Vektor(yoki chiziqli) bo'sh joy- vektorlar deb ataladigan elementlar to'plami bo'lgan matematik struktura, ular uchun bir-biriga qo'shish va songa ko'paytirish amallari aniqlangan - skaler.

1) X+y=y+x ( qo'shishning kommutativligi)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( qo'shimcha assotsiativlik)

3) x+0=x bo'ladigan 0êV element mavjud

4) har qanday x êV uchun - x êV elementi borki, x+(-x)=0? vektor deb ataladi, qarama-qarshi vektor x.

5) a(bx)= (ab)x ( skalerga ko'paytirishning assotsiativligi)

7) (a+b)x=ax+bx

8) a(x+y)=ax+ay

1) R 3 fazodagi erkin vektorlar

2) nxm o'lchamli matritsalar

3) Darajasi n dan oshmaydigan barcha koʻphadlar toʻplami

4) Chiziqli fazoga misollar:

5) - haqiqiy sonlar fazosi.

6) - tekislikdagi geometrik vektorlar to'plami.

7) - belgilangan o'lchamli matritsalar fazosi.

8) - bir jinsli chiziqli sistemalar yechimlari fazosi va boshqalar.

Asosiy ta'riflar

N o'lchamli vektor n sonli ketma-ketlik deyiladi. Bu raqamlar deyiladi koordinatalar vektor. Vektor koordinatalari soni n deyiladi o'lcham vektor.

Siz faqat bir xil o'lchamdagi vektorlarni qo'shishingiz mumkin

Vektorlar teng, agar ular bir xil o'lchamga ega bo'lsa va ularning mos keladigan koordinatalari teng bo'lsa.

Har qanday n o'lchovli A vektor bo'lishi mumkin istalgan raqamga ko'paytiring l va uning barcha koordinatalari ushbu raqamga ko'paytiriladi:
lA=(l*a1, l*a2,..., l*an)

Xuddi shu o'lchamdagi ikkita vektor qo'shilishi mumkin va ularning tegishli koordinatalari qo'shiladi:

Vektorlarning chiziqli birikmasi nima?

a1,a2,…,an vektorlarining chiziqli birikmasi shaklning ifodasi deyiladi:

Qayerda a1,a2,…,an- ixtiyoriy raqamlar

Qanday vektorlar chiziqli bog'liq (mustaqil) deb ataladi?

Nolga teng bo'lmagan vektorlar a1,a2,…,an chaqiriladi chiziqli bog'liq, agar bu vektorlarning notrivial chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'lsa:

Nolga teng bo'lmagan vektorlar a1,a2,…,an chaqiriladi chiziqli mustaqil, agar bu vektorlarning ahamiyatsiz chiziqli birikmasi null vektorga teng bo'lmasa.

Chiziqli mustaqil vektorlarga misollar

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi masalasi qanday hal qilinadi?

Teorema 1. Vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ulardan kamida bittasi boshqalarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi zarur va etarli.

Teorema 2. n o'lchovli fazoda n dan ortiq vektorni o'z ichiga olgan har qanday tizim chiziqli bog'liqdir.

Teorema 3.Agar vektor koordinatalaridan tuzilgan determinant nolga teng bo'lmasa, vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'ladi. Agar bu teoremalar vektorlarning chiziqli bog'liqligi yoki mustaqilligi haqidagi savolga javob bermasa, u holda uchun tenglamalar tizimini yechish yoki vektorlar sistemasining darajasini aniqlash kerak.

Ikki chiziqli bog'liq vektorning koordinatalari o'rtasida qanday bog'liqlik bor?

Ikki chiziqli bog'liq vektorga misol keltiring

: Bunday son mavjud bo'lganda vektorlar va kollinear tenglik amal qiladi:
.

Chiziqli fazo asosining ta'rifi

n o‘lchamli fazodagi n ta chiziqli mustaqil elementlar to‘plami shu fazoning asosi deyiladi.

Chiziqli fazoning o'lchamini aniqlash.

Ta'rif 3.1. Chiziqli fazo R o'z ichiga olgan bo'lsa, n o'lchovli deyiladi n chiziqli mustaqil elementlar va har qanday ( n+1) elementlar allaqachon chiziqli bog'liqdir. Bu holda raqam n fazoning o'lchami deb ataladi R.

Fazoning o'lchami dim belgisi bilan belgilanadi.

Ta'rif 3.2. Chiziqli fazo R u har qanday sonli chiziqli mustaqil elementlarni o'z ichiga olsa, cheksiz o'lchovli deyiladi.

3.4 teorema. Chiziqli bo'shliqqa ruxsat bering R dan iborat asosga ega n elementlar. Keyin o'lcham R ga teng n(xira R=n).

n o'lchovli fazo haqida tushuncha

V chiziqli fazo n o‘lchovli fazo deb ataladi, agar u n ta chiziqli mustaqil elementdan iborat sistemani o‘z ichiga olsa va har qanday n+1 element chiziqli bog‘liq bo‘lsa.

Eski va yangi asoslar vektorlarini bog'lovchi formulalar

Golovizin V.V. Algebra va geometriya bo'yicha ma'ruzalar. 4

Algebra va geometriya bo'yicha ma'ruzalar. Semestr 2.

22-ma'ruza. Vektor fazolar.

Xulosa: vektor fazoning ta'rifi, uning eng oddiy xossalari, vektorlar sistemasi, vektorlar sistemasining chiziqli birikmasi, trivial va notrivial chiziqli birikma, chiziqli bog'liq va mustaqil vektorlar sistemalari, chiziqli bog'liqlik yoki mustaqillik shartlari. vektorlar, vektorlar sistemasining quyi tizimlari, arifmetik vektor fazosining ustunlar sistemalari.

1-band. Vektor fazosining ta'rifi va uning eng oddiy xossalari.

Bu erda o'quvchiga qulaylik yaratish uchun 1-ma'ruzaning 13-bandi mazmunini takrorlaymiz.

Ta'rif. Ixtiyoriy bo'sh bo'lmagan to'plam bo'lsin, uning elementlarini vektorlar deb ataymiz, K - maydon bo'lib, uning elementlarini biz skalyarlar deb ataymiz. To'plamda ichki ikkilik algebraik operatsiya aniqlansin, biz uni + belgisi bilan belgilaymiz va vektor qo'shish deb ataladi. To'plamda tashqi binar algebraik operatsiya ham aniqlansin, biz vektorni skalerga ko'paytirish deb ataymiz va ko'paytirish belgisi bilan belgilanadi. Boshqacha qilib aytganda, ikkita xaritalash aniqlanadi:

Agar quyidagi aksiomalar bajarilsa, bu ikki algebraik amal bilan birga toʻplam K maydoni ustidagi vektor fazosi deyiladi:

1. Qo‘shish assotsiativ, ya’ni.

2. Nol vektor mavjud, ya'ni.

3. Har qanday vektor uchun qarama-qarshilik mavjud:

X vektoriga qarama-qarshi bo'lgan y vektor odatda -x bilan belgilanadi, shuning uchun

4. Qo‘shish kommutativdir, ya’ni. .

5. Vektorni skalerga ko'paytirish assotsiativlik qonuniga bo'ysunadi, ya'ni.

bu yerda ko‘paytma K maydonida aniqlangan skalyarlarning ko‘paytmasidir.

6. , bu yerda 1 K maydonining birligi.

7. Vektorni skalerga ko‘paytirish vektorlarni qo‘shishga nisbatan distributiv hisoblanadi:

8. Vektorni skalerga ko'paytirish skalerlarni qo'shishga nisbatan distributivdir: .

Ta'rif. Haqiqiy sonlar maydoni ustidagi vektor fazo haqiqiy vektor fazo deb ataladi.

Teorema. (Vektor fazolarining eng oddiy xossalari.)

