Qismlar bo'yicha integratsiya. Yechimlarga misollar
Yana bir bor salom. Bugun darsda biz qismlar bo'yicha integratsiyani o'rganamiz. Qismlar bo'yicha integrallash usuli integral hisobning asoslaridan biridir. Sinovlar yoki imtihonlar paytida talabalardan deyarli har doim quyidagi turdagi integrallarni echish so'raladi: eng oddiy integral (maqolaga qarang) yoki o'zgaruvchini almashtirish orqali integral (maqolaga qarang) yoki integral faqat yoqilgan qismlar usuli bilan integratsiya.
Har doimgidek, qo'lingizda bo'lishi kerak: Integrallar jadvali Va Hosilalar jadvali. Agar sizda hali ham ular yo'q bo'lsa, mening veb-saytimning saqlash xonasiga tashrif buyuring: Matematik formulalar va jadvallar. Men takrorlashdan charchamayman - hamma narsani chop etish yaxshiroqdir. Men barcha materiallarni izchil, sodda va aniq taqdim etishga harakat qilaman, qismlarni birlashtirishda alohida qiyinchiliklar yo'q.
Qismlar bo'yicha integrallash usuli qanday muammoni hal qiladi? Qismlar bo'yicha integratsiya juda muhim muammoni hal qiladi, bu sizga jadvalda bo'lmagan ba'zi funktsiyalarni birlashtirishga imkon beradi, ish funktsiyalari va ba'zi hollarda - hatto ko'rsatkichlar. Esda tutganimizdek, qulay formula yo'q: 
. Ammo bu bor: 
- shaxsan qismlar bo'yicha integratsiya formulasi. Bilaman, bilaman, siz yagonasiz - biz u bilan butun dars davomida ishlaymiz (endi osonroq).
Va darhol ro'yxatni studiyaga yuboring. Quyidagi turdagi integrallar qismlar tomonidan qabul qilinadi:
1) , 
, – logarifm, logarifm ba’zi ko‘phadga ko‘paytiriladi.
2) ,
koʻrsatkichli funksiya baʼzi koʻphadga koʻpaytiriladi. Bunga, shuningdek, ko'rsatkichli funktsiya ko'paytmasi kabi integrallar kiradi, lekin amalda bu 97 foizni tashkil qiladi, integral ostida chiroyli "e" harfi mavjud. ... maqola biroz lirik bo'lib chiqdi, ha ... bahor keldi.
3) , 
, trigonometrik funksiyalar ba'zi ko'phadga ko'paytiriladi.
4) , – teskari trigonometrik funksiyalar (“arklar”), “arklar” baʼzi koʻphadga koʻpaytiriladi.
Shuningdek, ba'zi kasrlar qismlarga bo'linadi, biz tegishli misollarni ham batafsil ko'rib chiqamiz.
Logarifmlarning integrallari
1-misol
Klassik. Vaqti-vaqti bilan bu integralni jadvallarda topish mumkin, ammo tayyor javobdan foydalanish tavsiya etilmaydi, chunki o'qituvchi bahorgi vitamin etishmasligiga ega va qattiq qasam ichadi. Chunki ko'rib chiqilayotgan integral hech qanday jadval shaklida emas - u qismlarga bo'linadi. Biz qaror qilamiz:
Biz oraliq tushuntirishlar uchun yechimni to'xtatamiz.
Biz qismlar bo'yicha integratsiya formulasidan foydalanamiz: 
Formula chapdan o'ngga qo'llaniladi
Biz chap tomonga qaraymiz: . Shubhasiz, bizning misolimizda (va biz ko'rib chiqadigan barcha boshqa misollarda) biror narsa , va biror narsa sifatida belgilanishi kerak.
Ko'rib chiqilayotgan turdagi integrallarda logarifm doimo belgilanadi.
Texnik jihatdan, yechimning dizayni quyidagicha amalga oshiriladi, biz ustunga yozamiz:
Ya'ni, biz logarifmni bilan va - bilan belgiladik. qolgan qismi integral ifodasi.
Keyingi bosqich: differentsialni toping:
Differensial hosila bilan deyarli bir xil, biz uni qanday topishni oldingi darslarda muhokama qilgan edik.
