Matematik modellashtirish

1. Matematik modellashtirish nima?

20-asrning oʻrtalaridan boshlab. Matematik usullar va kompyuterlar inson faoliyatining turli sohalarida keng qo'llanila boshlandi. Tegishli ob'ektlar va hodisalarning matematik modellarini, shuningdek, ushbu modellarni o'rganish usullarini o'rganuvchi "matematik iqtisod", "matematik kimyo", "matematik tilshunoslik" kabi yangi fanlar paydo bo'ldi.

Matematik model- bu matematika tilidagi har qanday hodisa yoki real dunyo ob'ektlarining taxminiy tavsifi. Modellashtirishning asosiy maqsadi ushbu ob'ektlarni o'rganish va kelajakdagi kuzatishlar natijalarini bashorat qilishdir. Biroq, modellashtirish ham atrofimizdagi dunyoni tushunish usuli bo'lib, uni boshqarishga imkon beradi.

Matematik modellashtirish va u bilan bog'liq kompyuter tajribasi to'liq miqyosli eksperiment u yoki bu sabablarga ko'ra imkonsiz yoki qiyin bo'lgan hollarda ajralmas hisoblanadi. Misol uchun, tarixda "agar nima bo'lardi" ni tekshirish uchun tabiiy eksperimentni o'rnatish mumkin emas, u yoki bu kosmologik nazariyaning to'g'riligini tekshirish mumkin emas. Vabo kabi kasallikning tarqalishi bilan tajriba o'tkazish yoki uni amalga oshirish printsipial jihatdan mumkin, ammo aqlga sig'maydi. yadroviy portlash oqibatlarini o'rganish. Biroq, bularning barchasini kompyuterda birinchi navbatda o'rganilayotgan hodisalarning matematik modellarini qurish orqali amalga oshirish mumkin.

2. Matematik modellashtirishning asosiy bosqichlari

1) Model qurish. Bu bosqichda ba'zi "matematik bo'lmagan" ob'ekt ko'rsatilgan - tabiiy hodisa, loyiha, iqtisodiy reja, ishlab chiqarish jarayoni va boshqalar. Bunday holda, qoida tariqasida, vaziyatni aniq tasvirlash qiyin. Birinchidan, hodisaning asosiy belgilari va ular o'rtasidagi sifat darajasidagi aloqalar aniqlanadi. So`ngra topilgan sifat bog`liqliklari matematika tilida shakllantiriladi, ya`ni matematik model quriladi. Bu modellashtirishning eng qiyin bosqichidir.

2) Yechim matematik muammo, bu model olib keladi. Ushbu bosqichda algoritmlarni ishlab chiqishga katta e'tibor beriladi va raqamli usullar kompyuterda muammoni hal qilish, uning yordamida natijani kerakli aniqlikda va maqbul vaqt ichida topish mumkin.

3) Matematik modeldan olingan natijalarni talqin qilish. Matematika tilidagi modeldan olingan natijalar sohada qabul qilingan tilda izohlanadi.

4) Modelning mosligini tekshirish. Bu bosqichda eksperimental natijalar modelning nazariy natijalariga ma'lum bir aniqlik doirasida mos kelishi aniqlanadi.

5) Modelni o'zgartirish. Ushbu bosqichda yoki model haqiqatga ko'proq adekvat bo'lishi uchun murakkablashadi yoki amaliy jihatdan maqbul echimga erishish uchun soddalashtiriladi.

3. Modellarning tasnifi

Modellarni turli mezonlarga ko'ra tasniflash mumkin. Masalan, hal qilinayotgan muammolarning tabiatiga ko'ra, modellarni funktsional va tizimli bo'lish mumkin. Birinchi holda, hodisa yoki ob'ektni tavsiflovchi barcha miqdorlar miqdoriy jihatdan ifodalanadi. Bundan tashqari, ularning ba'zilari mustaqil o'zgaruvchilar, boshqalari esa bu miqdorlarning funktsiyalari sifatida qaraladi. Matematik model odatda ko'rib chiqilayotgan miqdorlar orasidagi miqdoriy munosabatlarni o'rnatadigan har xil turdagi (differensial, algebraik va boshqalar) tenglamalar tizimidir. Ikkinchi holda, model alohida qismlardan tashkil topgan murakkab ob'ektning tuzilishini tavsiflaydi, ular orasida ma'lum bog'lanishlar mavjud. Odatda, bu aloqalarni miqdoriy jihatdan aniqlab bo'lmaydi. Bunday modellarni qurish uchun grafiklar nazariyasidan foydalanish qulay. Grafik - bu matematik ob'ekt bo'lib, u tekislikdagi yoki fazodagi nuqtalar (cho'qqilar) to'plamini ifodalaydi, ularning ba'zilari chiziqlar (qirralar) bilan bog'lanadi.

Dastlabki ma'lumotlar va natijalarning tabiatiga ko'ra, bashorat qilish modellarini deterministik va ehtimollik-statistik modellarga bo'lish mumkin. Birinchi turdagi modellar aniq, aniq bashorat qiladi. Ikkinchi turdagi modellar statistik ma'lumotlarga asoslanadi va ular yordamida olingan bashoratlar ehtimollik xarakteriga ega.

4. Matematik modellarga misollar

1) Snaryadning harakatiga oid masalalar.

Quyidagi mexanik muammoni ko'rib chiqing.

Snaryad Yerdan dastlabki tezligi v 0 = 30 m/s bilan uning yuzasiga a = 45° burchak ostida uchiriladi; uning harakat traektoriyasini va bu traektoriyaning boshlang'ich va tugash nuqtalari orasidagi S masofani topish talab qilinadi.

Keyin, maktab fizikasi kursidan ma'lumki, snaryadning harakati quyidagi formulalar bilan tavsiflanadi:

Bu erda t - vaqt, g = 10 m/s 2 - tortishish tezlashishi. Bu formulalar muammoning matematik modelini beradi. Birinchi tenglamadan t dan x ni ifodalab, ikkinchi tenglamaga almashtirsak, biz o'qning traektoriyasi uchun tenglamani olamiz:

Bu egri chiziq (parabola) x o'qini ikki nuqtada kesib o'tadi: x 1 = 0 (traektoriyaning boshlanishi) va (snaryad tushgan joy). V0 va a ning berilgan qiymatlarini hosil bo'lgan formulalarga almashtirib, biz hosil bo'lamiz

javob: y = x – 90x 2, S = 90 m.

E'tibor bering, ushbu modelni yaratishda bir qator taxminlardan foydalanilgan: masalan, Yer tekis, havo va Yerning aylanishi snaryadning harakatiga ta'sir qilmaydi.

2) Eng kichik sirt maydoni bo'lgan tank haqida muammo.

Hajmi V = 30 m 3 bo'lgan, yopiq dumaloq silindr shakliga ega, uning sirt maydoni S minimal bo'lgan qalay idishning balandligi h 0 va radiusi r 0 ni topish kerak (bu holda, eng kam ishlab chiqarish uchun qalay miqdori sarflanadi).

Keling, yozamiz quyidagi formulalar h balandligi va radiusi r bo'lgan silindrning hajmi va sirt maydoni uchun:

V = p r 2 h, S = 2p r (r + h).

Birinchi formuladan h orqali r va V ni ifodalab, hosil bo'lgan ifodani ikkinchisiga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

Shunday qilib, matematik nuqtai nazardan, muammo S(r) funksiya minimal darajaga yetgan r ning qiymatini aniqlashga tushadi. Keling, hosilasi bo'lgan r 0 qiymatlarini topamiz

nolga tushadi: r argumenti r 0 nuqtadan o‘tganda S(r) funksiyaning ikkinchi hosilasi belgisini minusdan plyusga o‘zgartirishini tekshirishingiz mumkin. Binobarin, r0 nuqtada S(r) funksiya minimumga ega. Tegishli qiymat h 0 = 2r 0 dir. Berilgan V qiymatini r 0 va h 0 ifodasiga almashtirib, kerakli radiusni olamiz. va balandligi

3) Transport muammosi.

Shaharda ikkita un ombori va ikkita novvoyxona mavjud. Har kuni birinchi ombordan 50 tonna, ikkinchidan zavodlarga 70 tonna un, birinchisiga 40 tonna, ikkinchisiga 80 tonna un tashiladi.

bilan belgilaymiz a ij 1 t unni i-ombordan tashish narxi j-chi o'simlik(i, j = 1,2). Mayli

a 11 = 1,2 rubl, a 12 = 1,6 rubl, a 21 = 0,8 rub., a 22 = 1 rub.

Tashish narxi minimal bo'lishi uchun uni qanday rejalashtirish kerak?

Keling, unga vazifa beraylik matematik shakl sayqallash Birinchi ombordan birinchi va ikkinchi zavodlarga, x 3 va x 4 bilan ikkinchi ombordan birinchi va ikkinchi zavodlarga olib o'tilishi kerak bo'lgan un miqdorini x 1 va x 2 bilan belgilaymiz. Keyin:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Barcha transportning umumiy qiymati formula bo'yicha aniqlanadi

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

Matematik nuqtai nazardan, masala barcha berilgan shartlarni qanoatlantiradigan va f funktsiyaning minimalini beradigan to'rtta x 1, x 2, x 3 va x 4 sonlarini topishdan iborat. xi (i = 1, 2, 3, 4) uchun (1) tenglamalar tizimini noma’lumlarni yo‘q qilib yechamiz. Biz buni tushunamiz

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

va x 4 ni yagona aniqlash mumkin emas. x i í 0 (i = 1, 2, 3, 4) boʻlgani uchun (2) tenglamalardan 30J x 4 Ј 70 ekanligi kelib chiqadi. X 1, x 2, x 3 ifodasini f formulasiga almashtirsak, hosil boʻladi.

f = 148 - 0,2x 4.

