Ba'zan tenglamalarda ba'zi koeffitsientlar aniq raqamli qiymatlar bilan berilmaydi, lekin harflar bilan ko'rsatiladi.

Misol: ax+b=c.

Ushbu tenglamada X- noma'lum, a, b, c- har xil bo'lishi mumkin bo'lgan koeffitsientlar raqamli qiymatlar. Shu tarzda belgilangan koeffitsientlar deyiladi parametrlari.

Parametrli bitta tenglama ko'plab tenglamalarni belgilaydi (barcha mumkin bo'lgan parametr qiymatlari uchun).

Misol: -5 X+10=– 1;

x+4y= 0;

–102–1000y=; va hokazo.

bu parametrlar bilan tenglama bilan aniqlangan barcha tenglamalar ax+b=c.

Parametrli tenglamani yechish quyidagilarni anglatadi:

1. Parametrlarning qaysi qiymatlarida tenglamaning ildizlari borligini va qanchasi borligini ko'rsating. turli ma'nolar parametrlari.

2. Ildizlar uchun barcha ifodalarni toping va ularning har biri uchun ushbu ifoda tenglamaning ildizini aniqlaydigan parametr qiymatlarini ko'rsating.

Keling, parametrlar bilan allaqachon berilgan tenglamaga murojaat qilaylik ax+b=c va biz uni hal qilamiz.

Agar A¹0, keyin https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">;

da a=0 Va b=c, x- har qanday haqiqiy raqam;

da a=0 Va b¹ c, tenglamaning ildizlari yo'q.

Ushbu tenglamani yechish jarayonida biz parametrning qiymatini ajratib oldik a=0, bunda tenglamada sifat o'zgarishi sodir bo'lsa, biz parametrning ushbu qiymatini "nazorat" deb ataymiz. Bizda qanday tenglama borligiga qarab, parametrning "nazorat" qiymatlari boshqacha topiladi. Keling, har xil turdagi tenglamalarni ko'rib chiqamiz va parametrning "nazorat" qiymatlarini qanday topishni ko'rsatamiz.

I. Parametrli chiziqli tenglamalar va chiziqli tenglamalar

Bunday tenglamalarda parametrlarning "nazorat" qiymatlari, qoida tariqasida, koeffitsientlarni nolga tenglashtiradigan qiymatlardir. X.

1-misol. : 2A(A–2)x=a– 2

1. "Boshqaruv" qiymatlari shartni qondiradigan qiymatlardir:

2A(A–2)=0

O‘zgaruvchi uchun bu tenglamani yechamiz A.

2a= 0 yoki A–2= 0, qayerdan a= 0, a= 2.

2. Parametrning “nazorat” qiymatlari uchun dastlabki tenglamani yechamiz.

Da a= 0 bizda 0 × bor x=– 2, lekin bu har qanday haqiqiy qiymatlar uchun emas X, ya'ni bu holda tenglamaning ildizlari yo'q.

Da a= 2 bizda 0 × bor x= 0, bu har qanday qiymat uchun to'g'ri X, ya'ni tenglamaning ildizi har qanday haqiqiy sondir X.

3. Qachon holatda asl tenglamani yechamiz A¹ 0 va A¹ 2 keyin 2 A(A–2)¹ 0 va tenglamaning ikkala tomonini 2 ga bo'lish mumkin A(A-2), biz olamiz:

Chunki A¹ 2, keyin kasrni (( A–2), keyin bizda bor.

Javob: da a= 0, ildiz yo'q;

da a= 2, ildiz – har qanday haqiqiy son;

da A¹ 0, A¹ 2, .

Bunday turdagi tenglamalarni yechish algoritmini tasavvur qilish mumkin.

1. Parametrning “nazorat” qiymatlarini aniqlang.

2. uchun tenglamani yeching X, nazorat parametrlari qiymatlarida.

3. uchun tenglamani yeching X, "nazorat qilish" qiymatlaridan farqli qiymatlarda.

4. Javobni quyidagi shaklda yozing:

Javob: 1) parametr qiymatlari uchun..., tenglamaning ildizlari bor...;

2) parametr qiymatlari uchun..., tenglamaning ildizlari bor...;

3) parametr qiymatlari uchun ... tenglamaning ildizlari yo'q.

