Iqtisodiyot sohasida turli jarayonlarni matematik modellashtirish uchun tenglamalar tizimlari keng qo'llaniladi. Masalan, ishlab chiqarishni boshqarish va rejalashtirish, logistika yo'nalishlari (transport muammosi) yoki jihozlarni joylashtirish muammolarini hal qilishda.
Tenglamalar sistemasi nafaqat matematikada, balki fizika, kimyo va biologiyada ham aholi sonini topish masalalarini yechishda qo'llaniladi.
Chiziqli tenglamalar tizimi bir nechta o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikki yoki undan ortiq tenglamalar bo'lib, ular uchun umumiy yechim topish kerak. Barcha tenglamalar haqiqiy tenglikka aylanadigan yoki ketma-ketlik mavjud emasligini isbotlaydigan raqamlarning bunday ketma-ketligi.
Chiziqli tenglama
ax+by=c ko’rinishdagi tenglamalar chiziqli deyiladi. X, y belgilari - qiymati topilishi kerak bo'lgan noma'lumlar, b, a - o'zgaruvchilarning koeffitsientlari, c - tenglamaning erkin hadi.
Tenglamani chizib yechish to‘g‘ri chiziqqa o‘xshaydi, uning barcha nuqtalari ko‘phadning yechimlaridir.
Chiziqli tenglamalar sistemalarining turlari
Eng oddiy misollar ikkita o'zgaruvchisi X va Y bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimi hisoblanadi.
F1(x, y) = 0 va F2(x, y) = 0, bu erda F1,2 funksiyalar va (x, y) funksiya o'zgaruvchilari.
Tenglamalar tizimini yechish - bu tizim haqiqiy tenglikka aylanadigan qiymatlarni (x, y) topish yoki x va y ning mos qiymatlari mavjud emasligini aniqlashni anglatadi.
Nuqtaning koordinatalari sifatida yozilgan juft qiymatlar (x, y) chiziqli tenglamalar tizimining yechimi deb ataladi.
Agar tizimlar bitta umumiy yechimga ega bo'lsa yoki hech qanday yechim mavjud bo'lmasa, ular ekvivalent deb ataladi.
Chiziqli tenglamalarning bir jinsli sistemalari - o'ng tomoni nolga teng bo'lgan tizimlar. Agar tenglik belgisidan keyingi o'ng qism qiymatga ega bo'lsa yoki funktsiya bilan ifodalangan bo'lsa, bunday tizim geterogendir.
O'zgaruvchilar soni ikkitadan ancha ko'p bo'lishi mumkin, keyin biz uchta yoki undan ko'p o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimining misoli haqida gapirishimiz kerak.
Tizimlar bilan duch kelganda, maktab o'quvchilari tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri kelishi kerak deb o'ylashadi, ammo bu unday emas. Tizimdagi tenglamalar soni o'zgaruvchilarga bog'liq emas, ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin.
Tenglamalar sistemalarini yechishning oddiy va murakkab usullari
Bunday tizimlarni yechishning umumiy analitik usuli mavjud emas, barcha usullar sonli yechimlarga asoslangan. Maktab matematikasi kursida almashtirish, algebraik qo‘shish, almashtirish, shuningdek, grafik va matritsa usullari, Gauss usuli bilan yechish kabi usullar batafsil yoritilgan.
Yechish usullarini o'rgatishda asosiy vazifa tizimni to'g'ri tahlil qilishni va har bir misol uchun optimal yechim algoritmini topishni o'rgatishdir. Asosiysi, har bir usul uchun qoidalar va harakatlar tizimini yodlash emas, balki ma'lum bir usuldan foydalanish tamoyillarini tushunishdir.
7-sinf umumta’lim dasturida chiziqli tenglamalar sistemasiga misollar yechish juda oddiy va juda batafsil tushuntirilgan. Har qanday matematika darsligida ushbu bo'limga etarlicha e'tibor beriladi. Chiziqli tenglamalar sistemalariga misollarni Gauss va Kramer usuli yordamida yechish oliy ta’limning birinchi yillarida batafsil o‘rganiladi.
