Def. w to'plami chiziqli fazo va uning elementi deyiladi. -vektorlar, agar:

*qonun mushuk bo'yicha (+) ko'rsatilgan. w dan x, y har qanday ikkita element nomli element bilan bog'langan. ularning yig'indisi [x + y]

*qonun berilgan (* a soni uchun), w va a dan mushuk x elementiga ko’ra, w dan element solishtirilib, x va [ax] ko’paytmasi deb ataladi;

* tugallandi

quyidagi talablar (yoki aksiomalar):

C1 izi. nol vektor (ctv 0 1 va 0 2. by a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 va 0 1 + 0 2 = 0 1. by a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

c2. .(ctv, a4)

c3. 0 vect.(a7)

c4. a(raqam)*0=0.(a6,c3)

c5. x (*) -1 =0 vektor, x ga qarama-qarshi, ya'ni. (-1)x = -x. (a5,a6)

c6. W da ayirish harakati aniqlanadi: x vektori b va a vektorlarning ayirmasi deyiladi, agar x + a = b bo'lsa va x = b - a bilan belgilanadi.

Raqam n chaqirdi o'lcham lin. pr-a L , agar ichida L tizimi mavjud n lin. nezav. vektorlar va har qanday tizim n+1 vektor - lin. qaram xira L= n. Kosmos L n o'lchovli deb ataladi.

n qatordan iborat tartiblangan to'plam. nezav. vektorlar n o'lchovli mustaqil. bo'sh joy - asos

Teorema. Har bir X vektori o'ziga xos tarzda, asosiy vektorlarning kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishi mumkin

(1) n o‘lchovli chiziqli asos bo‘lsin. pr-va V, ya'ni. chiziqli mustaqil vektorlar to'plami. Vektorlar to'plami chiziqli bo'ladi. bog'liq, chunki ularning n+ 1.

Bular. bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmagan raqamlar mavjud, buning bunga nima aloqasi bor (aks holda (1) chiziqli bog'liq).

Keyin vektor parchalanishi qayerda x asosida (1) .

Bu ifoda noyobdir, chunki agar boshqa ifoda mavjud bo'lsa (**)

(*) dan tenglikni (**) ayirish,

olamiz

Chunki chiziqli mustaqil bo'lsa, u holda . Chtd

Teorema. Agar - lin. V fazoning mustaqil vektorlari va V dan har bir x vektor orqali ifodalanishi mumkin, u holda bu vektorlar V ning asosini tashkil qiladi.

Hujjat: (1)-lin.independent =>hujjat chiziqli mustaqil bo'lib qoladi. Konventsiyaga ko'ra Har bir a vektor (1) orqali ifodalanadi: , ko'rib chiqaylik, rang≤n => ustunlar orasida n dan ko'p bo'lmagan chiziqli mustaqil, lekin m > n=> m ustun chiziqli bog'liq => s=1, n

Ya'ni vektorlar chiziqli bog'liqdir

Shunday qilib, V fazo n o'lchovli va (1) uning asosi

№4Def. Kichik to'plam L lin. ishlab chiqarish V lin deb ataladi. kond. bu bo'shliqning, agar V da ko'rsatilgan (+) va (*a) operatsiyalariga nisbatan L pastki fazo chiziqli bo'shliq bo'lsa.

Teorema V fazo vektorlarining l to'plami chiziqli. Bu fazoning pastki fazosi bajaradi

(avans) (1) va (2) qanoatlansin, L kichik sodda bo‘lishi uchun V linning barcha aksiomalari qanoatlantirilishini isbotlash qoladi. pr-va.