2-misol. Parametrli tenglamani yechish

(A 2–2A+1)x=a 2+2A- 3

1. Parametrning nazorat qiymatlarini toping

A 2–2A+1=0 Û ( A–1)2=0 Û A=1

2. uchun tenglamani yeching a= 1

0× x=(1+2×1–3) Û 0× x= 0 Þ X- har qanday haqiqiy raqam.

3. uchun tenglamani yeching A¹ 1

A 2–2A+1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

chunki A¹ 1, kasrni kamaytirish mumkin

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width="64" height="41 src=">.

3-misol. Parametrli tenglamani yechish

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width="72" height="41 src=">.

4. Javob: 1) qachon a= 2, ildizlari yo'q;

2) qachon A¹ 0,A¹ 2, ;

3) qachon a= 0 tenglamasi mantiqiy emas.

4-misol. Parametrli tenglamani yechish

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

chunki X¹ 0 va A¹ – 2, tenglama tenglamaga ekvivalent

(A+3)x= 2A–1

parametrning nazorat qiymatlarini topamiz

A+3= 0 Þ a=– 3.

2. uchun tenglamani yeching a=– 3.

0× x=– 7

har qanday vaqtda X tenglik yo'q

3. uchun tenglamani yeching A¹ – 3, a+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

shuning uchun tenglama mantiqiy bo'lishi uchun https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">, hech qanday ildiz yo'q;

2) qachon A¹ – 2, A¹ – 3, , .

II. Parametrli kvadrat tenglamalar va kvadratik tenglamalar

Bunday tenglamalarda koeffitsientni nolga tenglashtiradigan parametr qiymatlari odatda "nazorat" sifatida qabul qilinadi. X 2, chunki bu holda tenglama chiziqli bo'ladi, shuningdek, tenglamaning diskriminantini yo'q qiladigan parametrning qiymati, chunki raqam diskriminantning qiymatiga bog'liq. haqiqiy ildizlar kvadrat tenglama.

5-misol. Parametrli tenglamani yechish

(A–1)X 2+2(2A+1)X+(4A+3)= 0

1. Koeffitsientni nolga tenglashtiradigan parametr qiymatlarini topamiz X

A- 1=0 Û a= 1

2. uchun tenglamani yeching a= 1

0× X 2+2(2×1+1) X+4×1+3=0 Û 6 X+7=0 Û .

3. Tenglamaning diskriminantini yo‘qotadigan parametr qiymatlarini topamiz.

D=(2(2A+1))2–4(A–1)(4A+3)=(4A+1)2–(4A–4)(4A+3)=4(5A+4)

4(5A+4)=0 Û .

4. uchun tenglamani yechamiz, bu holda tenglama bitta haqiqiy ildizga ega bo'ladi

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9X 2+6X+1=0 Û (3 X+1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. Bu holda D<0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. uchun tenglamani yeching A№ 1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

7. Javob: 1) https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src="> bilan;

2) qachon a= 1, ;

3) uchun, haqiqiy ildizlar mavjud emas;

4) da va A№ 1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. beri A kasrning maxrajida bo'lsa, u holda tenglama faqat qachon mantiqiy bo'ladi A#0. Maxrajda iboralar ham mavjud a2x - 2A va 2- Oh, bu ham nolga teng bo'lmasligi kerak

a2x - 2A¹0 Û A(Oh–2)¹0 Û A¹0, Oh–2¹0 Û A¹0, ;

2–Oh¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

2. uchun tenglamani yeching A¹0, https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

(1–A)X 2+2X+1+A=0 ...................(*)

3. Koeffitsientni nolga tenglashtiradigan parametr qiymatlarini topamiz X 2

1–A=0 Û A=1

4. (*) uchun tenglamani yeching A=1

0× X 2+2X+2=0 Û 2 x=– 2 Û x=–1

Keling, u mos keladimi yoki yo'qligini darhol tekshiramiz X https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src="> dan, ya'ni qachon A=1, x=– 1.

