Mavzular bo'yicha dars va taqdimot: "Natural logarifmlar. Natural logarifmning asosi. Natural sonning logarifmi".

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, sharhlaringizni, tilaklaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar virusga qarshi dastur tomonidan tekshirilgan.

Integral onlayn do'konida 11-sinf uchun o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
9-11-sinflar uchun "Trigonometriya" interfaol qo'llanma
10-11-sinflar uchun interfaol qo'llanma "Logarifmlar"

Tabiiy logarifm nima

Bolalar, o'tgan darsda biz yangi, maxsus raqamni o'rgandik - e. Bugun biz ushbu raqam bilan ishlashni davom ettiramiz.
Biz logarifmlarni o'rgandik va bilamizki, logarifmning asosi 0 dan katta bo'lgan ko'plab sonlar bo'lishi mumkin.Bugun biz asosi e soni bo'lgan logarifmni ham ko'rib chiqamiz.Bunday logarifm odatda natural logarifm deb ataladi. Uning o'ziga xos yozuvi bor: $\ln(n)$ - natural logarifm. Bu yozuv quyidagi yozuvga teng: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Ko'rsatkichli va logarifmik funksiyalar teskari, u holda natural logarifm funksiyaga teskari hisoblanadi: $y=e^x$.
Teskari funksiyalar $y=x$ toʻgʻri chiziqqa nisbatan simmetrikdir.
$y=x$ to'g'ri chiziqqa nisbatan ko'rsatkichli funktsiyani chizib, natural logarifmni chizamiz.

Ta'kidlash joizki, (0;1) nuqtada $y=e^x$ funksiya grafigiga teginish burchagi 45°. U holda (1;0) nuqtadagi natural logarifm grafigiga teginish burchagi ham 45° ga teng bo'ladi. Bu ikkala tangens $y=x$ toʻgʻrisiga parallel boʻladi. Keling, tangenslarni diagrammaga solamiz:

$y=\ln(x)$ funksiyaning xossalari

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Juft ham, toq ham emas.
3. Ta'rifning butun maydoni bo'ylab ortadi.
4. Yuqoridan cheklanmagan, pastdan cheklanmagan.
5. Eng katta qiymat Yo'q, eng past qiymat Yo'q.
6. Uzluksiz.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Qavariq yuqoriga.
9. Hamma joyda farqlanadigan.

Oliy matematika kursida bu isbotlangan teskari funktsiyaning hosilasi berilgan funktsiyaning hosilasiga teskari hisoblanadi.
Dalilni chuqur o'rganishga hojat yo'q ko'p ma'no beradi, formulani yozamiz: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Misol.
Funksiya hosilasining qiymatini hisoblang: $y=\ln(2x-7)$ $x=4$ nuqtada.
Yechim.
IN umumiy ko'rinish funksiyamiz $y=f(kx+m)$ funksiya bilan ifodalanadi, bunday funksiyalarning hosilalarini hisoblashimiz mumkin.
$y"=(\ln((2x-7))"=\frac(2)((2x-7))$.
Kerakli nuqtada hosilaning qiymatini hisoblaymiz: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Javob: 2.

Misol.
$y=ln(x)$ funksiya grafigiga $x=e$ nuqtada tangens chizing.
Yechim.
Funksiya grafigiga $x=a$ nuqtadagi tangens tenglamasini yaxshi eslaymiz.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Biz kerakli qiymatlarni ketma-ket hisoblaymiz.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ nuqtadagi tangens tenglama $y=\frac(x)(e)$ funksiyadir.
Keling, natural logarifm va tangens chiziqni chizamiz.

Misol.
Funksiyani monotonlik va ekstremallik uchun tekshiring: $y=x^6-6*ln(x)$.
Yechim.
$D(y)=(0;+∞)$ funksiyani aniqlash sohasi.
Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Losos ta'rif sohasidagi barcha x uchun mavjud bo'lsa, unda tanqidiy nuqtalar yo'q. Statsionar nuqtalarni topamiz:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
$x=-1$ nuqta aniqlanish sohasiga tegishli emas. Keyin bizda $x=1$ bitta statsionar nuqta bor. O'sish va kamayish oraliqlarini topamiz:

$x=1$ nuqta minimal nuqta, keyin $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Javob: (0;1] segmentida funktsiya kamayadi, $ nurida funksiya ortadi 2 .

