Keling, bir nechta misollar yordamida Ostrogradskiy-Gauss teoremasining imkoniyatlarini ko'rsatamiz.

Cheksiz bir xil zaryadlangan tekislikning maydoni

S maydonining ixtiyoriy tekisligidagi sirt zaryadining zichligi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

bu yerda dq - dS maydonida konsentrlangan zaryad; dS - jismoniy cheksiz kichik sirt maydoni.

S tekislikning hamma nuqtalarida s bir xil bo'lsin. Zaryad q musbat. Barcha nuqtalardagi kuchlanish tekislikka perpendikulyar yo'nalishga ega bo'ladi S(2.11-rasm).

Ko'rinib turibdiki, tekislikka nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtalarda kuchlanish kattaligi bo'yicha bir xil va yo'nalishi bo'yicha qarama-qarshi bo'ladi.

Generatorlari tekislikka perpendikulyar va asoslari D bo'lgan silindrni tasavvur qilaylik. S, tekislikka nisbatan nosimmetrik tarzda joylashgan (2.12-rasm).

	Guruch. 2.11	Guruch. 2.12

Keling, Ostrogradskiy-Gauss teoremasini qo'llaymiz. Silindr yuzasining yon tomoni orqali F E oqimi nolga teng, chunki silindr asosi uchun

Yopiq sirt (tsilindr) orqali umumiy oqim quyidagilarga teng bo'ladi:

Sirt ichida zaryad bor. Shunday qilib, Ostrogradskiy-Gauss teoremasidan biz quyidagilarni olamiz:

;

shundan ko'rinib turibdiki, S tekisligining maydon kuchi quyidagilarga teng:

(2.5.1)

Olingan natija silindrning uzunligiga bog'liq emas. Bu shuni anglatadiki, samolyotdan har qanday masofada

Ikki bir xil zaryadlangan samolyotlar maydoni

Ikki cheksiz tekislik bir xil zichlikdagi qarama-qarshi zaryadlar bilan zaryadlangan bo'lsin s (2.13-rasm).

Olingan maydon, yuqorida aytib o'tilganidek, har bir tekislik tomonidan yaratilgan maydonlarning superpozitsiyasi sifatida topiladi.

Keyin samolyotlar ichida

(2.5.2)

Samolyotlardan tashqarida maydon kuchi

Olingan natija cheklangan o'lchamdagi tekisliklar uchun ham amal qiladi, agar tekisliklar orasidagi masofa tekisliklarning chiziqli o'lchamlaridan (tekis kondansatör) ancha kam bo'lsa.

Kondensator plitalari o'rtasida o'zaro tortishish kuchi mavjud (plastinkalarning birlik maydoniga):

Bu erda S - kondansatör plitalarining maydoni. Chunki , Bu

.

(2.5.5)

Bu fikr yurituvchi kuchni hisoblash uchun formuladir.

Zaryadlangan cheksiz uzun silindrning maydoni (ip)

Maydon cheksiz yaratilsin silindrsimon sirt radiusi R, doimiy chiziqli zichlik bilan zaryadlangan, bu erda dq - silindrning segmentida to'plangan zaryad (2.14-rasm).

Simmetriya mulohazalaridan kelib chiqadiki, E har qanday nuqtada silindr o'qiga perpendikulyar radius bo'ylab yo'naltiriladi.

Tsilindr (ip) atrofida tasavvur qiling. koaksiyal yopiq sirt ( silindr ichidagi silindr) radius r va uzunligi l (silindrlarning asoslari o'qga perpendikulyar). Yon sirt uchun silindrli tagliklar uchun ya'ni. masofaga bog'liq r.

Binobarin, ko'rib chiqilayotgan sirt orqali vektor oqimi teng

Qachon sirtda zaryad bo'ladi Ostrogradskiy-Gauss teoremasiga ko'ra, demak

.

(2.5.6)

Agar , chunki Yopiq sirt ichida hech qanday zaryad yo'q (2.15-rasm).

Agar siz silindrning R radiusini kamaytirsangiz (da), u holda siz sirt yaqinida juda yuqori intensivlikka ega bo'lgan maydonni olishingiz va, da, ipni olishingiz mumkin.

Bir xil chiziqli zichlikka ega bo'lgan ikkita koaksiyal tsilindrning maydoni l, lekin boshqa belgi

Kichikroq ichida va kattaroq silindrlarning tashqarisida maydon bo'lmaydi (2.16-rasm).

Tsilindrlar orasidagi bo'shliqda maydon avvalgi holatda bo'lgani kabi aniqlanadi:

Bu cheksiz uzunlikdagi silindrlar uchun ham, silindrlar orasidagi bo'shliq silindrlarning uzunligidan (silindrsimon kondansatör) ancha kam bo'lsa, cheklangan uzunlikdagi silindrlar uchun ham amal qiladi.

Zaryadlangan ichi bo'sh to'pning maydoni

Radiusi R bo'lgan ichi bo'sh shar (yoki shar) sirt zichligi s bo'lgan musbat zaryad bilan zaryadlangan. Bu holda maydon markaziy nosimmetrik bo'ladi - har qanday nuqtada u to'pning markazidan o'tadi. , Va elektr uzatish liniyalari har qanday nuqtada sirtga perpendikulyar. Koptok atrofida r radiusli sharni tasavvur qilaylik (2.17-rasm).

Maydon salohiyati

Maydon salohiyati

Maydon salohiyati

maydon potentsiallari

Potentsial elektr maydoni bir nuqtada Q nuqta zaryadi:

Zaryadlangan cheksiz uzun silindrning maydoni (ip)

Maydon cheksiz silindr tomonidan yaratilsin radiusi R yuzasi, doimiy chiziqli zichlik bilan zaryadlangan, bu erda d q– silindrning bir qismida to'plangan zaryad (2.14-rasm).

Simmetriya mulohazalari shundan kelib chiqadi E har qanday nuqtada silindrning o'qiga perpendikulyar radius bo'ylab yo'naltirilgan bo'ladi.

Tsilindr (ip) atrofida tasavvur qiling. koaksiyal yopiq sirt ( silindr ichidagi silindr) radius r va uzunligi l(silindrlarning asoslari o'qga perpendikulyar). Yon sirt uchun silindrli tagliklar uchun ya'ni. masofaga bog'liq r.

Binobarin, ko'rib chiqilayotgan sirt orqali vektor oqimi teng

Qachon sirtda zaryad bo'ladi Ostrogradskiy-Gauss teoremasiga ko'ra, demak

.

(2.5.6)

Agar , chunki Yopiq sirt ichida hech qanday zaryad yo'q (2.15-rasm).

Agar silindrning radiusini kamaytirsak R(da), u holda sirt yaqinida juda yuqori intensivlikka ega bo'lgan maydonni olish va, da, ipni olish mumkin.

27. Bir tekis zaryadlangan cheksiz tekislik tomonidan yaratilgan maydon potensiali.

Maydon salohiyati- bu maydonning energiya xarakteristikasi, musbat birlik zaryadi joylashtirilgan potentsial energiyani tavsiflaydi bu nuqta dalalar.

Birlik elektr potentsiali- volt (V).

Maydon salohiyati zaryadning potentsial energiyasining ushbu zaryadga nisbatiga teng:

Maydon salohiyati elektr maydonining energiya xarakteristikasi bo'lib, skalyar miqdor sifatida ijobiy yoki salbiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin.

Farq jismoniy ma'noga ega maydon potentsiallari, chunki zaryadni harakatlantirish uchun dala kuchlarining ishi u orqali ifodalanadi.

Bir xil zaryadlangan cheksiz tekislikning maydoni.

Yuzaki zaryad zichligi >0 kontseptsiyasini kiritamiz, son jihatdan birlik maydoni uchun zaryadga teng:

Fazoning bir xilligi va izotropligi tufayli bir xil zaryadlangan cheksiz tekislikning maydon chiziqlari unga perpendikulyar bo'lishi va bir xil zichlikka ega bo'lishi kerak, bu maydon bir xilligi ta'rifiga mos keladi. E=const. "Qulay" yopiq sirt sifatida biz tekis silindrni tanlaymiz, yon yuzasi bu kuch chiziqlariga parallel (uning hamma joyi 0 va shuning uchun u orqali o'tadigan oqim 0 ga teng) va S maydonining oxirgi sirtlari zaryadlangan tekislikka parallel (shuning uchun ularning hamma joyida) 1):

Bir xil maydon oqimi E unga perpendikulyar bo'lgan ikkala oxirgi sirt orqali S oddiygina teng E 2S va zaryadlangan sirtning S maydonida to'plangan zaryad S ga teng:

Yuzaki zaryad zichligi maydonga ega bo'lgan ixtiyoriy tekislikda S formula bilan aniqlanadi:

qaerda d q– d maydonida to'plangan zaryad S; d S- jismoniy cheksiz kichik sirt maydoni.

Tekislikning barcha nuqtalarida s bo'lsin S bir xil. Zaryadlash q- ijobiy. Barcha nuqtalardagi kuchlanish tekislikka perpendikulyar yo'nalishga ega bo'ladi S(2.11-rasm).