Maqsad:

• tizimlarning yechimini takrorlang chiziqli tenglamalar ikkita o'zgaruvchi bilan
• parametrli chiziqli tenglamalar tizimini aniqlang
• parametrli chiziqli tenglamalar tizimini yechish usullarini o‘rgatadi.

Darslar davomida

1. Tashkiliy vaqt
2. Takrorlash
3. Tushuntirish yangi mavzu
4. Mustahkamlash
5. Dars xulosasi
6. Uy vazifasi

2. Takrorlash:

I. Bitta o‘zgaruvchili chiziqli tenglama:

1. Bitta o‘zgaruvchili chiziqli tenglamani aniqlang

[ax=b ko'rinishdagi tenglama, bunda x o'zgaruvchi, a va b ba'zi sonlar, bitta o'zgaruvchili chiziqli tenglama deyiladi]

2. Chiziqli tenglama nechta ildizga ega bo'lishi mumkin?

[- a=0, b0 boʻlsa, tenglamaning yechimlari yoʻq, x

Agar a=0, b=0, u holda x R

Agar a0 bo'lsa, tenglama yagona yechimga ega bo'ladi, x =

3. Tenglamaning nechta ildizi borligini aniqlang (variantlarga ko'ra)

II. 2 o'zgaruvchili chiziqli tenglama va 2 o'zgaruvchili chiziqli tenglamalar tizimi.

1. Ikki o‘zgaruvchili chiziqli tenglamani aniqlang. Misol keltiring.

[Ikki oʻzgaruvchili chiziqli tenglama ax + by = c koʻrinishdagi tenglama boʻlib, bu yerda x va y oʻzgaruvchilar, a, b va c baʼzi sonlardir. Masalan, x-y=5]

2. Ikki o‘zgaruvchili tenglamani yechish nima deyiladi?

[Ikki oʻzgaruvchili tenglama yechimi tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiruvchi oʻzgaruvchilarning juft qiymatlaridir.]

3. X = 7, y = 3 o'zgaruvchilarning qiymatlari juftligi 2x + y = 17 tenglamasining yechimimi?

4. Ikki o‘zgaruvchili tenglamaning grafigi nima deyiladi?

[Ikki oʻzgaruvchili tenglamaning grafigi koordinatalari bu tenglamaning yechimi boʻlgan koordinata tekisligidagi barcha nuqtalar toʻplamidir.]

5. Tenglamaning grafigi nima ekanligini aniqlang:

[y o‘zgaruvchini x orqali ifodalaymiz: y=-1,5x+3

y=-1,5x+3 formula chiziqli funktsiya bo'lib, uning grafigi to'g'ri chiziqdir. 3x+2y=6 va y=-1,5x+3 tenglamalar ekvivalent bo‘lgani uchun bu chiziq ham 3x+2y=6 tenglamaning grafigi hisoblanadi].

6. A0 yoki b0 bo'lgan x va y o'zgaruvchilari bilan ax+bu=c tenglamaning grafigi qanday?

[Oʻzgaruvchilarning kamida bittasi nolga teng boʻlmagan ikki oʻzgaruvchili chiziqli tenglamaning grafigi toʻgʻri chiziqdir.]

7. Ikki o‘zgaruvchili tenglamalar sistemasini yechish nima deyiladi?

[Ikki o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalar tizimining yechimi - bu tizimning har bir tenglamasini haqiqiy tenglikka aylantiradigan o'zgaruvchilar qiymatlari juftligi]

8. Tenglamalar sistemasini yechish nimani anglatadi?

[Tenglamalar tizimini yechish deganda uning barcha yechimlarini topish yoki hech qanday yechim yoʻqligini isbotlash tushuniladi.]

9. Bunday tizimning har doim yechimlari bor yoki yo'qligini va agar mavjud bo'lsa, qancha (grafik) toping.

10. Ikki o‘zgaruvchili ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi nechta yechimga ega bo‘lishi mumkin?

[Yagona yechim - agar chiziqlar kesishsa; agar chiziqlar parallel bo'lsa, yechimlari yo'q; agar chiziqlar bir-biriga to'g'ri kelsa, cheksiz ko'p]

11. Odatda qanday tenglama to‘g‘ri chiziqni belgilaydi?

12. Burchak koeffitsientlari va erkin atamalar o'rtasidagi bog'lanishni o'rnating:

Variant I: y=-x+2 y= -x-3, k 1 = k 2, b 1 b 2, eritmalar yo'q;

Variant II: y=-x+8 y=2x-1, k 1 k 2, bitta eritma;

Variant III: y=-x-1 y=-x-1, k 1 = k 2, b 1 = b 2, ko'p echimlar.