Angliya-Amerika tizimi

Matematiklar, statistiklar va ba'zi muhandislar odatda tabiiy logarifm yoki "log (log)" ni belgilash uchun foydalanadilar. x)" yoki "ln( x)", va asosiy 10 logarifmini belgilash uchun - "log 10 ( x)».

Ba'zi muhandislar, biologlar va boshqa mutaxassislar doimo "ln( x)" (yoki vaqti-vaqti bilan "log e ( x)") ular natural logarifmni va "log() belgisini bildirganda. x)" ular log 10 ni anglatadi ( x).

jurnal e"tabiiy" logarifmdir, chunki u avtomatik ravishda yuzaga keladi va matematikada juda tez-tez uchraydi. Masalan, hosilaviy muammoni ko'rib chiqing logarifmik funktsiya:

Agar asos bo'lsa b teng e, unda hosila oddiygina 1/ x, va qachon x= 1 bu hosila 1 ga teng. Bazaning yana bir sababi e Logarifmning eng tabiiy tomoni shundaki, uni oddiy integral yoki Teylor qatori nuqtai nazaridan oddiygina aniqlash mumkin, uni boshqa logarifmlar haqida aytib bo'lmaydi.

Tabiiylikning keyingi asoslari nota bilan bog'liq emas. Masalan, natural logarifmli bir nechta oddiy qatorlar mavjud. Pietro Mengoli va Nikolas Merkator ularni chaqirdi logarithmus naturalis Nyuton va Leybnits differensial va integral hisoblarni ishlab chiqishlariga qadar bir necha o'n yillar o'tdi.

Ta'rif

Rasmiy ravishda ln( a) grafik egri ostidagi maydon sifatida aniqlanishi mumkin 1/ x 1 dan a, ya'ni integral sifatida:

Bu haqiqatan ham logarifm, chunki u qanoatlantiradi asosiy mulk logarifm:

Buni quyidagicha taxmin qilish orqali isbotlash mumkin:

Raqamli qiymat

Hisoblash uchun raqamli qiymat Sonning tabiiy logarifmi uchun siz uning Teylor seriyasining kengayishini quyidagi shaklda ishlatishingiz mumkin:

Olish uchun yaxshiroq tezlik konvergentsiya, biz quyidagi identifikatsiyadan foydalanishimiz mumkin:

sharti bilan y = (x−1)/(x+1) va x > 0.

ln uchun( x), Qayerda x> 1 dan yaqinroq qiymat x keyin 1 ga tezroq tezlik konvergentsiya. Maqsadga erishish uchun logarifm bilan bog'liq identifikatorlardan foydalanish mumkin:

Ushbu usullar kalkulyatorlar paydo bo'lishidan oldin ham ishlatilgan, ular uchun raqamli jadvallar ishlatilgan va yuqorida tavsiflanganlarga o'xshash manipulyatsiyalar bajarilgan.

Yuqori aniqlik

Ko'p sonli aniq raqamlar bilan tabiiy logarifmni hisoblash uchun Teylor seriyasi samarali emas, chunki uning yaqinlashuvi sekin. Muqobil variant - qatori tezroq yaqinlashuvchi eksponensial funktsiyaga o'zgartirish uchun Nyuton usulidan foydalanish.

Juda yuqori hisoblash aniqligi uchun muqobil formula:

Qayerda M 1 va 4/s ning arifmetik-geometrik o'rtacha qiymatini bildiradi va

m shunday tanlangan p aniqlik belgilariga erishiladi. (Ko'p hollarda m uchun 8 qiymati etarli.) Aslida, agar bu usul qo'llanilsa, ko'rsatkichli funktsiyani samarali hisoblash uchun Nyutonning natural logarifmini qo'llash mumkin. (ln 2 va pi konstantalari ma'lum bo'lgan har qanday tez yaqinlashuvchi qatorlar yordamida kerakli aniqlikka oldindan hisoblanishi mumkin.)

