Yechim Biz buni kalkulyator yordamida qilamiz. Kengaytirilgan va asosiy matritsalarni yozamiz: 
Asosiy A matritsa nuqtali chiziq bilan ajratilgan.Tizim tenglamalarida atamalarning mumkin boʻlgan joylashishini yodda tutgan holda, nomaʼlum tizimlarni tepaga yozamiz. Kengaytirilgan matritsaning darajasini aniqlash orqali biz bir vaqtning o'zida asosiyning darajasini topamiz. B matritsasida birinchi va ikkinchi ustunlar proportsionaldir. Ikki proportsional ustundan faqat bittasi asosiy minorga tushishi mumkin, shuning uchun keling, masalan, qarama-qarshi belgi bilan birinchi ustunni nuqta chiziqdan tashqariga o'tkazamiz. Tizim uchun bu atamalarni x 1 dan tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazishni anglatadi. 
Matritsani ga kamaytiramiz uchburchak ko'rinishi. Biz faqat satrlar bilan ishlaymiz, chunki matritsa qatorini noldan boshqa raqamga ko'paytirish va uni tizim uchun boshqa qatorga qo'shish tenglamani bir xil raqamga ko'paytirishni va uni boshqa tenglama bilan qo'shishni anglatadi, bu esa tenglamaning echimini o'zgartirmaydi. tizimi. Biz birinchi qator bilan ishlaymiz: matritsaning birinchi qatorini (-3) ga ko'paytiramiz va ikkinchi va uchinchi qatorlarga navbat bilan qo'shamiz. Keyin birinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va to'rtinchi qatorga qo'shing. 
Ikkinchi va uchinchi qatorlar proportsionaldir, shuning uchun ulardan birini, masalan, ikkinchisini kesib tashlash mumkin. Bu tizimning ikkinchi tenglamasini kesib tashlashga teng, chunki bu uchinchisining natijasidir. 
Endi biz ikkinchi qator bilan ishlaymiz: uni (-1) ga ko'paytiramiz va uchinchisiga qo'shamiz. 
Nuqta chiziq bilan aylana chizilgan minor bor eng yuqori tartib(mumkin bo'lgan kichiklardan) va nolga teng emas (u asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng) va bu minor ham asosiy matritsaga, ham kengaytirilgan matritsaga tegishli, shuning uchun rangA = rangB = 3.
Kichik 
asosiy hisoblanadi. Unga x 2 , x 3 , x 4 nomaʼlumlar uchun koeffitsientlar kiradi, yaʼni x 2 , x 3 , x 4 nomaʼlumlar bogʻliq, x 1 , x 5 esa erkindir.
Matritsani o'zgartiramiz, chap tomonda faqat bazis minorini qoldiramiz (bu yuqoridagi yechim algoritmining 4-bandiga to'g'ri keladi). 
Ushbu matritsaning koeffitsientlari bo'lgan tizim asl tizimga teng va shaklga ega
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Biz x 1 va x 5 bo'sh bo'lganlar orqali x 2, x 3, x 4 bog'liq o'zgaruvchilarni ifodalovchi munosabatlarni oldik, ya'ni umumiy yechim topdik:
Erkin noma'lumlarga har qanday qiymatlarni belgilash orqali biz har qanday miqdordagi aniq echimlarni olamiz. Keling, ikkita maxsus yechim topamiz:
1) x 1 = x 5 = 0, keyin x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3 bo'lsin;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, keyin x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 qo'ying.
Shunday qilib, ikkita yechim topildi: (0,1,-3,3,0) – bitta yechim, (1,4,-7,7,-1) – boshqa yechim.
2-misol. Muvofiqlikni o'rganing, tizimning umumiy va alohida yechimini toping 
Yechim. Birinchi va ikkinchi tenglamalarni birinchi tenglamada bitta bo'lishi uchun qayta o'rnatamiz va B matritsasini yozamiz. 
Birinchi qator bilan ishlash orqali to'rtinchi ustunda nollarni olamiz: 
Endi biz ikkinchi qatordan foydalanib uchinchi ustundagi nollarni olamiz: 
Uchinchi va to'rtinchi qatorlar proportsionaldir, shuning uchun ulardan birini darajani o'zgartirmasdan kesib tashlash mumkin:
Uchinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va to'rtinchi qatorga qo'shing: 
Ko'ramizki, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning darajalari 4 ga teng va daraja noma'lumlar soniga to'g'ri keladi, shuning uchun tizim o'ziga xos echimga ega:
-x 1 =-3 → x 1 =3; x 2 =3-x 1 → x 2 =0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.
3-misol. Tizimning mosligini tekshiring va agar mavjud bo'lsa, yechim toping. 
Yechim. Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz. 
Biz birinchi ikkita tenglamani yuqori chap burchakda 1 bo'lishi uchun o'zgartiramiz:
Birinchi qatorni (-1) ga ko'paytirish, uchinchi qatorga qo'shish: 
Ikkinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va uchinchi qatorga qo'shing: 
Tizim mos kelmaydi, chunki asosiy matritsada biz nollardan tashkil topgan qatorni oldik, bu qatorni daraja topilganda kesib tashlanadi, lekin kengaytirilgan matritsada oxirgi qator qoladi, ya'ni r B > r A .
Mashq qilish. Ushbu tenglamalar tizimini moslik uchun o'rganing va uni matritsa hisobi yordamida yeching.
Yechim
Misol. Tizimning mosligini isbotlang chiziqli tenglamalar va uni ikki usulda yeching: 1) Gauss usuli; 2) Kramer usuli. (javobni x1,x2,x3 shaklida kiriting)
Yechim :doc :doc :xls
Javob: 2,-1,3.
Misol. Chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan. Uning mosligini isbotlang. Tizimning umumiy yechimini va bitta alohida yechimini toping.
Yechim
Javob: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5
Mashq qilish. Har bir tizimning umumiy va xususiy yechimlarini toping.
Yechim. Biz bu tizimni Kroneker-Kapelli teoremasi yordamida o'rganamiz.
Kengaytirilgan va asosiy matritsalarni yozamiz:
| 1 | 1 | 14 | 0 | 2 | 0 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Bu erda A matritsasi qalin bo'lib ajratilgan.
Matritsani uchburchak shaklga keltiramiz. Biz faqat satrlar bilan ishlaymiz, chunki matritsa qatorini noldan boshqa raqamga ko'paytirish va uni tizim uchun boshqa qatorga qo'shish tenglamani bir xil raqamga ko'paytirishni va uni boshqa tenglama bilan qo'shishni anglatadi, bu esa tenglamaning echimini o'zgartirmaydi. tizimi.
1-qatorni (3) ga ko'paytiramiz. 2-qatorni (-1) ga ko'paytiring. 1-chi qatorga 2-qatorni qo'shamiz:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 3 | 4 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
2-qatorni (2) ga ko'paytiramiz. 3-qatorni (-3) ga ko'paytiring. 2-qatorga 3-qatorni qo'shamiz:
| 0 | -1 | 40 | -3 | 6 | -1 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
2-qatorni (-1) ga ko'paytiring. 1-chi qatorga 2-qatorni qo'shamiz:
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -3 | 6 | -1 |
| 2 | 3 | -3 | 3 | -2 | 1 |
Tanlangan minor eng yuqori tartibga ega (mumkin bo'lgan kichiklar) va nolga teng emas (u teskari diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng) va bu minor ham asosiy, ham kengaytirilgan matritsaga tegishli, shuning uchun rang( A) = rang (B) = 3 Asosiy matritsaning darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng bo'lganligi sababli, u holda tizim hamkorlikda ishlaydi.
Bu kichik asosiy hisoblanadi. U x 1 , x 2 , x 3 nomaʼlumlar uchun koeffitsientlarni oʻz ichiga oladi, yaʼni x 1 , x 2 , x 3 nomaʼlumlar bogʻliq (asosiy) va x 4, x 5 esa erkindir.
Matritsani o'zgartiramiz, chap tomonda faqat minor bazisni qoldiramiz.
| 0 | 0 | 27 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | -1 | 13 | -1 | 3 | -6 |
| 2 | 3 | -3 | 1 | -3 | 2 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Noma'lumlarni yo'q qilish usulidan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:
Biz x 1 , x 2 , x 3 bogʻliq oʻzgaruvchilarni x 4 , x 5 boʻsh boʻlganlar orqali ifodalovchi munosabatlarga erishdik, yaʼni topdik. umumiy qaror:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
noaniq, chunki bir nechta yechimga ega.
Mashq qilish. Tenglamalar sistemasini yeching.
Javob:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Erkin noma'lumlarga har qanday qiymatlarni belgilash orqali biz har qanday miqdordagi aniq echimlarni olamiz. Tizim shunday noaniq
n ta noma’lumli m chiziqli tenglamalar sistemasi shakl tizimi deb ataladi
Qayerda a ij Va b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ba'zi ma'lum raqamlardir va x 1 ,…,x n- noma'lum. Koeffitsientlarni belgilashda a ij birinchi indeks i tenglama raqamini, ikkinchisini bildiradi j- bu koeffitsient turgan noma'lumlar soni.
Noma'lumlar uchun koeffitsientlarni matritsa shaklida yozamiz 
, biz uni chaqiramiz tizim matritsasi.
Tenglamalarning o'ng tomonidagi raqamlar b 1 ,…,b m chaqiriladi bepul a'zolar.
Jamiyat n raqamlar c 1 ,…,c n chaqirdi qaror berilgan tizimning, agar tizimning har bir tenglamasi unga raqamlarni almashtirgandan keyin tenglikka aylansa c 1 ,…,c n mos keladigan noma'lumlar o'rniga x 1 ,…,x n.
