y o'zgaruvchining x o'zgaruvchiga bog'liqligi, bunda x ning har bir qiymati y ning yagona qiymatiga mos keladi. Belgilash uchun y=f(x) belgisidan foydalaning. Har bir funktsiya bir qator asosiy xususiyatlarga ega, masalan, monotonlik, paritet, davriylik va boshqalar.

Paritet xususiyatini batafsil ko'rib chiqing.

y=f(x) funksiya quyidagi ikkita shartni qondirsa ham chaqiriladi:

2. Funksiyaning aniqlanish sohasiga mansub x nuqtadagi funksiya qiymati -x nuqtadagi funksiya qiymatiga teng bo lishi kerak. Ya’ni har qanday x nuqta uchun funksiyaning aniqlanish sohasidan quyidagi tenglik qanoatlantirilishi kerak: f(x) = f(-x).

Jadval hatto funktsiya

Agar juft funksiyaning grafigini tuzsangiz, u Oy o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘ladi.

Masalan, y=x^2 funksiya juft. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. Ta'rif sohasi butun raqamli o'qdir, ya'ni u O nuqtaga nisbatan simmetrikdir.

Keling, ixtiyoriy x=3 ni olaylik. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Shuning uchun f(x) = f(-x). Shunday qilib, ikkala shart ham bajariladi, ya'ni funksiya juft bo'ladi. Quyida y=x^2 funksiyaning grafigi keltirilgan.

Rasmda grafikning Oy o'qiga nisbatan simmetrik ekanligi ko'rsatilgan.

Toq funksiya grafigi

y=f(x) funksiya quyidagi ikkita shartni qondirsa, toq funksiya deyiladi:

1. Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi O nuqtaga nisbatan simmetrik bo‘lishi kerak. Ya’ni, biror a nuqta funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lsa, mos keladigan -a nuqta ham aniqlanish sohasiga tegishli bo‘lishi kerak. berilgan funktsiyadan.

2. Har qanday x nuqta uchun funksiyaning aniqlanish sohasidan quyidagi tenglik bajarilishi kerak: f(x) = -f(x).

Toq funksiya grafigi koordinatalarning boshi O nuqtaga nisbatan simmetrikdir. Masalan, y=x^3 funksiya toq. Keling, buni tekshirib ko'ramiz. Ta'rif sohasi butun raqamli o'qdir, ya'ni u O nuqtaga nisbatan simmetrikdir.

Ixtiyoriy x=2 ni olaylik. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Shuning uchun f(x) = -f(x). Shunday qilib, ikkala shart ham bajariladi, ya'ni funktsiya g'alati. Quyida y=x^3 funksiyaning grafigi keltirilgan.

Rasmda y=x^3 toq funksiya koordinata boshiga nisbatan simmetrik ekanligini aniq ko‘rsatib turibdi.

Funktsiya har qanday va tenglik uchun juft (toq) deb ataladi

.

Juft funksiya grafigi o‘qga nisbatan simmetrikdir
.

Toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrikdir.

6.2-misol. Funktsiyaning juft yoki toq ekanligini tekshiring

1)
; 2)
; 3)
.

Yechim.

1) Funktsiya qachon aniqlanadi
. Biz topamiz
.

Bular.
. Bu shuni anglatadiki, bu funktsiya tengdir.

2) Funktsiya qachon aniqlanadi

Bular.
. Shunday qilib, bu funktsiya g'alati.

3) funksiya uchun aniqlangan, ya'ni. Uchun

,
. Shuning uchun funksiya juft ham, toq ham emas. Uni umumiy shakl funksiyasi deb ataymiz.

3. Monotonlik uchun funksiyani o'rganish.

Funktsiya
Agar bu oraliqda argumentning har bir katta qiymati funktsiyaning kattaroq (kichik) qiymatiga to'g'ri kelsa, ma'lum bir oraliqda ortib borish (kamayish) deb ataladi.

