Nihoyat, men bu keng va uzoq kutilgan mavzuni qo'lga oldim. analitik geometriya . Birinchidan, oliy matematikaning ushbu bo'limi haqida bir oz ... Albatta, siz ko'plab teoremalar, ularning dalillari, chizmalari va boshqalardan iborat maktab geometriya kursini eslaysiz. Nimani yashirish kerak, o'quvchilarning muhim qismi uchun sevilmaydigan va ko'pincha qorong'i mavzu. Analitik geometriya, g'alati, qiziqarliroq va qulayroq ko'rinishi mumkin. “Analitik” sifatdoshi nimani anglatadi? Ikkita klişe matematik iboralar darhol yodga tushadi: "grafik yechim usuli" va "analitik yechim usuli". Grafik usul , albatta, grafik va chizmalarni qurish bilan bog'liq. Analitik bir xil usuli muammolarni hal qilishni o'z ichiga oladi asosan orqali algebraik amallar. Shu munosabat bilan, analitik geometriyaning deyarli barcha muammolarini hal qilish algoritmi sodda va shaffof, ko'pincha kerakli formulalarni diqqat bilan qo'llash kifoya - va javob tayyor! Yo'q, albatta, biz buni chizmalarsiz umuman qila olmaymiz va bundan tashqari, materialni yaxshiroq tushunish uchun men ularni zaruratdan tashqari keltirishga harakat qilaman.

Geometriya darslarining yangi ochilgan kursi nazariy jihatdan tugallangandek ko'rinmaydi, u amaliy masalalarni yechishga qaratilgan. Men o'z ma'ruzalarimga faqat mening nuqtai nazarimdan amaliy jihatdan muhim bo'lgan narsalarni kiritaman. Agar biron-bir bo'lim bo'yicha to'liqroq yordam kerak bo'lsa, men quyidagi juda qulay adabiyotlarni tavsiya qilaman:

1) Hazil emas, bir necha avlodlar tanish bo'lgan narsa: Geometriya bo'yicha maktab darslik, mualliflar - L.S. Atanasyan va kompaniya. Bu maktab echinish xonasi ilgichi allaqachon 20 (!) Qayta nashrdan o'tgan, bu, albatta, chegara emas.

2) Geometriya 2 jildda. Mualliflar L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Bu adabiyot uchun o'rta maktab, sizga kerak bo'ladi birinchi jild. Kamdan-kam uchraydigan vazifalar mening ko'zimdan tushib qolishi mumkin va o'quv qo'llanma bebaho yordam beradi.

Har ikkala kitobni ham onlayn bepul yuklab olish mumkin. Bundan tashqari, siz mening arxivimdan sahifada joylashgan tayyor echimlar bilan foydalanishingiz mumkin Oliy matematika bo'yicha misollar yuklab olish.

Asboblar orasida men yana o'z ishlab chiqishimni taklif qilaman - dasturiy ta'minot to'plami analitik geometriyada, bu hayotni sezilarli darajada soddalashtiradi va ko'p vaqtni tejaydi.

O'quvchi asosiy bilan tanish deb taxmin qilinadi geometrik tushunchalar va raqamlar: nuqta, chiziq, tekislik, uchburchak, parallelogram, parallelepiped, kub va boshqalar. Ba'zi teoremalarni, hech bo'lmaganda Pifagor teoremasini eslab qolish tavsiya etiladi, takrorlovchilarga salom)

Va endi biz ketma-ket ko'rib chiqamiz: vektor tushunchasi, vektorlar bilan harakatlar, vektor koordinatalari. Men qo'shimcha o'qishni tavsiya qilaman eng muhim maqola Vektorlarning nuqta mahsuloti, va shuningdek Vektorlarning vektor va aralash mahsuloti. Mahalliy vazifa - bu borada segmentni taqsimlash ham ortiqcha bo'lmaydi. Yuqoridagi ma'lumotlarga asoslanib, siz o'zlashtirishingiz mumkin tekislikdagi chiziq tenglamasi Bilan yechimlarning eng oddiy misollari, bu imkon beradi geometriya masalalarini yechishni o'rganish. Quyidagi maqolalar ham foydalidir: Kosmosdagi tekislik tenglamasi, Fazodagi chiziq tenglamalari, To`g`ri chiziq va tekislikka oid asosiy masalalar, analitik geometriyaning boshqa bo`limlari. Tabiiyki, yo'lda standart vazifalar ko'rib chiqiladi.

Vektor tushunchasi. Bepul vektor

Birinchidan, vektorning maktab ta'rifini takrorlaymiz. Vektor chaqirdi yo'naltirilgan boshi va oxiri ko'rsatilgan segment:

Bunda segmentning boshi nuqta, segmentning oxiri nuqta hisoblanadi. Vektorning o'zi bilan belgilanadi. Yo'nalish juda muhim, agar siz o'qni segmentning boshqa uchiga o'tkazsangiz, siz vektor olasiz va bu allaqachon butunlay boshqacha vektor. Jismoniy jismning harakati bilan vektor tushunchasini aniqlash qulay: siz rozi bo'lishingiz kerak, institut eshiklaridan kirish yoki institut eshiklarini tark etish butunlay boshqa narsalar.

Samolyot yoki makonning alohida nuqtalarini deb atalmish deb hisoblash qulay nol vektor. Bunday vektor uchun oxiri va boshlanishi mos keladi.

!!! Eslatma: Bu erda va bundan keyin siz vektorlar bir xil tekislikda yotadi yoki ular kosmosda joylashgan deb taxmin qilishingiz mumkin - taqdim etilgan materialning mohiyati ham tekislik, ham kosmos uchun amal qiladi.

Belgilar: Ko'pchilik darhol belgida o'qsiz tayoqni payqadi va tepada o'q ham borligini aytishdi! To'g'ri, siz uni o'q bilan yozishingiz mumkin: , lekin bu ham mumkin men kelajakda foydalanadigan yozuv. Nega? Ko'rinishidan, bu odat amaliy sabablarga ko'ra paydo bo'lgan; maktab va universitetdagi otishmalarim juda xilma-xil va shag'al bo'lib chiqdi. IN o'quv adabiyoti ba'zan ular mixxat yozuvi bilan umuman bezovta qilmaydilar, lekin qalin harflarni ajratib ko'rsatishadi: , bu vektor ekanligini anglatadi.

Bu stilistika edi va endi vektorlarni yozish usullari haqida:

1) Vektorlarni ikkita katta lotin harflari bilan yozish mumkin:
va hokazo. Bunday holda, birinchi harf Majburiy vektorning boshlanish nuqtasini, ikkinchi harf esa vektorning oxirgi nuqtasini bildiradi.

2) Vektorlar ham kichik lotin harflari bilan yoziladi:
Xususan, qisqalik uchun vektorimiz kichik deb qayta belgilanishi mumkin Lotin harfi.

Uzunlik yoki modul nolga teng bo'lmagan vektor segment uzunligi deb ataladi. Nol vektorning uzunligi nolga teng. Mantiqiy.

Vektor uzunligi modul belgisi bilan belgilanadi: ,

Biz vektor uzunligini qanday topishni (yoki kimga qarab takrorlaymiz) birozdan keyin bilib olamiz.

Bu barcha maktab o'quvchilariga tanish bo'lgan vektorlar haqidagi asosiy ma'lumotlar edi. Analitik geometriyada, deyiladi bepul vektor.

Oddiy qilib aytganda - vektor istalgan nuqtadan chizilishi mumkin:

Biz bunday vektorlarni teng deb atashga odatlanganmiz (teng vektorlarning ta'rifi quyida keltirilgan), ammo sof matematik nuqtai nazardan, ular bir xil VEKTOR yoki bepul vektor. Nega bepul? Chunki muammolarni echish jarayonida siz u yoki bu vektorni samolyot yoki fazoning istalgan nuqtasiga “birikishingiz” mumkin. Bu juda ajoyib xususiyat! Ixtiyoriy uzunlik va yo'nalishdagi vektorni tasavvur qiling - uni cheksiz ko'p marta "klonlash" mumkin va kosmosning istalgan nuqtasida, aslida u HAR YERDA mavjud. Talabaning shunday bir gapi bor: Har bir o'qituvchi vektorga e'tibor beradi. Axir, bu shunchaki aqlli qofiya emas, hamma narsa matematik jihatdan to'g'ri - vektorni u erga ham biriktirish mumkin. Lekin xursand bo'lishga shoshilmang, ko'pincha talabalarning o'zlari azob chekishadi =)

Shunday qilib, bepul vektor- Bu bir guruh bir xil yo'naltirilgan segmentlar. Paragrafning boshida berilgan vektorning maktab ta'rifi: "Yo'naltirilgan segment vektor deb ataladi ..." xos tekislik yoki fazoning ma'lum bir nuqtasiga bog'langan, berilgan to'plamdan olingan yo'naltirilgan segment.

Shuni ta'kidlash kerakki, fizika nuqtai nazaridan erkin vektor tushunchasi umumiy holat noto'g'ri va vektorni qo'llash nuqtasi muhimdir. Haqiqatan ham, mening ahmoqona misolimni rivojlantirish uchun etarli bo'lgan bir xil kuchning burun yoki peshonaga to'g'ridan-to'g'ri zarbasi turli xil oqibatlarga olib keladi. Biroq, erkin emas vektorlar ham vyshmat kursida topiladi (u erga bormang :)).

Vektorlar bilan amallar. Vektorlarning kollinearligi

Maktab geometriya kursi vektorlar bilan bir qator harakatlar va qoidalarni o'z ichiga oladi: uchburchak qoidasiga ko`ra qo`shish, parallelogramma qoidasiga ko`ra qo`shish, vektor ayirma qoidasi, vektorni songa ko`paytirish, vektorlarning skalar ko`paytmasi va hokazo. Boshlanish nuqtasi sifatida analitik geometriya masalalarini hal qilish uchun ayniqsa dolzarb bo'lgan ikkita qoidani takrorlaymiz.

Uchburchak qoidasi yordamida vektorlarni qo'shish qoidasi

Ikki ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan vektorni ko'rib chiqing va:

Ushbu vektorlarning yig'indisini topishingiz kerak. Barcha vektorlar bepul deb hisoblanganligi sababli, biz vektorni chetga surib qo'yamiz oxiri vektor:

Vektorlar yig'indisi vektor hisoblanadi. Qoidani yaxshiroq tushunish uchun uni kiritish tavsiya etiladi jismoniy ma'no: ba'zi jismlar vektor bo'ylab, keyin esa vektor bo'ylab harakat qilsin. Keyin vektorlar yig'indisi natijada boshlangan yo'lning vektori ketish nuqtasida va oxiri kelish nuqtasida bo'ladi. Shunga o'xshash qoida har qanday vektorlar yig'indisi uchun tuzilgan. Ular aytganidek, tana o'z yo'lini zigzag bo'ylab yoki balki avtopilotda - natijada yig'indi vektori bo'ylab juda suyangan holda borishi mumkin.

Aytgancha, agar vektor dan kechiktirilsa boshlandi vektor, keyin biz ekvivalentni olamiz parallelogramma qoidasi vektorlarni qo'shish.

Birinchidan, vektorlarning kollinearligi haqida. Ikki vektor deyiladi kollinear, agar ular bir chiziqda yoki parallel chiziqlarda yotsa. Taxminan aytganda, biz parallel vektorlar haqida gapiramiz. Ammo ularga nisbatan "kollinear" sifatdoshi doimo ishlatiladi.

Ikki kollinear vektorni tasavvur qiling. Agar bu vektorlarning o'qlari bir xil yo'nalishda yo'naltirilgan bo'lsa, unda bunday vektorlar deyiladi birgalikda rahbarlik qilgan. Agar o'qlar tomon ishora qilsa turli tomonlar, keyin vektorlar bo'ladi qarama-qarshi yo'nalishlar.

Belgilar: vektorlarning kollinearligi odatiy parallellik belgisi bilan yoziladi: , detallashtirish mumkin bo'lsa: (vektorlar birgalikda yo'naltirilgan) yoki (vektorlar qarama-qarshi yo'naltirilgan).

Ish Sondagi nolga teng bo'lmagan vektor uzunligi ga teng bo'lgan vektor va vektorlari ga birgalikda va teskari yo'naltirilgan.

Vektorni raqamga ko'paytirish qoidasini rasm yordamida tushunish osonroq:

Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik:

1) Yo'nalish. Agar multiplikator manfiy bo'lsa, u holda vektor yo‘nalishini o‘zgartiradi teskarisiga.

2) Uzunlik. Agar multiplikator yoki ichida bo'lsa, u holda vektor uzunligi kamayadi. Demak, vektor uzunligi vektor uzunligining yarmiga teng. Agar modul ko'paytirilsa birdan ortiq, keyin vektor uzunligi ortadi o'z vaqtida.

3) E'tibor bering barcha vektorlar kollineardir, bir vektor boshqasi orqali ifodalangan bo'lsa, masalan, . Buning teskarisi ham to'g'ri: agar bir vektorni boshqa vektor orqali ifodalash mumkin bo'lsa, unda bunday vektorlar albatta kollinear bo'ladi. Shunday qilib: agar vektorni songa ko'paytirsak, biz kollinear bo'lamiz(asl nusxaga nisbatan) vektor.

4) Vektorlar birgalikda yo'naltirilgan. Vektorlar va birgalikda boshqariladi. Birinchi guruhning har qanday vektori ikkinchi guruhning istalgan vektoriga nisbatan qarama-qarshi yo'naltirilgan.

Qaysi vektorlar teng?

Ikki vektor bir xil yo'nalishda bo'lsa va uzunligi bir xil bo'lsa, tengdir. E'tibor bering, ko'p yo'nalishlilik vektorlarning kollinearligini anglatadi. Agar biz shunday desak, ta'rif noto'g'ri (ortiqcha) bo'ladi: "Ikki vektor, agar ular bir-biriga mos keladigan, ko'p yo'nalishli va bir xil uzunlikka ega bo'lsa, tengdir".

Erkin vektor tushunchasi nuqtai nazaridan, teng vektorlar oldingi paragrafda muhokama qilinganidek, bir xil vektordir.

Tekislikdagi va fazodagi vektor koordinatalari

Birinchi nuqta - tekislikdagi vektorlarni ko'rib chiqish. Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini tasvirlaymiz va uni koordinatalarning kelib chiqishidan boshlab chizamiz. yagona vektorlar va:

Vektorlar va ortogonal. Ortogonal = Perpendikulyar. Sekin-asta atamalarga ko'nikishingizni tavsiya qilaman: parallellik va perpendikulyarlik o'rniga mos ravishda so'zlardan foydalanamiz. kollinearlik Va ortogonallik.

Belgilash: Vektorlarning ortogonalligi odatiy perpendikulyarlik belgisi bilan yoziladi, masalan: .

Ko'rib chiqilayotgan vektorlar deyiladi koordinata vektorlari yoki orts. Bu vektorlar hosil bo'ladi asos yuzada. Asos nima, menimcha, ko'pchilik uchun tushunarli; batafsilroq ma'lumotni maqolada topish mumkin. Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektorlar asoslari Oddiy so'zlar bilan aytganda, koordinatalarning asosi va kelib chiqishi butun tizimni belgilaydi - bu to'liq va boy geometrik hayot qaynaydigan o'ziga xos poydevordir.

Ba'zan qurilgan asos deyiladi ortonormal tekislikning asosi: "orto" - koordinata vektorlari ortogonal bo'lgani uchun, "normallashtirilgan" sifatdoshi birlikni anglatadi, ya'ni. bazis vektorlarining uzunliklari birga teng.

Belgilash: asos odatda qavs ichida yoziladi, uning ichida qat'iy ketma-ketlikda bazis vektorlari keltirilgan, masalan: . Koordinata vektorlari bu taqiqlangan qayta tartibga solish.

Har qanday tekislik vektori yagona yo'l quyidagicha ifodalangan:
, qayerda - raqamlar deb ataladi vektor koordinatalari shu asosda. Va ifodaning o'zi chaqirdi vektor parchalanishiasosida .

Kechki ovqat:

Keling, alifboning birinchi harfidan boshlaylik: . Chizma aniq ko'rsatib turibdiki, vektorni asosga ajratishda yuqorida muhokama qilinganlardan foydalaniladi:
1) vektorni songa ko'paytirish qoidasi: va ;
2) uchburchak qoidasiga ko'ra vektorlarni qo'shish: .