Tizimlarni almashtirish usuli yordamida yechish
O'zgartirish usulining harakatlari bir o'zgaruvchining qiymatini ikkinchisi bilan ifodalashga qaratilgan. Ifoda qolgan tenglamaga almashtiriladi, so'ngra u bitta o'zgaruvchili shaklga keltiriladi. Harakat tizimdagi noma'lumlar soniga qarab takrorlanadi
7-sinf chiziqli tenglamalar tizimi misoliga almashtirish usuli yordamida yechim keltiramiz:
Misoldan ko'rinib turibdiki, x o'zgaruvchisi F(X) = 7 + Y orqali ifodalangan. Natijada X o'rniga tizimning 2- tenglamasiga almashtirilgan ifoda 2-tenglamada bitta Y o'zgaruvchisini olishga yordam berdi. . Bu misolni yechish oson va Y qiymatini olish imkonini beradi.Oxirgi qadam olingan qiymatlarni tekshirishdir.
Chiziqli tenglamalar sistemasiga misolni almashtirish usuli bilan yechish har doim ham mumkin emas. Tenglamalar murakkab bo'lishi mumkin va o'zgaruvchini ikkinchi noma'lum bilan ifodalash keyingi hisob-kitoblar uchun juda og'ir bo'ladi. Tizimda 3 dan ortiq noma'lum bo'lsa, almashtirish yo'li bilan yechish ham o'rinsiz.
Chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamalar sistemasiga misol yechimi:
Algebraik qo‘shish yordamida yechim
Qo'shish usulidan foydalangan holda tizimlar yechimlarini izlashda tenglamalar atama bo'yicha qo'shiladi va turli raqamlarga ko'paytiriladi. Matematik operatsiyalarning yakuniy maqsadi bitta o'zgaruvchidagi tenglamadir.
Ushbu usulni qo'llash amaliyot va kuzatishni talab qiladi. Chiziqli tenglamalar tizimini 3 yoki undan ortiq oʻzgaruvchi boʻlganda qoʻshish usuli yordamida yechish oson emas. Tenglamalar kasr va o'nli kasrlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, algebraik qo'shish qulay.
Yechim algoritmi:
- Tenglamaning ikkala tomonini ma'lum songa ko'paytiring. Arifmetik operatsiya natijasida o'zgaruvchining koeffitsientlaridan biri 1 ga teng bo'lishi kerak.
- Hosil boʻlgan iborani termin boʻyicha qoʻshing va nomaʼlumlardan birini toping.
- Qolgan o'zgaruvchini topish uchun olingan qiymatni tizimning 2-tenglamasiga almashtiring.
Yangi o'zgaruvchini kiritish orqali hal qilish usuli
Agar tizim ikkitadan ko'p bo'lmagan tenglamalar uchun yechim topishni talab qilsa, yangi o'zgaruvchi kiritilishi mumkin; noma'lumlar soni ham ikkitadan ko'p bo'lmasligi kerak.
Usul yangi o'zgaruvchini kiritish orqali tenglamalardan birini soddalashtirish uchun ishlatiladi. Yangi tenglama kiritilgan noma'lum uchun echiladi va olingan qiymatdan asl o'zgaruvchini aniqlash uchun foydalaniladi.
Misol shuni ko'rsatadiki, yangi t o'zgaruvchisini kiritish orqali tizimning 1-tenglamasini standart kvadrat uch a'zoga qisqartirish mumkin edi. Ko'phadni diskriminantni topib yechishingiz mumkin.
Diskriminantning qiymatini taniqli formuladan foydalanib topish kerak: D = b2 - 4*a*c, bu erda D - kerakli diskriminant, b, a, c - ko'phadning omillari. Berilgan misolda a=1, b=16, c=39, demak D=100. Agar diskriminant noldan katta bo'lsa, u holda ikkita yechim mavjud: t = -b±√D / 2*a, agar diskriminant noldan kichik bo'lsa, unda bitta yechim mavjud: x = -b / 2*a.
Olingan tizimlar uchun yechim qo'shish usuli bilan topiladi.
Tizimlarni echishning vizual usuli
3 ta tenglama tizimi uchun javob beradi. Usul tizimga kiritilgan har bir tenglamaning grafiklarini koordinata o'qi bo'yicha qurishdan iborat. Egri chiziqlarning kesishish nuqtalarining koordinatalari tizimning umumiy yechimi bo'ladi.