Hisoblashning murakkabligi

Tabiiy logarifmlarning hisoblash murakkabligi (o‘rtacha arifmetik-geometrik qiymatdan foydalangan holda) O( M(n)ln n). Bu yerga n natural logarifm baholanishi kerak bo'lgan aniqlik raqamlari soni va M(n) ikkini ko'paytirishning hisoblash murakkabligi n- raqamli raqamlar.

Davomiy kasrlar

Logarifmni ifodalash uchun oddiy davomli kasrlar mavjud bo'lmasa-da, bir nechta umumlashtirilgan davomli kasrlardan foydalanish mumkin, jumladan:

Murakkab logarifmlar

Eksponensial funktsiya shaklning kompleks sonini beradigan funktsiyaga kengaytirilishi mumkin e x har qanday ixtiyoriy kompleks son uchun x, bu holda kompleksli cheksiz qator x. Ushbu eksponensial funktsiya oddiy logarifmlarning ko'pgina xususiyatlariga ega bo'lgan murakkab logarifm hosil qilish uchun o'zgartirilishi mumkin. Biroq, ikkita qiyinchilik bor: yo'q x, buning uchun e x= 0, va bu ma'lum bo'ldi e 2p i = 1 = e 0 . Ko'paytma xossasi murakkab ko'rsatkichli funktsiya uchun o'rinli bo'lgani uchun e z = e z+2npi barcha komplekslar uchun z va butun n.

Logarifmni butun kompleks tekislikda aniqlab bo'lmaydi va shunday bo'lsa ham u ko'p qiymatli bo'ladi - har qanday murakkab logarifm 2 ga har qanday butun sonni qo'shish orqali "ekvivalent" logarifm bilan almashtirilishi mumkin. p i. Murakkab logarifm faqat murakkab tekislikning bir bo'lagida bitta qiymatli bo'lishi mumkin. Masalan, ln i = 1/2 p i yoki 5/2 p i yoki -3/2 p i, va hokazo, va shunga qaramay i 4 = 1,4 log i 2 deb belgilash mumkin p i, yoki 10 p i yoki -6 p i, va hokazo.

Shuningdek qarang

• Jon Nepier - logarifm ixtirochisi

Eslatmalar

1. Fizik kimyo uchun matematika. - 3-chi. - Akademik matbuot, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5, 9-betdan ko‘chirma
2. JJO"Konnor va EF Robertson Raqam e. MacTutor matematika tarixi arxivi (2001 yil sentyabr). 2012-yil 12-fevralda asl nusxadan arxivlangan.
3. Cajori Florian Matematika tarixi, 5-nashr. - AMS kitob do'koni, 1991. - B. 152. -

Logarifm berilgan raqam boshqa sonni ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkich deyiladi, chaqiriladi asos bu raqamni olish uchun logarifm. Masalan, 100 ning 10 ta logarifmi 2 ga teng. Boshqacha qilib aytganda, 100 ni olish uchun 10 ni kvadratga aylantirish kerak (10 2 = 100). Agar n- berilgan raqam; b- tayanch va l- logarifm, keyin b l = n. Raqam n asosiy antilogarifm deb ham ataladi b raqamlar l. Masalan, 2 dan 10 tagacha antilogarifm 100 ga teng. Buni munosabatlar jurnali shaklida yozish mumkin. b n = l va antilog b l = n.

Logarifmlarning asosiy xususiyatlari:

Birdan boshqa har qanday ijobiy raqam logarifmlar uchun asos bo'lib xizmat qilishi mumkin, ammo afsuski, agar b Va n ratsional sonlar bo'lsa, kamdan-kam hollarda bunday ratsional son mavjud l, Nima b l = n. Biroq, irratsional sonni aniqlash mumkin l, masalan, 10 l= 2; bu irratsional son l har qanday talab qilinadigan aniqlik bilan taxmin qilish mumkin ratsional sonlar. Ma'lum bo'lishicha, berilgan misolda l taxminan 0,3010 ga teng va 2 ning 10 ta logarifmining bu yaqinlashuvini to'rt xonali jadvallarda topish mumkin o'nlik logarifmlar. 10 ta asosiy logarifmlar (yoki 10 ta logarifmalar) hisob-kitoblarda shunchalik keng qo'llaniladiki, ular deyiladi. oddiy logarifmlar va log2 = 0,3010 yoki log2 = 0,3010 sifatida yoziladi, logarifmning asosini aniq ko'rsatmaydi. Bazaga logarifmlar e, taxminan 2,71828 ga teng transsendental son deyiladi tabiiy logarifmlar. Ular asosan matematik tahlil va uni qo'llash bo'yicha ishlarda uchraydi turli fanlar. Natural logarifmlar ham asosni aniq ko'rsatmasdan yoziladi, lekin maxsus ln yozuvi yordamida yoziladi: masalan, ln2 = 0,6931, chunki e 0,6931 = 2.