(-x): -x+x=0 d. a(x + y) = ax + ay;

(a-b) va (e-h) V ning haqiqiyligidan kelib chiqadi (c) ni isbotlaymiz;

(zaruriyat) L lin bo'lsin. bu bo'shliqning pastki fazosi, keyin (1) va (2) chiziqlar ta'rifi tufayli qondiriladi. pr-va

Def. Barcha turdagi chiziqlar to'plami. ba'zi elementlarning birikmalari (x j) chiziq. mahsulot chiziqli qobiq deb ataladi

Teorema barcha satrlarning ixtiyoriy to'plami. V vektorlarning real bilan birikmalari. koeffitsienti lin. subpr V (chiziqli qobiq berilgan vektorlar sistemasi lin. pr - bu pr ning chiziqli subpr. )

ODA.L chiziqli vektorlarning bo'sh bo'lmagan kichik to'plami. ishlab chiqarish V lin deb ataladi. pastki fazo, agar:

a) L dan har qanday vektorlar yig'indisi L ga tegishli

b) har bir vektorning L dan istalgan songa ko'paytmasi L ga tegishli

Ikki pastki bo'shliqlar yig'indisiLyana pastki fazodirL

1) y 1 +y 2 (L 1 +L 2) bo‘lsin.<=>y 1 =x 1 +x 2, y 2 =x’ 1 +x’ 2, bu yerda (x 1,x’ 1) L 1, (x 2,x’ 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), bu erda (x 1 +x' 1) ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => chiziqli pastki fazoning birinchi sharti bajariladi.

ay 1 =ax 1 +ax 2, bu erda (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => chunki (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => shartlar bajarilgan => L 1 +L 2 - chiziqli pastki fazo.

Ikki bo'linmaning kesishishiL 1 VaL 2 lin. pr-vaL ham subsp hisoblanadi. bu bo'shliq.

Ikki ixtiyoriy vektorni ko'rib chiqing x,y, pastki bo'shliqlar kesishmasiga tegishli va ikkita ixtiyoriy son a,b:.

Def bo'yicha. to'plamlarning kesishuvlari:

=> chiziqli fazoning pastki fazosining ta'rifi bo'yicha:,.

T.K bolta + tomonidan ko'pchilikka tegishli L 1 va ko'p L 2 bo'lsa, u ta'rifiga ko'ra, ushbu to'plamlarning kesishishiga tegishli. Shunday qilib:

ODA.Ular V - uning bo'linmalarining bevosita yig'indisi, deyishadi. agar va b) bu ​​parchalanish noyobdir

b") b) b’) ga ekvivalent ekanligini ko‘rsataylik.

Qachon b) rost b')

Har xil (M, N) dan faqat nol vektor bo'ylab kesishadi

∃ z ∈ bo'lsin

Yarmarka qaytishL=

qarama-qarshilik

Teorema To (*) asoslarni birlashtirish uchun zarur va etarli ( fazoning asosini tashkil etdi

(Majburiy)(*) va vektorlar kichik to‘plamlarning asosi bo‘lsin. va ichida kengayish mavjud; x ni L bazis ustiga kengaytiriladi, ( bazis tashkil qiladi, ularning chiziqli mustaqilligini isbotlash zarur; ularning barchasi 0 0=0+...+0 ni o'z ichiga oladi. 0 ning kengayishining o'ziga xosligi tufayli ustidan : => asosning chiziqli mustaqilligi tufayli => ( – asos

(Qo'shimcha)( L ning asosini yagona parchalanish (**) tashkil etsin, kamida bitta parchalanish mavjud bo'lsin. Yagonalik bo'yicha (*) => yagonalik (**)

Izoh. To'g'ridan-to'g'ri yig'indining o'lchami pastki bo'shliqning o'lchamlari yig'indisiga teng

Har qanday yagona bo'lmagan kvadratik matritsa bir bazisdan ikkinchisiga o'tish matritsasi bo'lib xizmat qilishi mumkin

n o'lchamli bo'lsin chiziqli fazo V ikkita asos mavjud va

(1) =A, bu erda * va ** elementlari raqamlar emas, lekin biz raqamli matritsadagi muayyan operatsiyalarni bunday qatorlarga kengaytiramiz.