Ko'rinib turibdiki, tekislikka nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtalarda kuchlanish kattaligi bo'yicha bir xil va yo'nalishi bo'yicha qarama-qarshi bo'ladi.

Generatorlari tekislikka perpendikulyar va asoslari D bo'lgan silindrni tasavvur qilaylik. S, tekislikka nisbatan nosimmetrik tarzda joylashgan (2.12-rasm).

	Guruch. 2.11	Guruch. 2.12

Keling, Ostrogradskiy-Gauss teoremasini qo'llaymiz. Oqim F E silindr sirtining yon tomoni orqali nolga teng, chunki . Silindr asosi uchun

Yopiq sirt (tsilindr) orqali umumiy oqim quyidagilarga teng bo'ladi:

Sirt ichida zaryad bor. Shunday qilib, Ostrogradskiy-Gauss teoremasidan biz quyidagilarni olamiz:

;

undan ko'rish mumkinki, samolyotning maydon kuchi S teng:

Elektrostatik maydon mavjud muhim mulk: Zaryadni maydonning bir nuqtasidan ikkinchisiga o'tkazishda elektrostatik maydon kuchlarining ishi traektoriya shakliga bog'liq emas, faqat boshlang'ich va tugash nuqtalarining holati va zaryadning kattaligi bilan belgilanadi. Gravitatsion maydon ham xuddi shunday xususiyatga ega va bu ajablanarli emas, chunki tortishish va Kulon kuchlari bir xil munosabatlar bilan tavsiflanadi. Ishning traektoriya shaklidan mustaqilligining natijasi quyidagi bayonotdir: Har qanday yopiq traektoriya bo'ylab zaryadni harakatlantirganda elektrostatik maydon kuchlarining ishi nolga teng. Ushbu xususiyatga ega bo'lgan kuch maydonlari deyiladi salohiyat yoki konservativ. Shaklda. 1.4.2 nuqtaviy zaryadning Kulon maydonining maydon chiziqlarini ko'rsatadi Q va sinov zaryad harakatining ikki xil traektoriyasi q boshlang'ich nuqtadan (1) tugatish nuqtasiga (2). Traektoriyalardan birida kichik siljish Ish D ta'kidlangan A Bu siljishdagi Kulon kuchlari ga teng Olingan natija traektoriyaning shakliga bog'liq emas. Shaklda ko'rsatilgan I va II traektoriyalar bo'yicha. 1.4.2, Coulomb kuchlarining ishi bir xil. Agar siz traektoriyalardan birida zaryad harakati yo'nalishini o'zgartirsangiz q aksincha, keyin ish belgisi o'zgaradi. Bundan kelib chiqadiki, yopiq traektoriyada Kulon kuchlarining ishi nolga teng. Agar elektrostatik maydon nuqta zaryadlari to'plami tomonidan yaratilgan bo'lsa, u holda sinov zaryadi harakat qilganda q Ish A superpozitsiya printsipiga muvofiq hosil bo'lgan maydon nuqta zaryadlarining Kulon maydonlarining ishidan iborat bo'ladi: yig'indining har bir a'zosi traektoriya shakliga bog'liq emasligi sababli, u holda umumiy ish A Olingan maydon yo'ldan mustaqil bo'lib, faqat boshlang'ich va yakuniy nuqtalarning pozitsiyasi bilan belgilanadi. Elektrostatik maydonning potentsial xususiyati bizga kontseptsiyani kiritishga imkon beradi potentsial energiya elektr maydonida zaryadlash. Buning uchun fazoda ma'lum bir nuqta (0) tanlanadi va zaryadning potentsial energiyasi q, bu nuqtada joylashtirilgan, nolga teng qabul qilinadi. Potensial zaryad energiyasi q, bo'shliqning istalgan nuqtasida (1) joylashtirilgan, sobit nuqtaga (0) nisbatan ish bilan teng A 10, zaryadni ko'chirishda elektrostatik maydon hosil qiladi q(1) nuqtadan (0) nuqtaga: V p1 = A 10 . (Elektrostatikada energiya odatda harf bilan belgilanadi V, xatdan beri E maydon kuchini bildiring.) Xuddi mexanikada bo'lgani kabi, potentsial energiya ham aniqlik bilan aniqlanadi doimiy qiymat, mos yozuvlar nuqtasini tanlashga qarab (0). Potensial energiya ta'rifidagi bunday noaniqlik hech qanday tushunmovchilikka olib kelmaydi, chunki jismoniy ma'no potentsial energiyaning o'zi emas, balki kosmosdagi ikki nuqtadagi qiymatlaridagi farqga ega. Sizning fikringiz biz uchun muhim! Chop etilgan material foydali bo'ldimi? Ha | Yo'q SAYTDAN QIDIRISH:

Jidkevich V.I. Samolyotning elektr maydoni // Fizika: hisoblash muammolari. - 2009. - No 6. - B. 19-23.

Elektrostatikadagi muammolarni ikki guruhga bo'lish mumkin: nuqta zaryadlari bilan bog'liq masalalar va o'lchamlarini e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydigan zaryadlangan jismlar haqidagi masalalar.

Elektr maydonlarini va nuqtaviy zaryadlarning o'zaro ta'sirini hisoblash masalalarini hal qilish Kulon qonunini qo'llashga asoslanadi va hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi. Maydon kuchini va cheklangan o'lchamdagi zaryadlangan jismlarning o'zaro ta'sirini aniqlash qiyinroq: shar, silindr, tekislik. Har xil konfiguratsiyadagi elektrostatik maydonlarning kuchini hisoblashda superpozitsiya printsipining ahamiyatini ta'kidlash va nafaqat nuqta zaryadlari, balki sirt va hajm bo'ylab taqsimlangan zaryadlar tomonidan yaratilgan maydonlarni ko'rib chiqishda foydalanish kerak. Maydonning zaryadga ta'sirini ko'rib chiqishda formula F=qE V umumiy holat nuqta zaryadlangan jismlar uchun amal qiladi va faqat zaryad olib yuruvchi har qanday o'lcham va shakldagi jismlarga tegishli bo'lgan yagona maydonda q.

Kondensatorning elektr maydoni har bir plastinka tomonidan yaratilgan ikkita maydonning superpozitsiyasidan kelib chiqadi.

Yassi kondansatörda bitta plitani zaryadga ega bo'lgan tana deb hisoblash mumkinq 1intensivlikdagi elektr maydoniga joylashtirilgan E 2, boshqa plastinka tomonidan yaratilgan.

Keling, bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.

1. Cheksiz tekislik sirt zichligi bilan zaryadlangan σ >0. Maydon kuchini toping E va salohiyat ϕ tekislikning potentsialini nolga tengligini hisobga olgan holda, samolyotning har ikki tomonida. Bog'liqlik grafiklarini yarating E(x), ϕ (X). x o'qi tekislikka perpendikulyar, x=0 nuqta tekislikda yotadi.

Yechim. Cheksiz tekislikning elektr maydoni tekislikka nisbatan bir xil va simmetrikdir. Uning orasidagi keskinlik bir xil elektrostatik maydonning ikki nuqtasi orasidagi intensivlik va potentsial farq formula bilan ifodalanadi qaerda x - maydon chizig'i bo'ylab o'lchanadigan nuqtalar orasidagi masofa. Keyin ϕ 2 = ϕ 1 -Masalan. x da<0 при х>0 bog'liqliklari E(x) va ϕ (x) 1-rasmda keltirilgan.

2. Qisqa masofada joylashgan ikkita tekislik-parallel yupqa plitalar d bir-biridan, sirt zichligi zaryadi bilan bir xilda zaryadlangan s 1 va s 2. Plitalar orasidagi va tashqi tomondan joylashgan nuqtalarda maydon kuchlarini toping. Voltajga bog'liqlik grafigini tuzing E(x) va potentsial ϕ (x), hisoblash ϕ (0)=0. Quyidagi holatlarni ko'rib chiqing: a) s 1 = -s 2 ; b) s 1 = s 2; c) s 1 =3 s 2 -

Yechim. Plitalar orasidagi masofa kichik bo'lgani uchun ularni cheksiz tekisliklar deb hisoblash mumkin.

Musbat zaryadlangan tekislikning maydon kuchi teng va boshqargan undan; manfiy zaryadlangan tekislikning maydon kuchi unga qaratilgan.

Superpozitsiya printsipiga ko'ra, ko'rib chiqilayotgan har qanday nuqtadagi maydon har bir zaryad tomonidan alohida yaratiladi.

a) Teng va qarama-qarshi ishorali zaryadlar bilan zaryadlangan ikkita tekislikning (tekis kondansatör) maydonlari tekisliklar orasidagi mintaqaga qo'shiladi va bir-birini bekor qiladi. tashqi hududlar(2-rasm, A).

Da X<0 E= 0, ϕ =0; 0 da d E= 0, Grafiklar kuchlanish va potentsialning masofaga bog'liqligi X 2-rasmda ko'rsatilgan, b, c.

