"Funktsiya chegarasi" taqdimoti algebra fanidan ushbu mavzu bo'yicha materialni o'rganishda yordam beradigan ko'rgazmali qo'llanma. Qo‘llanmada funksiya chegarasi tushunchasi, uning grafik tasviri, funksiya chegarasini hisoblash qoidalari, funksiya xossalari bilan uning chegarasi o‘rtasidagi bog‘liqlik ochib beruvchi nazariy materialning batafsil, tushunarli tavsifi berilgan. Taqdimotda ko'rsatilgan barcha nazariy asoslar ko'rgazma davomida tegishli vazifalarni hal qilish tavsifi bilan qo'llab-quvvatlanadi.

Materialni taqdimot shaklida taqdim etish o'rganilayotgan tushunchalarni tushunish uchun qulayroq tarzda taqdim etish imkonini beradi. Materialni eslab qolish uchun samarali vositalardan foydalaning.

Taqdimot y=f(n), nsN funksional qaramlik turini eslatishdan boshlanadi. Funksiya chegarasining ma’nosi shu funksiya grafigini qurishda ochiladi. Qayd etilishicha, limf(n)=bat n→∞ tengligi koordinata tekisligida o‘tkazilgan y=b to‘g‘ri chiziq gorizontal asimptotani ifodalaydi, unga funksiya grafigi n→∞ shaklida intiladi. Ikkinchi slaydda y=f(x) funksiyaning koordinata tekisligidagi grafigi ko‘rsatilgan, uning aniqlanish sohasi D(f)= oralig‘ida joylashgan. Agar aniqlanish sohasida gorizontal y=b asimptota mavjud bo'lsa, funktsiya x→-∞ sifatida limf(x)=b chegara qiymatiga intiladi. Funksiyaning asimptotaga yaqinlashishi slaydda keltirilgan mos rasmda ko'rsatilgan.

4-slaydda funktsiya grafigi gorizontal asimptotaga yaqinlashganda, uning argumenti +∞ va -∞ ga moyil bo'lganda tasvirlangan. Bu x→-∞ uchun limf(x)=b va x→+∞ uchun limf(x)=b shartlarining bir vaqtda bajarilishini bildiradi. Aks holda, x→∞ uchun limf(x)=b yozishimiz mumkin. Rasmda bunday funktsiyaning misoli va uning grafigining koordinata tekisligidagi harakati ko'rsatilgan.

Quyida funksiya limitini hisoblash qoidalari ko‘rsatilgan. 1-xususiyat natural m bo‘lgan k/x m funksiya uchun x→∞ uchun lim(k/x m)=0 tengligi to‘g‘ri bo‘lishini qayd etadi. Ikkinchi xatboshida aytilishicha, limf(x)=b va limg(x)=c ikkita funksiya chegaralari uchun ketma-ketlik chegaralarining oʻxshash xossalari amal qiladi. Ya'ni yig'indining chegarasi lim(f(x) + g(x))= b+s chegaralar yig'indisi bilan aniqlanadi, mahsulot chegarasi limf(x) chegaralar ko'paytmasiga teng. g(x)= bs, qism chegarasi g(x)≠0 va c≠0 uchun limf(x)/g (x) = b/c chegaralar qismiga, shuningdek doimiy koeffitsientga teng. limkf(x) = kb chegara belgisidan chiqarilishi mumkin.

Siz lim(√3 x 5 -17)/(x 5 +9) ni aniqlashingiz kerak bo'lgan 1-misol yechimini tasvirlab, olingan bilimlarni mustahkamlashingiz mumkin. Yechimni olish uchun kasrning payi va maxraji o'zgaruvchining eng yuqori darajasiga, ya'ni x 5 ga bo'linadi. Hisoblashdan keyin lim(√3-17/ x 5)/(1+9/x 5) ni olamiz.

Limitlarni baholab, qism limitining xossasidan foydalanib, lim(√3 x 5 -17)/(x 5 +9)=√3/1=√3 ekanligini aniqlaymiz. Ushbu misol uchun muhim eslatma shundaki, funktsiya chegaralarini hisoblash ketma-ketliklar chegaralarini hisoblashga o'xshaydi, ammo bu holda x 5 √9 qiymatini qabul qila olmasligini hisobga olish kerak, bu esa maxrajni aylantiradi. nol.