Endi samolyotning istalgan boshqa nuqtasidan vektorni aqliy ravishda chizing. Uning tanazzulga uchrashi "uni to'xtovsiz kuzatib borishi" aniq. Mana, vektorning erkinligi - vektor "hamma narsani o'zi bilan olib yuradi". Bu xususiyat, albatta, har qanday vektor uchun to'g'ri keladi. Qizig'i shundaki, asosiy (erkin) vektorlarning o'zlari kelib chiqishidan chizilishi shart emas; birini, masalan, pastki chapda, ikkinchisini esa yuqori o'ngda chizish mumkin va hech narsa o'zgarmaydi! To'g'ri, buni qilishning hojati yo'q, chunki o'qituvchi ham o'ziga xoslikni ko'rsatadi va sizni kutilmagan joyda "kredit" oladi.

Vektorlar vektorni songa ko'paytirish qoidasini aniq ko'rsatadi, vektor asosiy vektor bilan ko'proq yo'nalishli, vektor asosiy vektorga qarama-qarshi yo'naltirilgan. Ushbu vektorlar uchun koordinatalardan biri nolga teng, uni diqqat bilan quyidagicha yozishingiz mumkin:


Aytgancha, asosiy vektorlar shunday: (aslida ular o'zlari orqali ifodalanadi).

Va nihoyat: , . Aytgancha, vektorni ayirish nima va nega ayirish qoidasi haqida gapirmadim? Chiziqli algebrada qayerda ekanligini eslay olmayman, ayirish ekanligini ta'kidladim maxsus holat qo'shimcha. Shunday qilib, "de" va "e" vektorlarining kengayishlari osongina yig'indi sifatida yoziladi: , . Shartlarni o'zgartiring va chizmada uchburchak qoidasiga ko'ra eski vektorlarni qo'shish bu vaziyatlarda qanchalik yaxshi ishlashini ko'ring.

Shaklning ko'rib chiqilayotgan parchalanishi ba'zan vektor parchalanishi deb ataladi ort tizimida(ya'ni birlik vektorlar tizimida). Ammo bu vektor yozishning yagona usuli emas, quyidagi variant keng tarqalgan:

Yoki teng belgisi bilan:

Bazis vektorlarining o'zi quyidagicha yoziladi: va

Ya'ni vektorning koordinatalari qavs ichida ko'rsatilgan. Amaliy masalalarda yozuvning uchta varianti ham qo'llaniladi.

Gapirishga shubha qildim, lekin baribir aytaman: vektor koordinatalarini qayta tartibga solish mumkin emas. Birinchi o'rinda qat'iy biz birlik vektoriga mos keladigan koordinatani yozamiz, qat'iy ikkinchi o'rinda birlik vektoriga mos keladigan koordinatani yozamiz. Haqiqatan ham, ular ikki xil vektordir.

Biz samolyotdagi koordinatalarni aniqladik. Keling, uch o'lchamli fazodagi vektorlarni ko'rib chiqaylik, bu erda deyarli hamma narsa bir xil! U yana bitta koordinata qo'shadi. Uch o'lchamli chizmalarni yaratish qiyin, shuning uchun men o'zimni bitta vektor bilan cheklayman, soddaligi uchun uni asl nusxasidan ajratib qo'yaman:

Har qanday vektor uch o'lchamli bo'shliq mumkin yagona yo'l ortonormal asosda kengaytiring:
, bu asosda vektorning (son) koordinatalari qayerda.

Rasmdan misol: . Keling, bu erda vektor qoidalari qanday ishlashini ko'rib chiqaylik. Birinchidan, vektorni raqam bilan ko'paytirish: (qizil o'q), (yashil o'q) va (malinali o'q). Ikkinchidan, bir nechta, bu holda uchta vektorni qo'shish misoli: . Yig'indi vektor boshlang'ich jo'nash nuqtasidan (vektorning boshlanishi) boshlanadi va oxirgi kelish nuqtasida (vektorning oxiri) tugaydi.

Tabiiyki, uch o'lchovli fazoning barcha vektorlari ham erkindir; vektorni boshqa har qanday nuqtadan aqliy ravishda chetga surib qo'yishga harakat qiling va siz uning parchalanishi "u bilan qolishini" tushunasiz.

Yassi kassaga o'xshash, yozishdan tashqari qavsli versiyalar keng qo'llaniladi: yoki .

Agar kengaytirishda bitta (yoki ikkita) koordinata vektori etishmayotgan bo'lsa, ularning o'rniga nollar qo'yiladi. Misollar:
vektor (ehtiyotkorlik bilan ) – yozamiz;
vektor (ehtiyotkorlik bilan ) – yozamiz;
vektor (ehtiyotkorlik bilan ) - yozaylik.

Bazis vektorlari quyidagicha yoziladi:

Bu, ehtimol, minimaldir nazariy bilim, analitik geometriya masalalarini yechish uchun zarur. Ko'p atamalar va ta'riflar bo'lishi mumkin, shuning uchun men choynaklarga ushbu ma'lumotni qayta o'qish va tushunishni tavsiya qilaman. Va har qanday o'quvchi uchun materialni yaxshiroq o'zlashtirish uchun vaqti-vaqti bilan asosiy darsga murojaat qilish foydali bo'ladi. Kollinearlik, ortogonallik, ortonormal asos, vektor dekompozitsiyasi - bu va boshqa tushunchalar kelajakda tez-tez qo'llaniladi. Shuni ta'kidlaymanki, geometriya bo'yicha nazariy test yoki kollokviumdan o'tish uchun saytdagi materiallar etarli emas, chunki men barcha teoremalarni (va isbotlarsiz) sinchkovlik bilan shifrlayman - taqdimotning ilmiy uslubiga zarar etkazadi, lekin sizning tushunishingizga ortiqcha. mavzu. Batafsil nazariy ma'lumotni olish uchun professor Atanasyanga ta'zim qiling.

Va biz amaliy qismga o'tamiz:

Analitik geometriyaning eng oddiy masalalari.
Koordinatalarda vektorlar bilan amallar

To'liq avtomatik ravishda ko'rib chiqiladigan vazifalarni va formulalarni qanday hal qilishni o'rganish juda tavsiya etiladi yodlash, buni ataylab eslab qolishning ham hojati yo'q, ular buni o'zlari eslab qolishadi =) Bu juda muhim, chunki analitik geometriyaning boshqa masalalari eng oddiy elementar misollarga asoslanadi va piyon yeyish uchun qo'shimcha vaqt sarflash zerikarli bo'ladi. . Ko'ylakning yuqori tugmalarini mahkamlashning hojati yo'q, ko'p narsalar sizga maktabdan tanish.

Materialning taqdimoti parallel ravishda amalga oshiriladi - samolyot uchun ham, kosmos uchun ham. Chunki barcha formulalar... o'zingiz ko'rasiz.

Ikki nuqtadan vektorni qanday topish mumkin?

Agar tekislikning ikkita nuqtasi va berilgan bo'lsa, vektor quyidagi koordinatalarga ega bo'ladi:

Agar fazoda ikkita nuqta berilgan bo'lsa, vektor quyidagi koordinatalarga ega bo'ladi:

Ya'ni, vektor oxirining koordinatalaridan tegishli koordinatalarni olib tashlashingiz kerak vektorning boshlanishi.

Mashq: Xuddi shu nuqtalar uchun vektorning koordinatalarini topish formulalarini yozing. Dars oxiridagi formulalar.

1-misol

Samolyotning ikkita nuqtasi berilgan va . Vektor koordinatalarini toping

Yechim: tegishli formula bo'yicha:

Shu bilan bir qatorda, quyidagi yozuvdan foydalanish mumkin:

Estetiklar buni hal qiladi:

Shaxsan men yozuvning birinchi versiyasiga o‘rganib qolganman.

Javob:

Shartga ko'ra, chizma yaratish shart emas edi (bu analitik geometriya muammolari uchun xos), ammo manikyurlar uchun ba'zi fikrlarni aniqlashtirish uchun men dangasa bo'lmayman:

Siz, albatta, tushunishingiz kerak nuqta koordinatalari va vektor koordinatalari o'rtasidagi farq:

Nuqta koordinatalari- bu to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi oddiy koordinatalar. Ballarni qo'ying koordinata tekisligi Menimcha, buni 5-6-sinfdan boshlab hamma qila oladi. Har bir nuqtaning samolyotda qat'iy o'rni bor va ularni hech qanday joyga ko'chirish mumkin emas.

Vektorning koordinatalari- bu uning asosga ko'ra kengayishi, bu holda. Har qanday vektor bepul, shuning uchun agar kerak bo'lsa, biz uni tekislikning boshqa nuqtasidan osongina uzoqlashtirishimiz mumkin. Qizig'i shundaki, vektorlar uchun siz o'qlarni yoki to'rtburchaklar koordinatalar tizimini umuman qurishingiz shart emas, sizga faqat asos kerak, bu holda tekislikning ortonormal asosi.

Nuqtalarning koordinatalari va vektorlar koordinatalarining yozuvlari o'xshash ko'rinadi: , va koordinatalarning ma'nosi mutlaqo boshqacha, va siz bu farqni yaxshi bilishingiz kerak. Bu farq, albatta, kosmosga ham tegishli.

Xonimlar va janoblar, keling, qo'llarimizni to'ldiraylik:

2-misol

a) Ballar va beriladi. Vektorlarni toping va .
b) Ballar beriladi Va . Vektorlarni toping va .
c) Ballar va beriladi. Vektorlarni toping va .
d) ball beriladi. Vektorlarni toping .

Balki bu yetarlidir. Bular siz o'zingiz qaror qilishingiz uchun misollar, ularni e'tiborsiz qoldirmaslikka harakat qiling, bu o'z samarasini beradi ;-). Chizmalar qilishning hojati yo'q. Dars oxiridagi yechimlar va javoblar.

Analitik geometriya masalalarini yechishda nima muhim?“Ikki ortiqcha ikki nolga teng” degan mohirona xatoga yo'l qo'ymaslik uchun O'TA Ehtiyotkor bo'lish kerak. Agar biror joyda xato qilsam, darhol uzr so'rayman =)

Segment uzunligini qanday topish mumkin?

Uzunlik, yuqorida aytib o'tilganidek, modul belgisi bilan ko'rsatilgan.

Agar tekislikning ikkita nuqtasi va berilgan bo'lsa, u holda segment uzunligini formuladan foydalanib hisoblash mumkin

Agar fazoda ikkita nuqta va berilgan bo'lsa, u holda segmentning uzunligi formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin

Eslatma: Tegishli koordinatalar almashtirilsa, formulalar to'g'ri bo'lib qoladi: va , lekin birinchi variant standartroq

3-misol

Yechim: tegishli formula bo'yicha:

Javob:

Aniqlik uchun men rasm chizaman

Chiziq segmenti - bu vektor emas, va, albatta, siz uni boshqa joyga ko'chira olmaysiz. Bundan tashqari, agar siz masshtabga chizsangiz: 1 birlik. = 1 sm (ikkita daftar xujayrasi), keyin olingan javobni segmentning uzunligini to'g'ridan-to'g'ri o'lchash orqali oddiy o'lchagich bilan tekshirish mumkin.

Ha, yechim qisqa, lekin unda yana bir nechta muhim fikrlarni aniqlab bermoqchiman:

Birinchidan, javobda biz o'lchamni qo'yamiz: "birliklar". Shart NIMA ekanligini, millimetr, santimetr, metr yoki kilometrni aytmaydi. Shuning uchun, matematik jihatdan to'g'ri echim umumiy formula bo'ladi: "birliklar" - "birliklar" deb qisqartiriladi.

Ikkinchidan, takrorlaymiz maktab materiali, bu nafaqat ko'rib chiqilgan muammo uchun foydalidir:

e'tibor bering muhim texnik texnika – multiplikatorni ildiz ostidan olib tashlash. Hisob-kitoblar natijasida bizda natija bor va yaxshi matematik uslub omilni ildiz ostidan olib tashlashni o'z ichiga oladi (agar iloji bo'lsa). Batafsilroq, jarayon quyidagicha ko'rinadi: . Albatta, javobni o‘z holicha qoldirish xato bo‘lmaydi – lekin bu, albatta, kamchilik va o‘qituvchining gap-so‘zlari uchun jiddiy dalil bo‘lardi.

Bu erda boshqa keng tarqalgan holatlar:

Ko'pincha ildizda etarli katta raqam, Masalan . Bunday hollarda nima qilish kerak? Kalkulyator yordamida sonning 4 ga bo'linishini tekshiramiz: . Ha, u butunlay bo'lingan, shunday qilib: . Yoki bu raqamni yana 4 ga bo'lish mumkinmi? . Shunday qilib: . Raqamning oxirgi raqami toq, shuning uchun uchinchi marta 4 ga bo'lish ishlamasligi aniq. Keling, to'qqizga bo'lishga harakat qilaylik: . Natijada:
Tayyor.

Xulosa: agar ildiz ostida biz bir butun sifatida chiqarib bo'lmaydigan raqamni olsak, u holda biz koeffitsientni ildiz ostidan olib tashlashga harakat qilamiz - kalkulyator yordamida raqamning bo'linishini tekshiramiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49 va boshqalar.

Turli muammolarni hal qilishda ildizlar tez-tez uchrab turadi; o'qituvchining sharhlari asosida yechimlarni yakunlashda past baho va keraksiz muammolarni oldini olish uchun har doim ildiz ostidan omillarni ajratib olishga harakat qiling.

Keling, kvadrat ildizlarni va boshqa kuchlarni takrorlaymiz:

Darajalar bilan harakatlar qoidalari umumiy ko'rinish algebra bo'yicha maktab darsligida topish mumkin, lekin menimcha, berilgan misollardan hamma narsa yoki deyarli hamma narsa allaqachon aniq.

Kosmosdagi segment bilan mustaqil hal qilish vazifasi:

4-misol

Ballar va beriladi. Segment uzunligini toping.

Yechim va javob dars oxirida.

Vektor uzunligini qanday topish mumkin?

Agar tekislik vektori berilgan bo'lsa, uning uzunligi formula bo'yicha hisoblanadi.

Agar fazo vektori berilgan bo'lsa, uning uzunligi formula bo'yicha hisoblanadi .

Ushbu maqolada biz ko'plab geometriya muammolarini oddiy arifmetikaga qisqartirish imkonini beradigan bitta "sehrli tayoqcha" ni muhokama qilishni boshlaymiz. Bu "tayoq" hayotingizni ancha osonlashtirishi mumkin, ayniqsa fazoviy figuralar, bo'limlar va hokazolarni qurishda ishonchingiz komil bo'lmaganda. Bularning barchasi ma'lum tasavvur va amaliy ko'nikmalarni talab qiladi. Biz bu erda ko'rib chiqa boshlaydigan usul sizga barcha turdagi geometrik konstruktsiyalardan va mulohazalardan deyarli butunlay mavhum bo'lishga imkon beradi. Usul deyiladi "koordinata usuli". Ushbu maqolada biz quyidagi savollarni ko'rib chiqamiz:

1. Koordinata tekisligi
2. Samolyotdagi nuqtalar va vektorlar
3. Ikki nuqtadan vektorni qurish
4. Vektor uzunligi (ikki nuqta orasidagi masofa).
5. Segment o'rtasining koordinatalari
6. Vektorlarning nuqta mahsuloti
7. Ikki vektor orasidagi burchak

O'ylaymanki, siz koordinata usuli nima uchun bunday deb nomlanganini allaqachon taxmin qilgansiz? To'g'ri, u geometrik jismlar bilan emas, balki ular bilan ishlagani uchun shunday nom oldi raqamli xususiyatlar(koordinatalar). Va geometriyadan algebraga o'tishga imkon beradigan transformatsiyaning o'zi koordinatalar tizimini joriy etishdan iborat. Agar dastlabki rasm tekis bo'lsa, u holda koordinatalar ikki o'lchovli, agar rasm uch o'lchamli bo'lsa, u holda koordinatalar uch o'lchovli bo'ladi. Ushbu maqolada biz faqat ikki o'lchovli ishni ko'rib chiqamiz. Va maqolaning asosiy maqsadi sizga koordinata usulining ba'zi asosiy usullaridan qanday foydalanishni o'rgatishdir (ular ba'zan Yagona davlat imtihonining B qismidagi planimetriya bo'yicha muammolarni hal qilishda foydali bo'ladi). Ushbu mavzu bo'yicha keyingi ikkita bo'lim C2 (stereometriya muammosi) muammolarini hal qilish usullarini muhokama qilishga bag'ishlangan.