Muayyan oraliqda ortib boruvchi (kamayuvchi) funksiyalar monotonik deyiladi.

Agar funktsiya
oraliqda differensiallanadi
va ijobiy (salbiy) hosilaga ega
, keyin funksiya
bu oraliqda ortadi (kamayadi).

6.3-misol. Funksiyalarning monotonlik intervallarini toping

1)
; 3)
.

Yechim.

1) Bu funksiya butun son qatorida aniqlanadi. Keling, hosilani topamiz.

Agar hosilasi nolga teng
Va
. Ta'rif sohasi nuqtalar bilan bo'lingan raqamlar o'qidir
,
intervallarda. Har bir intervaldagi hosila belgisini aniqlaymiz.

Intervalda
hosila manfiy, funksiya shu intervalda kamayadi.

Intervalda
hosila ijobiy, shuning uchun funktsiya bu oraliqda ortadi.

2) Bu funksiya agar aniqlanadi
yoki

.

Har bir oraliqda kvadratik uchlik belgisini aniqlaymiz.

Shunday qilib, funksiyani aniqlash sohasi

Keling, hosilani topamiz
,
, Agar
, ya'ni.
, Lekin
. Intervallardagi hosila belgisini aniqlaymiz
.

Intervalda
hosila manfiy, shuning uchun funksiya intervalda kamayadi
. Intervalda
hosilasi musbat, funksiya intervalda ortadi
.

4. Ekstremumdagi funktsiyani o'rganish.

Nuqta
funksiyaning maksimal (minimal) nuqtasi deb ataladi
, agar nuqtaning bunday mahallasi mavjud bo'lsa bu hamma uchun
bu mahalladan tengsizlik mavjud

.

Funksiyaning maksimal va minimal nuqtalari ekstremum nuqtalar deyiladi.

Agar funktsiya
nuqtada ekstremumga ega bo'lsa, u holda bu nuqtada funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas (ekstremum mavjudligi uchun zaruriy shart).

Hosil nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar kritik deyiladi.

5. Etarli shartlar ekstremumning mavjudligi.

1-qoida. Agar o'tish paytida (chapdan o'ngga) tanqidiy nuqta orqali hosila
belgisini "+" dan "-" ga, so'ngra nuqtaga o'zgartiradi funktsiyasi
maksimal darajaga ega; agar "-" dan "+" gacha bo'lsa, minimal; Agar
belgisini o'zgartirmaydi, keyin ekstremum yo'q.

2-qoida. Nuqtaga ruxsat bering
funktsiyaning birinchi hosilasi
nolga teng
, va ikkinchi hosila mavjud va noldan farq qiladi. Agar
, Bu – maksimal nuqta, agar
, Bu – funksiyaning minimal nuqtasi.

6.4-misol. Maksimal va minimal funktsiyalarni o'rganing:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Yechim.

1) Funksiya aniqlangan va intervalda uzluksiz
.

Keling, hosilani topamiz
va tenglamani yeching
, ya'ni.
.Bu yerdan
- tanqidiy nuqtalar.

oraliqlarda hosila belgisini aniqlaymiz,
.

Nuqtalardan o'tayotganda
Va
lotin belgisi "-" dan "+" ga o'zgaradi, shuning uchun 1-qoidaga muvofiq
- minimal ball.

Bir nuqtadan o'tayotganda
lotin belgisi "+" dan "-" ga o'zgaradi, shuning uchun
- maksimal nuqta.

,
.

2) funksiya aniqlangan va intervalda uzluksiz
. Keling, hosilani topamiz
.

Tenglamani yechgandan keyin
, topamiz
Va
- tanqidiy nuqtalar. Agar maxraj bo'lsa
, ya'ni.
, keyin hosila mavjud emas. Shunday qilib,
- uchinchi muhim nuqta. Hosilaning ishorasini intervallarda aniqlaylik.

Demak, funksiya nuqtada minimumga ega
, maksimal ball
Va
.

