Tizimli yechim chiziqli tenglamalar Gauss usuli. dan tizimga yechim topishimiz kerak deylik n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum o'zgaruvchilar
asosiy matritsasining determinanti noldan farq qiladi.
Gauss usulining mohiyati noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilishdan iborat: birinchi navbatda yo'q qilish x 1 tizimning barcha tenglamalaridan ikkinchisidan boshlab, bundan keyin chiqarib tashlanadi x 2 oxirgi tenglamada faqat noma'lum o'zgaruvchi qolguncha uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan va hokazo. x n. Noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish uchun tizim tenglamalarini o'zgartirish jarayoni deyiladi to'g'ridan-to'g'ri Gauss usuli. Gauss usulining oldinga siljishini tugatgandan so'ng, biz oxirgi tenglamadan topamiz x n, oxirgidan oldingi tenglamadan ushbu qiymatdan foydalanib, biz hisoblaymiz xn-1, va hokazo, biz topadigan birinchi tenglamadan x 1. Tizimning oxirgi tenglamasidan birinchisiga o'tishda noma'lum o'zgaruvchilarni hisoblash jarayoni deyiladi. Gauss usuliga teskari.
Keling, noma'lum o'zgaruvchilarni yo'q qilish algoritmini qisqacha ta'riflaymiz.
Biz buni taxmin qilamiz, chunki tizim tenglamalarini qayta tartibga solish orqali har doim bunga erishishimiz mumkin. Noma'lum o'zgaruvchini yo'q qiling x 1 ikkinchisidan boshlab tizimning barcha tenglamalaridan. Buning uchun tizimning ikkinchi tenglamasiga birinchi, ga ko'paytiriladi, uchinchi tenglamaga birinchi, ko'paytiriladi va hokazolarni qo'shamiz, nth tenglamaga birinchisini qo'shamiz, ko'paytiriladi. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi 
qayerda va 
.
Agar biz ifoda qilsak, xuddi shunday natijaga erishgan bo'lardik x 1 tizimning birinchi tenglamasidagi boshqa noma'lum o'zgaruvchilar orqali va natijada ifoda boshqa barcha tenglamalarga almashtirildi. Shunday qilib, o'zgaruvchi x 1 ikkinchisidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlangan.
Keyinchalik, biz shunga o'xshash tarzda davom etamiz, lekin natijada olingan tizimning faqat rasmda ko'rsatilgan qismi bilan 
Buning uchun sistemaning uchinchi tenglamasiga ga ko'paytirilgan ikkinchi tenglamani, to'rtinchi tenglamaga ikkinchi ko'paytmani va hokazolarni qo'shamiz. nth tenglamaga ikkinchisini qo'shamiz, ko'paytiriladi. Bunday o'zgarishlardan keyin tenglamalar tizimi shaklga ega bo'ladi 
qayerda va 
. Shunday qilib, o'zgaruvchi x 2 uchinchidan boshlab barcha tenglamalardan chiqarib tashlangan.
Keyinchalik biz noma'lumni yo'q qilishga kirishamiz x 3, bu holda biz tizimning rasmda belgilangan qismi bilan xuddi shunday harakat qilamiz 
Shunday qilib, tizim shaklni olmaguncha Gauss usulining to'g'ridan-to'g'ri progressiyasini davom ettiramiz 
Shu paytdan boshlab biz Gauss usulining teskarisini boshlaymiz: hisoblaymiz x n oxirgi tenglamadan olingan qiymatdan foydalanib x n topamiz xn-1 oxirgidan oldingi tenglamadan va hokazolarni topamiz x 1 birinchi tenglamadan.
Misol.
Chiziqli tenglamalar tizimini yechish 
Gauss usuli.
Ushbu maqolada usul yechim usuli sifatida ko'rib chiqiladi.Usul analitikdir, ya'ni yechim algoritmini quyidagicha yozish imkonini beradi. umumiy ko'rinish, va keyin u erda aniq misollardagi qiymatlarni almashtiring. Matritsa usuli yoki Kramer formulalaridan farqli o'laroq, Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechishda siz cheksiz miqdordagi echimlarga ega bo'lganlar bilan ham ishlashingiz mumkin. Yoki ularda umuman yo'q.
Gauss usuli yordamida yechish nimani anglatadi?
Birinchidan, biz tenglamalar sistemamizni quyidagicha yozishimiz kerak. Tizimni oling:
Koeffitsientlar jadval shaklida, erkin shartlar esa o'ng tomonda alohida ustunga yoziladi. Erkin shartli ustun qulaylik uchun ajratilgan.Ushbu ustunni o'z ichiga olgan matritsa kengaytirilgan deb ataladi.
Keyinchalik, koeffitsientli asosiy matritsa yuqori uchburchak shaklga tushirilishi kerak. Bu Gauss usuli yordamida tizimni yechishning asosiy nuqtasidir. Oddiy qilib aytganda, ma'lum manipulyatsiyalardan so'ng, matritsa shunday ko'rinishi kerakki, uning pastki chap qismida faqat nol bo'ladi:
Keyin, agar siz yangi matritsani yana tenglamalar tizimi sifatida yozsangiz, oxirgi qatorda ildizlardan birining qiymati allaqachon mavjud bo'lib, keyin yuqoridagi tenglamaga almashtiriladi, boshqa ildiz topiladi va hokazo.
Bu Gauss usuli bo'yicha yechimning eng umumiy ma'noda tavsifi. Agar to'satdan tizim hech qanday yechim topmasa nima bo'ladi? Yoki ularning cheksiz ko'pi bormi? Bu va boshqa ko'plab savollarga javob berish uchun Gauss usulini yechishda qo'llaniladigan barcha elementlarni alohida ko'rib chiqish kerak.
Matritsalar, ularning xossalari
Matritsada yashirin ma'no yo'q. Bu shunchaki u bilan keyingi operatsiyalar uchun ma'lumotlarni yozib olishning qulay usuli. Hatto maktab o'quvchilari ham ulardan qo'rqishlari shart emas.
Matritsa har doim to'rtburchaklar shaklida bo'ladi, chunki u qulayroqdir. Hatto Gauss usulida ham hamma narsa matritsani qurishga to'g'ri keladi ko'rinishida uchburchak, yozuv to'rtburchakni o'z ichiga oladi, faqat raqamlar bo'lmagan joyda nollar mavjud. Nollar yozilmasligi mumkin, lekin ular nazarda tutilgan.
Matritsaning o'lchami bor. Uning "kengligi" - qatorlar soni (m), "uzunligi" - ustunlar soni (n). Keyin A matritsasining o'lchami (odatda ularni belgilash uchun katta harflar ishlatiladi) harflar) A m×n sifatida belgilanadi. Agar m=n bo'lsa, bu matritsa kvadrat, m=n esa uning tartibi. Shunga ko'ra, A matritsaning istalgan elementini uning satr va ustun raqamlari bilan belgilash mumkin: a xy ; x - qator raqami, o'zgarishlar, y - ustun raqami, o'zgarishlar.
B qarorning asosiy nuqtasi emas. Asosan, barcha operatsiyalar to'g'ridan-to'g'ri tenglamalarning o'zlari bilan bajarilishi mumkin, ammo yozuv ancha og'irroq bo'ladi va unda chalkashlik osonroq bo'ladi.
Aniqlovchi
Matritsaning determinanti ham bor. Bu juda muhim xususiyatdir. Endi uning ma'nosini aniqlashning hojati yo'q, siz shunchaki uning qanday hisoblanganligini ko'rsatishingiz va keyin matritsaning qaysi xususiyatlarini aniqlayotganini aytishingiz mumkin. Determinantni topishning eng oson yo'li diagonallardir. Matritsada xayoliy diagonallar chiziladi; ularning har birida joylashgan elementlar ko'paytiriladi, so'ngra hosil bo'lgan mahsulotlar qo'shiladi: o'ngga qiyalik bilan diagonallar - ortiqcha belgisi bilan, chap tomonda - minus belgisi bilan.
Shuni ta'kidlash kerakki, determinant faqat kvadrat matritsa uchun hisoblanishi mumkin. To'g'ri to'rtburchaklar matritsa uchun siz quyidagilarni qilishingiz mumkin: satrlar soni va ustunlar sonidan eng kichigini tanlang (u k bo'lsin), so'ngra matritsadagi k ustun va k qatorni tasodifiy belgilang. Tanlangan ustunlar va qatorlar kesishmasidagi elementlar yangi kvadrat matritsa hosil qiladi. Agar bunday matritsaning determinanti nolga teng bo'lmagan son bo'lsa, u dastlabki to'rtburchaklar matritsaning bazis minori deb ataladi.
Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini echishni boshlashdan oldin, determinantni hisoblash zarar qilmaydi. Agar u nolga teng bo'lsa, biz darhol aytishimiz mumkinki, matritsada cheksiz miqdordagi echimlar mavjud yoki umuman yo'q. Bunday qayg'uli holatda siz oldinga borib, matritsaning darajasi haqida bilib olishingiz kerak.
Tizim tasnifi
Matritsaning darajasi kabi narsa bor. Bu uning nolga teng bo'lmagan determinantining maksimal tartibi (agar biz bazis minor haqida eslasak, matritsaning darajasi bazis minorning tartibi deb aytishimiz mumkin).
Darajali vaziyatga qarab, SLAE quyidagilarga bo'linishi mumkin:
- Birgalikda. U Qo'shma tizimlarda asosiy matritsaning darajasi (faqat koeffitsientlardan iborat) kengaytirilgan matritsaning darajasiga to'g'ri keladi (erkin atamalar ustuni bilan). Bunday tizimlar yechimga ega, ammo bitta emas, shuning uchun qo'shimcha tizimlar quyidagilarga bo'linadi:
- - aniq- yagona yechimga ega bo'lish. Muayyan tizimlarda matritsaning darajasi va noma'lumlar soni (yoki bir xil bo'lgan ustunlar soni) tengdir;
- - aniqlanmagan - cheksiz ko'p echimlar bilan. Bunday sistemalarda matritsalar darajasi noma'lumlar sonidan kamroq.
- Mos kelmaydi. U Bunday tizimlarda asosiy va kengaytirilgan matritsalarning darajalari bir-biriga mos kelmaydi. Mos kelmaydigan tizimlarning yechimi yo'q.
Gauss usuli yaxshi, chunki yechim davomida u tizimning nomuvofiqligini aniq isbotini (katta matritsalarning determinantlarini hisoblamasdan) yoki cheksiz miqdordagi echimlarga ega bo'lgan tizim uchun umumiy shakldagi yechimni olishga imkon beradi.
Elementar transformatsiyalar
Tizimni to'g'ridan-to'g'ri echishga o'tishdan oldin, siz uni kamroq noqulay va hisob-kitoblar uchun qulayroq qilishingiz mumkin. Bunga elementar transformatsiyalar orqali erishiladi - ularni amalga oshirish yakuniy javobni hech qanday tarzda o'zgartirmaydi. Shuni ta'kidlash kerakki, berilgan elementar o'zgarishlarning ba'zilari faqat manbasi SLAE bo'lgan matritsalar uchun amal qiladi. Mana bu o'zgarishlar ro'yxati:
- Chiziqlarni qayta tartibga solish. Shubhasiz, agar siz tizim yozuvidagi tenglamalar tartibini o'zgartirsangiz, bu hech qanday tarzda yechimga ta'sir qilmaydi. Binobarin, ushbu tizim matritsasidagi satrlar ham almashtirilishi mumkin, albatta, erkin shartlar ustunini unutmaslik kerak.
- Satrning barcha elementlarini ma'lum bir koeffitsientga ko'paytirish. Juda foydali! U qisqartirish uchun ishlatilishi mumkin katta raqamlar matritsada yoki nollarni olib tashlang. Ko'pgina qarorlar, odatdagidek, o'zgarmaydi, ammo keyingi operatsiyalar yanada qulayroq bo'ladi. Asosiysi, koeffitsient nolga teng emas.
- Proportsional omillar bilan qatorlarni olib tashlash. Bu qisman oldingi paragrafdan kelib chiqadi. Agar matritsadagi ikki yoki undan ortiq satrlar proportsional koeffitsientlarga ega bo'lsa, u holda satrlardan biri proportsionallik koeffitsientiga ko'paytirilganda/bo'linganda ikkita (yoki yana, yana ko'p) mutlaqo bir xil qatorlar olinadi va qo'shimchalarni olib tashlash mumkin. faqat bitta.
- Null qatorni olib tashlash. Agar transformatsiya paytida barcha elementlar, shu jumladan erkin atama ham nolga teng bo'lgan joyda qator olingan bo'lsa, unda bunday qatorni nol deb atash va matritsadan chiqarib tashlash mumkin.
- Bir qatorning elementlariga boshqasining elementlarini qo'shish (tegishli ustunlarda), ma'lum bir koeffitsientga ko'paytiriladi. Eng noaniq va eng muhim transformatsiya. Bu haqda batafsilroq to'xtalib o'tishga arziydi.
Koeffitsientga ko'paytirilgan qatorni qo'shish
Tushunish qulayligi uchun ushbu jarayonni bosqichma-bosqich buzishga arziydi. Matritsadan ikkita qator olinadi:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Aytaylik, birinchisini ikkinchisiga qo'shish kerak, "-2" koeffitsientiga ko'paytiriladi.
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Keyin matritsadagi ikkinchi qator yangisi bilan almashtiriladi va birinchisi o'zgarishsiz qoladi.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Shuni ta'kidlash kerakki, ko'paytirish koeffitsienti ikkita qatorni qo'shish natijasida yangi qatorning elementlaridan biri nolga teng bo'ladigan tarzda tanlanishi mumkin. Shuning uchun, bir kam noma'lum bo'lgan tizimda tenglamani olish mumkin. Va agar siz ikkita shunday tenglamani olsangiz, unda operatsiya yana bajarilishi mumkin va ikkita kamroq noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamani olishingiz mumkin. Va agar siz har safar asl satrdan past bo'lgan barcha qatorlarning bitta koeffitsientini nolga aylantirsangiz, unda siz zinapoyalar kabi matritsaning eng pastki qismiga tushib, bitta noma'lum tenglamani olishingiz mumkin. Bu tizimni Gauss usuli yordamida yechish deyiladi.
Umuman
Tizim bo'lsin. U m tenglama va n ta noma'lum ildizga ega. Siz buni quyidagicha yozishingiz mumkin:
Asosiy matritsa tizim koeffitsientlaridan tuzilgan. Kengaytirilgan matritsaga bepul shartlar ustuni qo'shiladi va qulaylik uchun chiziq bilan ajratiladi.
- matritsaning birinchi qatori k = (-a 21 /a 11) koeffitsientiga ko'paytiriladi;
- matritsaning birinchi o'zgartirilgan qatori va ikkinchi qatori qo'shiladi;
- ikkinchi qator o‘rniga matritsaga oldingi banddagi qo‘shimchaning natijasi kiritiladi;
- endi yangi ikkinchi qatordagi birinchi koeffitsient 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Endi bir xil transformatsiyalar seriyasi amalga oshiriladi, faqat birinchi va uchinchi qatorlar ishtirok etadi. Shunga ko'ra, algoritmning har bir bosqichida a 21 elementi 31 ga almashtiriladi. Keyin hamma narsa 41, ... a m1 uchun takrorlanadi. Natijada qatorlardagi birinchi element nolga teng bo'lgan matritsa hosil bo'ladi. Endi siz birinchi qatorni unutishingiz va ikkinchi qatordan boshlab bir xil algoritmni bajarishingiz kerak:
- koeffitsient k = (-a 32 /a 22);
- ikkinchi o'zgartirilgan qator "joriy" qatorga qo'shiladi;
- qo'shimchaning natijasi uchinchi, to'rtinchi va shunga o'xshash qatorlarga almashtiriladi, birinchi va ikkinchi o'zgarishsiz qoladi;
- matritsaning qatorlarida birinchi ikkita element allaqachon nolga teng.
Algoritmni k = (-a m,m-1 /a mm) koeffitsienti paydo bo'lguncha takrorlash kerak. Bu shuni anglatadiki, ichida oxirgi marta algoritm faqat pastki tenglama uchun bajarildi. Endi matritsa uchburchakka o'xshaydi yoki pog'onali shaklga ega. Pastki qatorda a mn × x n = b m tenglik mavjud. Koeffitsient va erkin muddat ma'lum va ildiz ular orqali ifodalanadi: x n = b m /a mn. X n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 ni topish uchun olingan ildiz yuqori qatorga almashtiriladi. Va shunga o'xshash tarzda: har bir keyingi qatorda yangi ildiz mavjud va tizimning "yuqori" ga etib, siz ko'plab echimlarni topishingiz mumkin. Bu yagona bo'ladi.