Keyingi slaydda x→a bo‘lgan holat ko‘rib chiqiladi. Rasmda aniq ko‘rinib turibdiki, ma’lum f(x) funksiya uchun o‘zgaruvchi a nuqtaga yaqinlashganda, funksiya qiymati grafikdagi mos nuqtaning ordinatasiga, ya’ni limf(x)=b ga x→a sifatida yaqinlashadi.

9, 10, 11-slaydlarda funksiyaning uzluksizligi, nuqtadagi, intervaldagi uzluksiz funksiya tushunchalarini ochib beruvchi ta’riflar mavjud. Bunda limf(x)= f(a) x→a bo‘lsa, funksiya uzluksiz hisoblanadi. a nuqtada funktsiya uzluksiz bo'ladi, agar limf(x)= f(a) munosabati x→a sifatida to'g'ri bo'lsa va X oralig'ida uzluksiz bo'lgan funksiya X oraliqning istalgan nuqtasida uzluksiz bo'ladi.

Funksiyalarning uzluksizligini baholashga misollar keltirilgan. Tabiiy n uchun y=C, y=kx+m, y=ax 2 +bx+c, y=|x|, y=x n funksiyalar butun son chizig‘ida uzluksiz ekanligi qayd etilgan, y=√ funksiya. x musbat yarim o‘qda uzluksiz, y=x n funksiya esa musbat yarim o‘qda va manfiy yarim o‘qda uzluksiz bo‘lib, 0 nuqtada uzilishga ega, trigonometrik funksiyalar y=sinx, y=cosx butun to‘g‘ri chiziqda va y=tgx. , y=ctgx butun ta'rif sohasi bo'ylab. Shuningdek, ratsional yoki irratsional, trigonometrik ifodalardan tashkil topgan funksiya, u funksiya aniqlangan barcha nuqtalar uchun uzluksizdir.

2-misolda x→-1 uchun limit limni (x 3 +3x 2 -11x-8) hisoblashingiz kerak. Yechim boshida ratsional ifodalardan tashkil topgan bu funksiya butun son o‘qi bo‘yicha va x = -1 nuqtada aniqlanganligi qayd etilgan. Demak, funksiya x = -1 nuqtada uzluksiz bo’lib, unga yaqinlashganda limit funksiya qiymatini, ya’ni x→-1 da lim (x 3 +3x 2 -11x-8) = 5 ni oladi.

3-misolda x→1 uchun limit lim (cospx/√x+6) hisobi ko’rsatilgan. Qayd etilishicha, funktsiya butun son o'qi bo'yicha aniqlangan, shuning uchun u x=1 nuqtada uzluksizdir, shuning uchun x→1da lim (cospx/√x+6)=-1/7.

4-misolda x→5 uchun lim((x 2 -25)/(x-5)) ni hisoblashingiz kerak. Bu misol o'ziga xosdir, chunki x=5 uchun funksiyaning maxraji nolga tushadi, bu qabul qilinishi mumkin emas. Ifodani o'zgartirish orqali chegarani aniqlashingiz mumkin. Qisqartirilgandan keyin f(x)=x+5 ni olamiz. Faqat yechimlarni izlashda x≠5 ekanligini hisobga olish kerak. Bunda x→5 uchun lim((x 2 -25)/(x-5))= lim(x+5)=10.

17-slaydda lim(sint/t)=1 muhim chegarani t →0 ko‘rinishida raqam doirasi yordamida qanday olish mumkinligi ko‘rsatilgan eslatma tasvirlangan.

18-slaydda argument o'sishi va funksiya o'sishining ta'rifi keltirilgan. Argumentning o'sishi x 0 va x 1 nuqtalarida aniqlangan funksiya uchun x 1 - x 0 o'zgaruvchilar orasidagi farq bilan ifodalanadi. Bunda f(x 1) - f(x 0) funksiya qiymatining o'zgarishi funksiyaning o'sishi deyiladi. Dx argumentining ortishi va Df(x) funksiyaning ortishi uchun belgilar kiritiladi.