Ushbu funktsiyaning minimal qiymatiga x 4 ning maksimal mumkin bo'lgan qiymatida, ya'ni x 4 = 70 da erishilganligini ko'rish oson. Boshqa noma'lumlarning tegishli qiymatlari (2) formulalar bilan aniqlanadi: x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Radioaktiv parchalanish muammosi.

N(0) radioaktiv moddaning boshlang’ich atomlari soni, N(t) esa t vaqtdagi parchalanmagan atomlar soni bo’lsin. Bu atomlar sonining o'zgarish tezligi N"(t) N(t) ga proportsional ekanligi, ya'ni N"(t)=–l N(t), l >0 ekanligi tajribada aniqlangan. berilgan moddaning radioaktivlik konstantasi. Matematik analizning maktab kursida bu differensial tenglamaning yechimi N(t) = N(0)e –l t ko'rinishga ega ekanligi ko'rsatilgan. Dastlabki atomlar soni ikki baravar kamaygan T vaqti yarim yemirilish davri deb ataladi va moddaning radioaktivligining muhim xarakteristikasi hisoblanadi. T ni aniqlash uchun formulani qo'yishimiz kerak Keyin Masalan, radon uchun l = 2,084 · 10 –6, shuning uchun T = 3,15 kun.

5) Sayohatchi sotuvchi muammosi.

A 1 shahrida yashovchi sayohatchi sotuvchi A 2, A 3 va A 4 shaharlariga, har bir shaharga aynan bir marta tashrif buyurishi va keyin A 1 ga qaytishi kerak. Ma’lumki, barcha shaharlar juft bo‘lib yo‘llar orqali bog‘langan va A i va A j shaharlari orasidagi b ij yo‘llarining uzunligi (i, j = 1, 2, 3, 4) quyidagicha:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Tegishli yo'lning uzunligi minimal bo'lgan shaharlarga tashrif buyurish tartibini aniqlash kerak.

Keling, har bir shaharni samolyotdagi nuqta sifatida tasvirlaymiz va uni tegishli Ai yorlig'i bilan belgilaymiz (i = 1, 2, 3, 4). Keling, bu nuqtalarni to'g'ri chiziqlar bilan bog'laymiz: ular shaharlar orasidagi yo'llarni ifodalaydi. Har bir "yo'l" uchun biz uning uzunligini kilometrlarda ko'rsatamiz (2-rasm). Natijada grafik hosil bo'ladi - tekislikdagi ma'lum nuqtalar to'plamidan (cho'qqilar deb ataladi) va bu nuqtalarni bog'laydigan ma'lum chiziqlar to'plamidan (qirralar deb ataladi) iborat matematik ob'ekt. Bundan tashqari, ushbu grafik etiketlanadi, chunki uning uchlari va qirralariga ba'zi teglar - raqamlar (qirralar) yoki belgilar (cho'qqilar) berilgan. Grafikdagi tsikl V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 cho‘qqilar ketma-ketligi bo‘lib, shundayki V 1 , ..., V k cho‘qqilari har xil bo‘ladi va har qanday juft V i , V uchlari juftligi. i+1 (i = 1, ..., k – 1) va V 1, V k juftligi chekka bilan bog‘langan. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan muammo - barcha chekka og'irliklarining yig'indisi minimal bo'lgan to'rtta cho'qqidan o'tuvchi grafikda tsiklni topishdir. Keling, to'rtta cho'qqidan o'tuvchi va A 1 dan boshlab barcha turli tsikllarni qidiramiz:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Endi bu sikllarning uzunliklarini (km da) topamiz: L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Demak, eng qisqa uzunlikdagi marshrut birinchisidir.

E'tibor bering, agar grafikda n ta cho'qqi mavjud bo'lsa va barcha cho'qqilar juft bo'lib qirralar bilan bog'langan bo'lsa (bunday grafik to'liq deb ataladi), u holda barcha cho'qqilardan o'tadigan tsikllar soni Shunday qilib, bizning holatlarimizda to'liq uchta tsikl mavjud.

6) Moddalarning tuzilishi va xossalari orasidagi bog`lanishni topish masalasi.

Keling, bir nechtasini ko'rib chiqaylik kimyoviy birikmalar, oddiy alkanlar deb ataladi. Ular n = 3 uchun 3-rasmda ko'rsatilgandek o'zaro bog'langan n uglerod atomi va n + 2 vodorod atomidan (n = 1, 2 ...) iborat. Ushbu birikmalarning qaynash nuqtalarining tajriba qiymatlari ma'lum bo'lsin:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Ushbu birikmalar uchun qaynash nuqtasi va n soni o'rtasidagi taxminiy munosabatni topish talab qilinadi. Faraz qilaylik, bu qaramlik shaklga ega

y" a n+b,

Qayerda a, b - aniqlanadigan konstantalar. Topmoq a va b biz ushbu formulaga ketma-ket n = 3, 4, 5, 6 va qaynash nuqtalarining mos keladigan qiymatlarini almashtiramiz. Bizda ... bor:

– 42 » 3 a+ b, 0 » 4 a+ b, 28 » 5 a+ b, 69 » 6 a+ b.

Eng yaxshisini aniqlash uchun a va b juda ko'p turli xil usullar mavjud. Keling, ulardan eng oddiylaridan foydalanamiz. b ni orqali ifodalaymiz a bu tenglamalardan:

b » – 42 – 3 a, b " - 4 a, b » 28 – 5 a, b » 69 – 6 a.

Keling, ushbu qiymatlarning o'rtacha arifmetik qiymatini kerakli b deb olamiz, ya'ni b » 16 - 4,5 ni qo'yamiz. a. Keling, b ning ushbu qiymatini tenglamalarning dastlabki tizimiga almashtiramiz va hisoblaymiz a, uchun olamiz a quyidagi qiymatlar: a» 37, a» 28, a» 28, a" 36. Keling, talab sifatida qabul qilaylik a bu raqamlarning o'rtacha qiymati, ya'ni qo'yaylik a" 34. Demak, kerakli tenglama shaklga ega

y » 34n – 139.

Keling, dastlabki to'rtta birikma bo'yicha modelning to'g'riligini tekshirib ko'raylik, buning uchun hosil bo'lgan formuladan foydalanib qaynash nuqtalarini hisoblaymiz:

y r (3) = – 37°, y r (4) = – 3°, y r (5) = 31°, y r (6) = 65°.

Shunday qilib, ushbu birikmalar uchun bu xususiyatni hisoblashda xatolik 5 ° dan oshmaydi. Olingan tenglamadan dastlabki to'plamga kirmagan n = 7 bo'lgan birikmaning qaynash haroratini hisoblash uchun foydalanamiz, buning uchun biz ushbu tenglamaga n = 7 ni almashtiramiz: y r (7) = 99 °. Natija juda aniq edi: ma'lumki, qaynash nuqtasining tajriba qiymati y e (7) = 98 °.

7) Elektr zanjirining ishonchliligini aniqlash masalasi.

Bu erda biz ehtimollik modeli misolini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, ehtimollik nazariyasidan ba'zi ma'lumotlarni taqdim etamiz - tajribalarni takroriy takrorlash paytida kuzatiladigan tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini o'rganadigan matematik intizom. A tasodifiy hodisani qandaydir tajribaning mumkin bo'lgan natijasi deb ataylik. A 1, ..., A k hodisalari, agar ulardan biri tajriba natijasida albatta sodir bo'lsa, to'liq guruh hosil qiladi. Agar bir vaqtning o'zida bir vaqtning o'zida sodir bo'lolmasa, hodisalar mos kelmaydigan deb ataladi. Tajribani n marta takrorlashda A hodisasi m marta sodir bo'lsin. A hodisaning chastotasi W = soni. Shubhasiz, V ning qiymatini bir qator n ta tajribalar o'tkazilmaguncha aniq prognoz qilib bo'lmaydi. Biroq, tasodifiy hodisalarning tabiati shundaki, amalda ba'zida quyidagi effekt kuzatiladi: tajribalar soni ortib borishi bilan qiymat amalda tasodifiy bo'lishni to'xtatadi va ba'zi bir tasodifiy bo'lmagan P (A) soni atrofida barqarorlashadi, bu ehtimollik deb ataladi. hodisa A. Imkonsiz hodisa (tajribada hech qachon yuz bermaydi) uchun P(A)=0, ishonchli hodisa uchun (tajribada doimo uchraydi) P(A)=1. Agar A 1 , ..., A k hodisalar mos kelmaydigan hodisalarning toʻliq guruhini tashkil qilsa, P(A 1)+...+P(A k)=1 boʻladi.

Masalan, eksperiment zarni uloqtirish va tashlangan X nuqtalar sonini kuzatishdan iborat bo'lsin.Unda quyidagi tasodifiy hodisalarni kiritishimiz mumkin A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Ular mos kelmaydigan teng ehtimolli hodisalarning to'liq guruhini hosil qiladi, shuning uchun P (A i) = (i = 1, ..., 6).

A va B hodisalarning yig'indisi A + B hodisasi bo'lib, ulardan kamida bittasi tajribada sodir bo'lishidan iborat. A va B hodisalarning mahsuloti AB hodisasi bo'lib, bu hodisalarning bir vaqtning o'zida sodir bo'lishidan iborat. Mustaqil A va B hodisalari uchun quyidagi formulalar to'g'ri bo'ladi:

P (AB) = P (A) P (B), P (A + B) = P (A) + P (B).

8) Keling, quyidagini ko'rib chiqaylik vazifa. Faraz qilaylik, uchta element elektr zanjiriga ketma-ket ulangan va bir-biridan mustaqil ishlaydi. 1-, 2- va 3-elementlarning ishdan chiqish ehtimoli mos ravishda P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2 ga teng. Agar kontaktlarning zanglashiga olib keladigan oqim bo'lmasligi ehtimoli 0,4 dan oshmasa, biz sxemani ishonchli deb hisoblaymiz. Berilgan sxema ishonchli yoki yo'qligini aniqlash kerak.