3) Funktsiya aniqlangan va uzluksiz bo'lsa
, ya'ni. da
.

Keling, hosilani topamiz

.

Kritik nuqtalarni topamiz:

Nuqtalarning qo'shnilari
ta'rif sohasiga tegishli emas, shuning uchun ular ekstremal emas. Shunday qilib, keling, tanqidiy fikrlarni ko'rib chiqaylik
Va
.

4) Funksiya aniqlangan va intervalda uzluksiz
. 2-qoidadan foydalanamiz. Hosilni toping
.

Kritik nuqtalarni topamiz:

Keling, ikkinchi hosilani topamiz
nuqtalarda uning belgisini aniqlang

Nuqtalarda
funktsiya minimal qiymatga ega.

Nuqtalarda
funktsiya maksimalga ega.

2020-yil iyul oyida NASA Marsga ekspeditsiyani boshlaydi. Kosmik kema Marsga barcha ro'yxatdan o'tgan ekspeditsiya ishtirokchilarining ismlari ko'rsatilgan elektron vositani yetkazib beradi.

Agar ushbu post muammoingizni hal qilgan bo'lsa yoki sizga shunchaki yoqqan bo'lsa, unga havolani ijtimoiy tarmoqlardagi do'stlaringiz bilan baham ko'ring.

Ushbu kod variantlaridan birini nusxalash va veb-sahifangiz kodiga joylashtirish kerak, afzalroq teglar orasiga yoki tegdan keyin darhol. Birinchi variantga ko'ra, MathJax tezroq yuklanadi va sahifani kamroq sekinlashtiradi. Ammo ikkinchi variant MathJax-ning so'nggi versiyalarini avtomatik ravishda kuzatib boradi va yuklaydi. Agar siz birinchi kodni kiritsangiz, uni vaqti-vaqti bilan yangilab turish kerak bo'ladi. Agar siz ikkinchi kodni kiritsangiz, sahifalar sekinroq yuklanadi, lekin siz MathJax yangilanishlarini doimiy ravishda kuzatib borishingiz shart emas.

MathJax-ni ulashning eng oson yo'li Blogger yoki WordPress-da: saytning boshqaruv paneliga uchinchi tomon JavaScript kodini kiritish uchun mo'ljallangan vidjetni qo'shing, unga yuqorida keltirilgan yuklab olish kodining birinchi yoki ikkinchi versiyasini nusxalang va vidjetni yaqinroq joylashtiring. shablonning boshiga (Aytgancha, bu mutlaqo kerak emas, chunki MathJax skripti asinxron ravishda yuklangan). Ana xolos. Endi MathML, LaTeX va ASCIIMathML ning belgilash sintaksisini bilib oling va siz joylashtirishga tayyormiz. matematik formulalar saytingizning veb-sahifalariga.

Yana bir yangi yil kechasi... sovuq ob-havo va deraza oynasidagi qor parchalari... Bularning barchasi meni yana... fraktallar va Volfram Alfa bu haqda nima bilishi haqida yozishga undadi. Shu munosabat bilan bor qiziqarli maqola, unda ikki o'lchovli fraktal tuzilmalarning misollari mavjud. Bu erda biz ko'proq narsani ko'rib chiqamiz murakkab misollar uch o'lchovli fraktallar.

Fraktal vizual ravishda geometrik figura yoki jism sifatida tasvirlanishi (ta'riflanishi) mumkin (ya'ni ikkalasi ham to'plam, bu holda nuqtalar to'plami), uning tafsilotlari asl figuraning o'zi bilan bir xil shaklga ega. Ya'ni, bu o'ziga o'xshash tuzilma bo'lib, uning tafsilotlarini o'rganib chiqsak, kattalashganda biz kattalashtirilmagan shaklni ko'ramiz. Oddiy holatda bo'lsa geometrik shakl(fraktal emas), kattalashganda biz ko'proq tafsilotlarni ko'ramiz oddiy shakl asl figuraning o'zidan ko'ra. Misol uchun, etarlicha yuqori kattalashtirishda ellipsning bir qismi to'g'ri chiziq segmentiga o'xshaydi. Fraktallar bilan bu sodir bo'lmaydi: ulardagi har qanday o'sish bilan biz yana bir xil murakkab shaklni ko'ramiz, bu har bir o'sish bilan yana va yana takrorlanadi.