Agar tekisliklar cheklangan o'lchamli bo'lsa, u holda tekisliklar orasidagi maydon qat'iy bir xil bo'lmaydi va tekisliklardan tashqaridagi maydon aniq nolga teng bo'lmaydi.

b) kattaligi va ishorasi teng zaryadlar bilan zaryadlangan tekisliklar maydonlari s 1 = s 2 ), tekisliklar orasidagi bo'shliqda bir-birini to'ldiring va tashqi hududlarda qo'shing (3-rasm, A). x da<0 при 0d

Grafikdan foydalanish E(x) (3-rasm, b), bog`liqlikning sifat grafigini tuzamiz ϕ (x) (3-rasm, c).

c) Agar s 1 = s bo'lsa 2, keyin maydonlarning yo'nalishlarini hisobga olgan holda va o'ngga yo'nalishni ijobiy deb tanlab, biz quyidagilarni topamiz:

E kuchlanishning masofaga bog'liqligi 4-rasmda ko'rsatilgan.

3. Imkoniyatga ega bo'lgan tekis kondansatkichning plitalaridan birida BILAN to'lov borq 1=+3q, va boshqa tomondan q 2 =+ q. Kondensator plitalari orasidagi potentsial farqni aniqlang.

Yechim. 1-usul. Kondensator plitasining maydoni bo'lsin S, va ular orasidagi masofa d. Kondensator ichidagi maydon bir xil, shuning uchun kondansatör bo'ylab potentsial farq (kuchlanish) formula bilan aniqlanishi mumkin. U=E*d, bu yerda E - kondansatör ichidagi maydon kuchi.

bu erda E 1, E 2 - kondansatör plitalari tomonidan yaratilgan maydon kuchi.

Keyin

2-usul. Har bir plastinkaga to'lov qo'shing Keyin plitalar kondensatsiyalanadi satora to'lovlarga ega bo'ladi + q va -q. Kondensator ichidagi plitalarning bir xil zaryadlari maydonlari bir-birini bekor qiladi. Qo'shilgan zaryadlar plitalar orasidagi maydonni va shuning uchun potentsial farqni o'zgartirmadi kondansatör. U= q/C .

4. Zaryadlanmagan yassi kondansatör plitalari orasidagi bo'shliqqa zaryad + bo'lgan yupqa metall plastinka qo'yilgan. q. Kondensator plitalari orasidagi potentsial farqni aniqlang.

Yechim. Kondensator zaryadlanmaganligi sababli, elektr maydoni faqat zaryadga ega bo'lgan plastinka orqali hosil bo'ladi q (5-rasm). Bu maydon plastinkaga va uning intensivligiga nisbatan bir xil, simmetrikdirMetall plastinkaning salohiyati bo'lsin ϕ . Keyin plitalarning potentsiallari A Va IN kondansatörler teng bo'ladi ϕ- s A = ϕ El 1; s A = s-El 1 ; ϕ- s B = s-El 2 ; s B = s-El 2 .

Kondensator plitalari orasidagi potentsial farqAgar plastinka kondansatör plitalaridan bir xil masofada joylashgan bo'lsa, unda plitalar orasidagi potentsial farq nolga teng.

5. Intensivlikning yagona elektr maydonida E 0 zaryadlangan metall plastinka plastinkaning har bir tomoni yuzasida zaryad zichligi bilan kuch chiziqlariga perpendikulyar joylashtirilgan. σ (6-rasm). Maydon kuchini aniqlang E" plastinka ichida va tashqarisida va sirt zaryadining zichligi s 1 va s 2 , bu plastinkaning chap va o'ng tomonida paydo bo'ladi.

Yechim. Plastinka ichidagi maydon nolga teng va uchta maydonning superpozitsiyasidir: tashqi maydon E 0, plastinkaning chap tomonidagi zaryadlar tomonidan yaratilgan maydon va plastinkaning o'ng tomonidagi zaryadlar tomonidan yaratilgan maydon. Demak,bu yerda s 1 va s 2 - plastinkaning chap va o'ng tomonidagi sirt zaryadining zichligi, plastinka maydonga kiritilgandan keyin paydo bo'ladi. E 0. Plastinkadagi umumiy zaryad o'zgarmaydi, shuning uchun s 1 + s 2 =2 s, bu yerdan s 1 = s- e 0 E 0 , s 2 = s + e 0 E 0 . Plastinaning tashqarisidagi maydon maydonning superpozitsiyasidir E 0 va zaryadlangan plastinka maydonlari E. ning chap tomonida plitalar Plitaning o'ng tomoni

6. Yassi havo kondensatorida maydon kuchi E = 10 4 V / m ga teng. Plitalar orasidagi masofa d= 2 sm.Plastinkalar orasiga qalinlikdagi metall qatlam qo'yilsa, potentsiallar farqi nimaga teng bo'ladi?d 0=0,5 sm (7-rasm)?

Yechim. Plitalar orasidagi elektr maydoni bir xil bo'lgani uchun, demak U=Ed, U=200 V.

Agar siz plitalar orasiga metall varaqni belgilasangiz, siz plitalar orasidagi masofaga ega ikkita ketma-ket ulangan kondansatör tizimini olasiz.d 1 va d2. Ushbu kondensatorlarning quvvatlariUlarning umumiy quvvati

Kondensator oqim manbaidan uzilganligi sababli, metall qatlam qo'shilganda kondansatör zaryadi o'zgarmaydi: q"=CU=S"U 1; kondensator quvvati qayerda ichiga metall qatlam qo'shishdan oldin sator. Biz olamiz:

U 1= 150 V.

7. Plitalar ustida A va C, masofada parallel joylashgan d= 8 sm masofada, potentsiallar saqlanadi s 1= 60 V va s 2 =- 60 V mos ravishda. Ularning orasiga tuproqli plastinka qo'yildi D A plitasidan d 1 = 2 sm masofada. AD va bo'limlarda maydon kuchi qanchalik o'zgargan CD? Bog'liqlik grafiklarini yarating ϕ (x) va E(x).

Yuzaki zaryad zichligi bilan zaryadlangan cheksiz tekislik: cheksiz tekislik tomonidan yaratilgan elektr maydon kuchini hisoblash uchun biz fazoda silindrni tanlaymiz, uning o'qi zaryadlangan tekislikka perpendikulyar va asoslari unga parallel va bitta bazalarning bizni qiziqtirgan maydon nuqtasi orqali o'tadi. Gauss teoremasiga ko'ra, elektr maydon kuchi vektorining yopiq sirt orqali o'tishi quyidagilarga teng:

F=, boshqa tomondan u ham: F=E

Tenglamalarning o'ng tomonlarini tenglashtiramiz:

Zaryadning sirt zichligi orqali = - ni ifodalaymiz va elektr maydon kuchini topamiz:

Bir xil sirt zichligiga ega qarama-qarshi zaryadlangan plitalar orasidagi elektr maydon kuchini topamiz:

(3)

Plitalar tashqarisidagi maydonni topamiz:

; ; (4)

Zaryadlangan sharning maydon kuchi

(1)

F= (2) Gauss nuqtasi

r uchun< R

; , chunki (sferada hech qanday zaryad yo'q)

r = R uchun

( ; ; )

r > R uchun

To'pning butun hajmi bo'ylab bir xil zaryadlangan to'p tomonidan yaratilgan maydon kuchi

Hajmi zaryad zichligi,

to'p bo'ylab taqsimlanadi:

r uchun< R

( ; F= )

r = R uchun

r > R uchun

Zaryadni ko'chirish uchun ELEKTROSTATIK MAYDON ishi

Elektrostatik maydon- elektron pochta statsionar zaryad maydoni.
Fel, zaryadga qarab harakat qiladi, uni harakatga keltiradi, ish bajaradi.
Yagona elektr maydonida Fel = qE doimiy qiymatdir

Ish maydoni (el. kuch) bog'liq emas traektoriyaning shakli bo'yicha va yopiq traektoriya bo'yicha = nolga teng.