Elementlar ketma-ket ulanganligi sababli, elementlardan kamida bittasi ishlamay qolsa, zanjirda (A hodisasi) oqim bo'lmaydi. A i voqea bo'lsin i-element ishlaydi (i = 1, 2, 3). Keyin P (A1) = 0,9, P (A2) = 0,85, P (A3) = 0,8. Shubhasiz, A 1 A 2 A 3 - bu uch element bir vaqtning o'zida ishlaydigan hodisa va

P(A 1 A 2 A 3) = P (A 1) P (A 2) P (A 3) = 0,612.

Keyin P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, shuning uchun P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, matematik modellarning berilgan misollari (shu jumladan funktsional va strukturaviy, deterministik va ehtimollik) illyustrativ xususiyatga ega va tabiiy va gumanitar fanlarda paydo bo'ladigan turli xil matematik modellarni tugatmasligi aniq.

1-ma'ruza.

MODELLASHNING METODOLIK ASOSLARI

Tizimni modellashtirish muammosining hozirgi holati

Modellashtirish va simulyatsiya tushunchalari

Modellashtirish O'rganilayotgan ob'ektni (asl nusxasini) uning odatiy tasviri, tavsifi yoki boshqa ob'ekt bilan almashtirish deb hisoblash mumkin. model va muayyan taxminlar va qabul qilinadigan xatolar doirasida asl nusxaga yaqin xatti-harakatni ta'minlash. Modellashtirish odatda ob'ektning o'zini emas, balki uning modelini o'rganish orqali asl nusxaning xususiyatlarini tushunish maqsadida amalga oshiriladi. Albatta, modellashtirish asl nusxani yaratishdan ko'ra soddaroq bo'lsa yoki biron sababga ko'ra asl nusxani umuman yaratmaslik yaxshiroqdir.

ostida model xossalari o’rganilayotgan ob’ektning xossalariga ma’lum ma’noda o’xshash bo’lgan fizik yoki mavhum obyekt tushuniladi.Bunda modelga qo’yiladigan talablar hal etilayotgan masala va mavjud vositalar bilan belgilanadi. Modellar uchun bir qator umumiy talablar mavjud:

2) to'liqlik - oluvchiga barcha kerakli ma'lumotlarni taqdim etish

ob'ekt haqida;

3) moslashuvchanlik - har bir narsada turli vaziyatlarni takrorlash qobiliyati

shartlar va parametrlarning o'zgarishi diapazoni;

4) rivojlanishning murakkabligi mavjud uchun maqbul bo'lishi kerak

vaqt va dasturiy ta'minot.

Modellashtirish ob'ektning modelini qurish va modelni tekshirish orqali uning xususiyatlarini o'rganish jarayonidir.

Shunday qilib, modellashtirish 2 asosiy bosqichni o'z ichiga oladi:

1) modelni ishlab chiqish;

2) modelni o'rganish va xulosalar chiqarish.

Shu bilan birga, har bir bosqichda turli vazifalar hal qilinadi va

asosan har xil usullar va vositalar.

Amalda turli xil modellashtirish usullari qo'llaniladi. Amalga oshirish usuliga qarab, barcha modellarni ikkita katta sinfga bo'lish mumkin: fizik va matematik.

Matematik modellashtirish Odatda jarayonlar yoki hodisalarni ularning matematik modellari yordamida o'rganish vositasi sifatida qaraladi.

ostida jismoniy modellashtirish ob'ektlar va hodisalarni fizik modellar bo'yicha o'rganishni nazarda tutadi, bunda o'rganilayotgan jarayon fizik tabiati saqlanib qolgan holda takrorlanganda yoki o'rganilayotganga o'xshash boshqa fizik hodisadan foydalanilganda. Qayerda jismoniy modellar Qoida tariqasida, ular asl nusxaning ma'lum bir vaziyatda ahamiyatli bo'lgan jismoniy xususiyatlarining haqiqiy timsolini o'z zimmalariga oladilar.Masalan, yangi samolyotni loyihalashda bir xil aerodinamik xususiyatlarga ega maket yaratiladi; Rivojlanishni rejalashtirayotganda, me'morlar uning elementlarining fazoviy joylashuvini aks ettiruvchi model yaratadilar. Shu munosabat bilan jismoniy modellashtirish ham deyiladi prototiplash.

Yarim umr modellashtirish modelga real uskunalarni kiritish bilan komplekslarni modellashtirish bo'yicha boshqariladigan tizimlarni o'rganishdir. Haqiqiy asbob-uskunalar bilan bir qatorda yopiq modelga ta'sir va shovqin simulyatorlari, tashqi muhitning matematik modellari va etarlicha aniq matematik tavsifi noma'lum bo'lgan jarayonlar kiradi. Murakkab jarayonlarni modellashtirish sxemasiga haqiqiy uskunalar yoki real tizimlarni kiritish aprior noaniqlikni kamaytirish va aniq matematik tavsifi bo'lmagan jarayonlarni o'rganish imkonini beradi. Yarim tabiiy modellashtirishdan foydalangan holda, tadqiqot haqiqiy uskunaga xos bo'lgan kichik vaqt konstantalari va chiziqlilikni hisobga olgan holda amalga oshiriladi. Haqiqiy uskunalar yordamida modellarni o'rganishda kontseptsiyadan foydalaniladi dinamik simulyatsiya, tadqiqot davomida murakkab tizimlar va hodisalar - evolyutsion, taqlid qilish Va kibernetik modellashtirish.

Shubhasiz, modellashtirishning haqiqiy foydasiga faqat ikkita shart bajarilgan taqdirdagina erishish mumkin:

1) model xususiyatlarning to'g'ri (adekvat) ko'rinishini ta'minlaydi

asl, o'rganilayotgan operatsiya nuqtai nazaridan ahamiyatli;

2) model yuqorida sanab o'tilgan muammolarni bartaraf etishga imkon beradi

real ob'ektlar ustida tadqiqot olib borish.

2. Matematik modellashtirishning asosiy tushunchalari

Matematik usullardan foydalangan holda amaliy masalalarni yechish muammoni shakllantirish (matematik modelni ishlab chiqish), olingan matematik modelni o'rganish usulini tanlash va olingan matematik natijani tahlil qilish orqali izchil amalga oshiriladi. Masalaning matematik formulasi odatda geometrik tasvirlar, funksiyalar, tenglamalar tizimi va boshqalar ko'rinishida taqdim etiladi. Ob'ekt (hodisalar) tavsifi uzluksiz yoki diskret, deterministik yoki stokastik va boshqa matematik shakllar yordamida ifodalanishi mumkin.

Matematik modellashtirish nazariyasi atrofdagi dunyoda turli hodisalarning paydo bo'lish qonuniyatlarini yoki tizimlar va qurilmalarning ishlashini matematik tavsiflash va modellashtirish orqali to'liq miqyosli sinovlarni o'tkazmasdan aniqlashni ta'minlaydi. Bunday holda, simulyatsiya qilingan hodisalar, tizimlar yoki qurilmalarni idealizatsiya qilishning ma'lum darajasida tavsiflovchi matematikaning qoidalari va qonunlari qo'llaniladi.

Matematik model (MM) tizimning (yoki operatsiyaning) qandaydir mavhum tilda rasmiylashtirilgan tavsifi, masalan, matematik munosabatlar to'plami yoki algoritm diagrammasi shaklida, ya'ni. ya'ni tizimlar yoki qurilmalarni to'liq miqyosda sinovdan o'tkazishda olingan ularning haqiqiy xatti-harakatlariga etarlicha yaqin darajadagi tizimlar yoki qurilmalarning ishlashini simulyatsiya qilishni ta'minlaydigan bunday matematik tavsif.

Har qanday MM real ob'ekt, hodisa yoki jarayonni voqelikka ma'lum darajada yaqinlashgan holda tasvirlaydi. MM turi tabiatga bog'liq haqiqiy ob'ekt, va tadqiqot maqsadlaridan.

Matematik modellashtirish ijtimoiy, iqtisodiy, biologik va jismoniy hodisalar, ob'ektlar, tizimlar va turli xil qurilmalar tabiatni tushunish va turli xil tizimlar va qurilmalarni loyihalashning eng muhim vositalaridan biridir. Yadro texnologiyalari, aviatsiya va aerokosmik tizimlarni yaratishda, atmosfera va okean hodisalarini, ob-havoni va boshqalarni bashorat qilishda modellashtirishdan samarali foydalanishning ma'lum misollari mavjud.

Biroq, modellashtirishning bunday jiddiy yo'nalishlari ko'pincha superkompyuterlar va katta olimlar guruhlari tomonidan modellashtirish va uni tuzatish uchun ma'lumotlarni tayyorlash uchun ko'p yillik mehnatni talab qiladi. Biroq, bu holda, murakkab tizimlar va qurilmalarni matematik modellashtirish nafaqat tadqiqot va sinovlar uchun mablag'ni tejash, balki ekologik ofatlarni ham bartaraf etish imkonini beradi - masalan, yadro va termoyadro qurollarini matematik modellashtirish foydasiga sinovdan voz kechishga imkon beradi. yoki aerokosmik tizimlarni haqiqiy parvozlari oldidan sinovdan o'tkazish.Shuning uchun, matematik modellashtirish, masalan, mexanika, elektrotexnika, elektronika, radiotexnika va fan va texnikaning boshqa ko'plab sohalaridan oddiyroq muammolarni hal qilish darajasidagi matematik modellashtirishga aylandi. zamonaviy kompyuterlarda ishlash uchun mavjud. Va umumlashtirilgan modellardan foydalanganda, juda murakkab tizimlarni, masalan, telekommunikatsiya tizimlari va tarmoqlarini, radar yoki radio navigatsiya tizimlarini taqlid qilish mumkin bo'ladi.