1. Vektor fazoda faqat bitta nol vektor mavjud.

2. Vektor fazoda har qanday vektor o'ziga xos qarama-qarshilikka ega.

3. yoki
.

4. .

Isbot. 1) Nol vektorning yagonaligi bir xillik matritsasining yagonaligi va umuman, har qanday ichki binar algebraik amalning neytral elementining yagonaligi kabi isbotlanadi.

V vektor fazoning nol vektori 0 bo'lsin. Keyin . Mayli
– yana nol vektor. Keyin. Keling, birinchi holatda olaylik
, ikkinchisida esa -
. Keyin
Va
, shundan kelib chiqadiki
, va boshqalar.

2a) Avval nol skalyar va har qanday vektorning mahsuloti nol vektorga teng ekanligini isbotlaymiz.

Mayli
. Keyin vektor fazo aksiomalarini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Qo'shishga kelsak, vektor fazosi Abel guruhidir va bekor qilish qonuni har qanday guruhda amal qiladi. Bekor qilish qonunini qo'llash, oxirgi tenglikdan kelib chiqadi

.

2b) Endi 4-bandni isbotlaymiz). Mayli
- ixtiyoriy vektor. Keyin

Bu darhol vektordan kelib chiqadi
vektor x ga qarama-qarshidir.

2c) Keling
. Keyin vektor fazo aksiomalaridan foydalanib,
Va
olamiz:

2d) Mayli
va buni faraz qilaylik
. Chunki
, bu erda K maydon bo'lsa, u holda mavjud
. Keling, tenglikni ko'paytiramiz
qoldirgan
:
, undan keyin
yoki
yoki
.

Teorema isbotlangan.

2-band. Vektor fazolarga misollar.

1) Funktsiyalarni qo'shish va funktsiyani songa ko'paytirishning odatiy operatsiyalariga nisbatan (0; 1) oraliqda uzluksiz bo'lgan bitta o'zgaruvchining raqamli haqiqiy funktsiyalari to'plami.

2) Koʻphadlarni qoʻshish va koʻphadlarni skalerga koʻpaytirishga nisbatan K maydonidan koeffitsientli bir harfdan iborat koʻphadlar toʻplami.

3) Kompleks sonlarni qo‘shish va haqiqiy songa ko‘paytirishga nisbatan kompleks sonlar to‘plami.

4) Matritsani qo‘shish va matritsani skalerga ko‘paytirishga nisbatan K maydonining elementlari bilan bir xil o‘lchamdagi matritsalar to‘plami.

Quyidagi misol 4-misolning muhim maxsus holatidir.

5) Ixtiyoriy natural son bo‘lsin. n balandlikdagi barcha ustunlar to'plami bilan belgilaymiz, ya'ni. K o'lchamdagi maydon ustidagi matritsalar to'plami
.

To‘plam K maydoni ustidagi vektor fazo bo‘lib, K maydoni ustidagi n balandlikdagi ustunlarning arifmetik vektor fazosi deyiladi.

Xususan, agar ixtiyoriy K maydoni o'rniga haqiqiy sonlar maydonini olsak, u holda vektor fazosi
n balandlikdagi ustunlarning haqiqiy arifmetik vektor fazosi deyiladi.

Xuddi shunday, vektor fazo ham o'lchamdagi K maydon ustidagi matritsalar to'plamidir
yoki, boshqacha qilib aytganda, n uzunlikdagi qatorlar. U K maydon ustidagi n uzunlikdagi satrlarning arifmetik vektor fazosi bilan ham belgilanadi va shunday ham deyiladi.

3-band. Vektor fazo vektor tizimlari.

Ta'rif. Vektor fazodagi vektorlar tizimi bu fazodagi har qanday chekli bo'sh bo'lmagan vektorlar to'plamidir.

Belgilash:
.

Ta'rif. Ifoda

, (1)

bu yerda K maydon skayarlari, V vektor fazoning vektorlari, vektorlar sistemasining chiziqli birikmasi deyiladi.
. Skayarlar bu chiziqli birikmaning koeffitsientlari deb ataladi.

Ta'rif. Agar chiziqli birikmaning barcha koeffitsientlari (1) nolga teng bo'lsa, unda bunday chiziqli birikma trivial deb ataladi, aks holda - noaniq.

Misol. Mayli
vektor fazodagi uchta vektor sistemasi V. Keyin

– berilgan vektorlar sistemasining trivial chiziqli birikmasi;

berilgan vektorlar tizimining notrivial chiziqli birikmasidir, chunki bu kombinatsiyaning birinchi koeffitsienti
.

Ta'rif. Agar V vektor fazosining har qanday x vektori quyidagicha ifodalanishi mumkin:

keyin x vektori sistema vektorlari orqali chiziqli ifodalanganligini aytishadi
. Bu holatda, shuningdek, tizim deyiladi
x vektorini chiziqli ravishda ifodalaydi.

Izoh. Ushbu va oldingi ta'rifda "chiziqli" so'zi ko'pincha o'tkazib yuboriladi va tizim vektorni ifodalaydi yoki vektor tizim vektorlari bilan ifodalanadi va hokazo.

Misol. Mayli
2 balandlikdagi ustunlarning arifmetik haqiqiy vektor fazosining ikkita ustunli tizimidir. Keyin ustun
tizim ustunlari orqali chiziqli ifodalangan yoki berilgan ustun tizimi chiziqli ravishda x ustunini ifodalaydi. Haqiqatan ham,

4-band. Vektor fazodagi chiziqli bog'liq va chiziqli mustaqil vektor sistemalari.

Har qanday vektor bo'yicha nol skayarning ko'paytmasi nol vektor va nol vektorlar yig'indisi nol vektorga teng bo'lganligi sababli, har qanday vektorlar tizimi uchun tenglik

Bundan kelib chiqadiki, nol vektor har qanday vektorlar sistemasi vektorlari orqali chiziqli tarzda ifodalanadi yoki boshqacha aytganda, har qanday vektorlar tizimi nol vektorni chiziqli tarzda ifodalaydi.

Misol. Mayli
. Bu holda null ustun tizim ustunlari orqali bir nechta usulda chiziqli tarzda ifodalanishi mumkin:

yoki

Nol vektorni chiziqli tasvirlashning ushbu usullarini farqlash uchun biz quyidagi ta'rifni kiritamiz.

Ta'rif. Agar tenglik saqlanib qolsa

va ayni paytda barcha koeffitsientlar , keyin ular tizim deb aytishadi
nol vektorni ahamiyatsiz ifodalaydi. Agar tenglikda (3) koeffitsientlardan kamida bittasi bo'lsa
nolga teng emas, u holda vektorlar sistemasi deyishadi
null vektorni noan'anaviy tarzda ifodalaydi.

Oxirgi misoldan biz nol vektorni notrivial usullarda ifodalay oladigan vektorlar tizimlari mavjudligini ko'ramiz. Quyidagi misoldan biz null vektorni notrivial tarzda ifodalay olmaydigan vektorlar tizimlari mavjudligini ko'ramiz.

Misol. Mayli
– vektor fazodan ikki ustunli sistema. Tenglikni ko'rib chiqing:

,

Qayerda
hali noma'lum koeffitsientlar. Ustunni skaler (raqam) bilan ko'paytirish va ustunlarni qo'shish qoidalaridan foydalanib, biz tenglikni olamiz:

.

Matritsa tengligining ta'rifidan kelib chiqadiki
Va
.

Shunday qilib, bu tizim null ustunni noan'anaviy tarzda ifodalay olmaydi.

Yuqoridagi misollardan vektor sistemalarning ikki xilligi kelib chiqadi. Ba'zi tizimlar null vektorni noan'anaviy tarzda ifodalaydi, boshqalari esa yo'q. Yana bir bor e'tibor bering, har qanday vektorlar tizimi nol vektorni ahamiyatsiz tarzda ifodalaydi.