Xulosa:

1. Agar yon bag'irlari bu funksiyalarning grafigi bo'lgan chiziqlar har xil bo'lsa, bu chiziqlar kesishadi va tizim o'ziga xos echimga ega.
2. Agar chiziqlarning burchak koeffitsientlari bir xil bo'lsa va y o'qi bilan kesishish nuqtalari har xil bo'lsa, unda chiziqlar parallel bo'ladi va tizimning echimlari yo'q.
3. Agar burchak koeffitsientlari va y o'qi bilan kesishish nuqtalari bir xil bo'lsa, unda chiziqlar bir-biriga to'g'ri keladi va tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.

Doskada o'qituvchi va talabalar asta-sekin to'ldiradigan jadval mavjud.

III. Yangi mavzuni tushuntirish.

Ta'rif: tizimni ko'rish

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x+B 2 y=C 2

bu yerda A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 parametrlarga bogʻliq ifodalar, x va y esa nomaʼlum boʻlsa, ikkita chiziqli sistema deyiladi. algebraik tenglamalar ikkita noma'lum parametr bilan.

Quyidagi holatlar mumkin:

1) Agar , u holda tizim noyob yechimga ega

2) Agar bo'lsa, u holda tizimning echimlari yo'q

3) Agar bo'lsa, sistemada cheksiz ko'p echimlar mavjud.

IV. Mustahkamlash

1-misol.

Tizim a parametrining qaysi qiymatlarida ishlaydi

• 2x - 3y = 7
• ah - 6y = 14

a) bor cheksiz to'plam qarorlar;

b) yagona yechimga ega

Javob:

a) a=4 bo'lsa, sistemaning cheksiz sonli yechimlari bor;

b) agar a4, keyin faqat bitta yechim bor.

2-misol.

Tenglamalar sistemasini yeching

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Yechish: a) , ya'ni. m1 uchun tizim noyob yechimga ega.

b), ya'ni. m=1 (2=m+1) va n1 uchun dastlabki sistemaning yechimlari yo‘q

c) , m=1 va n=1 uchun sistemaning cheksiz ko'p yechimlari mavjud.

Javob: a) m=1 va n1 bo‘lsa, yechimlar yo‘q

b) m=1 va n=1 bo‘lsa, yechim cheksiz to‘plam bo‘ladi

• y - har qanday
• x=n-2y

c) agar m1 va n har qanday bo'lsa, u holda

3-misol.

• akh-3au=2a+3
• x+ay=1

Yechish: II tenglamadan x = 1-ay ni topamiz va I tenglamani tenglamaga almashtiramiz.

a(1-au)-3au=2a+3

a-a 2 y-3au=2a+3

A 2 y-3au=a+3

A(a+3)y=a+3

Mumkin holatlar:

1) a=0. Keyin tenglama 0*y=3 [y] ga o‘xshaydi.

Shuning uchun, a=0 uchun tizimning yechimlari yo'q

2) a=-3. Keyin 0*y=0.

Shuning uchun, y. Bu holda x=1-au=1+3u

3) a0 va a-3. U holda y=-, x=1-a(-=1+1=2

Javob:

1) agar a=0 boʻlsa, (x; y)

2) a=-3 bo'lsa, x=1+3y, y bo'ladi

3) agar a0 va a?-3, keyin x=2, y=-

Tizimni yechishning ikkinchi usulini ko'rib chiqamiz (1).

