Ushbu darsda vektorlar bilan yana ikkita operatsiyani ko'rib chiqamiz: vektorlarning vektor mahsuloti Va vektorlarning aralash mahsuloti (muhtoj bo'lganlar uchun darhol havola). Yaxshi, ba'zida shunday bo'ladi, bundan tashqari, to'liq baxt uchun vektorlarning skalyar mahsuloti, ko'proq va ko'proq talab qilinadi. Bu vektorga qaramlik. Biz analitik geometriya o'rmoniga kirayotgandek tuyulishi mumkin. Bu unday emas. Oliy matematikaning ushbu bo'limida odatda ozgina yog'och mavjud, ehtimol Pinokkio uchun etarli. Darhaqiqat, material juda keng tarqalgan va oddiy - bir xildan ko'ra murakkabroq skalyar mahsulot, hatto tipik vazifalar kamroq bo'ladi. Analitik geometriyadagi asosiy narsa, ko'pchilik amin bo'lgan yoki allaqachon ishonch hosil qilganidek, hisob-kitoblarda xato QILMASHdir. Sehr kabi takrorlang va baxtli bo'lasiz =)

Agar vektorlar ufqdagi chaqmoq kabi uzoq joyda porlasa, bu muhim emas, darsdan boshlang Dummies uchun vektorlar vektorlar haqidagi asosiy bilimlarni tiklash yoki qayta egallash. Ko'proq tayyor o'quvchilar ma'lumotlar bilan tanlab tanishishlari mumkin, men imkon qadar ko'proq to'plashga harakat qildim to'liq to'plam tez-tez uchraydigan misollar amaliy ish

Sizni darhol nima xursand qiladi? Kichkinaligimda ikkita va hatto uchta to'pni jonglyor qila olardim. Bu yaxshi natija berdi. Endi siz umuman jonglyor qilishingiz shart emas, chunki biz ko'rib chiqamiz faqat fazoviy vektorlar, va ikkita koordinatali yassi vektorlar qoldiriladi. Nega? Bu harakatlar shunday tug'ildi - vektorlarning vektorlari va aralash mahsuloti aniqlanadi va uch o'lchovli fazoda ishlaydi. Bu allaqachon osonroq!

Bu operatsiya xuddi skalyar mahsulot kabi o'z ichiga oladi ikkita vektor. Bular o'zgarmas harflar bo'lsin.

Amalning o'zi bilan belgilanadi quyida bayon qilinganidek: . Boshqa variantlar ham bor, lekin men vektorlarning vektor mahsulotini shu tarzda, xoch bilan kvadrat qavs ichida belgilashga odatlanganman.

Va darhol savol: bo'lsa vektorlarning skalyar mahsuloti ikkita vektor ishtirok etadi va bu erda ikkita vektor ham ko'paytiriladi nima farqi bor? Aniq farq, birinchi navbatda, NATIJAda:

Vektorlarning skalyar ko‘paytmasining natijasi NUMBER:

Vektorlarning oʻzaro koʻpaytmasining natijasi VEKTOR: , ya'ni vektorlarni ko'paytiramiz va yana vektorni olamiz. Yopiq klub. Aslida, operatsiya nomi shu erdan keladi. Har xilda o'quv adabiyoti Belgilar ham farq qilishi mumkin, men harfdan foydalanaman.

O'zaro mahsulot ta'rifi

Avval rasm bilan ta'rif, keyin sharhlar bo'ladi.

Ta'rif: Vektor mahsuloti kollinear bo'lmagan vektorlar, qabul qilingan bu tartibda , VEKTOR deb ataladi, uzunligi bu raqamli parallelogramm maydoniga teng, bu vektorlar asosida qurilgan; vektor vektorlarga ortogonal, va asos to'g'ri yo'nalishga ega bo'lishi uchun yo'naltiriladi:

Keling, ta'rifni parcha-parcha qilib olaylik, bu erda juda ko'p qiziqarli narsalar bor!

Shunday qilib, quyidagi muhim fikrlarni ajratib ko'rsatish mumkin:

1) Ta'rifi bo'yicha qizil o'qlar bilan ko'rsatilgan asl vektorlar qarama-qarshi emas. Bo‘lyapti kollinear vektorlar Birozdan keyin ko'rib chiqish o'rinli bo'ladi.

2) Vektorlar olinadi qat'iy belgilangan tartibda: – "a" "bo'l" bilan ko'paytiriladi, "a" bilan "bo'lish" emas. Vektorni ko'paytirish natijasi VEKTOR bo'lib, u ko'k rangda ko'rsatilgan. Agar vektorlar teskari tartibda ko'paytirilsa, biz uzunligi teng va qarama-qarshi yo'nalishdagi vektorni olamiz (malina rangi). Ya'ni, tenglik haqiqatdir .

3) Endi vektor ko'paytmaning geometrik ma'nosi bilan tanishamiz. Bu juda muhim nuqta! Moviy vektorning UZUNLIGI (va demak, qip-qizil vektor) vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammaning MAYOTiga son jihatdan teng. Rasmda bu parallelogramm qora rangga bo'yalgan.

Eslatma : chizma sxematik va tabiiyki, vektor mahsulotining nominal uzunligi parallelogramm maydoniga teng emas.