Endi biz funktsiyani topamiz. Funktsiyani topish uchun siz integratsiya qilishingiz kerak o'ng tomon past tenglik:
Endi biz yechimimizni ochamiz va formulaning o'ng tomonini quramiz: .
Aytgancha, bu erda ba'zi eslatmalar bilan yakuniy yechimning namunasi:
Ishdagi yagona nuqta shundaki, men darhol va ni almashtirdim, chunki koeffitsientni logarifmdan oldin yozish odatiy holdir.
Ko'rib turganingizdek, qismlar bo'yicha integratsiya formulasini qo'llash bizning yechimimizni ikkita oddiy integralga qisqartirdi.
E'tibor bering, ba'zi hollarda keyin darhol formulani qo'llashda, soddalashtirish majburiy ravishda qolgan integral ostida amalga oshiriladi - ko'rib chiqilayotgan misolda biz integralni "x" ga tushirdik.
Keling, tekshiramiz. Buning uchun siz javobning hosilasini olishingiz kerak:
Dastlabki integral funksiyasi olindi, ya’ni integral to‘g‘ri yechilgan.
Sinov paytida biz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalandik: 
. Va bu tasodif emas.
Qismlar bo'yicha integratsiya formulasi 
va formula 
- bu ikki o'zaro teskari qoida.
2-misol
Noaniq integralni toping.
Integratsiya logarifm va ko'phadning mahsulotidir.
Keling, qaror qilaylik.
Men yana bir bor qoidani qo'llash tartibini batafsil tasvirlab beraman, kelajakda misollar qisqacha taqdim etiladi va agar siz uni mustaqil ravishda hal qilishda qiyinchiliklarga duch kelsangiz, darsning dastlabki ikkita misoliga qaytishingiz kerak. .
Yuqorida aytib o'tilganidek, logarifmni belgilash kerak (uning kuch ekanligi muhim emas). bilan belgilaymiz qolgan qismi integral ifodasi.
Biz ustunga yozamiz:
Avval biz differentsialni topamiz:
Bu erda biz murakkab funktsiyani farqlash qoidasidan foydalanamiz 
. Mavzuning birinchi darsida bu bejiz emas Noaniq integral. Yechimlarga misollar Men integrallarni o'zlashtirish uchun hosilalarni "qo'lingizga olish" kerakligiga e'tibor qaratdim. Siz derivativlar bilan bir necha marta shug'ullanishingiz kerak bo'ladi.
Endi biz funktsiyani topamiz, buning uchun biz birlashamiz o'ng tomon past tenglik:
Integratsiya uchun biz eng oddiy jadval formulasidan foydalandik 
Endi hamma narsa formulani qo'llashga tayyor 
. Yulduzcha bilan oching va yechimni o'ng tomonga mos ravishda "quring":
Integral ostida bizda yana logarifm uchun polinom mavjud! Shuning uchun yechim yana uzilib, qismlar bo'yicha integrallash qoidasi ikkinchi marta qo'llaniladi. Shuni unutmangki, shunga o'xshash holatlarda logarifm har doim belgilanadi.
Hozirgacha eng oddiy integral va hosilalarni og'zaki topishni bilsangiz yaxshi bo'lardi.
(1) Belgilar haqida adashmang! Ko'pincha bu erda minus yo'qoladi, shuningdek minusga tegishli ekanligini unutmang hammaga qavs 
, va bu qavslarni to'g'ri kengaytirish kerak.
(2) Qavslarni oching. Biz oxirgi integralni soddalashtiramiz.
(3) Biz oxirgi integralni olamiz.
(4) Javobni “tarash”.
Qismlar bo'yicha integratsiya qoidasini ikki marta (hatto uch marta) qo'llash zarurati juda kamdan-kam hollarda paydo bo'lmaydi.
Va endi o'zingizning yechimingiz uchun bir nechta misol:
3-misol
Noaniq integralni toping.
Bu misol o'zgaruvchini o'zgartirish (yoki uni differentsial belgi ostida almashtirish) orqali hal qilinadi! Nega emas - siz uni qismlarga bo'lib olishga harakat qilishingiz mumkin, bu kulgili narsa bo'lib chiqadi.
4-misol
Noaniq integralni toping.