Koordinata usulini muhokama qilishni qaerdan boshlash mantiqan to'g'ri keladi? Ehtimol, koordinatalar tizimi tushunchasidan. U bilan birinchi marta uchrashganingizni eslang. Menimcha, 7-sinfda siz borliq haqida bilganingizda chiziqli funksiya, Masalan. Eslatib o'taman, siz uni nuqta-nuqta qurgansiz. Esingizdami? Siz ixtiyoriy raqamni tanladingiz, uni formulaga almashtirdingiz va shu tarzda hisoblab chiqdingiz. Masalan, agar, keyin, agar, keyin va hokazo. Oxirida nima oldingiz? Va siz koordinatali ballarni oldingiz: va. Keyinchalik, siz "xoch" (koordinatalar tizimi) chizdingiz, undagi masshtabni tanladingiz (birlik segmenti sifatida qancha katakchaga ega bo'lasiz) va unda olingan nuqtalarni belgiladingiz, keyin ularni to'g'ri chiziq bilan bog'ladingiz; natijada chiziq funksiyaning grafigi.

Bu erda sizga batafsilroq tushuntirilishi kerak bo'lgan bir nechta fikrlar mavjud:

1. Chizmada hamma narsa chiroyli va ixcham tarzda joylashishi uchun siz qulaylik uchun bitta segmentni tanlaysiz.

2. O'q chapdan o'ngga, o'q esa pastdan yuqoriga o'tishi qabul qilinadi

3. Ular to’g’ri burchak ostida kesishadi va ularning kesishish nuqtasi koordinata deyiladi. Bu harf bilan ko'rsatilgan.

4. Nuqta koordinatalarini yozishda, masalan, qavslar ichida chap tomonda nuqtaning o'q bo'ylab koordinatasi, o'ng tomonida esa o'q bo'ylab. Xususan, bu shunchaki nuqtada degan ma'noni anglatadi

5. Koordinata o'qidagi istalgan nuqtani ko'rsatish uchun uning koordinatalarini (2 ta raqam) ko'rsatish kerak.

6. O'qda yotgan har qanday nuqta uchun,

7. O'qda yotgan har qanday nuqta uchun,

8. O'q x o'qi deyiladi

9. O'q y o'qi deb ataladi

Endi keyingi bosqichga o'tamiz: ikkita nuqtani belgilang. Keling, bu ikki nuqtani segment bilan bog'laymiz. Va biz o'qni nuqtadan nuqtaga segmentni chizayotgandek qo'yamiz: ya'ni biz segmentimizni yo'naltiramiz!

Boshqa yo'nalishli segment nima deb nomlanganini eslaysizmi? To'g'ri, bu vektor deyiladi!

Shunday qilib, agar biz nuqtani nuqtaga bog'lasak, va boshi A nuqtasi bo'ladi va oxiri B nuqtasi bo'ladi, keyin vektorni olamiz. Siz ham bu qurilishni 8-sinfda qilgan edingizmi?

Ma'lum bo'lishicha, vektorlar ham nuqtalar kabi ikkita raqam bilan belgilanishi mumkin: bu raqamlar vektor koordinatalari deb ataladi. Savol: Sizningcha, vektorning koordinatalarini topish uchun uning boshi va oxiri koordinatalarini bilish kifoya qiladimi? Ma'lum bo'lishicha, ha! Va bu juda oddiy tarzda amalga oshiriladi:

Shunday qilib, vektorda nuqta boshi va nuqta oxiri bo'lganligi sababli vektor quyidagi koordinatalarga ega:

Masalan, agar, u holda vektorning koordinatalari

Endi teskarisini qilamiz, vektorning koordinatalarini topamiz. Buning uchun nimani o'zgartirishimiz kerak? Ha, siz boshi va oxirini almashtirishingiz kerak: endi vektorning boshlanishi nuqtada, oxiri esa nuqtada bo'ladi. Keyin:

Ehtiyotkorlik bilan qarang, vektorlar va o'rtasidagi farq nima? Ularning yagona farqi koordinatalardagi belgilardir. Ular qarama-qarshidir. Bu fakt odatda shunday yoziladi:

Ba'zan vektorning qaysi nuqtasi boshi va qaysisi oxiri ekanligi aniq ko'rsatilmagan bo'lsa, vektorlar ikkitadan ko'p bilan belgilanadi. bosh harflar bilan, va bitta kichik harf, masalan: , va hokazo.

Endi biroz amaliyot O'zingiz va quyidagi vektorlarning koordinatalarini toping:

Imtihon:

Endi biroz qiyinroq muammoni hal qiling:

Bir nuqtada boshlanishi bo'lgan vektor ko-or-di-na-sizga ega. Abs-cis-su nuqtalarini toping.

Hammasi juda prozaik: nuqta koordinatalari bo'lsin. Keyin

Men tizimni vektor koordinatalari nima ekanligini aniqlashga asoslanib tuzdim. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi. Bizni abscissa qiziqtiradi. Keyin

Javob:

Vektorlar bilan yana nima qila olasiz? Ha, deyarli hamma narsa oddiy raqamlar bilan bir xil (bundan tashqari siz bo'lolmaysiz, lekin siz ikki yo'l bilan ko'paytirishingiz mumkin, ulardan birini birozdan keyin muhokama qilamiz)

1. Vektorlarni bir-biriga qo'shish mumkin
2. Vektorlarni bir-biridan ayirish mumkin
3. Vektorlarni ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish (yoki bo'lish) mumkin
4. Vektorlarni bir-biriga ko'paytirish mumkin

Bu operatsiyalarning barchasi juda aniq geometrik tasvirga ega. Masalan, qo'shish va ayirish uchun uchburchak (yoki parallelogramm) qoidasi:

Songa koʻpaytirilganda yoki boʻlinganda vektor choʻziladi yoki qisqaradi yoki yoʻnalishini oʻzgartiradi:

Biroq, bu erda biz koordinatalar bilan nima sodir bo'lishi haqidagi savolga qiziqamiz.

1. Ikki vektorni qo'shishda (ayirishda) ularning koordinatalarini element bo'yicha qo'shamiz (ayitamiz). Ya'ni:

2. Vektorni songa ko'paytirishda (bo'lishda) uning barcha koordinatalari shu raqamga ko'paytiriladi (bo'linadi):

Masalan:

· Ko-or-di-nat asr-to-ra miqdorini toping.

Avval vektorlarning har birining koordinatalarini topamiz. Ularning ikkalasining kelib chiqishi bir xil - kelib chiqish nuqtasi. Ularning oxiri boshqacha. Keyin, . Endi vektorning koordinatalarini hisoblaymiz.Unda hosil bo'lgan vektor koordinatalarining yig'indisi teng bo'ladi.

Javob:

Endi quyidagi muammoni o'zingiz hal qiling:

· Vektor koordinatalarining yig‘indisini toping

Biz tekshiramiz:

Endi quyidagi masalani ko'rib chiqamiz: bizda koordinatalar tekisligida ikkita nuqta bor. Ularning orasidagi masofani qanday topish mumkin? Birinchi nuqta bo'lsin, ikkinchisi. Ularning orasidagi masofani bilan belgilaymiz. Aniqlik uchun quyidagi rasmni tuzamiz:

Men nima qildim? Birinchidan, men ulandim nuqta va, a ham bir nuqtadan o'qqa parallel chiziq chizdim va bir nuqtadan o'qga parallel chiziq chizdim. Ular bir nuqtada kesishib, ajoyib figurani hosil qildilarmi? Uning nimasi o‘ziga xos? Ha, siz va men deyarli hamma narsani bilamiz to'g'ri uchburchak. Albatta, Pifagor teoremasi. Kerakli segment bu uchburchakning gipotenuzasi, segmentlari esa oyoqlardir. Nuqtaning koordinatalari qanday? Ha, ularni rasmdan topish oson: segmentlar o'qlarga parallel bo'lgani uchun va mos ravishda ularning uzunliklarini topish oson: agar segmentlarning uzunliklarini mos ravishda bilan belgilasak, u holda

Endi Pifagor teoremasidan foydalanamiz. Biz oyoqlarning uzunligini bilamiz, biz gipotenuzani topamiz:

Shunday qilib, ikki nuqta orasidagi masofa koordinatalardan kvadrat farqlar yig'indisining ildizidir. Yoki - ikki nuqta orasidagi masofa ularni bog'laydigan segmentning uzunligi. Nuqtalar orasidagi masofa yo'nalishga bog'liq emasligini ko'rish oson. Keyin:

Bu erdan biz uchta xulosa chiqaramiz:

Keling, ikkita nuqta orasidagi masofani hisoblash bo'yicha bir oz mashq qilaylik:

Masalan, agar, u holda va orasidagi masofa teng

Yoki boshqa yo'l bilan boraylik: vektorning koordinatalarini toping

Va vektor uzunligini toping:

Ko'rib turganingizdek, xuddi shunday!

Endi biroz mashq qiling:

Vazifa: ko'rsatilgan nuqtalar orasidagi masofani toping:

Biz tekshiramiz:

Xuddi shu formuladan foydalangan holda yana bir nechta muammo bor, garchi ular bir oz boshqacha eshitiladi:

1. Qovoq uzunligining kvadratini toping.

2. Qovoq uzunligining kvadratini toping

Menimcha, siz ular bilan qiyinchiliksiz muomala qildingizmi? Biz tekshiramiz:

1. Va bu diqqat uchun) Biz vektorlarning koordinatalarini avvalroq topdik: . Keyin vektor koordinatalariga ega bo'ladi. Uning uzunligi kvadrati quyidagilarga teng bo'ladi:

2. Vektorning koordinatalarini toping

Keyin uning uzunligi kvadrati bo'ladi

Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi? Oddiy arifmetika, boshqa hech narsa emas.

Quyidagi muammolarni aniq tasniflash mumkin emas, ular ko'proq umumiy bilim va oddiy rasmlarni chizish qobiliyatiga tegishli.

1. Nuqtani abscissa o'qi bilan bog'lovchi kesmadan burchak sinusini toping.

Va

Bu erda qanday davom etamiz? Biz o'q va orasidagi burchakning sinusini topishimiz kerak. Sinusni qayerdan izlashimiz mumkin? To'g'ri, to'g'ri uchburchakda. Xo'sh, nima qilishimiz kerak? Bu uchburchakni yarating!

Nuqtaning koordinatalari va bo'lgani uchun, u holda segment ga teng, va segment. Biz burchakning sinusini topishimiz kerak. Eslatib o'taman, sinus - qarama-qarshi tomonning gipotenuzaga nisbati

Bizga nima qilish kerak? Gipotenuzani toping. Buni ikki yo'l bilan qilishingiz mumkin: Pifagor teoremasidan foydalanish (oyoqlari ma'lum!) yoki ikkita nuqta orasidagi masofa uchun formuladan foydalanish (aslida, birinchi usul bilan bir xil narsa!). Men ikkinchi yo'lga boraman:

Javob:

Keyingi vazifa sizga yanada osonroq ko'rinadi. U nuqtaning koordinatalarida.

Vazifa 2. Per-pen-di-ku-lyar ab-ciss o'qiga tushirilgan nuqtadan. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Keling, rasm chizamiz:

Perpendikulyarning asosi uning x o'qi (o'qi) bilan kesishgan nuqtasidir, men uchun bu nuqta. Rasmda uning koordinatalari borligi ko'rsatilgan: . Bizni abscissa - ya'ni "x" komponenti qiziqtiradi. U teng.

Javob: .

Vazifa 3. Oldingi masala shartlarida nuqtadan koordinata o'qlarigacha bo'lgan masofalar yig'indisini toping.

Agar nuqtadan o'qlargacha bo'lgan masofa qancha ekanligini bilsangiz, vazifa odatda elementardir. Sen bilasan? Umid qilamanki, lekin baribir sizga eslataman:

Shunday qilib, yuqoridagi chizilgan rasmimda men allaqachon bitta perpendikulyar chizganmanmi? U qaysi o'qda? O'qga. Va keyin uning uzunligi qancha? U teng. Endi o'z o'qiga perpendikulyar chizib, uning uzunligini toping. Bu teng bo'ladi, to'g'rimi? Keyin ularning yig'indisi teng bo'ladi.

Javob: .

Vazifa 4. 2-topshiriq shartlarida nuqtaning abtsissa o'qiga nisbatan simmetrik nuqta ordinatasini toping.

O'ylaymanki, simmetriya nima ekanligi sizga intuitiv ravishda tushunarli? Ko'pgina ob'ektlarda mavjud: ko'plab binolar, stollar, samolyotlar, ko'p geometrik raqamlar: shar, silindr, kvadrat, romb va boshqalar.. Taxminan aytganda, simmetriyani quyidagicha tushunish mumkin: figura ikki (yoki undan ortiq) bir xil yarmidan iborat. Bu simmetriya eksenel simmetriya deb ataladi. Xo'sh, eksa nima? Aynan shu chiziq bo'ylab raqamni, nisbatan aytganda, teng yarmiga "kesish" mumkin (bu rasmda simmetriya o'qi to'g'ri):

Endi vazifamizga qaytaylik. Biz o'qga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtani qidirayotganimizni bilamiz. Keyin bu o'q simmetriya o'qi hisoblanadi. Bu shuni anglatadiki, biz o'q segmentni ikkita teng qismga kesib tashlaydigan nuqtani belgilashimiz kerak. Bunday nuqtani o'zingiz belgilashga harakat qiling. Endi mening yechimim bilan solishtiring:

Siz uchun ham xuddi shunday chiqdimi? Yaxshi! Bizni topilgan nuqtaning ordinatasi qiziqtiradi. Bu teng

Javob:

Endi ayting-chi, bir necha soniya o'ylab ko'ring, A nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning ordinataga nisbatan abscissasi qanday bo'ladi? Sizning javobingiz nima? To'g'ri javob: .

Umuman olganda, qoida quyidagicha yozilishi mumkin:

Abtsissa o'qiga nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalarga ega:

Ordinata o'qiga nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqta koordinatalarga ega:

Xo'sh, endi bu butunlay qo'rqinchli vazifa: nuqtaning koordinatalarini koordinatalarini koordinatalarini koordinatalarini toping. Siz avval o'zingiz o'ylab ko'ring, keyin mening rasmimni ko'ring!

Javob:

Hozir parallelogramm muammosi:

5-topshiriq: nuqtalar ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma ko'rinadi. Or-di-on-o'sha nuqtani toping.

Siz bu muammoni ikki yo'l bilan hal qilishingiz mumkin: mantiq va koordinata usuli. Avval koordinata usulidan foydalanaman, keyin esa uni qanday qilib boshqacha yechish mumkinligini aytaman.

Nuqtaning abssissasi teng ekanligi aniq. (u nuqtadan abscissa o'qiga chizilgan perpendikulyarda yotadi). Biz ordinatani topishimiz kerak. Keling, bizning raqamimiz parallelogramm ekanligidan foydalanaylik, bu shuni anglatadiki. Ikki nuqta orasidagi masofa formulasi yordamida segment uzunligini topamiz:

Nuqtani eksa bilan bog'laydigan perpendikulyarni tushiramiz. Men kesishish nuqtasini harf bilan belgilayman.

Segment uzunligi teng. (bu nuqtani muhokama qilgan muammoni o'zingiz toping), keyin Pifagor teoremasi yordamida segment uzunligini topamiz:

Segmentning uzunligi uning ordinatasiga to'liq mos keladi.

Javob: .

Boshqa yechim (men uni tasvirlaydigan rasmni beraman)

Yechim jarayoni:

1. Xulq-atvor

2. Nuqta va uzunlik koordinatalarini toping

3. Buni isbotlang.

Boshqasi segment uzunligi muammosi:

Nuqtalar uchburchakning tepasida paydo bo'ladi. Uning o'rta chizig'ining uzunligini toping, parallel.

Uchburchakning o'rta chizig'i nima ekanligini eslaysizmi? Keyin bu vazifa siz uchun oddiy. Esingizda bo'lmasa, men sizga eslataman: uchburchakning o'rta chizig'i qarama-qarshi tomonlarning o'rta nuqtalarini bog'laydigan chiziqdir. U asosga parallel va uning yarmiga teng.

Baza segmentdir. Biz uning uzunligini avvalroq izlashimiz kerak edi, u teng. Keyin o'rta chiziqning uzunligi yarmi katta va teng bo'ladi.

Javob: .

Izoh: bu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin, biz biroz keyinroq murojaat qilamiz.