Birini eslaylik geometrik formulalar: Paralelogrammning maydoni qo'shni tomonlarning ko'paytmasiga va ular orasidagi burchakning sinusiga teng. Shuning uchun, yuqoridagilarga asoslanib, vektor mahsulotining UZUNLIKni hisoblash formulasi to'g'ri keladi:

Men formula vektorning o'zi haqida emas, balki vektorning UZUNLIGI haqida ekanligini ta'kidlayman. Amaliy ma'nosi nima? Va ma'nosi shundaki, analitik geometriya muammolarida parallelogrammning maydoni ko'pincha vektor mahsuloti tushunchasi orqali topiladi:

Keling, ikkinchi muhim formulani olamiz. Paralelogrammaning diagonali (qizil nuqta chiziq) uni ikkiga ajratadi teng uchburchak. Shuning uchun vektorlar (qizil soya) ustiga qurilgan uchburchakning maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

4) Xuddi shunday muhim fakt - vektor vektorlarga ortogonal, ya'ni . Albatta, qarama-qarshi yo'naltirilgan vektor (malinali o'q) ham asl vektorlarga ortogonaldir.

5) Vektor shunday yo'naltirilgan asos Unda bor to'g'ri orientatsiya. Haqida darsda yangi asosga o'tish haqida yetarlicha batafsil gapirib berdim tekislik yo'nalishi, va endi biz kosmik yo'nalish nima ekanligini aniqlaymiz. Men sizning barmoqlaringiz bilan tushuntiraman o'ng qo'l . Aqliy birlashtiring ko'rsatkich barmog'i vektor bilan va o'rta barmoq vektor bilan. Uzuk barmoq va kichik barmoq kaftingizga bosing. Natijada Bosh barmoq– vektor mahsuloti yuqoriga qaraydi. Bu o'ngga yo'naltirilgan asosdir (rasmda bu). Endi vektorlarni o'zgartiring ( ko'rsatkich va o'rta barmoqlar) ba'zi joylarda, natijada bosh barmog'i aylanadi va vektor mahsuloti allaqachon pastga qaraydi. Bu ham to'g'ri yo'naltirilgan asosdir. Sizda savol tug'ilishi mumkin: qaysi asosda yo'nalish qolgan? Xuddi shu barmoqlarga "tayinlash" chap qo'l vektorlar va fazoning chap asosi va chap yo'nalishini oling (bu holda, bosh barmog'i pastki vektor yo'nalishida joylashgan bo'ladi). Majoziy ma'noda, bu asoslar bo'shliqni "burashadi" yoki yo'naltiradi turli tomonlar. Va bu kontseptsiyani uzoq yoki mavhum narsa deb hisoblamaslik kerak - masalan, kosmosning yo'nalishi eng oddiy oyna tomonidan o'zgartiriladi va agar siz "akslangan ob'ektni ko'zoynakdan tortib olsangiz", u shunday bo'ladi. umumiy holat"asl" bilan birlashtirilishi mumkin emas. Aytgancha, uchta barmog'ingizni oynaga tuting va aks ettirishni tahlil qiling ;-)

...siz endi bilganingiz qanchalik yaxshi o'ngga va chapga yo'naltirilgan asoslar, chunki ba'zi o'qituvchilarning yo'nalishning o'zgarishi haqidagi bayonotlari qo'rqinchli =)

Kollinear vektorlarning o'zaro ko'paytmasi

Ta'rif batafsil muhokama qilindi, vektorlar kollinear bo'lganda nima sodir bo'lishini bilish qoladi. Agar vektorlar kollinear bo'lsa, ularni bitta to'g'ri chiziqqa qo'yish mumkin va bizning parallelogramimiz ham bitta to'g'ri chiziqqa "buklanadi". Bunday soha, matematiklar aytganidek, degeneratsiya parallelogramma nolga teng. Xuddi shu formuladan kelib chiqadi - nol yoki 180 gradusning sinusi nolga teng, ya'ni maydon nolga teng.

Shunday qilib, agar bo'lsa, keyin Va . Iltimos, vektor mahsulotining o'zi nol vektorga teng ekanligini unutmang, lekin amalda bu ko'pincha e'tibordan chetda qoladi va ular ham nolga teng deb yoziladi.

Maxsus holat- vektorning o'zi bilan vektor mahsuloti:

Vektor mahsulotidan foydalanib, siz uch o'lchovli vektorlarning kollinearligini tekshirishingiz mumkin va biz boshqalar qatorida bu muammoni ham tahlil qilamiz.

Amaliy misollarni hal qilish uchun sizga kerak bo'lishi mumkin trigonometrik jadval undan sinuslarning qiymatlarini topish.

Xo'sh, keling, olov yoqaylik:

1-misol

a) Agar vektorlarning vektor ko'paytmasining uzunligini toping

b) Agar vektorlar ustiga qurilgan parallelogrammning maydonini toping

Yechim: Yo'q, bu xato emas, men ataylab bandlardagi dastlabki ma'lumotlarni bir xil qilib qo'ydim. Chunki yechimlarning dizayni boshqacha bo'ladi!

a) Shartga ko'ra, topish kerak uzunligi vektor (o'zaro mahsulot). Tegishli formula bo'yicha:

Javob:

Agar sizdan uzunlik haqida so'ralgan bo'lsa, javobda biz o'lchamni - birliklarni ko'rsatamiz.

b) Shartga ko'ra, topish kerak kvadrat vektorlar ustiga qurilgan parallelogramm. Ushbu parallelogrammning maydoni son jihatidan vektor mahsulotining uzunligiga teng:

Javob:

E'tibor bering, javob vektor mahsuloti haqida umuman gapirmaydi; bizdan so'ralgan rasmning maydoni, shunga ko'ra, o'lcham kvadrat birlikdir.