Bizning vazifamiz tizimga yechim topish bo'ladi. Bunday holda, uchta holat yuzaga kelishi mumkin:
Eng kamida bitta yechimga ega chiziqli tenglamalar tizimi deyiladi qo'shma. Aks holda, ya'ni. agar tizimda echimlar bo'lmasa, u chaqiriladi qo'shma bo'lmagan.
Keling, tizimga yechim topish yo'llarini ko'rib chiqaylik.
CHIZIQLI TENGLAMALAR TIZIMLARINI YECHISHNING MATRIX USULI
Matritsalar chiziqli tenglamalar tizimini qisqacha yozish imkonini beradi. Uchta noma’lumli 3 ta tenglamalar sistemasi berilsin:
Tizim matritsasini ko'rib chiqing 
va noma'lum va erkin shartlarning matritsalar ustunlari 
Keling, ishni topaylik
bular. mahsulot natijasida biz ushbu tizim tenglamalarining chap tomonlarini olamiz. Keyin, matritsa tengligining ta'rifidan foydalanib, bu tizimni shaklda yozish mumkin
yoki qisqaroq A∙X=B.
Mana matritsalar A Va B ma'lum va matritsa X noma'lum. Uni topish kerak, chunki... uning elementlari bu tizimning yechimidir. Bu tenglama deyiladi matritsa tenglamasi.
Matritsa determinanti noldan farqli bo'lsin | A| ≠ 0. U holda matritsa tenglamasi quyidagicha yechiladi. Chapdagi tenglamaning ikkala tomonini matritsaga ko'paytiring A-1, matritsaga teskari A: . Chunki A -1 A = E Va E∙X = X, keyin matritsali tenglamaning yechimini shaklda olamiz X = A -1 B .
E'tibor bering, chunki teskari matritsa faqat kvadrat matritsalar uchun topilishi mumkin matritsa usuli bo'lgan tizimlarnigina hal qilish mumkin tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri keladi. Biroq, tizimning matritsali yozuvi, agar tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lmasa, matritsa ham mumkin. A kvadrat bo'lmaydi va shuning uchun shaklda tizimga yechim topish mumkin emas X = A -1 B.
Misollar. Tenglamalar tizimini yechish.
KRAMER QOIDASI
Uchta noma'lumli 3 ta chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:
Tizim matritsasiga mos keladigan uchinchi darajali determinant, ya'ni. noma'lumlar uchun koeffitsientlardan iborat,
chaqirdi tizimning hal qiluvchi omili.
Yana uchta aniqlovchini quyidagicha tuzamiz: D determinantidagi ketma-ket 1, 2 va 3 ustunlarni erkin shartlar ustuni bilan almashtiring.
Keyin quyidagi natijani isbotlashimiz mumkin.
Teorema (Kramer qoidasi). Agar tizimning determinanti D ≠ 0 bo'lsa, ko'rib chiqilayotgan tizim bitta va faqat bitta yechimga ega va
Isbot. Shunday qilib, uchta noma'lumli 3 ta tenglama tizimini ko'rib chiqamiz. Sistemaning 1- tenglamasini algebraik to‘ldiruvchiga ko‘paytiramiz A 11 element a 11, 2- tenglama – yoqilgan A 21 va uchinchisi - yoqilgan A 31:
Keling, ushbu tenglamalarni qo'shamiz:
Keling, qavslarning har birini va bu tenglamaning o'ng tomonini ko'rib chiqaylik. 1-ustun elementlarida determinantning kengayishi haqidagi teorema bo'yicha
Xuddi shunday, buni va ko'rsatish mumkin.
Nihoyat, buni sezish oson 
Shunday qilib, biz tenglikni olamiz: .
Demak, .
Teorema bayoni kelib chiqadigan va tengliklari o'xshash tarzda olingan.
Shunday qilib, shuni ta'kidlaymizki, agar tizimning determinanti D ≠ 0 bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega va aksincha. Agar tizimning determinanti nolga teng bo'lsa, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega yoki hech qanday yechimga ega emas, ya'ni. mos kelmaydigan.
Misollar. Tenglamalar tizimini yechish
GAUSS USULI
Oldin muhokama qilingan usullardan faqat tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri keladigan va tizimning determinanti noldan farqli bo'lishi kerak bo'lgan tizimlarni echish uchun ishlatilishi mumkin. Gauss usuli ko'proq universal va har qanday tenglamalar soniga ega tizimlar uchun mos keladi. Bu tizim tenglamalaridan noma'lumlarni izchil yo'q qilishdan iborat.
Yana uchta noma'lumli uchta tenglama tizimini ko'rib chiqing:
.
Biz birinchi tenglamani o'zgarishsiz qoldiramiz va 2 va 3-dan iborat bo'lgan shartlarni chiqarib tashlaymiz. x 1. Buning uchun ikkinchi tenglamani ga bo'ling A 21 va ko'paytiring - A 11 va keyin uni 1-tenglamaga qo'shing. Xuddi shunday, biz uchinchi tenglamani ga ajratamiz A 31 va ko'paytiring - A 11 va keyin uni birinchisi bilan qo'shing. Natijada, asl tizim quyidagi shaklga ega bo'ladi:
Endi oxirgi tenglamadan biz o'z ichiga olgan atamani olib tashlaymiz x 2. Buning uchun uchinchi tenglamani ga bo'ling, ko'paytiring va ikkinchisiga qo'shing. Keyin biz tenglamalar tizimiga ega bo'lamiz:
Bu erdan, oxirgi tenglamadan topish oson x 3, keyin 2-tenglamadan x 2 va nihoyat, 1-dan - x 1.
Gauss usulidan foydalanganda, agar kerak bo'lsa, tenglamalarni almashtirish mumkin.
Ko'pincha, yangi tenglamalar tizimini yozish o'rniga, ular tizimning kengaytirilgan matritsasini yozish bilan cheklanadi:
va keyin elementar transformatsiyalar yordamida uni uchburchak yoki diagonal shaklga keltiring.
TO elementar transformatsiyalar matritsalar quyidagi o'zgarishlarni o'z ichiga oladi:
- satrlar yoki ustunlarni qayta tartiblash;
- satrni noldan boshqa raqamga ko'paytirish;
- bir qatorga boshqa qatorlarni qo'shish.
Misollar: Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini yeching.
Shunday qilib, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.
Qabul qilingan tenglamalar tizimlari keng qo'llanilishi bilan iqtisodiyot sohasida matematik modellashtirish turli jarayonlar. Masalan, ishlab chiqarishni boshqarish va rejalashtirish, logistika yo'nalishlari (transport muammosi) yoki jihozlarni joylashtirish muammolarini hal qilishda.
Tenglamalar sistemasi nafaqat matematikada, balki fizika, kimyo va biologiyada ham aholi sonini topish masalalarini yechishda qo'llaniladi.
Chiziqli tenglamalar tizimi bir nechta o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikki yoki undan ortiq tenglamalar bo'lib, ular uchun umumiy yechim topish kerak. Barcha tenglamalar haqiqiy tenglikka aylanadigan yoki ketma-ketlik mavjud emasligini isbotlaydigan raqamlarning bunday ketma-ketligi.
Chiziqli tenglama
ax+by=c ko’rinishdagi tenglamalar chiziqli deyiladi. X, y belgilari - qiymati topilishi kerak bo'lgan noma'lumlar, b, a - o'zgaruvchilarning koeffitsientlari, c - tenglamaning erkin hadi.
Tenglamani chizib yechish to‘g‘ri chiziqqa o‘xshaydi, uning barcha nuqtalari ko‘phadning yechimlaridir.
Chiziqli tenglamalar sistemalarining turlari
Eng oddiy misollar ikkita o'zgaruvchisi X va Y bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimi hisoblanadi.
F1(x, y) = 0 va F2(x, y) = 0, bu erda F1,2 funksiyalar va (x, y) funksiya o'zgaruvchilari.
Tenglamalar tizimini yechish - bu tizim haqiqiy tenglikka aylanadigan qiymatlarni (x, y) topish yoki x va y ning mos qiymatlari mavjud emasligini aniqlashni anglatadi.
Nuqtaning koordinatalari sifatida yozilgan juft qiymatlar (x, y) chiziqli tenglamalar tizimining yechimi deb ataladi.
Agar tizimlar bitta umumiy yechimga ega bo'lsa yoki hech qanday yechim mavjud bo'lmasa, ular ekvivalent deb ataladi.
Chiziqli tenglamalarning bir jinsli sistemalari sistemalardir o'ng qism bu nolga teng. Agar tenglik belgisidan keyingi o'ng qism qiymatga ega bo'lsa yoki funktsiya bilan ifodalangan bo'lsa, bunday tizim geterogendir.
O'zgaruvchilar soni ikkitadan ancha ko'p bo'lishi mumkin, keyin biz uchta yoki undan ko'p o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimining misoli haqida gapirishimiz kerak.
Tizimlar bilan duch kelganda, maktab o'quvchilari tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri kelishi kerak deb o'ylashadi, ammo bu unday emas. Tizimdagi tenglamalar soni o'zgaruvchilarga bog'liq emas, ular xohlagancha ko'p bo'lishi mumkin.
Tenglamalar sistemalarini yechishning oddiy va murakkab usullari
Bunday tizimlarni hal qilishning umumiy analitik usuli mavjud emas, barcha usullar asoslanadi raqamli yechimlar. IN maktab kursi Matematika almashtirish, algebraik qo'shish, almashtirish, shuningdek, grafik va matritsa usullari, Gauss usuli bilan yechish kabi usullarni batafsil tavsiflaydi.
Yechish usullarini o'rgatishda asosiy vazifa tizimni to'g'ri tahlil qilishni va har bir misol uchun optimal yechim algoritmini topishni o'rgatishdir. Asosiysi, har bir usul uchun qoidalar va harakatlar tizimini yodlash emas, balki ma'lum bir usuldan foydalanish tamoyillarini tushunishdir.