(1) tizimni algebraik qo‘shish usuli yordamida yechamiz: birinchidan, sistemaning birinchi tenglamasini B 2 ga, ikkinchisini B 1 ga ko‘paytiramiz va bu tenglamalarni had bo‘yicha qo‘shamiz, shu bilan y o‘zgaruvchisi yo‘q qilinadi:

Chunki A 1 B 2 -A 2 B 1 0, keyin x =

Endi x o'zgaruvchisini yo'q qilaylik. Buning uchun (1) tizimning birinchi tenglamasini A 2 ga, ikkinchisini esa A 1 ga ko'paytiring va ikkala tenglamani had bo'yicha qo'shing:

• A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
• y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 -A 1 C 2

chunki A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

Yechish tizimi (1) qulayligi uchun biz quyidagi belgilarni kiritamiz:

- asosiy belgilovchi

Endi (1) sistemaning yechimini determinantlar yordamida yozish mumkin:

Berilgan formulalar Kramer formulalari deyiladi.

Agar bo'lsa, (1) tizim yagona yechimga ega: x=; y=

Agar , yoki bo'lsa, (1) tizimning yechimlari yo'q

Agar , , , boʻlsa, (1) sistemaning cheksiz sonli yechimlari boʻladi.

Bunday holda, tizimni qo'shimcha tekshirish kerak. Bunday holda, qoida tariqasida, u bitta chiziqli tenglamaga tushiriladi. Bunday holda, tizimni quyidagi tarzda o'rganish ko'pincha qulaydir: tenglamani yechish orqali biz parametrlarning o'ziga xos qiymatlarini topamiz yoki parametrlardan birini boshqalar bilan ifodalaymiz va ushbu parametr qiymatlarini quyidagiga almashtiramiz. tizim. Keyin biz o'rganilishi kerak bo'lgan maxsus raqamli koeffitsientlarga ega yoki kamroq miqdordagi parametrlarga ega tizimni olamiz.

Agar tizimning A 1, A 2, B 1, B 2 koeffitsientlari bir nechta parametrlarga bog'liq bo'lsa, u holda tizimni determinantlar yordamida o'rganish qulay.

4-misol.

a parametrining barcha qiymatlari uchun tenglamalar tizimini yeching

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Yechish: sistemaning determinantini topamiz:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

TO parametrli vazifalar masalan, chiziqli va echimlarni qidirishni o'z ichiga olishi mumkin kvadrat tenglamalar V umumiy ko'rinish, parametr qiymatiga qarab mavjud bo'lgan ildizlar soni uchun tenglamani o'rganish.

Batafsil ta'riflar bermasdan, quyidagi tenglamalarni misol sifatida ko'rib chiqing:

y = kx, bu erda x, y - o'zgaruvchilar, k - parametr;

y = kx + b, bu erda x, y - o'zgaruvchilar, k va b - parametrlar;

ax 2 + bx + c = 0, bu erda x - o'zgaruvchilar, a, b va c - parametr.

Parametrli tenglamani (tengsizlik, tizim) yechish, qoida tariqasida, cheksiz tenglamalar to‘plamini (tengsizliklar, tizimlar) yechish demakdir.

Parametrli vazifalarni ikki turga bo'lish mumkin:

A) shart shunday deydi: tenglamani yeching (tengsizlik, tizim) - bu parametrning barcha qiymatlari uchun barcha echimlarni toping. Agar kamida bitta holat o'rganilmagan bo'lsa, bunday yechimni qoniqarli deb hisoblash mumkin emas.

b) tenglama (tengsizlik, tizim) ma'lum xususiyatlarga ega bo'lgan parametrning mumkin bo'lgan qiymatlarini ko'rsatish talab qilinadi. Masalan, bitta yechim bor, yechimi yo‘q, yechimi bor, intervalga tegishli h.k. Bunday vazifalarda qaysi parametr qiymatida kerakli shart bajarilganligini aniq ko'rsatish kerak.

Parametr noma'lum sobit raqam bo'lib, o'ziga xos ikkilikka ega. Avvalo, taxmin qilingan mashhurlik parametrni raqam sifatida qabul qilish kerakligini ko'rsatishini hisobga olish kerak. Ikkinchidan, parametrni manipulyatsiya qilish erkinligi uning noaniqligi bilan cheklangan. Masalan, parametrni o'z ichiga olgan ifodaga bo'lish yoki ildizni chiqarish operatsiyalari hatto daraja bunday iboradan dastlabki tadqiqotni talab qiladi. Shuning uchun, parametr bilan ishlashda ehtiyot bo'lish kerak.