Grafik usul bir qator nuanslarga ega. Chiziqli tenglamalar sistemalarini vizual tarzda yechishning bir qancha misollarini ko‘rib chiqamiz.
Misoldan ko'rinib turibdiki, har bir chiziq uchun ikkita nuqta qurilgan, x o'zgaruvchisining qiymatlari o'zboshimchalik bilan tanlangan: 0 va 3. X qiymatlari asosida y uchun qiymatlar topildi: 3 va 0. Koordinatalari (0, 3) va (3, 0) bo'lgan nuqtalar grafikda belgilangan va chiziq bilan bog'langan.
Ikkinchi tenglama uchun qadamlar takrorlanishi kerak. Chiziqlarning kesishish nuqtasi tizimning yechimidir.
Quyidagi misol chiziqli tenglamalar sistemasining grafik yechimini topishni talab qiladi: 0,5x-y+2=0 va 0,5x-y-1=0.
Misoldan ko'rinib turibdiki, tizim hech qanday yechimga ega emas, chunki grafiklar parallel va butun uzunligi bo'ylab kesishmaydi.
2 va 3-misollardagi tizimlar bir-biriga o'xshash, ammo tuzilganida ularning echimlari boshqacha ekanligi ayon bo'ladi. Shuni esda tutish kerakki, tizimning yechimi bor yoki yo'qligini har doim ham aytish mumkin emas, har doim grafik yaratish kerak.
Matritsa va uning turlari
Matritsalar chiziqli tenglamalar tizimini ixcham yozish uchun ishlatiladi. Matritsa - bu raqamlar bilan to'ldirilgan maxsus jadval turi. n*m n - satr va m - ustunga ega.
Ustunlar va satrlar soni teng bo'lganda matritsa kvadrat hisoblanadi. Matritsa-vektor - cheksiz mumkin bo'lgan qatorlar soniga ega bo'lgan bitta ustunli matritsa. Diagonallardan biri va boshqa nol elementlari bo'ylab birlari bo'lgan matritsaga o'ziga xoslik deyiladi.
Teskari matritsa bu matritsa bo'lib, unga ko'paytirilganda asl matritsa birlik matritsaga aylanadi; bunday matritsa faqat dastlabki kvadrat uchun mavjud.
Tenglamalar tizimini matritsaga aylantirish qoidalari
Tenglamalar tizimlariga nisbatan tenglamalarning koeffitsientlari va erkin shartlari matritsa raqamlari sifatida yoziladi, bitta tenglama matritsaning bir qatoridir.
Agar satrning kamida bitta elementi nolga teng bo'lmasa, matritsa qatori nolga teng emas deyiladi. Shuning uchun, agar tenglamalarning birortasida o'zgaruvchilar soni farq qiladigan bo'lsa, unda etishmayotgan noma'lum o'rniga nol kiritish kerak.
Matritsa ustunlari o'zgaruvchilarga qat'iy mos kelishi kerak. Bu shuni anglatadiki, x o'zgaruvchining koeffitsientlari faqat bitta ustunda yozilishi mumkin, masalan, birinchi, noma'lum y koeffitsienti - faqat ikkinchisida.
Matritsani ko'paytirishda matritsaning barcha elementlari ketma-ket songa ko'paytiriladi.
Teskari matritsani topish variantlari
Teskari matritsani topish formulasi juda oddiy: K -1 = 1 / |K|, bu erda K -1 teskari matritsa va |K| matritsaning aniqlovchisi hisoblanadi. |K| nolga teng bo'lmasligi kerak, u holda tizim yechimga ega.
Determinant ikki-ikki matritsa uchun osongina hisoblab chiqiladi, shunchaki diagonal elementlarni bir-biriga ko'paytirish kerak. “Uchdan uch” varianti uchun |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formulasi mavjud. 3 + a 3 b 2 c 1. Siz formuladan foydalanishingiz mumkin yoki ishda ustunlar va elementlar qatorlari soni takrorlanmasligi uchun har bir satr va har bir ustundan bitta elementni olishingiz kerakligini eslashingiz mumkin.
Matritsa usuli yordamida chiziqli tenglamalar sistemasiga misollar yechish
Yechimni topishning matritsa usuli ko'p sonli o'zgaruvchilar va tenglamalarga ega tizimlarni echishda noqulay yozuvlarni kamaytirishga imkon beradi.
