Siz allaqachon 7-sinf algebra kursida tanishgansiz, lekin bu faqat tizimlar edi maxsus turi- ikkita tizim chiziqli tenglamalar ikkita o'zgaruvchi bilan. 8-sinfda siz bitta o'zgaruvchili ratsional tenglamalarni echishni o'rgandingiz, ya'ni siz ikkita o'zgaruvchili ratsional tenglamalar tizimini echish haqida o'ylashingiz mumkin, ayniqsa bunday tizimlar ko'pincha matematik modellar o‘rganilayotgan holatlar. Siz ushbu modellardan biri haqida "Algebra-8" darsligidan allaqachon bilib oldingiz. Quyidagi misol havola qilingan darslikdan olingan.

Amalda "ikki o'zgaruvchili ratsional tenglama" atamasini kengroq talqin qilish qulayroqdir: bu shaklning tenglamasi - ikkita o'zgaruvchili x va y bo'lgan ratsional ifodalar.
Ikki o'zgaruvchili ratsional tenglamalarga misollar:

Albatta, siz boshqa o'zgaruvchilar bilan ratsional tenglamalarni ko'rib chiqishingiz mumkin, x bilan shart emas, masalan, a3 - bx = 3ab - ikkita o'zgaruvchili a, b bo'lgan ratsional tenglama. Ammo an'anaga ko'ra, algebrada ular o'zgaruvchi sifatida x va y harflaridan foydalanishni afzal ko'rishadi.

Ta'rif 2.

p (x, y) = 0 tenglamasining yechimi bu tenglamani qanoatlantiradigan har qanday sonlar juftligi (x; y), ya'ni. p (x, y) = 0 o'zgaruvchilari bilan tenglikni haqiqiy sonli tenglikka aylantiradi.

Masalan:

1) (3; 7) - x 2 + y 2 = 58 tenglamaning yechimi. Haqiqatan ham, 3 2 + 7 2 = 58 to'g'ri sonli tenglikdir.
2) - x 2 + y 2 - 58 tenglamaning yechimi. - to'g'ri sonli tenglik (22 + 36 = 58).

3) (0; 5) - 2xy + x 3 = 0 tenglamaning yechimi. Darhaqiqat, 2 0 5 + 0+ O 2 = 0 to'g'ri sonli tenglikdir.
4) (1; 2) 2xy + x 3 = 0 tenglamaning yechimi emas. Aslida 2 1 2 + 3 = 0 noto'g'ri tenglikdir (5 = 0 chiqadi).

Ikki o'zgaruvchili tenglamalar uchun, shuningdek, bir o'zgaruvchili tenglamalar uchun tenglamalarning ekvivalentligi tushunchasini kiritishimiz mumkin.

Ta'rif 3.

Ikki tenglama p(x, y) = 0 va d(x, y) = 0, agar ular bir xil yechimga ega bo'lsa (xususan, ikkala tenglamaning ham yechimi bo'lmasa) ekvivalent deyiladi.

Odatda, tenglamani yechishda ular bu tenglamani oddiyroq, lekin unga ekvivalenti bilan almashtirishga harakat qilishadi. Bunday almashtirish tenglamaning ekvivalent o'zgarishi deyiladi. Ikki asosiy ekvivalent konvertatsiya quyida keltirilgan:

1) Tenglama a'zolarini qarama-qarshi belgilar bilan tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga o'tkazish.
Masalan, 2x + b = 7x - 8u tenglamani 2x - 7x - -8u - b tenglamasi bilan almashtirish tenglamaning ekvivalent o'zgarishi hisoblanadi.
2) Tenglamaning ikkala tomonini bir xil nolga teng bo'lmagan son yoki ifodaga ko'paytirish yoki bo'lish.
Masalan, 0,5l:2 - 0,3xy = 2y tenglamani 5l:2 - 3xy = 20y tenglama bilan almashtirish (tenglamaning har ikki tomoni had bo‘yicha 10 ga ko‘paytirildi) tenglamaning ekvivalent o‘zgarishi hisoblanadi.