Yechimlar bo'lmaganda
Agar matritsa qatorlaridan birida erkin haddan tashqari barcha elementlar nolga teng bo'lsa, bu qatorga mos keladigan tenglama 0 = b ko'rinadi. Buning yechimi yo'q. Va bunday tenglama tizimga kiritilganligi sababli, butun tizimning echimlar to'plami bo'sh, ya'ni degenerativdir.
Cheksiz ko'p echimlar mavjud bo'lganda
Berilgan uchburchak matritsada tenglamaning bitta koeffitsientli elementi va bitta erkin a'zosi bo'lgan qatorlar bo'lmasligi mumkin. Qayta yozilsa, ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamaga o'xshab ketadigan faqat satrlar mavjud. Bu shuni anglatadiki, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Bunday holda, javob umumiy yechim shaklida berilishi mumkin. Buni qanday qilish kerak?
Matritsadagi barcha o'zgaruvchilar asosiy va erkin bo'linadi. Asosiy bo'lganlar qadam matritsasidagi qatorlarning "chekkasida" turadiganlardir. Qolganlari bepul. Umumiy yechimda asosiy o'zgaruvchilar bepullar orqali yoziladi.
Qulaylik uchun matritsa birinchi navbatda tenglamalar tizimiga qayta yoziladi. Keyin ularning oxirgisida, faqat bitta asosiy o'zgaruvchi qolgan joyda, u bir tomonda qoladi, qolganlari esa boshqasiga o'tkaziladi. Bu bitta asosiy o'zgaruvchiga ega bo'lgan har bir tenglama uchun amalga oshiriladi. Keyin, qolgan tenglamalarda, iloji bo'lsa, asosiy o'zgaruvchi o'rniga uning uchun olingan ifoda almashtiriladi. Agar natija yana bitta asosiy o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifoda bo'lsa, u yana shu yerdan ifodalanadi va har bir asosiy o'zgaruvchi erkin o'zgaruvchilarga ega ifoda sifatida yozilgunga qadar davom etadi. Bu shunday umumiy qaror SLAU.
Shuningdek, siz tizimning asosiy yechimini topishingiz mumkin - bepul o'zgaruvchilarga har qanday qiymatlarni bering, so'ngra ushbu aniq holat uchun asosiy o'zgaruvchilarning qiymatlarini hisoblang. Berilishi mumkin bo'lgan cheksiz miqdordagi maxsus echimlar mavjud.
Muayyan misollar bilan yechim
Bu erda tenglamalar tizimi mavjud.
Qulaylik uchun darhol uning matritsasini yaratish yaxshiroqdir
Ma'lumki, Gauss usuli bilan yechilganda birinchi qatorga mos keladigan tenglama o'zgartirishlar oxirida o'zgarishsiz qoladi. Shuning uchun, agar matritsaning yuqori chap elementi eng kichik bo'lsa, foydaliroq bo'ladi - keyin operatsiyalardan keyin qolgan qatorlarning birinchi elementlari nolga aylanadi. Bu shuni anglatadiki, tuzilgan matritsada birinchi qatorning o'rniga ikkinchi qatorni qo'yish foydali bo'ladi.
ikkinchi qator: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
uchinchi qator: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Endi, chalkashmaslik uchun, o'zgarishlarning oraliq natijalari bilan matritsani yozishingiz kerak.
Shubhasiz, bunday matritsani ma'lum operatsiyalar yordamida idrok etish uchun qulayroq qilish mumkin. Misol uchun, har bir elementni "-1" ga ko'paytirish orqali ikkinchi qatordan barcha "minuslarni" olib tashlashingiz mumkin.
Shuni ham ta'kidlash kerakki, uchinchi qatorda barcha elementlar uchga ko'paytiriladi. Keyin har bir elementni "-1/3" ga ko'paytirib, chiziqni shu raqamga qisqartirishingiz mumkin (minus - bir vaqtning o'zida olib tashlash uchun salbiy qiymatlar).
Juda chiroyli ko'rinadi. Endi biz birinchi qatorni yolg'iz qoldirib, ikkinchi va uchinchi bilan ishlashimiz kerak. Vazifa uchinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shish, shunday koeffitsientga ko'paytiriladiki, a 32 elementi nolga teng bo'ladi.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (agar ba'zi o'zgartirishlar paytida javob butun son bo'lmasa, qoldirish uchun hisob-kitoblarning aniqligini saqlash tavsiya etiladi. u "xuddi" shaklida oddiy kasr, va shundan keyingina, javoblar olingandan so'ng, yaxlitlash va boshqa yozuv shakliga o'tkazish haqida qaror qabul qiling)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matritsa yana yangi qiymatlar bilan yoziladi.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Ko'rib turganingizdek, natijada olingan matritsa allaqachon bosqichli shaklga ega. Shuning uchun Gauss usuli yordamida tizimni keyingi o'zgartirishlar talab qilinmaydi. Bu erda nima qilishingiz mumkin, uchinchi qatordan "-1/7" umumiy koeffitsientini olib tashlashdir.
Endi hamma narsa chiroyli. Faqat matritsani tenglamalar tizimi shaklida qayta yozish va ildizlarni hisoblash qoladi.
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Endi ildizlarni topadigan algoritm Gauss usulida teskari harakat deb ataladi. (3) tenglama z qiymatini o'z ichiga oladi:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Va birinchi tenglama bizga x ni topishga imkon beradi:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Bunday tizimni qo'shma va hatto aniq, ya'ni o'ziga xos yechimga ega deb atashga haqlimiz. Javob quyidagi shaklda yoziladi:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Noaniq tizimga misol
Gauss usuli yordamida ma'lum bir tizimni yechish varianti tahlil qilindi, endi tizim noaniq bo'lsa, ya'ni unga cheksiz ko'p echimlarni topish mumkin bo'lgan vaziyatni ko'rib chiqish kerak.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Tizimning tashqi ko'rinishi allaqachon tashvishli, chunki noma'lumlar soni n = 5 va tizim matritsasi darajasi allaqachon bu raqamdan kamroq, chunki qatorlar soni m = 4, ya'ni. eng yuqori tartib kvadrat determinant 4. Bu cheksiz sonli yechim borligini bildiradi va biz uning umumiy shaklini izlashimiz kerak. Chiziqli tenglamalar uchun Gauss usuli buni amalga oshirishga imkon beradi.
Birinchidan, odatdagidek, kengaytirilgan matritsa tuziladi.
Ikkinchi qator: koeffitsient k = (-a 21 /a 11) = -3. Uchinchi qatorda birinchi element o'zgarishlardan oldin bo'ladi, shuning uchun siz hech narsaga tegmasligingiz kerak, uni avvalgidek qoldirishingiz kerak. To'rtinchi qator: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Birinchi qatorning elementlarini ularning har bir koeffitsientiga navbat bilan ko'paytirish va kerakli qatorlarga qo'shish orqali biz quyidagi ko'rinishdagi matritsani olamiz:
Ko'rib turganingizdek, ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi qatorlar bir-biriga proportsional elementlardan iborat. Ikkinchi va to'rtinchisi odatda bir xil, shuning uchun ulardan birini darhol olib tashlash mumkin, qolganini esa "-1" koeffitsientiga ko'paytirish va 3-qatorni olish mumkin. Va yana ikkita bir xil satrdan bittasini qoldiring.
Natijada shunday matritsa hosil bo'ladi. Tizim hali yozilmagan bo'lsa-da, bu erda asosiy o'zgaruvchilarni aniqlash kerak - a 11 = 1 va 22 = 1 koeffitsientlarida turganlar va bo'sh - qolganlari.
Ikkinchi tenglamada faqat bitta asosiy o'zgaruvchi mavjud - x 2. Demak, u yerdan erkin bo'lgan x 3 , x 4 , x 5 o'zgaruvchilari orqali yozish orqali ifodalanishi mumkin.
Olingan ifodani birinchi tenglamaga almashtiramiz.
Natijada yagona asosiy o'zgaruvchi x 1 bo'lgan tenglama hosil bo'ladi. Keling, u bilan x 2 bilan xuddi shunday qilaylik.