Ayni paytda, bu erda siz uchun bir nechta muammolar bor, ular ustida mashq qiling, ular juda oddiy, ammo ular koordinata usulidan foydalanishni yaxshilashga yordam beradi!

1. Nuqtalar tra-pe-tionlarning yuqori qismidir. Uning o'rta chizig'ining uzunligini toping.

2. Nuqtalar va ko'rinishlar ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Or-di-on-o'sha nuqtani toping.

3. Nuqtani va bog`lovchi kesimdan uzunlikni toping

4. Koordinatsiya tekisligidagi rangli figuraning orqasidagi maydonni toping.

5. Nuqtadan markazi na-cha-le ko-or-di-natda boʻlgan aylana oʻtadi. Uning ra-di-usni toping.

6. Aylananing-di-te ra-di-usni toping, to'g'ri burchakli-no-ka haqida ta'rif-san-noy, biror narsaning tepalari ko- yoki -di-na-siz juda mas'ulsiz.

Yechimlar:

1. Ma'lumki, trapetsiyaning o'rta chizig'i uning asoslari yig'indisining yarmiga teng. Baza teng, asos esa. Keyin

Javob:

2. Bu masalani yechishning eng oson yo‘li shuni qayd etishdir (paralelogramma qoidasi). Vektorlarning koordinatalarini hisoblash qiyin emas: . Vektorlarni qo'shishda koordinatalar qo'shiladi. Keyin koordinatalar mavjud. Nuqta ham shu koordinatalarga ega, chunki vektorning kelib chiqishi koordinatali nuqtadir. Biz ordinataga qiziqamiz. U teng.

Javob:

3. Biz darhol ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga muvofiq harakat qilamiz:

Javob:

4. Rasmga qarang va ayting-chi, soyali maydon qaysi ikki raqam orasiga «sendvichlangan»? U ikkita kvadrat orasiga o'ralgan. Keyin kerakli raqamning maydoni katta kvadratning maydonidan kichik kvadratning maydoniga teng bo'ladi. Kichik kvadratning yon tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment bo'lib, uning uzunligi

Keyin kichik kvadratning maydoni

Katta kvadrat bilan ham xuddi shunday qilamiz: uning tomoni nuqtalarni bog'laydigan segment va uning uzunligi

Keyin katta kvadratning maydoni

Formuladan foydalanib, kerakli raqamning maydonini topamiz:

Javob:

5. Agar aylana koordinata markaziga ega bo'lsa va nuqtadan o'tsa, uning radiusi aynan bo'ladi uzunligiga teng segment (chizma qiling va nima uchun bu aniq ekanligini tushunasiz). Keling, ushbu segmentning uzunligini topamiz:

Javob:

6. Ma'lumki, to'rtburchak atrofida aylana radiusi uning diagonalining yarmiga teng. Keling, ikkita diagonaldan birining uzunligini topaylik (oxir-oqibat, to'rtburchakda ular teng!)

Javob:

Xo'sh, siz hamma narsaga dosh berdingizmi? Buni aniqlash juda qiyin emas edi, shunday emasmi? Bu erda faqat bitta qoida bor - vizual rasm yaratish va undan barcha ma'lumotlarni "o'qish".

Bizda juda oz qoldi. Men muhokama qilmoqchi bo'lgan yana ikkita fikr bor.

Keling, ushbu oddiy muammoni hal qilishga harakat qilaylik. Ikki ball bo'lsin va berilsin. Segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini toping. Ushbu muammoning echimi quyidagicha: nuqta kerakli o'rta bo'lsin, keyin uning koordinatalari mavjud:

Ya'ni: segment o'rtasining koordinatalari = segment uchlarining tegishli koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymati.

Bu qoida juda oddiy va odatda talabalar uchun qiyinchilik tug'dirmaydi. Keling, qanday muammolar va qanday ishlatilishini ko'rib chiqaylik:

1. Kesimdan-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny toping, nuqtani ulang va.

2. Nuqtalar dunyoning eng yuqori nuqtasi bo'lib ko'rinadi. Uning dia-go-na-ley ning per-re-se-che-niya-di-te or-di-na-tu nuqtalarini toping.

3. Top-di-te abs-cis-su aylana markazi, tasvir-san-noy haqida to'rtburchaklar-no-ka, biror narsaning tepalari ko-or-di-na-siz juda mas'uliyatli-lekin bor.

Yechimlar:

1. Birinchi muammo oddiygina klassik. Biz segmentning o'rtasini aniqlash uchun darhol davom etamiz. Uning koordinatalari bor. Ordinata teng.

Javob:

2. Bu to‘rtburchakning parallelogramm (hatto romb ham!) ekanligini ko‘rish oson. Tomonlarning uzunligini hisoblab, ularni bir-biri bilan solishtirib, buni o'zingiz isbotlashingiz mumkin. Parallelogrammalar haqida nima bilaman? Uning diagonallari kesishish nuqtasi bilan yarmiga bo'lingan! Ha! Xo'sh, diagonallarning kesishish nuqtasi nima? Bu har qanday diagonalning o'rtasi! Men, xususan, diagonalni tanlayman. Keyin nuqta koordinatalariga ega bo'ladi Nuqtaning ordinatasi ga teng.

Javob:

3. To‘g‘ri to‘rtburchak atrofida chizilgan aylananing markazi nimaga to‘g‘ri keladi? U diagonallarining kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi. To'rtburchakning diagonallari haqida nimalarni bilasiz? Ular teng va kesishish nuqtasi ularni yarmiga bo'ladi. Vazifa avvalgisiga qisqartirildi. Masalan, diagonalni olaylik. Agar aylananing markazi bo'lsa, u holda o'rta nuqta. Men koordinatalarni qidiryapman: abscissa teng.

Javob:

Endi o'zingiz bir oz mashq qiling, men har bir muammoga javob beraman, shunda siz o'zingizni sinab ko'rishingiz mumkin.

1. Aylananing-di-te ra-di-usni toping, uchburchak-no-ka haqida tasvir-san-noy, biror narsaning tepalarida ko-or-di -no mister bor.

2. Aylananing o‘sha markazini toping, tepalari koordinatalari bo‘lgan uchburchak-no-ka haqida-san-noy tasvirlang.

3. Ab-ciss o'qiga tegib turadigan nuqtada markazi bo'lgan doira qanday ra-di-u-sa bo'lishi kerak?

4. O‘qning qayta-se-se-se-sektsiyasining o‘sha yoki o‘sha nuqtasini toping va kesmadan, nuqtani bog‘lang va

Javoblar:

Hammasi muvaffaqiyatli bo'ldimi? Men bunga haqiqatan ham umid qilaman! Endi - oxirgi bosish. Endi ayniqsa ehtiyot bo'ling. Men hozir tushuntiradigan material nafaqat bevosita bog'liq oddiy vazifalar B qismidan koordinata usuliga, lekin C2 muammoning hamma joyida ham uchraydi.

Qaysi va'dalarimni hali bajarmaganman? Esingizdami, vektorlar ustida qanday operatsiyalarni kiritishga va'da berganman va oxirida qaysilarini kiritganman? Hech narsani unutmaganimga ishonchingiz komilmi? Unutdim! Vektorni ko'paytirish nimani anglatishini tushuntirishni unutibman.

Vektorni vektorga ko'paytirishning ikki yo'li mavjud. Tanlangan usulga qarab, biz turli tabiatdagi ob'ektlarni olamiz:

O'zaro mahsulot juda aqlli tarzda amalga oshiriladi. Buni qanday qilish kerak va nima uchun kerak, biz keyingi maqolada muhokama qilamiz. Va bu erda biz skalyar mahsulotga e'tibor qaratamiz.

Hisoblashning ikkita usuli mavjud:

Siz taxmin qilganingizdek, natija bir xil bo'lishi kerak! Shunday qilib, birinchi usulni ko'rib chiqaylik:

Koordinatalar orqali nuqta mahsuloti

Toping: - skalyar mahsulot uchun umumiy qabul qilingan belgi

Hisoblash formulasi quyidagicha:

Ya'ni, skalyar mahsulot = vektor koordinatalari ko'paytmalarining yig'indisi!

Misol:

Top-di-te

Yechim:

Har bir vektorning koordinatalarini topamiz:

Skalar mahsulotni formuladan foydalanib hisoblaymiz:

Javob:

Qarang, hech qanday murakkab narsa yo'q!

Xo'sh, endi o'zingiz sinab ko'ring:

· Asrlar pro-iz-ve-de-nie skalyarni toping va

Siz boshqardingizmi? Ehtimol, siz kichik ovni payqadingizmi? Keling, tekshiramiz:

Oldingi masaladagi kabi vektor koordinatalari! Javob: .

Koordinataga qo'shimcha ravishda, skalyar mahsulotni hisoblashning yana bir usuli mavjud, ya'ni vektorlarning uzunligi va ular orasidagi burchakning kosinuslari orqali:

vektorlar orasidagi burchakni bildiradi.

Ya'ni, skalyar ko'paytma vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinuslari ko'paytmasiga teng.

Nima uchun bizga bu ikkinchi formula kerak, agar bizda birinchisi bo'lsa, u ancha sodda, hech bo'lmaganda unda kosinuslar yo'q. Va bu birinchi va ikkinchi formulalardan siz va men vektorlar orasidagi burchakni qanday topishni xulosa qilishimiz uchun kerak!

Let Keyin vektor uzunligi formulasini eslaylik!

Agar men ushbu ma'lumotlarni skalyar mahsulot formulasiga almashtirsam, men quyidagilarni olaman:

Ammo boshqa yo'l bilan:

Xo'sh, siz va men nima oldik? Endi bizda ikkita vektor orasidagi burchakni hisoblash imkonini beruvchi formula mavjud! Ba'zan qisqalik uchun shunday yoziladi:

Ya'ni vektorlar orasidagi burchakni hisoblash algoritmi quyidagicha:

1. Koordinatalar orqali skalyar hosilani hisoblang
2. Vektorlarning uzunliklarini toping va ularni ko'paytiring
3. 1-bandning natijasini 2-bandning natijasiga bo'ling

Keling, misollar bilan mashq qilaylik:

1. Ko'z qovoqlari orasidagi burchakni toping va. Javobni grad-du-sahda bering.

2. Oldingi masala shartlarida vektorlar orasidagi kosinusni toping

Keling, shunday qilaylik: birinchi muammoni hal qilishga yordam beraman, ikkinchisini esa o'zingiz qilishga harakat qiling! Rozimisiz? Keyin boshlaylik!

1. Bu vektorlar bizning eski do'stlarimizdir. Biz allaqachon ularning skalyar mahsulotini hisoblab chiqdik va u teng edi. Ularning koordinatalari: , . Keyin ularning uzunligini topamiz:

Keyin vektorlar orasidagi kosinusni qidiramiz:

Burchakning kosinusu nimaga teng? Bu burchak.

Javob:

Xo'sh, endi ikkinchi masalani o'zingiz hal qiling va keyin solishtiring! Men juda qisqacha yechim beraman:

2. koordinatalari bor, koordinatalari bor.

vektorlar orasidagi burchak bo'lsin, keyin

Javob:

Shuni ta'kidlash kerakki, B qismidagi to'g'ridan-to'g'ri vektorlar va koordinatalar usuli bo'yicha masalalar imtihon qog'ozi juda kam. Biroq, C2 muammolarining katta qismi koordinata tizimini joriy qilish orqali osonlikcha hal qilinishi mumkin. Shunday qilib, siz ushbu maqolani poydevor deb hisoblashingiz mumkin, uning asosida biz murakkab muammolarni hal qilishimiz kerak bo'lgan juda aqlli konstruktsiyalarni qilamiz.

KOORDINATLAR VA VEKTORLAR. O'RTA DARAJA

Siz va men koordinata usulini o'rganishda davom etamiz. Oxirgi qismda biz sizga imkon beradigan bir qator muhim formulalarni oldik:

1. Vektor koordinatalarini toping
2. Vektor uzunligini toping (muqobil ravishda: ikki nuqta orasidagi masofa)
3. Vektorlarni qo'shish va ayirish. Ularni haqiqiy songa ko'paytiring
4. Segmentning o'rta nuqtasini toping
5. Vektorlarning nuqta mahsulotini hisoblang
6. Vektorlar orasidagi burchakni toping

Albatta, butun koordinata usuli bu 6 nuqtaga to'g'ri kelmaydi. U analitik geometriya kabi fanning asosini yotadi, siz uni universitetda yaxshi bilasiz. Men faqat bitta davlatda muammolarni hal qilish imkonini beradigan poydevor qurmoqchiman. imtihon. Biz B qismidagi vazifalarni hal qildik. Endi butunlay yangi bosqichga o'tish vaqti keldi! Ushbu maqola C2 muammolarini hal qilish usuliga bag'ishlangan bo'lib, unda koordinatalar usuliga o'tish maqsadga muvofiqdir. Ushbu asoslilik muammoda nimani topish kerakligi va qanday raqam berilganligi bilan belgilanadi. Shunday qilib, agar savollar bo'lsa, men koordinata usulidan foydalanaman:

1. Ikki tekislik orasidagi burchakni toping
2. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping
3. Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchakni toping
4. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
5. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping
6. To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani toping
7. Ikki chiziq orasidagi masofani toping

Agar masala bayonida berilgan rasm aylanish jismi bo‘lsa (to‘p, silindr, konus...)

Koordinata usuli uchun mos raqamlar:

1. To'rtburchak parallelepiped
2. Piramida (uchburchak, to'rtburchak, olti burchakli)

Shuningdek, mening tajribamdan uchun koordinata usulini qo'llash noo'rin:

1. Kesma maydonlarni topish
2. Jismlarning hajmlarini hisoblash

Biroq, darhol shuni ta'kidlash kerakki, koordinata usuli uchun uchta "noqulay" holat amalda juda kam uchraydi. Ko'pgina vazifalarda, ayniqsa, siz uch o'lchamli konstruktsiyalarda unchalik yaxshi bo'lmasangiz (ba'zida juda murakkab bo'lishi mumkin) sizning qutqaruvchingizga aylanishi mumkin.

Men yuqorida sanab o'tgan barcha raqamlar qanday? Ular endi tekis emas, masalan, kvadrat, uchburchak, doira kabi, lekin hajmli! Shunga ko'ra, biz ikki o'lchovli emas, balki uch o'lchovli koordinatalar tizimini hisobga olishimiz kerak. Buni qurish juda oson: abscissa va ordinata o'qiga qo'shimcha ravishda biz boshqa o'qni - qo'llaniladigan o'qni kiritamiz. Rasmda ularning nisbiy holati sxematik ko'rsatilgan:

Ularning barchasi o'zaro perpendikulyar va bir nuqtada kesishadi, biz uni koordinatalarning kelib chiqishi deb ataymiz. Avvalgidek abscissa o'qini, ordinata o'qini - , kiritilgan qo'llaniladigan o'qni - ni belgilaymiz.

Agar ilgari tekislikdagi har bir nuqta ikkita raqam - abscissa va ordinata bilan tavsiflangan bo'lsa, u holda fazodagi har bir nuqta allaqachon uchta raqam bilan tasvirlangan - abscissa, ordinata va ilova. Masalan:

Shunga ko'ra, nuqtaning abssissasi teng, ordinatasi , ilovasi esa .

Ba'zan nuqtaning abssissasi nuqtaning abscissa o'qiga proyeksiyasi, ordinata - nuqtaning ordinata o'qiga proyeksiyasi, applikatsiya - nuqtaning qo'llaniladigan o'qga proyeksiyasi deb ham ataladi. Shunga ko'ra, agar nuqta berilgan bo'lsa, u holda koordinatali nuqta:

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

nuqtaning tekislikka proyeksiyasi deyiladi

Tabiiy savol tug'iladi: ikki o'lchovli holat uchun olingan barcha formulalar kosmosda haqiqiymi? Javob ha, ular adolatli va bir xil ko'rinishga ega. Kichik tafsilot uchun. O'ylaymanki, siz allaqachon qaysi biri ekanligini taxmin qilgansiz. Barcha formulalarda biz ilova o'qi uchun javob beradigan yana bir atama qo'shishimiz kerak. Aynan.