Masalan, ikkita -6a va 3a raqamlarini solishtirish uchun siz uchta holatni ko'rib chiqishingiz kerak:

1) a manfiy son bo'lsa -6a 3a dan katta bo'ladi;

2) a = 0 bo'lgan holatda -6a = 3a;

3) -6a 3a dan kichik bo'ladi, agar a musbat son 0 bo'lsa.

Yechim javob bo'ladi.

kx = b tenglama berilgan bo'lsin. Bu tenglama bir o'zgaruvchiga ega cheksiz sonli tenglamalar uchun qisqa shakldir.

Bunday tenglamalarni echishda quyidagi holatlar bo'lishi mumkin:

1. k nolga teng bo'lmagan har qanday haqiqiy son va b R dan istalgan son bo'lsin, u holda x = b/k.

2. K = 0 va b ≠ 0 bo'lsin, dastlabki tenglama 0 x = b ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bu tenglama hech qanday yechimga ega emas.

3. K va b nolga teng sonlar bo'lsin, u holda biz 0 x = 0 tenglikka ega bo'lamiz. Uning yechimi har qanday haqiqiy sondir.

Ushbu turdagi tenglamani yechish algoritmi:

1. Parametrning “nazorat” qiymatlarini aniqlang.

2. Birinchi xatboshida aniqlangan parametr qiymatlari uchun x uchun dastlabki tenglamani yeching.

3. Birinchi xatboshida tanlanganlardan farq qiluvchi parametr qiymatlari uchun x uchun dastlabki tenglamani yeching.

4. Javobni quyidagi shaklda yozishingiz mumkin:

1) ... uchun (parametr qiymatlari), tenglamaning ildizlari bor ...;

2) ... uchun (parametr qiymatlari), tenglamada ildiz yo'q.

1-misol.

|6 – x| parametrli tenglamani yeching = a.

Yechim.

Bu erda ≥ 0 ekanligini ko'rish oson.

6-modul qoidasiga ko'ra x = ±a, biz x ni ifodalaymiz:

Javob: x = 6 ± a, bu erda a ≥ 0.

2-misol.

a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 tenglamani x o‘zgaruvchisiga nisbatan yeching.

Yechim.

Qavslarni ochamiz: ah – a + 2x – 2 = 0

Tenglamani standart shaklda yozamiz: x(a + 2) = a + 2.

Agar a + 2 ifodasi nolga teng bo'lmasa, ya'ni a ≠ -2 bo'lsa, bizda x = (a + 2) / (a ​​+ 2) yechim mavjud, ya'ni. x = 1.

Agar a + 2 nolga teng bo'lsa, ya'ni. a = -2, u holda biz 0 x = 0 to'g'ri tenglikka egamiz, shuning uchun x har qanday haqiqiy sondir.

Javob: a ≠ -2 uchun x = 1 va a = -2 uchun x € R.

3-misol.

x o'zgaruvchiga nisbatan x/a + 1 = a + x tenglamani yeching.

Yechim.

Agar a = 0 bo'lsa, u holda tenglamani a + x = a 2 + ax yoki (a – 1)x = -a(a – 1) ko'rinishga o'tkazamiz. a = 1 uchun oxirgi tenglama 0 x = 0 ko'rinishga ega, shuning uchun x har qanday raqamdir.

Agar a ≠ 1 bo'lsa, oxirgi tenglama x = -a ko'rinishini oladi.

Ushbu yechimni koordinata chizig'ida tasvirlash mumkin (1-rasm)

Javob: a = 0 uchun yechimlar mavjud emas; x - a = 1 bo'lgan istalgan raqam; a ≠ 0 va a ≠ 1 uchun x = -a.

Grafik usul

Parametrli tenglamalarni echishning yana bir usulini ko'rib chiqaylik - grafik. Bu usul juda tez-tez ishlatiladi.

4-misol.

a parametriga qarab ||x| tenglama nechta ildizga ega – 2| = a?

Yechim.

Yechimlar uchun grafik usul y = ||x| funksiyalarning grafiklarini qurish – 2| va y = a (2-rasm).