5-misolda x 0 =2 nuqta x=2,1 va x=1,98 ga o’tganda y=x 2 funksiyaning o’sishi aniqlanadi. Misolni yechish boshlang'ich va yakuniy nuqtalardagi qiymatlarni va ularning farqini topishga to'g'ri keladi. Demak, birinchi holatda Du=4,41-4=0,41, ikkinchi holatda Du=3,9204-4=-0,0796.

21-slaydda x→a uchun belgi (x-a)→0 to‘g‘ri ekanligi qayd etilgan, bu Dx→0 ni bildiradi. Shuningdek, f(x) → f(a) tendentsiyaga ko'ra, uzluksizlikni aniqlashda qo'llanilganligi sababli f(x)-f(a) →0 yozuvi o'rinli, ya'ni Du→0. Bu belgidan foydalanib, f(x) funksiya quyidagi shartni qanoatlantirsa, x=a nuqtadagi uzluksizlikning yangi ta’rifi beriladi: agar Dx→0 bo‘lsa, Du→0.

Materialni birlashtirish uchun 6 va 7-misollarning yechimi tasvirlangan, bunda funktsiyaning o'sishini va funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasini topish kerak. 6-misolda buni y=kx+m funksiyasi uchun bajarish kerak. Nuqta x dan (x+ Dx) ga o‘tganda funksiyaning o‘sishi grafikdagi o‘zgarishlarni ko‘rsatuvchi ko‘rsatiladi. Bunda Du= kDx, Dx→0 uchun lim(Du/ Dx)=k chiqadi. y = x 3 funksiyaning xatti-harakati ham xuddi shunday tahlil qilinadi. Nuqta x dan (x+ Dx) ga o‘tganda bu funksiyaning o‘sishi Du=(3x 2 +3x Dx+(Dx) 2) Dx ga, funksiya chegarasi esa lim(Du/ Dx)=3x 2 ga teng. .

“Funksiya chegarasi” taqdimotidan an’anaviy dars o‘tishda foydalanish mumkin. Taqdimotdan masofaviy o'qitish vositasi sifatida foydalanish tavsiya etiladi. Talaba mavzuni mustaqil o'rganishi kerak bo'lsa, qo'llanma mustaqil ish uchun tavsiya etiladi.

Dars maqsadlari:

• Tarbiyaviy:
  • son chegarasi, funksiya chegarasi tushunchasini kiritish;
  • noaniqlik turlari haqida tushunchalar berish;
  • funktsiya chegaralarini hisoblashni o'rganish;
  • olingan bilimlarni tizimlashtirish, o'z-o'zini nazorat qilish, o'zaro nazoratni faollashtirish.
• Tarbiyaviy:
  • chegaralarni hisoblash uchun olingan bilimlarni qo'llay olish.
  • matematik fikrlashni rivojlantirish.
• Tarbiyaviy: matematika va aqliy mehnat fanlariga qiziqishni rivojlantirish.

Dars turi: birinchi dars

Talabalar ishining shakllari: frontal, individual

Kerakli jihozlar: interfaol doska, multimedia proyektori, og'zaki va tayyorgarlik mashqlari yozilgan kartalar.

Dars rejasi

1. Tashkiliy davr (3 min.)
2. Funksiya chegarasi nazariyasiga kirish. Tayyorgarlik mashqlari. (12 daqiqa)
3. Funksiya chegaralarini hisoblash (10 min.)
4. Mustaqil mashqlar (15 min.)
5. Darsni yakunlash (2 min.)
6. Uyga vazifa (3 min.)

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment

O'qituvchi bilan salomlashish, yo'qlarni belgilash, darsga tayyorgarlikni tekshirish. Darsning mavzusi va maqsadi haqida ma'lumot bering. Keyinchalik, barcha vazifalar interaktiv doskada ko'rsatiladi.

2. Funksiya chegarasi nazariyasiga kirish. Tayyorgarlik mashqlari.

Funktsiya chegarasi (funksiyaning chegaraviy qiymati) berilgan nuqtada, funktsiyani belgilash sohasini cheklash, ko'rib chiqilayotgan funktsiyaning argumenti berilgan nuqtaga moyil bo'lgan qiymatdir.
Limit quyidagicha yoziladi.