Ta'rif. Vektor fazodagi null vektorni FAQAT arzimas tarzda ifodalovchi vektorlar tizimi chiziqli mustaqil deyiladi.

Ta'rif. Vektor fazodagi nol vektorni notrivial tarzda ifodalay oladigan vektorlar sistemasiga chiziqli qaram deyiladi.

Oxirgi ta'rif batafsilroq shaklda berilishi mumkin.

Ta'rif. Vektor tizimi
V vektor fazosi, agar K maydonining nolga teng bo'lmagan skalerlar to'plami mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liq deb ataladi.

Izoh. Har qanday vektor tizimi
null vektorni ahamiyatsiz tarzda ifodalashi mumkin:

Lekin bu berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq yoki chiziqli mustaqil ekanligini aniqlash uchun etarli emas. Ta'rifdan kelib chiqadiki, chiziqli mustaqil vektorlar tizimi nol vektorni notrivial tarzda ifodalay olmaydi, faqat arzimas tarzda. Shuning uchun, berilgan vektorlar tizimining chiziqli mustaqilligini tekshirish uchun biz ushbu vektorlar tizimining ixtiyoriy chiziqli birikmasi orqali nolning tasvirini ko'rib chiqishimiz kerak:

Agar ushbu chiziqli birikmaning kamida bitta koeffitsienti nolga teng bo'lmasa, bu tenglik mumkin bo'lmasa, bu tizim, ta'rifiga ko'ra, chiziqli mustaqildir.

Shunday qilib, oldingi paragrafning misollarida ustun tizimi
chiziqli mustaqil va ustunlar tizimi
chiziqli bog'liqdir.

Ustunlar tizimining chiziqli mustaqilligi ham xuddi shunday tarzda isbotlangan , , ... ,

K - ixtiyoriy maydon bo'lgan fazodan n - ixtiyoriy natural son.

Quyidagi teoremalar vektor tizimlarning chiziqli bog'liqligi va shunga mos ravishda chiziqli mustaqilligi uchun bir nechta mezonlarni beradi.

Teorema. (Vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi uchun zarur va etarli shart.)

Vektor fazodagi vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'ladi, agar tizim vektorlaridan biri ushbu tizimning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa.

Isbot. Zaruriyat. Tizimga ruxsat bering
chiziqli bog'liq. Keyin, ta'rifga ko'ra, u nol vektorni noan'anaviy tarzda ifodalaydi, ya'ni. nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlar tizimining ahamiyatsiz chiziqli birikmasi mavjud:

bu erda bu chiziqli birikmaning koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng emas. Mayli
,
.

Oldingi tenglikning ikkala tomonini ushbu nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ajratamiz (ya'ni, ko'paytiramiz. :

Belgilaymiz:
, Qayerda.

bular. sistemaning vektorlaridan biri chiziqli ravishda ushbu sistemaning boshqa vektorlari orqali ifodalanadi va hokazo.

Adekvatlik. Tizim vektorlaridan biri shu sistemaning boshqa vektorlari orqali chiziqli ifodalansin:

Keling, vektorni harakatlantiramiz bu tenglikning o'ng tomonida:

Vektor koeffitsientidan beri teng
, u holda biz vektorlar tizimi orqali nolning notrivial tasviriga ega bo'lamiz
, ya'ni bu vektorlar tizimi chiziqli bog'liq va hokazo.

Teorema isbotlangan.

Natija.

1. Vektor fazodagi vektorlar sistemasi, agar sistema vektorlaridan hech biri shu sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalanmasagina chiziqli mustaqil hisoblanadi.

2. Nol vektor yoki ikkita teng vektorni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Isbot.

1) zarurat. Tizim chiziqli mustaqil bo'lsin. Buning aksini faraz qilaylik va bu sistemaning boshqa vektorlari orqali chiziqli ifodalangan sistemaning vektori mavjud. Keyin, teoremaga ko'ra, tizim chiziqli bog'liq va biz qarama-qarshilikka erishamiz.

Adekvatlik. Tizimning vektorlarining hech biri boshqalari bilan ifodalanmasin. Buning aksini faraz qilaylik. Tizim chiziqli bog'liq bo'lsin, lekin u holda teoremadan kelib chiqadiki, bu tizimning boshqa vektorlari orqali chiziqli ravishda ifodalangan tizim vektori mavjud va biz yana ziddiyatga kelamiz.

2a) sistemada nol vektor bo'lsin. Aniqlik uchun vektor deb faraz qilaylik
:. Shunda tenglik aniq bo'ladi

bular. sistemaning vektorlaridan biri bu sistemaning boshqa vektorlari orqali chiziqli ifodalanadi. Teoremadan kelib chiqadiki, bunday vektorlar tizimi chiziqli bog'liq va hokazo.

E'tibor bering, bu haqiqatni to'g'ridan-to'g'ri vektorlarning chiziqli bog'liq tizimining ta'rifidan isbotlash mumkin.

Chunki
, keyin quyidagi tenglik aniq bo'ladi

Bu nol vektorning notrivial ko'rinishi bo'lib, tizimni bildiradi
chiziqli bog'liqdir.

2b) sistema ikkita teng vektorga ega bo'lsin. Ishonch hosil qilaylik
. Shunda tenglik aniq bo'ladi

Bular. birinchi vektor bir xil sistemaning qolgan vektorlari orqali chiziqli ifodalanadi. Teoremadan kelib chiqadiki, bu tizim chiziqli bog'liq va hokazo.

Avvalgisiga o'xshab, bu bayonotni to'g'ridan-to'g'ri chiziqli bog'liq tizimni aniqlash orqali isbotlash mumkin.

Haqiqatan ham, beri
, u holda tenglik to'g'ri bo'ladi

bular. bizda nol vektorning notrivial tasviri mavjud.

Tergov isbotlangan.

Teorema (Bir vektorli tizimning chiziqli bog'liqligi to'g'risida.

Bitta vektordan tashkil topgan tizim, agar bu vektor nolga teng bo'lsa, chiziqli bog'liqdir.

Isbot.

Zaruriyat. Tizimga ruxsat bering
chiziqli bog'liq, ya'ni. nol vektorning ahamiyatsiz bo'lmagan tasviri mavjud

,

Qayerda
Va
. Vektor fazosining eng oddiy xossalaridan shundan kelib chiqadiki
.

Adekvatlik. Tizim bitta nol vektordan iborat bo'lsin
. Keyin bu tizim nol vektorni noan'anaviy tarzda ifodalaydi

,

sistemaning chiziqli bog'liqligi shundan kelib chiqadi
.

Teorema isbotlangan.

Natija. Bitta vektordan tashkil topgan tizim, agar bu vektor nolga teng bo'lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

Dalil o'quvchiga mashq sifatida qoldiriladi.

VEKTOR SPACE, K maydoni ustidagi chiziqli fazo, qo'shimcha ravishda yozilgan Abeliy E guruhi bo'lib, unda elementlarning skalerlar bilan ko'payishi aniqlanadi, ya'ni xaritalash.

K × E → E: (l, x) → lx,

quyidagi aksiomalarni qanoatlantiruvchi (x, y ∈ E, l, m, 1 ∈ K):

1) l(x + y) = lx + ly,

2) (l + m)x = lx + mx,

3) (lm)x = l(mx),

4) 1 ⋅ x = x.