Chizmada y = a to'g'ri chiziqning joylashishi va ularning har biridagi ildizlar sonining mumkin bo'lgan holatlari aniq ko'rsatilgan.

Javob: agar a bo'lsa tenglamaning ildizlari bo'lmaydi< 0; два корня будет в случае, если a >2 va a = 0; a = 2 holatda tenglama uchta ildizga ega bo'ladi; to'rtta ildiz - 0 da< a < 2.

5-misol.

2|x| tenglama qanday bo'lsa + |x – 1| = a bitta ildizga egami?

Yechim.

y = 2|x| funksiyalarning grafiklarini tasvirlaymiz + |x – 1| va y = a. y = 2|x| uchun + |x – 1|, modullarni interval usuli yordamida kengaytirib, biz quyidagilarni olamiz:

(-3x + 1, x da< 0,

y = (x + 1, 0 ≤ x ≤ 1 uchun,

(3x – 1, x > 1 uchun.

Yoniq 3-rasm Ko'rinib turibdiki, a = 1 bo'lgandagina tenglama bitta ildizga ega bo'ladi.

Javob: a = 1.

6-misol.

|x + 1| tenglamaning yechimlari sonini aniqlang + |x + 2| = a parametriga qarab a?

Yechim.

y = |x + 1| funksiyaning grafigi + |x + 2| singan chiziq bo'ladi. Uning uchlari (-2; 1) va (-1; 1) nuqtalarda joylashgan bo'ladi. (4-rasm).

Javob: agar a parametri bittadan kichik bo'lsa, tenglamaning ildizlari bo'lmaydi; agar a = 1 bo'lsa, tenglamaning yechimi [-2] segmentidagi cheksiz sonlar to'plamidir; -1]; agar a parametrining qiymatlari birdan katta bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi.

Hali ham savollaringiz bormi? Parametrli tenglamalarni echishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun -.
Birinchi dars bepul!

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.

Parametrli tenglamalar sistemasini yechamiz (A.Larin, 98-variant).

Parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun tizim

aynan bitta yechimga ega.

Keling, tizimni batafsil ko'rib chiqaylik. Tizimning birinchi tenglamasida chap tomoni , o'ng tomoni esa parametrga bog'liq emas. Ya'ni, bu tenglamani funksiya tenglamasi sifatida ko'rib chiqishimiz mumkin

va biz bu funktsiyani chizishimiz mumkin.

Tizimning ikkinchi tenglamasi

parametrga bog'liq va tenglamaning chap tomonida ajratib ko'rsatish orqali mukammal kvadrat, biz aylana tenglamasini olamiz.

Shunday qilib, har bir tenglamaning grafiklarini chizish va parametrning qaysi qiymatida bu grafiklarning bitta kesishish nuqtasi borligini ko'rish mantiqan.

Birinchi tenglamadan boshlaylik. Birinchidan, modullarni ochamiz. Buning uchun belgi o'zgaruvchan nuqtalarni topish uchun har bir submodulli ifodani nolga tenglashtiramiz.

Birinchi submodulli ifoda belgisini o'zgartiradi at , ikkinchisi - at .

Keling, ushbu nuqtalarni koordinata chizig'ida chizamiz va har bir oraliqda har bir submodulli ifodaning belgilarini topamiz:

E'tibor bering, va tenglamasi mantiqiy emas, shuning uchun biz bu nuqtalarni teshamiz.

Endi har bir intervalda modullarni kengaytiramiz. (Yodda tuting: agar submodulli ifoda noldan katta yoki teng bo'lsa, biz modulni bir xil belgi bilan, agar noldan kichik bo'lsa, qarama-qarshi belgi bilan kengaytiramiz.)

Ikkala submodulli ibora ham salbiy, shuning uchun ikkala modulni ham qarama-qarshi belgi bilan kengaytiramiz:

Ya'ni, asl funktsiya shaklga ega bo'lganda

Ushbu oraliqda birinchi submodulyar ifoda salbiy, ikkinchisi esa ijobiy, shuning uchun biz quyidagilarni olamiz:

- bu oraliqda funksiya mavjud emas.