Misolda, a nm - tenglamalarning koeffitsientlari, matritsa - vektor x n - o'zgaruvchilar, b n - erkin shartlar.
Gauss usuli yordamida tizimlarni yechish
Oliy matematikada Gauss usuli Kramer usuli bilan birgalikda oʻrganiladi va tizimlar yechimlarini topish jarayoni Gauss-Kramer yechim usuli deb ataladi. Bu usullar ko'p sonli chiziqli tenglamalarga ega bo'lgan tizimlarning o'zgaruvchilarini topish uchun ishlatiladi.
Gauss usuli almashtirish va algebraik qoʻshish yoʻli bilan yechimlarga juda oʻxshaydi, lekin tizimliroqdir. Maktab kursida 3 va 4 tenglamalar sistemalari uchun Gauss usuli bilan yechim qo'llaniladi. Usulning maqsadi tizimni teskari trapezoid shakliga tushirishdir. Algebraik o'zgartirishlar va almashtirishlar yordamida bitta o'zgaruvchining qiymati tizim tenglamalaridan birida topiladi. Ikkinchi tenglama 2 ta noma'lumli ifoda, 3 va 4 esa mos ravishda 3 va 4 o'zgaruvchiga ega.
Tizimni tavsiflangan shaklga keltirgandan so'ng, keyingi yechim ma'lum o'zgaruvchilarni tizim tenglamalariga ketma-ket almashtirishga tushiriladi.
7-sinf uchun maktab darsliklarida Gauss usuli bo'yicha yechimning namunasi quyidagicha tasvirlangan:
Misoldan ko'rinib turibdiki, (3) bosqichda ikkita tenglama olingan: 3x 3 -2x 4 =11 va 3x 3 +2x 4 =7. Har qanday tenglamani echish sizga x n o'zgaruvchilardan birini topishga imkon beradi.
Matnda tilga olingan 5-teoremada aytilishicha, agar tizim tenglamalaridan biri ekvivalent bilan almashtirilsa, natijada hosil bo'lgan tizim ham asl tenglamaga teng bo'ladi.
O'rta maktab o'quvchilari uchun Gauss usulini tushunish qiyin, ammo bu matematika va fizika darslarida ilg'or o'quv dasturlariga kirgan bolalarning zukkoligini rivojlantirishning eng qiziqarli usullaridan biridir.
Yozib olish qulayligi uchun hisob-kitoblar odatda quyidagicha amalga oshiriladi:
Tenglamalar va erkin atamalar koeffitsientlari matritsa shaklida yoziladi, bu erda matritsaning har bir qatori tizim tenglamalaridan biriga mos keladi. tenglamaning chap tomonini o'ngdan ajratadi. Rim raqamlari tizimdagi tenglamalar sonini bildiradi.
Birinchidan, ishlanadigan matritsani yozing, so'ngra qatorlardan biri bilan bajarilgan barcha harakatlar. Olingan matritsa "strelka" belgisidan keyin yoziladi va kerakli algebraik amallar natijaga erishilgunga qadar davom ettiriladi.
Natijada diagonallardan biri 1 ga, qolgan barcha koeffitsientlar esa nolga teng bo'lgan matritsa bo'lishi kerak, ya'ni matritsa birlik shakliga tushiriladi. Tenglamaning har ikki tomonida raqamlar bilan hisob-kitoblarni bajarishni unutmasligimiz kerak.
Ushbu yozib olish usuli unchalik mashaqqatli emas va ko'plab noma'lum narsalarni sanab, chalg'itmaslikka imkon beradi.
Har qanday yechim usulidan bepul foydalanish ehtiyotkorlik va biroz tajribani talab qiladi. Hamma usullar amaliy xususiyatga ega emas. Yechimlarni topishning ba'zi usullari inson faoliyatining muayyan sohasida afzalroq, boshqalari esa ta'lim maqsadlarida mavjud.
Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.
Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish
Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.
Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.
Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.
Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:
- Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:
- Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
- Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
- Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
- Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.
Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish
Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.
Istisnolar:
- Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va/yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining ommaviy so'rovlari yoki so'rovlari asosida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
- Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.
Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.
Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish
Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.
n ta noma’lumli m chiziqli tenglamalar sistemasi shakl tizimi deb ataladi
Qayerda a ij Va b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ba'zi ma'lum raqamlardir va x 1 ,…,x n- noma'lum. Koeffitsientlarni belgilashda a ij birinchi indeks i tenglama raqamini, ikkinchisini bildiradi j- bu koeffitsient turgan noma'lumlar soni.
Noma'lumlar uchun koeffitsientlarni matritsa shaklida yozamiz 
, biz uni chaqiramiz tizim matritsasi.
Tenglamalarning o'ng tomonidagi raqamlar b 1 ,…,b m chaqiriladi bepul a'zolar.
Jamiyat n raqamlar c 1 ,…,c n chaqirdi qaror berilgan tizimning, agar tizimning har bir tenglamasi unga raqamlarni almashtirgandan keyin tenglikka aylansa c 1 ,…,c n mos keladigan noma'lumlar o'rniga x 1 ,…,x n.
Bizning vazifamiz tizimga yechim topish bo'ladi. Bunday holda, uchta holat yuzaga kelishi mumkin:
Eng kamida bitta yechimga ega chiziqli tenglamalar tizimi deyiladi qo'shma. Aks holda, ya'ni. agar tizimda echimlar bo'lmasa, u chaqiriladi qo'shma bo'lmagan.
Keling, tizimga yechim topish yo'llarini ko'rib chiqaylik.
CHIZIQLI TENGLAMALAR TIZIMLARINI YECHISHNING MATRIX USULI
Matritsalar chiziqli tenglamalar tizimini qisqacha yozish imkonini beradi. Uchta noma’lumli 3 ta tenglamalar sistemasi berilsin:
Tizim matritsasini ko'rib chiqing 
va noma'lum va erkin shartlarning matritsalar ustunlari 
Keling, ishni topaylik
bular. mahsulot natijasida biz ushbu tizim tenglamalarining chap tomonlarini olamiz. Keyin, matritsa tengligining ta'rifidan foydalanib, bu tizimni shaklda yozish mumkin
yoki qisqaroq A∙X=B.
Mana matritsalar A Va B ma'lum va matritsa X noma'lum. Uni topish kerak, chunki... uning elementlari bu tizimning yechimidir. Bu tenglama deyiladi matritsa tenglamasi.
Matritsa determinanti noldan farqli bo'lsin | A| ≠ 0. U holda matritsa tenglamasi quyidagicha yechiladi. Chapdagi tenglamaning ikkala tomonini matritsaga ko'paytiring A-1, matritsaga teskari A: . Chunki A -1 A = E Va E∙X = X, keyin matritsali tenglamaning yechimini shaklda olamiz X = A -1 B .
Esda tutingki, teskari matritsani faqat kvadrat matritsalar uchun topish mumkinligi sababli, matritsa usuli faqat shunday tizimlarni hal qilishi mumkin. tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri keladi. Biroq, tizimning matritsali yozuvi, agar tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lmasa, matritsa ham mumkin. A kvadrat bo'lmaydi va shuning uchun shaklda tizimga yechim topish mumkin emas X = A -1 B.
Misollar. Tenglamalar tizimini yechish.
KRAMER QOIDASI
Uchta noma'lumli 3 ta chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:
Tizim matritsasiga mos keladigan uchinchi darajali determinant, ya'ni. noma'lumlar uchun koeffitsientlardan iborat,
chaqirdi tizimning hal qiluvchi omili.
Yana uchta aniqlovchini quyidagicha tuzamiz: D determinantidagi ketma-ket 1, 2 va 3 ustunlarni erkin shartlar ustuni bilan almashtiring.
Keyin quyidagi natijani isbotlashimiz mumkin.
Teorema (Kramer qoidasi). Agar tizimning determinanti D ≠ 0 bo'lsa, ko'rib chiqilayotgan tizim bitta va faqat bitta yechimga ega va
Isbot. Shunday qilib, uchta noma'lumli 3 ta tenglama tizimini ko'rib chiqamiz. Sistemaning 1- tenglamasini algebraik to‘ldiruvchiga ko‘paytiramiz A 11 element a 11, 2- tenglama – yoqilgan A 21 va uchinchisi - yoqilgan A 31:
Keling, ushbu tenglamalarni qo'shamiz:
Keling, qavslarning har birini va bu tenglamaning o'ng tomonini ko'rib chiqaylik. 1-ustun elementlarida determinantning kengayishi haqidagi teorema bo'yicha
Xuddi shunday, buni va ko'rsatish mumkin.