Chunki aks holda vektorlar ** chiziqli bog'liq bo'ladi

Orqaga. Agar u holda A ning ustunlari chiziqli mustaqil bo'lsa =>asos hosil qiladi

Koordinatalar Va munosabat bilan bog'liq , Qayerda o'tish matritsasi elementlari

"Yangi" asos elementlarining "eski" ga parchalanishi ma'lum bo'lsin

Keyin tenglik to'g'ri bo'ladi

Ammo chiziqli mustaqil elementlarning chiziqli birikmasi 0 ga teng bo'lsa, =>

Asosiy chiziqli bog'liqlik teoremasi

Agar (*) orqali chiziqli ifodalanadi (**) Bun<= m

m bo'yicha induksiya bilan isbotlaymiz

m=1: sistemada (*) 0 va lin mavjud. menejer - mumkin emas

m=k-1 uchun to'g'ri bo'lsin

m=k ni isbotlaymiz

Ma'lum bo'lishi mumkinki, 1) , ya'ni. v-ry (1) lin.comb. lin. xandaq ichidagi (2)Tizim (1) chiziqli ishonchsiz, chunki lin.nezav tarkibiga kiradi. tizimlari (*). Chunki (2) sistemada faqat k-1 vektorlar mavjud, u holda induksiya gipotezasi bilan k+1 ni olamiz.

Lemma 1 : Agar n n kattalikdagi matritsada kamida bitta satr (ustun) nolga teng bo'lsa, u holda matritsaning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'liqdir.

Isbot: Birinchi qator nolga teng bo'lsin

Qayerda a 10. Bu talab qilingan narsa edi.

Ta'rif: Asosiy diagonal ostida joylashgan elementlari nolga teng bo'lgan matritsa deyiladi uchburchak:

va ij = 0, i>j.

Lemma 2: Uchburchak matritsaning determinanti asosiy diagonal elementlarining mahsulotiga teng.

Isbotni matritsaning o'lchamiga induksiya qilish orqali amalga oshirish oson.

Teorema vektorlarning chiziqli mustaqilligi haqida.

A)Zaruriyat: chiziqli bog'liq D=0 .

Isbot: Ular chiziqli bog'liq bo'lsin, j=,

ya'ni j bor, hammasi nolga teng emas, j=, Nima a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n =, A j – matritsa ustunlari A. Keling, masalan, a n¹0.

Bizda ... bor a j * = a j / a n, j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n =.

Matritsaning oxirgi ustunini almashtiramiz A yoqilgan

A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n =.

Determinantning yuqorida tasdiqlangan xususiyatiga ko'ra (agar matritsadagi boshqa ustun biron bir ustunga qo'shilsa, raqamga ko'paytirilsa, u o'zgarmaydi), yangi matritsaning determinanti determinantga tengdir. asl. Ammo yangi matritsada bitta ustun nolga teng, ya'ni determinantni ushbu ustunga kengaytirib, biz olamiz D=0, Q.E.D.

b)Muvofiqlik: Hajmi matritsasi n nchiziqli mustaqil qatorlar bilan Determinantning mutlaq qiymatini o'zgartirmaydigan transformatsiyalar yordamida har doim uchburchak shaklga keltirilishi mumkin. Bundan tashqari, dastlabki matritsa satrlarining mustaqilligidan uning determinanti nolga teng ekanligi kelib chiqadi.

1. Agar o'lcham matritsasida bo'lsa n n chiziqli mustaqil qatorlar elementi bilan a 11 nolga teng, keyin elementi ustun a 1 j ¹ 0. Lemma 1 ga ko'ra, bunday element mavjud. O'zgartirilgan matritsaning determinanti dastlabki matritsaning determinantidan faqat belgisi bilan farq qilishi mumkin.

2. Raqamli satrlardan i>1 birinchi qatorni kasrga ko'paytiring a i 1 / a 11. Bundan tashqari, raqamlar bilan qatorlarning birinchi ustunida i>1 siz nol elementga ega bo'lasiz.