1. Ikki nuqta berilgan bo'lsa: , keyin:

• Vektor koordinatalari:
• Ikki nuqta orasidagi masofa (yoki vektor uzunligi)
• Segmentning o'rta nuqtasi koordinatalarga ega

2. Agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va, keyin:

• Ularning skalyar mahsuloti quyidagilarga teng:
• Vektorlar orasidagi burchakning kosinusu quyidagilarga teng:

Biroq, makon unchalik oddiy emas. Siz tushunganingizdek, yana bitta koordinatani qo'shish ushbu makonda "yashovchi" raqamlar spektriga sezilarli xilma-xillikni keltirib chiqaradi. Va keyingi rivoyat uchun men to'g'ri chiziqning ba'zi, taxminan aytganda, "umumlashtirish" bilan tanishtirishim kerak. Ushbu "umumlashtirish" samolyot bo'ladi. Samolyot haqida nimalarni bilasiz? Savolga javob berishga harakat qiling, samolyot nima? Buni aytish juda qiyin. Biroq, biz hammamiz intuitiv ravishda uning qanday ko'rinishini tasavvur qilamiz:

Taxminan aytganda, bu kosmosga yopishgan cheksiz "varaq". "Cheksizlik" samolyotning barcha yo'nalishlarda cho'zilishi, ya'ni uning maydoni cheksizlikka teng ekanligini tushunish kerak. Biroq, bu "qo'lda" tushuntirish samolyotning tuzilishi haqida eng kichik tasavvurga ega emas. Va u biz bilan qiziqadi.

Keling, geometriyaning asosiy aksiomalaridan birini eslaylik:

• to'g'ri chiziq tekislikning ikki xil nuqtasidan o'tadi va faqat bittasi:

Yoki uning kosmosdagi analogi:

Albatta, siz ikkita berilgan nuqtadan chiziq tenglamasini qanday chiqarishni eslaysiz, bu unchalik qiyin emas: agar birinchi nuqtada koordinatalar bo'lsa: ikkinchisi esa, chiziq tenglamasi quyidagicha bo'ladi:

Siz buni 7-sinfda olgansiz. Fazoda chiziq tenglamasi quyidagicha ko'rinadi: bizga koordinatali ikkita nuqta berilsin: , u holda ular orqali o'tadigan chiziq tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi:

Masalan, chiziq nuqtalardan o'tadi:

Buni qanday tushunish kerak? Buni quyidagicha tushunish kerak: nuqta chiziq ustida joylashgan bo'lsa, uning koordinatalari quyidagi tizimni qondirsa:

Bizni chiziq tenglamasi unchalik qiziqtirmaydi, lekin biz chiziqning yo'nalish vektorining juda muhim tushunchasiga e'tibor qaratishimiz kerak. - berilgan chiziqda yoki unga parallel bo'lgan nolga teng bo'lmagan har qanday vektor.

Masalan, ikkala vektor ham to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorlari. Chiziqda yotuvchi nuqta va uning yo‘nalishi vektori bo‘lsin. Keyin chiziq tenglamasini quyidagi shaklda yozish mumkin:

Yana bir bor, men to'g'ri chiziq tenglamasiga unchalik qiziqmayman, lekin men sizga yo'nalish vektori nima ekanligini eslab qolishingiz kerak! Yana bir marta: Bu chiziq ustida yoki unga parallel yotgan HAR QANDAY nolga teng vektor.

Olib tashlash berilgan uchta nuqtaga asoslangan tekislik tenglamasi endi unchalik ahamiyatsiz emas va odatda bu masala kursda ko'rib chiqilmaydi o'rta maktab. Lekin behuda! Murakkab muammolarni hal qilish uchun koordinata usuliga murojaat qilganimizda, bu usul juda muhimdir. Biroq, menimcha, siz yangi narsalarni o'rganishni xohlaysizmi? Bundan tashqari, siz odatda analitik geometriya kursida o'rganiladigan texnikadan qanday foydalanishni bilganingiz ma'lum bo'lganda, siz universitetdagi o'qituvchingizni hayratda qoldirishingiz mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Tekislik tenglamasi tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasidan unchalik farq qilmaydi, ya'ni u quyidagi ko'rinishga ega:

ba'zi raqamlar (barchasi nolga teng emas), lekin o'zgaruvchilar, masalan: va hokazo. Ko'rib turganingizdek, tekislik tenglamasi to'g'ri chiziq tenglamasidan (chiziqli funktsiya) unchalik farq qilmaydi. Biroq, siz va men nima bahslashganimizni eslaysizmi? Agar bizda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bo'lsa, unda tekislik tenglamasini ulardan noyob tarzda qayta qurish mumkinligini aytdik. Lekin qanday? Men buni sizga tushuntirishga harakat qilaman.

Chunki tekislikning tenglamasi:

Va nuqtalar ushbu tekislikka tegishli, keyin har bir nuqtaning koordinatalarini tekislik tenglamasiga almashtirganda, biz to'g'ri identifikatsiyani olishimiz kerak:

Shunday qilib, noma'lumlar bilan uchta tenglamani yechish kerak! Dilemma! Biroq, siz har doim shunday deb taxmin qilishingiz mumkin (buni amalga oshirish uchun siz bo'linishingiz kerak). Shunday qilib, biz uchta noma'lumli uchta tenglamani olamiz:

Biroq, biz bunday tizimni hal qilmaymiz, lekin undan kelib chiqadigan sirli iborani yozamiz:

Berilgan uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi

\[\chap| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiv)) \o'ng| = 0\]

STOP! Bu nima? Juda noodatiy modul! Biroq, sizning oldingizda ko'rayotgan ob'ektning modulga hech qanday aloqasi yo'q. Bu obyekt uchinchi tartibli determinant deb ataladi. Bundan buyon, siz tekislikdagi koordinatalar usuli bilan shug'ullanganingizda, xuddi shu determinantlarga tez-tez duch kelasiz. Uchinchi tartibli determinant nima? Ajabo, bu shunchaki raqam. Determinant bilan qaysi aniq raqamni solishtirishni tushunish qoladi.

Avval uchinchi tartibli determinantni umumiyroq shaklda yozamiz:

Ba'zi raqamlar qayerda. Bundan tashqari, birinchi indeks deganda biz satr raqamini, indeks deganda esa ustun raqamini tushunamiz. Masalan, bu shuni anglatadi berilgan raqam ikkinchi qator va uchinchi ustunning kesishmasida turadi. Keling, quyidagi savolni qo'yaylik: bunday determinantni qanday aniq hisoblaymiz? Ya'ni, qaysi aniq raqam bilan solishtiramiz? Uchinchi tartibli determinant uchun evristik (vizual) uchburchak qoidasi mavjud, u quyidagicha ko'rinadi:

1. Asosiy diagonal elementlarining mahsuloti (yuqori chap burchakdan pastki o'ngga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi asosiy diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning mahsulotiga "perpendikulyar". asosiy diagonali
2. Ikkilamchi diagonal elementlarining mahsuloti (yuqori o'ng burchakdan pastki chapga) birinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning ko'paytmasi ikkinchi darajali diagonalga "perpendikulyar" ikkinchi uchburchakni tashkil etuvchi elementlarning mahsulotiga "perpendikulyar". ikkilamchi diagonali
3. Keyin determinant va qadamda olingan qiymatlar orasidagi farqga teng bo'ladi

Agar bularning barchasini raqamlar bilan yozsak, quyidagi ifodani olamiz:

Biroq, bu shaklda hisoblash usulini eslab qolishning hojati yo'q, shunchaki uchburchaklarni va nimaga nima qo'shilishi va keyin nimadan nima ayirilishi haqidagi g'oyani boshingizda saqlash kifoya).

Keling, uchburchak usulini misol bilan ko'rsatamiz:

1. Aniqlovchini hisoblang:

Keling, nimani qo'shishimiz va nimani ayirishimizni aniqlaymiz:

Plyus bilan birga keladigan shartlar:

Bu asosiy diagonal: elementlarning mahsuloti teng

Birinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti teng

Ikkinchi uchburchak, "asosiy diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti teng

Uchta raqamni qo'shing:

Minus bilan kelgan shartlar

Bu yon diagonali: elementlarning mahsuloti teng

Birinchi uchburchak, "ikkilamchi diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti teng

Ikkinchi uchburchak, "ikkilamchi diagonalga perpendikulyar: elementlarning mahsuloti teng

Uchta raqamni qo'shing:

Bajarilishi kerak bo'lgan narsa "minus" shartlari yig'indisidan "ortiqcha" shartlar yig'indisini ayirishdir:

Shunday qilib,

Ko'rib turganingizdek, uchinchi darajali determinantlarni hisoblashda murakkab yoki g'ayritabiiy narsa yo'q. Faqat uchburchaklar haqida eslash va arifmetik xatolarga yo'l qo'ymaslik muhimdir. Endi uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling:

Biz tekshiramiz:

1. Asosiy diagonalga perpendikulyar bo'lgan birinchi uchburchak:
2. Asosiy diagonalga perpendikulyar ikkinchi uchburchak:
3. Plyus bilan shartlar yig'indisi:
4. Ikkilamchi diagonalga perpendikulyar bo'lgan birinchi uchburchak:
5. Yon diagonalga perpendikulyar ikkinchi uchburchak:
6. Minus bilan shartlar yig'indisi:
7. Plyusli shartlar yig'indisi minusli shartlar yig'indisi:

Mana yana bir nechta aniqlovchilar, ularning qiymatlarini o'zingiz hisoblang va ularni javoblar bilan solishtiring:

Javoblar:

Xo'sh, hammasi mos keldimi? Ajoyib, keyin davom eta olasiz! Agar qiyinchiliklar bo'lsa, mening maslahatim shunday: Internetda determinantni onlayn hisoblash uchun juda ko'p dasturlar mavjud. Sizga kerak bo'lgan narsa - o'zingizning determinantingizni o'ylab toping, uni o'zingiz hisoblang va keyin uni dastur hisoblagan narsa bilan solishtiring. Va shunga o'xshash natijalar to'g'ri kelguncha davom eting. Ishonchim komilki, bu lahzaning kelishi uzoq davom etmaydi!

Keling, uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi haqida gapirganimda yozgan determinantga qaytaylik:

Sizga kerak bo'lgan narsa uning qiymatini to'g'ridan-to'g'ri hisoblash (uchburchak usuli yordamida) va natijani nolga qo'yishdir. Tabiiyki, bu o'zgaruvchilar bo'lgani uchun siz ularga bog'liq bo'lgan ba'zi ifodalarni olasiz. Aynan shu ifoda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislikning tenglamasi bo'ladi!

Buni oddiy misol bilan tushuntiramiz:

1. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini tuzing

Biz ushbu uchta nuqta uchun determinantni tuzamiz:

Keling, soddalashtiramiz:

Endi biz uni to'g'ridan-to'g'ri uchburchak qoidasi yordamida hisoblaymiz:

\[(\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiv)) \ o'ng| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \o'ng) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Shunday qilib, nuqtalardan o'tadigan tekislikning tenglamasi:

Endi bitta muammoni o'zingiz hal qilishga harakat qiling, keyin biz buni muhokama qilamiz:

2. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping

Xo'sh, endi yechimni muhokama qilaylik:

Determinant yarataylik:

Va uning qiymatini hisoblang:

Keyin tekislik tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Yoki kamaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Endi o'z-o'zini nazorat qilish uchun ikkita vazifa:

1. Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzing:

Javoblar:

Hammasi mos tushdimi? Shunga qaramay, agar ma'lum qiyinchiliklar mavjud bo'lsa, unda mening maslahatim shunday: boshingizdan uchta nuqtani oling (ular bir xil to'g'ri chiziqda yotmaslik ehtimoli yuqori), ular asosida samolyot yasang. Va keyin siz o'zingizni onlayn tekshirasiz. Masalan, saytda:

Biroq, determinantlar yordamida biz nafaqat tekislikning tenglamasini tuzamiz. Esingizda bo'lsin, men sizga faqat vektorlar uchun nuqta mahsuloti aniqlanmaganligini aytdim. Shuningdek, vektor mahsuloti, shuningdek aralash mahsulot mavjud. Va agar ikkita vektorning skalyar ko'paytmasi son bo'lsa, u holda ikkita vektorning vektor mahsuloti vektor bo'ladi va bu vektor berilganlarga perpendikulyar bo'ladi:

Bundan tashqari, uning moduli bo'ladi maydoniga teng vektorlar ustida qurilgan parallelogramma va. Bu vektor Bu nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun kerak bo'ladi. Qanday qilib hisoblashimiz mumkin? vektor mahsuloti vektorlar va agar ularning koordinatalari berilgan bo'lsa? Uchinchi tartibli determinant yana yordamimizga keladi. Biroq, vektor mahsulotini hisoblash algoritmiga o'tishdan oldin, men kichik bir chekinishim kerak.

Ushbu chekinish bazis vektorlariga tegishli.

Ular sxematik tarzda rasmda ko'rsatilgan:

Nima uchun ular asosiy deb ataladi deb o'ylaysiz? Gap shundaki :

Yoki rasmda:

Ushbu formulaning to'g'riligi aniq, chunki:

Vektor san'at asari

Endi men o'zaro faoliyat mahsulotini kiritishni boshlashim mumkin:

Ikki vektorning vektor mahsuloti vektor bo'lib, u quyidagi qoida bo'yicha hisoblanadi:

Keling, ko'ndalang mahsulotni hisoblashning ba'zi misollarini keltiramiz:

1-misol: Vektorlarning o‘zaro ko‘paytmasini toping:

Yechish: Determinant yasayman:

Va men buni hisoblayman:

Endi bazaviy vektorlar orqali yozishdan keyin men odatdagi vektor yozuviga qaytaman:

Shunday qilib:

Endi sinab ko'ring.

Tayyormisiz? Biz tekshiramiz:

Va an'anaviy ravishda ikkita nazorat qilish uchun vazifalar:

1. Quyidagi vektorlarning vektor mahsulotini toping:
2. Quyidagi vektorlarning vektor mahsulotini toping:

Javoblar:

Uch vektorning aralash mahsuloti

Menga kerak bo'lgan oxirgi qurilish uchta vektorning aralash mahsulotidir. Bu, xuddi skaler kabi, raqam. Uni hisoblashning ikki yo'li mavjud. - aniqlovchi orqali, - aralash hosila orqali.

Ya'ni, bizga uchta vektor berilsin:

Shu bilan belgilangan uchta vektorning aralash mahsulotini quyidagicha hisoblash mumkin:

1. - ya'ni aralash mahsulot vektorning skalyar ko'paytmasi va boshqa ikkita vektorning vektor ko'paytmasidir.

Masalan, uchta vektorning aralash mahsuloti:

Vektor mahsuloti yordamida uni o'zingiz hisoblashga harakat qiling va natijalar mos kelishiga ishonch hosil qiling!

Va yana mustaqil echimlar uchun ikkita misol:

Javoblar:

Koordinatalar tizimini tanlash

Xo'sh, endi biz murakkab stereometrik geometriya muammolarini hal qilish uchun barcha kerakli bilimlarga egamiz. Biroq, to'g'ridan-to'g'ri misollar va ularni hal qilish algoritmlariga o'tishdan oldin, men quyidagi savolga to'xtalib o'tish foydali bo'ladi deb o'ylayman: qanday qilib aniq ma'lum bir raqam uchun koordinatalar tizimini tanlang. Axir, bu tanlov nisbiy pozitsiya koordinata tizimlari va kosmosdagi shakllar oxir-oqibat hisob-kitoblar qanchalik og'ir bo'lishini aniqlaydi.

Eslatib o'tamiz, ushbu bo'limda biz quyidagi raqamlarni ko'rib chiqamiz:

1. To'rtburchak parallelepiped
2. To'g'ri prizma (uchburchak, olti burchakli ...)
3. Piramida (uchburchak, to'rtburchak)
4. Tetraedr (uchburchak piramida bilan bir xil)

To'rtburchaklar parallelepiped yoki kub uchun men sizga quyidagi qurilishni tavsiya qilaman:

Ya'ni, men raqamni "burchakda" joylashtiraman. Kub va parallelepiped juda yaxshi figuralar. Ular uchun siz har doim uning cho'qqilarining koordinatalarini osongina topishingiz mumkin. Masalan, agar (rasmda ko'rsatilganidek)

u holda cho'qqilarning koordinatalari quyidagicha bo'ladi:

Albatta, buni eslab qolishning hojati yo'q, lekin kub yoki to'rtburchak parallelepipedni qanday joylashtirishni eslab qolish tavsiya etiladi.

To'g'ri prizma

Prizma ko'proq zararli raqamdir. U kosmosda turli yo'llar bilan joylashtirilishi mumkin. Biroq, men uchun quyidagi variant eng maqbul ko'rinadi:

Uchburchak prizma:

Ya'ni, biz uchburchakning bir tomonini to'liq o'qga joylashtiramiz va cho'qqilardan biri koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri keladi.