7-sinf dasturining chiziqli tenglamalar sistemasiga misollar yechish o'rta maktab juda oddiy va batafsil tushuntirilgan. Har qanday matematika darsligida ushbu bo'limga etarlicha e'tibor beriladi. Chiziqli tenglamalar sistemalariga misollarni Gauss va Kramer usuli yordamida yechish oliy ta’limning birinchi yillarida batafsil o‘rganiladi.
Tizimlarni almashtirish usuli yordamida yechish
O'zgartirish usulining harakatlari bir o'zgaruvchining qiymatini ikkinchisi bilan ifodalashga qaratilgan. Ifoda qolgan tenglamaga almashtiriladi, so'ngra u bitta o'zgaruvchili shaklga keltiriladi. Harakat tizimdagi noma'lumlar soniga qarab takrorlanadi
7-sinf chiziqli tenglamalar tizimi misoliga almashtirish usuli yordamida yechim keltiramiz:
Misoldan ko'rinib turibdiki, x o'zgaruvchisi F(X) = 7 + Y orqali ifodalangan. Natijada X o'rniga tizimning 2- tenglamasiga almashtirilgan ifoda 2-tenglamada bitta Y o'zgaruvchisini olishga yordam berdi. . Bu misolni yechish oson va Y qiymatini olish imkonini beradi.Oxirgi qadam olingan qiymatlarni tekshirishdir.
Chiziqli tenglamalar sistemasiga misolni almashtirish usuli bilan yechish har doim ham mumkin emas. Tenglamalar murakkab bo'lishi mumkin va o'zgaruvchini ikkinchi noma'lum bilan ifodalash keyingi hisob-kitoblar uchun juda og'ir bo'ladi. Tizimda 3 dan ortiq noma'lum bo'lsa, almashtirish yo'li bilan yechish ham o'rinsiz.
Chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamalar sistemasiga misol yechimi:
Algebraik qo‘shish yordamida yechim
Qo'shish usulidan foydalangan holda tizimlar yechimlarini izlashda tenglamalar atama bo'yicha qo'shiladi va turli raqamlarga ko'paytiriladi. Matematik operatsiyalarning yakuniy maqsadi bitta o'zgaruvchidagi tenglamadir.
Ushbu usulni qo'llash amaliyot va kuzatishni talab qiladi. Chiziqli tenglamalar tizimini 3 yoki undan ortiq oʻzgaruvchi boʻlganda qoʻshish usuli yordamida yechish oson emas. Tenglamalar kasr va o'nli kasrlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, algebraik qo'shish qulay.
Yechim algoritmi:
- Tenglamaning ikkala tomonini ma'lum songa ko'paytiring. Arifmetik operatsiya natijasida o'zgaruvchining koeffitsientlaridan biri 1 ga teng bo'lishi kerak.
- Hosil boʻlgan iborani termin boʻyicha qoʻshing va nomaʼlumlardan birini toping.
- Qolgan o'zgaruvchini topish uchun olingan qiymatni tizimning 2-tenglamasiga almashtiring.
Yangi o'zgaruvchini kiritish orqali hal qilish usuli
Agar tizim ikkitadan ko'p bo'lmagan tenglamalar uchun yechim topishni talab qilsa, yangi o'zgaruvchi kiritilishi mumkin; noma'lumlar soni ham ikkitadan ko'p bo'lmasligi kerak.
Usul yangi o'zgaruvchini kiritish orqali tenglamalardan birini soddalashtirish uchun ishlatiladi. Yangi tenglama kiritilgan noma'lum uchun echiladi va olingan qiymatdan asl o'zgaruvchini aniqlash uchun foydalaniladi.
Misol shuni ko'rsatadiki, yangi t o'zgaruvchisini kiritish orqali tizimning 1- tenglamasini standart tenglamaga kamaytirish mumkin edi. kvadratik trinomial. Ko'phadni diskriminantni topib yechishingiz mumkin.
Diskriminantning qiymatini taniqli formuladan foydalanib topish kerak: D = b2 - 4*a*c, bu erda D - kerakli diskriminant, b, a, c - ko'phadning omillari. Berilgan misolda a=1, b=16, c=39, demak D=100. Agar diskriminant noldan katta bo'lsa, u holda ikkita yechim mavjud: t = -b±√D / 2*a, agar diskriminant noldan kichik bo'lsa, unda bitta yechim mavjud: x = -b / 2*a.
Olingan tizimlar uchun yechim qo'shish usuli bilan topiladi.
Tizimlarni echishning vizual usuli
3 ta tenglama tizimi uchun javob beradi. Usul tizimga kiritilgan har bir tenglamaning grafiklarini koordinata o'qi bo'yicha qurishdan iborat. Egri chiziqlarning kesishish nuqtalarining koordinatalari va bo'ladi umumiy qaror tizimlari.
Grafik usul bir qator nuanslarga ega. Chiziqli tenglamalar sistemalarini vizual tarzda yechishning bir qancha misollarini ko‘rib chiqamiz.
Misoldan ko'rinib turibdiki, har bir chiziq uchun ikkita nuqta qurilgan, x o'zgaruvchisining qiymatlari o'zboshimchalik bilan tanlangan: 0 va 3. X qiymatlari asosida y uchun qiymatlar topildi: 3 va 0. Koordinatalari (0, 3) va (3, 0) bo'lgan nuqtalar grafikda belgilangan va chiziq bilan bog'langan.
Ikkinchi tenglama uchun qadamlar takrorlanishi kerak. Chiziqlarning kesishish nuqtasi tizimning yechimidir.
Quyidagi misol topishni talab qiladi grafik yechim chiziqli tenglamalar sistemasi: 0,5x-y+2=0 va 0,5x-y-1=0.
Misoldan ko'rinib turibdiki, tizim hech qanday yechimga ega emas, chunki grafiklar parallel va butun uzunligi bo'ylab kesishmaydi.
2 va 3-misollardagi tizimlar bir-biriga o'xshash, ammo tuzilganida ularning echimlari boshqacha ekanligi ayon bo'ladi. Shuni esda tutish kerakki, tizimning yechimi bor yoki yo'qligini har doim ham aytish mumkin emas, har doim grafik yaratish kerak.
Matritsa va uning turlari
Matritsalar chiziqli tenglamalar tizimini ixcham yozish uchun ishlatiladi. Matritsa - bu jadval maxsus turi raqamlar bilan to'ldirilgan. n*m n - satr va m - ustunga ega.
Ustunlar va satrlar soni teng bo'lganda matritsa kvadrat hisoblanadi. Matritsa-vektor - cheksiz mumkin bo'lgan qatorlar soniga ega bo'lgan bitta ustunli matritsa. Diagonallardan biri va boshqa nol elementlari bo'ylab birlari bo'lgan matritsaga o'ziga xoslik deyiladi.
Teskari matritsa bu matritsa bo'lib, unga ko'paytirilganda asl matritsa birlik matritsaga aylanadi; bunday matritsa faqat dastlabki kvadrat uchun mavjud.
Tenglamalar tizimini matritsaga aylantirish qoidalari
Tenglamalar tizimlariga nisbatan tenglamalarning koeffitsientlari va erkin shartlari matritsa raqamlari sifatida yoziladi, bitta tenglama matritsaning bir qatoridir.
Agar satrning kamida bitta elementi nolga teng bo'lmasa, matritsa qatori nolga teng emas deyiladi. Shuning uchun, agar tenglamalarning birortasida o'zgaruvchilar soni farq qiladigan bo'lsa, unda etishmayotgan noma'lum o'rniga nol kiritish kerak.
Matritsa ustunlari o'zgaruvchilarga qat'iy mos kelishi kerak. Bu shuni anglatadiki, x o'zgaruvchining koeffitsientlari faqat bitta ustunda yozilishi mumkin, masalan, birinchi, noma'lum y koeffitsienti - faqat ikkinchisida.
Matritsani ko'paytirishda matritsaning barcha elementlari ketma-ket songa ko'paytiriladi.
Teskari matritsani topish variantlari
Teskari matritsani topish formulasi juda oddiy: K -1 = 1 / |K|, bu erda K -1 teskari matritsa va |K| matritsaning aniqlovchisi hisoblanadi. |K| nolga teng bo'lmasligi kerak, u holda tizim yechimga ega.
Determinant ikki-ikki matritsa uchun osongina hisoblab chiqiladi, shunchaki diagonal elementlarni bir-biriga ko'paytirish kerak. “Uchdan uch” varianti uchun |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formulasi mavjud. 3 + a 3 b 2 c 1. Siz formuladan foydalanishingiz mumkin yoki ishda ustunlar va elementlar qatorlari soni takrorlanmasligi uchun har bir satr va har bir ustundan bitta elementni olishingiz kerakligini eslashingiz mumkin.
Matritsa usuli yordamida chiziqli tenglamalar sistemasiga misollar yechish
Yechimni topishning matritsa usuli ko'p sonli o'zgaruvchilar va tenglamalarga ega tizimlarni echishda noqulay yozuvlarni kamaytirishga imkon beradi.
Misolda, a nm - tenglamalarning koeffitsientlari, matritsa - vektor x n - o'zgaruvchilar, b n - erkin shartlar.
Gauss usuli yordamida tizimlarni yechish
Oliy matematikada Gauss usuli Kramer usuli bilan birgalikda oʻrganiladi va tizimlar yechimlarini topish jarayoni Gauss-Kramer yechim usuli deb ataladi. Bu usullar ko'p sonli chiziqli tenglamalarga ega bo'lgan tizimlarning o'zgaruvchilarini topish uchun ishlatiladi.