Vektor fazoning quyidagi muhim xossalari (0 ∈ E) 1)-4 aksiomalardan kelib chiqadi:

5) l ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

V. p.ning elementlari deb ataladi. VP nuqtalari yoki vektorlar va K maydonining elementlari skalardir.

Matematika va ilovalardagi eng katta qo'llash kompleks sonlar maydoni ℂ yoki haqiqiy sonlarning ℝ maydonida amalga oshiriladi; ular deyiladi mos ravishda murakkab v. p. yoki real v. p.

v. p. aksiomalari ma'lum algebraik narsalarni ochib beradi. ko'p funktsiyalar sinflarining xususiyatlari tahlilda tez-tez uchraydi. Vertikal fazolar misollaridan eng asosiysi va eng qadimgisi n o'lchovli Evklid bo'shliqlaridir. Deyarli bir xil darajada muhim misollar ko'p funktsiyali bo'shliqlardir: uzluksiz funktsiyalar fazosi, o'lchanadigan funktsiyalar fazosi, yig'iladigan funktsiyalar fazosi, analitik funktsiyalar fazosi. funksiyalar, cheklangan o'zgaruvchan funksiyalar fazosi.

V. fazo tushunchasi halqa ustidagi modul tushunchasining alohida holidir, yaʼni v. fazo maydon ustidagi unitar moduldir. Kommutativ bo'lmagan egilish maydoni ustidagi unitar modul ham deyiladi. tana ustidagi vektor maydoni; bunday to'lqin shakllari nazariyasi ko'p jihatdan maydon ustidagi to'lqin shakllari nazariyasiga qaraganda murakkabroq.

Vektor fazolar bilan bog’liq bo’lgan muhim muammolardan biri vektor fazolar geometriyasini o’rganish, ya’ni vektor fazolardagi chiziqlar, vektor fazolardagi tekis va qavariq to’plamlar, vektor fazolarning pastki fazolari, vektor fazolardagi asoslarni o’rganishdir.V. p.

Vektor pastki fazo yoki oddiygina pastki fazo V. p. E maydoni ustidagi K deyiladi. a kichik to'plami F ⊂ E skaler bilan qo'shish va ko'paytirish amallari ostida yopiq. O'z ichiga olgan bo'shliqdan alohida ko'rib chiqiladigan pastki fazo bir xil maydon ustidagi bo'shliqdir.

Ikkita x va y B nuqtalaridan o'tuvchi to'g'ri chiziqqa deyiladi. z = lx + (1 - l)y, l ∈ K ko'rinishdagi z ∈ E elementlar to'plami. G ∈ E to'plam deyiladi. tekis to'plam, agar u har qanday ikkita nuqta bilan birga ushbu nuqtalardan o'tuvchi chiziqni o'z ichiga oladi. Har bir tekis to'plam ma'lum bir pastki fazodan siljish (parallel tarjima) yordamida olinadi: G = x + F; bu shuni anglatadiki, har bir z ∈ G elementi z = x + y, y ∈ F ko'rinishlarida yagona tarzda ifodalanishi mumkin va bu tenglik F va G o'rtasida birma-bir moslikni ta'minlaydi.

Berilgan F kichik fazoning barcha siljishlari F x = x + F to'plami K ustidagi V. fazoni hosil qiladi, deyiladi. E/F faktor maydoni, agar operatsiyalarni quyidagicha aniqlasak:

F x F y = F x+y ; lF x = F lx, l ∈ K.

M = (x a) a∈A E dan ixtiyoriy vektorlar to‘plami bo‘lsin; x a ∈ E vektorlarning chiziqli birikmasi deyiladi. formula bilan aniqlangan x vektori

x = ∑ a l a x a , l a ∈ K,

unda faqat cheklangan sonli koeffitsientlar nolga teng emas. Berilgan M to'plam vektorlarining barcha chiziqli birikmalari to'plami M o'z ichiga olgan eng kichik pastki fazo bo'lib, deyiladi. to'plamning chiziqli oralig'i M. Chiziqli birikma deyiladi. agar barcha koeffitsientlar l a nolga teng bo'lsa, ahamiyatsiz. M to'plami deyiladi. chiziqli mustaqil to'plam, agar M dan vektorlarning barcha notrivial chiziqli birikmalari nolga teng bo'lmasa.

Har qanday chiziqli mustaqil to'plam ma'lum bir maksimal chiziqli mustaqil M0 to'plamida, ya'ni E dan biron bir element qo'shilgandan so'ng chiziqli mustaqil bo'lishni to'xtatadigan to'plamda joylashgan.

Har bir x ∈ E elementi maksimal chiziqli mustaqil to'plam elementlarining chiziqli birikmasi sifatida yagona tarzda ifodalanishi mumkin:

x = ∑ a l a x a, x a ∈ M 0.

Shu munosabat bilan maksimal chiziqli mustaqil to'plam deyiladi. V. p.ning asosi (algebraik asos). Berilgan VP ning barcha asoslari bir xil kardinallikka ega, deb ataladi. o'lchov V. p. Agar bu kuch cheklangan bo'lsa, fazo deyiladi. chekli oʻlchovli V. p.; aks holda deyiladi cheksiz o'lchovli V. p.

K maydonini K maydoni ustidagi bir o'lchovli vertikal fazo deb hisoblash mumkin; bu V. bandining asosi bir elementdan iborat; u noldan boshqa har qanday element bo'lishi mumkin. Bazisi n ta elementdan iborat bo'lgan chekli o'lchovli vektor deyiladi. n o'lchovli fazo.

Haqiqiy va murakkab qavariq to‘plamlar nazariyasida qavariq to‘plamlar nazariyasi muhim o‘rin tutadi. Haqiqiy V.p.dagi M toʻplam deyiladi. qavariq to‘plam bo‘ladi, agar uning x, y nuqtalarining istalgan ikkitasi bilan birga tx + (1 - t)y, t ∈ segmenti ham M ga tegishli bo‘lsa.

Vertikal fazolar nazariyasida katta o'rinni vertikal fazolardagi chiziqli funksionallar nazariyasi va ular bilan bog'liq ikkilik nazariyasi egallaydi. E ning K maydoni ustidagi CV bo'lsin. E dagi chiziqli funksional deyiladi. qo'shimchali va bir jinsli xaritalash f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(lx) = lf(x).

E dagi barcha chiziqli funksiyalarning E* to‘plami amallarga nisbatan K maydonida bo‘sh joy hosil qiladi.

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (lf)(x) = lf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1, f 2, f ∈ E*.

Bu V.p. deb ataladi. konjugat (yoki ikkilamchi) bo'shliq (E ga). Bir qator geometrik nazariyalar konjugat fazo tushunchasi bilan bog'liq. shartlari. D ⊂ E (mos ravishda G ⊂ E*) bo‘lsin; D to'plamning annigilyatori yoki D to'plamning ortogonal to'ldiruvchisi (mos ravishda G to'plam) deyiladi. bir guruh

D ⊥ = (f ∈ E*: barcha x ∈ D uchun f(x) = 0)

(mos ravishda G ⊥ = (x ∈ E: f(x) = 0 barcha f ∈ G) uchun); bu yerda D ⊥ va G ⊥ mos ravishda E* va E boʻshliqlarining pastki fazolari.Agar f E* ning nolga teng boʻlmagan elementi boʻlsa, (f) E ning maksimal toʻgʻri chiziqli pastki fazosi deb ataladi. ba'zan gipersubbosmos; bunday pastki fazoning siljishi deyiladi. E da giperplane; Har bir giperplanning shakli bor

(x: f(x) = l), bu erda f ≠ 0, f ∈ E*, l ∈ K.

Agar F B. p. E ning pastki fazosi bo'lsa, F* va F o'rtasida tabiiy izomorfizmlar mavjud.

E*/F ⊥ va (E/F)* va F ⊥ orasida.

G ⊂ E* kichik to‘plami chaqiriladi Agar uning annihilatori faqat nol elementni o'z ichiga olsa, E ga nisbatan umumiy kichik to'plam: G ⊥ = (0).