Olti burchakli prizma:

Ya'ni, cho'qqilardan biri koordinataga to'g'ri keladi va tomonlardan biri o'qda yotadi.

To'rtburchak va olti burchakli piramida:

Vaziyat kubga o'xshaydi: biz asosning ikki tomonini koordinata o'qlari bilan tekislaymiz va cho'qqilardan birini koordinatalarning kelib chiqishi bilan tekislaymiz. Faqatgina engil qiyinchilik nuqta koordinatalarini hisoblash bo'ladi.

Olti burchakli piramida uchun - olti burchakli prizma bilan bir xil. Asosiy vazifa yana tepaning koordinatalarini topish bo'ladi.

Tetraedr (uchburchak piramida)

Vaziyat men uchburchak prizma uchun bergan holatga juda o'xshaydi: bir uchi koordinata o'qiga to'g'ri keladi, bir tomoni koordinata o'qida yotadi.

Xo'sh, endi siz va men muammolarni hal qilishni boshlashga yaqinmiz. Maqolaning boshida aytganlarimdan siz quyidagi xulosaga kelishingiz mumkin: ko'pchilik C2 muammolari 2 toifaga bo'linadi: burchak muammolari va masofa masalalari. Birinchidan, burchakni topish muammolarini ko'rib chiqamiz. Ular o'z navbatida quyidagi toifalarga bo'linadi (murakkablik ortishi bilan):

Burchaklarni topish muammolari

1. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish
2. Ikki tekislik orasidagi burchakni topish

Keling, ushbu masalalarni ketma-ket ko'rib chiqaylik: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topishdan boshlaylik. Xo'sh, esda tuting, siz va men qaror qildikmi? shunga o'xshash misollar avvalroq? Esingizdami, bizda allaqachon shunga o'xshash narsa bor edi ... Biz ikkita vektor orasidagi burchakni qidirdik. Sizga eslatib o'taman, agar ikkita vektor berilgan bo'lsa: va ular orasidagi burchak munosabatlardan topiladi:

Endi bizning maqsadimiz ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topishdir. Keling, "tekis rasm" ni ko'rib chiqaylik:

Ikki to‘g‘ri chiziq kesishganda nechta burchak oldik? Faqat bir nechta narsa. To'g'ri, ulardan faqat ikkitasi teng emas, boshqalari esa ularga vertikal (va shuning uchun ular bilan mos keladi). Xo'sh, qaysi burchakni ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni hisobga olishimiz kerak: yoki? Bu erda qoida: ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak har doim gradusdan oshmaydi. Ya'ni, ikkita burchakdan biz har doim eng kichik daraja o'lchovi bilan burchakni tanlaymiz. Ya'ni, bu rasmda ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak teng. Har safar ikkita burchakning eng kichigini topish bilan bezovtalanmaslik uchun ayyor matematiklar moduldan foydalanishni taklif qilishdi. Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Diqqatli o'quvchi sifatida sizda savol tug'ilishi kerak edi: burchakning kosinusini hisoblashimiz kerak bo'lgan bu raqamlarni qaerdan olamiz? Javob: biz ularni chiziqlarning yo'nalish vektorlaridan olamiz! Shunday qilib, ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchakni topish algoritmi quyidagicha:

1. Biz 1-formulani qo'llaymiz.

Yoki batafsilroq:

1. Biz birinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
2. Biz ikkinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini qidiramiz
3. Biz ularning skalyar mahsulotining modulini hisoblaymiz
4. Biz birinchi vektorning uzunligini qidiramiz
5. Biz ikkinchi vektorning uzunligini qidiramiz
6. 4-band natijalarini 5-band natijalariga ko'paytiring
7. 3-nuqta natijasini 6-nuqta natijasiga ajratamiz. Chiziqlar orasidagi burchakning kosinusini olamiz.
8. Agar bu natija burchakni to'g'ri hisoblash imkonini beradigan bo'lsa, biz uni qidiramiz
9. Aks holda biz yoy kosinusu orqali yozamiz

Xo'sh, endi muammolarga o'tish vaqti keldi: birinchi ikkitasining yechimini batafsil ko'rsataman, boshqasiga qisqacha yechimni taqdim etaman, oxirgi ikki masalaga esa faqat javoblarni beraman; ular uchun barcha hisob-kitoblarni o'zingiz bajarishingiz kerak.

Vazifalar:

1. O'ng tet-ra-ed-reda tet-ra-ed-ra balandligi va o'rta tomoni orasidagi burchakni toping.

2. O'ng tarafdagi olti burchakli pi-ra-mi-de yuzta os-no-va-niya teng, yon qirralari teng, chiziqlar orasidagi burchakni toping va.

3. O'ng to'rtta ko'mir pi-ra-mi-dy barcha qirralarning uzunliklari bir-biriga teng. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va agar kesmadan - siz berilgan pi-ra-mi-dy bilan bo'lsangiz, nuqta uning bo-co- ikkinchi qovurg'alarida se-re-di-dir.

4. Kubning chetida shunday nuqta borki, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va

5. Nuqta - kubning chetlarida To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping va.

Vazifalarni shu tartibda tartiblaganim bejiz emas. Siz hali koordinata usulida harakat qilishni boshlamagan bo'lsangiz ham, men eng "muammoli" raqamlarni o'zim tahlil qilaman va sizni eng oddiy kub bilan shug'ullanish uchun qoldiraman! Asta-sekin siz barcha raqamlar bilan ishlashni o'rganishingiz kerak bo'ladi; Men mavzudan mavzuga vazifalarning murakkabligini oshiraman.

Keling, muammolarni hal qilishni boshlaylik:

1. Tetraedrni chizing, uni ilgari taklif qilganimdek koordinatalar tizimiga joylashtiring. Tetraedr muntazam bo'lgani uchun uning barcha yuzlari (shu jumladan asos) muntazam uchburchaklardir. Bizga tomonning uzunligi berilmaganligi sababli, men uni teng deb qabul qila olaman. O'ylaymanki, burchak bizning tetraedrimizning qanchalik "cho'zilganiga" bog'liq emasligini tushunasizmi? Tetraedrda balandlik va medianani ham chizaman. Yo'lda men uning asosini chizaman (bu biz uchun ham foydali bo'ladi).

va orasidagi burchakni topishim kerak. Biz nimani bilamiz? Biz faqat nuqtaning koordinatasini bilamiz. Bu nuqtalarning koordinatalarini topishimiz kerakligini anglatadi. Endi biz o'ylaymiz: nuqta - bu uchburchakning balandliklari (yoki bissektrisalari yoki medianlari) kesishish nuqtasi. Va nuqta - bu ko'tarilgan nuqta. Nuqta segmentning o'rtasidir. Keyin nihoyat topishimiz kerak: nuqtalarning koordinatalarini: .

Eng oddiy narsadan boshlaylik: nuqta koordinatalari. Rasmga qarang: nuqtaning ilovasi nolga teng ekanligi aniq (nuqta tekislikda yotadi). Uning ordinatasi teng (chunki u mediana). Uning abscissasini topish qiyinroq. Biroq, bu Pifagor teoremasi asosida osonlik bilan amalga oshiriladi: uchburchakni ko'rib chiqing. Uning gipotenuzasi teng va oyoqlaridan biri teng bo'lsa:

Nihoyat bizda: .

Endi nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning qo'llanilishi yana nolga teng va uning ordinatasi nuqta bilan bir xil, ya'ni. Keling, uning abtsissasini topamiz. Agar buni eslasangiz, bu juda ahamiyatsiz tarzda amalga oshiriladi teng tomonli uchburchakning kesishish nuqtasi bo'yicha balandliklari mutanosib ravishda bo'linadi, yuqoridan hisoblash. Chunki: , u holda kesma uzunligiga teng nuqtaning kerakli absissasi: ga teng. Shunday qilib, nuqtaning koordinatalari:

Nuqtaning koordinatalarini topamiz. Ko'rinib turibdiki, uning abscissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Va ariza segmentning uzunligiga teng. - bu uchburchakning oyoqlaridan biri. Uchburchakning gipotenuzasi segment - oyoqdir. Men qalin harf bilan ta'kidlagan sabablarga ko'ra qidirilmoqda:

Nuqta segmentning o'rtasidir. Keyin segmentning o'rta nuqtasining koordinatalari formulasini eslab qolishimiz kerak:

Mana, endi biz yo'nalish vektorlarining koordinatalarini izlashimiz mumkin:

Xo'sh, hamma narsa tayyor: biz barcha ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

Shunday qilib,

Javob:

Bunday "qo'rqinchli" javoblardan qo'rqmaslik kerak: C2 vazifalari uchun bu odatiy amaliyotdir. Men bu qismdagi "chiroyli" javobdan hayratda qolgan bo'lardim. Bundan tashqari, siz sezganingizdek, men amalda Pifagor teoremasi va teng qirrali uchburchakning balandliklar xususiyatidan boshqa hech narsaga murojaat qilmadim. Ya'ni, stereometrik muammoni hal qilish uchun men eng minimal stereometriyadan foydalandim. Bu boradagi daromad ancha mashaqqatli hisob-kitoblar bilan qisman "o'chiriladi". Ammo ular juda algoritmik!

2. Muntazam olti burchakli piramidani koordinatalar tizimi bilan bir qatorda uning asosini ham tasvirlaylik:

Biz va chiziqlar orasidagi burchakni topishimiz kerak. Shunday qilib, bizning vazifamiz nuqtalarning koordinatalarini topishga to'g'ri keladi: . Kichik chizma yordamida oxirgi uchtasining koordinatalarini topamiz va nuqta koordinatasi orqali tepaning koordinatasini topamiz. Ko'p ish qilish kerak, lekin biz boshlashimiz kerak!

a) Koordinata: uning ilovasi va ordinatasi nolga teng ekanligi aniq. Keling, abscissani topamiz. Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing. Afsuski, unda biz faqat teng bo'lgan gipotenuzani bilamiz. Biz oyoqni topishga harakat qilamiz (chunki oyoqning ikki barobar uzunligi bizga nuqtaning abscissasini berishi aniq). Uni qanday izlashimiz mumkin? Keling, piramidaning tagida qanday shakl borligini eslaylik? Bu oddiy olti burchakli. Bu nima degani? Bu barcha tomonlar va barcha burchaklar teng ekanligini anglatadi. Biz shunday burchaklardan birini topishimiz kerak. Har qanday fikr bormi? Ko'p fikrlar bor, lekin formula bor:

Muntazam n-burchak burchaklarining yig'indisi .

Shunday qilib, muntazam olti burchakli burchaklar yig'indisi darajaga teng. Keyin burchaklarning har biri teng bo'ladi:

Keling, rasmga yana qaraylik. Segment burchakning bissektrisasi ekanligi aniq. Keyin burchak gradusga teng bo'ladi. Keyin:

Keyin qayerdan.

Shunday qilib, u koordinatalarga ega

b) Endi nuqtaning koordinatasini bemalol topamiz: .

v) nuqtaning koordinatalarini toping. Uning abscissasi segment uzunligiga to'g'ri kelganligi sababli, u tengdir. Ordinatani topish ham unchalik qiyin emas: agar nuqtalarni bir-biriga bog'lab, to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasini, aytaylik, deb belgilasak. (oddiy qurilishni o'zingiz bajaring). Shunday qilib, B nuqtaning ordinatasi segmentlar uzunliklarining yig'indisiga teng. Keling, yana uchburchakni ko'rib chiqaylik. Keyin

O'shandan beri nuqta koordinatalariga ega

d) Endi nuqtaning koordinatalarini topamiz. To'rtburchakni ko'rib chiqing va nuqta koordinatalari quyidagicha ekanligini isbotlang:

e) Tepaning koordinatalarini topish qoladi. Ko'rinib turibdiki, uning abscissa va ordinatasi nuqtaning abscissa va ordinatasiga to'g'ri keladi. Keling, ilovani topamiz. O'shandan beri. To'g'ri uchburchakni ko'rib chiqing. Muammoning shartlariga ko'ra, yon chekka. Bu mening uchburchakning gipotenuzasi. Keyin piramidaning balandligi oyoqdir.

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Xo'sh, tamom, menda meni qiziqtirgan barcha nuqtalarning koordinatalari bor. Men to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining koordinatalarini qidiryapman:

Ushbu vektorlar orasidagi burchakni qidiramiz:

Javob:

Shunga qaramay, bu muammoni hal qilishda men muntazam n-burchak burchaklarining yig'indisi formulasidan, shuningdek, to'g'ri burchakli uchburchakning kosinus va sinusini aniqlashdan boshqa hech qanday murakkab usullardan foydalanmadim.

3. Bizga yana piramidada qirralarning uzunliklari berilmagani uchun, men ularni sanayman. birga teng. Shunday qilib, nafaqat yon tomonlari emas, balki HAMMA qirralari bir-biriga teng bo'lganligi sababli, piramida va men poydevorida kvadrat bor va yon yuzlari muntazam uchburchaklardir. Keling, masalaning matnida keltirilgan barcha ma'lumotlarni hisobga olib, bunday piramidani, shuningdek uning asosini tekislikda chizamiz:

Biz va orasidagi burchakni qidiramiz. Nuqtalarning koordinatalarini qidirganimda juda qisqa hisob-kitoblarni amalga oshiraman. Siz ularni "deshifrlashingiz" kerak bo'ladi:

b) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari:

c) uchburchakda Pifagor teoremasidan foydalanib segment uzunligini topaman. Men buni uchburchakda Pifagor teoremasi yordamida topa olaman.

Koordinatalar:

d) - segmentning o'rtasi. Uning koordinatalari

e) Vektor koordinatalari

f) Vektor koordinatalari

g) burchakni izlash:

Kub eng oddiy figuradir. Ishonchim komilki, siz buni o'zingiz hal qilasiz. 4 va 5-masalalarning javoblari quyidagicha:

To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish

Xo'sh, oddiy jumboqlarning vaqti tugadi! Endi misollar yanada murakkabroq bo'ladi. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni topish uchun biz quyidagicha harakat qilamiz:

1. Uch nuqtadan foydalanib, biz tekislikning tenglamasini tuzamiz
   ,
   uchinchi tartibli determinant yordamida.
2. Ikki nuqtadan foydalanib, biz to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini qidiramiz:
3. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni hisoblash uchun formuladan foydalanamiz:

Ko'rib turganingizdek, bu formula biz ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchaklarni topish uchun ishlatgan formulaga juda o'xshaydi. O'ng tomondagi struktura oddiygina bir xil, chap tomonda esa biz avvalgidek kosinusni emas, balki sinusni qidiramiz. Xo'sh, bitta jirkanch harakat qo'shildi - samolyot tenglamasini qidirish.

Kechiktirmaylik Yechim misollari:

1. Asosiy-lekin-va-ni-em to'g'ridan-to'g'ri prizma-biz teng-kambag'al uchburchakmiz. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping

2. G‘arbdan to‘rtburchak par-ral-le-le-pi-pe-de to‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni toping.

3. To'g'ri olti burchakli prizmada barcha qirralar teng. To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping.

4. To'g'ri uchburchakda pi-ra-mi-de os-no-va-ni-em bilan ma'lum qovurg'alar Burchakni toping, ob-ra-zo-van - tekis asosda va tekis, kulrangdan o'tuvchi. qovurg'alar va

5. Cho'qqisi bo'lgan to'g'ri to'rtburchak pi-ra-mi-dyning barcha qirralarining uzunliklari bir-biriga teng. Agar nuqta pi-ra-mi-dy chetida bo'lsa, to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni toping.

Yana birinchi ikkita masalani batafsil, uchinchisini qisqacha hal qilaman va oxirgi ikkitasini o'zingiz hal qilishingiz uchun qoldiraman. Bundan tashqari, siz allaqachon uchburchak bilan shug'ullanishingiz kerak edi va to'rtburchak piramidalar, lekin prizmalar bilan - hali emas.

Yechimlar:

1. Prizmani, shuningdek, uning asosini tasvirlaylik. Keling, uni koordinatalar tizimi bilan birlashtiramiz va muammo bayonida berilgan barcha ma'lumotlarni qayd qilamiz:

Men mutanosibliklarga rioya qilmaslik uchun uzr so'rayman, lekin muammoni hal qilish uchun bu, aslida, unchalik muhim emas. Samolyot mening prizmaning "orqa devori" dir. Bunday tekislikning tenglamasi quyidagi shaklga ega ekanligini taxmin qilish kifoya:

Biroq, bu to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilishi mumkin:

Keling, ushbu tekislikdagi ixtiyoriy uchta nuqtani tanlaymiz: masalan, .