Oddiy logarifmlar jadvallaridan foydalanish.

Raqamning muntazam logarifmi - bu berilgan sonni olish uchun 10 ni ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkich. 10 0 = 1, 10 1 = 10 va 10 2 = 100 bo'lgani uchun biz darhol log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 va hokazolarni olamiz. butun sonlarni oshirish uchun 10. Xuddi shunday, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 va shuning uchun log0,1 = –1, log0,01 = –2, va hokazo. barcha manfiy butun sonlar uchun 10. Qolgan sonlarning odatiy logarifmlari 10 ning eng yaqin butun sonining logarifmlari orasiga kiritilgan; log2 0 dan 1 gacha, log20 1 dan 2 gacha, log0.2 esa -1 dan 0 gacha bo'lishi kerak. Shunday qilib, logarifm ikki qismdan iborat, butun son va kasr, 0 va 1 oralig'ida o'ralgan. Butun qism deyiladi xarakterli logarifm va sonning o'zi bilan belgilanadi, kasr qismi deyiladi mantis va jadvallardan topish mumkin. Shuningdek, log20 = log(2g'10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 ning logarifmi 0,3010, shuning uchun log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Xuddi shunday log0,2 = log(2o10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Ayirishdan keyin log0,2 = – 0,6990 ni olamiz. Biroq log0,2 ni 0,3010 – 1 yoki 9,3010 – 10 ko’rinishida ifodalash qulayroqdir; shakllantirish mumkin va umumiy qoida: berilgan sondan 10 ning kuchiga ko'paytirish yo'li bilan olingan barcha raqamlar bir xil mantisga ega bo'lib, berilgan sonning mantisasiga teng. Ko'pgina jadvallar 1 dan 10 gacha bo'lgan raqamlarning mantislarini ko'rsatadi, chunki boshqa barcha raqamlarning mantislarini jadvalda keltirilganlardan olish mumkin.

Ko'pgina jadvallar to'rt yoki besh kasrli logarifmlarni beradi, ammo etti xonali jadvallar va undan ham ko'proq kasrli jadvallar mavjud. Bunday jadvallardan foydalanishni o'rganishning eng oson yo'li misollardir. Log3.59 ni topish uchun birinchi navbatda 3.59 soni 10 0 dan 10 1 gacha boʻlganligini, shuning uchun uning xarakteristikasi 0 ekanligini taʼkidlaymiz. Jadvaldan 35 raqamini (chapda) topamiz va qator boʻylab qator boʻylab harakat qilamiz. tepada 9 raqami bo'lgan ustun; bu ustun va 35-qatorning kesishishi 5551, shuning uchun log3,59 = 0,5551. To'rtli sonning mantissini topish muhim raqamlar, interpolyatsiyaga murojaat qilish kerak. Ba'zi jadvallarda interpolatsiya jadvallarning har bir sahifasining o'ng tomonidagi oxirgi to'qqizta ustunda berilgan nisbatlar bilan osonlashtiriladi. Keling, log736.4; 736,4 soni 10 2 va 10 3 oralig'ida joylashgan, shuning uchun uning logarifmining xarakteristikasi 2 ga teng. Jadvalda biz chap tomonda 73 va 6 ustun bo'lgan qatorni topamiz. Bu qator va ustunning kesishmasida joylashgan. raqami 8669. Chiziqli qismlar orasida biz 4-ustunni topamiz 73-qator va 4-ustun kesishmasida 2-son mavjud. 8669 ga 2 qo'shib, biz mantisni olamiz - bu 8671 ga teng. Shunday qilib, log736.4 = 2.8671.

Tabiiy logarifmlar.

Tabiiy logarifmlarning jadvallari va xossalari oddiy logarifmlarning jadvallari va xossalariga o'xshaydi. Ikkala o'rtasidagi asosiy farq shundaki, natural logarifmning butun qismi kasrning o'rnini aniqlashda muhim emas va shuning uchun mantis va xarakteristikaning farqi alohida rol o'ynamaydi. 5.432 sonlarning natural logarifmlari; 54,32 va 543,2 mos ravishda 1,6923 ga teng; 3.9949 va 6.2975. Ushbu logarifmlar orasidagi bog'liqlik, agar ular orasidagi farqlarni hisobga olsak, aniq bo'ladi: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; oxirgi raqam 10 sonining natural logarifmasidan boshqa narsa emas (bunday yozilgan: ln10); log543.2 - log5.432 = 4.6052; oxirgi raqam 2ln10. Lekin 543,2 = 10g54,32 = 10 2g5,432. Shunday qilib, berilgan sonning natural logarifmi bo'yicha a sonlarning ko'paytmalariga teng bo'lgan natural logarifmlarni topishingiz mumkin a har qanday daraja uchun n raqamlari 10 agar ln a ln10 ga ko'paytiriladi n, ya'ni. ln( aґ10n) = jurnal a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Misol uchun, ln0.005432 = ln(5.432g̀10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3̱2.3026) = – 5.2155. Shuning uchun, natural logarifmlar jadvallari, xuddi oddiy logarifmlar jadvallari kabi, odatda, faqat 1 dan 10 gacha bo'lgan sonlarning logarifmlarini o'z ichiga oladi. Natural logarifmlar tizimida antilogarifmlar haqida gapirish mumkin, lekin ular ko'proq ko'rsatkichli funktsiya yoki ko'rsatkich haqida gapirishadi. Agar x= jurnal y, Bu y = e x, Va y ning ko'rsatkichi deyiladi x(tipografik qulaylik uchun ular tez-tez yozadilar y= eks x). Ko'rsatkich sonning antilogarifmi rolini o'ynaydi x.

O'nlik va natural logarifmlar jadvallaridan foydalanib, 10 va 10 dan boshqa har qanday asosda logarifmlar jadvallarini yaratishingiz mumkin. e. Agar log b a = x, Bu b x = a, va shuning uchun jurnal c b x=log c a yoki x jurnal c b=log c a, yoki x=log c a/log c b=log b a. Shuning uchun, asosiy logarifm jadvalidagi ushbu inversiya formulasidan foydalaning c logarifmlar jadvallarini istalgan boshqa bazada qurishingiz mumkin b. Ko'paytiruvchi 1/log c b chaqirdi o'tish moduli asosdan c bazaga b. Hech narsa, masalan, inversiya formulasidan foydalanishga yoki bir logarifm tizimidan boshqasiga o'tishga, oddiy logarifmlar jadvalidan tabiiy logarifmlarni topishga yoki teskari o'tishni amalga oshirishga to'sqinlik qilmaydi. Masalan, log105.432 = log e 5.432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923g'0,4343 = 0,7350. Oddiy logarifm olish uchun berilgan sonning natural logarifmini ko'paytirish kerak bo'lgan 0,4343 raqami oddiy logarifmlar tizimiga o'tish moduli hisoblanadi.

Maxsus jadvallar.

Logarifmlar dastlab shunday ixtiro qilinganki, ularning xususiyatlaridan foydalangan holda jurnal ab=log a+ jurnal b va jurnal a/b=log a– jurnal b, mahsulotlarni yig'indiga va ko'rsatkichlarni farqlarga aylantiring. Boshqacha qilib aytganda, agar log a va jurnal b ma'lum bo'lsa, qo'shish va ayirish yordamida biz mahsulotning logarifmini va qismni osongina topishimiz mumkin. Biroq, astronomiyada bu ko'pincha berilgan qiymatlar jurnal a va jurnal b jurnalni topish kerak ( a + b) yoki jurnal ( a – b). Albatta, birinchi navbatda logarifmlar jadvallaridan topish mumkin a Va b, keyin ko'rsatilgan qo'shish yoki ayirishni bajaring va yana jadvallarga murojaat qilib, kerakli logarifmlarni toping, ammo bunday protsedura jadvallarga uch marta murojaat qilishni talab qiladi. Z. Leonelli 1802 yilda shunday deb nomlangan jadvallarni nashr etdi. Gauss logarifmlari- yig'indi va farqlarni qo'shish uchun logarifmlar - bu jadvallarga bitta kirish bilan cheklanish imkonini berdi.

1624 yilda I. Kepler proportsional logarifmlar jadvallarini taklif qildi, ya'ni. raqamlarning logarifmlari a/x, Qayerda a- ba'zi ijobiy doimiy. Bu jadvallar birinchi navbatda astronomlar va navigatorlar tomonidan qo'llaniladi.

Proportsional logarifmlar da a= 1 chaqiriladi kologarifmlar va mahsulot va ko'rsatkichlar bilan shug'ullanish kerak bo'lganda hisob-kitoblarda qo'llaniladi. Raqamning kologarifmi n logarifmga teng o'zaro raqam; bular. kolog n= log1/ n= – jurnal n. Agar log2 = 0,3010 bo'lsa, u holda kolog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Kologarifmlardan foydalanishning afzalligi shundaki, kabi ifodalar logarifmi qiymatini hisoblashda pq/r musbat o'nli kasrlarning uch karra yig'indisi jurnali p+ jurnal q+kolog r aralash yig‘indi va farq jurnalidan ko‘ra topish osonroq p+ jurnal q– jurnal r.

Hikoya.

Har qanday logarifmlar tizimining asosini tashkil etuvchi printsip juda uzoq vaqtdan beri ma'lum bo'lib, uni qadimgi Bobil matematikasiga (miloddan avvalgi 2000-yillarda) kuzatish mumkin. O'sha kunlarda murakkab foizlarni hisoblash uchun butun sonlarning musbat butun sonining jadval qiymatlari orasidagi interpolyatsiya ishlatilgan. Keyinchalik, Arximed (miloddan avvalgi 287-212) o'sha paytda ma'lum bo'lgan olamni to'liq to'ldirish uchun zarur bo'lgan qum donalari sonining yuqori chegarasini topish uchun 108 kuchdan foydalangan. Arximed e'tiborni logarifmlar samaradorligining asosi bo'lgan ko'rsatkichlar xususiyatiga qaratdi: darajalar ko'paytmasi ko'rsatkichlar yig'indisiga to'g'ri keladi. O'rta asrlarning oxiri va yangi davrning boshida matematiklar geometrik va arifmetik progressiyalar o'rtasidagi munosabatlarga tobora ko'proq murojaat qila boshladilar. M. Stifel o'z inshosida Butun sonlar arifmetikasi(1544) 2 raqamining ijobiy va salbiy kuchlari jadvalini berdi:

Stifel birinchi qatordagi ikkita raqamning yig'indisi (ko'rsatkich qatori) pastki qatordagi ikkita mos keladigan sonning (ko'rsatkich qatori) ko'paytmasiga mos keladigan ikkita ko'rsatkichga teng ekanligini payqadi. Ushbu jadval bilan bog'liq holda, Shtifel ko'rsatkichlar bo'yicha operatsiyalarning to'rtta zamonaviy qoidalariga yoki logarifmlar bo'yicha amallarning to'rtta qoidasiga ekvivalent bo'lgan to'rtta qoidani shakllantirdi: yuqori chiziqdagi yig'indi pastki qatordagi mahsulotga mos keladi; yuqori chiziqdagi ayirish pastki chiziqdagi bo'linishga mos keladi; yuqori chiziqdagi ko'paytirish pastki chiziqdagi darajaga mos keladi; yuqori chiziqda bo'linish pastki chiziqda ildiz otish bilan mos keladi.

Ko‘rinib turibdiki, Stifel qoidalariga o‘xshash qoidalar J. Neyperni o‘z ishiga logarifmlarning birinchi tizimini rasman kiritishiga olib keldi. Logarifmlarning ajoyib jadvalining tavsifi, 1614-yilda nashr etilgan. Ammo Nepierning fikri mahsulotlarni summaga aylantirish muammosi bilan band edi, shundan beri Nepier oʻz asari nashr etilishidan oʻn yil oldin Daniyadan Tycho Brahe rasadxonasida uning yordamchilari shunday usulga ega ekanligi haqida xabar oladi. mahsulotlarni so'mga aylantirish mumkin. Napier qabul qilgan xabarda aytib o'tilgan usul foydalanishga asoslangan edi trigonometrik formulalar turi

shuning uchun Neyper jadvallari asosan logarifmlardan iborat edi trigonometrik funktsiyalar. Neyper tomonidan taklif qilingan ta'rifga asos tushunchasi aniq kiritilmagan bo'lsa-da, uning tizimidagi logarifmlar tizimining asosiga ekvivalent rolni (1 - 10 -7) g'10 7, taxminan 1/ga teng bo'lgan raqam o'ynagan. e.

Naperdan mustaqil ravishda va deyarli u bilan bir vaqtda, turi bo'yicha juda o'xshash logarifmlar tizimi ixtiro qilingan va J. Burgi tomonidan 1620 yilda nashr etilgan Pragada nashr etilgan. Arifmetik va geometrik progressiya jadvallari. Bular asosga (1 + 10 –4) antilogarifmlar jadvallari edi ̧10 4, bu raqamning juda yaxshi yaqinlashuvi. e.

Naper tizimida 10 7 sonining logarifmi nolga teng deb qabul qilingan va sonlar kamayishi bilan logarifmlar ortib borardi. G. Briggs (1561–1631) Nepierga tashrif buyurganida, ikkalasi ham 10 raqamini asos sifatida ishlatish va birning logarifmini nol deb hisoblash qulayroq bo'lishiga rozi bo'lishdi. Keyin, raqamlar ko'paygan sari, ularning logarifmlari ortadi. Shunday qilib, biz Briggs o'z ishida e'lon qilgan jadvalini o'nlik logarifmlarning zamonaviy tizimini oldik Logarifmik arifmetika(1620). Bazaga logarifmlar e, Garchi aynan Naper tomonidan kiritilgan bo'lmasa-da, ko'pincha Naper's deb ataladi. "Xarakteristik" va "mantis" atamalari Briggs tomonidan taklif qilingan.

Birinchi logarifmlar tarixiy sabablarga ko'ra 1/ raqamlariga yaqinliklardan foydalangan. e Va e. Biroz vaqt o'tgach, tabiiy logarifmlar g'oyasi giperbola ostidagi maydonlarni o'rganish bilan bog'liq bo'la boshladi. xy= 1 (1-rasm). 17-asrda bu egri chiziq bilan chegaralangan maydon, o'q ekanligi ko'rsatildi x va ordinatalar x= 1 va x = a(1-rasmda bu maydon qalinroq va siyrak nuqtalar bilan qoplangan) yilda ortadi arifmetik progressiya, Qachon a ichida ortadi geometrik progressiya. Aynan shu bog'liqlik ko'rsatkichlar va logarifmlar bilan amallar qoidalarida yuzaga keladi. Bu Naperiya logarifmlarini "giperbolik logarifmlar" deb atashga sabab bo'ldi.

Logarifmik funktsiya.

Bir vaqtlar logarifmlar faqat hisoblash vositasi sifatida qaralgan, ammo 18-asrda, asosan, Eyler ishi tufayli logarifmik funktsiya tushunchasi shakllangan. Bunday funktsiyaning grafigi y= jurnal x, uning ordinatalari arifmetik progressiyada ortadi, abssissalar esa geometrik progressiyada ortadi, rasmda keltirilgan. 2, A. Teskari yoki eksponensial funksiya grafigi y = e x, ularning ordinatalari geometrik progressiyada ortadi, abtsissalari esa arifmetik progressiyada ortadi, mos ravishda 1-rasmda keltirilgan. 2, b. (Chiziqlar y=log x Va y = 10x shakli egri chiziqlarga o'xshaydi y= jurnal x Va y = e x.) Logarifmik funktsiyaning muqobil ta'riflari ham taklif qilingan, masalan.

kpi; va xuddi shunday, -1 sonining natural logarifmlari murakkab sonlar turlari (2 k + 1)pi, Qayerda k- butun son. Shunga o'xshash bayonotlar umumiy logarifmlar yoki boshqa logarifm tizimlari uchun ham amal qiladi. Bundan tashqari, logarifmlarning ta'rifi kompleks sonlarning murakkab logarifmlarini o'z ichiga olish uchun Eyler identifikatorlari yordamida umumlashtirilishi mumkin.

Logarifmik funktsiyaning muqobil ta'rifi funktsional tahlil bilan ta'minlanadi. Agar f(x) – haqiqiy sonning uzluksiz funksiyasi x, quyidagi uchta xususiyatga ega: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), Bu f(x) sonning logarifmi sifatida aniqlanadi x asoslangan b. Ushbu ta'rif ushbu maqolaning boshida berilgan ta'rifga nisbatan bir qator afzalliklarga ega.

Ilovalar.

Logarifmlar dastlab faqat hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun ishlatilgan va bu dastur hali ham ularning eng muhimlaridan biri hisoblanadi. Mahsulotlar, koeffitsientlar, kuchlar va ildizlarni hisoblash nafaqat e'lon qilingan logarifm jadvallarining keng mavjudligi, balki atalmishlardan foydalanish bilan ham yordam beradi. slayd qoidasi - ishlash printsipi logarifmlarning xususiyatlariga asoslangan hisoblash vositasi. Hukmdor logarifmik shkalalar bilan jihozlangan, ya'ni. 1 raqamidan istalgan raqamgacha bo'lgan masofa x logga teng qilib tanlangan x; Bir masshtabni boshqasiga nisbatan siljitish orqali logarifmlarning yig‘indilari yoki farqlarini chizish mumkin, bu esa to‘g‘ridan-to‘g‘ri masshtabdan mos keladigan sonlarning ko‘paytmalari yoki koeffitsientlarini o‘qish imkonini beradi. Logarifmik shaklda raqamlarni ifodalashning afzalliklaridan ham foydalanishingiz mumkin. grafiklarni chizish uchun logarifmik qog'oz (har ikkala koordinata o'qida logarifmik masshtablar bosilgan qog'oz). Agar funktsiya shaklning kuch qonunini qanoatlantirsa y = kxn, u holda uning logarifmik grafigi to'g'ri chiziqqa o'xshaydi, chunki jurnal y=log k + n jurnal x– logga nisbatan chiziqli tenglama y va jurnal x. Aksincha, ba'zi bir funksional bog'liqlikning logarifmik grafigi to'g'ri chiziqqa o'xshab ko'rinsa, bu bog'liqlik kuchli bog'liqlikdir. Yarim jurnal qog'ozi (bu erda y o'qi logarifmik shkalaga ega va x o'qi bir xil shkalaga ega) eksponensial funktsiyalarni aniqlash kerak bo'lganda foydalidir. Shakl tenglamalari y = kb rx populyatsiya, radioaktiv moddalar miqdori yoki bank balansi kabi miqdor mavjud bo'lgan miqdorga mutanosib ravishda kamayganida yoki ko'payganida sodir bo'ladi. bu daqiqa aholi soni, radioaktiv modda yoki pul. Agar shunday bog'liqlik yarim logarifmik qog'ozda chizilgan bo'lsa, grafik to'g'ri chiziq kabi ko'rinadi.

Logarifmik funktsiya turli xil tabiiy shakllar bilan bog'liq holda paydo bo'ladi. Kungaboqar to'pgullaridagi gullar logarifmik spirallarda joylashgan, mollyuskalar chig'anoqlari o'ralgan. Nautilus, tog 'qo'ylari shoxlari va to'tiqush tumshug'i. Ushbu tabiiy shakllarning barchasi logarifmik spiral deb nomlanuvchi egri chiziqqa misol bo'lishi mumkin, chunki qutbli koordinatalar tizimida uning tenglamasi r = ae bq, yoki ln r= jurnal a + bq. Bunday egri chiziq harakatlanuvchi nuqta bilan tasvirlanadi, uning qutbdan masofasi geometrik progressiyada, radius vektori bilan tasvirlangan burchak esa arifmetik progressiyada ortadi. Bunday egri chiziqning, demak, logarifmik funktsiyaning hamma joyda mavjudligi, uning ekssentrik kameraning konturi va yorug'lik tomon uchayotgan ba'zi hasharotlarning traektoriyasi kabi uzoq va butunlay boshqa sohalarda sodir bo'lishi bilan yaxshi ko'rsatilgan.