Ikkita bo'lgan barcha asosiy o'zgaruvchilar uchta bo'sh o'zgaruvchilar bilan ifodalanadi; endi javobni umumiy shaklda yozishimiz mumkin.
Shuningdek, siz tizimning alohida yechimlaridan birini belgilashingiz mumkin. Bunday holatlar uchun odatda erkin o'zgaruvchilar uchun qiymat sifatida nollar tanlanadi. Keyin javob shunday bo'ladi:
16, 23, 0, 0, 0.
Kooperativ bo'lmagan tizimga misol
Gauss usuli yordamida mos kelmaydigan tenglamalar tizimini yechish eng tezkor hisoblanadi. Bosqichlardan birida yechimi bo'lmagan tenglama olinishi bilanoq u darhol tugaydi. Ya'ni, ancha uzoq va zerikarli bo'lgan ildizlarni hisoblash bosqichi yo'q qilinadi. Quyidagi tizim hisobga olinadi:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Odatdagidek, matritsa tuziladi:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Va u bosqichma-bosqich shaklga tushiriladi:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Birinchi o'zgartirishdan so'ng, uchinchi qatorda shaklning tenglamasi mavjud
yechimsiz. Shuning uchun tizim mos kelmaydi va javob bo'ladi bo'sh to'plam.
Usulning afzalliklari va kamchiliklari
Agar siz SLAE ni qog'ozda qalam bilan hal qilishning qaysi usulini tanlasangiz, unda ushbu maqolada muhokama qilingan usul eng jozibali ko'rinadi. Determinant yoki teskari matritsani qo'lda qidirishdan ko'ra, elementar o'zgarishlarda chalkashib ketish ancha qiyin. Biroq, agar siz ushbu turdagi ma'lumotlar bilan ishlash uchun dasturlardan foydalansangiz, masalan, elektron jadvallar, unda bunday dasturlarda matritsalarning asosiy parametrlarini - determinant, minorlar, teskari va boshqalarni hisoblash algoritmlari allaqachon mavjud. Va agar siz mashina bu qiymatlarni o'zi hisoblab chiqishiga va xato qilmasligiga ishonchingiz komil bo'lsa, matritsa usuli yoki Kramer formulalaridan foydalanish tavsiya etiladi, chunki ularni qo'llash determinantlar va teskari matritsalarni hisoblash bilan boshlanadi va tugaydi. .
Ilova
Gauss yechimi algoritm bo'lgani uchun va matritsa aslida ikki o'lchovli massiv bo'lgani uchun undan dasturlashda foydalanish mumkin. Ammo maqola o'zini "qo'g'irchoqlar uchun" qo'llanma sifatida ko'rsatganligi sababli, usulni qo'yishning eng oson joyi elektron jadvallar, masalan, Excel ekanligini aytish kerak. Shunga qaramay, jadvalga matritsa shaklida kiritilgan har qanday SLAE Excel tomonidan ikki o'lchovli massiv sifatida ko'rib chiqiladi. Va ular bilan operatsiyalar uchun juda ko'p yoqimli buyruqlar mavjud: qo'shish (faqat bir xil o'lchamdagi matritsalarni qo'shishingiz mumkin!), raqamga ko'paytirish, matritsalarni ko'paytirish (shuningdek, ma'lum cheklovlar bilan), teskari va transpozitsiyalangan matritsalarni topish va eng muhimi , determinantni hisoblash. Agar bu ko'p vaqt talab qiladigan vazifa bitta buyruq bilan almashtirilsa, matritsaning darajasini tezroq aniqlash va shuning uchun uning mosligini yoki mos kelmasligini aniqlash mumkin.
Gauss usuli mashhur nemis matematigi Karl Fridrix Gauss (1777 - 1855) tomonidan taklif qilingan va SLAEni yechishning eng universal usullaridan biridir. Ushbu usulning mohiyati shundan iboratki, noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish orqali ma'lum bir tizim berilganiga ekvivalent bosqichli (xususan, uchburchak) tizimga aylanadi. Masalaning amaliy yechimida tizimning kengaytirilgan matritsasi uning satrlari ustidagi elementar transformatsiyalar yordamida bosqichma-bosqich shaklga keltiriladi. Keyinchalik, barcha noma'lumlar pastdan yuqoriga qarab ketma-ket topiladi.
Gauss usulining printsipi
Gauss usuli oldinga (kengaytirilgan matritsani bosqichma-bosqich shaklga qisqartirish, ya'ni asosiy diagonal ostida nollarni olish) va teskari (kengaytirilgan matritsaning asosiy diagonali ustidagi nollarni olish) harakatlarni o'z ichiga oladi. Oldinga harakat Gauss usuli, teskari harakat Gauss-Jordan usuli deb ataladi, u birinchisidan faqat o'zgaruvchilarni yo'q qilish ketma-ketligi bilan farq qiladi.
Gauss usuli uchtadan ortiq chiziqli tenglamalarni o'z ichiga olgan tizimlarni va kvadratik bo'lmagan tenglamalar tizimini echish uchun idealdir (buni Kramer usuli va matritsa usuli haqida aytib bo'lmaydi). Ya'ni, Gauss usuli har qanday chiziqli tenglamalar tizimining echimini topishning eng universal usuli bo'lib, u tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki nomuvofiq bo'lgan hollarda ishlaydi.
Tenglamalar tizimini yechishga misollar
Misol
Mashq qilish. Gauss usuli yordamida SLAE ni yeching.
Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va uning satrlarida elementar o'zgarishlardan foydalanib, bu matritsani bosqichma-bosqich ko'rinishga keltiramiz (oldinga siljish) va keyin Gauss usulining teskari harakatini bajaramiz (asosiy diagonal ustidagi nollarni yasaymiz). Birinchidan, birinchi va ikkinchi qatorlarni element 1 ga teng bo'lishi uchun o'zgartiramiz (hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun buni qilamiz):
Biz uchinchi qatorning barcha elementlarini ikkiga bo'lamiz (yoki bir xil narsaga ko'paytiramiz):
Uchinchi qatordan ikkinchisini ayirib 3 ga ko'paytiramiz:
Uchinchi qatorni ga ko'paytirsak, biz quyidagilarni olamiz:
Keling, Gauss usulining teskarisini (Gassou-Jordan usuli) bajaramiz, ya'ni asosiy diagonal ustidagi nollarni qilamiz. Uchinchi ustunning elementlaridan boshlaylik. Elementni nolga qaytarishimiz kerak, buning uchun ikkinchi qatordan uchinchisini olib tashlang.
Eng buyuk matematik Karl Fridrix Gauss uzoq vaqt ikkilanib turdi, falsafa va matematika o'rtasida tanlov qildi. Ehtimol, aynan shu tafakkur unga jahon ilm-fanida shunday sezilarli “meros” qoldirishga imkon bergandir. Xususan, "Gauss usuli" ni yaratish orqali ...
Deyarli 4 yil davomida ushbu saytdagi maqolalar tegishli maktab ta'limi, asosan falsafa tomondan, (noto'g'ri) tushunish tamoyillari bolalar ongiga kiritilgan. Aniqroq ma’lumotlar, misollar va usullarning vaqti keldi... Menimcha, tanish, chalkash va tushunarli narsalarga aynan shunday yondashuv. muhim hayot sohalari yaxshi natijalar beradi.
Biz odamlar shunday yaratilganki, biz qancha gapirmasak ham mavhum fikrlash, Lekin tushunish Har doim misollar orqali sodir bo‘ladi. Misollar bo'lmasa, tamoyillarni anglab bo'lmaydi... Xuddi tog' cho'qqisiga oyoqdan butun nishabni bosib o'tishdan boshqa iloji bo'lmaganidek.
Maktab bilan bir xil: hozircha tirik hikoyalar Biz uni instinktiv ravishda bolalarni tushunishga o'rgatish joyi sifatida ko'rishda davom etishimiz etarli emas.
Masalan, Gauss usulini o‘rgatish...
5-sinf maktabida Gauss usuli
Darhol rezervatsiya qilishimga ruxsat bering: Gauss usulida ko'proq narsa bor keng qo'llanilishi, masalan, hal qilishda chiziqli tenglamalar tizimlari. Biz gaplashadigan narsa 5-sinfda sodir bo'ladi. Bu boshlandi, qaysi birini tushunganingizdan so'ng, ko'proq "ilg'or variantlarni" tushunish osonroq. Ushbu maqolada biz gaplashamiz Ketma-ket yig'indisini topish uchun Gauss usuli (usuli).