Agar Q nuqta zaryadining elektrostatik maydonida boshqa bir nuqta zaryadi Q 0 har qanday traektoriya bo‘ylab 1-nuqtadan 2-nuqtaga harakat qilsa (1-rasm), u holda zaryadga qo‘llaniladigan kuch ma’lum ishlarni bajaradi. F kuchning elementar siljishida dl bajargan ish dan beri d ga teng l/cosa=dr, keyin Q 0 zaryadini 1 nuqtadan 2 nuqtaga (1) ko'chirishda ish harakat traektoriyasiga bog'liq emas, balki faqat dastlabki 1 va oxirgi 2 nuqtalarning pozitsiyalari bilan belgilanadi. Demak, nuqtaviy zaryadning elektrostatik maydoni potentsial, elektrostatik kuchlar esa konservativdir.(1) formuladan ko'rinib turibdiki, elektr zaryadi tashqi elektrostatik maydonda ixtiyoriy yopiq yo'l L bo'ylab harakat qilganda bajariladigan ish. nolga teng, ya'ni. (2) Agar elektrostatik maydonda harakatlanuvchi zaryad sifatida bir nuqtali musbat zaryadni olsak, u holda dl yo‘l bo‘ylab maydon kuchlarining elementar ishi Edl = E ga teng bo‘ladi. l d l, bu erda E l= Ekosa - E vektorning elementar siljish yo'nalishiga proyeksiyasi. Keyin formula (2) quyidagicha ifodalanishi mumkin (3) Integral kuchlanish vektorining aylanishi deyiladi. Bu shuni anglatadiki, har qanday yopiq kontur bo'ylab elektrostatik maydon kuchi vektorining aylanishi nolga teng. (3) xossaga ega bo'lgan kuch maydoniga potentsial deyiladi. E vektorining aylanishi nolga teng ekanligidan kelib chiqadiki, elektrostatik maydon kuchlarining chiziqlarini yopib bo'lmaydi, ular majburiy ravishda zaryadlardan boshlanadi va tugaydi (ijobiy yoki manfiy) yoki cheksizlikka boradi. Formula (3) faqat elektrostatik maydon uchun amal qiladi. Keyinchalik, harakatlanuvchi zaryadlar maydonida (3) shart to'g'ri emasligi ko'rsatiladi (buning uchun intensivlik vektorining aylanishi nolga teng emas).

Elektrostatik maydon uchun aylanma teorema.

Elektrostatik maydon markaziy bo'lganligi sababli, bunday maydondagi zaryadga ta'sir qiluvchi kuchlar konservativdir. Bu maydon kuchlarining birlik zaryadda hosil qiladigan elementar ishni ifodalaganligi sababli, yopiq halqadagi konservativ kuchlarning ishi tengdir.

Potentsial

"Zaryad - elektrostatik maydon" yoki "zaryad - zaryad" tizimi potensial energiyaga ega, xuddi "tortishish maydoni - tana" tizimi potensial energiyaga ega.

Maydonning energiya holatini tavsiflovchi fizik skalyar miqdor deyiladi salohiyat maydonda berilgan nuqta. Zaryad q maydonga joylashtirilgan, u potentsial energiyaga ega W. Potensial elektrostatik maydonning xarakteristikasi.

Mexanikadagi potentsial energiyani eslaylik. Tana erda bo'lganda potentsial energiya nolga teng. Va tana ma'lum bir balandlikka ko'tarilganda, tananing potentsial energiyasi borligi aytiladi.

Elektrdagi potentsial energiyaga kelsak, potentsial energiyaning nol darajasi yo'q. U tasodifiy tanlanadi. Demak, potentsial nisbiy jismoniy miqdordir.

Potensial maydon energiyasi zaryadni maydonning ma'lum nuqtasidan potentsial nol nuqtaga ko'chirishda elektrostatik kuch tomonidan bajariladigan ishdir.

Elektr zaryadi Q tomonidan elektrostatik maydon hosil bo'lgan maxsus holatni ko'rib chiqaylik. Bunday maydonning potentsialini o'rganish uchun unga q zaryadini kiritishning hojati yo'q. Q zaryadidan r masofada joylashgan bunday maydondagi istalgan nuqtaning potentsialini hisoblashingiz mumkin.

Muhitning dielektrik o'tkazuvchanligi ma'lum qiymatga ega (jadval) va maydon mavjud bo'lgan muhitni tavsiflaydi. Havo uchun u birlikka teng.

Potensial farq

Maydonning zaryadni bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga o'tkazish uchun bajargan ishi potensiallar farqi deyiladi

Ushbu formula boshqa shaklda taqdim etilishi mumkin

Superpozitsiya printsipi

Bir nechta zaryad tomonidan yaratilgan maydonning potentsiali har bir maydon maydonlari potentsiallarining algebraik (potentsial belgisini hisobga olgan holda) yig'indisiga teng.

Bu statsionar nuqta zaryadlari tizimining energiyasi, yakka zaryadlangan o'tkazgichning energiyasi va zaryadlangan kondensatorning energiyasi.

Agar ikkita zaryadlangan o'tkazgich (kondensator) tizimi mavjud bo'lsa, u holda tizimning umumiy energiyasi o'tkazgichlarning o'z potentsial energiyalari va ularning o'zaro ta'sir qilish energiyasi yig'indisiga teng bo'ladi:

Elektrostatik maydon energiyasi nuqtaviy zaryadlar tizimi quyidagilarga teng:

Bir tekis zaryadlangan samolyot.
Yuzaki zaryad zichligi bilan zaryadlangan cheksiz tekislik tomonidan yaratilgan elektr maydon kuchini Gauss teoremasi yordamida hisoblash mumkin.

Simmetriya shartlaridan vektor E hamma joyda tekislikka perpendikulyar. Bundan tashqari, tekislikka nisbatan simmetrik nuqtalarda vektor E hajmi bo'yicha bir xil va yo'nalishi bo'yicha qarama-qarshi bo'ladi.
Yopiq sirt sifatida biz o'qi tekislikka perpendikulyar bo'lgan va rasmda ko'rsatilganidek, asoslari tekislikka nisbatan simmetrik joylashgan silindrni tanlaymiz.
Kuchlanish chiziqlari silindrning yon yuzasining generatrislariga parallel bo'lganligi sababli, yon sirt orqali oqim nolga teng. Shuning uchun vektor oqimi E silindr yuzasi orqali

,

silindr asosining maydoni qayerda. Silindr samolyotdan zaryadni kesib tashlaydi. Agar tekislik nisbiy dielektrik o'tkazuvchanlikka ega bir hil izotrop muhitda bo'lsa, u holda

Maydon kuchi tekisliklar orasidagi masofaga bog'liq bo'lmasa, bunday maydon bir xil deb ataladi. Bog'liqlik grafigi E (x) samolyot uchun.

Masofada joylashgan ikki nuqta orasidagi potentsial farq R 1 va R Zaryadlangan tekislikdan 2 ga teng

2-misol. Ikki tekis zaryadlangan tekislik.
Ikki cheksiz tekislik hosil qilgan elektr maydon kuchini hisoblaylik. Elektr zaryadi sirt zichliklari bilan bir tekis taqsimlanadi va . Biz maydon kuchini har bir tekislikning maydon kuchlarining superpozitsiyasi sifatida topamiz. Elektr maydoni faqat tekisliklar orasidagi bo'shliqda nolga teng va ga teng.

Samolyotlar orasidagi potentsial farq , Qayerda d- samolyotlar orasidagi masofa.
Olingan natijalar cheklangan o'lchamdagi tekis plitalar tomonidan yaratilgan maydonlarni taxminiy hisoblash uchun ishlatilishi mumkin, agar ular orasidagi masofalar ularning chiziqli o'lchamlaridan ancha kichik bo'lsa. Bunday hisob-kitoblarda sezilarli xatolar plitalarning chetlari yaqinidagi maydonlarni hisobga olgan holda paydo bo'ladi. Bog'liqlik grafigi E (x) ikkita samolyot uchun.

Misol 3. Yupqa zaryadlangan rod.
Chiziqli zaryad zichligi bilan zaryadlangan juda uzun novda tomonidan yaratilgan elektr maydon kuchini hisoblash uchun biz Gauss teoremasidan foydalanamiz.
Rodning uchlaridan etarlicha katta masofalarda elektr maydon intensivligi chiziqlari novda o'qidan radial tarzda yo'naltiriladi va bu o'qga perpendikulyar tekisliklarda yotadi. Agar novda nisbiy dielektrikli bir hil izotrop muhitda bo'lsa, novda o'qidan teng masofada joylashgan barcha nuqtalarda kuchlanishning raqamli qiymatlari bir xil bo'ladi.
o'tkazuvchanlik

Masofada joylashgan ixtiyoriy nuqtada maydon kuchini hisoblash uchun r novda o'qidan, bu nuqta orqali silindrsimon sirtni torting
(rasmga qarang). Ushbu silindrning radiusi r, va uning balandligi h.
Silindrning yuqori va pastki tagliklari orqali kuchlanish vektorining oqimlari nolga teng bo'ladi, chunki kuch chiziqlarida bu asoslarning sirtiga normal bo'lgan komponentlar yo'q. Silindrning lateral yuzasidagi barcha nuqtalarda
E= const.
Shuning uchun vektorning umumiy oqimi E tsilindrning yuzasi orqali teng bo'ladi

,

Gauss teoremasiga ko'ra vektor oqimi E sirt (bu holda silindr) ichida joylashgan elektr zaryadlarining algebraik yig'indisining elektr o'tkazuvchanligi va muhitning nisbiy dielektrik o'tkazuvchanligi mahsulotiga bo'linganiga teng.

tsilindr ichidagi novda qismining zaryadi qayerda. Shuning uchun elektr maydon kuchi

Masofada joylashgan ikki nuqta orasidagi elektr maydon potentsial farqi R 1 va R Rodning o'qidan 2, biz elektr maydonining intensivligi va potentsiali o'rtasidagi bog'liqlikdan foydalanib topamiz. Maydon kuchi faqat radial yo'nalishda o'zgarganligi sababli, u holda

Misol 4. Zaryadlangan sferik sirt.
Sirt zichligi bo'lgan elektr zaryadi bir tekis taqsimlangan sferik sirt tomonidan yaratilgan elektr maydoni markaziy simmetrik xususiyatga ega.