Har bir chiziqli mustaqil to'plam (x a ) a∈A ⊂ E konjugat to'plam (f a ) a∈A ⊂ E* bilan bog'lanishi mumkin, ya'ni. shunday to'plamki, f a (x b) = d ab (Kronecker belgisi) barcha a, b ∈ A uchun. Juftlar to'plami (x a, f a) deyiladi. bioortogonal tizim bilan. Agar (x a) to‘plam E da bazis bo‘lsa, (f a) to‘liq E dan yuqori bo‘ladi.

Chiziqli o'zgarishlar nazariyasida muhim o'rinni chiziqli o'zgarishlarni chiziqli o'zgartirish nazariyasi egallaydi.E 1 va E 2 bir xil K maydonida ikkita chiziqli o'zgarishlar bo'lsin. Chiziqli xaritalash yoki chiziqli operator T, chiziqli o'zgarishlar transformatsiya.E 1 in V. p. E 2 (yoki E 1 dan E 2 gacha chiziqli operator), chaqirilgan. E 1 dan E 2 gacha bo'lgan fazoni qo'shimcha va bir hil xaritalash:

T(x + y) = Tx + Ty; T(lx) = lT(x); x, y ∈ E 1.

Ushbu kontseptsiyaning alohida holati chiziqli funktsional yoki E 1 dan K gacha chiziqli operatordir. Chiziqli xaritalash, masalan, B. p. E ning E/F bo'linma fazosiga tabiiy xaritasi bo'lib, u bilan bog'lanadi. har bir element x ∈ E a tekis to'plam F x ∈ E/ F. Barcha chiziqli operatorlarning T: E 1 → E 2 to‘plami ℒ(E 1, E 2) amallarga nisbatan V. p.ni hosil qiladi.

(T 1 + T 2)x = T 1 x + T 2 x; (lT)x = lTx; x ∈ E 1 ; l ∈ K; T 1, T 2, T ∈ ℒ (E 1, E 2).

Ikki V. element E 1 va E 2 chaqirdi. v. bandlari uchun izomorf bo‘ladi, agar ularning elementlari o‘rtasida yakkama-yakka muvofiqlikni amalga oshiradigan chiziqli operator (“izomorfizm”) bo‘lsa. E 1 va E 2 izomorf bo'ladi, agar ularning asoslari bir xil kardinallikka ega bo'lsa.

E 1 dan E 2 ga teng chiziqli operator T bo'lsin. Konjugat chiziqli operator yoki T ga nisbatan qo'sh chiziqli operator deyiladi. chiziqli operator T* E* 2 dan E* 1 gacha, tenglik bilan aniqlanadi

(T*ph)x = ph(Tx) barcha x ∈ E 1, ph ∈ E* 2 uchun.

T* -1 (0) = ⊥, T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ munosabatlari amal qiladi, bu T* izomorfizm ekanligini bildiradi, agar T izomorfizm bo'lsa.

Vertikal fazolarni ikki chiziqli xaritalash va ko‘p chiziqli xaritalash nazariyasi vertikal fazolarni chiziqli tasvirlash nazariyasi bilan chambarchas bog‘liq.

Chiziqli xaritalash nazariyasi muammolarining muhim guruhini chiziqli chizmalarni davom ettirish masalalari tashkil etadi. F V ning pastki fazosi bo'lsin. p. E 1, E 2 E 1 bilan bir xil maydon ustidagi chiziqli fazo va T 0 F ning E 2 ga chiziqli xaritasi bo'lsin; butun E 1 bo'ylab aniqlangan va E 1 dan E 2 gacha bo'lgan chiziqli xarita bo'lgan T 0 xaritasining T kengaytmasini topish talab qilinadi. Bunday davom etish har doim mavjud, ammo funktsiyalarga qo'shimcha cheklovlar (VPdagi qo'shimcha tuzilmalar, masalan, topologiya yoki tartib munosabatlari bilan bog'liq) muammoni hal qilib bo'lmaydigan qilib qo'yishi mumkin. Davom masalasini yechishga misol qilib Han-Banax teoremasi va konusli fazolarda musbat funksionallarning davom etishi haqidagi teoremalarni keltirish mumkin.

Virtual amallar nazariyasining muhim bo'limi vektorlar ustida amallar nazariyasi, ya'ni ma'lum bo'lganlardan foydalangan holda yangi vektorlarni qurish usullaridir. Bunday operatsiyalarga misol qilib quyi bo'shliqni olish va pastki fazodan bo'sh joy hosil qilish bo'yicha mashhur operatsiyalarni keltirish mumkin. Boshqa muhim operatsiyalar - VP ning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi, to'g'ridan-to'g'ri mahsuloti va tensor mahsuloti qurilishi.

(E a ) a∈I K maydoni ustidagi oʻzgaruvchan boʻshliqlar turkumi boʻlsin. E toʻplam - E a toʻplamlar koʻpaytmasi amallarni kiritish orqali K maydoni ustidagi vertikal boʻshliqlar oilasiga aylantirilishi mumkin.

(x a) + (y a) = (x a + y a); l(x a) = (lx a); l ∈ K; x a , y a ∈ E a , a ∈ I;

oldi V. p. E chaqirdi. V. p. E a ning bevosita mahsuloti va P a∈I E a bilan belgilanadi. V. p. E ning har biri uchun (a: x a ≠ 0) toʻplam chekli boʻlgan barcha toʻplamlardan (x a) tashkil topgan pastki fazosi deyiladi. to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi V. p. E a va S a E a yoki S a + E a bilan belgilanadi; Cheklangan miqdordagi atamalar uchun bu ta'riflar mos keladi; bu holda quyidagi belgi qo'llaniladi:

E 1, E 2 K maydoni ustidagi ikkita V. pozitsiyasi bo'lsin; E" 1, E" 2 - V ning umumiy pastki bo'shliqlari. p. E* 1, E* 2 va E 1 □ E 2 -B. n., uning asosi E 1 × E 2 makonining barcha elementlarining yig'indisiga ega. Har bir x □ y ∈ E 1 □ E 2 elementi b(f, g) = f(x)g(y) formulasiga ko‘ra E" 1 × E 2 bo‘yicha ikki chiziqli b = T(x, y) funksiya bilan bog‘langan. ), f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2. X □ y ∈ E 1 □ E 2 bazis vektorlarining bunday xaritasi T B. p. E 1 □ E 2 dan B. p.gacha kengaytirilishi mumkin. E" 1 × E" 2 dagi barcha ikki chiziqli funksiyalarning. E 0 = T -1 (0) bo'lsin. V. E 1 va E 2 fazoning tenzor ko'paytmasi E 1 ○ E 2 = (E) omil fazosi deyiladi. 1 □ E 2)/E 0;x □ y elementining tasviri x ○ y bilan belgilanadi E 1 ○ E 2 vektor fazosi E 1 × E 2 dagi ikki chiziqli funksiyalarning vektor fazosiga izomorf (qarang Tensor koʻpaytmasi). vektor bo'shliqlari).

Lit.: Bourbaki N., Algebra. Algebraik tuzilmalar. Chiziqli va ko'p chiziqli algebra, trans. frantsuz tilidan, M., 1962; Raikov D. A., Vektor fazolari, M., 1962; Kun M. M., Normallashtirilgan chiziqli bo'shliqlar, trans. ingliz tilidan, M., 1961; , Edvard R., Funktsional tahlil, trans. ingliz tilidan, M., 1969; Halmos P., Cheklangan o'lchovli vektor fazolar, trans. ingliz tilidan, M., 1963; Glazman I.M., Lyubich Yu.I., Muammolarda chekli o'lchovli chiziqli tahlil, M., 1969.

M.I. Kadets.