Mana men maktabdan olib kelgan misol kichik o'g'li, Moskva gimnaziyasida 5-sinfda o'qiydi.
Gauss usulini maktabda namoyish qilish
Matematika o'qituvchisi yordamida interaktiv doska (zamonaviy usullar trening) bolalarga kichkina Gaussning "usulini yaratish" tarixining taqdimotini ko'rsatdi.
Maktab o'qituvchisi kichkina Karlni qamchiladi ( eskirgan usul, hozirgi kunlarda maktablarda ishlatilmaydi) buning uchun
1 dan 100 gacha raqamlarni ketma-ket qo‘shish o‘rniga ularning yig‘indisini toping e'tibor bergan arifmetik progressiyaning chetidan bir xil masofada joylashgan juft sonlar qo‘shilib bir xil sonni tashkil qiladi. masalan, 100 va 1, 99 va 2. Bunday juftliklar sonini sanab, kichkina Gauss o'qituvchi tomonidan taklif qilingan masalani deyarli bir zumda hal qildi. Buning uchun u hayratda qolgan omma oldida qatl etildi. Toki boshqalar o'ylashdan tushkunlikka tushsin.
Kichkina Gauss nima qildi? rivojlangan raqam hissi? E'tibor bergan ba'zi xususiyat doimiy qadamli sonlar qatori (arifmetik progressiya). VA aynan shu keyinchalik uni buyuk olim qildi, e'tibor berishni biladiganlar, ega his qilish, tushunish instinkti.
Shuning uchun matematika qimmatli, rivojlanmoqda ko'rish qobiliyati umumiy, xususan - mavhum fikrlash. Shuning uchun, ko'pchilik ota-onalar va ish beruvchilar instinktiv ravishda matematikani muhim fan deb hisoblaydi ...
"Unda matematikani o'rganish kerak, chunki u sizning fikringizni tartibga soladi.
M.V.Lomonosov".
Biroq, kelajakdagi daholarni tayoq bilan kaltaklaganlarning izdoshlari Usulni teskari narsaga aylantirdilar. Rahbarim 35 yil oldin aytganidek: "Savol o'rganildi". Yoki kecha mening kenja o'g'lim Gauss usuli haqida aytganidek: "Balki bundan katta fan yaratishga arzimasdir, ha?"
“Olimlar” ijodining oqibatlari oqim darajasida ko‘rinadi maktab matematikasi, uning o'rgatish darajasi va ko'pchilik tomonidan "Fanlar malikasi" tushunchasi.
Biroq, keling, davom etaylik ...
5-sinf maktabida Gauss usulini tushuntirish usullari
Moskva gimnaziyasining matematika o'qituvchisi Vilenkin bo'yicha Gauss usulini tushuntirib, vazifani murakkablashtirdi.
Arifmetik progressiyaning farqi (qadami) bitta emas, balki boshqa raqam bo'lsa-chi? Masalan, 20.
U beshinchi sinf o'quvchilariga bergan muammosi:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Gimnaziya usuli bilan tanishishdan oldin, keling, Internetga qaraylik: maktab o'qituvchilari va matematika o'qituvchilari buni qanday qilishadi?..
Gauss usuli: 1-sonli tushuntirish
Taniqli o'qituvchi o'zining YOUTUBE kanalida quyidagi fikrlarni aytadi:
“1 dan 100 gacha raqamlarni quyidagicha yozamiz:
birinchi navbatda 1 dan 50 gacha raqamlar qatori va uning ostida 50 dan 100 gacha bo'lgan boshqa raqamlar qatori, lekin teskari tartibda"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Iltimos, diqqat qiling: yuqori va pastki qatorlardagi har bir juft sonning yig'indisi bir xil va 101 ga teng! Keling, juftliklar sonini hisoblaymiz, u 50 va bir juftlik yig'indisini juftliklar soniga ko'paytiramiz! Voila: The javob tayyor!"
"Agar tushuna olmasangiz, xafa bo'lmang!" - tushuntirdi o'qituvchi uch marta. "Bu usulni 9-sinfda o'qiysiz!"
Gauss usuli: tushuntirish No 2
Yana bir o'qituvchi, kamroq mashhur (ko'rishlar soniga qarab) ko'proq foydalanadi ilmiy yondashuv, ketma-ket bajarilishi kerak bo'lgan 5 nuqtadan iborat yechim algoritmini taklif qilish.
Bilmaganlar uchun 5 an'anaviy ravishda sehrli deb hisoblangan Fibonachchi raqamlaridan biridir. Masalan, 5 bosqichli usul har doim 6 bosqichli usuldan ko'ra ko'proq ilmiy hisoblanadi. ...Va bu tasodif emas, ehtimol, muallif Fibonachchi nazariyasining yashirin tarafdori.
Dana arifmetik progressiya: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Gauss usuli yordamida ketma-ket sonlar yig‘indisini topish algoritmi:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Shu bilan birga, siz eslab qolishingiz kerak ortiqcha bitta qoida : natijada olingan koeffitsientga bitta qo'shishimiz kerak: aks holda biz juftlarning haqiqiy sonidan birga kam natijaga erishamiz: 42 + 1 = 43.
Bu 6 ga teng bo'lgan 4 dan 256 gacha bo'lgan arifmetik progressiyaning kerakli yig'indisidir!
Gauss usuli: Moskva gimnaziyasida 5-sinfda tushuntirish
Ketma-ket yig‘indisini topish masalasini qanday yechish mumkin:
20+40+60+ ... +460+480+500
Moskva gimnaziyasining 5-sinfida, Vilenkinning darsligi (o'g'limga ko'ra).
Taqdimotni ko'rsatgandan so'ng, matematika o'qituvchisi Gauss usulidan foydalangan holda bir nechta misollar ko'rsatdi va sinfga ketma-ket sonlarning yig'indisini 20 ga oshib topish vazifasini berdi.
Buning uchun quyidagilar zarur edi:
Ko'rib turganingizdek, bu yanada ixcham va samarali texnika: 3 raqami ham Fibonachchi ketma-ketligining a'zosi hisoblanadi
Gauss usulining maktab versiyasiga sharhlarim
Buyuk matematik, agar u o'zining "usuli" izdoshlari tomonidan nimaga aylanishini oldindan bilganida, albatta, falsafani tanlagan bo'lardi. Nemis o'qituvchisi, Karlni tayoq bilan qamchilagan. U "o'qituvchilar" ning ramziyligini, dialektik spiralini va abadiy ahmoqligini ko'rgan bo'lardi. jonli matematik fikrning tushunmovchilik algebrasi bilan uyg'unligini o'lchashga harakat qilish ....
Aytgancha: bilasizmi. ta'lim tizimimiz 18-19-asrlardagi nemis maktabiga asoslanganmi?
Ammo Gauss matematikani tanladi.
Uning uslubining mohiyati nimada?
IN soddalashtirish. IN kuzatish va tushunish oddiy raqamlar naqshlari. IN quruq maktab arifmetikasini aylantirish qiziqarli va hayajonli faoliyat , miyada yuqori xarajatli aqliy faoliyatni blokirovka qilishdan ko'ra, davom etish istagini faollashtirish.
Arifmetik progressiya raqamlari yig'indisini deyarli hisoblash uchun berilgan "Gauss usulining modifikatsiyalari" dan birini qo'llash mumkinmi? darhol? "Algoritmlarga" ko'ra, kichkina Karl kaltaklashdan qochishi, matematikaga nisbatan nafratlanishni rivojlantirishi va kurtakdagi ijodiy impulslarini bostirishi kafolatlangan.