Fraktallar fanining asoschisi Benua Mandelbrot o‘zining “Fraktallar va fan nomidagi san’at” maqolasida shunday yozgan edi: “Fraktallar geometrik shakllar, ular umumiy shaklida bo'lgani kabi, o'zlarining tafsilotlarida ham bir xil darajada murakkab. Ya'ni, fraktalning bir qismi butunning o'lchamiga qadar kattalashtirilsa, u to'liq yoki ehtimol bir oz deformatsiya bilan bir butun sifatida paydo bo'ladi."

. Buning uchun grafik qog'oz yoki grafik kalkulyatordan foydalaning. Mustaqil o'zgaruvchi x (\displaystyle x) uchun istalgan sonli raqamli qiymatlarni tanlang va y (\displaystyle y) bog'liq o'zgaruvchisi uchun qiymatlarni hisoblash uchun ularni funktsiyaga ulang. Nuqtalarning topilgan koordinatalarini chizing koordinata tekisligi, va keyin funksiyaning grafigini yaratish uchun ushbu nuqtalarni ulang.

• Funktsiyaga ijobiylarni almashtiring raqamli qiymatlar x (\displaystyle x) va mos keladigan salbiy raqamli qiymatlar. Masalan, f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) funksiya berilgan. Unga quyidagi qiymatlarni x (\displaystyle x) almashtiring:

Funksiya grafigining Y o`qiga nisbatan simmetrik ekanligini tekshiring.Simmetriya deganda biz grafikning y o`qiga nisbatan oyna tasvirini tushunamiz. Agar grafikning Y o'qining o'ng tomonidagi qismi (mustaqil o'zgaruvchining ijobiy qiymatlari) Y o'qining chap tomonidagi grafik qismi bilan bir xil bo'lsa (mustaqil o'zgaruvchining salbiy qiymatlari) ), grafik Y oʻqiga nisbatan simmetrik boʻladi.Funksiya y oʻqiga nisbatan simmetrik boʻlsa, funksiya juft boʻladi.

Funksiya grafigining koordinata boshiga nisbatan simmetrik ekanligini tekshiring. Koordinatalari (0,0) bo'lgan nuqta boshlanish nuqtasidir. Kelib chiqishi simmetriyasi y ning musbat qiymati (\displaystyle y) (x ning musbat qiymati uchun (\displaystyle x) ) manfiy qiymatiga (\displaystyle y) (\displaystyle y) (salbiy qiymat uchun) mos kelishini bildiradi. ning x (\displaystyle x) ) va aksincha. Toq funksiyalar kelib chiqishiga nisbatan simmetriyaga ega.

Funksiya grafigida simmetriya borligini tekshiring. Funksiyaning oxirgi turi - grafigi simmetriyaga ega bo'lmagan, ya'ni ordinata o'qiga nisbatan ham, koordinata o'qiga nisbatan ham oyna tasviri bo'lmagan funksiya. Masalan, funksiya berilgan.

• Funktsiyaga bir nechta ijobiy va mos keladiganlarni almashtiring salbiy qiymatlar x (\displaystyle x):
• Olingan natijalarga ko'ra, simmetriya yo'q. X (\displaystyle x) ning qarama-qarshi qiymatlari uchun y (\displaystyle y) qiymatlari bir xil emas va qarama-qarshi emas. Shunday qilib, funktsiya juft ham, toq ham emas.
• Shuni yodda tutingki, f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) funksiyasi quyidagicha yozilishi mumkin: f (x) = (x + 1). ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Bu shaklda yozilsa, funktsiya juft ko'rsatkich bo'lganligi uchun ham paydo bo'ladi. Ammo bu misol, agar mustaqil o'zgaruvchi qavs ichiga olingan bo'lsa, funksiya turini tezda aniqlab bo'lmasligini isbotlaydi. Bunday holda siz qavslarni ochishingiz va olingan ko'rsatkichlarni tahlil qilishingiz kerak.