3. title="x>2">!}

Ushbu oraliqda ikkala submodulli ifoda ijobiydir; biz ikkala modulni bir xil belgi bilan kengaytiramiz. Biz olamiz:

Ya'ni title="x>2) bilan"> исходная функция имеет вид !}

Shunday qilib, biz funktsiyaning grafigini oldik

Endi ikkinchi tenglamani ko'rib chiqamiz:

Keling, tenglamaning chap tomonidagi to'liq kvadratni tanlaymiz, buning uchun tenglamaning ikkala tomoniga 4 raqamini qo'shing:

Parametrning o'ziga xos qiymati uchun ushbu tenglamaning grafigi koordinatalari bo'lgan nuqtada markazi bo'lgan doiradir , radiusi 5. Uchun turli ma'nolar bizda bir qator doiralar mavjud:

Doirani birinchi funksiya grafigining chap tomoniga tegguncha pastdan yuqoriga siljitamiz. Rasmda bu doira qizil rangda. Bu doiraning markazi nuqta, uning koordinatalari (-2;-3). Bundan tashqari, yuqoriga qarab harakatlanayotganda, aylana funktsiya grafigining chap tomoni bilan bitta kesishish nuqtasiga ega, ya'ni tizim noyob echimga ega.

Biz aylanani birinchi funksiya grafigining o‘ng tomoniga tegguncha yuqoriga siljitishda davom etamiz. Bu doira markazi koordinatalari (-2;0) bo'lgan nuqtada bo'lganda sodir bo'ladi - rasmda bu doira ko'k rangda.

Yana yuqoriga qarab harakatlanayotganda aylana birinchi funksiya grafigining chap va o‘ng qismlarini ham kesib o‘tadi, ya’ni aylananing birinchi funksiya grafigi bilan ikkita kesishgan nuqtasi bo‘ladi va sistema ikkita yechimga ega bo‘ladi. Bu holat aylana markazi koordinatalari (-2; 5) nuqtaga kelguncha davom etadi - bu doira yashil rangda. Bu nuqtada aylana grafikning chap tomoniga tegib, o'ng tomonini kesib o'tadi. Ya'ni, tizim bitta yechimga ega.

Shunday qilib, tizim qachon noyob yechimga ega(-3;0] bu erda \ - o'zgaruvchilar, \ - parametr;

\[y = kx + b,\] bu erda \ - o'zgaruvchilar, \ - parametr;

\[ax^2 + bx + s = 0,\] bu erda \ - o'zgaruvchi, \[a, b, s\] - parametr.

Parametrli tenglamani yechish, qoida tariqasida, cheksiz tenglamalar to'plamini yechish demakdir.

Biroq, ma'lum bir algoritmga rioya qilgan holda, siz quyidagi tenglamalarni osongina echishingiz mumkin:

1. Parametrning “nazorat” qiymatlarini aniqlang.

2. Birinchi xatboshida belgilangan parametr qiymatlari bilan [\x\] uchun dastlabki tenglamani yeching.

3. Birinchi xatboshida tanlanganlardan farq qiluvchi parametr qiymatlari uchun [\x\] uchun dastlabki tenglamani yeching.

Aytaylik, bizga quyidagi tenglama berilgan:

\[\6 o'rta - x \mid = a.\]

Dastlabki ma'lumotlarni tahlil qilib, aniq bo'ladiki, \[\ge 0.\]

Modul qoidasiga ko'ra \ ifodalaymiz \

Javob: \qaerda\

Parametrli tenglamani onlayn qayerda yechish mumkin?

Tenglamani bizning https://site saytimizda echishingiz mumkin. Bepul onlayn hal qiluvchi har qanday murakkablikdagi onlayn tenglamalarni bir necha soniya ichida hal qilish imkonini beradi. Bajarishingiz kerak bo'lgan yagona narsa ma'lumotlaringizni hal qiluvchiga kiritishdir. Shuningdek, bizning veb-saytimizda video ko'rsatmalarini ko'rishingiz va tenglamani qanday echishni o'rganishingiz mumkin. Va agar sizda hali ham savollaringiz bo'lsa, ularni bizning VKontakte guruhimizda http://vk.com/pocketteacher so'rashingiz mumkin. Guruhimizga qo'shiling, biz har doim sizga yordam berishdan xursandmiz.