3. Hosil bo‘lgan matritsaning determinantini birinchi ustun bo‘ylab parchalab hisoblashni boshlaymiz. Birinchisidan tashqari undagi barcha elementlar nolga teng bo'lgani uchun,

D yangi = a 11 yangi (-1) 1+1 D 11 yangi,

Qayerda d 11 yangi kichikroq o'lchamdagi matritsaning determinantidir.

Keyinchalik, determinantni hisoblash uchun D 11 1, 2, 3-bosqichlarni oxirgi determinant o'lcham matritsasining determinanti bo'lguncha takrorlang. 1 1. 1-bosqich faqat o'zgartirilayotgan matritsaning determinantining ishorasini o'zgartirganligi sababli va 2-bosqichda determinantning qiymati umuman o'zgarmasligi sababli, belgigacha, biz oxir-oqibatda dastlabki matritsaning determinantini olamiz. Bunday holda, asl matritsa satrlarining chiziqli mustaqilligi tufayli 1-bosqich har doim qondiriladi, asosiy diagonalning barcha elementlari nolga teng bo'lmaydi. Shunday qilib, ta'riflangan algoritmga ko'ra, yakuniy determinant asosiy diagonaldagi nolga teng bo'lmagan elementlarning mahsulotiga tengdir. Shuning uchun asl matritsaning determinanti nolga teng emas. Q.E.D.

2-ilova

Funktsiyalar chaqiriladi chiziqli mustaqil, Agar

(faqat nolga teng bo'lgan funktsiyalarning arzimas chiziqli birikmasiga ruxsat beriladi). Vektorlarning chiziqli mustaqilligidan farqli o'laroq, bu erda o'ziga xoslik chiziqli birikma nol, tenglik emas. Bu tushunarli, chunki chiziqli birikmaning nolga tengligi argumentning har qanday qiymati uchun qondirilishi kerak.

Funktsiyalar chaqiriladi chiziqli bog'liq, agar nolga teng bo'lmagan konstantalar to'plami mavjud bo'lsa (barcha konstantalar nolga teng emas) shunday (nolga teng bo'lgan funktsiyalarning notrivial chiziqli birikmasi mavjud).

Teorema.Funktsiyalar chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ularning har qandayining boshqalari orqali chiziqli ifodalanishi (ularning chiziqli birikmasi sifatida ko'rsatilgan) zarur va etarli.

Bu teoremani o'zingiz isbotlang, xuddi vektorlarning chiziqli bog'liqligi haqidagi xuddi shunday teorema kabi isbotlangan;

Vronskiyning aniqlovchisi.

Funktsiyalar uchun Wronski determinanti ustunlari noldan (funksiyalarning o'zi) n-1-tartibgacha bo'lgan bu funksiyalarning hosilalari bo'lgan determinant sifatida kiritilgan.

.

Teorema. Funktsiyalar bo'lsa u holda chiziqli bog'liqdir

Isbot. Funktsiyalardan beri chiziqli bog'liq bo'lsa, ularning har biri boshqalar orqali chiziqli ravishda ifodalanadi, masalan,

Shaxsni farqlash mumkin, shuning uchun

Keyin Wronski determinantining birinchi ustuni qolgan ustunlar orqali chiziqli tarzda ifodalanadi, shuning uchun Wronski determinanti xuddi shunday nolga teng.

Teorema.Chiziqli bir jinsli eritmalar uchun differensial tenglama n-tartib chiziqli bog'liq edi, bu zarur va etarli.

Isbot. Zaruriyat oldingi teoremadan kelib chiqadi.

Adekvatlik. Keling, bir nuqtani tuzataylik. Chunki , bu nuqtada hisoblangan determinantning ustunlari chiziqli bog'liq vektorlardir.

, munosabatlar qoniqarli

Chiziqli bir jinsli tenglamaning yechimlarining chiziqli birikmasi uning yechimi bo'lganligi sababli, biz ko'rinishdagi yechimni kiritishimiz mumkin.

Bir xil koeffitsientli yechimlarning chiziqli birikmasi.