Gauss usuli almashtirishlardan foydalanadigan yechimlarga juda o'xshaydi va algebraik qo'shish, lekin tizimliroq. Maktab kursida 3 va 4 tenglamalar sistemalari uchun Gauss usuli bilan yechim qo'llaniladi. Usulning maqsadi tizimni teskari trapezoid shakliga tushirishdir. Algebraik o'zgartirishlar va almashtirishlar yordamida bitta o'zgaruvchining qiymati tizim tenglamalaridan birida topiladi. Ikkinchi tenglama 2 ta noma'lumli ifoda, 3 va 4 esa mos ravishda 3 va 4 o'zgaruvchiga ega.
Tizimni tavsiflangan shaklga keltirgandan so'ng, keyingi yechim ma'lum o'zgaruvchilarni tizim tenglamalariga ketma-ket almashtirishga tushiriladi.
7-sinf uchun maktab darsliklarida Gauss usuli bo'yicha yechimning namunasi quyidagicha tasvirlangan:
Misoldan ko'rinib turibdiki, (3) bosqichda ikkita tenglama olingan: 3x 3 -2x 4 =11 va 3x 3 +2x 4 =7. Har qanday tenglamani echish sizga x n o'zgaruvchilardan birini topishga imkon beradi.
Matnda tilga olingan 5-teoremada aytilishicha, agar tizim tenglamalaridan biri ekvivalent bilan almashtirilsa, natijada hosil bo'lgan tizim ham asl tenglamaga teng bo'ladi.
Gauss usulini talabalar tushunishi qiyin o'rta maktab, lekin dastur bo'yicha o'qiyotgan bolalarning zukkoligini rivojlantirishning eng qiziqarli usullaridan biridir chuqur o'rganish matematika va fizika darslarida.
Yozib olish qulayligi uchun hisob-kitoblar odatda quyidagicha amalga oshiriladi:
Tenglamalar va erkin atamalar koeffitsientlari matritsa shaklida yoziladi, bu erda matritsaning har bir qatori tizim tenglamalaridan biriga mos keladi. tenglamaning chap tomonini o'ngdan ajratadi. Rim raqamlari tizimdagi tenglamalar sonini bildiradi.
Birinchidan, ishlanadigan matritsani yozing, so'ngra qatorlardan biri bilan bajarilgan barcha harakatlar. Olingan matritsa "o'q" belgisidan keyin yoziladi va kerakli ishlarni bajarishda davom etadi algebraik amallar natijaga erishilgunga qadar.
Natijada diagonallardan biri 1 ga, qolgan barcha koeffitsientlar esa nolga teng bo'lgan matritsa bo'lishi kerak, ya'ni matritsa birlik shakliga tushiriladi. Tenglamaning har ikki tomonida raqamlar bilan hisob-kitoblarni bajarishni unutmasligimiz kerak.
Ushbu yozib olish usuli unchalik mashaqqatli emas va ko'plab noma'lum narsalarni sanab, chalg'itmaslikka imkon beradi.
Har qanday yechim usulidan bepul foydalanish ehtiyotkorlik va biroz tajribani talab qiladi. Hamma usullar amaliy xususiyatga ega emas. Yechimlarni topishning ba'zi usullari inson faoliyatining muayyan sohasida afzalroq, boshqalari esa ta'lim maqsadlarida mavjud.
Biz chiziqli tenglamalar tizimlari bilan ishlashda davom etamiz. Hozirgacha biz noyob yechimga ega bo'lgan tizimlarni ko'rib chiqdik. Bunday tizimlar har qanday tarzda hal qilinishi mumkin: almashtirish usuli bilan("maktab"), Kramer formulalari bo'yicha, matritsa usuli, Gauss usuli. Biroq, amalda yana ikkita holat keng tarqalgan:
1) tizim mos kelmaydigan (echimlari yo'q);
2) tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.
Ushbu tizimlar uchun barcha yechim usullarining eng universali qo'llaniladi - Gauss usuli. Aslida, "maktab" usuli ham javobga olib keladi, ammo oliy matematikada noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilishning Gauss usulidan foydalanish odatiy holdir. Gauss usuli algoritmi bilan tanish bo'lmaganlar, iltimos, birinchi navbatda darsni o'rganing Gauss usuli
Elementar matritsa o'zgarishlarining o'zi aynan bir xil, farq yechimning oxirida bo'ladi. Birinchidan, tizimda hech qanday yechim bo'lmaganda (mos kelmaydigan) bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
1-misol
Ushbu tizim haqida darhol nima e'tiboringizni tortadi? Tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kamroq. Buni aytadigan bir teorema mavjud: “Agar tizimdagi tenglamalar soni oʻzgaruvchilar sonidan kam boʻlsa, u holda tizim yo nomuvofiq yoki cheksiz ko'p echimlarga ega." Va qolgan narsa - buni aniqlash.
Yechimning boshlanishi mutlaqo oddiy - biz tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar o'zgarishlardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:
(1). Yuqori chap qadamda biz (+1) yoki (-1) olishimiz kerak. Birinchi ustunda bunday raqamlar yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartibga solish hech narsa bermaydi. Birlik o'zini o'zi tashkil qilishi kerak bo'ladi va bu bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Biz buni qildik. Birinchi qatorga uchinchi qatorni (-1) ko'paytiramiz.
(2). Endi biz birinchi ustunda ikkita nol olamiz. Ikkinchi qatorga biz birinchi qatorni qo'shamiz, 3 ga ko'paytiriladi. Uchinchi qatorga biz birinchi qatorni qo'shamiz, 5 ga ko'paytiriladi.
(3). Transformatsiya tugallangandan so'ng, har doim olingan satrlarni soddalashtirish mumkinmi yoki yo'qligini ko'rish tavsiya etiladi? mumkin. Biz ikkinchi qatorni 2 ga ajratamiz, shu bilan birga ikkinchi bosqichda kerakli (-1) ni olamiz. Uchinchi qatorni (-3) ga bo'ling.
(4). Uchinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shing. Ehtimol, hamma elementar o'zgarishlar natijasida yuzaga kelgan yomon chiziqni payqadi:
. Bunday bo'lishi mumkin emasligi aniq.
Haqiqatan ham, keling, olingan matritsani qayta yozamiz
chiziqli tenglamalar tizimiga qaytish:
Agar elementar transformatsiyalar natijasida shakl qatori olinsa , Qayerdaλ noldan boshqa raqam bo'lsa, u holda tizim mos kelmaydi (echimlari yo'q).
Vazifaning oxirini qanday yozish kerak? Siz iborani yozishingiz kerak:
"Elementar o'zgartirishlar natijasida shakl qatori olindi, bu erda λ ≠ 0 " Javob: "Tizimda hech qanday yechim yo'q (mos kelmaydigan)."
E'tibor bering, bu holda Gauss algoritmining teskarisi yo'q, echimlar yo'q va shunchaki topib bo'lmaydigan narsa yo'q.
2-misol
Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching 
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. To'liq yechim va javob dars oxirida.
Sizga yana bir bor eslatib o'tamizki, sizning yechimingiz bizning yechimimizdan farq qilishi mumkin; Gauss usuli aniq algoritmni belgilamaydi; harakatlar tartibi va harakatlarning o'zi har bir holatda mustaqil ravishda taxmin qilinishi kerak.
Yechimning yana bir texnik xususiyati: elementar transformatsiyalarni to'xtatish mumkin birdaniga, kabi bir qator bilanoq, qaerda λ ≠ 0 . Shartli misolni ko'rib chiqaylik: deylik, birinchi transformatsiyadan keyin matritsa olinadi
.
Ushbu matritsa hali eshelon shakliga tushirilmagan, ammo keyingi elementar o'zgarishlarga ehtiyoj yo'q, chunki shakl chizig'i paydo bo'ldi, bu erda λ ≠ 0 . Tizim mos kelmasligi haqida darhol javob berish kerak.
Chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlari bo'lmaganda, qisqa, ba'zan tom ma'noda 2-3 bosqichda yechim olinadiganligi sababli, bu o'quvchiga deyarli sovg'adir. Ammo bu dunyoda hamma narsa muvozanatli va tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud bo'lgan muammo uzoqroq.
3-misol:
Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching
4 ta tenglama va 4 ta noma'lum, shuning uchun tizim bitta yechimga ega bo'lishi mumkin, yoki hech qanday yechimga ega bo'lmasligi yoki cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin. Qanday bo'lmasin, Gauss usuli har qanday holatda ham bizni javobga olib boradi. Bu uning ko'p qirraliligi.
Boshlanish yana standart. Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:
Hammasi shu, siz qo'rqdingiz.
(1). Iltimos, birinchi ustundagi barcha raqamlar 2 ga bo'linishini unutmang, shuning uchun yuqori chap qadamda 2 yaxshi. Ikkinchi qatorga birinchi qatorni (-4) ko'paytiramiz. Uchinchi qatorga birinchi qatorni (-2) ko'paytiramiz. To'rtinchi qatorga birinchi qatorni qo'shamiz, (-1) ga ko'paytiriladi.
Diqqat! Ko'pchilik to'rtinchi qatorni vasvasaga solishi mumkin ayirish birinchi qator. Buni qilish mumkin, ammo bu shart emas, tajriba shuni ko'rsatadiki, hisob-kitoblarda xatolik ehtimoli bir necha bor ortadi. Biz shunchaki qo'shamiz: to'rtinchi qatorga birinchi qatorni qo'shamiz, (-1) ga ko'paytiriladi - aynan shunday!