Samolyot tenglamasini tuzamiz:

Siz uchun mashq: bu determinantni o'zingiz hisoblang. Muvaffaqiyatga erishdingizmi? Keyin tekislikning tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

Yoki oddiygina

Shunday qilib,

Misolni hal qilish uchun men to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini topishim kerak. Nuqta koordinatalarning kelib chiqishiga to'g'ri kelganligi sababli vektorning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan oddiygina mos tushadi.Buning uchun avvalo nuqtaning koordinatalarini topamiz.

Buning uchun uchburchakni ko'rib chiqing. Tepadan balandlikni (mediana va bissektrisa deb ham ataladi) chizamiz. Chunki nuqtaning ordinatasi ga teng. Ushbu nuqtaning abssissasini topish uchun biz segmentning uzunligini hisoblashimiz kerak. Pifagor teoremasiga ko'ra bizda:

Keyin nuqta koordinatalariga ega:

Nuqta - bu "ko'tarilgan" nuqta:

Keyin vektor koordinatalari:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bunday muammolarni hal qilishda tubdan qiyin narsa yo'q. Aslida, jarayon prizma kabi raqamning "to'g'riligi" bilan biroz soddalashtirilgan. Endi keyingi misolga o'tamiz:

2. Parallelepipedni chizing, unga tekislik va to'g'ri chiziq chizing, shuningdek, uning pastki asosini alohida chizing:

Birinchidan, biz tekislikning tenglamasini topamiz: undagi uchta nuqtaning koordinatalari:

(birinchi ikkita koordinata aniq tarzda olinadi va siz nuqtadan rasmdan oxirgi koordinatani osongina topishingiz mumkin). Keyin tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Biz hisoblaymiz:

Biz yo'naltiruvchi vektorning koordinatalarini qidirmoqdamiz: uning koordinatalari nuqta koordinatalari bilan mos kelishi aniq, shunday emasmi? Koordinatalarni qanday topish mumkin? Bular ilova o'qi bo'ylab bittaga ko'tarilgan nuqtaning koordinatalari! . Keyin kerakli burchakni qidiramiz:

Javob:

3. Muntazam olti burchakli piramida chizing, so‘ngra unga tekislik va to‘g‘ri chiziq chizing.

Bu erda samolyotni chizish ham muammoli, bu muammoni hal qilish haqida gapirmasa ham bo'ladi, lekin koordinata usuli ahamiyat bermaydi! Uning ko'p qirraliligi uning asosiy ustunligidir!

Samolyot uchta nuqtadan o'tadi: . Biz ularning koordinatalarini qidiramiz:

1) . Oxirgi ikki nuqtaning koordinatalarini o'zingiz toping. Buning uchun olti burchakli piramida muammosini hal qilishingiz kerak bo'ladi!

2) Tekislik tenglamasini tuzamiz:

Biz vektorning koordinatalarini qidiramiz: . (Yana uchburchak piramida muammosiga qarang!)

3) Burchakni izlash:

Javob:

Ko'rib turganingizdek, bu vazifalarda g'ayritabiiy qiyin narsa yo'q. Siz faqat ildizlar bilan juda ehtiyot bo'lishingiz kerak. Men faqat oxirgi ikkita muammoga javob beraman:

Ko'rib turganingizdek, muammolarni echish texnikasi hamma joyda bir xil: asosiy vazifa - cho'qqilarning koordinatalarini topish va ularni ma'lum formulalarga almashtirish. Biz hali ham burchaklarni hisoblash uchun muammolarning yana bir sinfini ko'rib chiqishimiz kerak, xususan:

Ikki tekislik orasidagi burchaklarni hisoblash

Yechim algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Uch nuqtadan foydalanib, birinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
2. Qolgan uchta nuqtadan foydalanib, biz ikkinchi tekislikning tenglamasini qidiramiz:
3. Biz formulani qo'llaymiz:

Ko'rib turganingizdek, formula oldingi ikkitasiga juda o'xshaydi, ularning yordami bilan biz to'g'ri chiziqlar orasidagi va to'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchaklarni qidirdik. Shuning uchun buni eslab qolish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Keling, vazifalarni tahlil qilishga o'tamiz:

1. To‘g‘ri burchakli uchburchak prizma asosining tomoni teng, yon yuzining dia-gonali teng. Prizma o'qi tekisligi bilan tekislik orasidagi burchakni toping.

2. O‘ng to‘rt burchakli pi-ra-mi-de, barcha qirralari teng, per-pen-di-ku- nuqtadan o‘tuvchi tekislik va tekis suyak orasidagi burchakning sinusini toping. lyar - lekin to'g'ri.

3. Muntazam to‘rt burchakli prizmada asosning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. dan-me-che-on chekkasida bir nuqta bor, shuning uchun. va tekisliklari orasidagi burchakni toping

4. To'g'ri to'rtburchak prizmada asosning tomonlari teng, yon qirralari esa teng. Nuqtadan chetida shunday nuqta borki, tekisliklar orasidagi burchakni toping va.

5. Kubda va tekisliklar orasidagi burchakning ko-si-nusini toping

Muammoni hal qilish usullari:

1. Muntazam (poydegida teng yonli uchburchak) uchburchak prizma chizaman va uning ustida masala bayonida ko‘rsatilgan tekisliklarni belgilayman:

Biz ikkita tekislikning tenglamalarini topishimiz kerak: Baza tenglamasi ahamiyatsiz: siz uchta nuqtadan foydalanib, mos keladigan determinantni tuzishingiz mumkin, lekin men darhol tenglama tuzaman:

Endi tenglamani topamiz Nuqta koordinatalariga ega Nuqta - Uchburchakning medianasi va balandligi bo'lgani uchun uni uchburchakdagi Pifagor teoremasi yordamida osongina topish mumkin. U holda nuqta koordinatalariga ega bo'ladi: Nuqtaning ilovasini topamiz.Buning uchun to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqamiz.

Keyin quyidagi koordinatalarni olamiz: Tekislik tenglamasini tuzamiz.

Biz tekisliklar orasidagi burchakni hisoblaymiz:

Javob:

2. Chizma yasash:

Eng qiyin narsa, bu nuqtadan perpendikulyar ravishda o'tadigan qanday sirli tekislik ekanligini tushunishdir. Xo'sh, asosiysi, bu nima? Asosiysi, diqqat! Aslida, chiziq perpendikulyar. To'g'ri chiziq ham perpendikulyar. Keyin bu ikki chiziqdan o'tuvchi tekislik chiziqqa perpendikulyar bo'ladi va, aytmoqchi, nuqtadan o'tadi. Bu tekislik ham piramidaning tepasidan o'tadi. Keyin kerakli samolyot - Va samolyot allaqachon bizga berilgan. Biz nuqtalarning koordinatalarini qidiramiz.

Nuqta orqali nuqtaning koordinatasini topamiz. Kichkina rasmdan nuqtaning koordinatalari quyidagicha bo'lishini osonlik bilan xulosa qilish mumkin: Piramida tepasining koordinatalarini topish uchun endi nima qilish kerak? Bundan tashqari, uning balandligini hisoblashingiz kerak. Bu xuddi shu Pifagor teoremasi yordamida amalga oshiriladi: avval buni isbotlang (poydevorda kvadrat hosil qiluvchi kichik uchburchaklardan). Shartga ko'ra, bizda:

Endi hamma narsa tayyor: vertex koordinatalari:

Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz:

Siz allaqachon determinantlarni hisoblash bo'yicha mutaxassissiz. Siz qiyinchiliksiz olasiz:

Yoki boshqacha (agar ikkala tomonni ikkitaning ildiziga ko'paytirsak)

Endi tekislikning tenglamasini topamiz:

(Samolyot tenglamasini qanday olishimizni unutmagansiz, to'g'rimi? Agar bu minus qaerdan kelganini tushunmasangiz, unda tekislik tenglamasining ta'rifiga qayting! Bu har doim undan oldin bo'lgan. mening samolyotim koordinatalarning kelib chiqishiga tegishli edi!)

Determinantni hisoblaymiz:

(Samolyot tenglamasi nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasiga toʻgʻri kelishini sezishingiz mumkin va nima uchun oʻylab koʻring!)

Endi burchakni hisoblaymiz:

Biz sinusni topishimiz kerak:

Javob:

3. Qiziqarli savol: to'rtburchak prizma nima deb o'ylaysiz? Bu shunchaki siz yaxshi biladigan parallelepiped! Keling, darhol rasm chizamiz! Bazani alohida tasvirlashning hojati yo'q, bu erda unchalik foydali emas:

Samolyot, yuqorida aytib o'tganimizdek, tenglama shaklida yozilgan:

Endi samolyot yarataylik

Biz darhol tekislikning tenglamasini yaratamiz:

Burchak qidirmoqda:

Endi oxirgi ikkita muammoga javoblar:

Xo'sh, endi biroz tanaffus qilish vaqti keldi, chunki siz va men ajoyibmiz va ajoyib ish qildik!

Koordinatalar va vektorlar. Yuqori daraja

Ushbu maqolada biz siz bilan koordinata usuli yordamida echilishi mumkin bo'lgan muammolarning yana bir sinfini muhokama qilamiz: masofani hisoblash masalalari. Ya'ni, biz quyidagi holatlarni ko'rib chiqamiz:

1. Kesishuvchi chiziqlar orasidagi masofani hisoblash.

Men bu topshiriqlarni ortib borayotgan qiyinchilik tartibida buyurdim. Buni topish eng oson bo'lib chiqdi nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa, va eng qiyin narsa topishdir kesishgan chiziqlar orasidagi masofa. Garchi, albatta, imkonsiz narsa yo'q! Keling, kechiktirmaylik va darhol muammolarning birinchi sinfini ko'rib chiqishga kirishamiz:

Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Bu muammoni hal qilish uchun bizga nima kerak?

1. Nuqta koordinatalari

Shunday qilib, barcha kerakli ma'lumotlarni olishimiz bilan biz formulani qo'llaymiz:

Oxirgi qismda muhokama qilgan oldingi muammolardan tekislik tenglamasini qanday qurishimizni allaqachon bilishingiz kerak. Keling, to'g'ridan-to'g'ri vazifalarga o'tamiz. Sxema quyidagicha: 1, 2 - men sizga qaror qabul qilishda yordam beraman va ba'zi tafsilotlarda 3, 4 - faqat javob, siz o'zingiz yechimni amalga oshirasiz va taqqoslaysiz. Boshlaymiz!

Vazifalar:

1. Kub berilgan. Kubning chetining uzunligi teng. Se-re-di-nadan kesmadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping

2. To'g'ri to'rtta ko'mir pi-ra-mi-ha berilgan, yon tomonning tomoni asosga teng. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping, bu erda - qirralarning se-re-di-on.

3. Os-no-va-ni-em bilan to'g'ri uchburchak pi-ra-mi-de, yon qirrasi teng, yuz-ro-on os-no-vaniya teng. Yuqoridan tekislikgacha bo'lgan masofani toping.

4. To'g'ri olti burchakli prizmada barcha qirralar teng. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping.

Yechimlar:

1. Yagona qirrali kub chizing, segment va tekislikni tuzing, segmentning o'rtasini harf bilan belgilang

.

Birinchidan, eng osonidan boshlaylik: nuqtaning koordinatalarini toping. O'shandan beri (segmentning o'rtasi koordinatalarini eslang!)

Endi biz uch nuqtadan foydalanib, tekislik tenglamasini tuzamiz

\[\chap| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiv)) \o'ng| = 0\]

Endi masofani topishni boshlashim mumkin:

2. Biz barcha ma'lumotlarni belgilab qo'ygan chizma bilan yana boshlaymiz!

Piramida uchun uning asosini alohida chizish foydali bo'ladi.

Tovuqdek panjasi bilan chizganim ham bu muammoni osonlikcha hal qilishimizga xalaqit bermaydi!

Endi nuqtaning koordinatalarini topish oson

Nuqtaning koordinatalari beri, keyin

2. a nuqtaning koordinatalari segmentning o'rtasi bo'lgani uchun, u holda

Hech qanday muammosiz tekislikdagi yana ikkita nuqtaning koordinatalarini topishimiz mumkin.Teklik uchun tenglama tuzamiz va uni soddalashtiramiz:

\[\chap| (\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiv)) \right|) \right| = 0\]

Nuqta koordinatalariga ega bo'lgani uchun: masofani hisoblaymiz:

Javob (juda kamdan-kam!):

Xo'sh, tushundingizmi? Menimcha, bu erda hamma narsa avvalgi qismda ko'rib chiqqan misollardagi kabi texnikdir. Shuning uchun ishonchim komilki, agar siz ushbu materialni o'zlashtirgan bo'lsangiz, qolgan ikkita muammoni hal qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi. Men sizga faqat javoblarni beraman:

To'g'ri chiziqdan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblash

Aslida, bu erda hech qanday yangilik yo'q. To'g'ri chiziq va tekislikni bir-biriga nisbatan qanday joylashtirish mumkin? Ularning faqat bitta imkoniyati bor: kesishish yoki tekis chiziq tekislikka parallel. Sizningcha, to'g'ri chiziqdan bu to'g'ri chiziq kesishgan tekislikgacha bo'lgan masofa qancha? Menimcha, bu erda bunday masofa nolga teng ekanligi aniq. Qiziqarli holat emas.

Ikkinchi holat qiyinroq: bu erda masofa allaqachon nolga teng. Biroq, chiziq tekislikka parallel bo'lganligi sababli, chiziqning har bir nuqtasi ushbu tekislikdan teng masofada joylashgan:

Shunday qilib:

Bu mening vazifam avvalgisiga qisqartirilganligini anglatadi: biz to'g'ri chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz, tekislik tenglamasini qidiramiz va nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani hisoblaymiz. Aslida, Yagona davlat imtihonida bunday vazifalar juda kam uchraydi. Men faqat bitta muammoni topishga muvaffaq bo'ldim va undagi ma'lumotlar shunday ediki, koordinata usuli unga unchalik mos kelmadi!

Endi muammolarning boshqa, ancha muhim sinfiga o'tamiz:

Nuqtadan chiziqqa masofani hisoblash

Bizga nima kerak?

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalari:

2. Chiziqda yotgan har qanday nuqtaning koordinatalari

3. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari

Biz qanday formuladan foydalanamiz?

Bu kasrning maxraji nimani anglatishi siz uchun tushunarli bo'lishi kerak: bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining uzunligi. Bu juda qiyin hisoblagich! Ifoda vektorlarning vektor mahsulotining moduli (uzunligi) degan ma'noni anglatadi va vektor mahsulotini qanday hisoblash mumkin, biz ishning oldingi qismida o'rganib chiqdik. Bilimingizni yangilang, bizga hozir juda kerak bo'ladi!

Shunday qilib, muammolarni hal qilish algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Biz masofani izlayotgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

2. Biz masofani izlayotgan chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini qidiramiz:

3. Vektorni tuzing

4. To'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorini tuzing

5. Vektor mahsulotini hisoblang

6. Olingan vektorning uzunligini qidiramiz:

7. Masofani hisoblang:

Bizda juda ko'p ish bor va misollar juda murakkab bo'ladi! Shunday qilib, endi barcha e'tiboringizni qarating!

1. Tepasi bo'lgan to'g'ri uchburchak pi-ra-mi-da berilgan. Pi-ra-mi-dy asosidagi yuz-ro- teng, siz tengsiz. Kulrang chetdan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping, bu erda nuqtalar kulrang qirralar va veterinariyadan.

2. Qovurg'a uzunliklari va to'g'ri burchakli-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da mos ravishda teng va Tepadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping.

3. To‘g‘ri olti burchakli prizmada barcha qirralar teng, nuqtadan to‘g‘ri chiziqgacha bo‘lgan masofani toping.

Yechimlar:

1. Biz barcha ma'lumotlarni belgilagan chiroyli chizmani yaratamiz:

Bizda qiladigan ish ko'p! Birinchidan, men nimani qidirayotganimizni va qanday tartibda so'z bilan tasvirlab bermoqchiman:

1. Nuqtalarning koordinatalari va

2. Nuqta koordinatalari

3. Nuqtalarning koordinatalari va

4. Vektorlarning koordinatalari va

5. Ularning ko‘paytmasi

6. Vektor uzunligi

7. Vektor mahsulotining uzunligi

8. dan gacha bo'lgan masofa

Axir, bizni juda ko'p ishlar kutmoqda! Keling, yeng shimarib, bunga erishaylik!