Kuchlanish chiziqlari sharning markazidan radiuslar bo'ylab yo'naltirilgan va vektorning kattaligi. E faqat masofaga bog'liq r sharning markazidan. Maydonni hisoblash uchun biz radiusning yopiq sharsimon sirtini tanlaymiz r.
Qachon r o E = 0.
Maydon kuchi nolga teng, chunki shar ichida zaryad yo'q.
Gauss teoremasi bo'yicha r > R (sferadan tashqarida) uchun

,

sharni o'rab turgan muhitning nisbiy dielektrik o'tkazuvchanligi qayerda.

.

Intensivlik nuqtaviy zaryadning maydon kuchi bilan bir xil qonunga muvofiq, ya'ni qonunga muvofiq kamayadi.
Qachon r o .
r > R uchun (sferadan tashqarida) .
Bog'liqlik grafigi E (r) shar uchun.

Misol 5. Hajmi zaryadlangan dielektrik shar.
Agar to'pning radiusi bo'lsa R nisbiy o'tkazuvchanlikka ega bo'lgan bir hil izotropik dielektrikdan yasalgan zichlik bilan butun hajm bo'ylab bir xilda zaryadlangan bo'lsa, u hosil qilgan elektr maydoni ham markaziy simmetrikdir.
Oldingi holatda bo'lgani kabi, vektor oqimini hisoblash uchun yopiq sirtni tanlaymiz E konsentrik shar shaklida, uning radiusi r 0 dan farq qilishi mumkin.
Da r < R vektor oqimi E bu sirt orqali zaryad bilan aniqlanadi

Shunday qilib

Da r < R(to'p ichida) .
To'pning ichida keskinlik to'pning markazidan masofaga to'g'ridan-to'g'ri mutanosib ravishda ortadi. To'pdan tashqarida (da r > R) dielektrik doimiy , oqim vektori bo'lgan muhitda E sirt orqali zaryad bilan aniqlanadi.
Qachon r o >R o (to‘pdan tashqarida) .
"To'p - atrof-muhit" chegarasida elektr maydonining kuchi keskin o'zgaradi, uning kattaligi to'pning dielektrik konstantalari va atrof-muhitning nisbatiga bog'liq. Bog'liqlik grafigi E (r) to'p uchun ().

To'pdan tashqarida ( r > R) elektr maydon potentsiali qonunga muvofiq o'zgaradi

.

To'p ichida ( r < R) potentsial ifoda bilan tavsiflanadi

Xulosa qilib, biz har xil shakldagi zaryadlangan jismlarning maydon kuchlarini hisoblash uchun ifodalarni taqdim etamiz

Potensial farq
Kuchlanishi- traektoriyaning boshlang'ich va oxirgi nuqtalarida potentsial qiymatlarning farqi. Kuchlanishi birlik musbat zaryad shu maydonning kuch chiziqlari bo'ylab harakat qilganda elektrostatik maydonning ishiga son jihatdan teng. Potensial farq (kuchlanish) tanlovga bog'liq emas koordinata tizimlari!
Potensial farq birligi 1 C musbat zaryadni kuch chiziqlari bo'ylab harakatlantirganda, maydon 1 J ish qilsa, kuchlanish 1 V ga teng.

Dirijyor- bu tana ichida harakatlanuvchi "erkin elektronlar" mavjud bo'lgan qattiq jism.

Metall o'tkazgichlar odatda neytraldir: ular teng miqdordagi manfiy va musbat zaryadlarni o'z ichiga oladi. Ijobiy zaryadlangan kristall panjara tugunlaridagi ionlar, manfiy - o'tkazgich bo'ylab erkin harakatlanadigan elektronlar. Supero'tkazuvchilarga ortiqcha miqdordagi elektronlar berilsa, u manfiy zaryadlanadi, lekin agar o'tkazgichdan ma'lum miqdordagi elektronlar "olinsa", u musbat zaryadlanadi.

Ortiqcha zaryad faqat o'tkazgichning tashqi yuzasiga taqsimlanadi.

1 . Supero'tkazuvchilar ichidagi har qanday nuqtada maydon kuchi nolga teng.

2 . Supero'tkazuvchilar yuzasidagi vektor o'tkazgich yuzasidagi har bir nuqtaga normal yo'naltiriladi.

Supero'tkazuvchilar sirtining ekvipotentsial ekanligidan kelib chiqadiki, to'g'ridan-to'g'ri ushbu sirtda maydon har bir nuqtada unga normal yo'naltiriladi (shart). 2 ). Agar bunday bo'lmasa, tangensial komponent ta'sirida zaryadlar o'tkazgich yuzasi bo'ylab harakatlana boshlaydi. bular. o'tkazgichdagi zaryadlarning muvozanati mumkin emas.

Kimdan 1 shundan beri shundan kelib chiqadi

Supero'tkazuvchilar ichida ortiqcha zaryadlar yo'q.

Zaryadlar faqat ma'lum bir zichlikdagi o'tkazgich yuzasida taqsimlanadi s va juda yupqa sirt qatlamida joylashgan (uning qalinligi taxminan bir yoki ikki atomlararo masofa).

Zaryad zichligi- bu SI tizimida o'lchanadigan chiziqli, sirt va hajmli zaryad zichligini aniqlaydigan uzunlik, maydon yoki hajm birligiga to'g'ri keladigan zaryad miqdori: har bir metr uchun kulonlarda [C/m], kvadrat metr uchun kulonlarda [ C/m² ] va mos ravishda kubometr uchun kulonlarda [C/m³]. Moddaning zichligidan farqli o'laroq, zaryad zichligi ham ijobiy, ham salbiy qiymatlarga ega bo'lishi mumkin, bu ijobiy va manfiy zaryadlarning mavjudligi bilan bog'liq.

Elektrostatikaning umumiy muammosi

Kuchlanish vektori,

Gauss teoremasi bo'yicha

- Puasson tenglamasi.

Supero'tkazuvchilar o'rtasida hech qanday zaryad bo'lmasa, biz olamiz

- Laplas tenglamasi.

Supero'tkazuvchilar sirtlaridagi chegara shartlari ma'lum bo'lsin: qiymatlar ; keyin bu muammo ko'ra o'ziga xos yechim bor yagonalik teoremasi.

Muammoni hal qilishda qiymat aniqlanadi va keyin o'tkazgichlar orasidagi maydon o'tkazgichlardagi zaryadlarning taqsimlanishi bilan aniqlanadi (sirtdagi kuchlanish vektoriga muvofiq).

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. O'tkazgichning bo'sh bo'shlig'idagi kuchlanishni topamiz.

Bo'shliqdagi potensial Laplas tenglamasini qanoatlantiradi;

o'tkazgichning devorlarida potentsial.

Bu holda Laplas tenglamasining yechimi ahamiyatsiz va yagonalik teoremasi bo'yicha boshqa echimlar yo'q.

, ya'ni. o'tkazgich bo'shlig'ida maydon yo'q.

Puasson tenglamasi elliptik qisman differentsial tenglama bo'lib, u boshqa narsalar qatorida tasvirlaydi

· elektrostatik maydon,

· statsionar harorat maydoni,

· bosim maydoni,

· gidrodinamikada tezlik potensial maydoni.

U mashhur frantsuz fizigi va matematigi Simeon Denis Puasson sharafiga nomlangan.

Bu tenglama quyidagicha ko'rinadi:

qayerda Laplas operatori yoki Laplasian, va u qandaydir manifoldda real yoki murakkab funksiyadir.

Uch o'lchovli Dekart koordinata tizimida tenglama quyidagi shaklni oladi:

Dekart koordinata tizimida Laplas operatori quyidagi ko'rinishda yoziladi va Puasson tenglamasi quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

Agar f nolga intiladi, keyin Puasson tenglamasi Laplas tenglamasiga aylanadi (Laplas tenglamasi Puasson tenglamasining maxsus holatidir):

Puasson tenglamasini Grin funksiyasi yordamida yechish mumkin; masalan, Screened Puasson tenglamasi maqolasiga qarang. Raqamli yechimlarni olishning turli usullari mavjud. Masalan, iterativ algoritm qo'llaniladi - "dam olish usuli".