Biz har doim shartga ko'ra NIMA topishimiz kerakligini ko'rib chiqamiz va shunga asoslanib, biz formula qilamiz aniq javob. Bu so'zma-so'z bo'lib tuyulishi mumkin, lekin o'qituvchilar orasida literalistlar ko'p va topshiriqni qayta ko'rib chiqish uchun qaytarish uchun yaxshi imkoniyat bor. Garchi bu unchalik qiyin gap bo'lmasa ham - agar javob noto'g'ri bo'lsa, odam tushunmaydi degan taassurot paydo bo'ladi. oddiy narsalar va/yoki topshiriqning mohiyatini tushunmagan. Oliy matematikada va boshqa fanlarda ham har qanday masalani yechishda ushbu nuqta doimo nazorat ostida bo'lishi kerak.

Katta "en" harfi qayerga ketdi? Aslida, u qo'shimcha ravishda yechimga biriktirilgan bo'lishi mumkin edi, lekin kirishni qisqartirish uchun men buni qilmadim. Umid qilamanki, hamma buni tushunadi va xuddi shu narsa uchun belgidir.

DIY yechimiga mashhur misol:

2-misol

Agar vektorlar ustiga qurilgan uchburchakning maydonini toping

Vektor mahsuloti orqali uchburchakning maydonini topish formulasi ta'rifga sharhlarda berilgan. Yechim va javob dars oxirida.

Amalda, vazifa haqiqatan ham juda keng tarqalgan, uchburchaklar sizni umuman qiynashi mumkin.

Boshqa muammolarni hal qilish uchun bizga kerak bo'ladi:

Vektorlarning vektor mahsulotining xossalari

Biz vektor mahsulotining ba'zi xususiyatlarini allaqachon ko'rib chiqdik, ammo men ularni ushbu ro'yxatga kiritaman.

Ixtiyoriy vektorlar va ixtiyoriy sonlar uchun quyidagi xususiyatlar to'g'ri bo'ladi:

1) Boshqa ma'lumot manbalarida bu element odatda xususiyatlarda ta'kidlanmaydi, lekin amaliy jihatdan juda muhimdir. Shunday bo'lsin.

2) – mulk ham yuqorida muhokama qilinadi, ba'zan deyiladi antikommutativlik. Boshqacha qilib aytganda, vektorlarning tartibi muhim.

3) – assotsiativ yoki assotsiativ vektor mahsulot qonunlari. Konstantalarni vektor mahsulotidan tashqariga osongina ko'chirish mumkin. Haqiqatan ham, ular u erda nima qilishlari kerak?

4) – tarqatish yoki tarqatuvchi vektor mahsulot qonunlari. Qavslarni ochishda ham muammolar yo'q.

Ko'rsatish uchun qisqa misolni ko'rib chiqaylik:

3-misol

Agar toping

Yechim: Vaziyat yana vektor mahsulotining uzunligini topishni talab qiladi. Keling, miniatyuramizni chizamiz:

(1) Assotsiativ qonunlarga ko'ra, biz konstantalarni vektor mahsuloti doirasidan tashqarida olamiz.

(2) Biz doimiyni moduldan tashqariga o'tkazamiz va modul minus belgisini "yeydi". Uzunlik salbiy bo'lishi mumkin emas.

(3) Qolganlari aniq.

Javob:

Olovga ko'proq o'tin qo'shish vaqti keldi:

4-misol

Agar vektorlar ustiga qurilgan uchburchakning maydonini hisoblang

Yechim: Formuladan foydalanib uchburchakning maydonini toping . Qizig'i shundaki, "tse" va "de" vektorlari o'zlari vektorlar yig'indisi sifatida taqdim etiladi. Bu erda algoritm standart bo'lib, darsning 3 va 4-sonli misollarini biroz eslatadi. Vektorlarning nuqta mahsuloti. Aniqlik uchun biz yechimni uch bosqichga ajratamiz:

1) Birinchi bosqichda vektor mahsulotini vektor mahsuloti orqali ifodalaymiz, aslida, vektorni vektor yordamida ifodalaymiz. Hali uzunlik haqida so'z yo'q!

(1) Vektorlar ifodalarini almashtiring.

(2) distributiv qonunlardan foydalanib, polinomlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra qavslarni ochamiz.

(3) Assotsiativ qonunlardan foydalanib, biz barcha konstantalarni vektor mahsulotidan tashqariga o'tkazamiz. Bir oz tajriba bilan 2 va 3-bosqichlarni bir vaqtning o'zida bajarish mumkin.

(4) Birinchi va oxirgi shartlar yoqimli xususiyat tufayli nolga teng (nol vektor). Ikkinchi muddatda vektor mahsulotining antikommutativlik xususiyatidan foydalanamiz:

(5) Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz.