Nega o'qituvchi beshinchi sinf o'quvchilariga metodni "noto'g'ri tushunishdan qo'rqmaslikni" qat'iyat bilan maslahat berib, ularni "bunday" muammolarni 9-sinfdayoq hal qilishlariga ishontirdi? Psixologik savodsiz harakat. Bu yaxshi harakat edi: "Ko'rishguncha 5-sinfda allaqachon mumkin faqat 4 yil ichida hal qiladigan muammolarni hal qiling! Siz qanday ajoyib odamsiz! ”
Gauss usulidan foydalanish uchun 3-sinf darajasi etarli, oddiy bolalar allaqachon 2-3 xonali sonlarni qanday qo'shish, ko'paytirish va bo'lishni bilishadi. Muammolar “aloqadan uzoq” bo‘lgan katta yoshli o‘qituvchilarning oddiy inson tilida, matematikani ham aytmasa, eng oddiy narsalarni tushuntirib bera olmasligi tufayli yuzaga keladi... Ular odamlarni matematikaga qiziqtira olmaydilar va hatto “aloqadan tashqarida” bo‘lganlarni ham butunlay ruhlantira olmaydilar. qodir.”
Yoki o'g'lim aytganidek: "bundan katta fan yaratish".
Gauss usuli, mening tushuntirishlarim
Men xotinim bilan bu “usul”ni bolamizga tushuntirganmiz, shekilli, maktabdan oldin ham...
Murakkablik o'rniga oddiylik yoki savol-javob o'yini
— Mana, 1 dan 100 gacha raqamlar. Nimani ko‘ryapsiz?
Gap shundaki, bolaning aniq ko'rgan narsasi emas. Ayyorlik uni ko'rishga undashdir.
"Ularni qanday qilib birlashtira olasiz?" O'g'li bunday savollar "xuddi shunday" berilmasligini tushundi va siz savolga "qandaydir boshqacha, odatdagidan boshqacha" qarashingiz kerak.
Bolaning yechimni darhol ko'rishi muhim emas, bu ehtimoldan yiroq. U muhim qarashdan qo'rqishni to'xtatdi yoki men aytganimdek: "topshiriqni ko'chirdim". Bu tushunish sari sayohatning boshlanishi
"Qaysi biri osonroq: masalan, 5 va 6 yoki 5 va 95 qo'shish?" Etakchi savol... Ammo har qanday mashg'ulot odamni har qanday tarzda unga ma'qul bo'lgan "javob" ga "yo'naltirish" uchun keladi.
Ushbu bosqichda hisob-kitoblarni qanday qilib "tejash" haqida taxminlar paydo bo'lishi mumkin.
Biz faqat maslahat berdik: hisoblashning "frontal, chiziqli" usuli yagona mumkin emas. Agar bola buni tushunsa, keyinchalik u yana ko'plab usullarni o'ylab topadi, chunki bu qiziq!!! Va u, albatta, matematikani "noto'g'ri tushunish" dan qochadi va undan nafratlanmaydi. U g'alaba qozondi!
Agar bola topildi demak, qo‘shilib yuzga yetadigan son juftlarini qo‘shish pirojnoe bo‘ladi "1 farqli arifmetik progressiya"- bola uchun juda qayg'uli va qiziq bo'lmagan narsa - to'satdan unga hayot topdi . Tartib tartibsizlikdan paydo bo'ldi va bu har doim ishtiyoqni keltirib chiqaradi: biz shunday yaratilganmiz!
Javob berish kerak bo'lgan savol: nega bolani tushunganidan so'ng, uni yana quruq algoritmlar doirasiga kiritish kerak, bu holda ular ham funktsional jihatdan foydasizdir?!
Nima uchun ahmoqona qayta yozishni majburlash kerak? daftardagi tartib raqamlari: hatto qobiliyatlilar ham tushunish uchun yagona imkoniyatga ega bo'lmasligi uchunmi? Statistik jihatdan, albatta, lekin ommaviy ta'lim "statistika"ga qaratilgan ...
Nol qayerga ketdi?
Va shunga qaramay, 100 ga qadar qo'shilgan raqamlarni qo'shish 101 gacha bo'lgan raqamlardan ko'ra aqlga ko'proq ma'qul keladi ...
"Gauss maktab usuli" aynan shuni talab qiladi: o'ylamasdan katlayın progressiya markazidan teng masofada joylashgan juft sonlar, Hamma narsaga qaramay.
Agar qarasangiz nima bo'ladi?
Shunga qaramay, nol insoniyatning 2000 yildan ortiqroq bo'lgan eng buyuk ixtirosidir. Matematika o'qituvchilari esa unga e'tibor bermaslikda davom etadilar.
1 dan boshlangan raqamlar qatorini 0 dan boshlanadigan qatorga aylantirish ancha oson. Yig'indi o'zgarmaydi, shunday emasmi? Siz "darsliklarda o'ylashni" to'xtatib, izlashni boshlashingiz kerak ... Va qarangki, yig'indisi 101 bo'lgan juftliklar yig'indisi 100 bo'lgan juftliklar bilan butunlay almashtirilishi mumkin!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
"Plyus 1" qoidasini qanday bekor qilish mumkin?
Rostini aytsam, bunday qoida haqida birinchi marta o'sha YouTube o'qituvchisidan eshitgandim...
Seriya a'zolari sonini aniqlash kerak bo'lganda nima qilishim kerak?
Men ketma-ketlikka qarayman:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
va butunlay charchaganingizda, oddiyroq qatorga o'ting:
1, 2, 3, 4, 5
va men tushunaman: agar siz 5 dan bittasini ayirsangiz, siz 4 ga erishasiz, lekin men mutlaqo aniqman Men ko'ryapman 5 raqam! Shuning uchun, siz bitta qo'shishingiz kerak! son hissi rivojlangan boshlang'ich maktab, taklif qiladi: agar seriya a'zolarining butun Google bo'lsa ham (10 dan yuzinchi darajagacha), naqsh bir xil bo'lib qoladi.
Qanday qoidalar bor? ..
Shunday qilib, bir-ikki yoki uch yil ichida siz peshonangiz va boshingiz orqasi orasidagi bo'shliqni to'ldirishingiz va o'ylashni to'xtatishingiz mumkinmi? Non va sariyog'ingizni qanday topish mumkin? Axir, biz raqamli iqtisodiyot davriga bir tekis qadam tashlamoqdamiz!
Gaussning maktab uslubi haqida ko'proq ma'lumot: "Nima uchun bundan fan qilish kerak? .."
O'g'limning daftaridan skrinshotni joylashtirganim bejiz emas...
- Darsda nima bo'ldi?
"Xo'sh, men darhol hisobladim, qo'limni ko'tardim, lekin u so'ramadi. Shuning uchun, boshqalar sanab o'tirayotganda, men vaqtni boy bermaslik uchun rus tilida uy vazifasini qila boshladim. Keyin, boshqalar yozishni tugatgandan keyin (? ??), u meni doskaga chaqirdi. Men javobni aytdim."
"To'g'ri, buni qanday hal qilganingizni ko'rsating", dedi o'qituvchi. Men ko'rsatdim. U: "Noto'g'ri, men ko'rsatganimdek hisoblashingiz kerak!"
"Yomon baho qo'ymagani yaxshi. Va u meni o'z daftariga "yechim yo'li"ni o'zlaricha yozishga majbur qildi. Nega bundan katta fan qilish kerak?.."
Matematika o'qituvchisining asosiy jinoyati
Zo'rg'a keyin o'sha voqea Karl Gauss maktab matematika o'qituvchisiga nisbatan yuksak hurmat tuyg'usini boshdan kechirdi. Ammo u qanday qilib bilsa edi o'sha domlaning izdoshlari usulning mohiyatini buzadi...u g‘azab bilan bo‘kirib yuborardi jahon tashkiloti Intellektual mulk WIPO maktab darsliklarida uning yaxshi nomidan foydalanishni taqiqlashga erishdi!..
Nimada maktab yondashuvining asosiy xatosi? Yoki men aytganimdek, maktab matematika o‘qituvchilarining bolalarga nisbatan jinoyati?
Tushunmovchilik algoritmi
Maktab metodistlari nima qiladi, ularning aksariyati qanday fikrlashni bilmaydi?
Ular usullar va algoritmlarni yaratadilar (qarang). Bu o'qituvchilarni tanqid qilishdan ("Hamma narsa bo'yicha amalga oshiriladi ...") va bolalarni tushunishdan himoya qiladigan himoya reaktsiyasi. Shunday qilib - o'qituvchilarni tanqid qilish istagidan!(Byurokratik "donolikning ikkinchi hosilasi", muammoga ilmiy yondashuv). Ma'noni tushunmagan odam maktab tizimining ahmoqligidan ko'ra, o'z tushunmovchiligini ayblaydi.