Nihoyat, buni sezish oson 
Shunday qilib, biz tenglikni olamiz: .
Demak, .
Teorema bayoni kelib chiqadigan va tengliklari o'xshash tarzda olingan.
Shunday qilib, shuni ta'kidlaymizki, agar tizimning determinanti D ≠ 0 bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va aksincha. Agar tizimning determinanti nolga teng bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki hech qanday yechimga ega emas, ya'ni. mos kelmaydigan.
Misollar. Tenglamalar tizimini yechish
GAUSS USULI
Oldin muhokama qilingan usullardan faqat tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri keladigan va tizimning determinanti noldan farqli bo'lishi kerak bo'lgan tizimlarni echish uchun ishlatilishi mumkin. Gauss usuli ko'proq universal va har qanday tenglamalar soniga ega tizimlar uchun mos keladi. Bu tizim tenglamalaridan noma'lumlarni izchil yo'q qilishdan iborat.
Yana uchta noma'lumli uchta tenglama tizimini ko'rib chiqing:
.
Biz birinchi tenglamani o'zgarishsiz qoldiramiz va 2 va 3-dan iborat bo'lgan shartlarni chiqarib tashlaymiz. x 1. Buning uchun ikkinchi tenglamani ga bo'ling A 21 va ko'paytiring - A 11 va keyin uni 1-tenglamaga qo'shing. Xuddi shunday, biz uchinchi tenglamani ga ajratamiz A 31 va ko'paytiring - A 11 va keyin uni birinchisi bilan qo'shing. Natijada, asl tizim quyidagi shaklga ega bo'ladi:
Endi oxirgi tenglamadan biz o'z ichiga olgan atamani olib tashlaymiz x 2. Buning uchun uchinchi tenglamani ga bo'ling, ko'paytiring va ikkinchisiga qo'shing. Keyin biz tenglamalar tizimiga ega bo'lamiz:
Bu erdan, oxirgi tenglamadan topish oson x 3, keyin 2-tenglamadan x 2 va nihoyat, 1-dan - x 1.
Gauss usulidan foydalanganda, agar kerak bo'lsa, tenglamalarni almashtirish mumkin.
Ko'pincha, yangi tenglamalar tizimini yozish o'rniga, ular tizimning kengaytirilgan matritsasini yozish bilan cheklanadi:
va keyin elementar transformatsiyalar yordamida uni uchburchak yoki diagonal shaklga keltiring.
TO elementar transformatsiyalar matritsalar quyidagi o'zgarishlarni o'z ichiga oladi:
- satrlar yoki ustunlarni qayta tartiblash;
- satrni noldan boshqa raqamga ko'paytirish;
- bir qatorga boshqa qatorlarni qo'shish.
Misollar: Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini yeching.
Shunday qilib, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.
BILAN n noma'lum shakldagi tizimdir:
Qayerda a ij Va b i (i=1,…,m; b=1,…,n)- ba'zi ma'lum raqamlar, va x 1 ,…,x n- noma'lum raqamlar. Koeffitsientlarni belgilashda a ij indeks i tenglamaning sonini aniqlaydi, ikkinchisi esa j- bu koeffitsient joylashgan noma'lum raqam.
Bir hil tizim - tizimning barcha bepul shartlari nolga teng bo'lganda ( b 1 = b 2 = … = b m = 0), aksincha vaziyat heterojen tizim.
Kvadrat tizim - raqam qachon m tenglamalar songa teng n noma'lum.
Tizimli yechim- umumiylik n raqamlar c 1, c 2, …, c n, shunday qilib, hammasini almashtirish c i o'rniga x i tizimga uning barcha tenglamalarini identifikatsiyaga aylantiradi.
Qo'shma tizim - tizimda kamida 1 ta yechim mavjud bo'lganda va kooperativ bo'lmagan tizim tizimda hech qanday yechim bo'lmaganda.