Matematik modellashtirishning maqsadi real jarayonlarni (tabiatda yoki texnologiyada) matematik usullar yordamida tahlil qilishdir. O'z navbatida, bu o'rganiladigan MM jarayonini rasmiylashtirishni talab qiladi.Model o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan matematik ifoda bo'lishi mumkin, ularning xatti-harakati haqiqiy tizimning xatti-harakatiga o'xshash.Modelga tasodifiylik elementlarini kiritish mumkin, ular mumkin bo'lgan ehtimolliklarni hisobga oladi. ikki yoki Ko'proq"o'yinchilar", masalan, o'yin nazariyasida; yoki operatsion tizimning o'zaro bog'langan qismlarining haqiqiy o'zgaruvchilarini ifodalashi mumkin.

Tizimlarning xarakteristikalarini o'rganish uchun matematik modellashtirishni analitik, simulyatsiya va birlashtirilganga bo'lish mumkin. O'z navbatida, MMlar simulyatsiya va analitiklarga bo'linadi.

Analitik modellashtirish

Uchun analitik modellashtirish Tizimning ishlash jarayonlari ma'lum funktsional munosabatlar (algebraik, differentsial, integral tenglamalar) shaklida yozilishi xarakterlidir. Analitik modelni quyidagi usullar yordamida o'rganish mumkin:

1) analitik, ular umumiy shaklda tizimlarning xarakteristikalari uchun aniq bog'liqliklarni olishga intilishlari;

2) raqamli, umumiy shaklda tenglamalar yechimini topishning iloji bo'lmaganda va ular aniq boshlang'ich ma'lumotlar uchun echiladi;

3) sifatli, eritma bo'lmaganda uning ba'zi xossalari topilganda.

Analitik modellarni faqat nisbatan oddiy tizimlar uchun olish mumkin. Murakkab tizimlar uchun ko'pincha katta matematik muammolar paydo bo'ladi. Analitik usulni qo'llash uchun ular asl modelni sezilarli darajada soddalashtirishga o'tadilar. Biroq, soddalashtirilgan model yordamida tadqiqot faqat indikativ natijalarni olishga yordam beradi. Analitik modellar kirish va chiqish o'zgaruvchilari va parametrlari o'rtasidagi munosabatni matematik jihatdan to'g'ri aks ettiradi. Ammo ularning tuzilishi ob'ektning ichki tuzilishini aks ettirmaydi.

Analitik modellashtirish jarayonida uning natijalari analitik ifodalar shaklida taqdim etiladi. Masalan, ulanish orqali R.C.- doimiy kuchlanish manbaiga o'tkazish E(R, C Va E- ushbu modelning tarkibiy qismlari), biz kuchlanishning vaqtga bog'liqligi uchun analitik ifodani yaratishimiz mumkin u(t) kondansatör ustida C:

Ushbu chiziqli differentsial tenglama (DE) ushbu oddiy chiziqli sxemaning analitik modelidir. Dastlabki sharoitda uning analitik yechimi u(0) = 0, zaryadsizlangan kondansatör degan ma'noni anglatadi C modellashtirishning boshida kerakli bog'liqlikni topishga imkon beradi - formula shaklida:

u(t) = E(1− masalanp(- t/RC)). (2)

Biroq, bu eng oddiy misolda ham, DE (1) ni hal qilish yoki qo'llash uchun ma'lum harakatlar talab etiladi kompyuter matematika tizimlari(SCM) ramziy hisob-kitoblar bilan - kompyuter algebra tizimlari. Ushbu mutlaqo ahamiyatsiz ish uchun chiziqli modellashtirish muammosini hal qilish R.C.-sxema juda umumiy shakldagi analitik ifodani (2) beradi - u har qanday komponent reytinglari uchun sxemaning ishlashini tavsiflash uchun javob beradi. R, C Va E, va kondensatorning eksponensial zaryadini tavsiflaydi C rezistor orqali R doimiy kuchlanish manbasidan E.

Albatta, analitik modellashtirish jarayonida analitik yechimlarni topish oddiy chiziqli sxemalar, tizimlar va qurilmalarning umumiy nazariy qonuniyatlarini aniqlash uchun nihoyatda qimmatli bo‘lib chiqadi.Ammo modelga ta’sirlar murakkablashib borishi hamda modelga ta’sir qilish tartibi va soni oshishi bilan uning murakkabligi keskin ortadi. modellashtirilgan ob'ektni tavsiflovchi holat tenglamalari ortadi. Ikkinchi yoki uchinchi darajali ob'ektlarni modellashtirishda ko'proq yoki kamroq ko'rinadigan natijalarga erishishingiz mumkin, ammo yuqori tartib bilan analitik ifodalar haddan tashqari noqulay, murakkab va tushunish qiyin bo'ladi. Misol uchun, hatto oddiy elektron kuchaytirgich ham ko'pincha o'nlab komponentlarni o'z ichiga oladi. Biroq, ko'plab zamonaviy SCMlar, masalan, ramziy matematika tizimlari Maple, Matematika yoki atrof-muhit MATLAB, murakkab analitik modellashtirish masalalarini hal qilishni asosan avtomatlashtirishga qodir.

Modellashtirishning bir turi raqamli modellashtirish, Euler yoki Runge-Kutta usullari kabi har qanday mos raqamli usul bilan tizimlar yoki qurilmalarning xatti-harakatlari haqida kerakli miqdoriy ma'lumotlarni olishdan iborat. Amalda, raqamli usullardan foydalangan holda chiziqli bo'lmagan tizimlar va qurilmalarni modellashtirish individual xususiy chiziqli sxemalar, tizimlar yoki qurilmalarni analitik modellashtirishdan ancha samaraliroq bo'lib chiqadi. Masalan, DE (1) yoki ortiq DE tizimlarini yechish uchun qiyin holatlar Yechimni analitik shaklda olish mumkin emas, lekin raqamli simulyatsiya ma'lumotlaridan foydalanib, simulyatsiya qilingan tizimlar va qurilmalarning xatti-harakatlari haqida etarlicha to'liq ma'lumotlarni olish mumkin, shuningdek, ushbu xatti-harakatni tavsiflovchi bog'liqlik grafiklarini qurish mumkin.

Simulyatsiya modellashtirish

Da taqlid qilish 10 va modellashtirish, modelni amalga oshiradigan algoritm tizimning vaqt o'tishi bilan ishlash jarayonini takrorlaydi. Jarayonni tashkil etuvchi elementar hodisalar vaqt o'tishi bilan ularning mantiqiy tuzilishi va hodisalar ketma-ketligini saqlab, taqlid qilinadi.

Analitik modellarga nisbatan simulyatsiya modellarining asosiy afzalligi murakkabroq muammolarni hal qilish qobiliyatidir.

Simulyatsiya modellari diskret yoki uzluksiz elementlarning mavjudligini, chiziqli bo'lmagan xususiyatlarni, tasodifiy ta'sirlarni va boshqalarni hisobga olishni osonlashtiradi.Shuning uchun bu usul murakkab tizimlarni loyihalash bosqichida keng qo'llaniladi. Simulyatsiya modellashtirishni amalga oshirishning asosiy vositasi kompyuter bo'lib, tizimlar va signallarni raqamli modellashtirish imkonini beradi.

Shu munosabat bilan, keling, iborani aniqlaylik. kompyuter modellashtirish”, adabiyotda tobora ko'proq foydalanilmoqda. Buni taxmin qilaylik kompyuter modellashtirish kompyuter texnologiyasidan foydalangan holda matematik modellashtirishdir. Shunga ko'ra, kompyuter modellashtirish texnologiyasi quyidagi harakatlarni bajarishni o'z ichiga oladi:

1) modellashtirish maqsadini aniqlash;

2) kontseptual modelni ishlab chiqish;

3) modelni rasmiylashtirish;

4) modelning dasturiy ta'minoti;

5) namunaviy tajribalarni rejalashtirish;

6) tajriba rejasini amalga oshirish;

7) modellashtirish natijalarini tahlil qilish va izohlash.

Da simulyatsiya modellashtirish Amaldagi MM tizim parametrlari va tashqi muhit qiymatlarining turli kombinatsiyalari uchun vaqt o'tishi bilan o'rganilayotgan tizimning ishlashi algoritmini ("mantiq") takrorlaydi.

Eng oddiy analitik modelga to'g'ri chiziqli bir tekis harakat tenglamasi misol bo'la oladi. Bunday jarayonni simulyatsiya modelidan foydalangan holda o'rganishda vaqt o'tishi bilan bosib o'tilgan yo'lning o'zgarishini kuzatish amalga oshirilishi kerak.Shubhasiz, ba'zi hollarda analitik modellashtirish afzalroq, boshqalarida - simulyatsiya (yoki ikkalasining kombinatsiyasi). Muvaffaqiyatli tanlov qilish uchun siz ikkita savolga javob berishingiz kerak.

Modellashtirishdan maqsad nima?

Modellashtirilgan hodisani qaysi sinfga ajratish mumkin?

Ushbu ikkala savolga javoblarni modellashtirishning dastlabki ikki bosqichida olish mumkin.

Simulyatsiya modellari nafaqat xossalari, balki tuzilishi jihatidan ham modellashtirilgan ob'ektga mos keladi. Bunday holda, modelda olingan jarayonlar va ob'ektda sodir bo'ladigan jarayonlar o'rtasida aniq va aniq muvofiqlik mavjud. Simulyatsiyaning kamchiligi shundaki, yaxshi aniqlikka erishish uchun muammoni hal qilish uchun uzoq vaqt kerak bo'ladi.