Bir o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamalardagi kabi tenglamaning ekvivalent o'zgarishlari:

1) O'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan maxrajlardan ozod qilish.
2) Tenglamaning ikkala tomonini kvadratlash.

Agar tenglamani yechish jarayonida ko'rsatilgan ekvivalent bo'lmagan o'zgarishlardan biri ishlatilgan bo'lsa, unda barcha topilgan echimlarni dastlabki tenglamaga almashtirish orqali tekshirish kerak, chunki ular orasida begona echimlar bo'lishi mumkin.

Ba'zan ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamaning geometrik (grafik) modeliga o'tish mumkin, ya'ni. tenglamaning grafigini tuzing. Ikki oʻzgaruvchili ax+b+c=0 (a, b, c raqamlar, koeffitsientlar, bunda a, b raqamlaridan kamida bittasi noldan farq qiladigan) chiziqli tenglamaning grafigi toʻgʻri chiziq ekanligini eslagan boʻlsangiz kerak. - chiziqli tenglamaning geometrik modeli. Keling, ikkita o'zgaruvchili x va y bo'lgan yana bir qancha ratsional tenglamalar uchun mos keladigan grafik modellarni topishga harakat qilaylik.

2-misol. y - 2x2 = 0 tenglamaning grafigini chizing.

Yechim. Tenglamani y = 2x2 ko'rinishga o'tkazamiz. y - 2x2 funksiyaning grafigi parabola bo'lib, u ham y - 2x2 = 0 tenglamaning grafigi hisoblanadi (33-rasm).

3-misol. xy = 2 tenglamaning grafigini tuzing.
Yechim. Tenglamani ko'rinishga aylantiramiz Funksiya grafigi - giperbola bo'lib, u xy = 2 tenglamaning grafigi ham hisoblanadi (34-rasm).

Shunday qilib, agar p(x, y) = O tenglamani y = f (x) ko'rinishga o'tkazish mumkin bo'lsa, u holda y - f (x) funksiyaning grafigi bir vaqtning o'zida grafigi deb hisoblanadi. tenglama p(x, y) - 0.

4-misol. x 2 + y 2 = 16 tenglamaning grafigini tuzing.

Yechim.

Geometriya kursidan bir teoremadan foydalanamiz: x 2 + y 2 = r 2 tenglamaning grafigi, bu erda r - musbat son, koordinata boshida va radiusi r bo'lgan aylana. Demak, x 2 + y 2 = 16 tenglamaning grafigi markazi koordinatali va radiusi 4 ga teng aylanadir (35-rasm).

Yuqorida aytib o'tilgan teorema quyidagi teoremaning maxsus holati bo'lib, u sizga geometriya kursidan ham ma'lum bo'lishiga umid qilamiz.

5-misol. Tenglamaning grafigini tuzing:

a) (x - I) 2 + (y - 2) 2 = 9; b) x 2 + y 2 + 4x = 0.

Yechim:

a) Tenglamani (x - I) 2 + (y - 2) 2 = 32 ko'rinishida qayta yozamiz. Bu tenglamaning grafigi teoremaga ko'ra, markazi (1; 2) nuqtada va radiusi 3 bo'lgan doiradir (37-rasm).

b) Tenglamani (x 2 + 4x + 4) + y 2 = 4 ko'rinishida qayta yozamiz, ya'ni. (x + 2) 2 + y 2 = 4 va undan keyin (x - (-2)) 2 + (y - O) 2 = 22. Bu tenglamaning grafigi teoremaga ko'ra, markazida bo'lgan doiradir. nuqta (-2; 0 ) va radius 2 (38-rasm).

Ta'rif 4.

