 10 x > 0 - 2 x 2 + 11 x + 6 > 0.
Biz bir necha usullar yordamida oson yechish mumkin bo'lgan dastlabki tenglamaga teng kvadratik tengsizlikni oldik. Keling, grafik usuldan foydalanamiz.
Kvadrat trinomialning ildizlarini hisoblashdan boshlaylik − 2 x 2 + 11 x + 6:
D = 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 - 2, x 2 = - 11 - 169 2 - 2 x 1 = - 0, 5, x 2 = 6
Endi diagrammada biz barcha kerakli nollarni belgilaymiz. Etakchi koeffitsient noldan kichik bo'lganligi sababli, grafikdagi parabolaning shoxlari pastga qaraydi.
Bizga parabolaning x o'qi ustida joylashgan viloyati kerak bo'ladi, chunki biz tengsizlikda > belgisiga egamiz. Kerakli interval (− 0 , 5 , 6) , shuning uchun bu qiymatlar diapazoni bizga kerak bo'lgan yechim bo'ladi.
Javob: (− 0 , 5 , 6) .
Yana bor murakkab holatlar, chap uchinchi yoki undan yuqori darajali ko'phadga aylanganda. Bunday tengsizlikni yechish uchun interval usulidan foydalanish tavsiya etiladi. Avval polinomning barcha ildizlarini hisoblaymiz h(x), bu ko'pincha ko'phadni faktorlarga ajratish orqali amalga oshiriladi.
4-misol
Vaziyat: hisoblash (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .
Yechim
Keling, har doimgidek, ifodani chap tomonga siljitishdan boshlaylik, shundan so'ng biz qavslarni kengaytirishimiz va shunga o'xshash atamalarni keltirishimiz kerak bo'ladi.
(x 2 + 2) · (x + 4) - 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0
O'zgartirishlar natijasida biz asl tenglikka ega bo'ldik, uning chap tomonida uchinchi darajali polinom mavjud. Uni yechish uchun interval usulidan foydalanamiz.
Avval polinomning ildizlarini hisoblaymiz, buning uchun kub tenglamani echishimiz kerak x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Uning mantiqiy ildizlari bormi? Ular faqat erkin atamaning bo'luvchilari orasida bo'lishi mumkin, ya'ni. ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 raqamlari orasida. Keling, ularni birma-bir dastlabki tenglamaga almashtiramiz va 1, 2 va 3 raqamlari uning ildizlari bo'lishini aniqlaymiz.
Shunday qilib, polinom x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 mahsulot sifatida tavsiflash mumkin (x − 1) · (x − 2) · (x − 3), va tengsizlik x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6< 0 sifatida ifodalanishi mumkin (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . Ushbu turdagi tengsizlik bilan biz intervallardagi belgilarni aniqlash osonroq bo'ladi.
Keyinchalik, interval usulining qolgan bosqichlarini bajaramiz: raqamlar chizig'ini chizamiz va unga 1, 2, 3 koordinatalari bilan nuqtalarni qo'yamiz. Ular to'g'ri chiziqni 4 ta intervalgacha bo'lishadi, ularda belgilarni aniqlash kerak. Intervallarni minus bilan soya qilaylik, chunki asl tengsizlik belgisi bor < .
Bizga tayyor javobni yozish kifoya: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Javob: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .
Ba'zi hollarda r (x) - s (x) tengsizlikdan kelib chiqing.< 0 (≤ , >, ≥) dan h (x) gacha< 0 (≤ , >, ≥), qayerda h(x)– polinom 2 dan yuqori daraja, nomaqbul. Bu r(x) − s(x) ni chiziqli binomilar va kvadratik uch a’zolarning ko‘paytmasi sifatida ifodalash h(x) ni individual omillarga ajratishdan ko‘ra osonroq bo‘lgan holatlarga taalluqlidir. Keling, ushbu muammoni ko'rib chiqaylik.
5-misol
Vaziyat: tengsizlikning yechimini toping (x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 19) ≥ 2 x (x 2 - 2 x - 1).