E'tibor bering, bu yechim nol boshlang'ich shartlarni qondiradi, bu yuqorida yozilgan tenglamalar tizimidan kelib chiqadi; Lekin chiziqli bir jinsli tenglamaning trivial yechimi ham xuddi shu nol boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradi. Demak, Koshi teoremasidan kelib chiqadiki, kiritilgan yechim trivialga bir xil tengdir, shuning uchun,

shuning uchun yechimlar chiziqli bog'liqdir.

Natija.Agar chiziqli bir jinsli tenglama yechimlari asosida qurilgan Wronski determinanti kamida bir nuqtada yo'qolsa, u xuddi shunday nolga teng bo'ladi.

Isbot. Agar bo'lsa, u holda echimlar chiziqli bog'liq, demak, .

Teorema.1. Yechimlarning chiziqli bog`liqligi uchun zarur va yetarli(yoki ).

2. Yechimlarning chiziqli mustaqilligi uchun bu zarur va etarli.

Isbot. Birinchi bayonot yuqorida isbotlangan teorema va xulosadan kelib chiqadi. Ikkinchi gapni qarama-qarshilik bilan osongina isbotlash mumkin.

Yechimlar chiziqli mustaqil bo'lsin. Agar bo'lsa, u holda echimlar chiziqli bog'liqdir. Qarama-qarshilik. Demak, .

Mayli . Agar yechimlar chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda , demak, qarama-qarshilik. Shuning uchun yechimlar chiziqli mustaqildir.

Natija.Wronski determinantining hech bo'lmaganda bir nuqtada yo'qolishi yechimlarning chiziqli bir hil tenglamaga chiziqli bog'liqligi mezoni hisoblanadi.

Vronski determinanti va nol orasidagi farq chiziqli bir jinsli tenglama yechimlarining chiziqli mustaqilligi mezoni hisoblanadi.

Teorema.n-tartibli chiziqli bir jinsli tenglamaning yechim fazosining o'lchami n ga teng.

Isbot.

a) n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimlari mavjudligini ko'rsatamiz. Keling, yechimlarni ko'rib chiqaylik , quyidagi dastlabki shartlarni qondirish:

...........................................................

Bunday echimlar mavjud. Aslida, Koshi teoremasiga ko'ra, nuqta orqali yagona integral egri chiziqdan o'tadi - yechim. Nuqta orqali eritma nuqtadan o'tadi

- yechim, nuqta orqali - yechim.

Bu yechimlar chiziqli mustaqil, chunki .

b) Chiziqli bir jinsli tenglamaning har qanday yechimi shu yechimlar orqali chiziqli ifodalanishini ko'rsatamiz (ularning chiziqli birikmasidir).

Keling, ikkita yechimni ko'rib chiqaylik. Biri - boshlang'ich shartlari bilan ixtiyoriy yechim . Adolatli nisbat

Teorema 1. (Ortogonal vektorlarning chiziqli mustaqilligi haqida). U holda vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lsin.

∑l i x i =0 chiziqli birikma yasaymiz va ko'rib chiqamiz skalyar mahsulot(x j , ∑l i x i)=l j ||x j || 2 =0, lekin ||x j || 2 ≠0⇒l j =0.

Ta'rif 1. Vektor tizimiyoki (e i ,e j)=d ij - Kronecker belgisi, ortonormal (ONS) deb ataladi.

Ta'rif 2. Ixtiyoriy cheksiz o‘lchamli Evklid fazosining ixtiyoriy x elementi va elementlarning ixtiyoriy ortonormal sistemasi uchun x elementning sistema ustidagi Furye qatori shaklning formal ravishda tuzilgan cheksiz yig‘indisi (seriyasi) deyiladi. , bunda l i haqiqiy sonlar sistemadagi x elementning Furye koeffitsientlari deyiladi, bu yerda l i =(x,e i).