Ammo bu integral qismlar (va'da qilingan kasr) bilan integrallanadi.
Bular siz o'zingiz hal qilishingiz mumkin bo'lgan misollar, dars oxiridagi echimlar va javoblar.
Ko'rinishidan, 3 va 4-misollarda integrallar o'xshash, ammo yechim usullari boshqacha! Bu integrallarni o'zlashtirishdagi asosiy qiyinchilik - agar siz integralni echishning noto'g'ri usulini tanlasangiz, u bilan haqiqiy boshqotirma kabi soatlab o'ylashingiz mumkin. Shuning uchun, turli integrallarni qanchalik ko'p yechsangiz, shuncha yaxshi, test va imtihon shunchalik oson bo'ladi. Bundan tashqari, ikkinchi yilda differensial tenglamalar paydo bo'ladi va integral va lotinlarni echish tajribasi bo'lmasa, u erda hech narsa qilish mumkin emas.
Logarifmlar nuqtai nazaridan, bu, ehtimol, etarli. Bundan tashqari, muhandislik talabalari ayol ko'kraklarini chaqirish uchun logarifmlardan foydalanishlarini ham eslay olaman =). Aytgancha, asosiy elementar funktsiyalarning grafiklarini yoddan bilish foydalidir: sinus, kosinus, arktangens, eksponent, uchinchi, to'rtinchi darajali ko'phadlar va boshqalar. Yo'q, albatta, dunyoda prezervativ
Men uni cho'zmayman, lekin endi siz bo'limdan ko'p narsani eslaysiz Diagrammalar va funktsiyalar =).
Ko'rsatkichni ko'paytmali ko'rsatkichning integrallari
Umumiy qoida:
5-misol
Noaniq integralni toping.
Tanish algoritmdan foydalanib, biz qismlarga birlashamiz:
Agar siz integral bilan bog'liq qiyinchiliklarga duch kelsangiz, maqolaga qaytishingiz kerak Noaniq integralda o'zgaruvchilarni o'zgartirish usuli.
Siz qilishingiz mumkin bo'lgan yagona narsa - javobni sozlash:
Ammo agar sizning hisoblash texnikangiz juda yaxshi bo'lmasa, unda eng foydali variant uni javob sifatida qoldirishdir 
yoki hatto 
Ya'ni oxirgi integral olinganda misol yechilgan hisoblanadi. Bu xato bo'lmaydi; o'qituvchi sizdan javobni soddalashtirishingizni so'rashi mumkin bo'lgan boshqa masala.
6-misol
Noaniq integralni toping.
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir. Bu integral ikki marta qismlar bilan integrallanadi. Belgilarga alohida e'tibor berilishi kerak - ularda chalkashib ketish oson, biz bu murakkab funktsiya ekanligini ham eslaymiz.
Ko'rgazma ishtirokchisi haqida boshqa hech narsa aytish mumkin emas. Men faqat eksponensial va natural logarifm o'zaro teskari funktsiyalar ekanligini qo'shishim mumkin, bu men oliy matematikaning qiziqarli grafiklari mavzusida =) To'xta, to'xta, xavotir olma, o'qituvchi hushyor.
Trigonometrik funktsiyalarning ko'phadga ko'paytiriladigan integrallari
Umumiy qoida: for har doim polinomni bildiradi
7-misol
Noaniq integralni toping.
Keling, qismlar bo'yicha integratsiya qilaylik:
Hmmm ... va izoh beradigan hech narsa yo'q.
8-misol
Noaniq integralni toping 
Bu o'zingiz hal qilishingiz uchun namunadir
9-misol
Noaniq integralni toping
Kasr bilan yana bir misol. Oldingi ikkita misolda bo'lgani kabi, for ko'phadni bildiradi.
Keling, qismlar bo'yicha integratsiya qilaylik: 
Agar sizda integralni topishda qiyinchiliklar yoki tushunmovchiliklar bo'lsa, men darsga borishni tavsiya qilaman Trigonometrik funksiyalarning integrallari.
10-misol
Noaniq integralni toping 
Bu siz o'zingiz hal qilishingiz uchun misoldir.