Biz yolg'iz o'tkazgichni, ya'ni boshqa o'tkazgichlardan, jismlardan va zaryadlardan sezilarli darajada olib tashlangan o'tkazgichni ko'rib chiqamiz. Uning potentsiali, ma'lumki, o'tkazgichning zaryadiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir. Tajribadan ma'lumki, har xil o'tkazgichlar teng zaryadlangan bo'lsa-da, turli xil potentsiallarga ega. Shuning uchun, bir o'tkazgich uchun biz yozishimiz mumkin Miqdor (1) yakka o'tkazgichning elektr sig'imi (yoki oddiygina sig'im) deb ataladi. Izolyatsiya qilingan o'tkazgichning sig'imi zaryad bilan belgilanadi, uning o'tkazgich bilan aloqasi uning potentsialini bittaga o'zgartiradi. Yakka o'tkazgichning sig'imi uning o'lchamiga va shakliga bog'liq, lekin o'tkazgich ichidagi bo'shliqlarning materialiga, shakli va hajmiga, shuningdek uning yig'ilish holatiga bog'liq emas. Buning sababi shundaki, o'tkazgichning tashqi yuzasida ortiqcha zaryadlar taqsimlanadi. Imkoniyatlar, shuningdek, o'tkazgichning zaryadiga yoki uning potentsialiga bog'liq emas. Elektr quvvatining birligi farad (F): 1 F - izolyatsiyalangan o'tkazgichning sig'imi, unga 1 C zaryad berilganda potentsiali 1 V ga o'zgaradi. Nuqtaviy zaryadning potentsial formulasiga ko'ra, dielektrik o'tkazuvchanligi e bo'lgan bir hil muhitda joylashgan R radiusli yakka to'pning potentsiali tengdir (1) formuladan foydalangan holda, biz zaryadning sig'imi ekanligini olamiz. to'p (2) Bundan kelib chiqadiki, yolg'iz to'p 1 F sig'imga ega bo'lib, vakuumda joylashgan va radiusi R=C/(4πe 0)≈9 10 6 km bo'ladi, bu taxminan 1400 marta kattaroqdir. Yerning radiusi (Yerning elektr quvvati C≈0,7 mF). Shunday qilib, farad juda katta qiymatdir, shuning uchun amalda submultiple birliklar qo'llaniladi - millifarad (mF), mikrofarad (mF), nanofarad (nF), pikofarad (pF). (2) formuladan, shuningdek, e 0 elektr doimiyligining birligi har bir metrga farad (F/m) ekanligi kelib chiqadi (qarang (78.3)).

Kondensator(latdan. kondensator- "ixcham", "qalinlash") - ma'lum bir sig'im qiymatiga va past ohmik o'tkazuvchanlikka ega bo'lgan ikki terminalli tarmoq; elektr maydonining zaryadi va energiyasini to'plash uchun qurilma. Kondensator passiv elektron komponent hisoblanadi. Odatda ikkita plastinka shaklidagi elektrodlardan iborat (deb ataladi astarlar), qalinligi plitalarning o'lchamiga nisbatan kichik bo'lgan dielektrik bilan ajratilgan.

Imkoniyat

Kondensatorning asosiy xarakteristikasi uning sig'im, kondansatörning elektr zaryadini to'plash qobiliyatini tavsiflovchi. Kondensatorning belgilanishi nominal sig'imning qiymatini ko'rsatadi, haqiqiy sig'im esa ko'plab omillarga qarab sezilarli darajada farq qilishi mumkin. Kondensatorning haqiqiy sig'imi uning elektr xususiyatlarini aniqlaydi. Shunday qilib, sig'imning ta'rifiga ko'ra, plastinkadagi zaryad plitalar orasidagi kuchlanishga proportsionaldir ( q = CU). Odatda sig'im qiymatlari pikofarad birliklaridan minglab mikrofaradlargacha. Biroq, o'nlab faradgacha bo'lgan quvvatga ega bo'lgan kondansatörler (ionistorlar) mavjud.

Maydoni bo'lgan ikkita parallel metall plitalardan tashkil topgan parallel plastinkali kondansatkichning sig'imi S har biri uzoq masofada joylashgan d bir-biridan, SI tizimida quyidagi formula bilan ifodalanadi: , bu erda plitalar orasidagi bo'shliqni to'ldiruvchi muhitning nisbiy dielektrik o'tkazuvchanligi (vakuumda birlikka teng), elektr doimiysi, son jihatdan 8,854187817·10 ga teng. −12 F/m. Bu formula faqat qachon amal qiladi d plitalarning chiziqli o'lchamlaridan ancha kichikroq.

Katta quvvatlarni olish uchun kondansatörler parallel ravishda ulanadi. Bunday holda, barcha kondensatorlarning plitalari orasidagi kuchlanish bir xil bo'ladi. Umumiy batareya quvvati parallel ulangan kondensatorlar batareyaga kiritilgan barcha kondansatörlarning sig'imlari yig'indisiga teng.

Agar barcha parallel ulangan kondansatörler plitalar orasidagi masofa va bir xil dielektrik xususiyatlarga ega bo'lsa, unda bu kondansatörler kichikroq maydonning bo'laklariga bo'lingan bitta katta kondansatör sifatida ifodalanishi mumkin.

Kondensatorlar ketma-ket ulanganda, barcha kondensatorlarning zaryadlari bir xil bo'ladi, chunki ular quvvat manbaidan faqat tashqi elektrodlarga beriladi va ichki elektrodlarda ular faqat bir-birini neytrallashtirgan zaryadlarning ajralishi tufayli olinadi. . Umumiy batareya quvvati ketma-ket ulangan kondansatkichlar teng

Yoki

Bu quvvat har doim akkumulyatorga kiritilgan kondansatkichning minimal hajmidan kamroq. Biroq, ketma-ket ulanish bilan, kondansatörlarning buzilishi ehtimoli kamayadi, chunki har bir kondansatör kuchlanish manbasining potentsial farqining faqat bir qismini tashkil qiladi.

Agar ketma-ket ulangan barcha kondensatorlarning plitalari maydoni bir xil bo'lsa, unda bu kondensatorlarni bitta katta kondansatör sifatida ko'rsatish mumkin, ularning plitalari orasida uni tashkil etuvchi barcha kondansatörlarning dielektrik plitalari to'plami mavjud.

[tahrir] Maxsus imkoniyatlar

Kondensatorlar, shuningdek, o'ziga xos sig'im bilan tavsiflanadi - sig'imning dielektrikning hajmiga (yoki massasiga) nisbati. Maxsus sig'imning maksimal qiymati dielektrikning minimal qalinligi bilan erishiladi, lekin ayni paytda uning parchalanish kuchlanishi pasayadi.

Har xil turdagi elektr zanjirlari qo'llaniladi kondansatkichlarni ulash usullari. Kondensatorlarni ulash ishlab chiqarilishi mumkin: ketma-ket, parallel Va qator-parallel(ikkinchisi ba'zan kondansatkichlarning aralash ulanishi deb ataladi). Kondensator ulanishlarining mavjud turlari 1-rasmda ko'rsatilgan.

Shakl 1. Kondensatorlarni ulash usullari.

Yagona elektr maydonida zaryadlangan zarrachaga ta'sir qiluvchi kuch ham kattaligi, ham yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'ladi. Shuning uchun bunday zarrachaning harakati havo qarshiligini hisobga olmagan holda erning tortishish maydonidagi jismning harakatiga butunlay o'xshaydi. Bu holda zarrachaning traektoriyasi tekis bo'lib, zarrachaning boshlang'ich tezligi va elektr maydon kuchi vektorlarini o'z ichiga olgan tekislikda yotadi.

Elektrostatik maydon potentsiali. Potensial kuchlanish bilan bog'liq umumiy ifoda.

Elektrostatik maydonning har qanday nuqtasida potentsial ph - bu nuqtada joylashtirilgan birlik musbat zaryadning potentsial energiyasi bilan aniqlangan jismoniy miqdor. Q nuqta zaryadi hosil qilgan maydon potensiali ga teng

Potensial - bu maydonning ma'lum bir nuqtasidan cheksizlikka olib tashlanganda birlik musbat elektr zaryadini ko'chirish uchun bajarilgan ish bilan belgilanadigan jismoniy miqdor. Bu ish son jihatidan tashqi kuchlarning (elektrostatik maydon kuchlariga qarshi) birlik musbat zaryadni cheksizlikdan maydonning ma’lum nuqtasiga ko‘chirish ishiga teng.

Potensialning birligi volt (V): 1 V 1 C zaryad 1 J potentsial energiyaga ega bo'lgan maydondagi nuqtaning potentsialiga teng (1 V = 1 J / C). Voltning o'lchamini hisobga olgan holda, elektrostatik maydon kuchining ilgari kiritilgan birligi haqiqatan ham 1 V/m ga teng ekanligini ko'rsatish mumkin: 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C). m)=1 V/m.

(3) va (4) formulalardan kelib chiqadiki, agar maydon bir nechta zaryad tomonidan yaratilgan bo'lsa, u holda zaryadlar tizimining berilgan maydonining potentsiali ushbu barcha zaryadlar maydonlari potentsiallarining algebraik yig'indisiga teng:

Elektr maydonining istalgan nuqtasidagi intensivlik bu nuqtadagi potentsial gradientga teng bo'lib, qarama-qarshi belgi bilan olinadi. Minus belgisi E kuchlanishining potentsialning pasayishi yo'nalishiga yo'naltirilganligini ko'rsatadi.

E = - grad phi = - N phi.