Keling, chegarani hisoblaylik:
X o'rniga 3 ni qo'yamiz.
E'tibor bering, raqamning chegarasi raqamning o'ziga teng.

Misollar: chegaralarni hisoblash

Agar funktsiyani aniqlash sohasining qaysidir nuqtasida chegara mavjud bo‘lsa va bu chegara funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatiga teng bo‘lsa, u holda funksiya uzluksiz (ma’lum nuqtada) deyiladi.

Funksiyaning x 0 = 3 nuqtadagi qiymatini va shu nuqtadagi chegara qiymatini hisoblaymiz.

Bu nuqtadagi limitning qiymati va funksiyaning qiymati mos keladi, shuning uchun funksiya x 0 = 3 nuqtada uzluksizdir.

Ammo chegaralarni hisoblashda ko'pincha ma'nosi aniqlanmagan iboralar paydo bo'ladi. Bunday iboralar deyiladi noaniqliklar.

Noaniqlikning asosiy turlari:

Noaniqliklarni ochib berish

Noaniqliklarni oshkor qilish uchun quyidagilardan foydalaning:

• funktsiyani ifodalashni soddalashtirish: uni faktor qilish, qisqartirilgan ko'paytirish formulalari, trigonometrik formulalar yordamida funktsiyani o'zgartirish, keyingi qisqartirishga imkon beradigan konjugatga ko'paytirish va h.k.;
• agar noaniqliklarni ochib berishda chegara mavjud bo'lsa, u holda funksiya belgilangan qiymatga yaqinlashadi, agar bunday chegara mavjud bo'lmasa, u holda funksiya ajratiladi.

Misol: Keling, chegarani hisoblaylik.
Numeratorni koeffitsientlarga ajratamiz

3. Funksiya chegaralarini hisoblash

1-misol. Funktsiya chegarasini hisoblang:

To'g'ridan-to'g'ri almashtirish bilan natija noaniqlikdir:

4. Mustaqil mashqlar

Cheklovlarni hisoblash:

5. Darsni yakunlash

Bu birinchi dars

Mavzu:

Bir kishi uchun emas, balki rivojlanish va ta'lim berish yoki bildirish mumkin emas. Ularga qo'shilishni istagan har bir kishi kerak bunga o'z faoliyatingiz, o'z kuchingiz, o'zingizning keskinligingiz orqali erishing. Tashqaridan u faqat hayajonga tushishi mumkin. A. Disterveg

Darsning maqsadi va vazifalarini belgilash:

o'rganish cheksizlik ta'rifi;

• Funksiyaning cheksizlikdagi chegarasini aniqlash;
• Funksiya chegarasini ortiqcha cheksizlikda aniqlash;
• Funksiya chegarasini minus cheksizlikda aniqlash;
• Uzluksiz funksiyalarning xossalari;

o'rganing cheksizlikda funksiyalarning oddiy chegaralarini hisoblash.

B. Bolzano

Bernard Bolzano (1781-1848), chex matematiki va faylasufi. U mantiqda psixologizmga qarshi chiqdi; U ideal ob'ektiv mavjudlikni mantiq haqiqatlariga bog'ladi. Ta'sir qilgan

E . Husserl. Bir qator muhim tushunchalarni kiritdi matematik tahlil, salafi edi G. Kantora cheksizni o'rganishda to'plamlar .

Avgustin Lui Koshi(frantsuz Avgustin Lui Koshi; 1789 yil 21 avgust, Parij — 1857 yil 23 may, Ko, Fransiya) — buyuk fransuz matematigi va mexaniki, Parij Fanlar akademiyasi, London Qirollik jamiyati a’zosi.

y=1 /x m

Mavjudlik

lim f(x) = b

x → ∞

ega bo'lishga teng

gorizontal asimptota

y = f(x) funksiyaning grafigi

lim f(x) = b x →+∞

lim f(x) = b va lim f(x) = b x →+∞ x→-∞ lim f(x) = b x→∞

Biz nimani o'rganamiz:

Infinity nima?

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi

Funksiyaning minus cheksizlikdagi chegarasi .

Xususiyatlari .

Misollar.