Maslahat: Qismlar bo'yicha integratsiyani qo'llashdan oldin, ikkita trigonometrik funktsiyaning mahsulotini bitta funktsiyaga aylantiradigan ba'zi trigonometrik formulalarni qo'llashingiz kerak. Formuladan siz uchun qaysi biri qulayroq bo'lsa, qismlar bo'yicha integratsiya usulini qo'llashda ham foydalanish mumkin.
Ehtimol, bularning barchasi ushbu paragrafda. Negadir fizika va matematika madhiyasining “Va sinus grafigi abscissa o‘qi bo‘ylab to‘lqin ortidan to‘lqin bo‘lib yuradi” degan satrini esladim...
Teskari trigonometrik funksiyalarning integrallari.
Teskari trigonometrik funksiyalarning ko‘phadga ko‘paytirilgan integrallari
Umumiy qoida: har doim teskari trigonometrik funktsiyani bildiradi.
Teskari trigonometrik funksiyalarga arksinus, arkkosinus, arktangens va arkkotangens kiradi. Yozuvning qisqaligi uchun men ularni "arklar" deb atayman.
Uzluksiz hosilalarga ega bo'lgan $u=u(x)$ va $v=v(x)$ funksiyalarni ko'rib chiqamiz. Differensiallarning xossalariga ko'ra quyidagi tenglik amal qiladi:
$d(u v)=u d v+v d u$
Oxirgi tenglikning chap va o'ng tomonlarini birlashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
$\int d(u v)=\int(u d v+v d u) \O'ng strelka u v=\int u d v+\int v d u$
Olingan tenglikni quyidagicha qayta yozamiz:
$\int u d v=u v-\int v d u$
Bu formula deyiladi qismlar formulasi bo'yicha integratsiya. Uning yordami bilan $\int u d v$ integralini oddiyroq bo'lishi mumkin bo'lgan $\int v d u$ integralini topishga keltirish mumkin.
Izoh
Ba'zi hollarda qismlar bo'yicha integratsiya formulasi qayta-qayta qo'llanilishi kerak.
Quyidagi ko'rinishdagi integrallarga qismlar formulasini qo'llash tavsiya etiladi:
1) $\int P_(n)(x) e^(k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \sin (k x) d x$ ; $\int P_(n)(x) \cos (k x) d x$
Bu yerda $P_(n)(x)$ $n$ darajali ko‘phad, $k$ qandaydir doimiy. Bunda ko`phad $u$ funksiya sifatida, qolgan omillar esa $d v$ sifatida olinadi. Ushbu turdagi integrallar uchun qismlar bo'yicha integrallash formulasi $n$ marta qo'llaniladi.
Bu usul yordamida integrallarni yechishga misollar
Misol
Mashq qilish.$\int(x+1) e^(2 x) d x$ integralini toping
Yechim.
$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(1)(2) \int e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^( 2 x))(2)-\frac(1)(2) \cdot \frac(1)(2) e^(2 x)+C=$
$=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C$
Javob.$\int(x+1) e^(2 x) d x=\frac((x+1) e^(2 x))(2)-\frac(e^(2 x))(4)+C $
Misol
Mashq qilish.$\int x^(2) \cos x d x$ integralini toping
Yechim.
$=x^(2) \sin x-2\left(x \cdot(-\cos) x-\int(-\cos x) d x\right)=$
$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \int \cos x d x=$
$=x^(2) \sin x+2 x \cos x-2 \sin x+C=\left(x^(2)-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$
Javob.$\int x^(2) \cos x d x=\left(x^(2)-1\right) \sin x+2 x \cos x+C$
2) $\int P_(n)(x) \arcsin x d x$ ; $\int P_(n)(x) \arccos x d x$ ; $\int P_(n)(x)\ln x d x$
Bu yerda $d v=P_(n)(x) d x$ va $u$ qolgan omillar deb faraz qilamiz.
Misol
Mashq qilish.$\int \ln x d x$ integralini toping
Yechim. Dastlabki integralda biz $u$ va $v$ funktsiyalarini ajratib olamiz, so'ngra qismlar bo'yicha integratsiyani bajaramiz.