Stokastik tizimning ishlashini simulyatsiya modellashtirish natijalari tasodifiy o'zgaruvchilar yoki jarayonlarni amalga oshirishdir. Shuning uchun tizimning xususiyatlarini topish uchun bir necha marta takrorlash va keyingi ma'lumotlarni qayta ishlash talab etiladi. Ko'pincha bu holda simulyatsiya turi qo'llaniladi - statistik

modellashtirish(yoki Monte-Karlo usuli), ya'ni. tasodifiy omillar, hodisalar, miqdorlar, jarayonlar, maydonlarni modellarda takrorlash.

Statistik modellashtirish natijalariga ko'ra, boshqariladigan tizimning ishlashi va samaradorligini tavsiflovchi umumiy va xususiy sifatning ehtimollik mezonlari baholari aniqlanadi. Statistik modellashtirish fan va texnikaning turli sohalarida ilmiy va amaliy muammolarni hal qilishda keng qo'llaniladi. Statistik modellashtirish usullari murakkab dinamik tizimlarni o'rganish, ularning ishlashi va samaradorligini baholashda keng qo'llaniladi.

Statistik modellashtirishning yakuniy bosqichi olingan natijalarni matematik qayta ishlashga asoslanadi. Bu erda matematik statistika usullari qo'llaniladi (parametrik va parametrik bo'lmagan baholash, gipotezani tekshirish). Parametrik baholovchiga misol sifatida samaradorlik o'lchovining namunaviy o'rtacha qiymatini keltirish mumkin. Parametrik bo'lmagan usullar orasida keng tarqalgan gistogramma usuli.

Ko'rib chiqilayotgan sxema mustaqil tasodifiy miqdorlar statistikasi tizimi va usullarini takroriy statistik sinovlarga asoslangan.Bu sxema amalda har doim ham tabiiy va xarajatlar nuqtai nazaridan optimal emas. Tizimni sinovdan o'tkazish vaqtini qisqartirishga aniqroq baholash usullarini qo'llash orqali erishish mumkin. Matematik statistikadan ma'lumki, samarali hisob-kitoblar ma'lum bir tanlama hajmi uchun eng katta aniqlikka ega. Optimal filtrlash va maksimal ehtimollik usuli beradi umumiy usul Bunday baholarni olish.Statistik modellashtirish masalalarida tasodifiy jarayonlarni amalga oshirishni qayta ishlash nafaqat chiqish jarayonlarini tahlil qilish uchun zarurdir.

Kirish tasodifiy ta'sirlarning xususiyatlarini nazorat qilish ham juda muhimdir. Nazorat ishlab chiqarilgan jarayonlar taqsimotlarining berilgan taqsimotlarga muvofiqligini tekshirishdan iborat. Bu muammo ko'pincha shunday shakllantiriladi gipotezani tekshirish muammosi.

Murakkab boshqariladigan tizimlarni kompyuterda modellashtirishning umumiy tendentsiyasi bu modellashtirish vaqtini qisqartirish, shuningdek, real vaqt rejimida tadqiqot o'tkazish istagi. Hisoblash algoritmlarini takroriy shaklda taqdim etish qulay bo'lib, ularni joriy axborotni olish tezligida amalga oshirish imkonini beradi.

MODELLASHDA TIZIMLI YONDOSISH PRINSİPLARI

Tizimlar nazariyasining asosiy tamoyillari

Tizimlar nazariyasining asosiy tamoyillari dinamik tizimlar va ularning funktsional elementlarini o'rganish jarayonida paydo bo'lgan. Tizim deganda oldindan belgilangan vazifani bajarish uchun birgalikda harakat qiladigan o'zaro bog'langan elementlar guruhi tushuniladi. Tizim tahlili sizga eng ko'p aniqlash imkonini beradi haqiqiy yo'llar yuklangan vazifani bajarish, belgilangan talablarni maksimal darajada qondirishni ta'minlash.

Tizimlar nazariyasining asosini tashkil etuvchi elementlar gipotezalar orqali yaratilmaydi, balki eksperimental tarzda ochiladi. Tizimni qurishni boshlash uchun texnologik jarayonlarning umumiy xususiyatlariga ega bo'lish kerak. Xuddi shu narsa jarayon yoki uning nazariy tavsifi qondirishi kerak bo'lgan matematik shakllangan mezonlarni yaratish tamoyillariga ham tegishli. Modellashtirish ilmiy tadqiqot va tajribaning eng muhim usullaridan biridir.

Ob'ektlar modellarini qurishda tizimli yondashuv qo'llaniladi, bu ob'ektni ma'lum bir muhitda ishlaydigan tizim sifatida ko'rib chiqishga asoslangan murakkab muammolarni hal qilish metodologiyasi. Tizimli yondashuv ob'ektning yaxlitligini ochib berish, uning ichki tuzilishini, shuningdek, tashqi muhit bilan aloqalarini aniqlash va o'rganishni o'z ichiga oladi. Bunda ob'ekt real olamning bir qismi sifatida taqdim etiladi, u izolyatsiya qilinadi va modelni qurish muammosi bilan bog'liq holda o'rganiladi. Bundan tashqari, tizimli yondashuv Dizayn maqsadi ko'rib chiqishning asosi bo'lganda va ob'ekt atrof-muhit bilan bog'liq holda ko'rib chiqilsa, umumiydan xususiyga izchil o'tishni o'z ichiga oladi.

Murakkab ob'ektni quyidagi talablarga javob beradigan ob'ekt qismlari bo'lgan quyi tizimlarga bo'lish mumkin:

1) quyi tizim - ob'ektning funktsional mustaqil qismi. U boshqa quyi tizimlar bilan bog'lanadi, ular bilan axborot va energiya almashadi;

2) har bir quyi tizim uchun butun tizimning xususiyatlariga mos kelmaydigan funktsiyalar yoki xususiyatlar aniqlanishi mumkin;

3) quyi tizimlarning har biri keyingi elementlar darajasiga bo'linishi mumkin.

Bunday holda, element pastki darajadagi quyi tizim sifatida tushuniladi, uning keyingi bo'linishi hal qilinayotgan muammo nuqtai nazaridan mos kelmaydi.

Shunday qilib, tizimni ob'ektni yaratish, tadqiq qilish yoki takomillashtirish maqsadida quyi tizimlar, elementlar va ulanishlar to'plami ko'rinishidagi tasviri sifatida aniqlash mumkin. Bunda asosiy quyi tizimlar va ular orasidagi bog’lanishlarni o’z ichiga olgan tizimning kengaytirilgan tasviri makrostruktura, tizimning ichki tuzilishini elementlar darajasigacha bo’lgan batafsil ochib berilishi esa mikrotuzilma deb ataladi.

Tizim bilan bir qatorda odatda supertizim - yuqori darajadagi tizim mavjud bo'lib, u ko'rib chiqilayotgan ob'ektni o'z ichiga oladi va har qanday tizimning funktsiyasini faqat supertizim orqali aniqlash mumkin.

Atrof-muhit tushunchasini tizimning samaradorligiga sezilarli ta'sir ko'rsatadigan, lekin tizim va uning supertizimiga kirmaydigan tashqi dunyo ob'ektlari to'plami sifatida ajratib ko'rsatish kerak.

Modellarni qurishda tizimli yondashuv bilan bog'liq holda tizimning uning atrof-muhit (atrof-muhit) bilan aloqasini tavsiflovchi infratuzilma tushunchasi qo'llaniladi.Bunda ob'ektning muhim bo'lgan xususiyatlarini aniqlash, tavsiflash va o'rganish. muayyan vazifa doirasidagi ob'ektning tabaqalanishi deyiladi va ob'ektning har qanday modeli uning tabaqalashtirilgan tavsifi hisoblanadi.

Tizimli yondashuv uchun tizimning tuzilishini aniqlash muhim, ya'ni. tizim elementlari oʻrtasidagi oʻzaro taʼsirini aks ettiruvchi bogʻlanishlar majmui. Buning uchun biz birinchi navbatda modellashtirishning strukturaviy va funksional yondashuvlarini ko'rib chiqamiz.

Strukturaviy yondashuv bilan tizimning tanlangan elementlarining tarkibi va ular orasidagi aloqalar ochib beriladi. Elementlar va ulanishlar to'plami bizga tizimning tuzilishini hukm qilish imkonini beradi. Tuzilmaning eng umumiy tavsifi topologik tavsifdir. U grafiklar yordamida tizimning tarkibiy qismlarini va ularning ulanishlarini aniqlash imkonini beradi. Kamroq umumiy - funktsional tavsif, individual funktsiyalar ko'rib chiqilganda, ya'ni tizimning xatti-harakatlari uchun algoritmlar. Bunday holda, tizim bajaradigan funktsiyalarni belgilaydigan funktsional yondashuv amalga oshiriladi.

Tizimli yondashuvga asoslanib, ikkita asosiy dizayn bosqichi ajratilganda modelni ishlab chiqish ketma-ketligini taklif qilish mumkin: makrodizayn va mikrodizayn.

Makrodizayn bosqichida tashqi muhit modeli quriladi, resurslar va cheklovlar aniqlanadi, tizim modeli va muvofiqlikni baholash mezonlari tanlanadi.

Mikro-dizayn bosqichi asosan tanlangan modelning o'ziga xos turiga bog'liq. Umuman olganda, u axborot, matematik, texnik va dasturiy modellashtirish tizimlarini yaratishni o'z ichiga oladi. Ushbu bosqichda yaratilgan modelning asosiy texnik tavsiflari belgilanadi, u bilan ishlash uchun zarur bo'lgan vaqt va modelning belgilangan sifatini olish uchun resurslarning narxi baholanadi.