Bu shunday bo'ladi: ota-onalar o'z farzandlarini ayblashadi, o'qituvchilar esa ... "matematikani tushunmaydigan!"
Siz aqllimisiz?
Kichkina Karl nima qildi?
Formulali vazifaga mutlaqo noan'anaviy yondashuv. Bu Uning yondashuvining mohiyatidir. Bu maktabda o'rgatish kerak bo'lgan asosiy narsa darsliklar bilan emas, balki boshingiz bilan o'ylashdir. Albatta, qo'llanilishi mumkin bo'lgan instrumental komponent ham bor ... qidirishda oddiyroq va samarali usullar hisoblar.
Vilenkin bo'yicha Gauss usuli
Maktabda ular Gauss usulini o'rgatishadi
Nima, agar qator elementlari soni toq bo'lsa, o'g'limga topshirilgan muammodagidek?..
Bu holatda "ushlash" shundan iborat seriyadagi "qo'shimcha" raqamni topishingiz kerak va uni juftliklar yig'indisiga qo'shing. Bizning misolimizda bu raqam 260 ni tashkil qiladi.
Qanday aniqlash mumkin? Barcha juft raqamlarni daftarga ko'chirish!(Shuning uchun o'qituvchi bolalarni Gauss usulidan foydalangan holda "ijodkorlik" ni o'rgatish uchun bunday ahmoqona ishni qilishga majbur qildi ... Va shuning uchun bunday "usul" katta ma'lumotlar seriyasiga amalda qo'llanilmaydi va shuning uchun ham shunday. Gauss usuli emas.)
Maktabda bir oz ijodkorlik...
O'g'il boshqacha harakat qildi.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Qiyin emas, to'g'rimi?
Ammo amalda bu yanada osonlashtirildi, bu sizga rus tilida masofadan turib zondlash uchun 2-3 daqiqa vaqt ajratishga imkon beradi, qolganlari esa "hisoblash". Bundan tashqari, u usulning bosqichlari sonini saqlab qoladi: 5, bu yondashuvni ilmiy asossiz deb tanqid qilishga yo'l qo'ymaydi.
Shubhasiz, bu usul usul uslubida sodda, tezroq va universalroqdir. Lekin... o'qituvchi nafaqat maqtamadi, balki meni "to'g'ri tarzda" qayta yozishga majbur qildi (skrinshotga qarang). Ya'ni, u ijodiy turtki va matematikani ildizida tushunish qobiliyatini bo'g'ish uchun umidsiz harakat qildi! Aftidan, keyinchalik repetitorlikka olish uchun... Noto‘g‘ri odamga hujum qilgan...
Men uzoq va zerikarli tasvirlab bergan hamma narsani oddiy bolaga ko'pi bilan yarim soat ichida tushuntirish mumkin. Misollar bilan birga.
Va buni hech qachon unutmaydigan tarzda.
Va shunday bo'ladi tushunishga qadam...faqat matematiklar emas.
Tan oling: hayotingizda necha marta Gauss usulidan foydalangansiz? Va men hech qachon qilmaganman!
Lekin tushunish instinkti, maktabda matematik usullarni o'rganish jarayonida rivojlanayotgan (yoki so'nib qolgan) ... Oh!.. Bu haqiqatan ham almashtirib bo'lmaydigan narsa!
Ayniqsa, biz partiya va hukumatning qat’iy rahbarligi ostida sekin-asta kirgan universal raqamlashtirish asrida.
O'qituvchilarni himoya qilish uchun bir necha so'z ...
Bunday o'qitish uslubi uchun barcha mas'uliyatni faqat maktab o'qituvchilariga yuklash adolatsizlik va noto'g'ri. Tizim amalda.
Biroz o'qituvchilar nima sodir bo'layotganining bema'niligini tushunishadi, lekin nima qilish kerak? Ta'lim to'g'risidagi qonun, Federal davlat ta'lim standartlari, usullari, texnologik xaritalar darslar ... Har bir narsa "mos ravishda va asosida" amalga oshirilishi kerak va hamma narsa hujjatlashtirilishi kerak. Chetga o'ting - ishdan bo'shatish uchun navbatda turdi. Ikkiyuzlamachi bo'lmaylik: Moskva o'qituvchilarining maoshi juda yaxshi... Agar sizni ishdan bo'shatishsa, qaerga borish kerak?..
Shuning uchun bu sayt ta'lim haqida emas. U haqida individual ta'lim, faqat mumkin bo'lgan yo'l olomondan chiqing avlod Z ...
Gauss usulining ta'rifi va tavsifi
Chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun Gauss o'zgartirish usuli (shuningdek, tenglama yoki matritsadan noma'lum o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish deb ham ataladi) tizimni echishning klassik usulidir. algebraik tenglamalar(SLAU). Ushbu klassik usul teskari matritsalarni olish va matritsaning darajasini aniqlash kabi masalalarni hal qilishda ham qo'llaniladi.
Gauss usulidan foydalangan holda transformatsiya chiziqli algebraik tenglamalar tizimiga kichik (elementar) ketma-ket o'zgarishlar kiritishdan iborat bo'lib, undan yuqoridan pastgacha o'zgaruvchilarni yo'q qilishga olib keladi, bu asl nusxaga ekvivalent bo'lgan yangi uchburchak tenglamalar tizimini hosil qiladi. bitta.
Ta'rif 1
Eritmaning bu qismi to'g'ridan-to'g'ri Gauss eritmasi deb ataladi, chunki butun jarayon yuqoridan pastgacha amalga oshiriladi.
Dastlabki tenglamalar tizimini uchburchakka qisqartirgandan so'ng, tizimning barcha o'zgaruvchilari pastdan yuqoriga qarab topiladi (ya'ni topilgan birinchi o'zgaruvchilar aniq tizim yoki matritsaning oxirgi satrlarida joylashgan). Yechimning bu qismi Gauss yechimining teskarisi deb ham ataladi. Uning algoritmi quyidagicha: birinchi navbatda, tenglamalar yoki matritsalar tizimining pastki qismiga eng yaqin bo'lgan o'zgaruvchilar hisoblab chiqiladi, keyin olingan qiymatlar yuqoriroq o'rniga qo'yiladi va shuning uchun boshqa o'zgaruvchi topiladi va hokazo.
Gauss usuli algoritmining tavsifi
Gauss usulidan foydalangan holda tenglamalar tizimini umumiy yechish uchun harakatlar ketma-ketligi SLAE asosidagi matritsaga oldinga va orqaga zarbalarni navbatma-navbat qo'llashdan iborat. Boshlang'ich tenglamalar tizimi quyidagi shaklga ega bo'lsin:
$\begin(holatlar) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(holatlar)$
Gauss usuli yordamida SLAE ni echish uchun matritsa shaklida dastlabki tenglamalar tizimini yozish kerak:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
$A$ matritsasi bosh matritsa deb ataladi va o'zgaruvchilarning tartib bilan yozilgan koeffitsientlarini ifodalaydi, $b$ esa uning erkin shartlari ustuni deb ataladi. Erkin shartlar ustunidan iborat satr orqali yozilgan $A$ matritsasi kengaytirilgan matritsa deyiladi:
$A = \begin(massiv)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(massiv)$
Endi tenglamalar tizimida (yoki matritsada, chunki bu qulayroq) elementar o'zgarishlardan foydalanib, uni quyidagi shaklga keltirish kerak:
$\begin(holatlar) a_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + a_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ a_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... a_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = b_1 \\ a_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ a_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... a_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = b_2 \\ ...\\ a_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... a_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = b_r \\ 0 = b_(r+1) \\ … \ \ 0 = b_m \end(holatlar)$ (1)
O'zgartirilgan (1) tenglama tizimining koeffitsientlaridan olingan matritsa bosqichli matritsa deb ataladi, odatda qadam matritsalari shunday ko'rinadi:
$A = \begin(massiv)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(massiv)$
Ushbu matritsalar quyidagi xususiyatlar to'plami bilan tavsiflanadi:
- Uning barcha nol chiziqlari nolga teng bo'lmagan qatorlardan keyin keladi
- Agar $k$ sonli matritsaning qaysidir qatori nolga teng boʻlmasa, xuddi shu matritsaning oldingi qatori $k$ raqamiga qaraganda kamroq nolga ega.