$=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C=x(\ln x-1)+C$
Javob.$\int \ln x d x=x(\ln x-1)+C$
Misol
Mashq qilish.$\int \arcsin x d x$ integralini toping
Yechim. Dastlabki integralda biz $u$ va $v$ funktsiyalarini ajratib olamiz, so'ngra qismlar bo'yicha integratsiyani bajaramiz. Bu integralni yechish uchun bu amalni 2 marta takrorlash kerak.
$=x \arcsin x-\int \frac(-t d t)(\sqrt(t^(2)))=x \arcsin x+\int \frac(t d t)(t)=x \arcsin x+\int d t= $
$=x \arcsin x+t+C=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$
Javob.$\int \arcsin x d x=x \arcsin x+\sqrt(1-x^(2))+C$
3) $\int e^(k x+b) \sin (c x+f) d x$ ; $\int e^(k x+b) \cos (c x+f) d x$
Bunday holda, ko'rsatkich yoki trigonometrik funktsiya $u$ sifatida qabul qilinadi. Yagona shart shundaki, integrasiyani qismlar formulasi bo‘yicha qo‘llashda bir xil funktsiya $u$ funksiyasi bilan, ya’ni mos ravishda ko‘rsatkichli yoki trigonometrik funksiya sifatida olinadi.
Misol
Mashq qilish.$\int e^(2 x+1) \sin x d x$ integralini toping
Yechim. Dastlabki integralda biz $u$ va $v$ funktsiyalarini ajratib olamiz, so'ngra qismlar bo'yicha integratsiyani bajaramiz.
$=-e^(2 x+1) \cos x-\int(-\cos x) \cdot \frac(e^(2 x+1))(2) d x=$
Noaniq integralni qismlar bo'yicha integrallash usuli keltirilgan. Ushbu usul bilan hisoblangan integrallarga misollar keltirilgan. Yechimlarning misollari muhokama qilinadi.
TarkibShuningdek qarang: Noaniq integrallarni hisoblash usullari
Noaniq integrallar jadvali
Asosiy elementar funksiyalar va ularning xossalari
Qismlar bo'yicha integratsiya formulasi quyidagicha ko'rinadi:
.
Qismlar bo'yicha integratsiya usuli ushbu formulani qo'llashdan iborat. Amaliy qo'llashda shuni ta'kidlash kerakki, u va v integratsiya o'zgaruvchisining funktsiyalari. Integratsiya o'zgaruvchisi x sifatida belgilansin (integral yozuvning oxiridagi d differensial belgisidan keyingi belgi). U va v funksiyalari x ning funksiyalari: u(x) va v(x) .
Keyin
, .
Va qismlar bo'yicha integratsiya formulasi quyidagi shaklni oladi:
.
Ya'ni, integratsiya funktsiyasi ikkita funktsiyaning mahsulotidan iborat bo'lishi kerak:
,
ulardan birini u sifatida belgilaymiz: g(x) = u, ikkinchisi uchun integralni hisoblash kerak (aniqrog'i, antiderivativ topilishi kerak):
, keyin dv = f(x) dx .
Ayrim hollarda f(x) = 1
. Ya'ni, integralda
,
g (x) = u, x = v ni qo'yishimiz mumkin.
Xulosa
Shunday qilib, ushbu usulda qismlar bo'yicha integratsiya formulasini eslab qolish va ikki shaklda qo'llash kerak:
;
.
Qismlar bo'yicha integrallash yo'li bilan hisoblangan integrallar
Logarifmlar va teskari trigonometrik (giperbolik) funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallar
Logarifmlar va teskari trigonometrik yoki giperbolik funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallar ko'pincha qismlar bilan integrallanadi. Bunda logarifm yoki teskari trigonometrik (giperbolik) funksiyalar joylashgan qism u bilan, qolgan qismi dv bilan belgilanadi.
Qismlar bo'yicha integrallash usuli bilan hisoblangan bunday integrallarga misollar:
, , , , , , .
Ko‘phad va sin x, cos x yoki e x ko‘paytmasi bo‘lgan integrallar
Qismlar bo'yicha integrallash formulasidan foydalanib, shaklning integrallari topiladi:
, , ,
bu yerda P(x) x dagi ko‘phaddir. Integrallashda P(x) ko‘phad u bilan belgilanadi va e ax dx, cos ax dx yoki gunoh ax dx- dv orqali.
Mana shunday integrallarga misollar:
, , .