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Cheksizlik - cheksiz, cheksiz, tuganmas narsa va hodisalarni tavsiflash uchun ishlatiladi, bizning holimizda sonlarning xarakteristikasi.

Infinity - bu o'zboshimchalik bilan katta (kichik) cheksiz son.

Agar koordinata tekisligini hisobga oladigan bo'lsak, abscissa (ordinata) o'qi cheksiz ravishda chapga yoki o'ngga (pastga yoki yuqoriga) davom ettirilsa, abadiylikka boradi.

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Funksiyaning ortiqcha cheksizlikdagi chegarasi.

Endi funksiyaning cheksizlikdagi chegarasiga o‘tamiz:

y=f(x) funksiyaga ega bo‘lsin, funksiyamizning aniqlanish sohasi nurni o‘z ichiga oladi va y=b to‘g‘ri chiziq y=f(x) funksiya grafigining gorizontal asimptotu bo‘lsin, yozamiz. bularning barchasi matematik tilda:

y=f(x) funksiyaning x minus cheksizlikka intiluvchi chegarasi b ga teng

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Bizning munosabatlarimiz ham bir vaqtning o'zida amalga oshirilishi mumkin:

Keyin uni quyidagicha yozish odatiy holdir:

yoki

y=f(x) funksiyaning x cheksizlikka intiluvchi chegarasi b

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Misol.

Misol. y=f(x) funksiyaning grafigini tuzing, shundayki:

• Ta'rif sohasi haqiqiy sonlar to'plamidir.
• f(x) uzluksiz funksiyadir

Yechim:

Biz uzluksiz funktsiyani (-∞; +∞) ustida qurishimiz kerak. Funktsiyamizga bir nechta misollarni ko'rsatamiz.

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Asosiy xususiyatlar.

Cheklovni cheksizlikda hisoblash uchun bir nechta iboralar qo'llaniladi:

1) Har qanday natural son m uchun quyidagi munosabat bajariladi:

2) Agar

Bu:

a) Miqdor chegarasi limitlar yig'indisiga teng:

b) Mahsulot chegarasi chegaralar ko'paytmasiga teng:

c) bo'limning chegarasi chegaralar qismiga teng:

d) doimiy koeffitsient chegara belgisidan tashqari olinishi mumkin:

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

1-misol.

Toping

2-misol.

.

3-misol.

y=f(x) funksiyaning chegarasini toping, chunki x cheksizlikka intiladi .

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

1-misol.

Javob:

2-misol.

Javob:

3-misol.

Javob:

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

.

• y=f(x) uzluksiz funksiya grafigini chizing. Shunday qilib, x kabi chegara plyus cheksizlikka moyil bo'lib, 7 ga, x sifatida esa minus cheksizlik 3 ga teng.
• y=f(x) uzluksiz funksiya grafigini chizing. Shunday qilib, x kabi chegara plyus cheksizlikka 5 ga teng bo'ladi va funktsiya ortadi.
• Cheklovlarni toping:

• Cheklovlarni toping:

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Mustaqil ravishda hal qilinadigan muammolar .

Javoblar:

• Funksiya chegarasining mavjudligi nimani anglatadi?

cheksizlikda?

• y=1/x funksiya grafigi qanday asimptotaga ega? 4 ?
• Limitlarni hisoblashning qanday qoidalarini bilasiz?

cheksizlikdagi funktsiyalar?

• Limitlarni hisoblash uchun qanday formulalar mavjud?

cheksizlikda uchrashdingizmi?

• Limni (5-3x3) / (6x3 +2) qanday topish mumkin?

• Darsda qanday yangi narsalarni o'rgandingiz?
• Dars boshida qanday maqsadni oldik?
• Maqsadimiz amalga oshdimi?
• Qiyinchilikni engishga nima yordam berdi?
• Qachon bilim bizga foydali bo'ldi

sinfda topshiriqlarni bajaryapsizmi?

• Ishingizni qanday baholashingiz mumkin?