Bosqichli matritsani olgandan so'ng, olingan o'zgaruvchilarni qolgan tenglamalarga (oxiridan boshlab) almashtirish va o'zgaruvchilarning qolgan qiymatlarini olish kerak.
Gauss usulini qo'llashda asosiy qoidalar va ruxsat etilgan transformatsiyalar
Ushbu usul yordamida matritsa yoki tenglamalar tizimini soddalashtirishda siz faqat elementar transformatsiyalardan foydalanishingiz kerak.
Bunday o'zgartirishlar matritsa yoki tenglamalar tizimiga uning ma'nosini o'zgartirmasdan qo'llanilishi mumkin bo'lgan operatsiyalar deb hisoblanadi:
- bir nechta qatorlarni qayta tartibga solish,
- matritsaning bir qatoriga boshqa qatorni qo'shish yoki ayirish;
- satrni nolga teng bo'lmagan doimiyga ko'paytirish yoki bo'lish,
- tizimni hisoblash va soddalashtirish jarayonida olingan faqat nollardan iborat chiziq o'chirilishi kerak,
- Bundan tashqari, tizim uchun koeffitsientlari bo'lgan yagona va keyingi hisob-kitoblar uchun qulayroqni tanlab, keraksiz proportsional chiziqlarni olib tashlashingiz kerak.
Barcha elementar transformatsiyalar teskari.
Oddiy Gauss transformatsiyalari usuli yordamida chiziqli tenglamalarni echishda yuzaga keladigan uchta asosiy holatni tahlil qilish
Tizimlarni echishda Gauss usulidan foydalanganda uchta holat yuzaga keladi:
- Tizim nomuvofiq bo'lsa, ya'ni uning yechimlari bo'lmaydi
- Tenglamalar tizimi yechimga ega va yagona bo'lib, matritsadagi nolga teng bo'lmagan qatorlar va ustunlar soni bir-biriga teng.
- Tizim ma'lum miqdordagi yoki mumkin bo'lgan echimlar to'plamiga ega va undagi qatorlar soni ustunlar sonidan kamroq.
Mos kelmaydigan tizim bilan yechimning natijasi
Ushbu variant uchun Gauss usuli yordamida matritsa tenglamasini yechishda tenglikni bajarishning iloji bo'lmagan qandaydir chiziqni olish odatiy holdir. Shuning uchun, agar kamida bitta noto'g'ri tenglik yuzaga kelsa, natijada paydo bo'lgan va dastlabki tizimlar, ular tarkibidagi boshqa tenglamalardan qat'i nazar, echimlarga ega bo'lmaydi. Mos kelmaydigan matritsaga misol:
$\begin(massiv)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(massiv)$
Oxirgi satrda imkonsiz tenglik paydo bo'ldi: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.
Bitta yechimga ega bo'lgan tenglamalar tizimi
Ushbu tizimlar bosqichli matritsaga qisqartirilgandan va nolli satrlarni olib tashlaganidan so'ng, asosiy matritsadagi qatorlar va ustunlar soni bir xil bo'ladi. Bu yerga eng oddiy misol bunday tizim:
$\begin(holatlar) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(holatlar)$
Uni matritsa shaklida yozamiz:
$\begin(massiv)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(massiv)$
Ikkinchi qatorning birinchi katakchasini nolga keltirish uchun biz yuqori qatorni $-2$ ga ko'paytiramiz va uni matritsaning pastki qatoridan ayirib, yuqori qatorni asl ko'rinishida qoldiramiz, natijada biz quyidagilarga ega bo'lamiz. :
$\begin(massiv)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(massiv)$
Ushbu misol tizim sifatida yozilishi mumkin:
$\begin(holatlar) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(holatlar)$
Pastki tenglama $x$ uchun quyidagi qiymatni beradi: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Ushbu qiymatni yuqori tenglamaga almashtiring: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, biz $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ olamiz.
Ko'p mumkin bo'lgan echimlarga ega tizim
Ushbu tizim undagi ustunlar soniga qaraganda kamroq muhim qatorlar bilan tavsiflanadi (asosiy matritsaning qatorlari hisobga olinadi).
Bunday tizimdagi o'zgaruvchilar ikki turga bo'linadi: asosiy va erkin. Bunday tizimni o'zgartirishda undagi asosiy o'zgaruvchilar chap sohada "=" belgisigacha qoldirilishi kerak, qolgan o'zgaruvchilar esa o'zgartirilishi kerak. o'ng tomon tenglik.
Bunday tizim faqat ma'lum bir umumiy yechimga ega.
Keling, quyidagi tenglamalar tizimini tahlil qilaylik:
$\begin(holatlar) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(holatlar)$
Uni matritsa shaklida yozamiz:
$\begin(massiv)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(massiv)$
Bizning vazifamiz tizimning umumiy yechimini topishdir. Ushbu matritsa uchun bazis o'zgaruvchilar $y_1$ va $y_3$ bo'ladi ($y_1$ uchun - chunki u birinchi o'rinda turadi va $y_3$ holatida - u nollardan keyin joylashgan).
Bazis o'zgaruvchilar sifatida biz aynan qatorda birinchi bo'lgan va nolga teng bo'lmaganlarni tanlaymiz.
Qolgan o'zgaruvchilar bepul deb ataladi, biz ular orqali asosiylarini ifodalashimiz kerak.
Teskari zarba deb ataladigan usuldan foydalanib, biz tizimni pastdan yuqoriga qarab tahlil qilamiz, buning uchun birinchi navbatda tizimning pastki qatoridan $y_3$ ifodalaymiz:
$5y_3 - 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
Endi biz $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ tizimning yuqori tenglamasiga ifodalangan $y_3$ni almashtiramiz: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$
Biz $y_1$ ni $y_2$ va $y_4$ erkin oʻzgaruvchilari bilan ifodalaymiz:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$
Yechim tayyor.
1-misol
Gauss usuli yordamida sovunni yeching. Misollar. Gauss usuli yordamida 3 ga 3 matritsa orqali berilgan chiziqli tenglamalar tizimini yechish misoli
$\begin(holatlar) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end (holatlar)$
Keling, tizimimizni kengaytirilgan matritsa shaklida yozamiz:
$\begin(massiv)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(massiv)$
Endi qulaylik va amaliylik uchun matritsani $1$ eng tashqi ustunning yuqori burchagida bo'lishi uchun o'zgartirishingiz kerak.
Buni amalga oshirish uchun 1-qatorga o'rtadan $-1$ ga ko'paytirilgan qatorni qo'shishingiz va o'rta chiziqning o'zini qanday bo'lsa, shunday yozishingiz kerak:
$\begin(massiv)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(massiv)$
$\begin(massiv)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(massiv) $
Yuqori va oxirgi qatorlarni $-1$ ga ko'paytiring, shuningdek oxirgi va o'rta qatorlarni almashtiring:
$\begin(massiv)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(massiv)$
$\begin(massiv)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(massiv)$
Va oxirgi qatorni $3$ ga bo'ling:
$\begin(massiv)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(massiv)$
Biz asl tenglamaga teng keladigan quyidagi tenglamalar tizimini olamiz:
$\begin(holatlar) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(holatlar)$
Yuqori tenglamadan $x_1$ ni ifodalaymiz:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.
2-misol
Gauss usuli yordamida 4 ga 4 matritsa yordamida aniqlangan tizimni yechish misoli
$\begin(massiv)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 va 37 \\ \end(massiv)$.
Boshida biz yuqori chap burchakda $1$ olish uchun undan keyingi satrlarni almashtiramiz:
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 va 37 \\ \end(massiv)$.
Endi yuqori chiziqni $ -2 $ ga ko'paytiring va 2 va 3-ga qo'shing. 4-chi qatorga $-3$ ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shamiz:
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(massiv)$
Endi 3-qatorga 2-qatorni $4$ ga koʻpaytiramiz va 4-satrga 2-satrni $-1$ ga koʻpaytiramiz.
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(massiv)$
Biz 2-qatorni $-1$ ga koʻpaytiramiz va 4-qatorni $3$ ga boʻlib, 3-qatorni almashtiramiz.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 va 10 \\ \end(massiv)$
Endi biz oxirgi qatorga oxirgi qatorni qo'shamiz, uni $ -5 $ ga ko'paytiramiz.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 va 0 \\ \end(massiv)$
Olingan tenglamalar tizimini yechamiz:
$\begin(holatlar) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(holatlar)$