Qismlar bo'yicha integrallash usuli yordamida integrallarni hisoblash misollari
Logarifmlar va teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan integrallarga misollar
Misol
Integralni hisoblang:
Batafsil yechim
Bu yerda integranda logarifm mavjud. O'zgartirishlarni amalga oshirish
u = ln x,
dv = x 2 dx.
Keyin
,
.
Qolgan integralni hisoblaymiz:
.
Keyin
.
Hisob-kitoblar oxirida doimiy C ni qo'shish kerak, chunki noaniq integral barcha antiderivativlar to'plamidir. U oraliq hisob-kitoblarga ham qo'shilishi mumkin, ammo bu faqat hisob-kitoblarni chalkashtirib yuboradi.
Qisqaroq yechim
Yechimni qisqaroq versiyada taqdim etishingiz mumkin. Buning uchun u va v bilan almashtirishlarni amalga oshirish kerak emas, lekin siz omillarni guruhlashingiz va ikkinchi shaklda qismlar formulasi bo'yicha integratsiyani qo'llashingiz mumkin.
.Boshqa misollar
Ko'phad va sin x, cos x yoki ex ko'paytmasini o'z ichiga olgan integrallarga misollar
Misol
Integralni hisoblang:
.
Differensial belgisi ostida ko'rsatkichni kiritamiz:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).
Keling, qismlar bo'yicha birlashaylik.
.
Biz qismlar bo'yicha integratsiya usulidan ham foydalanamiz.
.
.
.
Nihoyat bizda bor.
Qismlar bo'yicha integratsiya formulasi deb ataladi. Chap tarafdagi antiderivativlar to'plami o'ng tomondan olingan antiderivativlar to'plamiga to'g'ri keladi, degan ma'noda tushuniladi.
Qismlar bo'yicha integratsiya usulini qo'llash
Muayyan miqdorlarni topishning o'ziga xos xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, qismlar bo'yicha integratsiya formulasi ko'pincha quyidagi masalalarda qo'llaniladi:- Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini topish formulasi ikkita omilni o'z ichiga oladi: x ning polinom funktsiyasi va f(x) taqsimot zichligi.
- Furye seriyasining kengayishi. Parchalanishda f(x) funksiya va trigonometrik funktsiya cos(x) yoki sin(x) ko`paytmasini integrallash orqali topiladigan koeffitsientlarni aniqlash kerak.
Qismlar bo'yicha odatiy parchalanish
Qismlar formulasi bo'yicha integratsiyadan foydalanganda, formulaning o'ng tomonida olingan integralni topish osonroq bo'lishi uchun U va dV ni muvaffaqiyatli tanlashingiz kerak. Birinchi misolda U=e x , dV=xdx ni qo'yaylik. Keyin dU=e x dx , va 
∫ x 2 e x dx integralini asl integralidan oddiyroq deb hisoblash mumkin emas.
Ba'zan qismlar formulasini bir necha marta qo'llash kerak bo'ladi, masalan, ∫ x 2 sin(x)dx integralini hisoblashda.
∫ e ax cos(bx)dx va ∫ e ax sin(bx)dx integrallari deyiladi. tsiklik va qismlar bo'yicha integratsiya formulasi yordamida ikki marta hisoblanadi.
Misol № 1. ∫ xe x dx ni hisoblang.
U=x, dV=e x dx qo'yaylik. Keyin dU=dx , V=e x . Shuning uchun ∫ xe x dx=xe x -∫ e x dx=xe x -e x +C .
Misol № 2. ∫ xcos(x)dx ni hisoblang.
U=x, dV=cos(x)dx deb faraz qilamiz. Keyin dU=dx , V=sin(x) va ∫ xcos(x)dx=xsin(x) - ∫ sin(x)dx = xsin(x)+cos(x)+C
Misol № 3. ∫ (3x+4)cos(x)dx
Yechim:
Javob: (3x+4)sin(x)+3cos(x)+C
Biz har doim ham antiderivativ funktsiyalarni hisoblay olmaymiz, ammo farqlash masalasini har qanday funktsiya uchun hal qilish mumkin. Shuning uchun ham har qanday turdagi hisoblash uchun qo'llanilishi mumkin bo'lgan yagona integratsiya usuli mavjud emas.