Bosqichlar

Nazariy savollar

Ballar soni

Old ish

Maks-oh

Kengashda ishlash

ball

Ishning o'zi

Mukofot ballari

6 ball

20 ball va undan yuqori ball “5”

15 dan 19 ballgacha ball “4”

10 dan 14 ballgacha ball - “3”

Uy vazifasi

§31, 1-band, 150-151-betlar - darslik;

№ 669 (c), 670 (c), 671 (c), 672 (c),

673 (c), 674 (c), 676 (c), 700 (d) - muammoli kitob.

Bugungi dars tugadi,

Siz do'stona bo'la olmadingiz.

Ammo hamma bilishi kerak:

Bilim, qat'iyat, mehnat

Ular hayotda taraqqiyotga olib keladi.

Slayd 2

Sarlavha sahifasi Mundarija Kirish O‘zgaruvchi miqdor chegarasi Limitlarning asosiy xossalari Funksiyaning nuqtadagi chegarasi Funksiyaning uzluksizligi tushunchasi Funksiyaning cheksizlikdagi chegarasi Ajoyib chegaralar Xulosa

Slayd 3

O'zgaruvchan chegara

Limit matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir. Chegara tushunchasi Nyuton tomonidan 17-asrning ikkinchi yarmida va 18-asrning Eyler va Lagranj kabi matematiklari tomonidan qoʻllanilgan, lekin ular chegarani intuitiv tarzda tushungan. Cheklovning birinchi qat'iy ta'riflari 1816 yilda Bolzano va 1821 yilda Koshi tomonidan berilgan.

Slayd 4

1. O'zgaruvchan qiymat chegarasi

X o'zgaruvchisi o'z o'zgarishi jarayonida quyidagi qiymatlarni qabul qilib, 5 raqamiga cheksiz yaqinlashsin: 4.9; 4,99;4,999;...yoki 5,1; 5,01; 5,001;... Bu hollarda farq moduli nolga intiladi: = 0,1; 0,01; 0,001;... Berilgan misoldagi 5 soni x o'zgaruvchining chegarasi deyiladi va lim x = 5 deb yoziladi. Ta'rif 1. Agar ayirma moduli quyidagicha bo'lsa, doimiy a kattalik x o'zgaruvchining chegarasi deyiladi. x o'zgarishlar har qanday ixtiyoriy kichik musbat e sonidan kichik bo'ladi va kichik bo'lib qoladi.

Slayd 5

2. Limitlarning asosiy xossalari

1. Cheklangan sonli o‘zgaruvchilarning algebraik yig‘indisining chegarasi hadlar chegaralarining algebraik yig‘indisiga teng: lim(x + y + … + t) = lim x + lim y + … + lim t. 2. Cheklangan sonli o‘zgaruvchilar ko‘paytmasining chegarasi ularning chegaralari ko‘paytmasiga teng: lim(x·y…t) = lim x · lim y…lim t. 3. O'zgarmas ko'rsatkichni chegara belgisidan chiqarish mumkin: lim(cx) = lim c · lim x = c lim x. Masalan, lim(5x + 3) = lim 5x + lim 3 = 5 lim x + 3. 4. Ikki o'zgaruvchining nisbati chegarasi chegaralar nisbatiga teng, agar maxraj chegarasi nolga teng bo'lmasa: lim = lim y 5. O'zgaruvchi kattalikdagi musbat butun daraja chegarasi bir xil o'zgaruvchi chegarasining bir xil kuchiga teng: lim = (lim x)n Masalan: = = x3 + 3 x2 = (- 2)2 + 3·(-2)2 = -8 + 12 = 4 6. Agar x, y, z o‘zgaruvchilar x va xzy tengsizliklarni qanoatlantirsa.

Slayd 6

3. Funksiyaning nuqtadagi chegarasi

Ta'rif 2. Agar x ning barcha qiymatlari a ga etarlicha yaqin va a dan farq qiladigan bo'lsa, funktsiyaning qiymatlari b sonidan istalgancha farq qilsa, b soni funktsiyaning a nuqtadagi chegarasi * deb ataladi. . 1.Topish: (3x2 – 2x). Yechim. Limitning 1,3 va 5 xossalarini ketma-ket ishlatib, (3x2 – 2x) = (3x2) - (2x) = 3x2 - 2x = 3 - 2x = 3 22 - 2 2 = 8 ni olamiz.