Elektr maydonining kuch xarakteristikasi - intensivlik va uning energiya xarakteristikasi - potentsial o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatish uchun q nuqta zaryadining cheksiz kichik siljishidagi elektr maydon kuchlarining elementar ishini ko'rib chiqaylik: dA = q E dl, xuddi shu ish. zaryadning potentsial energiyasining kamayishiga teng q: dA = - dWp = - q dphi, bu erda dphi elektr maydon potentsialining siljish uzunligi dl bo'yicha o'zgarishi. Ifodalarning o'ng tomonlarini tenglashtirib, biz quyidagilarga erishamiz: E dl = -d phi yoki Dekart koordinata tizimida

Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi

Bu yerda Ex, Ey, Ez - koordinatalar sistemasi o'qlaridagi kuchlanish vektorining proyeksiyalari. Ifoda to'liq differentsial bo'lganligi sababli, intensivlik vektorining proyeksiyalari uchun bizda mavjud

Qavslar ichidagi ifoda potentsial phi gradientidir.

Superpozitsiya printsipi maydonlarning asosiy xususiyati sifatida. Koordinatali nuqtalarda joylashgan nuqtaviy zaryadlar tizimi tomonidan radius vektorli nuqtada yaratilgan maydonning kuchi va potentsialining umumiy ifodalari (4-bandga qarang)

Agar biz superpozitsiya tamoyilini eng umumiy ma'noda ko'rib chiqsak, unda unga ko'ra, zarrachaga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning ta'siri yig'indisi ularning har birining individual qiymatlarining yig'indisi bo'ladi. Bu tamoyil turli chiziqli tizimlar uchun amal qiladi, ya'ni. xatti-harakatlari chiziqli munosabatlar bilan tavsiflanishi mumkin bo'lgan tizimlar. Chiziqli to'lqin ma'lum bir muhitda tarqaladigan oddiy holat misol bo'ladi, bu holda uning xususiyatlari to'lqinning o'zidan kelib chiqadigan buzilishlar ta'sirida ham saqlanib qoladi. Bu xususiyatlar uyg'un komponentlarning har birining ta'sirining o'ziga xos yig'indisi sifatida aniqlanadi.

Superpozitsiya printsipi yuqoridagilarga to'liq mos keladigan boshqa formulalarni olishi mumkin:

· Ikki zarracha o'rtasidagi o'zaro ta'sir uchinchi zarracha kiritilganda o'zgarmaydi, u ham birinchi ikkitasi bilan o'zaro ta'sir qiladi.

· Ko‘p zarrachali sistemadagi barcha zarralarning o‘zaro ta’sir qilish energiyasi shunchaki barcha mumkin bo‘lgan zarrachalar juftlari orasidagi juftlik o‘zaro ta’sirlari energiyalarining yig‘indisidir. Tizimda ko'p zarrachalarning o'zaro ta'siri yo'q.

· Ko'p zarrali tizimning harakatini tavsiflovchi tenglamalar zarrachalar soni bo'yicha chiziqli.

6 Kuchlanish vektorining aylanishi - L yopiq yo'l bo'ylab bitta musbat zaryadni harakatlantirganda elektr kuchlari tomonidan bajariladigan ish.

Yopiq halqa bo'ylab elektrostatik maydon kuchlarining ishi nolga teng bo'lganligi sababli (potentsial maydon kuchlarining ishi), shuning uchun yopiq pastadir bo'ylab elektrostatik maydon kuchining aylanishi nolga teng.

Maydon salohiyati. Har qanday elektrostatik maydonning undagi zaryadlangan jismni bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga o'tkazishda ishlashi ham xuddi bir xil maydonning ishi kabi traektoriya shakliga bog'liq emas. Yopiq traektoriyada elektrostatik maydonning ishi doimo nolga teng. Bunday xususiyatga ega bo'lgan maydonlar potentsial deb ataladi. Xususan, nuqtaviy zaryadning elektrostatik maydoni potensial xarakterga ega.
Potensial maydonning ishi potentsial energiyaning o'zgarishi bilan ifodalanishi mumkin. Formula har qanday elektrostatik maydon uchun amal qiladi.

7-11Agar intensivlikdagi bir xil elektr maydonining maydon chiziqlari ma'lum bir S maydonga kirsa, u holda intensivlik vektorining oqimi (ilgari biz maydon orqali o'tadigan maydon chiziqlari sonini chaqirgan edik) quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Bu yerda En - vektorning ko'paytmasi va berilgan maydonning normali (2.5-rasm).

Guruch. 2.5

S sirtdan o'tadigan kuch chiziqlarining umumiy soni FU intensivlik vektorining ushbu sirt orqali oqimi deb ataladi.

Vektor ko'rinishida ikkita vektorning skalyar mahsulotini yozishimiz mumkin, bu erda vektor .

Shunday qilib, vektor oqimi skalyar bo'lib, a burchakning qiymatiga qarab, ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin.

Keling, 2.6 va 2.7-rasmlarda ko'rsatilgan misollarni ko'rib chiqaylik.

	Guruch. 2.6	Guruch. 2.7

2.6-rasm uchun A1 yuzasi musbat zaryad bilan o'ralgan va bu erda oqim tashqariga yo'naltirilgan, ya'ni. A2- sirti manfiy zaryad bilan o'ralgan, bu erda u ichkariga yo'naltirilgan. A sirtidan o'tadigan umumiy oqim nolga teng.

2.7-rasm uchun sirt ichidagi umumiy zaryad nolga teng bo'lmasa, oqim nolga teng bo'lmaydi. Ushbu konfiguratsiya uchun A sirtidan o'tadigan oqim manfiy (maydon chiziqlari sonini hisoblang).

Shunday qilib, kuchlanish vektorining oqimi zaryadga bog'liq. Bu Ostrogradskiy-Gauss teoremasining ma'nosidir.

Gauss teoremasi

Eksperimental tarzda o'rnatilgan Kulon qonuni va superpozitsiya printsipi vakuumda berilgan zaryadlar tizimining elektrostatik maydonini to'liq tavsiflash imkonini beradi. Biroq, elektrostatik maydonning xususiyatlarini nuqtaviy zaryadning Kulon maydoni g'oyasiga murojaat qilmasdan, boshqa umumiy shaklda ifodalash mumkin.

Elektr maydonini tavsiflovchi yangi fizik miqdorni - elektr maydon kuchlari vektorining oqimini P ni kiritamiz. Elektr maydoni hosil bo'lgan fazoda juda kichik DS maydoni bo'lsin. Vektor modulining DS maydoniga va vektor va saytga normal o'rtasidagi a burchak kosinusiga ko'paytmasi DS maydoni orqali intensivlik vektorining elementar oqimi deb ataladi (1.3.1-rasm):

Endi ba'zi bir ixtiyoriy yopiq sirtni ko'rib chiqamiz S. Agar bu sirtni kichik maydonlarga bo'lsak DSi, bu kichik maydonlar bo'ylab maydonning elementar oqimlarini DHi aniqlab, so'ngra ularni jamlab chiqsak, natijada biz F ning oqimini olamiz. yopiq sirt S orqali vektor (1.3.2-rasm):

Gauss teoremasi quyidagicha ifodalanadi:

Elektrostatik maydon kuchi vektorining o'zboshimchalik bilan yopiq sirt orqali o'tishi bu sirt ichida joylashgan zaryadlarning algebraik yig'indisiga teng bo'lib, elektr doimiysi e0 ga bo'linadi.

bu erda R - sharning radiusi. Sferik sirt orqali o'tadigan PH oqimi E va sharning maydoni 4pR2 mahsulotiga teng bo'ladi. Demak,

Endi nuqta zaryadini ixtiyoriy yopiq sirt S bilan o'rab olamiz va radiusi R0 bo'lgan yordamchi sharni ko'rib chiqamiz (1.3.3-rasm).

Tepasida kichik qattiq burchak DŌ bo'lgan konusni ko'rib chiqaylik. Bu konus shardagi kichik DS0 maydonni va S sirtida DS maydonini ajratib ko'rsatadi. Bu maydonlardan o'tadigan DA0 va DA elementar oqimlari bir xil. Haqiqatan ham,

Shunga o'xshash tarzda ko'rsatish mumkinki, agar yopiq sirt S nuqta zaryadini qoplamasa, u holda oqim PH = 0. Bunday holat rasmda tasvirlangan. 1.3.2. Nuqtaviy zaryadning elektr maydonining barcha kuch chiziqlari S yopiq sirtga bo'ylab va bo'ylab kirib boradi. S sirt ichida hech qanday zaryad yo'q, shuning uchun bu mintaqada maydon chiziqlari uzilmaydi yoki paydo bo'lmaydi.