Yechim
Bu tengsizlik butun sonlar uchun amal qiladi. Agar ifodani o'ngdan chapga siljitsak, qavslarni ochib, atamalarni qisqartirishni amalga oshirsak, biz hosil bo'lamiz. x 4 - 4 x 3 - 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0.
Bunday tengsizlikni yechish oson emas, chunki siz to'rtinchi darajali ko'phadning ildizlarini izlashingiz kerak. U bitta ratsional ildizga ega emas (masalan, 1, - 1, 19 yoki − 19 mos kelmaydi) va boshqa ildizlarni izlash qiyin. Bu shuni anglatadiki, biz bu usuldan foydalana olmaymiz.
Ammo boshqa echimlar mavjud. Agar biz iboralarni asl tengsizlikning o'ng tomonidan chapga siljitsak, umumiy omilni qavsga olishimiz mumkin x 2 − 2 x − 1:
(x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 19) − 2 x (x 2 − 2 x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 x − 1) (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .
Biz asl tengsizlikka ekvivalentni oldik va uning yechimi bizga kerakli javobni beradi. Chap tarafdagi ifodaning nollarini topamiz, buning uchun kvadrat tenglamalarni yechamiz x 2 − 2 x − 1 = 0 Va x 2 − 2 x − 19 = 0. Ularning ildizlari 1 ± 2, 1 ± 2 5. Biz x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 tengligiga o'tamiz, uni intervalli usul bilan yechish mumkin:
Rasmga ko'ra, javob - ∞, 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5, 1 + 2 ∪ 1 + 2 5, + ∞ bo'ladi.
Javob: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .
Qo'shimcha qilaylik, ba'zida ko'phadning barcha ildizlarini topish mumkin emas h(x), shuning uchun biz uni chiziqli binomlar va kvadrat uch a'zolarning ko'paytmasi sifatida tasvirlay olmaymiz. Keyin h (x) ko'rinishdagi tengsizlikni yeching.< 0 (≤ , >, ≥) qila olmaymiz, demak, dastlabki ratsional tengsizlikni yechish ham mumkin emas.
Faraz qilaylik, r (x) ko‘rinishdagi kasrli ratsional tengsizliklarni yechishimiz kerak.< s (x) (≤ , >, ≥) , bu yerda r (x) va s(x) ratsional ifodalar, x o'zgaruvchidir. Ko'rsatilgan iboralarning kamida bittasi kasr bo'ladi. Bu holda hal qilish algoritmi quyidagicha bo'ladi:
- Biz x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ini aniqlaymiz.
- Tengsizlikning o'ng tomonidagi ifodani chapga, natijada hosil bo'lgan ifodani o'tkazamiz r (x) − s (x) kasr sifatida ifodalang. Bundan tashqari, qayerda p(x) Va q(x) chiziqli binomlar, ajratilmaydigan kvadrat uch a'zolar, shuningdek, natural ko'rsatkichli darajalar hosilasi bo'lgan butun sonli ifodalar bo'ladi.
- Keyinchalik, hosil bo'lgan tengsizlikni interval usuli yordamida yechamiz.
- Oxirgi qadam, yechim davomida olingan nuqtalarni biz boshida aniqlagan x o'zgaruvchisining qabul qilinadigan qiymatlari oralig'idan chiqarib tashlashdir.
Bu kasrli ratsional tengsizliklarni yechish algoritmidir. Ko'p narsa aniq; kichik tushuntirishlar faqat 2-band uchun talab qilinadi. Biz ifodani o'ng tomondan chapga siljitdik va r (x) - s (x) ni oldik.< 0 (≤ , >, ≥) va keyin uni p (x) q (x) ko'rinishga qanday keltirish kerak.< 0 (≤ , > , ≥) ?
Birinchidan, ushbu transformatsiyani har doim amalga oshirish mumkinligini aniqlaymiz. Nazariy jihatdan, bunday imkoniyat har doim mavjud, chunki in ratsional kasr istalganini aylantirishingiz mumkin ratsional ifodalash. Bu erda bizda ko'phadlar soni va maxraji bo'lgan kasr mavjud. Keling, algebraning asosiy teoremasini va Bezout teoremasini eslaylik va bitta o‘zgaruvchini o‘z ichiga olgan n darajali har qanday ko‘phadni chiziqli binomlar ko‘paytmasiga aylantirish mumkinligini aniqlaymiz. Shuning uchun, nazariy jihatdan, biz har doim ifodani shu tarzda o'zgartirishimiz mumkin.