Natijada, vektor vektor orqali ifodalangan bo'lib chiqdi, bunga erishish kerak edi:

2) Ikkinchi bosqichda biz kerakli vektor mahsulotining uzunligini topamiz. Bu harakat 3-misolga o'xshaydi:

3) Kerakli uchburchakning maydonini toping:

Yechimning 2-3 bosqichlari bir qatorda yozilishi mumkin edi.

Javob:

Ko'rib chiqilayotgan muammo juda keng tarqalgan testlar oh, bu erda o'zingiz hal qilish uchun bir misol:

5-misol

Agar toping

Dars oxirida qisqacha yechim va javob. Keling, oldingi misollarni o'rganayotganda qanchalik diqqatli bo'lganingizni ko'raylik ;-)

Koordinatadagi vektorlarning ko‘paytmasi

, ortonormal asosda belgilangan, formula bilan ifodalanadi:

Formula juda oddiy: determinantning yuqori qatoriga biz koordinata vektorlarini yozamiz, ikkinchi va uchinchi qatorlarga vektorlarning koordinatalarini "qo'yamiz" va biz qo'yamiz. qat'iy tartibda– avval “ve” vektorining koordinatalari, keyin “ikki-ve” vektorining koordinatalari. Agar vektorlarni boshqa tartibda ko'paytirish kerak bo'lsa, u holda qatorlarni almashtirish kerak:

10-misol

Quyidagi fazo vektorlari kollinear ekanligini tekshiring:
A)
b)

Yechim: Tekshirish ushbu darsdagi bayonotlardan biriga asoslanadi: agar vektorlar kollinear bo'lsa, ularning vektor mahsuloti nolga teng (nol vektor): .

a) vektor mahsulotini toping:

Shunday qilib, vektorlar kollinear emas.

b) vektor mahsulotini toping:

Javob: a) chiziqli emas, b)

Bu erda, ehtimol, vektorlarning vektor mahsuloti haqidagi barcha asosiy ma'lumotlar.

Ushbu bo'lim unchalik katta bo'lmaydi, chunki vektorlarning aralash mahsulotidan foydalanilganda bir nechta muammolar mavjud. Aslida, hamma narsa ta'rifga bog'liq bo'ladi, geometrik ma'no va bir nechta ishlaydigan formulalar.

Vektorlarning aralash mahsuloti uchta vektorning mahsulotidir:

Shunday qilib, ular poezd kabi saf tortdilar va aniqlanishini kutishmaydi.

Birinchidan, yana ta'rif va rasm:

Ta'rif: Aralash ish tekis bo'lmagan vektorlar, ushbu tartibda olingan, chaqirildi parallelepiped hajmi, bu vektorlar asosida qurilgan, agar asos to'g'ri bo'lsa, "+" belgisi bilan jihozlangan va agar asos qolsa, "-" belgisi bilan jihozlangan.

Keling, rasm chizamiz. Bizga ko'rinmas chiziqlar nuqtali chiziqlar bilan chizilgan:

Keling, ta'rifga to'xtalib o'tamiz:

2) Vektorlar olinadi ma'lum bir tartibda, ya'ni mahsulotdagi vektorlarning qayta joylashishi, siz taxmin qilganingizdek, oqibatlarsiz sodir bo'lmaydi.

3) Geometrik ma'noni sharhlashdan oldin men aniq bir haqiqatni qayd etaman: vektorlarning aralash mahsuloti SON: . O'quv adabiyotlarida dizayn biroz boshqacha bo'lishi mumkin, men aralash mahsulotni "pe" harfi bilan va hisob-kitob natijasini belgilashga odatlanganman.

A-prior aralash mahsulot - parallelepipedning hajmi, vektorlar asosida qurilgan (rasm qizil vektorlar va qora chiziqlar bilan chizilgan). Ya'ni, bu raqam berilgan parallelepipedning hajmiga teng.

Eslatma : Chizma sxematik.

4) Keling, taglik va makonning yo'nalishi tushunchasi haqida yana tashvishlanmaylik. Yakuniy qismning ma'nosi shundaki, tovushga minus belgisi qo'shilishi mumkin. Oddiy so'zlar bilan aytganda, aralash mahsulot salbiy bo'lishi mumkin: .

Ta'rifdan to'g'ridan-to'g'ri vektorlarga qurilgan parallelepiped hajmini hisoblash formulasi keladi.

Ushbu maqolada biz ikkita vektorning o'zaro mahsuloti tushunchasini batafsil ko'rib chiqamiz. Biz kerakli ta'riflarni beramiz, vektor mahsulotining koordinatalarini topish formulasini yozamiz, uning xususiyatlarini sanab o'tamiz va asoslaymiz. Shundan so'ng biz ikkita vektorning vektor mahsulotining geometrik ma'nosiga to'xtalib, turli tipik misollarning yechimlarini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

O'zaro mahsulot ta'rifi.

Vektor mahsulotini aniqlashdan oldin, uch o'lchovli fazoda vektorlarning tartiblangan uchligining yo'nalishini tushunamiz.