Agar vazifa p (x, y) = 0 va q (x, y) = 0 tenglamasini bir vaqtning o'zida qondiradigan (x; y) qiymatlar juftligini topish bo'lsa, ular bu tenglamalar tizimni tashkil qiladi, deyishadi. tenglamalar:

Bir vaqtning o'zida tizimning birinchi va ikkinchi tenglamalariga yechim bo'lgan juft qiymatlar (x; y) tenglamalar tizimining yechimi deb ataladi. Tenglamalar sistemasini yechish deganda uning barcha yechimlarini topish yoki yechim yo‘qligini aniqlash tushuniladi.
Masalan, juftlik (3; 7) - tenglamalar tizimining yechimi

Aslida, bu juftlik tizimning birinchi va ikkinchi tenglamalarini qanoatlantiradi, ya'ni bu uning yechimidir. Odatda shunday yoziladi: (3; 7) - sistemaning yechimi yoki A juftligi (5; 9) (1) sistemaning yechimi emas: u birinchi tenglamani qanoatlantirmaydi (ikkinchi tenglamani qanoatlantirsa ham). tizimdan).

Albatta, tenglamalar tizimini tashkil etuvchi tenglamalardagi o‘zgaruvchilar boshqa harflar bilan belgilanishi mumkin, masalan: Lekin har qanday holatda ham javobni juft son ko‘rinishida yozishda leksikadan foydalaniladi. grafik usuli, ya'ni. Birinchi o'rin lotin alifbosida ilgari paydo bo'lgan ikkita harfdan biriga beriladi.

Ba'zan tenglamalar tizimini o'zingizga tanish bo'lgan grafik usul yordamida yechishingiz mumkin: birinchi tenglamaning grafigini, keyin ikkinchi tenglamaning grafigini chizishingiz va nihoyat grafiklarning kesishish nuqtalarini topishingiz kerak; har bir kesishish nuqtasining koordinatalari tenglamalar tizimining yechimi bo'lib xizmat qiladi.

6-misol. Tenglamalar tizimini yechish

Yechim.

1) x 2 + y 2 = 16 tenglamaning grafigini tuzing - markazi koordinata boshida va radiusi 4 bo'lgan doira (39-rasm).
2) y - x = 4 tenglamaning grafigini tuzamiz. Bu (0; 4) va (-4; 0) nuqtalardan o`tuvchi to`g`ri chiziqdir (39-rasm).
3) Doira va to'g'ri chiziq A va B nuqtalarda kesishadi (39-rasm). Tuzilgan geometrik modelga ko‘ra, A nuqta A(-4; 0), B nuqta esa B(0; 4) koordinatalariga ega. Tekshirish shuni ko'rsatadiki, aslida juftlik (-4; 0) va juftlik (0; 4) tizimning ikkala tenglamasining yechimlari va shuning uchun tenglamalar tizimining echimlari. Demak, berilgan tenglamalar sistemasi ikkita yechimga ega: (-4; 0) va (0; 4).

Javob: (-4; 0); (0; 4).

7-misol. Tenglamalar tizimini yechish

Yechim.

1) Tizimning birinchi tenglamasini y = 2x 2 ko'rinishda qayta yozib, shunday xulosaga kelamiz: tenglamaning grafigi paraboladir (40-rasm).
2) Tizimning ikkinchi tenglamasini ko rinishda qayta yozib, shunday xulosaga kelamiz: tenglamaning grafigi giperboladir (40-rasm).

3) Parabola va giperbola A nuqtada kesishadi (40-rasm). Tuzilgan geometrik modelga ko'ra, A nuqta A koordinatalariga ega (1; 2). Tekshirish shuni ko'rsatadiki, haqiqatan ham (1; 2) juftlik tizimning ikkala tenglamasining yechimi va shuning uchun tenglamalar tizimining yechimidir. Demak, berilgan tenglamalar sistemasi bitta yechimga ega: (1; 2).

Javob: (1; 2).

Tenglamalar tizimini echishning grafik usuli, xuddi tenglamalarni echishning grafik usuli kabi, chiroyli, ammo ishonchsiz: birinchidan, chunki biz har doim ham tenglamalar grafiklarini tuza olmaymiz; ikkinchidan, agar tenglamalarning grafiklarini qurish mumkin bo'lsa ham, kesishish nuqtalari maxsus tanlangan 6 va 7 misollardagi kabi "yaxshi" bo'lmasligi va hatto chizilgan chegaralaridan tashqarida bo'lishi mumkin. Bu biz ishonchli bo'lishimiz kerakligini anglatadi algebraik usullar ikkita o'zgaruvchili ikkita tenglamalar tizimini yechish. Bu keyingi paragrafda muhokama qilinadi.