(2). Oxirgi uchta satr proportsionaldir, ulardan ikkitasi o'chirilishi mumkin. Bu erda biz yana ko'rsatishimiz kerak e'tiborni kuchaytirdi , lekin chiziqlar haqiqatan ham proportsionalmi? Xavfsiz tomonda bo'lish uchun ikkinchi qatorni (-1) ga ko'paytirish va to'rtinchi qatorni 2 ga bo'lish yaxshi bo'lar edi, natijada uchta bir xil chiziq paydo bo'ladi. Va shundan keyingina ulardan ikkitasini olib tashlang. Elementar o'zgarishlar natijasida tizimning kengaytirilgan matritsasi bosqichma-bosqich shaklga keltiriladi:
Daftarga topshiriq yozayotganda, aniqlik uchun xuddi shu yozuvlarni qalam bilan yozish tavsiya etiladi.
Tegishli tenglamalar tizimini qayta yozamiz: 
Bu erda tizimning "oddiy" yagona yechimining hidi yo'q. Qaerda yomon chiziq λ ≠ 0, ham yo'q. Bu shuni anglatadiki, bu qolgan uchinchi holat - tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud.
Tizimning cheksiz yechimlari to'plami qisqacha shunday deb ataladigan shaklda yoziladi tizimning umumiy yechimi.
Gauss usuliga teskari usul yordamida sistemaning umumiy yechimini topamiz. bilan tenglamalar tizimlari uchun cheksiz son yangi tushunchalar paydo bo'ladi: "asosiy o'zgaruvchilar" Va "erkin o'zgaruvchilar". Avval bizda qanday o'zgaruvchilar borligini aniqlaymiz Asosiy, va qaysi o'zgaruvchilar - ozod. Chiziqli algebraning shartlarini batafsil tushuntirish shart emas, ular borligini eslash kifoya asosiy o'zgaruvchilar Va erkin o'zgaruvchilar.
Asosiy o'zgaruvchilar har doim matritsaning qadamlarida "o'tiradilar". Ushbu misolda asosiy o'zgaruvchilar x 1 va x 3 .
Erkin o'zgaruvchilar hamma narsadir qolgan qadamni olmagan o'zgaruvchilar. Bizning holatlarimizda ulardan ikkitasi bor: x 2 va x 4 - erkin o'zgaruvchilar.
Endi kerak Hammasiasosiy o'zgaruvchilar ifodalash faqat orqalierkin o'zgaruvchilar. Gauss algoritmining teskarisi an'anaviy ravishda pastdan yuqoriga ishlaydi. Tizimning ikkinchi tenglamasidan biz asosiy o'zgaruvchini ifodalaymiz x 3:
Endi birinchi tenglamaga qarang: 
. Avval topilgan ifodani unga almashtiramiz:
Asosiy o'zgaruvchini ifodalash uchun qoladi x 1 bepul o'zgaruvchilar orqali x 2 va x 4:
Oxir-oqibat biz kerakli narsani oldik - Hammasi asosiy o'zgaruvchilar ( x 1 va x 3) ifodalangan faqat orqali erkin o'zgaruvchilar ( x 2 va x 4):
Aslida, umumiy yechim tayyor:
.
Umumiy yechim qanday to'g'ri yoziladi? Birinchidan, erkin o'zgaruvchilar umumiy yechimga "o'z-o'zidan" va qat'iy ravishda o'z joylarida yoziladi. Bunday holda, erkin o'zgaruvchilar x 2 va x 4-band ikkinchi va to‘rtinchi o‘rinlarda yozilsin:
.
Asosiy o'zgaruvchilar uchun olingan ifodalar va birinchi va uchinchi pozitsiyalarda yozilishi kerakligi aniq:
Tizimning umumiy yechimidan cheksiz ko'plarni topish mumkin shaxsiy echimlar. Bu juda oddiy. Erkin o'zgaruvchilar x 2 va x 4 shunday nomlanadi, chunki ular berilishi mumkin har qanday yakuniy qiymatlar. Eng mashhur qiymatlar nol qiymatlardir, chunki bu qisman hal qilishning eng oson usuli.
almashtirish ( x 2 = 0; x 4 = 0) umumiy yechimga, biz maxsus echimlardan birini olamiz:
, yoki qiymatlari bo'lgan erkin o'zgaruvchilarga mos keladigan ma'lum bir yechim ( x 2 = 0; x 4 = 0).
Yana bir shirin juftlik - bu, keling, almashtiramiz ( x 2 = 1 va x 4 = 1) umumiy yechimga:
, ya'ni (-1; 1; 1; 1) - boshqa maxsus yechim.
Tenglamalar sistemasi borligini ko'rish oson cheksiz ko'p echimlar chunki biz erkin o'zgaruvchilarni bera olamiz har qanday ma'nolari.
Har biri muayyan yechim qanoatlantirishi kerak har biriga tizim tenglamasi. Bu yechimning to'g'riligini "tezkor" tekshirish uchun asosdir. Masalan, ma'lum bir yechimni oling (-1; 1; 1; 1) va uni asl tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga qo'ying:
Hamma narsa birlashishi kerak. Va siz qabul qilgan har qanday maxsus yechim bilan hamma narsa ham rozi bo'lishi kerak.
To'g'ri aytganda, ma'lum bir yechimni tekshirish ba'zan aldamchi, ya'ni. ba'zi maxsus yechim tizimning har bir tenglamasini qondirishi mumkin, lekin umumiy yechimning o'zi aslida noto'g'ri topilgan. Shuning uchun, birinchi navbatda, umumiy yechimni tekshirish yanada chuqurroq va ishonchli.
Olingan umumiy yechimni qanday tekshirish mumkin 
?
Bu qiyin emas, lekin uzoq o'zgarishlarni talab qiladi. Biz ifodalarni olishimiz kerak Asosiy o'zgaruvchilar, bu holda 
va , va ularni tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga almashtiring.
Tizimning birinchi tenglamasining chap tomonida:
Tizimning dastlabki birinchi tenglamasining o'ng tomoni olinadi.
Tizimning ikkinchi tenglamasining chap tomonida:
Tizimning dastlabki ikkinchi tenglamasining o'ng tomoni olinadi.
Va keyin - tizimning uchinchi va to'rtinchi tenglamalarining chap tomonlariga. Ushbu tekshirish ko'proq vaqt talab etadi, lekin umumiy yechimning 100% to'g'riligini kafolatlaydi. Bundan tashqari, ba'zi vazifalar umumiy echimni tekshirishni talab qiladi.
4-misol:
Tizimni Gauss usuli yordamida yeching. Umumiy va ikkita maxsus echimni toping. Umumiy yechimni tekshiring.
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Aytgancha, bu erda yana tenglamalar soni noma'lumlar sonidan kamroq, ya'ni tizim yo nomuvofiq bo'lishi yoki cheksiz miqdordagi echimlarga ega bo'lishi darhol aniq bo'ladi.
5-misol:
Chiziqli tenglamalar sistemasini yeching. Agar tizimda cheksiz ko'p echimlar bo'lsa, ikkita maxsus echim toping va umumiy yechimni tekshiring
Yechim: Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:
(1). Birinchi qatorni ikkinchi qatorga qo'shing. Uchinchi qatorga birinchi qatorni 2 ga ko'paytiramiz. To'rtinchi qatorga birinchi qatorni 3 ga ko'paytiramiz.
(2). Uchinchi qatorga biz ikkinchi qatorni qo'shamiz, (-5) ga ko'paytiriladi. To'rtinchi qatorga biz ikkinchi qatorni qo'shamiz, (-7) ga ko'paytiriladi.
(3). Uchinchi va to'rtinchi qatorlar bir xil, biz ulardan birini o'chirib tashlaymiz. Bu shunday go'zallik:
Asosiy o'zgaruvchilar qadamlarda o'tiradilar, shuning uchun - asosiy o'zgaruvchilar.
Bu erda bir qadam olmagan faqat bitta bepul o'zgaruvchi bor: .
(4). Teskari harakat. Keling, asosiy o'zgaruvchilarni erkin o'zgaruvchi orqali ifodalaymiz:
Uchinchi tenglamadan:
Ikkinchi tenglamani ko'rib chiqamiz va unga topilgan ifodani almashtiramiz:
, 
, ,
Birinchi tenglamani ko'rib chiqamiz va topilgan ifodalarni unga almashtiramiz:
Shunday qilib, bitta erkin o'zgaruvchi bilan umumiy yechim x 4:
Yana bir bor, bu qanday bo'ldi? Erkin o'zgaruvchi x 4 to'rtinchi o'rinda yolg'iz o'tiradi. , , asosiy o'zgaruvchilar uchun hosil bo'lgan ifodalar ham o'z o'rnida.
Keling, darhol umumiy yechimni tekshirib ko'raylik.
Biz tizimning har bir tenglamasining chap tomoniga asosiy o'zgaruvchilarni , , almashtiramiz:
Tenglamalarning mos keladigan o'ng tomonlari olinadi, shuning uchun to'g'ri umumiy yechim topiladi.
Endi topilgan umumiy yechimdan 
ikkita maxsus yechimni olamiz. Barcha o'zgaruvchilar bu erda bitta orqali ifodalanadi erkin o'zgaruvchi x 4 . Miyangizni sindirishning hojati yo'q.
Mayli x keyin 4 = 0 
- birinchi maxsus yechim.
Mayli x keyin 4 = 1 
- boshqa shaxsiy yechim.
Javob: Umumiy qaror: . Shaxsiy echimlar:
Va .
6-misol:
Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping.
Biz allaqachon umumiy yechimni tekshirdik, javobga ishonish mumkin. Sizning yechimingiz bizning yechimimizdan farq qilishi mumkin. Asosiysi, umumiy qarorlar bir-biriga mos keladi. Ko'pchilik, ehtimol, echimlarda yoqimsiz daqiqani payqashdi: Gauss usulini o'zgartirganda, biz ko'pincha bu bilan shug'ullanishimiz kerak edi. oddiy kasrlar. Amalda, bu haqiqatan ham shunday; kasrlar bo'lmagan holatlar kamroq uchraydi. Ruhiy va eng muhimi, texnik jihatdan tayyor bo'ling.