Vektorlarni bir nuqtadan chizamiz. Vektorning yo'nalishiga qarab, uchtasi o'ng yoki chap bo'lishi mumkin. Vektorning oxiridan boshlab vektordan eng qisqa burilish qandayligini ko'rib chiqamiz. Agar eng qisqa aylanish soat sohasi farqli ravishda sodir bo'lsa, u holda vektorlarning uchligi deyiladi to'g'ri, aks holda - chap.

Endi ikkita kollinear bo'lmagan vektorni olaylik va . Vektorlarni va A nuqtadan chizamiz. Ikkala va va ga perpendikulyar qandaydir vektor quramiz. Shubhasiz, vektorni qurishda biz ikkita narsani qilishimiz mumkin, unga bitta yo'nalish yoki teskari (rasmga qarang).

Vektorning yo'nalishiga qarab, vektorlarning tartiblangan uchligi o'ng yoki chap qo'lda bo'lishi mumkin.

Bu bizni vektor mahsulotining ta'rifiga yaqinlashtiradi. U to'rtburchaklar koordinatalar tizimida belgilangan ikkita vektor uchun berilgan uch o'lchamli bo'shliq.

Ta'rif.

Ikki vektorning oʻzaro koʻpaytmasi va uch o'lchamli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida ko'rsatilgan, shunday vektor deb ataladi.

Vektor san'at asari vektorlar va sifatida belgilanadi.

Vektor mahsulotining koordinatalari.

Endi vektor mahsulotning ikkinchi ta'rifini beramiz, bu esa berilgan vektorlarning koordinatalaridan uning koordinatalarini topish imkonini beradi va.

Ta'rif.

Uch o'lchovli fazoning to'rtburchaklar koordinata tizimida Ikki vektorning vektor mahsuloti Va vektor , bu erda koordinata vektorlari.

Ushbu ta'rif bizga koordinata shaklida o'zaro mahsulot beradi.

Vektor mahsulotini uchinchi tartibli kvadrat matritsaning determinanti sifatida ifodalash qulay, uning birinchi qatorida vektorlar, ikkinchi qatorda vektorning koordinatalari, uchinchisida vektorning koordinatalari berilgan. to'rtburchaklar koordinatalar tizimi:

Agar biz ushbu determinantni birinchi qatorning elementlariga kengaytirsak, vektor mahsulotining koordinatadagi ta'rifidan tenglikni olamiz (agar kerak bo'lsa, maqolaga qarang):

Shuni ta'kidlash kerakki, vektor mahsulotining koordinata shakli ushbu moddaning birinchi xatboshida keltirilgan ta'rifga to'liq mos keladi. Bundan tashqari, o'zaro mahsulotning bu ikkita ta'rifi ekvivalentdir. Ushbu faktning isbotini maqolaning oxirida keltirilgan kitobda ko'rishingiz mumkin.

Vektorli mahsulotning xossalari.

Koordinatalardagi vektor mahsuloti matritsaning determinanti sifatida ifodalanishi mumkinligi sababli, quyidagini osongina asoslash mumkin. o'zaro faoliyat mahsulotning xususiyatlari:

Misol tariqasida vektor mahsulotining antikommutativ xususiyatini isbotlaylik.

A-prior Va . Biz bilamizki, agar ikkita satr almashtirilsa, matritsa determinantining qiymati teskari bo'ladi, shuning uchun , bu vektor mahsulotining antikommutativ xususiyatini isbotlaydi.

Vektorli mahsulot - misollar va echimlar.

Asosan uchta turdagi muammolar mavjud.

Birinchi turdagi masalalarda ikkita vektorning uzunliklari va ular orasidagi burchak berilgan va vektor mahsulotining uzunligini topish kerak. Bunday holda, formuladan foydalaniladi .

Misol.

Vektorlarning vektor mahsulotining uzunligini toping va agar ma'lum bo'lsa .

Yechim.

Ta'rifdan bilamizki, vektorlarning vektor mahsulotining uzunligi va vektorlar uzunliklarining ko'paytmasiga va ular orasidagi burchakning sinusiga teng, shuning uchun .

Javob:

.

Ikkinchi turdagi masalalar vektorlar koordinatalari bilan bog'liq bo'lib, ularda vektor mahsuloti, uning uzunligi yoki boshqa narsa berilgan vektorlarning koordinatalari orqali qidiriladi. Va .

Bu yerda katta imkoniyatlar mavjud turli xil variantlar. Masalan, va vektorlarning koordinatalarini emas, balki ularni shaklning koordinata vektorlariga kengaytirishni belgilash mumkin. va , yoki vektorlar va ularning boshlang'ich va oxirgi nuqtalarining koordinatalari bilan belgilanishi mumkin.

Keling, odatiy misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

To'rtburchaklar koordinatalar tizimida ikkita vektor berilgan . Ularning o'zaro mahsulotini toping.

Yechim.

Ikkinchi ta'rifga ko'ra, koordinatadagi ikkita vektorning vektor mahsuloti quyidagicha yoziladi:

Agar vektor mahsuloti determinant bilan yozilgan bo'lsa, biz ham xuddi shunday natijaga erishgan bo'lardik

Javob:

.

Misol.

va vektorlarning vektor ko'paytmasining uzunligini toping, bu erda to'rtburchaklar dekart koordinata tizimining birlik vektorlari.