Gauss teoremasini ixtiyoriy zaryad taqsimoti holatiga umumlashtirish superpozitsiya printsipidan kelib chiqadi. Har qanday zaryad taqsimotining maydoni nuqtaviy zaryadlarning elektr maydonlarining vektor yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Zaryadlar tizimining ixtiyoriy yopiq sirt S orqali o'tadigan oqimi P alohida zaryadlarning elektr maydonlarining PHi oqimlarining yig'indisiga teng bo'ladi. Agar qi zaryadi tasodifan S sirtining ichida bo'lsa, u oqimga teng hissa qo'shadi, agar bu zaryad sirtdan tashqarida bo'lsa, u holda uning elektr maydonining oqimga qo'shgan hissasi nolga teng bo'ladi.

Shunday qilib, Gauss teoremasi isbotlangan.

Gauss teoremasi Kulon qonuni va superpozitsiya tamoyilining natijasidir. Ammo agar biz ushbu teoremada keltirilgan bayonotni asl aksioma deb olsak, uning natijasi Kulon qonuni bo'ladi. Shuning uchun Gauss teoremasi ba'zan Kulon qonunining muqobil formulasi deb ataladi.

Gauss teoremasidan foydalanib, ba'zi hollarda zaryadlangan jism atrofidagi elektr maydon kuchini osongina hisoblash mumkin, agar berilgan zaryad taqsimoti qandaydir simmetriyaga ega bo'lsa va maydonning umumiy tuzilishini oldindan taxmin qilish mumkin.

Bunga misol qilib radiusi R bo'lgan yupqa devorli, ichi bo'sh, bir xil zaryadlangan uzun silindrning maydonini hisoblash masalasini keltirish mumkin. Bu masala eksenel simmetriyaga ega. Simmetriya sabablari uchun elektr maydoni radius bo'ylab yo'naltirilishi kerak. Shuning uchun Gauss teoremasini qo'llash uchun har ikki uchi yopilgan r radiusi va uzunligi l bo'lgan koaksiyal silindr ko'rinishidagi S yopiq sirtni tanlash maqsadga muvofiqdir (1.3.4-rasm).

R ≥ R uchun intensivlik vektorining butun oqimi silindrning yon yuzasidan o'tadi, uning maydoni 2prl ga teng, chunki ikkala asos orqali oqim nolga teng. Gauss teoremasini qo'llash quyidagilarni beradi:

Bu natija zaryadlangan silindrning R radiusiga bog'liq emas, shuning uchun u bir xil zaryadlangan uzun filamentning maydoniga ham tegishli.

Zaryadlangan silindr ichidagi maydon kuchini aniqlash uchun r korpusi uchun yopiq sirtni qurish kerak.< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.

Xuddi shunday, Gauss teoremasini elektr maydonini aniqlash uchun zaryadlarning taqsimlanishi qandaydir simmetriyaga ega bo'lsa, masalan, markaz, tekislik yoki o'qga nisbatan simmetriya bo'lgan boshqa bir qator holatlarda qo'llanilishi mumkin. Ushbu holatlarning har birida tegishli shakldagi yopiq Gauss sirtini tanlash kerak. Masalan, markaziy simmetriya holatida markaz simmetriya nuqtasida bo'lgan shar shaklida Gauss sirtini tanlash qulay. Eksenel simmetriya bilan yopiq sirt koaksiyal tsilindr shaklida tanlanishi kerak, har ikki uchida ham yopiq (yuqorida muhokama qilingan misolda bo'lgani kabi). Agar zaryadlarning taqsimlanishi hech qanday simmetriyaga ega bo'lmasa va elektr maydonining umumiy tuzilishini taxmin qilish mumkin bo'lmasa, Gauss teoremasini qo'llash maydon kuchini aniqlash masalasini soddalashtira olmaydi.

Nosimmetrik zaryad taqsimotining yana bir misolini ko'rib chiqaylik - bir xil zaryadlangan tekislik maydonini aniqlash (1.3.5-rasm).

Bunda Gauss yuzasi S ni har ikki uchi yopilgan, qandaydir uzunlikdagi silindr shaklida tanlash maqsadga muvofiqdir. Tsilindrning o'qi zaryadlangan tekislikka perpendikulyar yo'naltirilgan va uning uchlari undan bir xil masofada joylashgan. Simmetriya tufayli bir xil zaryadlangan tekislikning maydoni hamma joyda normal bo'ylab yo'naltirilishi kerak. Gauss teoremasini qo'llash quyidagilarni beradi:

bu erda s - sirt zaryadining zichligi, ya'ni maydon birligi uchun zaryad.

Yagona zaryadlangan tekislikning elektr maydonining hosil bo'lgan ifodasi chekli o'lchamdagi tekis zaryadlangan maydonlar uchun ham qo'llaniladi. Bunday holda, maydon kuchi aniqlanadigan nuqtadan zaryadlangan maydongacha bo'lgan masofa maydonning o'lchamidan sezilarli darajada kam bo'lishi kerak.

Va 7-11 uchun jadvallar

1. Bir xil zaryadlangan sferik sirt tomonidan yaratilgan elektrostatik maydonning intensivligi.

R radiusli sharsimon sirt (13.7-rasm) bir tekis taqsimlangan q zaryadini olib yursin, ya'ni. sharning istalgan nuqtasida sirt zaryadining zichligi bir xil bo'ladi.

a. Sferik yuzamizni radiusi r>R bo‘lgan simmetrik S sirtga o‘rab olamiz. S sirt orqali kuchlanish vektorining oqimi teng bo'ladi

Gauss teoremasi bo'yicha

Shuning uchun

c. Zaryadlangan sferik sirt ichida joylashgan B nuqta orqali r radiusi S sharni chizamiz

2. To'pning elektrostatik maydoni.

Radiusi R bo'lgan, hajm zichligi bilan bir xil zaryadlangan sharga ega bo'lsin.

A to'pdan tashqarida o'z markazidan r masofada (r>R) yotgan har qanday nuqtada uning maydoni to'pning markazida joylashgan nuqtaviy zaryad maydoniga o'xshaydi. Keyin to'pdan

(13.10)

va uning yuzasida (r=R)

(13.11)

To‘p ichida uning markazidan r masofada (r>R) yotgan B nuqtada maydon faqat radiusi r bo‘lgan shar ichiga o‘ralgan zaryad bilan aniqlanadi. Bu sfera orqali kuchlanish vektorining oqimi ga teng

boshqa tomondan, Gauss teoremasiga muvofiq

Gauss teoremasi bo'yicha

Oxirgi ikkita ifodadan biz bir xil zaryadlangan ip tomonidan yaratilgan maydon kuchini aniqlaymiz:

(13.13)

Tekislik cheksiz kenglikga ega bo'lsin va birlik uchun zaryad s ga teng bo'lsin. Simmetriya qonunlaridan kelib chiqadiki, maydon hamma joyda tekislikka perpendikulyar yo'naltirilgan va agar boshqa tashqi zaryadlar bo'lmasa, u holda tekislikning har ikki tomonidagi maydonlar bir xil bo'lishi kerak. Zaryadlangan tekislikning bir qismini xayoliy silindrsimon quti bilan chegaralaymiz, shunda quti yarmiga kesiladi va uning tarkibiy qismlari perpendikulyar bo'ladi va har birining maydoni S bo'lgan ikkita asos zaryadlangan tekislikka parallel bo'ladi (1.10-rasm).

12. Bir tekis zaryadlangan sharning maydoni.

Elektr maydoni zaryad tomonidan yaratilsin Q, radiusli shar yuzasida bir tekis taqsimlangan R(190-rasm). Masofada joylashgan ixtiyoriy nuqtada maydon potentsialini hisoblash uchun r sharning markazidan, birlik musbat zaryadni berilgan nuqtadan cheksizlikka ko'chirishda maydon tomonidan bajarilgan ishni hisoblash kerak. Ilgari biz bir xil zaryadlangan sharning uning tashqarisidagi maydon kuchi sferaning markazida joylashgan nuqtaviy zaryad maydoniga ekvivalent ekanligini isbotlagan edik. Demak, sferadan tashqarida sferaning maydon potentsiali nuqtaviy zaryadning maydon potentsialiga to'g'ri keladi.

φ (r)=Q 4πε 0r . (1)

Xususan, shar yuzasida potentsial teng φ 0=Q 4πε 0R. Sfera ichida elektrostatik maydon mavjud emas, shuning uchun zaryadni shar ichida joylashgan ixtiyoriy nuqtadan uning yuzasiga o'tkazish uchun bajarilgan ish nolga teng. A= 0, shuning uchun bu nuqtalar orasidagi potensiallar farqi ham nolga teng D φ = -A= 0. Demak, sfera ichidagi barcha nuqtalar uning sirtining potensialiga toʻgʻri keladigan bir xil potensialga ega. φ 0=Q 4πε 0R .

Demak, bir xil zaryadlangan sharning maydon potentsialining taqsimlanishi ko'rinishga ega (191-rasm)

φ (r)=⎧⎩⎨Q 4πε 0R, npu r<RQ 4πε 0r, npu r>R . (2)

E'tibor bering, shar ichida maydon yo'q va potentsial nolga teng emas! Bu misol, potentsial ma'lum nuqtadan cheksizgacha bo'lgan maydonning qiymati bilan aniqlanishini aniq ko'rsatib turibdi.