A.G. Mordkovich algebra 9-sinf

Matematikadan onlayn materiallar, sinflar bo'yicha masalalar va javoblar, matematika dars ishlanmalari

Biz allaqachon kvadrat tenglamalarni echishni o'rgandik. Endi o'rganilgan usullarni ratsional tenglamalarga kengaytiramiz.

Nima bo'ldi ratsional ifodalash? Biz bu tushunchaga allaqachon duch kelganmiz. Ratsional ifodalar raqamlar, oʻzgaruvchilar, ularning quvvatlari va matematik amallarning belgilaridan tashkil topgan ifodalardir.

Shunga ko'ra, ratsional tenglamalar quyidagi ko'rinishdagi tenglamalardir: , bu erda - ratsional ifodalar.

Ilgari biz faqat chiziqli tenglamalarga keltirilishi mumkin bo'lgan ratsional tenglamalarni ko'rib chiqdik. Keling, kvadrat tenglamalarga keltirilishi mumkin bo'lgan ratsional tenglamalarni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Tenglamani yeching: .

Yechim:

Kasr 0 ga teng bo'ladi, agar uning soni 0 ga teng bo'lsa va maxraji 0 ga teng bo'lmasa.

Biz quyidagi tizimni olamiz:

Tizimning birinchi tenglamasi kvadrat tenglamadir. Uni yechishdan oldin uning barcha koeffitsientlarini 3 ga bo'lamiz.

Biz ikkita ildiz olamiz: ; .

2 hech qachon 0 ga teng bo'lmagani uchun ikkita shart bajarilishi kerak: . Yuqorida olingan tenglamaning hech bir ildizi ikkinchi tengsizlikni yechishda olingan oʻzgaruvchining notoʻgʻri qiymatlariga toʻgʻri kelmasligi sababli, ularning ikkalasi ham yechimdir. berilgan tenglama.

Javob:.

Shunday qilib, ratsional tenglamalarni yechish algoritmini tuzamiz:

1. Barcha shartlarni chap tomonga o'tkazing, shunda o'ng tomon 0 bilan tugaydi.

2. Chap tomonni o'zgartiring va soddalashtiring, barcha kasrlarni umumiy maxrajga keltiring.

3. Quyidagi algoritm yordamida olingan kasrni 0 ga tenglashtiring: .

4. Birinchi tenglamada olingan ildizlarni yozing va javobda ikkinchi tengsizlikni qanoatlantiring.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik.

2-misol

Tenglamani yeching: .

Yechim

Eng boshida 0 o'ng tomonda qolishi uchun barcha shartlarni chapga siljitamiz:

Endi tenglamaning chap tomonini umumiy maxrajga keltiramiz:

Ushbu tenglama tizimga teng:

Tizimning birinchi tenglamasi kvadrat tenglamadir.

Bu tenglamaning koeffitsientlari: . Diskriminantni hisoblaymiz:

Biz ikkita ildiz olamiz: ; .

Endi ikkinchi tengsizlikni yechamiz: omillarning ko‘paytmasi 0 ga teng bo‘lmaydi, agar omillarning hech biri 0 ga teng bo‘lmasa.

Ikki shart bajarilishi kerak: . Birinchi tenglamaning ikkita ildizidan faqat bittasi mos ekanligini topamiz - 3.

Javob:.

Ushbu darsda biz ratsional ifoda nima ekanligini esladik, shuningdek, kvadrat tenglamalarga keltiruvchi ratsional tenglamalarni yechish usullarini o'rgandik.

Keyingi darsda biz real vaziyatlarning modellari sifatida ratsional tenglamalarni ko'rib chiqamiz, shuningdek, harakat masalalarini ko'rib chiqamiz.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Bashmakov M.I. Algebra, 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2004 yil.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. va boshqalar Algebra, 8. 5-nashr. - M.: Ta'lim, 2010 yil.
3. Nikolskiy S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8-sinf. uchun o'quv qo'llanma ta'lim muassasalari. - M.: Ta'lim, 2006 yil.

1. Pedagogik g‘oyalar festivali” Ommaviy dars" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Uy vazifasi

7-sinf matematika kursida biz birinchi marta uchrashamiz ikki o'zgaruvchili tenglamalar, lekin ular faqat ikkita noma’lumli tenglamalar sistemasi kontekstida o‘rganiladi. Shuning uchun ularni cheklovchi tenglama koeffitsientlari bo'yicha ma'lum shartlar kiritilgan masalalarning butun turkumi ko'rinmaydi. Bundan tashqari, “Natural yoki butun sonlardagi tenglamani yechish” kabi masalalarni yechish usullari ham e’tiborga olinmaydi. Yagona davlat imtihonlari materiallari va yana kirish imtihonlari Bunday muammolar tobora keng tarqalgan.

Qaysi tenglama ikki o‘zgaruvchili tenglama deb ataladi?

Demak, masalan, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 yoki xy = 12 tenglamalari ikkita o'zgaruvchidagi tenglamalardir.

2x - y = 1 tenglamasini ko'rib chiqing. Bu x = 2 va y = 3 bo'lganda to'g'ri bo'ladi, shuning uchun bu o'zgaruvchan qiymatlar juftligi ko'rib chiqilayotgan tenglamaning yechimidir.

Shunday qilib, ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan har qanday tenglamaning yechimi tartiblangan juftliklar to'plamidir (x; y), bu tenglamani haqiqiy raqamli tenglikka aylantiradigan o'zgaruvchilar qiymatlari.

Ikki noma'lumli tenglama quyidagicha bo'lishi mumkin:

A) bitta yechim bor. Masalan, x 2 + 5y 2 = 0 tenglama yagona yechimga ega (0; 0);

b) bir nechta echimlarga ega. Masalan, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ning 4 ta yechimi bor: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) yechimlari yo'q. Masalan, x 2 + y 2 + 1 = 0 tenglamaning yechimlari yo'q;

G) cheksiz ko'p echimlarga ega. Masalan, x + y = 3. Bu tenglamaning yechimlari yig'indisi 3 ga teng bo'lgan sonlar bo'ladi. Bu tenglamaning yechimlari to'plamini (k; 3 – k) ko'rinishda yozish mumkin, bu erda k har qanday haqiqiydir. raqam.

Ikki o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning asosiy usullari faktoring ifodalariga, to'liq kvadratni ajratishga va xususiyatlardan foydalanishga asoslangan usullardir. kvadrat tenglama, ifodalarning cheklanishi, baholash usullari. Tenglama odatda noma'lumlarni topish tizimini olish mumkin bo'lgan shaklga aylantiriladi.

Faktorizatsiya

1-misol.

Tenglamani yeching: xy – 2 = 2x – y.

Yechim.

Faktorizatsiya qilish uchun shartlarni guruhlaymiz:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Har bir qavsdan umumiy omilni chiqaramiz:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Bizda:

y = 2, x - har qanday haqiqiy son yoki x = -1, y - har qanday haqiqiy son.

Shunday qilib, javob (x; 2), x € R va (-1; y), y € R shaklidagi barcha juftliklardir.

Nolga teng emas manfiy raqamlar

2-misol.

Tenglamani yeching: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Yechim.

Guruhlash:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Endi har bir qavs kvadrat ayirma formulasi yordamida buklanishi mumkin.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Ikki manfiy bo'lmagan ifodaning yig'indisi faqat 3x – 2 = 0 va 2y – 3 = 0 bo'lganda nolga teng.

Bu x = 2/3 va y = 3/2 degan ma'noni anglatadi.

Javob: (2/3; 3/2).

Baholash usuli

3-misol.

Tenglamani yeching: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Yechim.

Har bir qavsda biz to'liq kvadratni tanlaymiz:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Hisoblaymiz qavs ichidagi iboralarning ma'nosi.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 va (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, u holda tenglamaning chap tomoni har doim kamida 2 bo'ladi. Tenglik mumkin, agar:

(x + 1) 2 + 1 = 1 va (y – 2) 2 + 2 = 2, bu x = -1, y = 2 ni bildiradi.

Javob: (-1; 2).

Ikkinchi darajali ikkita o'zgaruvchili tenglamalarni yechishning yana bir usuli bilan tanishamiz. Bu usul tenglamani shunday ko'rib chiqishdan iborat ba'zi o'zgaruvchilarga nisbatan kvadrat.

4-misol.

Tenglamani yeching: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Yechim.

Tenglamani x uchun kvadrat tenglama sifatida yechamiz. Diskriminantni topamiz:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Tenglama faqat D = 0 bo'lganda, ya'ni y = 4 bo'lganda yechimga ega bo'ladi. Dastlabki tenglamaga y ning qiymatini almashtiramiz va x = 3 ekanligini topamiz.

Javob: (3; 4).

Ko'pincha ikkita noma'lum tenglamalarda ular ko'rsatiladi o'zgaruvchilarga cheklovlar.

5-misol.

Tenglamani butun sonlarda yeching: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Yechim.

Tenglamani x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ko'rinishida qayta yozamiz. Hosil bo'lgan tenglamaning o'ng tomoni 5 ga bo'linganda 2 qoldiqni beradi. Demak, x 2 5 ga bo'linmaydi. Lekin a ning kvadrati 5 ga bo'linmaydigan son 1 yoki 4 ning qoldig'ini beradi. Shunday qilib, tenglik mumkin emas va hech qanday yechim yo'q.

Javob: ildiz yo'q.

6-misol.

Tenglamani yeching: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Yechim.

Keling, ta'kidlab o'tamiz mukammal kvadratlar har bir qavsda:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Tenglamaning chap tomoni har doim 3 dan katta yoki teng. – 2 = 0 va y + 3 = 0. Shunday qilib, x = ± 2, y = -3.

Javob: (2; -3) va (-2; -3).

7-misol.

Tenglamani qanoatlantiradigan har bir manfiy butun (x;y) juftligi uchun
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, yig'indini hisoblang (x + y). Iltimos, javobingizda eng kichik miqdorni ko'rsating.

Yechim.

To'liq kvadratlarni tanlaymiz:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. X va y butun sonlar ekan, ularning kvadratlari ham butun sonlardir. Agar 1 + 36 ni qo'shsak, ikkita butun sonning kvadratlari yig'indisi 37 ga teng bo'ladi. Shuning uchun:

(x – y) 2 = 36 va (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 va (y + 2) 2 = 36.

Bu sistemalarni yechib, x va y manfiy ekanligini hisobga olib, yechimlarni topamiz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Javob: -17.

Ikki noma’lumli tenglamalarni yechishda qiynalayotgan bo‘lsangiz, tushkunlikka tushmang. Bir oz mashq qilsangiz, har qanday tenglamani boshqarishingiz mumkin.

Hali ham savollaringiz bormi? Ikki o'zgaruvchili tenglamalarni qanday yechish kerakligini bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

veb-sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda manbaga havola talab qilinadi.

Ikki o'zgaruvchiga ega tenglamani ko'rib chiqing

Ikki o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamani haqiqatga aylantiradigan o'zgaruvchan qiymatlar juftligi tenglamaning yechimi deb ataladi. Agar ikkita o'zgaruvchili x va y bo'lgan tenglama berilsa, u holda uning yechimini birinchi o'ringa o'zgaruvchining qiymatini, ikkinchi o'ringa esa y qiymatini qo'yish orqali yozish odatiy holdir.

Demak, juftliklar tenglamaning yechimi, lekin (1; 5) juftlik tenglamaning yechimi emas.