Izoh. (Tabiiyki, ushbu seriyaning yaqinlashishi haqida savol tug'iladi. Ushbu masalani o'rganish uchun ixtiyoriy n raqamini tuzatamiz va nima bilan ajralib turishini aniqlaymiz n-chi qism ortonormal sistemaning birinchi n elementining boshqa har qanday chiziqli birikmasining Furye qatorlari yig'indisi.)

Teorema 2. Har qanday sobit son n uchun, shaklning barcha yig'indilari ichida, elementning Furye qatorining n- qisman yig'indisi berilgan Evklid fazosining normasiga muvofiq x elementidan eng kichik og'ishlarga ega.

Tizimning ortonormalligi va Furye koeffitsientining ta'rifini hisobga olgan holda, biz yozishimiz mumkin.

Bu ifodaning minimumiga c i =l i da erishiladi, chunki bu holda o‘ng tarafdagi manfiy bo‘lmagan birinchi yig‘indi doim yo‘qoladi, qolgan hadlar esa c i ga bog‘liq emas.

Misol. Trigonometrik tizimni ko'rib chiqing

[-p,p] segmentida f(x) barcha Riman integrallanuvchi funksiyalari fazosida. Bu ONS ekanligini tekshirish oson, keyin f(x) funksiyasining Furye seriyasi bu yerda shaklga ega.

Izoh. (Trigonometrik Furye qatori odatda shunday yoziladi Keyin )

Cheksiz o'lchovli Evklid fazosida qo'shimcha taxminlarsiz ixtiyoriy ONS, umuman olganda, bu fazoning asosi emas. Intuitiv darajada, qat'iy ta'riflar bermasdan, biz masalaning mohiyatini tasvirlaymiz. Ixtiyoriy cheksiz o'lchovli Evklid fazosida ONS ni ko'rib chiqaylik, bu erda (e i ,e j)=d ij Kronecker belgisidir. M Yevklid fazosining pastki fazosi, k=M ⊥ M ga ortogonal pastki fazo bo‘lsin, Yevklid fazosi E=M+M ⊥ bo‘lsin. X∈E vektorining M ostfazoga proyeksiyasi ∈M vektor, bunda

Biz a k kengayish koeffitsientlarining qiymatlarini qidiramiz, ular uchun qoldiq (kvadrat qoldiq) h 2 =||x-|| 2 minimal bo'ladi:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑a k e k ,x-∑a k e k)=(x,x)-2∑a k (x,e k)+(∑a k e k ,∑a k e k)= ||x|| 2 -2∑a k (x,e k)+∑a k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(a k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Ko'rinib turibdiki, bu ifoda a k =0 da minimal qiymatni oladi, bu trivial bo'lib, a k =(x,e k) da. Keyin r min =||x|| 2 -∑a k 2 ≥0. Bu yerdan Besselning ∑a k 2 ||x|| tengsizligini olamiz 2. r=0 da vektorlarning ortonormal tizimi (ONS) Steklov ma'nosida (PONS) to'liq ortonormal tizim deb ataladi. Bu yerdan Steklov-Parseval tengligini olishimiz mumkin ∑a k 2 =||x|| 2 - Steklov ma'nosida to'liq bo'lgan cheksiz o'lchovli Evklid bo'shliqlari uchun "Pifagor teoremasi". Endi fazodagi har qanday vektorning unga yaqinlashuvchi Furye qatori shaklida yagona tasvirlanishi uchun Steklov-Parseval tengligining amal qilishi zarur va yetarli ekanligini isbotlash kerak bo‘ladi. Vektorlar sistemasi pic=""> ONB shakllari vektorlar tizimi Qatorning qisman yig'indisini ko'rib chiqaylik Keyin konvergent qatorning dumi kabi. Shunday qilib, vektorlar tizimi PONS bo'lib, ONB ni tashkil qiladi.

Misol. Trigonometrik tizim

barcha Riman integrallanuvchi funksiyalari fazosida [-p,p] segmentidagi f(x) PONS bo’lib, ONB ni hosil qiladi.