Modelning turidan qat'i nazar, uni qurishda tizimli yondashuvning bir qator tamoyillariga amal qilish kerak:

1) modelni yaratish bosqichlari bo'yicha izchil rivojlanish;

2) axborot, resurs, ishonchlilik va boshqa xususiyatlarni muvofiqlashtirish;

3) model qurishning turli darajalari o'rtasidagi to'g'ri munosabat;

4) modelni loyihalashning alohida bosqichlarining yaxlitligi.

Ko'rsatmalar

Statistik modellashtirish usuli (statistik test) Monte-Karlo usuli sifatida keng tarqalgan. Bu usul matematik modellashtirishning alohida holati bo'lib, tasodifiy hodisalarning ehtimollik modellarini yaratishga asoslangan. Har qanday tasodifiylikning asosi tasodifiy o'zgaruvchan yoki tasodifiy jarayondir. Bunday holda, ehtimollik nuqtai nazaridan tasodifiy jarayon n o'lchovli tasodifiy miqdor sifatida tavsiflanadi. To'liq ehtimollik tasodifiy o'zgaruvchi uning ehtimollik zichligini beradi. Ushbu taqsimot qonunini bilish kompyuterda tasodifiy jarayonlarning raqamli modellarini olish imkonini beradi, ular bilan to'liq miqyosli tajribalar o'tkazish emas. Bularning barchasi faqat diskret shaklda va diskret vaqtda mumkin, bu esa statik modellarni yaratishda hisobga olinishi kerak.

Statik modellashtirishda ma'lum bir hodisani ko'rib chiqishdan uzoqlashish, faqat uning ehtimollik xususiyatlariga e'tibor qaratish kerak. Bu modellashtirish uchun modellashtirilgan hodisaga o'xshash ehtimollik ko'rsatkichlariga ega bo'lgan oddiy hodisalardan foydalanish imkonini beradi. Misol uchun, 0,5 ehtimollik bilan sodir bo'lgan har qanday hodisani simmetrik tanga otish orqali simulyatsiya qilish mumkin. Statistik modellashtirishning har bir alohida bosqichi durang deb ataladi. Shunday qilib, matematik kutishning taxminini aniqlash uchun tasodifiy o'zgaruvchining (SV) X ning N ta chizmasi kerak bo'ladi.

Kompyuterni modellashtirishning asosiy vositasi bu (0, 1) oralig'ida bir xil bo'lgan tasodifiy sonlar sensorlari. Shunday qilib, Paskal muhitida bunday tasodifiy son Random buyrug'i yordamida chaqiriladi. Kalkulyatorlarda bu holat uchun RND tugmasi mavjud. Bunday tasodifiy sonlar jadvallari ham mavjud (hajmi 1 000 000 gacha). (0, 1) SV Z dagi formaning qiymati z bilan belgilanadi.

Tarqatish funktsiyasini chiziqli bo'lmagan o'zgartirish yordamida ixtiyoriy tasodifiy o'zgaruvchini modellashtirish texnikasini ko'rib chiqing. Ushbu usulda uslubiy xatolar yo'q. Uzluksiz SV X ning taqsimot qonuni ehtimollik zichligi W(x) bilan berilsin. Bu erda siz modellashtirishga tayyorgarlik ko'rish va amalga oshirishni boshlaysiz.

X - F(x) taqsimot funksiyasini toping. F(x)=∫(-∞,x)W(s)ds. Z=z ni oling va x uchun z=F(x) tenglamasini yeching (bu har doim ham mumkin, chunki Z va F(x) ham noldan birgacha qiymatga ega). Yechimni yozing x=F^(-1). )( z). Bu modellashtirish algoritmi. F ^ (-1) - teskari F. Faqatgina ushbu algoritm yordamida X* CD X raqamli modelining xi qiymatlarini doimiy ravishda olish qoladi.

Misol. SV ehtimollik zichligi W(x)=lexp(-lx), x≥0 (eksponensial taqsimot) bilan belgilanadi. Raqamli modelni toping.Yechim.1.. F(x)=∫(0,x)l∙exp(-ls)ds=1- exp(-lx).2. z=1- exp(-lx), x=(-1/l)∙ln(1-z). Har ikkala z va 1-z (0, 1) oraliqdan qiymatlarga ega va ular bir xil bo'lgani uchun (1-z) z bilan almashtirilishi mumkin. 3. Ko'rsatkichli SV ni modellashtirish tartibi x=(-1/l)∙lnz formula bo'yicha amalga oshiriladi. Aniqroq aytganda, xi=(-1/l)ln(zi).

Matematik model nima?

Matematik model tushunchasi.

Matematik model juda oddiy tushunchadir. Va juda muhim. Matematika va real hayotni bog'laydigan matematik modellardir.

Gapirmoqda oddiy tilda, matematik model - har qanday vaziyatning matematik tavsifi. Va tamom. Model ibtidoiy bo'lishi mumkin yoki u juda murakkab bo'lishi mumkin. Vaziyat qanday bo'lishidan qat'iy nazar, model shunday.)

Har qanday holatda (takrorlayman - har qanday!) biror narsani sanash va hisoblash kerak bo'lgan holatda - biz matematik modellashtirish bilan shug'ullanamiz. Garchi biz bunga shubha qilmasak ham.)

P = 2 CB + 3 CM

Ushbu yozuv bizning xaridlarimiz xarajatlarining matematik modeli bo'ladi. Modelda qadoqlash rangi, yaroqlilik muddati, kassirlarning xushmuomalaligi va boshqalar hisobga olinmaydi. Shuning uchun u model, haqiqiy xarid emas. Ammo xarajatlar, ya'ni. bizga nima kerak- aniq bilib olamiz. Agar model to'g'ri bo'lsa, albatta.

Matematik model nima ekanligini tasavvur qilish foydali, ammo bu etarli emas. Eng muhimi, bu modellarni qurish imkoniyatiga ega bo'lishdir.

Masalaning matematik modelini tuzish (konstruksiya qilish).

Matematik model yaratish deganda masala shartlarini matematik shaklga o‘tkazish tushuniladi. Bular. so'zlarni tenglama, formula, tengsizlik va hokazolarga aylantirish. Bundan tashqari, ushbu matematika manba matniga to'liq mos keladigan tarzda uni o'zgartiring. Aks holda, biz bizga noma'lum bo'lgan boshqa muammoning matematik modeliga ega bo'lamiz.)

Aniqroq aytganda, sizga kerak

Dunyoda cheksiz ko'p vazifalar mavjud. Shuning uchun, aniq taklif qiling bosqichma-bosqich ko'rsatmalar matematik modelni tuzish haqida har qanday vazifalarni bajarish mumkin emas.

Ammo siz e'tibor berishingiz kerak bo'lgan uchta asosiy nuqta bor.

1. Har qanday muammo matnni o'z ichiga oladi, g'alati.) Bu matn, qoida tariqasida, o'z ichiga oladi aniq, ochiq ma'lumot. Raqamlar, qiymatlar va boshqalar.

2. Har qanday muammo bor yashirin ma'lumotlar. Bu sizning boshingizda qo'shimcha bilimlarni o'z ichiga olgan matn. Ularsiz hech qanday yo'l yo'q. Bundan tashqari, matematik ma'lumotlar ko'pincha orqada yashiringan oddiy so'zlar bilan va... e'tiborni chetlab o'tadi.

3. Har qanday topshiriq berilishi kerak ma'lumotlarning bir-biri bilan bog'lanishi. Bu bog'lanish oddiy matnda (bir narsaga teng) berilishi mumkin yoki oddiy so'zlar orqasida yashirin bo'lishi mumkin. Ammo oddiy va aniq faktlar ko'pincha e'tibordan chetda qoladi. Va model hech qanday tarzda kompilyatsiya qilinmaydi.

Men darhol aytaman: ushbu uchta fikrni qo'llash uchun siz muammoni (va diqqat bilan!) Bir necha marta o'qib chiqishingiz kerak. Odatiy narsa.

Va endi - misollar.

Oddiy muammodan boshlaylik:

Petrovich baliq ovidan qaytib keldi va g'urur bilan o'z ovini oilasiga taqdim etdi. Yaqindan o'rganib chiqqach, 8 ta baliq kelganligi ma'lum bo'ldi shimoliy dengizlar, Barcha baliqlarning 20% ​​janubdan, birortasi ham Petrovich baliq tutgan mahalliy daryodan emas. Petrovich dengiz mahsulotlari do'konida qancha baliq sotib oldi?

Bu so'zlarning barchasini qandaydir tenglamaga aylantirish kerak. Buning uchun sizga kerak, takrorlayman, masaladagi barcha ma'lumotlar o'rtasida matematik aloqani o'rnatish.

Qayerdan boshlash kerak? Birinchidan, keling, vazifadan barcha ma'lumotlarni chiqaramiz. Keling, tartibda boshlaylik:

Keling, birinchi nuqtaga e'tibor qarataylik.

Qaysi biri shu yerda? aniq matematik ma'lumotlar? 8 baliq va 20%. Ko'p emas, lekin bizga ko'p narsa kerak emas.)

Keling, ikkinchi nuqtaga e'tibor qarataylik.

qidirmoqdalar yashirin ma `lumot. Bu yerda. Bu so'zlar: "Barcha baliqlarning 20 foizi"Bu erda siz foizlar nima ekanligini va ular qanday hisoblanganligini tushunishingiz kerak. Aks holda, muammoni hal qilib bo'lmaydi. Aynan shu qo'shimcha ma'lumotlar sizning boshingizda bo'lishi kerak.

Shuningdek bor matematik butunlay ko'rinmaydigan ma'lumotlar. Bu vazifa savoli: "Qancha baliq sotib oldim...” Bu ham raqam. Va usiz hech qanday model shakllanmaydi. Shuning uchun, keling, bu raqamni harf bilan belgilaymiz "X". Biz hali x nimaga teng ekanligini bilmaymiz, ammo bu belgi biz uchun juda foydali bo'ladi. X uchun nima olish va uni qanday hal qilish haqida batafsil ma'lumot darsda yozilgan Matematikadagi muammolarni qanday hal qilish kerak? Keling, darhol yozamiz:

x dona - baliqlarning umumiy soni.