Manbalar:

1. Matematik entsiklopediya. T. 1 (A - D). Ed. kengash: I. M. Vinogradov (bosh muharrir) [va boshqalar] - M., "Sovet entsiklopediyasi", 1977, 1152 stb. illusdan.

n o'lchovli vektorlar haqidagi maqolada biz n o'lchovli vektorlar to'plami tomonidan hosil qilingan chiziqli fazo tushunchasiga keldik. Endi biz bir xil darajada muhim tushunchalarni, masalan, vektor fazosining o'lchami va asosini ko'rib chiqishimiz kerak. Ular vektorlarning chiziqli mustaqil tizimi kontseptsiyasi bilan bevosita bog'liq, shuning uchun qo'shimcha ravishda ushbu mavzuning asoslarini eslatib turish tavsiya etiladi.

Keling, ba'zi ta'riflar bilan tanishaylik.

Ta'rif 1

Vektor fazosining o'lchami– bu fazodagi chiziqli mustaqil vektorlarning maksimal soniga mos keladigan raqam.

Ta'rif 2

Vektor fazo asosi– tartiblangan va soni bo‘yicha fazo o‘lchamiga teng chiziqli mustaqil vektorlar to‘plami.

n -vektorlarning ma'lum bir fazosini ko'rib chiqamiz. Uning o'lchami mos ravishda n ga teng. n-birlikli vektorlar sistemasini olaylik:

e (1) = (1, 0, ... 0) e (2) = (0, 1, .., 0) e (n) = (0, 0, .. , 1)

Biz bu vektorlardan A matritsasining komponentlari sifatida foydalanamiz: u n dan n o'lchamli birlik matritsa bo'ladi. Ushbu matritsaning darajasi n. Demak, vektor sistemasi e (1) , e (2) , . . . , e(n) chiziqli mustaqil. Bunday holda, tizimga uning chiziqli mustaqilligini buzmasdan bitta vektor qo'shish mumkin emas.

Tizimdagi vektorlar soni n bo'lgani uchun n o'lchovli vektorlar fazosining o'lchami n, birlik vektorlari esa e (1), e (2), . . . , e (n) ko'rsatilgan bo'shliqning asosidir.

Olingan ta'rifdan xulosa qilishimiz mumkin: vektorlari soni n dan kichik bo'lgan har qanday n o'lchovli vektorlar tizimi fazoning asosi emas.

Agar birinchi va ikkinchi vektorlarni almashtirsak, e (2) , e (1) , vektorlar sistemasini olamiz. . . , e (n) . Shuningdek, u n o'lchovli vektor fazoning asosi bo'ladi. Olingan sistemaning vektorlarini uning qatorlari sifatida qabul qilib, matritsa tuzamiz. Matritsani identifikatsiya matritsasidan dastlabki ikki qatorni almashtirish orqali olish mumkin, uning darajasi n bo'ladi. Tizim e (2) , e (1) , . . . , e(n) chiziqli mustaqil va n o‘lchamli vektor fazoning asosi hisoblanadi.

Dastlabki tizimdagi boshqa vektorlarni qayta tartibga solish orqali biz boshqa asosga ega bo'lamiz.

Biz birlik bo'lmagan vektorlarning chiziqli mustaqil tizimini olishimiz mumkin va u n o'lchovli vektor fazosining asosini ham ifodalaydi.

Ta'rif 3

n o'lchamli vektor fazoda n sonining n o'lchovli vektorlarining chiziqli mustaqil tizimlari mavjud bo'lganidek ko'p asoslar mavjud.

Samolyot ikki o'lchovli fazodir - uning asosini har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor tashkil qiladi. Uch o'lchovli fazoning asosi har qanday uchta tekis bo'lmagan vektor bo'ladi.

Keling, ushbu nazariyaning qo'llanilishini aniq misollar yordamida ko'rib chiqaylik.

1-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Belgilangan vektorlar uch o'lchovli vektor fazosining asosi ekanligini aniqlash kerak.

Yechim

Muammoni hal qilish uchun chiziqli bog'liqlik uchun berilgan vektorlar tizimini o'rganamiz. Keling, matritsa yarataylik, bu erda qatorlar vektorlarning koordinatalari. Matritsaning darajasini aniqlaymiz.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Binobarin, masalaning sharti bilan belgilangan vektorlar chiziqli mustaqil bo’lib, ularning soni vektor fazoning o’lchamiga teng – ular vektor fazoning asosi hisoblanadi.

Javob: ko'rsatilgan vektorlar vektor fazosining asosi hisoblanadi.

2-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

Belgilangan vektorlar tizimi uch o'lchovli fazoning asosi bo'lishi mumkinligini aniqlash kerak.

Yechim

Masala bayonida ko'rsatilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq, chunki chiziqli mustaqil vektorlarning maksimal soni 3. Shunday qilib, ko'rsatilgan vektorlar tizimi uch o'lchovli vektor fazosi uchun asos bo'lib xizmat qila olmaydi. Lekin shuni ta'kidlash joizki, dastlabki tizimning quyi tizimi a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) asosdir.

Javob: ko'rsatilgan vektorlar tizimi asos emas.

3-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Ular to'rt o'lchovli makonning asosi bo'la oladimi?

Yechim

Berilgan vektorlarning koordinatalarini qator sifatida ishlatib, matritsa tuzamiz

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Gauss usulidan foydalanib, biz matritsaning darajasini aniqlaymiz:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Binobarin, berilgan vektorlar tizimi chiziqli mustaqil va ularning soni vektor fazoning o'lchamiga teng - ular to'rt o'lchovli vektor fazoning asosi hisoblanadi.

Javob: berilgan vektorlar to'rt o'lchovli fazoning asosidir.

4-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Ular 4 o'lchamli bo'shliqning asosini tashkil qiladimi?

Yechim

Vektorlarning dastlabki tizimi chiziqli mustaqildir, lekin undagi vektorlar soni to'rt o'lchovli fazoning asosi bo'lish uchun etarli emas.

Javob: yo'q, ular yo'q.

Vektorning bazisga parchalanishi

Faraz qilaylik, ixtiyoriy vektorlar e (1) , e (2) , . . . , e (n) n o‘lchamli vektor fazoning asosi hisoblanadi. Ularga ma'lum bir n o'lchovli vektor x → qo'shamiz: natijada vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'ladi. Chiziqli bog'liqlikning xossalari shuni ko'rsatadiki, bunday tizimning vektorlaridan kamida bittasi boshqalar orqali chiziqli tarzda ifodalanishi mumkin. Ushbu bayonotni qayta shakllantirgan holda, chiziqli bog'liq tizimning vektorlaridan kamida bittasini qolgan vektorlarga kengaytirish mumkinligini aytishimiz mumkin.

Shunday qilib, biz eng muhim teoremani shakllantirishga keldik:

Ta'rif 4

n-o'lchovli vektor fazoning har qanday vektori yagona bazisga ajralishi mumkin.

Dalil 1

Bu teoremani isbotlaylik:

n o'lchovli vektor fazoning asosini o'rnatamiz - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Unga n o'lchovli x → vektorini qo'shish orqali tizimni chiziqli bog'liq qilaylik. Bu vektorni dastlabki vektorlar bilan chiziqli ravishda ifodalash mumkin e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , bu erda x 1 , x 2 , . . . , x n - ba'zi raqamlar.

Endi biz bunday parchalanishning yagona ekanligini isbotlaymiz. Aytaylik, bunday emas va shunga o'xshash yana bir parchalanish mavjud:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , bu erda x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - ba'zi raqamlar.