Slayd 7

4. Funksiyaning uzluksizligi tushunchasi

2. Yechimni hisoblang. X = 1 bo'lganda, kasr aniqlanadi, chunki uning maxraji nolga teng emas. Shuning uchun chegarani hisoblash uchun argumentni uning chegara qiymati bilan almashtirish kifoya. Keyin biz olamiz Limitlarni hisoblash uchun belgilangan qoidani quyidagi hollarda qo'llash mumkin emas: 1) Agar x = a da funktsiya aniqlanmagan bo'lsa; 2) x = a ni almashtirganda kasrning maxraji nolga teng bo'lib chiqsa; 3) Agar kasrning soni va maxraji x = a o'rniga qo'yilganda bir vaqtning o'zida nol yoki cheksiz bo'lib chiqsa. Bunday hollarda funktsiyalar chegaralari turli xil sun'iy texnikalar yordamida topiladi.

Slayd 8

5. Funksiyaning cheksizlikdagi chegarasi

3. Yechim toping. X da x + 5 maxraji ham cheksizlikka intiladi va uning teskari qiymati 0 ga teng. Demak, · 3 = mahsulot x bo'lsa, nolga intiladi. Shunday qilib = 0

Slayd 9

6. Ajoyib chegaralar

Ba'zi chegaralarni yuqorida ko'rsatilgan usullar yordamida topib bo'lmaydi. Masalan, topish kerak, deylik. Argumentni uning chegarasiga to'g'ridan-to'g'ri almashtirish 0/0 ko'rinishidagi noaniqlikni beradi. Numerator va maxrajni chegarasi nolga teng bo'lgan umumiy omilni ajratib oladigan tarzda o'zgartirish ham mumkin emas. Keling, quyidagi tarzda davom etaylik. Radiusi 1 ga teng aylana olib, 2 radianga teng AOB markaziy burchagini quramiz. A va B nuqtalarda aylanaga AB akkord va AD va BD tangenslarini chizamiz. Shubhasiz, |AC| = |CB| = sin x, |AD| = |DB| = tgx = 1 - Birinchi ajoyib chegara. x = e 2.7182…,. x - ikkinchi ajoyib chegara. Yechim. Numerator va maxrajni x ga bo'lib, biz x = ()x = = = olamiz

Slayd 10

7. Limit hisob-kitoblari

1. (x2 – 7x + 4) = 32 – 7 3 + 4 = - 8. Yechish. To'g'ridan-to'g'ri chegarani topish uchun funktsiyaning chegaralarini bir nuqtada almashtiramiz. 2. Yechim. Bu erda x nolga teng bo'lgan pay va maxrajning chegaralari keltirilgan. Numerator va maxrajni sanoqchiga konjugat ifodasi bilan ko'paytirsak, biz = = = = ni olamiz, shuning uchun = = = =

Slayd 11

Xulosa

Ushbu loyihada nazariy materiallar bilan bir qatorda amaliy materiallar ham ko'rib chiqildi. Amaliy qo'llashda biz chegaralarni hisoblashning barcha mumkin bo'lgan usullarini ko'rib chiqdik. Oliy matematikaning ikkinchi bo'limini o'rganish allaqachon katta qiziqish uyg'otmoqda, chunki o'tgan yildan beri biz "Matritsalar" mavzusini ko'rib chiqdik. Matritsa xossalarini tenglamalar tizimlarini echishda qo'llash" bu oddiy edi, agar olingan natija nazorat qilinadigan bo'lsa. Bu erda bunday nazorat yo'q. Oliy matematika bo'limlarini o'rganish ijobiy natijalar beradi. Ushbu kurs bo'yicha mashg'ulotlar o'z natijalarini berdi: - katta hajmdagi nazariy va amaliy materiallar o'rganildi; - limitni hisoblash usulini tanlash qobiliyati rivojlangan; - har bir hisoblash usulidan malakali foydalanish ishlab chiqilgan; - vazifa algoritmini loyihalash qobiliyati mustahkamlandi. Biz oliy matematika bo'limlarini o'rganishni davom ettiramiz. Uni o'rganishdan maqsad, biz oliy matematika kursini qayta o'rganishga yaxshi tayyorgarlik ko'ramiz.

Barcha slaydlarni ko'rish