Keling, yechimning echilgan misollarda topilmagan xususiyatlariga to'xtalib o'tamiz. Tizimning umumiy yechimi ba'zan konstantani (yoki doimiylarni) o'z ichiga olishi mumkin.
Masalan, umumiy yechim: . Bu erda asosiy o'zgaruvchilardan biri teng doimiy raqam: . Bunda ekzotik narsa yo'q, bu sodir bo'ladi. Shubhasiz, bu holda, har qanday maxsus yechim birinchi holatda beshlikni o'z ichiga oladi.
Kamdan-kam hollarda, lekin tizimlar mavjud tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kattaroqdir. Biroq, Gauss usuli eng og'ir sharoitlarda ishlaydi. Oddiy algoritm yordamida tizimning kengaytirilgan matritsasini asta-sekin shaklga qisqartirishingiz kerak. Bunday tizim nomuvofiq bo'lishi mumkin, cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin va, g'alati, bitta yechimga ega bo'lishi mumkin.
Keling, maslahatimizni takrorlaymiz - tizimni Gauss usulidan foydalangan holda echishda o'zingizni qulay his qilish uchun siz kamida o'nlab tizimlarni echishingiz kerak.
Yechimlar va javoblar:
2-misol:
Yechim:Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz.
Elementar o'zgarishlar amalga oshirildi:
(1) Birinchi va uchinchi qatorlar almashtirildi.
(2) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, (-6) ga ko'paytirildi. Birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, (-7) ga ko'paytirildi.
(3) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, (-1) ga ko'paytirildi.
Elementar transformatsiyalar natijasida shakl qatori olinadi, Qayerda λ ≠ 0 .Bu tizimning mos kelmasligini anglatadi.Javob: yechimlar yo'q.
4-misol:
Yechim:Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:
Amalga oshirilgan konversiyalar:
(1). 2 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga, 3 ga ko'paytirilgan birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi.
Ikkinchi bosqich uchun birlik yo'q , va transformatsiya (2) uni olishga qaratilgan.
(2). Uchinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -3 ga ko'paytirildi.
(3). Ikkinchi va uchinchi qatorlar almashtirildi (natijadagi -1 ni ikkinchi bosqichga o'tkazdik)
(4). Uchinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, 3 ga ko'paytirildi.
(5). Birinchi ikkita satrning belgisi o'zgartirildi (-1 ga ko'paytirildi), uchinchi qator 14 ga bo'lingan.
Orqaga:
(1). Bu yerga asosiy o'zgaruvchilar (qadamlarda joylashgan) va – erkin o‘zgaruvchilar (qadam olmaganlar).
(2). Asosiy o‘zgaruvchilarni erkin o‘zgaruvchilar bilan ifodalaymiz:
Uchinchi tenglamadan: .
(3). Ikkinchi tenglamani ko'rib chiqing:, shaxsiy yechimlar:
Javob: Umumiy qaror: 
Kompleks sonlar
Ushbu bo'limda biz kontseptsiya bilan tanishamiz murakkab son, hisobga oling algebraik, trigonometrik Va eksponensial shakl murakkab son. Shuningdek, murakkab sonlar bilan amallarni bajarishni o‘rganamiz: qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga ko‘tarish va ildiz chiqarish.
Murakkab raqamlarni o'zlashtirish uchun oliy matematika kursidan maxsus bilim talab etilmaydi va material hatto maktab o'quvchilari uchun ham mavjud. "Oddiy" raqamlar bilan algebraik amallarni bajara olish va trigonometriyani eslab qolish kifoya.
Birinchidan, "oddiy" raqamlarni eslaylik. Matematikada ular deyiladi haqiqiy sonlar to'plami va harf bilan belgilanadi R, yoki R (qalinlashgan). Barcha haqiqiy raqamlar tanish raqamlar qatorida joylashgan:
Haqiqiy sonlar kompaniyasi juda xilma-xildir - bu erda butun sonlar, kasrlar va irratsional sonlar mavjud. Bunday holda, son o'qining har bir nuqtasi, albatta, qandaydir haqiqiy songa mos keladi.
dan aniq bo'lganidek Kramer teoremasi, chiziqli tenglamalar tizimini echishda uchta holat yuzaga kelishi mumkin:
Birinchi holat: chiziqli tenglamalar tizimi yagona yechimga ega
(tizim izchil va aniq)
Ikkinchi holat: chiziqli tenglamalar tizimi cheksiz ko'p echimlarga ega
(tizim izchil va noaniq)
** 
,
bular. noma'lumlar va erkin hadlar koeffitsientlari proportsionaldir.
Uchinchi holat: chiziqli tenglamalar tizimining yechimlari yo'q
(tizim mos kelmaydi)
Shunday qilib, tizim m bilan chiziqli tenglamalar n o'zgaruvchilar deb ataladi qo'shma bo'lmagan, agar u bitta yechimga ega bo'lmasa va qo'shma, agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa. Bir vaqtning o'zida bitta yechimga ega bo'lgan tenglamalar tizimi deyiladi aniq, va bir nechta - noaniq.
Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechishga misollar
Tizim berilsin
.
Kramer teoremasi asosida
………….
,
Qayerda 
-
tizim determinanti. Qolgan determinantlarni ustunni tegishli o'zgaruvchining (noma'lum) koeffitsientlari bilan erkin shartlar bilan almashtirish orqali olamiz:
2-misol.
.
Shunday qilib, tizim aniq. Uning yechimini topish uchun determinantlarni hisoblaymiz
Kramer formulalari yordamida biz quyidagilarni topamiz:
Demak, (1; 0; -1) tizimning yagona yechimidir.
3 X 3 va 4 X 4 tenglamalar tizimlarining yechimlarini tekshirish uchun siz Kramerning yechish usuli yordamida onlayn kalkulyatordan foydalanishingiz mumkin.
Agar chiziqli tenglamalar tizimida bir yoki bir nechta tenglamalarda o'zgaruvchilar bo'lmasa, determinantda mos keladigan elementlar nolga teng! Bu keyingi misol.
3-misol. Kramer usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching:
.
Yechim. Biz tizimning determinantini topamiz:
Tenglamalar tizimiga va tizimning determinantiga diqqat bilan qarang va determinantning bir yoki bir nechta elementlari nolga teng bo'lgan savolga javobni takrorlang. Demak, determinant nolga teng emas, shuning uchun sistema aniq. Uning yechimini topish uchun noma’lumlar uchun determinantlarni hisoblaymiz
Kramer formulalari yordamida biz quyidagilarni topamiz:
Demak, sistemaning yechimi (2; -1; 1) bo'ladi.
6. Umumiy chiziqli tizim algebraik tenglamalar. Gauss usuli.
Esda tutganimizdek, Kramer qoidasi va matritsa usuli tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan yoki mos kelmaydigan hollarda mos kelmaydi. Gauss usuli – har qanday chiziqli tenglamalar tizimining yechimlarini topish uchun eng kuchli va ko'p qirrali vosita, qaysi har holda bizni javobga olib boradi! Usul algoritmining o'zi uchta holatda ham bir xil ishlaydi. Agar Kramer va matritsa usullari determinantlarni bilishni talab qilsa, Gauss usulini qo'llash uchun faqat arifmetik amallarni bilish kerak, bu esa uni hatto maktab o'quvchilari uchun ham ochiq qiladi. boshlang'ich sinflar.
Birinchidan, chiziqli tenglamalar tizimlari haqida ozgina bilimlarni tizimlashtiramiz. Chiziqli tenglamalar tizimi:
1) Noyob yechimga ega bo'ling.
2) Cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ling.
3) Hech qanday yechim yo'q (bo'lishi qo'shma bo'lmagan).
Gauss usuli yechim topish uchun eng kuchli va universal vositadir har qanday chiziqli tenglamalar tizimlari. Biz eslaganimizdek, Kramer qoidasi va matritsa usuli tizim cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan yoki nomuvofiq bo'lgan hollarda mos kelmaydi. Va noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli Nima bo'lganda ham bizni javobga olib boradi! Bu darsda biz yana Gauss usulini 1-holat (tizimning yagona yechimi) uchun ko'rib chiqamiz, maqola 2-3-bandlarning holatlariga bag'ishlangan. Shuni ta'kidlaymanki, usulning o'zi algoritmi uchta holatda ham bir xil ishlaydi.
Keling, darsdan eng oddiy tizimga qaytaylik Chiziqli tenglamalar sistemasi qanday yechiladi?
va Gauss usuli yordamida yechish.
Birinchi qadam - yozish kengaytirilgan tizim matritsasi:
. O'ylaymanki, koeffitsientlar qanday printsip asosida yozilganligini hamma ko'radi. Matritsa ichidagi vertikal chiziq hech qanday matematik ma'noga ega emas - bu dizayn qulayligi uchun shunchaki chizilgan.
Malumot:eslab qolishingizni tavsiya qilaman shartlari chiziqli algebra. Tizim matritsasi faqat noma'lumlar uchun koeffitsientlardan tashkil topgan matritsa bo'lib, bu misolda tizim matritsasi: . Kengaytirilgan tizim matritsasi- bu tizimning bir xil matritsasi va bepul shartlar ustuni, bu holda: . Qisqartirish uchun har qanday matritsani oddiygina matritsa deb atash mumkin.
Kengaytirilgan tizim matritsasi yozilgandan so'ng, u bilan ba'zi harakatlarni bajarish kerak, ular ham deyiladi. elementar transformatsiyalar.