Bizning muammomizda janubiy baliqlar foiz sifatida berilgan. Biz ularni qismlarga aylantirishimiz kerak. Nima uchun? Keyin nima har qanday model muammosi tuzilishi kerak bir xil turdagi miqdorda. Parchalar - shuning uchun hamma narsa bo'laklarga bo'linadi. Agar berilgan bo'lsa, aytaylik, soatlar va daqiqalar, biz hamma narsani bitta narsaga aylantiramiz - faqat soatlar yoki faqat daqiqalar. Bu nima bo'lishi muhim emas. Bu muhim barcha qiymatlar bir xil turdagi edi.

Keling, ma'lumotni oshkor qilishga qaytaylik. Kim manfaat nimaligini bilmasa, uni hech qachon oshkor etmaydi, ha... Lekin kim bilsa, darrov aytadiki, bu yerda qiziqish umumiy soni baliq beriladi. Va biz bu raqamni bilmaymiz. Hech narsa ishlamaydi!

Biz baliqlarning umumiy sonini (bo'laklarda!) yozishimiz bejiz emas. "X" tayinlangan. Janubiy baliqlarning sonini sanab bo'lmaydi, lekin biz ularni yozib olamizmi? Mana bunday:

0,2 x dona - janubiy dengizlardan baliqlar soni.

Endi biz vazifadan barcha ma'lumotlarni yuklab oldik. Ham ochiq, ham yashirin.

Uchinchi nuqtaga e'tibor qarataylik.

qidirmoqdalar matematik bog'lanish vazifa ma'lumotlari o'rtasida. Bu aloqa shunchalik oddiyki, ko'pchilik buni sezmaydi ... Bu tez-tez sodir bo'ladi. Bu erda to'plangan ma'lumotlarni qoziqqa yozib qo'yish va nima ekanligini ko'rish foydali bo'ladi.

Bizda nima bor? Yemoq 8 dona shimoliy baliq, 0,2 x dona- janubiy baliq va x baliq- jami. Ushbu ma'lumotlarni qandaydir tarzda bir-biriga bog'lash mumkinmi? Ha oson! Baliqlarning umumiy soni teng janubiy va shimoliy yig'indisi! Xo'sh, kim o'ylagan edi ...) Shunday qilib, biz buni yozamiz:

x = 8 + 0,2x

Bu tenglama muammomizning matematik modeli.

E'tibor bering, bu muammoda Bizdan hech narsa yig'ish so'ralmaydi! Janubiy va shimoliy baliqlarning yig'indisi bizga umumiy sonni berishini o'zimiz anglab yetdik. Bu narsa shunchalik ravshanki, u e'tiborga olinmaydi. Ammo bu dalilsiz matematik model yaratib bo'lmaydi. Mana bunday.

Endi siz ushbu tenglamani yechish uchun matematikaning to'liq kuchidan foydalanishingiz mumkin). Aynan shuning uchun matematik model tuzilgan. Ushbu chiziqli tenglamani yechib, javobni olamiz.

Javob: x=10

Keling, boshqa muammoning matematik modelini yaratamiz:

Ular Petrovichdan so'rashdi: "Pulingiz ko'pmi?" Petrovich yig'lay boshladi va javob berdi: "Ha, ozgina. Agar men pulning yarmini, qolganini yarmini sarf qilsam, menda faqat bitta qop pul qoladi ..." Petrovichning qancha puli bor. ?

Yana nuqtama-nuqta ishlaymiz.

1. Biz aniq ma'lumotni qidirmoqdamiz. Siz uni darhol topa olmaysiz! Aniq ma'lumot bitta pul sumkasi. Boshqa yarmi ham bor ... Xo'sh, biz buni ikkinchi xatboshida ko'rib chiqamiz.

2. Biz yashirin ma'lumotni qidiramiz. Bular yarmi. Nima? Juda aniq emas. Biz ko'proq qidiramiz. Yana bitta savol bor: — Petrovichda qancha pul bor? Keling, pul miqdorini harf bilan belgilaymiz "X":

X- hamma pul

Va yana muammoni o'qiymiz. Petrovich buni allaqachon bilgan X pul. Bu erda yarmi ishlaydi! Biz yozamiz:

0,5 x- pulning yarmi.

Qolganlari ham yarmi bo'ladi, ya'ni. 0,5 x. Va yarmining yarmini quyidagicha yozish mumkin:

0,5 0,5 x = 0,25x- qolganlarning yarmi.

Endi barcha yashirin ma'lumotlar oshkor bo'ldi va qayd etildi.

3. Biz yozib olingan ma'lumotlar o'rtasidagi aloqani qidiramiz. Bu erda siz Petrovichning azobini o'qib, uni matematik tarzda yozishingiz mumkin):

Agar men pulning yarmini sarf qilsam...

Keling, ushbu jarayonni yozib olaylik. Hamma pul - X. Yarim - 0,5 x. Sarflash - olib qo'yish. Bu ibora yozuvga aylanadi:

x - 0,5 x

Ha, qolgan yarmi ...

Qolganning yana yarmini ayiramiz:

x - 0,5 x - 0,25x

keyin menda faqat bitta qop pul qoladi...

Va bu erda biz tenglikni topdik! Barcha ayirmalardan so'ng bitta qop pul qoladi:

x - 0,5 x - 0,25x = 1

Mana, matematik model! Bu yana chiziqli tenglama, biz uni yechib, olamiz:

Ko'rib chiqish uchun savol. To'rt nima? Rubl, dollar, yuan? Va bizning matematik modelimizda pul qanday birliklarda yozilgan? Qoplarda! Bu to'rtta degan ma'noni anglatadi sumka Petrovichdan pul. Yaxshi ham.)

Vazifalar, albatta, oddiy. Bu, ayniqsa, matematik modelni tuzishning mohiyatini tushunish uchun. Ba'zi vazifalar ko'proq ma'lumotlarni o'z ichiga olishi mumkin, ularda yo'qolib ketish oson. Bu ko'pincha deb atalmish sodir bo'ladi. malaka vazifalari. So'zlar va raqamlar to'plamidan matematik tarkibni qanday olish mumkinligi misollar bilan ko'rsatilgan

Yana bir eslatma. Klassik maktab muammolarida (hovuzni to'ldiradigan quvurlar, bir joyda suzuvchi qayiqlar va boshqalar) barcha ma'lumotlar, qoida tariqasida, juda ehtiyotkorlik bilan tanlanadi. Ikkita qoida mavjud:
- muammoni hal qilish uchun etarli ma'lumot mavjud;
- Muammoda keraksiz ma'lumot yo'q.

Bu ishora. Agar matematik modelda foydalanilmagan qiymat qolsa, xatolik bor yoki yo'qligini o'ylab ko'ring. Agar etarli ma'lumot bo'lmasa, barcha yashirin ma'lumotlar aniqlanmagan va qayd etilmagan.

Kompetentsiya bilan bog'liq va boshqa hayotiy vazifalarda bu qoidalarga qat'iy rioya qilinmaydi. Hech qanday ma'lumot yo'q. Ammo bunday muammolarni ham hal qilish mumkin. Agar, albatta, klassiklar ustida mashq qilsangiz.)

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. Keling, o'rganamiz - qiziqish bilan!)

Funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Sovetov va Yakovlevning darsliklariga ko'ra: "model (lot. modulus - o'lchov) asl ob'ektning o'rnini bosuvchi ob'ekt bo'lib, asl nusxaning ba'zi xususiyatlarini o'rganishni ta'minlaydi." (6-bet) “Model obyekti yordamida asl ob’ektning eng muhim xossalari haqida ma’lumot olish uchun bir ob’ektni boshqasiga almashtirish modellashtirish deyiladi”. (6-bet) “Matematik modellashtirish deganda biz matematik model deb ataladigan ma’lum bir matematik ob’ekt bilan berilgan real ob’ektga mosligini o’rnatish jarayonini va bu modelni o’rganishni tushunamiz, bu esa haqiqiy ob’ektning xarakteristikalarini olish imkonini beradi. ko'rib chiqilayotgan ob'ekt. Matematik modelning turi ham real ob'ektning tabiatiga, ham ob'ektni o'rganish vazifalariga va bu masalani hal qilishning talab qilinadigan ishonchliligi va aniqligiga bog'liqdir.

Va nihoyat, matematik modelning eng qisqa ta'rifi: "G'oyani ifodalovchi tenglama».

Model tasnifi

Modellarning rasmiy tasnifi

Modellarning rasmiy tasnifi ishlatiladigan matematik vositalarning tasnifiga asoslanadi. Ko'pincha dixotomiyalar shaklida qurilgan. Masalan, dixotomiyalarning mashhur to'plamlaridan biri:

va hokazo. Har bir tuzilgan model chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan, deterministik yoki stokastik, ... Tabiiyki, aralash tiplar ham mumkin: bir jihatdan konsentrlangan (parametrlar bo'yicha), boshqasida taqsimlangan va hokazo.

Ob'ektni tasvirlash usuliga ko'ra tasniflash

Rasmiy tasniflash bilan bir qatorda, modellar ob'ektni ifodalash usuli bilan farqlanadi:

• Strukturaviy yoki funktsional modellar

Strukturaviy modellar ob'ektni o'z tuzilishi va ishlash mexanizmiga ega bo'lgan tizim sifatida ifodalaydi. Funktsional modellar bunday tasavvurlardan foydalanmang va faqat ob'ektning tashqi idrok etilgan xatti-harakatini (funktsiyasini) aks ettiring. Ularning ekstremal ifodasida ular "qora quti" modellari deb ham ataladi. Birlashtirilgan modellar ham mumkin, ular ba'zan " kulrang quti».