Ushbu materialda biz noaniq integralni topish bilan bog'liq masalalarni yechish misollarini ko'rib chiqamiz va har bir usul qanday integral turlariga mos kelishini ko'rib chiqamiz.
To'g'ridan-to'g'ri integratsiya usuli
Antiderivativ funktsiyani hisoblashning asosiy usuli to'g'ridan-to'g'ri integratsiyadir. Bu harakat noaniq integralning xossalariga asoslanadi va hisob-kitoblar uchun bizga antiderivativlar jadvali kerak. Boshqa usullar faqat asl integralni jadval ko'rinishiga keltirishga yordam beradi.
1-misol
f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 funktsiyaning anti hosilalari to'plamini hisoblang.
Yechim
Birinchidan, funktsiyaning shaklini f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 ga o'zgartiramiz.
Bizga ma'lumki, funktsiyalar yig'indisining integrali ushbu integrallarning yig'indisiga teng bo'ladi, ya'ni:
∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x
Biz integral belgisi orqasidagi raqamli koeffitsientni olamiz:
∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x
Birinchi integralni topish uchun antiderivativlar jadvaliga murojaat qilishimiz kerak bo'ladi. Undan ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1 qiymatini olamiz.
Ikkinchi integralni topish uchun ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C daraja funksiyasi uchun antiderivativlar jadvali, shuningdek ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k ·) qoidasi kerak bo‘ladi. x + b) + C .
Demak, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C
Biz quyidagilarni oldik:
∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C
C = C 1 + 3 2 C 2 bilan
Javob:∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C
Biz alohida maqolani antiderivativlar jadvallari yordamida to'g'ridan-to'g'ri integratsiyaga bag'ishladik. U bilan tanishib chiqishingizni tavsiya qilamiz.
O'zgartirish usuli
Integratsiyaning bu usuli integrandni ushbu maqsad uchun maxsus kiritilgan yangi o'zgaruvchi orqali ifodalashdan iborat. Natijada, biz integralning jadval shaklini yoki oddiygina murakkabroq integralni olishimiz kerak.
Funksiyalarni radikallar yoki trigonometrik funksiyalar bilan integrasiyalash zarur bo‘lganda bu usul juda foydali.
2-misol
Noaniq integral ∫ 1 x 2 x - 9 d x ni baholang.
Yechim
Yana bitta o'zgaruvchini qo'shamiz z = 2 x - 9 . Endi x ni z shaklida ifodalashimiz kerak:
z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 z d z = z d z
∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9
Biz antiderivativlar jadvalini olamiz va 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C ekanligini aniqlaymiz.
Endi biz x o'zgaruvchisiga qaytishimiz va javobni olishimiz kerak:
2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C
Javob:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.
Agar m, n, p qiymatlari ratsional sonlar bo'lgan x m (a + b x n) p ko'rinishidagi irratsional funktsiyalarni integrallashimiz kerak bo'lsa, unda yangi o'zgaruvchini kiritish uchun ifodani to'g'ri shakllantirish muhimdir. Bu haqda ko'proq ma'lumotni irratsional funktsiyalarni integratsiyalash haqidagi maqolada o'qing.
Yuqorida aytib o'tganimizdek, trigonometrik funktsiyani integrallash kerak bo'lganda almashtirish usulidan foydalanish qulay. Masalan, universal almashtirishdan foydalanib, siz ifodani kasrli ratsional shaklga qisqartirishingiz mumkin.
Bu usul ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C integratsiya qoidasini tushuntiradi.
Yana z = k x + b o'zgaruvchini qo'shamiz. Biz quyidagilarni olamiz:
x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k
Endi biz hosil bo'lgan ifodalarni olamiz va ularni shartda ko'rsatilgan integralga qo'shamiz:
∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k
Agar biz C 1 k = C ni qabul qilsak va dastlabki x o'zgaruvchiga qaytsak, unda biz quyidagilarni olamiz:
F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C
Differensial belgiga obuna bo'lish usuli
Bu usul integralni f (g (x)) d (g (x)) ko'rinishdagi funktsiyaga aylantirishga asoslangan. Shundan so'ng biz yangi z = g (x) o'zgaruvchisini kiritish orqali almashtirishni amalga oshiramiz, unga antiderivativ topamiz va dastlabki o'zgaruvchiga qaytamiz.
∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C
Bu usul yordamida masalalarni tezroq yechish uchun integrandni qisqartirish kerak bo‘lgan ifodani topish uchun qo‘lda differentsiallar ko‘rinishidagi hosilalar jadvali va antiderivativlar jadvalini saqlang.
Keling, kotangent funksiyaning antiderivativlar to'plamini hisoblashimiz kerak bo'lgan masalani tahlil qilaylik.
3-misol
Noaniq integral ∫ c t g x d x ni hisoblang.
Yechim
Asosiy trigonometrik formulalar yordamida integral ostidagi asl ifodani o'zgartiramiz.
c t g x d x = cos s d x sin x
Biz hosilalar jadvaliga qaraymiz va hisoblagichni cos x d x = d (sin x) differensial belgisi ostida yig'ish mumkinligini ko'ramiz, ya'ni:
c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x, ya'ni. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x.
Faraz qilaylik, sin x = z, bu holda ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Antiderivativlar jadvaliga ko'ra, ∫ d z z = ln z + C . Endi asl o'zgaruvchiga qaytaylik ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .
Barcha yechimni qisqacha quyidagicha yozish mumkin:
∫ s t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C
Javob: ∫ c t g x d x = ln sin x + C
Differensial belgiga obuna bo'lish usuli amalda juda tez-tez qo'llaniladi, shuning uchun unga bag'ishlangan alohida maqolani o'qishni maslahat beramiz.
Qismlar bo'yicha integratsiya usuli
Bu usul integralni f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)) ko'rinishdagi ko'paytmaga aylantirishga asoslangan, undan keyin ∫ u (x) d formulasi. ( v (x)) = u (x) · v (x) - ∫ v (x) · d u (x).Bu juda qulay va keng tarqalgan yechish usuli.Ba’zan bitta masalada qisman integratsiyani bir necha marta qo‘llashga to‘g‘ri keladi. kerakli natijaga erishishdan oldin.
Arktangentning antiderivativlari to'plamini hisoblashimiz kerak bo'lgan masalani tahlil qilaylik.
4-misol
Noaniq integral ∫ a r c t g (2 x) d x ni hisoblang.
Yechim
Faraz qilaylik u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x, bu holda:
d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x
v (x) funksiyaning qiymatini hisoblaganimizda, ixtiyoriy C doimiysini qo'shmasligimiz kerak.
∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2
Olingan integralni differentsial ishorani yig'ish usuli yordamida hisoblaymiz.
∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 bo‘lgani uchun 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .
∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c tg (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C
Javob:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C.
Bu usuldan foydalanishdagi asosiy qiyinchilik qaysi qismni differentsial va qaysi qismni u (x) funksiyasi sifatida qabul qilishni tanlash zarurati hisoblanadi. Qismlar bo'yicha integratsiya usuli haqidagi maqola ushbu masala bo'yicha siz tanishishingiz kerak bo'lgan ba'zi maslahatlarni beradi.
Agar kasrli ratsional funktsiyaning anti hosilalari to'plamini topish kerak bo'lsa, u holda biz birinchi navbatda integratsiyani oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalashimiz kerak, keyin esa hosil bo'lgan kasrlarni integrallashimiz kerak. Qo'shimcha ma'lumot olish uchun oddiy kasrlarni integratsiyalash haqidagi maqolaga qarang.
Agar biz sin 7 x · d x yoki d x (x 2 + a 2) 8 ko'rinishidagi kuch ifodasini integrallasak, unda biz kuchni asta-sekin kamaytirishi mumkin bo'lgan takrorlanish formulalaridan foyda olamiz. Ular qismlar bo'yicha ketma-ket takrorlangan integratsiya yordamida olinadi. Biz maqolani o'qishni tavsiya qilamiz "Takrorlanish formulalari yordamida integratsiya.
Keling, xulosa qilaylik. Muammolarni hal qilish uchun bevosita integratsiya usulini bilish juda muhimdir. Boshqa usullar (almashtirish, almashtirish, qismlar bo'yicha integrallash) ham integralni soddalashtirish va jadval ko'rinishiga keltirish imkonini beradi.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