Quyidagi elementar o'zgarishlar mavjud:
1) Strings matritsalar qayta tartibga solish mumkin ba'zi joylarda. Masalan, ko'rib chiqilayotgan matritsada siz birinchi va ikkinchi qatorlarni og'riqsiz ravishda o'zgartirishingiz mumkin: 
2) Agar matritsa proportsional bo'lsa (yoki paydo bo'lgan bo'lsa) (masalan maxsus holat– bir xil) qatorlar, keyin u ergashadi o'chirish Bu satrlarning barchasi bittadan tashqari matritsadan. Masalan, matritsani ko'rib chiqing 
. Ushbu matritsada oxirgi uchta qator proportsionaldir, shuning uchun ulardan faqat bittasini qoldirish kifoya: 
.
3) Agar transformatsiyalar paytida matritsada nol qator paydo bo'lsa, u ham bo'lishi kerak o'chirish. Men chizmayman, albatta, nol chiziq - bu chiziq barcha nollar.
4) Matritsa qatori bo'lishi mumkin ko'paytirish (bo'lish) istalgan raqamga nolga teng bo'lmagan. Masalan, matritsani ko'rib chiqing. Bu erda birinchi qatorni -3 ga bo'lish va ikkinchi qatorni 2 ga ko'paytirish tavsiya etiladi: 
. Ushbu harakat juda foydali, chunki u matritsaning keyingi o'zgarishlarini soddalashtiradi.
5) Ushbu transformatsiya eng ko'p qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi, lekin aslida hech qanday murakkab narsa yo'q. Matritsaning qatoriga siz mumkin raqamga ko'paytiriladigan boshqa qatorni qo'shing, noldan farq qiladi. Keling, matritsamizni amaliy misoldan ko'rib chiqaylik: . Avvalo, men o'zgarishlarni batafsil tasvirlab beraman. Birinchi qatorni -2 ga ko'paytiring: 
, Va ikkinchi qatorga birinchi qatorni -2 ga ko'paytiramiz: 
. Endi birinchi qatorni "orqaga" -2 ga bo'lish mumkin: . Ko'rib turganingizdek, qo'shilgan qator LI – o'zgarmagan. Har doim QO'SHILGAN qator o'zgaradi UT.
Amalda, albatta, ular buni batafsil yozmaydilar, lekin qisqacha yozadilar: 
Yana bir bor: ikkinchi qatorga -2 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi. Chiziq odatda og'zaki yoki qoralama ustida ko'paytiriladi, aqliy hisoblash jarayoni quyidagicha bo'ladi:
"Men matritsani qayta yozaman va birinchi qatorni qayta yozaman: 
»
“Birinchi ustun. Pastki qismida men nol olishim kerak. Shuning uchun yuqoridagini -2 ga ko'paytiraman: , va ikkinchi qatorga birinchisini qo'shaman: 2 + (–2) = 0. Natijani ikkinchi qatorga yozaman: 
»
“Endi ikkinchi ustun. Yuqorida men -1 ga -2 ga ko'paytiraman: . Ikkinchi qatorga birinchisini qo'shaman: 1 + 2 = 3. Natijani ikkinchi qatorga yozaman: 
»
"Va uchinchi ustun. Yuqorida men -5 ga -2 ga ko'paytiraman: . Ikkinchi qatorga birinchisini qo'shaman: –7 + 10 = 3. Natijani ikkinchi qatorga yozaman: »
Iltimos, ushbu misol haqida yaxshilab o'ylab ko'ring va tushuning ketma-ket algoritm hisob-kitoblar, agar siz buni tushunsangiz, Gauss usuli amalda "cho'ntagingizda". Lekin, albatta, biz hali ham bu transformatsiya ustida ishlaymiz.
Elementar o'zgartirishlar tenglamalar sistemasining yechimini o'zgartirmaydi
! DIQQAT: ko'rib chiqilgan manipulyatsiyalar foydalana olmaydi, agar sizga matritsalar "o'z-o'zidan" berilgan vazifa taklif etilsa. Masalan, "klassik" bilan matritsalar bilan amallar Hech qanday holatda matritsalar ichida biror narsani o'zgartirmang!
Keling, tizimimizga qaytaylik. U amalda bo'laklarga bo'linadi.
Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni qisqartiramiz bosqichli ko'rinish:
(1) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Va yana: nima uchun birinchi qatorni -2 ga ko'paytiramiz? Pastki qismida nolga erishish uchun, bu ikkinchi qatordagi bitta o'zgaruvchidan xalos bo'lishni anglatadi.
(2) Ikkinchi qatorni 3 ga bo'ling.
Elementar transformatsiyalarning maqsadi –
matritsani bosqichma-bosqich shaklga keltiring: 
. Topshiriq shaklida bu aniq ko'rsatilgan oddiy qalam bilan"zinapoyalar", shuningdek, "zinapoyalar" da joylashgan raqamlarni aylantiring. "Bosqichli ko'rinish" atamasining o'zi mutlaqo nazariy emas, ilmiy va o'quv adabiyoti ko'pincha deyiladi trapezoidal ko'rinish yoki uchburchak ko'rinishi.
Elementar o'zgarishlar natijasida biz qo'lga kiritdik ekvivalent Asl tenglamalar tizimi:
Endi tizimni teskari yo'nalishda "ochish" kerak - pastdan yuqoriga, bu jarayon deyiladi Gauss usuliga teskari.
Pastki tenglamada bizda allaqachon mavjud yakunlangan natija: .
Keling, tizimning birinchi tenglamasini ko'rib chiqamiz va uni allaqachon almashtiramiz ma'lum qiymat"Y":
Gauss usuli uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimini echishni talab qiladigan eng keng tarqalgan vaziyatni ko'rib chiqaylik.
1-misol
Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini yeching: 
Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz: 
Endi men darhol yechim davomida keladigan natijani chiqaraman: 
Va takror aytaman, bizning maqsadimiz elementar transformatsiyalar yordamida matritsani bosqichma-bosqich shaklga keltirishdir. Qayerdan boshlash kerak?
Birinchidan, yuqori chap raqamga qarang: 
Bu erda deyarli har doim bo'lishi kerak birlik. Umuman olganda, -1 (va ba'zan boshqa raqamlar) bo'ladi, lekin qandaydir tarzda an'anaga ko'ra, odatda u erda joylashtiriladi. Birlikni qanday tashkil qilish kerak? Biz birinchi ustunga qaraymiz - bizda tayyor birlik bor! Birinchi o'zgartirish: birinchi va uchinchi qatorlarni almashtiring: 
Endi birinchi qator yechimning oxirigacha o'zgarishsiz qoladi. Endi yaxshi.
Yuqori chap burchakdagi birlik tashkil etilgan. Endi siz ushbu joylarda nollarni olishingiz kerak: 
Biz "qiyin" transformatsiya yordamida nolga erishamiz. Birinchidan, biz ikkinchi qator bilan ishlaymiz (2, -1, 3, 13). Birinchi o'rinda nolga erishish uchun nima qilish kerak? Kerak ikkinchi qatorga -2 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Aqliy yoki qoralamada birinchi qatorni -2 ga ko'paytiring: (-2, -4, 2, -18). Va biz doimiy ravishda (yana aqliy yoki qoralama) qo'shimchani amalga oshiramiz, ikkinchi qatorga biz birinchi qatorni qo'shamiz, allaqachon -2 ga ko'paytiriladi:
Natijani ikkinchi qatorga yozamiz: 
Uchinchi qator bilan ham xuddi shunday ishlaymiz (3, 2, –5, –1). Birinchi pozitsiyada nolni olish uchun sizga kerak uchinchi qatorga -3 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Aqliy yoki qoralamada birinchi qatorni -3 ga ko'paytiring: (-3, -6, 3, -27). VA uchinchi qatorga birinchi qatorni -3 ga ko'paytiramiz:
Natijani uchinchi qatorga yozamiz:
Amalda, bu harakatlar odatda og'zaki ravishda amalga oshiriladi va bir bosqichda yoziladi: 
Hamma narsani bir vaqtning o'zida va bir vaqtning o'zida hisoblashning hojati yo'q. Hisoblash tartibi va natijalarni "yozish" izchil va odatda shunday bo'ladi: avval biz birinchi qatorni qayta yozamiz va asta-sekin o'zimizni puflaymiz - DOZYOR va DIQQAT:
Va men yuqorida hisob-kitoblarning aqliy jarayonini allaqachon muhokama qildim.
Bu misolda buni qilish oson, ikkinchi qatorni -5 ga bo'lamiz (chunki u erdagi barcha raqamlar 5 ga qoldiqsiz bo'linadi). Shu bilan birga, uchinchi qatorni -2 ga ajratamiz, chunki nima kamroq raqam, bular oddiyroq yechim:
Yoniq yakuniy bosqich elementar o'zgarishlar bu erda yana bir nolga ega bo'lishingiz kerak: 
Buning uchun uchinchi qatorga ikkinchi qatorni -2 ga ko'paytiramiz:
Ushbu harakatni o'zingiz aniqlashga harakat qiling - ikkinchi qatorni aqliy ravishda -2 ga ko'paytiring va qo'shimchani bajaring.
Oxirgi bajarilgan harakat - natijaning soch turmagi, uchinchi qatorni 3 ga bo'ling.
Elementar transformatsiyalar natijasida ekvivalent chiziqli tenglamalar tizimi olindi: 
Ajoyib.
Endi Gauss usulining teskarisi o'yinga kiradi. Tenglamalar pastdan yuqoriga qarab "ochiladi".