1. Piramida balandligining koordinatalarini topish uchun nuqtaning koordinatalarini bilishimiz kerak.Uning ilovasi nolga teng, ordinatasi esa abssissasi kesma uzunligiga teng.Chunki balandligi teng qirrali uchburchak, u cho'qqidan sanab, bu erdan nisbatga bo'linadi. Nihoyat, biz koordinatalarni oldik:

Nuqta koordinatalari

2. - segmentning o'rtasi

3. - segmentning o'rtasi

Segmentning o'rta nuqtasi

4. Koordinatalar

Vektor koordinatalari

5. Vektor mahsulotini hisoblang:

6. Vektor uzunligi: almashtirishning eng oson usuli - bu segment uchburchakning o'rta chizig'i bo'lib, u asosning yarmiga teng degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib.

7. Vektor mahsulotining uzunligini hisoblang:

8. Nihoyat, biz masofani topamiz:

Uf, shunaqa! Sizga rostini aytaman: bu muammoning echimi an'anaviy usullar(qurilish orqali), bu juda tez bo'lar edi. Lekin bu erda men hamma narsani tayyor algoritmga qisqartirdim! Menimcha, yechim algoritmi siz uchun tushunarlimi? Shuning uchun qolgan ikkita muammoni o'zingiz hal qilishingizni so'rayman. Javoblarni solishtiraylikmi?

Yana takror aytaman: bu muammolarni koordinata usuliga murojaat qilishdan ko'ra, konstruktsiyalar orqali hal qilish osonroq (tezroq). Men ushbu yechim usulini faqat sizga "hech narsa qurishni tugatmaslik" imkonini beradigan universal usulni ko'rsatish uchun ko'rsatdim.

Va nihoyat, muammolarning oxirgi sinfini ko'rib chiqing:

Kesishuvchi chiziqlar orasidagi masofani hisoblash

Bu erda muammolarni hal qilish algoritmi avvalgisiga o'xshash bo'ladi. Bizda nima bor:

3. Birinchi va ikkinchi chiziq nuqtalarini tutashtiruvchi har qanday vektor:

Chiziqlar orasidagi masofani qanday topamiz?

Formula quyidagicha:

Numerator moduldir aralash mahsulot(biz uni oldingi qismda kiritgan edik) va maxraj oldingi formuladagi kabi (to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining vektor mahsulotining moduli, biz izlayotgan masofa).

Men buni sizga eslataman

Keyin masofa uchun formulani quyidagicha qayta yozish mumkin:

Bu determinantga bo'lingan determinant! Rostini aytsam, bu yerda hazilga vaqtim yo'q! Bu formula, aslida, juda og'ir va juda murakkab hisob-kitoblarga olib keladi. Agar men sizning o'rningizda bo'lsam, men bunga faqat oxirgi chora sifatida murojaat qilgan bo'lardim!

Keling, yuqoridagi usul yordamida bir nechta muammolarni hal qilishga harakat qilaylik:

1. Barcha qirralari teng bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchak prizmada va to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofani toping.

2. To'g'ri uchburchak prizma berilgan bo'lsa, asosning barcha qirralari tana qovurg'asidan o'tadigan kesimga teng va se-re-di-quduq qovurg'alari kvadratdir. va to'g'ri chiziqlar orasidagi masofani toping

Men birinchisini hal qilaman, shunga asoslanib, ikkinchisini siz hal qilasiz!

1. Prizma chizaman va to'g'ri chiziqlarni belgilayman va

C nuqtaning koordinatalari: keyin

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Nuqta koordinatalari

Vektor koordinatalari

Vektor koordinatalari

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \o'ng) = \left| (\begin(massiv)(*(20)(l))(\begin(massiv)(*(20)(c))0&1&0\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20) (c))0&0&1\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiv))\end(massiv)) \o'ng| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

vektorlar orasidagi vektor mahsulotini hisoblaymiz

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \chap| \begin(massiv)(l)\begin(massiv)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiv)\\\begin(massiv) )(*(20)(c))0&0&1\end(massiv)\\\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiv)\end(massiv) \o'ng| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Endi biz uning uzunligini hisoblaymiz:

Javob:

Endi ikkinchi vazifani diqqat bilan bajarishga harakat qiling. Bunga javob quyidagicha bo'ladi: .

Koordinatalar va vektorlar. Qisqacha tavsif va asosiy formulalar

Vektor yo'naltirilgan segmentdir. - vektorning boshi, - vektorning oxiri.
Vektor yoki bilan belgilanadi.

Mutlaq qiymat vektor - vektorni ifodalovchi segment uzunligi. Sifatida belgilanadi.

Vektor koordinatalari:

,
\displaystyle a vektorining uchlari qayerda.

Vektorlar yig'indisi: .

Vektorlar mahsuloti:

Vektorlarning nuqta mahsuloti:

Vektorlarning skalyar mahsuloti ularning mahsulotiga teng mutlaq qiymatlar ular orasidagi burchakning kosinusiga qarab:

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘z kuchi bilan biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, unda siz ushbu 5% ga kirasiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani tushundingiz. Va takror aytaman, bu... bu shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Uchun muvaffaqiyatli yakunlash Yagona davlat imtihoni, kollejga byudjetga kirish uchun va eng muhimi, umrbod.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Qabul qilgan odamlar yaxshi ta'lim, uni olmaganlarga qaraganda ko'proq pul ishlang. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular BAXTLI (Bunday tadqiqotlar bor). Ehtimol, ularning oldida juda ko'p ochiqlik borligi sababli ko'proq imkoniyatlar va hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Yagona davlat imtihonida boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QOLING.

Imtihon paytida sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi vaqtga qarshi muammolarni hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki shunchaki vaqtingiz bo'lmaydi.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun buni ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni xohlagan joyingizda toping, albatta yechimlar, batafsil tahlillar bilan va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.

Vazifalarimizdan yaxshiroq foydalanish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:

1. Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni oching -
2. Darslikning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Darslik sotib oling - 899 rubl

Ha, bizning darsligimizda 99 ta shunday maqola bor va ulardagi barcha vazifalar va yashirin matnlarga kirish darhol ochilishi mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning BUTUN muddati davomida taqdim etiladi.

Yakunida...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men hal qila olaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va ularni hal qiling!

Quyidagi maqolada segmentning o'rta nuqtasining koordinatalarini topish masalalari ko'rib chiqiladi, agar uning koordinatalari dastlabki ma'lumotlar sifatida mavjud bo'lsa. ekstremal nuqtalar. Ammo masalani o'rganishni boshlashdan oldin, keling, bir qator ta'riflarni kiritaylik.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Ta'rif 1

Chiziq segmenti- segmentning uchlari deb ataladigan ikkita ixtiyoriy nuqtani bog'laydigan to'g'ri chiziq. Misol tariqasida, bular A va B nuqtalari va shunga mos ravishda A B segmenti bo'lsin.

Agar A B segmenti A va B nuqtalardan har ikki yo‘nalishda davom ettirilsa, A B to‘g‘ri chiziq hosil bo‘ladi. U holda A B segmenti A va B nuqtalar bilan chegaralangan, hosil bo'lgan to'g'ri chiziqning bir qismidir. A B segmenti uning uchlari bo'lgan A va B nuqtalarini, shuningdek, ular orasida joylashgan nuqtalar to'plamini birlashtiradi. Masalan, A va B nuqtalar orasida joylashgan har qanday ixtiyoriy K nuqtani olsak, K nuqta A B segmentida yotadi, deyishimiz mumkin.

Ta'rif 2

Bo'lim uzunligi- berilgan masshtabdagi segmentning uchlari orasidagi masofa (uzunlik birlik segmenti). A B segmentining uzunligini quyidagicha belgilaymiz: A B.

Ta'rif 3

Segmentning o'rta nuqtasi- segmentda yotgan va uning uchlaridan teng masofada joylashgan nuqta. Agar A B segmentining o'rtasi C nuqta bilan belgilansa, tenglik to'g'ri bo'ladi: A C = C B

Dastlabki ma'lumotlar: O x koordinatali chiziq va undagi mos kelmaydigan nuqtalar: A va B. Bu nuqtalar haqiqiy raqamlarga mos keladi x A va x B. C nuqtasi A B segmentining o'rtasi: koordinatani aniqlash kerak x C.

C nuqta A B segmentining o'rta nuqtasi bo'lgani uchun tenglik to'g'ri bo'ladi: | A C | = | C B | . Nuqtalar orasidagi masofa ularning koordinatalaridagi farq moduli bilan belgilanadi, ya'ni.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Keyin ikkita tenglik mumkin: x C - x A = x B - x C va x C - x A = - (x B - x C)

Birinchi tenglikdan biz C nuqtaning koordinatalari formulasini olamiz: x C = x A + x B 2 (segment uchlari koordinatalari yig'indisining yarmi).

Ikkinchi tenglikdan biz olamiz: x A = x B, bu mumkin emas, chunki manba ma'lumotlarida - mos kelmaydigan nuqtalar. Shunday qilib, A (x A) va uchlari bo'lgan A B segmentining o'rtasining koordinatalarini aniqlash formulasi B(xB):

Olingan formula tekislikdagi yoki fazodagi segment o'rtasining koordinatalarini aniqlash uchun asos bo'ladi.

Dastlabki ma'lumotlar: O x y tekisligidagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi, A x A, y A va B x B, y B koordinatalari berilgan ikkita ixtiyoriy mos kelmaydigan nuqtalar. C nuqta A B segmentining o'rtasidir. C nuqta uchun x C va y C koordinatalarini aniqlash kerak.

Tahlil uchun A va B nuqtalari bir-biriga to'g'ri kelmagan va bir xil koordinata chizig'ida yoki o'qlardan biriga perpendikulyar chiziqda yotmagan holatni olaylik. A x, A y; B x, B y va C x, C y - A, B va C nuqtalarning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari (O x va O y to'g'ri chiziqlar).

Qurilishga ko'ra, A A x, B B x, C C x chiziqlar parallel; chiziqlar ham bir-biriga parallel. Shu bilan birga, Thales teoremasiga ko'ra, A C = C B tengligidan tengliklar kelib chiqadi: A x C x = C x B x va A y C y = C y B y va ular o'z navbatida C x nuqta ekanligini ko'rsatadi. A x B x segmentining o'rtasi, C y esa A y B y segmentining o'rtasi. Va keyin, ilgari olingan formulaga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz:

x C = x A + x B 2 va y C = y A + y B 2

Xuddi shu formulalar A va B nuqtalari bir xil koordinata chizig'ida yoki o'qlardan biriga perpendikulyar bo'lgan chiziqda yotsa ham qo'llanilishi mumkin. Biz ushbu ishni batafsil tahlil qilmaymiz, uni faqat grafik jihatdan ko'rib chiqamiz:

Yuqoridagilarning barchasini umumlashtirib, uchlari koordinatalari bilan tekislikdagi A B segmentining o'rtasining koordinatalari A (x A, y A) Va B(xB, yB) sifatida belgilanadi:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Dastlabki ma'lumotlar: koordinatalar tizimi O x y z va A (x A, y A, z A) va B (x B, y B, z B) koordinatalari berilgan ikkita ixtiyoriy nuqta. A B segmentining o'rtasi bo'lgan S nuqtaning koordinatalarini aniqlash kerak.

A x, A y, A z; B x , B y , B z va C x , C y , C z - barcha proyeksiyalar berilgan ballar koordinata tizimining o'qi ustida.

Thales teoremasiga ko'ra, quyidagi tengliklar to'g'ri: A x C x = C x B x, A y C y = C y B y, A z C z = C z B z.

Demak, C x, C y, C z nuqtalari mos ravishda A x B x, A y B y, A z B z segmentlarining o’rta nuqtalaridir. Keyin, Kosmosdagi segment o'rtasining koordinatalarini aniqlash uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Olingan formulalar A va B nuqtalar koordinata chiziqlaridan birida joylashgan hollarda ham qo'llaniladi; o'qlardan biriga perpendikulyar to'g'ri chiziqda; bir koordinata tekisligida yoki koordinata tekisliklaridan biriga perpendikulyar tekislikda.

Segment o'rtasining koordinatalarini uning uchlari radius vektorlari koordinatalari orqali aniqlash

Segment o'rtasining koordinatalarini topish formulasini vektorlarning algebraik talqiniga ko'ra ham olish mumkin.

Dastlabki ma'lumotlar: to'g'ri burchakli Dekart koordinata tizimi O x y, A (x A, y A) va B (x B, x B) koordinatalari berilgan nuqtalar. C nuqta A B segmentining o'rtasidir.

Ga binoan geometrik ta'rif vektorlar ustida amallar bajarilsa, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Bu holda C nuqtasi O A → va O B → vektorlari asosida tuzilgan parallelogramma diagonallarining kesishish nuqtasidir, ya'ni. diagonallarning o‘rtasi nuqtasi.Nuqta radius vektorining koordinatalari nuqta koordinatalariga teng bo‘lsa, tengliklari to‘g‘ri bo‘ladi: O A → = (x A, y A), O B → = (x B). , y B). Koordinatadagi vektorlar ustida bir necha amallarni bajaramiz va quyidagilarga erishamiz:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Shuning uchun C nuqtasi koordinatalariga ega:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Analogiya bo'yicha, kosmosdagi segment o'rtasining koordinatalarini topish uchun formula aniqlanadi:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Segmentning o'rta nuqtasi koordinatalarini topishga oid masalalarni yechish misollari

Yuqorida olingan formulalardan foydalanishni o'z ichiga olgan muammolar orasida to'g'ridan-to'g'ri savol segmentning o'rtasi koordinatalarini hisoblash va berilgan shartlarni ushbu savolga etkazishni o'z ichiga olgan muammolar mavjud: "median" atamasi. tez-tez ishlatiladi, maqsad segmentning uchlaridan birining koordinatalarini topishdir va simmetriya masalalari ham keng tarqalgan bo'lib, ularning yechimi ham ushbu mavzuni o'rgangandan so'ng umuman qiyinchilik tug'dirmasligi kerak. Keling, odatiy misollarni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Dastlabki ma'lumotlar: tekislikda - A (- 7, 3) va B (2, 4) koordinatalari berilgan nuqtalar. A B segmentining o'rta nuqtasining koordinatalarini topish kerak.

Yechim

A B segmentining o'rtasini C nuqta bilan belgilaymiz. Uning koordinatalari segment uchlari koordinatalari yig'indisining yarmi sifatida aniqlanadi, ya'ni. A va B nuqtalari.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Javob: A B segmentining o'rtasi koordinatalari - 5 2, 7 2.

2-misol

Dastlabki ma'lumotlar: A B C uchburchakning koordinatalari ma'lum: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). A M medianasining uzunligini topish kerak.

Yechim

1. Muammoning shartlariga ko'ra, A M - mediana, ya'ni M - B C segmentining o'rta nuqtasi. Avvalo, B C segmentining o'rtasining koordinatalarini topamiz, ya'ni. M ball:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Endi biz mediananing ikkala uchining (A va M nuqtalari) koordinatalarini bilganimiz sababli, nuqtalar orasidagi masofani aniqlash va A M medianasining uzunligini hisoblash uchun formuladan foydalanishimiz mumkin:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Javob: 58

3-misol

Dastlabki ma'lumotlar: uch o lchamli fazoning to rtburchak koordinatalar sistemasida parallelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 berilgan. C 1 nuqtaning koordinatalari berilgan (1, 1, 0), shuningdek, B D 1 diagonalining o'rta nuqtasi bo'lgan va M (4, 2, - 4) koordinatalariga ega bo'lgan M nuqta ham aniqlangan. A nuqtaning koordinatalarini hisoblash kerak.

Yechim

Parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi, bu barcha diagonallarning o'rta nuqtasidir. Ushbu bayonotga asoslanib, masalaning shartlaridan ma'lum bo'lgan M nuqta A C 1 segmentining o'rta nuqtasi ekanligini yodda tutishimiz mumkin. Fazodagi segment o'rtasining koordinatalarini topish formulasiga asoslanib, A nuqtaning koordinatalarini topamiz: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Javob: A nuqtaning koordinatalari (7, 3, - 8).

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing