Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining B14 topshirig'ida siz bitta o'zgaruvchining funktsiyasining eng kichik yoki eng katta qiymatini topishingiz kerak. Bu matematik tahlilning juda ahamiyatsiz muammosi va shuning uchun har bir bitiruvchi uni oddiy tarzda hal qilishni o'rganishi mumkin va kerak. o'rta maktab. 2011 yil 7 dekabrda Moskvada o'tkazilgan matematika bo'yicha diagnostika ishlari davomida maktab o'quvchilari hal qilgan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

Funktsiyaning maksimal yoki minimal qiymatini topmoqchi bo'lgan intervalga qarab, ushbu muammoni hal qilish uchun quyidagi standart algoritmlardan biri qo'llaniladi.

I. Segmentdagi funksiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini topish algoritmi:

• Funktsiyaning hosilasini toping.
• Ekstremum deb gumon qilingan nuqtalardan tegishlilarini tanlang bu segment va funksiyani aniqlash sohasi.
• Qiymatlarni hisoblang funktsiyalari(hosil emas!) bu nuqtalarda.
• Olingan qiymatlar orasida eng katta yoki eng kichikni tanlang, u kerakli bo'ladi.

1-misol. Funktsiyaning eng kichik qiymatini toping
y = x 3 – 18x 2 + 81x segmentda + 23.

Yechim: Biz segmentdagi funksiyaning eng kichik qiymatini topish algoritmiga amal qilamiz:

• Funktsiya doirasi cheklanmagan: D(y) = R.
• Funktsiyaning hosilasi quyidagilarga teng: y' = 3x 2 – 36x+ 81. Funksiya hosilasining aniqlanish sohasi ham cheklanmagan: D(y’) = R.
• Hosilning nollari: y' = 3x 2 – 36x+ 81 = 0, ya'ni x 2 – 12x+ 27 = 0, qaerdan x= 3 va x= 9, bizning intervalimiz faqat o'z ichiga oladi x= 9 (ekstremum uchun bir nuqta shubhali).
• Funksiya qiymatini ekstremumga shubhali nuqtada va bo'shliqning chetlarida topamiz. Hisoblash qulayligi uchun funktsiyani quyidagi shaklda taqdim etamiz: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x(x-9) 2 +23:
  • y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
  • y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
  • y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Shunday qilib, olingan qiymatlarning eng kichigi 23 ga teng. Javob: 23.

II. Funktsiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini topish algoritmi:

• Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
• Funktsiyaning hosilasini toping.
• Ekstremum uchun shubhali nuqtalarni aniqlang (funktsiyaning hosilasi yo'qolgan nuqtalar va ikki tomonlama chekli hosila bo'lmagan nuqtalar).
• Bu nuqtalarni va funksiyaning aniqlanish sohasini raqamlar chizig‘ida belgilang va belgilarini aniqlang hosila(funktsiyalar emas!) natijada olingan intervallarda.
• Qiymatlarni aniqlang funktsiyalari(hosil emas!) minimal nuqtalarda (hosilning belgisi minusdan plyusga o'zgaradigan nuqtalarda), bu qiymatlarning eng kichigi funktsiyaning eng kichik qiymati bo'ladi. Agar minimal nuqtalar bo'lmasa, u holda funktsiya minimal qiymatga ega emas.
• Qiymatlarni aniqlang funktsiyalari(hosil emas!) maksimal nuqtalarda (hosilning belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradigan nuqtalarda), bu qiymatlarning eng kattasi funktsiyaning eng katta qiymati bo'ladi. Agar maksimal nuqtalar bo'lmasa, u holda funktsiya eng katta qiymatga ega emas.

2-misol. Funktsiyaning eng katta qiymatini toping.

Variant 1. da

1. Funksiya grafigi y=f(x) rasmda ko'rsatilgan.

Ushbu funktsiya uchun eng katta qiymatni belgilang 1

segmentida [ a; b]. A 0 1 b x

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Funksiyalar y=f(x) segmentida berilgan [ a; b]. da

Rasmda uning hosilasining grafigi ko'rsatilgan

y=f ´(x). Ekstremallarni o'rganing 1 b

funktsiyasi y=f(x). Iltimos, javobingizda miqdorni ko'rsating. a 0 1 x

minimal ball.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Funksiyaning eng katta qiymatini toping y= -2x2+8x -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Funksiyaning eng kichik qiymatini toping segmentida .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Funksiyaning eng kichik qiymatini toping y=|2x+3| - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> nuqtada minimumga ega xo=1,5?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.da

9. Funksiyaning eng katta qiymatini belgilang y=f(x) ,

1 x

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

y=lg(100 – x2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Funksiyaning eng kichik qiymatini toping y=2gunoh-1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Test 14. Ekstremallar. Funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymati.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Funktsiya grafigi y=f(x) rasmda ko'rsatilgan.

Ushbu funktsiya uchun eng kichik qiymatni belgilang 1

segmentida [ a; b]. A b

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. da Rasmda funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan y=f(x).

Funksiya nechta maksimal nuqtaga ega?

1

0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. Funksiya qaysi nuqtada joylashgan y=2x2+24x -25 eng kichik qiymatni oladi?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> segmentida [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> nuqtada minimumga ega xo= -2?

; 2) -6;; 4) 6.da

9. Funksiyaning eng kichik qiymatini belgilang y=f(x) ,

uning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 1 x

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Funksiyaning eng katta qiymatini toping y=jurnal11 (121 – x2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Funksiyaning eng katta qiymatini toping y=2cos+3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Javoblar :

Kichkina va chiroyli oddiy vazifa suzuvchi talaba uchun qutqaruvchi bo'lib xizmat qiladiganlar toifasidan. Tabiatda iyul oyining o'rtalarida, shuning uchun plyajda noutbukingiz bilan dam olish vaqti keldi. Erta tongda nazariyaning quyosh nurlari tez orada amaliyotga e'tibor qaratish uchun o'ynay boshladi, bu osonlik e'lon qilinganiga qaramay, qumda shisha parchalarini o'z ichiga oladi. Shu munosabat bilan, men ushbu sahifaning bir nechta misollarini vijdonan ko'rib chiqishingizni tavsiya qilaman. Yechimlar uchun amaliy vazifalar qodir bo'lishi kerak hosilalarni toping va maqolaning materialini tushuning Funksiyaning monotonlik intervallari va ekstremallari.

Birinchidan, asosiy narsa haqida qisqacha. Haqida darsda funksiyaning uzluksizligi Men bir nuqtada uzluksizlik va intervalda uzluksizlik ta'rifini berdim. Segmentdagi funksiyaning namunali xatti-harakati ham xuddi shunday shakllantirilgan. Funktsiya intervalda uzluksiz bo'ladi, agar:

1) intervalda uzluksiz;
2) bir nuqtada uzluksiz o'ngda va nuqtada chap.

Ikkinchi xatboshida biz deb atalmish haqida gapirdik bir tomonlama davomiylik bir nuqtada ishlaydi. Uni aniqlashning bir nechta yondashuvlari mavjud, ammo men ilgari boshlagan chiziqqa sodiq qolaman:

Funktsiya nuqtada uzluksizdir o'ngda, agar u berilgan nuqtada aniqlangan boʻlsa va uning oʻng chegarasi berilgan nuqtadagi funksiya qiymatiga toʻgʻri kelsa: . U nuqtada uzluksizdir chap, agar berilgan nuqtada va uning chap tomoni chegarasida aniqlangan bo'lsa qiymatiga teng ayni paytda:

Tasavvur qiling-a, yashil nuqtalar sehrli elastik tasmali mixlardir:

Qo'lingizda qizil chiziqni aqliy ravishda oling. Shubhasiz, biz grafikni qanchalik yuqoriga va pastga (o'q bo'ylab) cho'zmasak ham, funktsiya saqlanib qoladi. cheklangan– tepada panjara, pastda panjara va mahsulotimiz o‘tloqda o‘tlanadi. Shunday qilib, oraliqda uzluksiz funksiya unga chegaralangan. Matematik tahlil jarayonida bu oddiy ko'ringan haqiqat aytiladi va qat'iy isbotlanadi. Veyershtrasning birinchi teoremasi....Matematikada elementar gaplar zerikarli asoslanayotgani ko‘pchilikni bezovta qiladi, ammo bu muhim ma’noga ega. Aytaylik, terri o'rta asrlarining ma'lum bir aholisi ko'rinadigan chegaradan tashqarida osmonga grafik tortdi, bu kiritilgan. Teleskop ixtiro qilinishidan oldin, kosmosdagi cheklangan funktsiya umuman aniq emas edi! Haqiqatan ham, ufqda bizni nima kutayotganini qayerdan bilasiz? Axir, bir paytlar Yer tekis hisoblangan, shuning uchun bugungi kunda oddiy teleportatsiya ham isbot talab qiladi =)

Ga binoan Veyershtrasning ikkinchi teoremasi, segmentda uzluksizfunktsiya o'z darajasiga etadi aniq yuqori chegara siznikini ham; siznikichi aniq pastki chet .

Raqam ham chaqiriladi segmentdagi funksiyaning maksimal qiymati va bilan belgilanadi, soni esa segmentdagi funksiyaning minimal qiymati belgilangan.

Bizning holatda:

Eslatma : nazariy jihatdan, yozuvlar keng tarqalgan .

Taxminan aytganda, eng katta qiymat eng ko'p bo'lgan joyda yuqori nuqta grafik va eng kichigi eng past nuqta bo'lgan joy.

Muhim! Maqolada allaqachon ta'kidlanganidek funktsiyaning ekstremal qismi, eng katta funktsiya qiymati Va eng kichik funktsiya qiymati – BIR XIL EMAS, Nima maksimal funktsiya Va minimal funktsiya. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan misolda raqam funktsiyaning minimal qiymatidir, lekin minimal qiymat emas.

Aytgancha, segmentdan tashqarida nima sodir bo'ladi? Ha, hatto toshqin ham, ko'rib chiqilayotgan muammo kontekstida bu bizni umuman qiziqtirmaydi. Vazifa faqat ikkita raqamni topishni o'z ichiga oladi va tamom!

Bundan tashqari, yechim faqat analitikdir chizmachilik qilish shart emas!

Algoritm sirtda yotadi va yuqoridagi rasmdan o'zini ko'rsatadi:

1) Funktsiyaning qiymatlarini toping tanqidiy nuqtalar, ushbu segmentga tegishli.

Boshqa bulochkani tuting: bu erda tekshirishning hojati yo'q etarli holat ekstremum, chunki, ko'rsatilgandek, minimal yoki maksimalning mavjudligi hali kafolat bermaydi, minimal yoki maksimal qiymat nima. Namoyish funktsiyasi maksimal darajaga etadi va taqdirning irodasi bilan bir xil raqam segmentdagi funktsiyaning eng katta qiymati hisoblanadi. Lekin, albatta, bunday tasodif har doim ham bo'lavermaydi.

Shunday qilib, birinchi bosqichda segmentga tegishli kritik nuqtalarda funktsiya qiymatlarini ularda ekstremal bor yoki yo'qligini bezovta qilmasdan hisoblash tezroq va osonroq bo'ladi.

2) Biz segmentning oxiridagi funktsiya qiymatlarini hisoblaymiz.

3) 1 va 2-bandlarda joylashgan funktsiya qiymatlari orasida eng kichik va eng ko'pini tanlang. katta raqam, javobni yozing.

Biz moviy dengiz qirg'og'iga o'tirib, sayoz suvga tovonimiz bilan uramiz:

1-misol

Eng kattasini toping va eng kichik qiymat oraliqda ishlaydi

Yechim:
1) Keling, ushbu segmentga tegishli kritik nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblaylik:

Ikkinchi kritik nuqtadagi funksiya qiymatini hisoblaymiz:

2) Segment oxiridagi funksiya qiymatlarini hisoblaylik:

3) Ko'rsatkichlar va logarifmlar bilan "qalin" natijalar olingan, bu ularni taqqoslashni sezilarli darajada murakkablashtiradi. Shu sababli, keling, kalkulyator yoki Excel bilan qurollanamiz va taxminiy qiymatlarni hisoblaymiz, buni unutmang:

Endi hamma narsa aniq.

Javob:

Mustaqil yechim uchun kasr-ratsional misol:

6-misol

Segmentdagi funksiyaning maksimal va minimal qiymatlarini toping

\(\blacktrianglerright\) \(\) segmentidagi funksiyaning eng katta/eng kichik qiymatini topish uchun ushbu segmentdagi funksiya grafigini sxematik tarzda tasvirlash kerak.
Ushbu kichik mavzudagi masalalarda buni hosila yordamida bajarish mumkin: ortish (\(f">0\) ) va kamayish (\(f") oraliqlarini toping.<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\(\blacktrianglerright\) Funktsiya eng katta/eng kichik qiymatni faqat \(\) segmentining ichki nuqtalarida emas, balki uning uchlarida ham olishi mumkinligini unutmang.

\(\blacktrianglerright\) Funksiyaning eng katta/eng kichik qiymati koordinata qiymatidir \(y=f(x)\) .

\(\blacktrianglerright\) \(f(t(x))\) murakkab funksiyaning hosilasi qoidaga muvofiq topiladi: \[(\Large(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(massiv)(|r|c|c|) \hline & \text(Funktsiya ) f(x) & \text(Terivativ ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(massiv) \to'rt \to'rt \to'rt \to'rt \begin(massiv)(|r|c|c|) \hline & \text(Funktsiya ) f(x) & \text(Terivativ ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(massiv)\]

1-topshiriq №2357

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

\([-10; -2]\) segmentidagi \(y = e^(x^2 - 4)\) funksiyaning eng kichik qiymatini toping.

ODZ: \(x\) - ixtiyoriy.

1) \

\ Shunday qilib, \(x = 0\) uchun \(y" = 0\) .

3) Ko'rib chiqilayotgan segmentdagi \([-10; -2]\) doimiy belgisi \(y"\) intervallarni topamiz:

4) \([-10; -2]\) segmentidagi grafikning eskizi:

Shunday qilib, funksiya eng kichik qiymatiga \([-10; -2]\) da \(x = -2\) da erishadi.

\ Jami: \(1\) – \([-10; -2]\) da \(y\) funksiyaning eng kichik qiymati.

Javob: 1

2-topshiriq №2355

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) segmentida \([-1; 1]\) .

ODZ: \(x\) - ixtiyoriy.

1) \

Kritik nuqtalarni topamiz (ya'ni, funktsiyaning hosilasi \(0\) ga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalari): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] hosila har qanday \(x\) uchun mavjud.

2) \(y"\) doimiy ishorali intervallarni topamiz:

3) Ko'rib chiqilayotgan segmentdagi \([-1; 1]\) doimiy belgisi \(y"\) intervallarni topamiz:

4) \([-1; 1]\) segmentidagi grafikning eskizi:

Shunday qilib, funksiya eng katta qiymatiga \([-1; 1]\) da \(x = -1\) yoki \(x = 1\) da erishadi. Keling, ushbu nuqtalardagi funktsiya qiymatlarini taqqoslaylik.

\ Jami: \(2\) – \(y\) funksiyaning \([-1; 1]\) da eng katta qiymati.

Javob: 2

3-topshiriq №2356

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

\(\) segmentida \(y = \cos 2x\) funksiyaning eng kichik qiymatini toping.

ODZ: \(x\) - ixtiyoriy.

1) \

Kritik nuqtalarni topamiz (ya'ni, funktsiyaning hosilasi \(0\) ga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalari): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] hosila har qanday \(x\) uchun mavjud.

2) \(y"\) doimiy ishorali intervallarni topamiz:

(bu yerda hosila belgilari almashinadigan cheksiz sonli intervallar mavjud).

3) Ko'rib chiqilayotgan \(\) segmentdagi doimiy belgisi \(y"\) intervallarni topamiz:

4) \(\) segmentidagi grafikning eskizi:

Shunday qilib, funktsiya \(\) da \(x = \dfrac(\pi)(2)\) da eng kichik qiymatiga etadi.

\ Jami: \(-1\) - \(\) da \(y\) funksiyasining eng kichik qiymati.

Javob: -1

4-topshiriq №915

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Funktsiyaning eng katta qiymatini toping

\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).

ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . Keling, ODZ haqida qaror qabul qilaylik:

1) \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) ni, keyin \(y(t)=-\log_(17)t\) ni belgilaymiz.

Kritik nuqtalarni topamiz (ya'ni, funktsiyaning hosilasi \(0\) ga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalari): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– ODZda, biz ildizni topadigan joydan \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . \(y\) funksiyaning hosilasi \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) uchun mavjud emas, lekin berilgan tenglama salbiy diskriminant, shuning uchun uning yechimlari yo'q. Funktsiyaning eng katta/eng kichik qiymatini topish uchun uning grafigi sxematik ko'rinishini tushunishingiz kerak.

2) \(y"\) doimiy ishorali intervallarni topamiz:

3) Grafik eskizi:

Shunday qilib, funksiya eng katta qiymatiga \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) da erishadi:

\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\o'ng) = -\log_(17)1 = 0\),

Jami: \(0\) – funksiyaning eng katta qiymati \(y\) .

Javob: 0

5-topshiriq №2344

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihoniga teng

Funktsiyaning eng kichik qiymatini toping

\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).

ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Keling, ODZ haqida qaror qabul qilaylik:

1) \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) ni belgilaymiz, keyin \(y(t)=\log_(3)t\) ni belgilaymiz.

Kritik nuqtalarni topamiz (ya'ni, funktsiyaning hosilasi \(0\) ga teng yoki mavjud bo'lmagan aniqlanish sohasining ichki nuqtalari): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]– ODZda, biz ildizni qaerdan topamiz \(x = -4\) . \(y\) funksiyaning hosilasi \(x^2 + 8x + 19 = 0\) bo'lganda mavjud emas, lekin bu tenglama manfiy diskriminantga ega, shuning uchun uning yechimlari yo'q. Funktsiyaning eng katta/eng kichik qiymatini topish uchun uning grafigi sxematik ko'rinishini tushunishingiz kerak.

2) \(y"\) doimiy ishorali intervallarni topamiz:

3) Grafik eskizi:

Shunday qilib, \(x = -4\) \(y\) funksiyaning minimal nuqtasidir va unda eng kichik qiymatga erishiladi:

\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .

Jami: \(1\) – funksiyaning eng kichik qiymati \(y\) .

Javob: 1

6-topshiriq №917

Vazifa darajasi: Yagona davlat imtihonidan ko'ra qiyinroq

Funktsiyaning eng katta qiymatini toping

\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).

Ko'pincha biz funksiya segmentda oladigan qiymatlar to'plamidan eng katta yoki eng kichik qiymatni topish kerak bo'lgan muammolarni hal qilishimiz kerak.

Masalan, f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 funksiya grafigiga [-1; 2]. Funksiya bilan ishlash uchun uning grafigini qurishimiz kerak.

Chizilgan grafikdan ko'rinib turibdiki, funktsiya ushbu segmentdagi eng katta qiymatni 2 ga teng nuqtalarda oladi: x = -1 va x = 1; funktsiya x = 2 da -7 ga teng eng kichik qiymatni oladi.

x = 0 nuqta f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 funksiyaning minimal nuqtasidir. Bu x = 0 nuqtaning qo'shnisi borligini anglatadi, masalan, interval (-1/2; 1/2) - shundayki, bu qo'shnilikda funktsiya o'zining eng kichik qiymatini x = 0 da oladi. Biroq, a kattaroq interval, masalan, segmentda [ -1; 2], funktsiya o'zining eng kichik qiymatini minimal nuqtada emas, balki segment oxirida oladi.

Shunday qilib, ma'lum bir segmentdagi funktsiyaning eng kichik qiymatini topish uchun uning segment uchlari va minimal nuqtalaridagi qiymatlarini solishtirish kerak.

Umuman olganda, f(x) funksiya oraliqda uzluksiz va bu oraliqning har bir ichki nuqtasida funksiya hosilasi bor deb faraz qilaylik.

Segmentdagi funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun sizga quyidagilar kerak:

1) segment oxiridagi funktsiya qiymatlarini toping, ya'ni. f(a) va f(b) raqamlari;

2) (a; b) intervalga tegishli statsionar nuqtalarda funksiya qiymatlarini toping;

3) topilgan qiymatlardan eng katta va eng kichik qiymatlarni tanlang.

Olingan bilimlarni amalda qo'llaymiz va muammoni ko'rib chiqamiz.

Segmentdagi f(x) = x 3 + x/3 funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.

Yechim.

1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 ½.

2) f´(x) = 3x 2 – 3/x 2 = (3x 4 – 3)/x 2, 3x 4 – 3 = 0; x 1 = 1, x 2 = -1.

Interval (1/2; 2) bitta statsionar nuqtani o'z ichiga oladi x 1 = 1, f(1) = 4.

3) 6 1/8, 9 ½ va 4 sonlarning eng kattasi 9 ½, eng kichigi 4 ga teng.

Javob. Funktsiyaning eng katta qiymati 9 ½, eng kichik qiymati 4 ga teng.

Ko'pincha, muammolarni hal qilishda, segmentda emas, balki intervalda funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish kerak bo'ladi.

Amaliy masalalarda f(x) funksiya odatda berilgan oraliqda faqat bitta statsionar nuqtaga ega: yo maksimal nuqta yoki minimal nuqta. Bunday hollarda f(x) funksiya berilgan oraliqda maksimal nuqtada eng katta qiymatni, minimal nuqtada esa berilgan oraliqda eng kichik qiymatni oladi. Keling, muammoga murojaat qilaylik.

36 sonini yig‘indisi eng kichik bo‘lgan ikkita musbat sonning ko‘paytmasi sifatida yozing.

Yechim.

1) Birinchi koeffitsient x bo'lsin, keyin ikkinchi koeffitsient 36/x bo'lsin.

2) Bu sonlarning yig'indisi x + 36/x ga teng.

3) Masala shartlariga ko’ra x musbat son. Demak, masala f(x) = x + 36/x funksiya x > 0 oraliqda eng kichik qiymatni oladigan darajada x ning qiymatini topishga tushadi.

4) hosila topilsin: f´(x) = 1 – 36/x 2 =((x + 6)(x – 6)) / x 2.

5) Statsionar nuqtalar x 1 = 6, x 2 = -6. X > 0 oraliqda faqat bitta turg'un nuqta mavjud x = 6. X = 6 nuqtadan o'tganda hosila "–" belgisini "+" belgisiga o'zgartiradi va shuning uchun x = 6 minimal nuqtadir. Demak, f(x) = x + 36/x funksiya x = 6 nuqtada x > 0 oraliqda eng kichik qiymatini oladi (bu qiymat f(6) = 12).

Javob. 36 = 6 ∙ 6.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish kerak bo'lgan ba'zi muammolarni hal qilishda quyidagi bayonotdan foydalanish foydali bo'ladi:

agar f(x) funksiyaning ma’lum oraliqdagi qiymatlari manfiy bo‘lmasa, bu funksiya va (f(x)) n funksiyasi, bu yerda n bo‘ladi. natural son, xuddi shu nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatni oling.

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.