Bu tenglikning chap va o'ng tomonlaridan mos ravishda tenglikning chap va o'ng tomonlarini ayirib chiqamiz x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Biz olamiz:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Bazis vektorlar tizimi e (1) , e (2) , . . . , e(n) chiziqli mustaqil; vektorlar tizimining chiziqli mustaqilligi ta'rifiga ko'ra, yuqoridagi tenglik faqat barcha koeffitsientlar (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , bo'lganda mumkin bo'ladi. . . , (x ~ n - x n) nolga teng bo'ladi. Undan adolatli bo'ladi: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n. Va bu vektorni asosga ajratishning yagona variantini isbotlaydi.

Bunday holda, koeffitsientlar x 1, x 2, . . . , x n e (1) , e (2) , asosdagi x → vektorining koordinatalari deyiladi. . . , e (n) .

Tasdiqlangan nazariya "n-o'lchovli vektor x = (x 1, x 2, .., x n) berilgan" ifodasini aniq ko'rsatib beradi: vektor x → n o'lchovli vektor fazosi ko'rib chiqiladi va uning koordinatalari a da ko'rsatilgan. muayyan asos. Bundan tashqari, n o'lchovli fazoning boshqa asosidagi bir xil vektor turli koordinatalarga ega bo'lishi aniq.

Quyidagi misolni ko'rib chiqaylik: n o'lchovli vektor fazoning qaysidir asosida n ta chiziqli mustaqil vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin.

hamda x = (x 1, x 2, .., x n) vektori ham berilgan.

Vektorlar e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) bu holda ham ushbu vektor fazoning asosi hisoblanadi.

Faraz qilaylik, e 1 (1) , e 2 (2) , asosda x → vektorining koordinatalarini aniqlash zarur. . . , e n (n) , x ~ 1, x ~ 2, sifatida belgilanadi. . . , x ~ n.

Vektor x → quyidagicha ifodalanadi:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Bu ifodani koordinata shaklida yozamiz:

(x 1, x 2, .., x n) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, .., e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , . . ., e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + ... + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + .. + x ~ n e 2 (n) , . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

Olingan tenglik n ta noma’lum chiziqli o‘zgaruvchisi x ~ 1, x ~ 2, bo‘lgan n ta chiziqli algebraik ifodalar tizimiga ekvivalentdir. . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 +. . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 +. . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 +. . . + x ~ n e n n

Ushbu tizimning matritsasi quyidagi shaklga ega bo'ladi:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Bu A matritsa bo'lsin va uning ustunlari e 1 (1), e 2 (2), vektorlarning chiziqli mustaqil sistemasi vektorlari bo'lsin. . . , e n (n) . Matritsaning darajasi n, determinanti esa nolga teng emas. Bu tenglamalar sistemasi har qanday qulay usul bilan aniqlangan yagona yechimga ega ekanligini ko'rsatadi: masalan, Kramer usuli yoki matritsa usuli. Shu tarzda x ~ 1, x ~ 2, koordinatalarini aniqlashimiz mumkin. . . , x ~ n vektor x → asosda e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Keling, ko'rib chiqilgan nazariyani aniq bir misolga tatbiq qilaylik.

6-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar uch o'lchovli fazoda ko'rsatilgan

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

e (1), e (2), e (3) vektorlar sistemasi ham berilgan fazoning asosi bo’lib xizmat qilishini tasdiqlash, shuningdek, berilgan asosda x vektor koordinatalarini aniqlash zarur.

Yechim

e (1), e (2), e (3) vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, uch o'lchovli fazoning asosi bo'ladi. Satrlari berilgan e (1), e (2), e (3) vektorlari bo'lgan A matritsaning rankini aniqlab, bu imkoniyatni aniqlaymiz.

Biz Gauss usulidan foydalanamiz:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 ga teng. Demak, e (1), e (2), e (3) vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil va bazis hisoblanadi.

X → vektor bazisda x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 koordinatalariga ega bo'lsin. Ushbu koordinatalar orasidagi bog'liqlik tenglama bilan aniqlanadi:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Muammoning shartlariga ko'ra qiymatlarni qo'llaymiz:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Tenglamalar tizimini Kramer usuli yordamida yechamiz:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Shunday qilib, e (1), e (2), e (3) bazisdagi x → vektori x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1 koordinatalariga ega.

Javob: x = (1 , 1 , 1)

Bazalar orasidagi munosabat

Faraz qilaylik, n o'lchovli vektor fazoning qaysidir asosida ikkita chiziqli mustaqil vektorlar tizimi berilgan:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . , e n (n))

Bu tizimlar ham berilgan makonning asoslari hisoblanadi.

c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , bo'lsin. . . , c ~ n (1) - e (1) , e (2) , asosdagi c (1) vektorining koordinatalari. . . , e (3) bo'lsa, u holda koordinata munosabatlari chiziqli tenglamalar tizimi bilan beriladi:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Tizimni matritsa sifatida quyidagicha ifodalash mumkin:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Analogiya bo'yicha c (2) vektoriga xuddi shunday yozuvni kiritamiz:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Matritsa tengliklarini bitta ifodaga birlashtiramiz:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

U ikki xil asos vektorlari orasidagi bog'lanishni aniqlaydi.

Xuddi shu tamoyildan foydalanib, barcha bazis vektorlarni e(1), e(2), ni ifodalash mumkin. . . , e (3) asosi orqali c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Keling, quyidagi ta'riflarni beraylik:

Ta'rif 5

Matritsa c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) - e (1) , e (2) , asoslaridan o'tish matritsasi. . . , e (3)

asosiga c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Ta'rif 6

Matritsa e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) - c (1) , c (2) , asoslaridan o'tish matritsasi. . . , c(n)

asosiga e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Bu tengliklardan ko'rinib turibdiki

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

bular. o'tish matritsalari o'zaro.

Keling, aniq misol yordamida nazariyani ko'rib chiqaylik.

7-misol

Dastlabki ma'lumotlar: bazisdan o'tish matritsasini topish kerak

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Shuningdek, berilgan asoslarda ixtiyoriy x → vektorining koordinatalari orasidagi munosabatni ko'rsatish kerak.

Yechim

1. T o‘tish matritsasi bo‘lsin, u holda tenglik to‘g‘ri bo‘ladi:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Tenglikning ikkala tomonini ko'paytiring

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

va biz olamiz:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. O‘tish matritsasini aniqlang:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. X → vektorining koordinatalari orasidagi munosabatni aniqlaymiz:

Faraz qilaylik, asosda c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → koordinatalari x 1 , x 2 , x 3 ga ega, keyin:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

va asosda e (1) , e (2) , . . . , e (3) x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 koordinatalariga ega, keyin:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Chunki Agar bu tengliklarning chap tomonlari teng bo'lsa, o'ng tomonlarini ham tenglashtirishimiz mumkin:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

O'ngdagi ikkala tomonni ko'paytiring

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

va biz olamiz:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Boshqa tomondan

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Oxirgi tengliklar ikkala bazisdagi x → vektorining koordinatalari orasidagi munosabatni ko'rsatadi.

Javob: o'tish matritsasi

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Berilgan asoslardagi x → vektorining koordinatalari quyidagi munosabat bilan bog‘lanadi:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

V bo'sh bo'lmagan to'plam bo'lsin, uning elementlarini vektorlar deb ataymiz va ... va hokazo. Ikki amal V ustida qandaydir tarzda aniqlansin va aniqlansin. Birinchi operatsiya binar qo'shimcha operatsiya (yoki taxminan aytganda, qo'shish operatsiyasi). Biz bu amalni + belgisi bilan belgilaymiz (ammo bu amal oddiy sonlar uchun qo‘shish amali aniqlanganidek 100% aniqlanishi shart emas, biz hozir raqamlarni emas, vektorlarni o‘rganyapmiz, shuning uchun bu vektorlarni qo'shish amali qandaydir tarzda o'ziga xos, maxsus belgisi bilan belgilanishi mumkin, masalan: ().Ikkinchi operatsiya vektorni maydon bo'lgan bunday to'plamning qaysidir elementiga ko'paytirishdir. shundan yangi vektor olinadi ().Maydon elementlari ham skalerlar deb ataladi.(Kim bunday maydonni ko'rishga dangasa, men aytamanki, algebraik maydonlarga misollar haqiqiy yoki murakkab sonlar to'plami bo'lishi mumkin. ).(4)

Shunday qilib, vektor fazoning aksiomalarini tuzamiz. (3)

1. a) V dan har qanday ikkita elementning yig‘indisi va b) skalar va V dan ixtiyoriy elementning ko‘paytmasi V ning ba’zi elementlari (vektorlar).