Yechim.

Avval vektor mahsulotining koordinatalarini topamiz berilgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimida.

Vektorlar va koordinatalarga ega bo'lganligi sababli (agar kerak bo'lsa, to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi vektorning maqola koordinatalarini ko'ring), keyin vektor mahsulotining ikkinchi ta'rifiga ko'ra bizda mavjud.

Ya'ni vektor mahsuloti berilgan koordinatalar tizimidagi koordinatalarga ega.

Biz vektor mahsulotining uzunligini uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizi sifatida topamiz (vektor uzunligini topish bo'limida vektor uzunligi uchun ushbu formulani oldik):

Javob:

.

Misol.

To'g'ri burchakli Dekart koordinata tizimida uchta nuqtaning koordinatalari berilgan. Bir vaqtning o'zida perpendikulyar bo'lgan vektorni toping.

Yechim.

Vektorlar va koordinatalariga ega va mos ravishda (nuqtalar koordinatalari orqali vektor koordinatalarini topish maqolasiga qarang). Agar va vektorlarining vektor ko'paytmasini topsak, ta'rifiga ko'ra u ga ham, ga ham perpendikulyar vektor, ya'ni bizning masalamizning yechimidir. Keling, uni topamiz

Javob:

- perpendikulyar vektorlardan biri.

Uchinchi turdagi masalalarda vektorlarning vektor mahsuloti xossalaridan foydalanish malakasi tekshiriladi. Xususiyatlarni qo'llaganingizdan so'ng, tegishli formulalar qo'llaniladi.

Misol.

va vektorlari perpendikulyar va ularning uzunligi mos ravishda 3 va 4 ga teng. Ko‘ndalang ko‘paytmaning uzunligini toping .

Yechim.

Vektor mahsulotining distributiv xususiyatiga ko'ra, biz yozishimiz mumkin

Kombinatsiyaviy xususiyat tufayli biz oxirgi ifodadagi vektor mahsulot belgisidan raqamli koeffitsientlarni olamiz:

vektor mahsulotlari va nolga teng, chunki Va , Keyin.

Vektor mahsuloti antikommutativ bo'lganligi sababli, u holda .

Shunday qilib, vektor mahsulotining xususiyatlaridan foydalanib, biz tenglikka erishdik .

Shart bo'yicha va vektorlari perpendikulyar, ya'ni ular orasidagi burchak ga teng. Ya'ni, kerakli uzunlikni topish uchun bizda barcha ma'lumotlar mavjud

Javob:

.

Vektor mahsulotining geometrik ma'nosi.

Ta'rifga ko'ra, vektorlarning vektor mahsulotining uzunligi . Va geometriya kursidan o'rta maktab Biz bilamizki, uchburchakning maydoni uchburchakning ikki tomoni uzunligi va ular orasidagi burchak sinusining yarmiga teng. Binobarin, vektor mahsulotining uzunligi tomonlari vektorlar bo'lgan uchburchak maydonining ikki barobariga teng va agar ular bir nuqtadan chizilgan bo'lsa. Boshqacha qilib aytganda, vektorlarning vektor mahsulotining uzunligi va tomonlari bo'lgan parallelogrammning maydoniga va ular orasidagi burchakka teng. Bu vektor mahsulotining geometrik ma'nosi.

Test № 1

Vektorlar. Oliy algebraning elementlari

1-20. va vektorlarining uzunliklari ma'lum; – bu vektorlar orasidagi burchak.

Hisoblang: 1) va, 2).3) va vektorlari ustiga qurilgan uchburchakning maydonini toping.

Chizma qiling.

Yechim. Vektorlarning nuqta mahsuloti ta'rifidan foydalanish:

Va skaler mahsulotning xususiyatlari: ,

1) vektorning skalyar kvadratini toping:

ya'ni, keyin.

Xuddi shunday bahslashsak, biz ham olamiz

ya'ni, keyin.

Vektor mahsulotining ta'rifi bo'yicha: ,

shuni hisobga olgan holda

Vektorlardan tuzilgan uchburchakning maydoni va ga teng

21-40. Uchta cho'qqining ma'lum koordinatalari A, B, D parallelogramma A B C D. Vektor algebrasidan foydalanib, sizga kerak bo'ladi:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Yechim.

Ma'lumki, parallelogrammaning diagonallari kesishish nuqtasida yarmiga bo'linadi. Shuning uchun nuqtaning koordinatalari E- diagonallarning kesishishi - segment o'rtasining koordinatalari sifatida toping BD. Ularni belgilash x E ,y E , z E buni tushunamiz

olamiz.

Nuqtaning koordinatalarini bilish E- diagonalning o'rta nuqtasi BD va uning uchlaridan birining koordinatalari A(3;0;-7), Formulalar yordamida biz cho'qqining kerakli koordinatalarini aniqlaymiz BILAN parallelogramm:

Shunday qilib, yuqori.