Qaysi biri sizga u yoki bu darajada tanish edi. Shuningdek, u yerda funksiya xossalari zaxirasi bosqichma-bosqich to‘ldirilishi qayd etildi. Ushbu bo'limda ikkita yangi xususiyat muhokama qilinadi.

Ta'rif 1.

y = f(x), x ê X funksiyasi, agar X to'plamdagi har qanday x qiymat uchun f (-x) = f (x) tenglik bajarilgan taqdirda ham chaqiriladi.

Ta'rif 2.

y = f(x), x ê X funksiyasi toq deyiladi, agar X to'plamdagi har qanday x qiymat uchun f (-x) = -f (x) tenglik bajarilsa.

y = x 4 juft funksiya ekanligini isbotlang.

Yechim. Bizda: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Lekin(-x) 4 = x 4. Demak, har qanday x uchun f(-x) = f(x) tenglik amal qiladi, ya'ni. funksiyasi teng.

Xuddi shunday, y - x 2, y = x 6, y - x 8 funktsiyalari juft ekanligini isbotlash mumkin.

y = x 3 ~ toq funksiya ekanligini isbotlang.

Yechim. Bizda: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Lekin (-x) 3 = -x 3. Bu shuni anglatadiki, har qanday x uchun f (-x) = -f (x) tenglik amal qiladi, ya'ni. funktsiya g'alati.

Xuddi shunday, y = x, y = x 5, y = x 7 funksiyalarning toq ekanligini isbotlash mumkin.

Siz va men bir necha bor amin bo'lganmizki, matematikadagi yangi atamalar ko'pincha "er yuzida" kelib chiqadi, ya'ni. ularni qandaydir tarzda tushuntirish mumkin. Bu juft va toq funksiyalarda ham shunday. Qarang: y - x 3, y = x 5, y = x 7 toq funksiyalar, y = x 2, y = x 4, y = x 6 esa juft funksiyalardir. Va umuman olganda, y = x" ko'rinishidagi har qanday funktsiya uchun (quyida biz ushbu funktsiyalarni maxsus o'rganamiz), bu erda n - natural son, biz xulosa qilishimiz mumkin: agar n bo'lmasa. juft son, u holda y = x" funksiya toq; agar n juft son bo'lsa, u holda y = xn funksiya juft bo'ladi.

Juft ham, toq ham bo‘lmagan funksiyalar ham bor. Masalan, y = 2x + 3 funksiyasi shundaydir. Darhaqiqat, f(1) = 5 va f (-1) = 1. Ko'rib turganingizdek, bu erda f(-x) = o'ziga xoslik ham emas. f ( x), na f(-x) = -f(x) identifikatori.

Demak, funktsiya juft, toq yoki hech biri bo'lmasligi mumkin.

Yo'qmi degan savolni o'rganish berilgan funksiya juft yoki toq, odatda, paritet uchun funktsiyani o'rganish deyiladi.

1 va 2 ta'riflarda haqida gapiramiz funktsiyaning x va -x nuqtalardagi qiymatlari haqida. Bu funksiya x nuqtada ham, -x nuqtada ham aniqlangan deb faraz qiladi. Demak, -x nuqta x nuqta bilan bir vaqtda funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli. Agar X sonli to'plam o'zining har bir elementi x bilan birga qarama-qarshi element -xni ham o'z ichiga olsa, X simmetrik to'plam deyiladi. Aytaylik, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simmetrik to'plamlar, esa )