Amalda, ko'p nomlarni faktoring qilish juda qiyin, ayniqsa daraja 4 dan yuqori bo'lsa. Agar biz kengaytirishni amalga oshira olmasak, unda biz bu tengsizlikni hal qila olmaymiz, lekin bunday muammolar odatda maktab kurslarida o'rganilmaydi.
Keyinchalik, natijada p (x) q (x) tengsizlikni aniqlashimiz kerak.< 0 (≤ , >, ≥) r (x) − s (x) ga nisbatan ekvivalent< 0 (≤ , >, ≥) va asl nusxaga. Bu tengsiz bo'lib chiqishi ehtimoli bor.
Tengsizlikning ekvivalentligi qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ida ta'minlanadi p(x)q(x) ifoda oralig'iga mos keladi r (x) − s (x). Keyin kasrli ratsional tengsizliklarni yechish bo'yicha ko'rsatmalarning oxirgi nuqtasiga amal qilish shart emas.
Lekin uchun qiymatlar oralig'i p(x)q(x) dan kengroq bo'lishi mumkin r (x) − s (x), masalan, kasrlarni kamaytirish orqali. Misol sifatida x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 dan x · x - 1 x + 3 ga o'tish mumkin. Yoki bu o'xshash atamalarni keltirganda sodir bo'lishi mumkin, masalan, bu erda:
x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 dan 1 x + 3 gacha
Bunday holatlar uchun algoritmning oxirgi bosqichi qo'shildi. Uni amalga oshirish orqali siz qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni kengayishi natijasida yuzaga keladigan begona o'zgaruvchan qiymatlardan xalos bo'lasiz. Keling, nima haqida gapirayotganimizni yanada aniqroq qilish uchun bir nechta misollar keltiraylik.
6-misol
Vaziyat: x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 ratsional tengligining yechimlarini toping.
Yechim
Biz yuqorida ko'rsatilgan algoritmga muvofiq harakat qilamiz. Avval biz qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini aniqlaymiz. Bunda u x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 tengsizliklar sistemasi bilan aniqlanadi, uning yechimi (−) toʻplam boʻladi. ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0
Shundan so'ng biz uni interval usulini qo'llash qulay bo'lishi uchun aylantirishimiz kerak. Avvalo, algebraik kasrlarni eng kichigiga qisqartiramiz umumiy maxraj (x − 3) 2 (x + 1):
x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)
Yig'indining kvadrati formulasidan foydalanib, hisoblagichdagi ifodani yig'amiz:
x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1
Olingan ifodaning qabul qilinadigan qiymatlari diapazoni (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) dir. Biz bu asl tenglik uchun belgilangan narsaga o'xshashligini ko'ramiz. X + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 tengsizligi asl tengsizlikka ekvivalent degan xulosaga kelamiz, ya'ni bizga algoritmning oxirgi bosqichi kerak emas.
Interval usulidan foydalanamiz:
Biz ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) yechimini ko‘ramiz, bu x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - dastlabki ratsional tengsizlikning yechimi bo‘ladi. 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .
Javob: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .
7-misol
Vaziyat: x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 yechimni hisoblang.
Yechim
Qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini aniqlaymiz. Bu tengsizlik holatida u - 2, - 1, 0 va dan tashqari barcha haqiqiy sonlarga teng bo'ladi. 1 .
Biz iboralarni o'ngdan chapga siljitamiz:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0
Natijani hisobga olib, biz yozamiz:
x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1
1 x - 1 ifodasi uchun haqiqiy qiymatlar diapazoni bittadan tashqari barcha haqiqiy sonlar to'plamidir. Biz qiymatlar diapazoni kengayganini ko'ramiz: − 2 , − 1 va 0 . Bu biz algoritmning oxirgi bosqichini bajarishimiz kerakligini anglatadi.