Bu tenglamaning boshqa yechimlari ham bor. Ularni topish uchun bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalash qulay, masalan, x dan y y gacha, natijada tenglama hosil bo'ladi. y ning ixtiyoriy qiymatini tanlab, biz x ning mos keladigan qiymatini hisoblaymiz. Masalan, agar bu (31; 7) juftligi tenglamaning yechimi ekanligini bildirsa; agar bu (4; -2) juftligi ham yechim ekanligini bildirsa berilgan tenglama va hokazo.

Ikki o‘zgaruvchili tenglamalar, agar yechimlari bir xil bo‘lsa, ekvivalent deyiladi.

Ikki oʻzgaruvchili tenglamalar uchun tenglamaning ekvivalent oʻzgarishlariga oid 5.1 va 5.2 teoremalar (135-bandga qarang) amal qiladi.

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
O'zboshimchalik bilan tanlangan (tizimdan) tenglamada allaqachon topilgan "o'yin" o'rniga 11 raqamini qo'ying va ikkinchi noma'lumni hisoblang:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Bu tenglamalar sistemasiga javob x=116, y=11.

Grafik usul.
U tenglamalar sistemasida matematik tarzda yozilgan to‘g‘ri chiziqlar kesishgan nuqtaning koordinatalarini amaliy jihatdan topishdan iborat. Ikkala chiziqning grafiklari bir xil koordinatalar tizimida alohida chizilgan bo'lishi kerak. Umumiy shakl to'g'ri chiziq tenglamasi: – u=khx+b. To'g'ri chiziqni qurish uchun ikkita nuqtaning koordinatalarini topish kifoya va x ixtiyoriy ravishda tanlanadi.
Sistema berilgan bo'lsin: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Birinchi tenglama yordamida to'g'ri chiziq quriladi, qulaylik uchun uni yozishingiz kerak: y = 2x-4. X uchun (osonroq) qiymatlarni o'ylab toping, uni tenglamaga almashtiring, uni eching va y ni toping. Biz ikkita nuqtani olamiz, ular bo'ylab to'g'ri chiziq quriladi. (rasmga qarang)
x 0 1

y -4 -2
Ikkinchi tenglama yordamida to'g'ri chiziq quriladi: y=-3x+1.
To'g'ri chiziqni ham tuzing. (rasmga qarang)

y 1 -5
Grafikdagi ikkita qurilgan chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalarini toping (agar chiziqlar kesishmasa, tenglamalar tizimi yechimga ega emas - bu sodir bo'ladi).

Mavzu bo'yicha video

Foydali maslahat

Agar siz bir xil tenglamalar tizimini uch xil usulda yechsangiz, javob bir xil bo'ladi (agar yechim to'g'ri bo'lsa).

Manbalar:

• 8-sinf algebra
• Ikki noma'lumli tenglamani onlayn yechish
• Ikkita chiziqli tenglamalar tizimini yechishga misollar

Tenglamalar tizimini yechish qiyin va hayajonli. Qanaqasiga yanada murakkab tizim, uni hal qilish qanchalik qiziqarli. Ko'pincha matematikada o'rta maktab Ikkita noma'lum tenglamalar tizimi mavjud, ammo oliy matematikada ko'proq o'zgaruvchilar bo'lishi mumkin. Tizimlarni bir necha usullar yordamida hal qilish mumkin.

Ko'rsatmalar

Tenglamalar tizimini yechishning eng keng tarqalgan usuli almashtirishdir. Buning uchun bir o'zgaruvchini boshqasi bilan ifodalash va uni tizimning ikkinchi tenglamasiga almashtirish, shu bilan tenglamani bitta o'zgaruvchiga kamaytirish kerak. Masalan, quyidagi tenglamalar berilgan: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Ikkinchi ifodadan o'zgaruvchilardan birini ifodalash, qolgan hamma narsani ifodaning o'ng tomoniga ko'chirish, koeffitsient belgisini o'zgartirishni unutmaslik qulay: x = 3-y.

Qavslarni oching: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1.Olingan y qiymatini ifodaga almashtiramiz: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Birinchi iborada barcha atamalar 2 dan iborat, siz qavs ichidan 2 tasini qo'yishingiz mumkin