2) Vektorning vektorga proyeksiyasini topish uchun ushbu vektorlarning koordinatalarini topamiz: ,

xuddi shunday. Vektorning vektorga proyeksiyasi quyidagi formula yordamida topiladi:

3) Paralelogramma diagonallari orasidagi burchak vektorlar orasidagi burchak sifatida topiladi

Va skaler mahsulotning xususiyati bo'yicha:

Keyin

4) vektor mahsulotining moduli sifatida parallelogrammning maydonini toping:

5) Piramidaning hajmini modulning oltidan bir qismi deb topamiz aralash mahsulot vektorlar , bu yerda O(0;0;0), keyin

Keyin kerakli hajm (kub birlik)

41-60. Berilgan matritsalar:

V C -1 +3A T

Belgilar:

Birinchidan, C matritsasining teskari matritsasi topiladi.

Buning uchun biz uning determinantini topamiz:

Determinant noldan farq qiladi, shuning uchun matritsa yagona emas va buning uchun siz C -1 teskari matritsasini topishingiz mumkin.

Algebraik to'ldiruvchilarni formuladan foydalanib topamiz, bu erda elementning minori:

Keyin, .

61–80. Tizimni hal qiling chiziqli tenglamalar:

Kramer usuli; 2. Matritsa usuli.

Yechim.

a) Kramer usuli

Keling, tizimning determinantini topamiz

dan boshlab, tizim noyob yechimga ega.

Determinantlarni topamiz va koeffitsient matritsasidagi birinchi, ikkinchi, uchinchi ustunlarni mos ravishda erkin hadlar ustuni bilan almashtiramiz.

Kramer formulalariga ko'ra:

b)matritsa usuli (teskari matritsa yordamida).

Bu sistemani matritsa shaklida yozamiz va teskari matritsa yordamida yechamiz.

Mayli A– noma’lumlar uchun koeffitsientlar matritsasi; X– noma’lumlar matritsasi ustuni x, y, z Va N- erkin a'zolarning matritsa ustuni:

Tizimning chap tomoni (1) matritsalarning ko'paytmasi, o'ng tomoni esa matritsa sifatida yozilishi mumkin. N. Shuning uchun bizda matritsa tenglamasi mavjud

Matritsaning determinanti bo'lgani uchun A noldan farq qiladi ("a" nuqtasi), keyin matritsa A teskari matritsaga ega. Chapdagi tenglikning ikkala tomonini (2) matritsaga ko'paytiramiz, olamiz

Qayerdan beri E identifikatsiya matritsasi va , keyin

Keling, yagona bo'lmagan A matritsaga ega bo'lsin:

Keyin formuladan foydalanib teskari matritsani topamiz:

Qayerda A ij- elementning algebraik to'ldiruvchisi a ij matritsaning determinantida A, bu (-1) i+j va kichik (aniqlovchi) ko‘paytmasi n-1 o'chirish orqali olingan buyurtma i-chi chiziqlar va jth A matritsasining determinantidagi ustun:

Bu yerdan biz teskari matritsani olamiz:

X ustun: X=A -1 H

81–100. Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yeching

Yechim. Tizimni kengaytirilgan matritsa shaklida yozamiz:

Biz elementar transformatsiyalarni satrlar bilan bajaramiz.

2-qatordan biz birinchi qatorni 2 ga ko'paytiramiz. 3-qatordan biz birinchi qatorni 4 ga ko'paytiramiz.

Keyinchalik, keyingi qatorlarning birinchi ustunida nolga ega bo'lamiz, buning uchun ikkinchi qatordan uchinchi qatorni olib tashlang. Uchinchi qatordan ikkinchi qatorni 2 ga ko'paytiring. To'rtinchi qatordan ikkinchi qatorni 3 ga ko'paytiring. Natijada, biz shaklning matritsasini olamiz:

To'rtinchi qatordan uchinchisini olib tashlaymiz.

Keling, oxirgi va oxirgi qatorlarni almashtiramiz:

Oxirgi matritsa tenglamalar tizimiga teng:

Tizimning oxirgi tenglamasidan biz topamiz.

Oxirgidan oldingi tenglamani almashtirsak, biz olamiz .

Tizimning ikkinchi tenglamasidan kelib chiqadiki

Birinchi tenglamadan biz x ni topamiz:

Javob:

Test № 2

Analitik geometriya

1-20. Uchburchakning uchlari koordinatalari berilgan ABC. Toping:

1) yon uzunligi AIN;

2) tomonlar tenglamalari AB Va Quyosh va ularning burchak koeffitsientlari;

3) burchak IN radianlarda ikki raqamgacha aniq;

4) balandlik tenglamasi CD va uning uzunligi;

5) median tenglama AE

balandligi CD;

TO yon tomonga parallel AB,

7) rasm chizish.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Yechim.

(1) dan foydalanib, biz tomonning uzunligini topamiz AB:

2) tomonlar tenglamalari AB Va Quyosh va ularning burchak koeffitsientlari:

Chiziq tenglamasi, nuqtalardan o'tib va ​​, ko'rinishiga ega

Nuqtalarning koordinatalarini (2) ga almashtirish A Va IN, tomonning tenglamasini olamiz AB:

(AB).

(Miloddan avvalgi).

3) burchak IN ikki raqamning aniqligi bilan radianlarda.

Ma'lumki, burchak koeffitsientlari mos ravishda teng bo'lgan ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakning tangensi formula bilan hisoblanadi.

Kerakli burchak IN to'g'ri chiziqlar orqali hosil bo'ladi AB Va Quyosh, burchak koeffitsientlari topilgan: ; . Qo'llash (3), biz olamiz

; , yoki

4) balandlik tenglamasi CD va uning uzunligi.

C nuqtadan AB to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa:

5) median tenglama AE va bu mediana bilan kesishgan K nuqtasining koordinatalari

balandligi CD.

quyosh tomonining o'rtasida:

Keyin AE tenglamasi:

Biz tenglamalar tizimini yechamiz:

6) nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi TO yon tomonga parallel AB:

Kerakli chiziq yon tomonga parallel bo'lgani uchun AB, keyin uni qiyalik to'g'ri chiziqning qiyaligiga teng bo'ladi AB. Topilgan nuqtaning koordinatalarini (4) ga almashtirish TO va qiyalik, biz olamiz

; (KF).

Parallelogrammaning maydoni 12 kvadrat metrni tashkil qiladi. birliklar, uning ikkita cho'qqisi nuqtadir A(-1;3) Va B(-2;4). Bu parallelogrammaning boshqa ikkita uchini toping, agar uning diagonallarining kesishish nuqtasi x o'qida yotganligi ma'lum bo'lsa. Chizma qiling.

Yechim. Diagonallarning kesishish nuqtasi koordinatalarga ega bo'lsin.

Shunda bu ayon bo'ladi

shuning uchun vektorlarning koordinatalari .

Formuladan foydalanib, parallelogrammning maydonini topamiz

U holda qolgan ikkita uchining koordinatalari .

51-60 masalalarda nuqtalarning koordinatalari berilgan A va B. Majburiy:

Yozish kanonik tenglama giperbola bu nuqtalardan o'tadi A va B, giperbolaning o'choqlari x o'qida joylashgan bo'lsa;

Ushbu giperbolaning asimptotalarining yarim o'qlari, fokuslari, ekssentrisitetlari va tenglamalarini toping;

Giperbolaning markazlashgan doira bilan kesishgan barcha nuqtalarini toping kelib chiqishi, agar bu doira giperbolaning o'choqlaridan o'tsa;

Giperbola, uning asimptotalari va doirasini tuzing.

A(6;-2), B(-8;12).

Yechim. Istalgan giperbolaning tenglamasi kanonik shakl qayd qilinadi

Qayerda a- giperbolaning haqiqiy yarim o'qi, b- xayoliy yarim o'q. Nuqtalarning koordinatalarini almashtirish A Va IN Ushbu tenglamada biz ushbu yarim o'qlarni topamiz:

– giperbola tenglamasi: .

Yarim o'qlar a=4,

Fokus uzunligi Fokuslar (-8,0) va (8,0)

Eksantriklik

Asiptotlar:

Agar aylana koordinata boshidan o'tsa, uning tenglamasi

Fokuslardan birini almashtirib, aylana tenglamasini topamiz

Giperbola va aylananing kesishish nuqtalarini toping:

Biz rasm chizamiz:

61-80-masalalarda qutb koordinata tizimidagi funksiya grafigini nuqtama-nuqta tuzing,  interval orqali  qiymatlarni bering. /8 (0   2). To‘g‘ri to‘rtburchak dekart koordinata sistemasidagi chiziq tenglamasini toping (abtsissaning musbat yarim o‘qi qutb o‘qiga, qutbi esa koordinata o‘qiga to‘g‘ri keladi).

Yechim. Keling, birinchi navbatda qiymatlar va ph jadvalini to'ldirib, nuqtalar bo'yicha chiziq quramiz.

Raqam	φ ,	ph, daraja			Raqam	φ , xursand	daraja
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 bu tenglama ellipsni aniqlaydi degan xulosaga kelamiz: Ballar beriladi A, IN , C, D . Topish kerak: 1. Tekislik tenglamasi (Q), nuqtalardan o'tish A, B, C D samolyotda (Q); 2. Chiziqli tenglama (men), nuqtalardan o'tish IN va D; 3. Tekislik orasidagi burchak (Q) va tekis (men); 4. Tekislik tenglamasi (R), nuqtadan o'tish A to'g'ri chiziqqa perpendikulyar (men); 5. Samolyotlar orasidagi burchak (R) Va (Q) ; 6. Chiziq tenglamasi (T), nuqtadan o'tish A uning radius vektori yo'nalishi bo'yicha; 7. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak (men) Va (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Tekislik tenglamasi (Q), nuqtalardan o'tish A, B, C va nuqta yolg'on yoki yo'qligini tekshiring D tekislikda formula bilan aniqlanadi Toping: 1) . 2) Kvadrat parallelogramm, qurilgan yoqilgan Va. 3) parallelepipedning hajmi, qurilgan yoqilgan vektorlar, Va. Boshqaruv Ish bu mavzuda" Elementlar chiziqli fazolar nazariyasi... 080100. 62-yo‘nalish bo‘yicha bakalavriatning sirtqi ta’lim yo‘nalishi bo‘yicha test sinovlarini to‘ldirish bo‘yicha uslubiy tavsiyalar. Ko'rsatmalar Parallelepiped va piramida hajmi, qurilgan yoqilgan vektorlar, Va. Yechish: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. UCHUN VAZIFALAR BOSHQARUV ISHLAR I bo'lim. Chiziqli algebra. 1 – 10. Berilgan...