2. V dan istalgan uchta elementning qo‘shilishi assotsiativ qonunga bo‘ysunadi (yoki ular aytganidek, vektor qo‘shilishi assotsiativdir):

3. V dan istalgan ikkita elementning qo‘shilishi kommutativ qonunga bo‘ysunadi (vektor qo‘shilishi kommutativdir): .

4. V dan (nol vektor) shunday element mavjudki, har qanday uchun.

5. V dan har qanday element uchun V dan element mavjud bo'lib, uning asl elementi bilan yig'indisi teng, ya'ni. (.

Har qanday skalerlar (raqamlar) uchunmi? Va? va V dan istalgan ikkita vektor uchun

Vektor pastki fazosi

Vektor pastki fazo yoki oddiygina pastki fazo, E vektor fazosi va K maydoni skalerga qo'shish va ko'paytirish amallari ostida yopilgan to'plamdir. O'z ichiga olgan fazodan alohida ko'rib chiqiladigan pastki fazo bir xil maydon ustidagi vektor fazosidir. (5)

E vektor fazosining ikkita x va y nuqtalaridan o'tuvchi to'g'ri chiziq shaklning elementlar to'plami deyiladi, ??. G to'plam tekis to'plam deb ataladi, agar u istalgan ikkitasi bilan birga shu nuqtalardan o'tuvchi chiziqni o'z ichiga olsa. Har bir tekis to'plam ma'lum bir pastki fazodan siljish (parallel ko'chirish) yordamida olinadi: G=x+F, bu har bir z elementi y ko'rinishida noyob tarzda ifodalanishi mumkinligini anglatadi va bu holda tenglik birdan-birga tenglikni ta'minlaydi. F va G o'rtasidagi bitta yozishma.

Berilgan F kichik fazoning barcha siljishlari to‘plami K ning ustida vektor fazoni hosil qiladi, agar operatsiya determinanti quyidagicha bo‘lsa, E/F bo‘lak fazosi deb ataladi:

M = ixtiyoriy E vektorlar to'plami bo'lsin; vektorlarning chiziqli birikmasi formula bilan aniqlangan vektor x hisoblanadi

unda faqat cheklangan sonli koeffitsientlar nolga teng emas. Berilgan M to'plam vektorlarining barcha chiziqli birikmalari to'plami M ni o'z ichiga olgan eng kichik pastki fazo bo'lib, M to'plamning chiziqli oralig'i deb ataladi. Agar barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lsa, chiziqli birikma trivial deyiladi. M dan vektorlarning barcha notrivial chiziqli birikmalari nolga teng bo'lmasa, M to'plam chiziqli bog'liq to'plam deb ataladi.

Haqiqiy va murakkab vektor fazolar nazariyasida qavariq to'plamlar nazariyasi muhim o'rin tutadi. Haqiqiy vektor fazodagi M to'plam qavariq to'plam deyiladi, agar uning x, y nuqtalarining istalgan ikkitasi bilan birga segment ham M ga tegishli bo'lsa.

Vektor fazolar nazariyasida katta o'rinni vektor fazodagi chiziqli funksionallar nazariyasi va ular bilan bog'liq ikkilik nazariyasi egallaydi. E maydoni K maydoni bo‘yicha vektor fazo bo‘lsin. E dagi chiziqli funksional qo‘shimchali va bir jinsli xaritalash, E esa K maydoni ustidagi vektor fazo bo‘lsin. E dagi chiziqli funksional qo‘shimchali va bir jinsli xaritalashdir.

E dagi barcha chiziqli funksionallar to‘plami amallarga nisbatan K maydoni ustida vektor fazoni hosil qiladi

Bu vektor fazo konjugat (yoki ikkilamchi) fazo (E ga) deyiladi. Bir qator geometrik atamalar konjugat fazo tushunchasi bilan bog'liq. D?E (mos ravishda G to'plam) to'plam deb atalsin

(mos ravishda); bu yerda va bo'shliqlarning pastki fazolari va mos ravishda E. Agar f nolga teng bo'lmagan element bo'lsa, ( f) E ning maksimal to‘g‘ri chiziqli pastki fazosi bo‘lib, ba’zan giperpastkiya deb ataladi; bunday pastki fazoning siljishi E da giperplan deb ataladi; Har bir giperplanning shakli bor

{x: f(x)=??), Qayerda f? 0, f, TO.

Agar uning annihilatori faqat =(0) nol elementini o'z ichiga olsa, u E ga nisbatan umumiy to'plam deb ataladi.

Har bir chiziqli mustaqil to'plam konjugat kichik to'plam bilan bog'lanishi mumkin, ya'ni. shunday to'plam (Kronecker belgisi) hamma uchun. Juftlar to‘plami bioortogonal sistema deyiladi. Agar to'plam E da bazis bo'lsa, u E'dan to'liq oshib ketadi.

Vektor fazolar nazariyasida muhim o'rinni vektor fazoni chiziqli o'zgartirishlar nazariyasi egallaydi. Bir xil K maydoni ustidagi ikkita vektor fazo bo'lsin. Chiziqli xaritalash yoki vektor fazoni vektor fazoga solishtiruvchi chiziqli operator T (yoki c dan chiziqli operator).

Ikki vektor bo'shliqlari va ularning elementlari o'rtasida birma-bir yozishmalarni amalga oshiradigan chiziqli operator ("izomorfizm") mavjud bo'lsa, izomorf vektor bo'shliqlari deb ataladi.

Vektor fazoning chiziqli tasvirlari nazariyasi bilan chambarchas bog'liq bo'lib vektor fazoning ikki chiziqli va ko'p chiziqli xaritalari nazariyasi mavjud.

Vektor fazo nazariyasi muammolarining muhim guruhini chiziqli xaritalarni davom ettirish masalalari tashkil etadi. F vektor fazoning pastki fazosi - bir xil maydon ustidagi chiziqli fazo bo'lsin va F ning chiziqli xaritasi bo'lsin; biz xaritaning butun bo'ylab aniqlangan va chiziqli xarita bo'lgan T kengaytmasini topishimiz kerak. Bunday kengaytma har doim mavjud, ammo funktsiyalarga qo'shimcha cheklovlar (topologiya yoki tartib munosabatlari kabi vektor fazodagi qo'shimcha tuzilmalar bilan bog'liq) muammoni hal qilib bo'lmaydigan qilib qo'yishi mumkin. Davom masalasini yechishga misol qilib Han-Banax teoremasi va konusli fazolarda musbat funksionallarning davom etishi haqidagi teoremalarni keltirish mumkin.

Vektor fazolar nazariyasining muhim bo'limi vektor fazolardagi amallar nazariyasi, ya'ni. ma'lum bo'lganlardan foydalangan holda yangi vektor fazolarni qurish usullari. Bunday operatsiyalarga misol qilib quyi bo'shliqni olish va pastki fazodan bo'sh joy hosil qilish bo'yicha mashhur operatsiyalarni keltirish mumkin. Boshqa muhim operatsiyalar - vektor fazosining to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi, to'g'ridan-to'g'ri ko'paytmasi va tenzor mahsulotini qurish.