Uchinchi tenglamada biz allaqachon tayyor natijaga egamiz:
Ikkinchi tenglamani ko'rib chiqamiz: . "Zet" so'zining ma'nosi allaqachon ma'lum, shuning uchun:
Va nihoyat, birinchi tenglama: . "Igrek" va "zet" ma'lum, bu shunchaki kichik narsalar masalasi:
Javob: 
Bir necha bor ta'kidlanganidek, har qanday tenglamalar tizimi uchun topilgan yechimni tekshirish mumkin va zarur, xayriyatki, bu oson va tezdir.
2-misol
Bu mustaqil yechim uchun namuna, yakuniy dizayn namunasi va dars oxirida javob.
Shuni ta'kidlash kerakki, sizning qarorning bajarilishi qaror qabul qilish jarayonim bilan mos kelmasligi mumkin, va bu Gauss usulining xususiyatidir. Lekin javoblar bir xil bo'lishi kerak!
3-misol
Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching 
Keling, tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:
Biz yuqori chap "qadam" ga qaraymiz. Bizda bitta bo'lishi kerak. Muammo shundaki, birinchi ustunda umuman birliklar yo'q, shuning uchun qatorlarni qayta tartibga solish hech narsani hal qilmaydi. Bunday hollarda birlik elementar transformatsiya yordamida tashkil etilishi kerak. Bu odatda bir necha usul bilan amalga oshirilishi mumkin. Men buni qildim:
(1) Birinchi qatorga biz ikkinchi qatorni qo'shamiz, -1 ga ko'paytiriladi. Ya'ni, biz aqliy ravishda ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytirdik va birinchi va ikkinchi qatorlarni qo'shdik, ikkinchi qator esa o'zgarmadi.
Endi yuqori chap tomonda "minus bir" bor, bu bizga juda mos keladi. +1 olishni istagan har bir kishi qo'shimcha harakatni amalga oshirishi mumkin: birinchi qatorni -1 ga ko'paytiring (uning belgisini o'zgartiring).
(2) 5 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga, uchinchi qatorga 3 ga ko'paytirilgan birinchi qator qo'shildi.
(3) Birinchi qator -1 ga ko'paytirildi, asosan, bu go'zallik uchun. Uchinchi qatorning belgisi ham o'zgartirildi va u ikkinchi o'ringa ko'chirildi, shuning uchun ikkinchi "qadam" da biz kerakli birlikka ega bo'ldik.
(4) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, 2 ga ko'paytirildi.
(5) Uchinchi qator 3 ga bo'lingan.
Hisoblashda xatolikni ko'rsatadigan yomon belgi (kamdan-kam hollarda matn terish xatosi) - bu "yomon" pastki chiziq. Ya'ni, agar bizda , pastda va shunga mos ravishda, 
, keyin yuqori ehtimollik bilan elementar transformatsiyalar paytida xatolik yuz berdi, deb aytishimiz mumkin.
Biz teskarisini to'laymiz, misollarni loyihalashda ular ko'pincha tizimning o'zini qayta yozmaydilar, lekin tenglamalar "to'g'ridan-to'g'ri berilgan matritsadan olinadi". Teskari zarba, sizga eslataman, pastdan yuqoriga qarab ishlaydi. Ha, bu erda sovg'a:
Javob: 
.
4-misol
Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching 
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz mumkin bo'lgan misol, bu biroz murakkabroq. Agar kimdir sarosimaga tushib qolsa, yaxshi. Dars oxirida to'liq yechim va namunaviy dizayn. Sizning yechimingiz mening yechimimdan farq qilishi mumkin.
Oxirgi qismda biz Gauss algoritmining ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqamiz.
Birinchi xususiyat shundaki, ba'zida tizim tenglamalarida ba'zi o'zgaruvchilar etishmaydi, masalan: 
Kengaytirilgan tizim matritsasi qanday to'g'ri yoziladi? Men bu mavzu haqida allaqachon sinfda gapirganman. Kramer qoidasi. Matritsa usuli. Tizimning kengaytirilgan matritsasida etishmayotgan o'zgaruvchilar o'rniga nol qo'yamiz: 
Aytgancha, bu juda oson misol, chunki birinchi ustunda allaqachon bitta nolga ega va amalga oshirish uchun kamroq elementar transformatsiyalar mavjud.
Ikkinchi xususiyat - bu. Ko'rib chiqilgan barcha misollarda biz "qadamlar" ga -1 yoki +1 qo'ydik. U erda boshqa raqamlar bo'lishi mumkinmi? Ba'zi hollarda ular mumkin. Tizimni ko'rib chiqing: 
.
Bu erda yuqori chap "qadam" da bizda ikkitasi bor. Ammo biz birinchi ustundagi barcha raqamlar 2 ga qoldiqsiz bo'linishini ko'ramiz - ikkinchisi esa ikkita va olti. Va yuqori chapdagi ikkitasi bizga mos keladi! Birinchi bosqichda siz quyidagi o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak: ikkinchi qatorga -1 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing; uchinchi qatorga -3 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Shunday qilib, biz birinchi ustunda kerakli nollarni olamiz.
Yoki boshqa an'anaviy misol: 
. Bu erda ikkinchi "qadam" dagi uchtasi ham bizga mos keladi, chunki 12 (nol olishimiz kerak bo'lgan joy) 3 ga qoldiqsiz bo'linadi. Quyidagi o'zgartirishni amalga oshirish kerak: uchinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shing, -4 ga ko'paytiriladi, buning natijasida bizga kerak bo'lgan nol olinadi.
Gauss usuli universaldir, lekin bitta o'ziga xoslik mavjud. Siz tizimlarni boshqa usullardan (Kramer usuli, matritsa usuli) tom ma'noda birinchi marta echishni ishonchli tarzda o'rganishingiz mumkin - ular juda qattiq algoritmga ega. Ammo Gauss usulida ishonchni his qilish uchun siz uni yaxshi bilishingiz va kamida 5-10 ta tizimni hal qilishingiz kerak. Shuning uchun, dastlab hisob-kitoblarda chalkashlik va xatolar bo'lishi mumkin va bu erda g'ayrioddiy yoki fojiali narsa yo'q.
Derazadan tashqarida yomg'irli kuz ob-havo .... Shuning uchun, ko'proq istagan har bir kishi uchun murakkab misol Mustaqil yechim uchun:
5-misol
To'rtta noma'lumli to'rtta chiziqli tenglamalar tizimini Gauss usuli yordamida yeching. 
Amalda bunday vazifa juda kam uchraydi. O'ylaymanki, hatto ushbu sahifani yaxshilab o'rgangan choynak ham bunday tizimni intuitiv ravishda hal qilish algoritmini tushunadi. Asosan, hamma narsa bir xil - ko'proq harakatlar mavjud.
Darsda tizimning yechimlari bo'lmagan (mos kelmaydigan) yoki cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lgan holatlar muhokama qilinadi. Umumiy yechim bilan mos kelmaydigan tizimlar va tizimlar. U erda siz Gauss usulining ko'rib chiqilgan algoritmini tuzatishingiz mumkin.
Omad tilayman!
Yechimlar va javoblar:
2-misol: Yechim: Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz.
Elementar o'zgarishlar amalga oshirildi:
(1) Birinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -2 ga ko'paytirildi. Birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi. Diqqat! Bu erda siz uchinchi qatordan birinchisini olib tashlash vasvasasiga tushishingiz mumkin; Men uni olib tashlamaslikni tavsiya qilaman - xatolik xavfi sezilarli darajada oshadi. Shunchaki katlayın!
(2) Ikkinchi qatorning belgisi o'zgartirildi (-1 ga ko'paytirildi). Ikkinchi va uchinchi qatorlar almashtirildi. Eslatma, "qadamlar" da biz nafaqat bittadan, balki -1 dan ham mamnunmiz, bu yanada qulayroq.
(3) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, 5 ga ko'paytirildi.
(4) Ikkinchi qatorning belgisi o'zgartirildi (-1 ga ko'paytirildi). Uchinchi qator 14 ga bo'lingan.
Orqaga:
Javob: 
.
4-misol: Yechim: Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz va elementar transformatsiyalardan foydalanib, uni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:
Amalga oshirilgan konversiyalar:
(1) Birinchi qatorga ikkinchi qator qo'shildi. Shunday qilib, kerakli birlik yuqori chap "qadam" da tashkil etilgan.
(2) 7 ga ko'paytirilgan birinchi qator ikkinchi qatorga, 6 ga ko'paytirilgan birinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi.
Ikkinchi "qadam" bilan hamma narsa yomonlashadi, buning uchun "nomzodlar" 17 va 23 raqamlari bo'lib, bizga bitta yoki -1 kerak. Transformatsiyalar (3) va (4) kerakli birlikni olishga qaratilgan bo'ladi
(3) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, -1 ga ko'paytirildi.
(4) Uchinchi qator ikkinchi qatorga qo'shildi, -3 ga ko'paytirildi.
Ikkinchi bosqichda kerakli element olindi.
.
(5) Ikkinchi qator uchinchi qatorga qo'shildi, 6 ga ko'paytirildi.
Darslarning bir qismi sifatida Gauss usuli Va Umumiy yechim bilan mos kelmaydigan tizimlar/tizimlar ko‘rib chiqdik chiziqli tenglamalarning bir jinsli bo'lmagan tizimlari, Qayerda bepul a'zo(odatda o'ng tomonda) kamida bitta tenglamalardan noldan farq qilgan.
Va endi, yaxshi isinishdan keyin matritsa darajasi, biz texnikani jilolashni davom ettiramiz elementar transformatsiyalar yoqilgan chiziqli tenglamalarning bir jinsli tizimi.
Birinchi xatboshilarga asoslanib, material zerikarli va o'rtacha ko'rinishi mumkin, ammo bu taassurot aldamchi. Keyingi rivojlanishdan tashqari texnikalar Ko'plab yangi ma'lumotlar bo'ladi, shuning uchun ushbu maqoladagi misollarni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling.