Ushbu turdagi qo'shma tizim (yuqorida berilganidek, (1) bo'lsin) bir yoki bir nechta echimga ega bo'lishi mumkin.
Yechimlar c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) Va c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2)(1) turdagi qo'shma tizimlar bo'ladi har xil, hatto 1 ta tenglik bajarilmasa:
c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .
(1) turdagi qo'shma tizim bo'ladi aniq u faqat bitta yechimga ega bo'lsa; tizim kamida 2 xil yechimga ega bo'lsa, u bo'ladi kam aniqlangan. Noma'lumlardan ko'proq tenglamalar bo'lsa, tizim shunday bo'ladi qayta belgilangan.
Noma'lumlar uchun koeffitsientlar matritsa shaklida yoziladi:
U deyiladi tizim matritsasi.
Tenglamalarning o'ng tomonida ko'rinadigan raqamlar b 1 ,…,b m bor bepul a'zolar.
Jamiyat n raqamlar c 1 ,…,c n sistemaning barcha tenglamalari ulardagi raqamlar almashtirilgandan keyin teng bo'lganda, bu tizimning yechimidir c 1 ,…,c n mos keladigan noma'lumlar o'rniga x 1 ,…,x n.
Chiziqli tenglamalar tizimini echishda 3 ta variant paydo bo'lishi mumkin:
1. Tizim faqat bitta yechimga ega.
2. Tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Masalan, . Ushbu tizimning yechimi belgisi bilan farq qiluvchi barcha juft raqamlar bo'ladi.
3. Tizimda hech qanday yechim yo'q. Masalan Agar yechim mavjud bo'lsa, unda x 1 + x 2 bir vaqtning o'zida 0 va 1 ga teng bo'ladi.
Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish usullari.
To'g'ridan-to'g'ri usullar aniq yechim topiladigan algoritmni keltiring SLAU(chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari). Va agar aniqlik mutlaq bo'lganida edi, ular buni topdilar. Haqiqiy elektr kompyuter, albatta, xato bilan ishlaydi, shuning uchun yechim taxminiy bo'ladi.
- Tizimlar m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish- bu raqamlar to'plami ( x 1 , x 2 , …, x n), tizimning har bir tenglamasiga almashtirilganda to'g'ri tenglik olinadi.
Qayerda a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— tizim koeffitsientlari;
b i , i = 1, …, m- bepul a'zolar;
x j , j = 1, …, n- noma'lum.
Yuqoridagi tizim matritsa shaklida yozilishi mumkin: A X = B,
qayerda ( A|B) tizimning asosiy matritsasi hisoblanadi;
A— kengaytirilgan tizim matritsasi;
X- noma'lumlar ustuni;
B— bepul a'zolar ustuni.
Agar matritsa B null matritsa ∅ emas, u holda bu chiziqli tenglamalar tizimi bir jinsli emas deb ataladi.
Agar matritsa B= ∅ bo'lsa, bu chiziqli tenglamalar tizimi bir jinsli deb ataladi. Bir hil tizim har doim nol (arzimas) yechimga ega: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Chiziqli tenglamalarning qo'shma tizimi yechimga ega chiziqli tenglamalar sistemasidir.
Chiziqli tenglamalarning nomuvofiq tizimi chiziqli tenglamalarning yechilmaydigan tizimidir.
Chiziqli tenglamalarning ma'lum bir tizimi yagona yechimga ega chiziqli tenglamalar sistemasidir.
Chiziqli tenglamalarning noaniq sistemasi cheksiz sonli yechimga ega chiziqli tenglamalar sistemasidir. - n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemalari
Agar noma'lumlar soni tenglamalar soniga teng bo'lsa, matritsa kvadrat bo'ladi. Matritsaning determinanti chiziqli tenglamalar tizimining asosiy determinanti deb ataladi va D belgisi bilan belgilanadi.
Kramer usuli tizimlarini hal qilish uchun n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum.
Kramer qoidasi.
Agar chiziqli tenglamalar tizimining asosiy determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda tizim izchil va aniqlangan bo'lib, yagona yechim Kramer formulalari yordamida hisoblanadi:
Bu yerda D i sistemaning asosiy determinantidan D ni almashtirish orqali olingan determinantlar. i th ustunidan bepul a'zolar ustuniga. . - n ta noma’lumli m chiziqli tenglamalar sistemalari
Kroneker-Kapelli teoremasi.