Biz 1 x - 1 > 0 tengsizligiga kelganimiz uchun uning ekvivalenti 1 x - 1 ni yozishimiz mumkin.< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .
Biz asl tenglikning maqbul qiymatlari oralig'iga kiritilmagan fikrlarni istisno qilamiz. Biz (− ∞ , 1) dan − 2 , − 1 va raqamlarni chiqarib tashlashimiz kerak. 0 . Shunday qilib, x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 ratsional tengsizlikning yechimi (− ∞ , − 2) qiymatlar bo‘ladi. ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Javob: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .
Xulosa qilib aytganda, yakuniy javob maqbul qiymatlar oralig'iga bog'liq bo'lgan muammoning yana bir misolini keltiramiz.
8-misol
Vaziyat: 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 tengsizligining yechimini toping.
Yechim
Shartda ko'rsatilgan tengsizlikning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - tizimi bilan belgilanadi. 1 x - 1 ≠ 0.
Bu tizim hech qanday yechimlari bor, chunki
x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0
Bu shuni anglatadiki, 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 asl tengligi hech qanday yechimga ega emas, chunki u amalga oshiradigan o'zgaruvchining qiymatlari yo'q. tuyg'u.
Javob: yechimlar yo'q.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Maqolada biz ko'rib chiqamiz tengsizliklarni yechish. Biz sizga aniq aytib beramiz tengsizliklar yechimini qanday qurish kerak, aniq misollar bilan!
Tengsizliklarni misollar yordamida hal qilishni ko'rib chiqishdan oldin, asosiy tushunchalarni tushunib olaylik.
Tengsizliklar haqida umumiy ma'lumot
Tengsizlik funksiyalar munosabat belgilari bilan bog‘langan ifoda >, . Tengsizliklar ham sonli, ham harfli bo'lishi mumkin.
Nisbatning ikkita belgisi bo'lgan tengsizliklar ikki barobar, uchtasi - uchlik va boshqalar deb ataladi. Masalan:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > yoki yoki - belgisi bo'lgan tengsizliklar qat'iy emas.
Tengsizlikni yechish- bu tengsizlik to'g'ri bo'ladigan o'zgaruvchining har qanday qiymati.
"Tengsizlikni yechish"Biz uning barcha yechimlari to'plamini topishimiz kerakligini anglatadi. Turli xillari bor tengsizliklarni yechish usullari. Uchun tengsizlik yechimlari Ular cheksiz son qatoridan foydalanadilar. Masalan, tengsizlikning yechimi x > 3 - 3 dan + gacha bo'lgan oraliq va 3 raqami bu intervalga kiritilmagan, shuning uchun chiziqdagi nuqta bo'sh doira bilan belgilanadi, chunki tengsizlik qattiq. 
+
Javob quyidagicha bo'ladi: x (3; +).
X=3 qiymati yechimlar to'plamiga kiritilmagan, shuning uchun qavs dumaloq. Cheksizlik belgisi har doim qavs bilan ta'kidlanadi. Belgisi "tegishli" degan ma'noni anglatadi.
Keling, boshqa bir misol yordamida tengsizliklarni qanday hal qilishni ko'rib chiqaylik:
x 2
-
+
X=2 qiymati yechimlar to'plamiga kiritilgan, shuning uchun qavs kvadrat bo'lib, chiziqdagi nuqta to'ldirilgan doira bilan ko'rsatilgan.
Javob quyidagicha bo'ladi: x $.
Yangi o'zgaruvchini kiritish usuli
Bu usul quyidagicha: $f(x)=g(x)$ ko`rinishdagi tenglamani yozing. Biz uni quyidagicha hal qilamiz: yechish usuli allaqachon ma'lum bo'lgan tenglamani olish uchun yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Keyinchalik biz uni hal qilamiz va almashtirishga qaytamiz. Undan biz birinchi tenglamaning yechimini topamiz. Keyinchalik, topilgan ildizlar son chizig'ida belgilanadi va belgi egri chizig'i tuziladi. Dastlabki tengsizlik belgisiga qarab javob yoziladi.