Berilgan chiziqli tenglamalar tizimi izchil bo'lishi uchun tizim matritsasi darajasi tizimning kengaytirilgan matritsasining darajasiga teng bo'lishi zarur va etarli, rang (a) = chalindi (Α|B).
Agar jiringladi(A) ≠ jiringladi(A|B), keyin tizimda hech qanday yechim yo'qligi aniq.
Agar rang (a) = chalindi (Α|B), keyin ikkita holat mumkin:
1) daraja (a) = n(noma'lumlar soni) - yechim noyob va uni Kramer formulalari yordamida olish mumkin;
2) daraja (a)< n - cheksiz ko'p echimlar mavjud. - Gauss usuli chiziqli tenglamalar tizimini yechish uchun
Kengaytirilgan matritsa yarataylik ( A|B) noma'lumlar va o'ng tomonlarning koeffitsientlaridan berilgan tizimning.
Gauss usuli yoki noma'lumlarni yo'q qilish usuli kengaytirilgan matritsani qisqartirishdan iborat ( A|B) satrlar ustida diagonal shaklga (yuqori uchburchak shaklga) elementar o'zgartirishlardan foydalanish. Tenglamalar tizimiga qaytsak, barcha noma'lumlar aniqlanadi.
Satrlar ustidagi elementar transformatsiyalar quyidagilardan iborat:
1) ikkita qatorni almashtiring;
2) satrni 0 dan boshqa raqamga ko'paytirish;
3) satrga ixtiyoriy songa ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shish;
4) nol chiziqni tashlash.
Diagonal shaklga qisqartirilgan kengaytirilgan matritsa berilganga ekvivalent chiziqli tizimga mos keladi, uning yechimi qiyinchilik tug'dirmaydi. . - Bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi.
Bir hil tizim quyidagi shaklga ega:
matritsa tenglamasiga mos keladi A X = 0.
1) Bir hil tizim har doim izchil bo'ladi, chunki r(A) = r(A|B), har doim nol yechim mavjud (0, 0, …, 0).
2) Bir hil sistema nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lishi uchun bu zarur va etarli. r = r(A)< n , bu D = 0 ga teng.
3) Agar r< n , keyin aniq D = 0, keyin erkin noma'lumlar paydo bo'ladi c 1, c 2, …, c n-r, tizimda ahamiyatsiz bo'lmagan echimlar mavjud va ularning cheksiz ko'plari mavjud.
4) Umumiy yechim X da r< n matritsa shaklida quyidagicha yozish mumkin:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
echimlar qayerda X 1, X 2, …, X n-r yechimlarning asosiy tizimini tashkil qiladi.
5) Eritmalarning asosiy tizimini bir jinsli sistemaning umumiy yechimidan olish mumkin:
,
agar biz ketma-ket parametr qiymatlarini (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1) ga tenglashtirsak.
Yechimlarning fundamental tizimi nuqtai nazaridan umumiy yechimni kengaytirish fundamental sistemaga tegishli yechimlarning chiziqli birikmasi shaklidagi umumiy yechimning yozuvidir.
Teorema. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi nolga teng boʻlmagan yechimga ega boʻlishi uchun D ≠ 0 boʻlishi zarur va yetarli.
Demak, agar determinant D ≠ 0 bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega.
Agar D ≠ 0 bo'lsa, u holda chiziqli bir jinsli tenglamalar tizimi cheksiz ko'p echimlarga ega.
Teorema. Bir hil sistema nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lishi uchun bu zarur va yetarli r(A)< n .
Isbot:
1) r ortiq bo'lishi mumkin emas n(matritsaning darajasi ustunlar yoki satrlar sonidan oshmaydi);
2) r< n , chunki Agar r = n, keyin sistemaning asosiy determinanti D ≠ 0 va Kramer formulalariga ko'ra, noyob trivial yechim mavjud. x 1 = x 2 = … = x n = 0, bu shartga zid keladi. Ma'nosi, r(A)< n .
Natija. Bir hil tizim bo'lishi uchun n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lumlar nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lsa, D = 0 bo'lishi zarur va etarli.