Tarkib va ​​rasmiy modellar

Matematik modellashtirish jarayonini tavsiflovchi deyarli barcha mualliflar birinchi navbatda maxsus ideal tuzilma qurilganligini ta'kidlaydilar. kontent modeli. Bu erda o'rnatilgan terminologiya yo'q va boshqa mualliflar bu ideal ob'ektni chaqirishadi kontseptual model , spekulyativ model yoki premodel. Bunday holda, yakuniy matematik qurilish deyiladi rasmiy model yoki oddiygina berilgan mazmunli modelni (pre-model) rasmiylashtirish natijasida olingan matematik model. Ma'noli modelni qurish, ideal buloqlar bo'lgan mexanikada bo'lgani kabi, tayyor idealizatsiyalar to'plami yordamida amalga oshirilishi mumkin. qattiq moddalar, ideal sarkaçlar, elastik vositalar va boshqalar tayyor holda ta'minlaydi strukturaviy elementlar mazmunli modellashtirish uchun. Biroq, to'liq rasmiylashtirilgan nazariyalar mavjud bo'lmagan bilim sohalarida (fizika, biologiya, iqtisod, sotsiologiya, psixologiya va boshqa ko'plab sohalarning eng yuqori darajasi) mazmunli modellarni yaratish keskin qiyinlashadi.

Modellarning mazmuni tasnifi

Fanda hech qanday gipotezani bir marta va butunlay isbotlab bo'lmaydi. Richard Feynman buni juda aniq ifodalagan:

“Bizda har doim nazariyani rad etish imkoniyati bor, lekin shuni yodda tutingki, biz hech qachon uning to'g'riligini isbotlay olmaymiz. Faraz qilaylik, siz muvaffaqiyatli gipotezani ilgari surdingiz, u qayerga olib borishini hisoblab chiqdingiz va uning barcha oqibatlari eksperimental tarzda tasdiqlanganligini aniqladingiz. Bu sizning nazariyangiz to'g'ri ekanligini anglatadimi? Yo'q, bu shunchaki siz buni rad eta olmaganingizni anglatadi."

Agar birinchi turdagi model qurilgan bo'lsa, demak u vaqtincha haqiqat sifatida qabul qilinadi va boshqa muammolarga e'tibor qaratish mumkin. Biroq, bu tadqiqot nuqtasi bo'lishi mumkin emas, balki faqat vaqtinchalik pauza: birinchi turdagi modelning holati faqat vaqtinchalik bo'lishi mumkin.

2-tur: Fenomenologik model (kabi o'zimizni tutamiz…)

Fenomenologik modelda hodisani tavsiflash mexanizmi mavjud. Biroq, bu mexanizm etarlicha ishonarli emas, mavjud ma'lumotlar bilan etarli darajada tasdiqlanishi mumkin emas yoki mavjud nazariyalar va ob'ekt haqida to'plangan bilimlarga mos kelmaydi. Shuning uchun fenomenologik modellar vaqtinchalik echimlar maqomiga ega. Javob hali noma'lum va "haqiqiy mexanizmlarni" qidirish davom etishi kerak deb ishoniladi. Peierls, masalan, ikkinchi tur sifatida elementar zarrachalarning kaloriya modeli va kvark modelini o'z ichiga oladi.

Tadqiqotda modelning roli vaqt o'tishi bilan o'zgarishi mumkin va yangi ma'lumotlar va nazariyalar fenomenologik modellarni tasdiqlashi va ular gipoteza maqomiga ko'tarilishi mumkin. Xuddi shunday, yangi bilimlar asta-sekin birinchi turdagi model-gipotezalarga zid kelishi mumkin va ular ikkinchisiga o'tkazilishi mumkin. Shunday qilib, kvark modeli asta-sekin gipotezalar toifasiga o'tadi; fizikada atomizm vaqtinchalik yechim sifatida paydo bo'ldi, ammo tarix davomida u birinchi turga aylandi. Ammo efir modellari 1-turdan 2-toifaga o'tdi va endi fandan tashqarida.

Modellarni qurishda soddalashtirish g'oyasi juda mashhur. Ammo soddalashtirish turli shakllarda keladi. Peierls modellashtirishda uch xil soddalashtirishni aniqlaydi.

3-tur: Taxminlash (biz juda katta yoki juda kichik narsani ko'rib chiqamiz)

Agar o'rganilayotgan tizimni tavsiflovchi tenglamalarni qurish mumkin bo'lsa, bu ularni hatto kompyuter yordamida ham yechish mumkin degani emas. Bu holda keng tarqalgan texnika - bu taxminiylikdan foydalanish (3-toifa modellar). Ular orasida chiziqli javob modellari. Tenglamalar chiziqli tenglamalar bilan almashtiriladi. Standart misol - Ohm qonuni.

Bu erda biologik tizimlarning matematik modellarida keng tarqalgan 8-toifa keladi.

8-toifa: Xususiyatlar namoyishi (asosiysi, imkoniyatning ichki izchilligini ko'rsatishdir)

Bu ham fikr tajribalari Buni ko'rsatuvchi xayoliy mavjudotlar bilan taxmin qilingan hodisa asosiy tamoyillarga mos va ichki jihatdan izchil. Bu yashirin qarama-qarshiliklarni ochib beradigan 7-turdagi modellardan asosiy farq.

Ushbu tajribalarning eng mashhurlaridan biri Lobachevskiyning geometriyasidir (Lobachevskiy uni "xayoliy geometriya" deb atagan). Yana bir misol, kimyoviy va biologik tebranishlarning rasmiy kinetik modellari, avtoto'lqinlar va boshqalarni ommaviy ishlab chiqarishdir. Eynshteyn-Podolskiy-Rozen paradoksi nomuvofiqlikni ko'rsatish uchun 7-toifa modeli sifatida ishlab chiqilgan. kvant mexanikasi. Mutlaqo rejalashtirilmagan tarzda, u oxir-oqibat 8-toifa modeliga aylandi - bu ma'lumotni kvant teleportatsiya qilish imkoniyatining namoyishi.

Misol

Keling, ko'rib chiqaylik mexanik tizim, bir uchida mahkamlangan kamon va buloqning erkin uchiga biriktirilgan massa massasidan iborat. Biz yuk faqat bahor o'qi yo'nalishi bo'yicha harakatlanishi mumkin deb taxmin qilamiz (masalan, novda bo'ylab harakat sodir bo'ladi). Keling, ushbu tizimning matematik modelini tuzamiz. Biz tizimning holatini yuk markazidan uning muvozanat holatigacha bo'lgan masofa bilan tasvirlaymiz. Keling, bahor va yukning o'zaro ta'sirini tasvirlaylik Guk qonuni() va keyin Nyutonning ikkinchi qonunini differentsial tenglama shaklida ifodalash uchun foydalaning:

bu yerda ning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasini bildiradi: .

Olingan tenglama ko'rib chiqilayotgan matematik modelni tavsiflaydi jismoniy tizim. Ushbu model "garmonik osilator" deb ataladi.

Rasmiy tasnifga ko'ra, bu model chiziqli, deterministik, dinamik, konsentrlangan, uzluksizdir. Uni qurish jarayonida biz ko'p taxminlar qildik (yo'qligi haqida tashqi kuchlar, ishqalanishning yo'qligi, kichik og'ishlar va boshqalar), bu haqiqatda bajarilmasligi mumkin.

Haqiqatga kelsak, bu ko'pincha 4-toifa modeldir soddalashtirish(“Aniqlik uchun baʼzi tafsilotlarni oʻtkazib yuboramiz”), chunki baʼzi muhim universal xususiyatlar (masalan, tarqalish) oʻtkazib yuborilgan. Ba'zi bir taxminlarga ko'ra (aytaylik, yukning muvozanatdan og'ishi kichik ishqalanish bilan, juda ko'p vaqt va boshqa ma'lum shartlarga bog'liq bo'lsa-da), bunday model haqiqiy mexanik tizimni juda yaxshi tasvirlaydi, chunki bekor qilingan omillar xulq-atvoriga ahamiyatsiz ta'sir qiladi. Biroq, ushbu omillarning ayrimlarini hisobga olgan holda modelni takomillashtirish mumkin. Bu kengroq (yana cheklangan bo'lsa ham) qo'llanilishi mumkin bo'lgan yangi modelga olib keladi.

Biroq, modelni takomillashtirishda uning matematik tadqiqotining murakkabligi sezilarli darajada oshishi va modelni deyarli foydasiz qilishi mumkin. Ko'pincha oddiyroq model haqiqiy tizimni murakkabroq (va rasmiy ravishda "to'g'riroq")ga qaraganda yaxshiroq va chuqurroq o'rganish imkonini beradi.

Agar biz garmonik osilator modelini fizikadan uzoq ob'ektlarga qo'llasak, uning substantiv holati boshqacha bo'lishi mumkin. Masalan, ushbu modelni biologik populyatsiyalarga qo'llashda uni 6-turga kiritish kerak analogiya("Faqat ba'zi xususiyatlarni hisobga olamiz").

Qattiq va yumshoq modellar

Garmonik osilator "qattiq" deb ataladigan modelga misoldir. U haqiqiy jismoniy tizimni kuchli ideallashtirish natijasida olinadi. Uni qo'llash masalasini hal qilish uchun biz e'tiborsiz qoldirgan omillar qanchalik muhimligini tushunishimiz kerak. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, "qattiq" ning kichik buzilishi natijasida olingan "yumshoq" modelni o'rganish kerak. Buni, masalan, quyidagi tenglama bilan berish mumkin:

Bu erda ishqalanish kuchini yoki bahorning qattiqlik koeffitsientining uning cho'zilish darajasiga bog'liqligini hisobga oladigan ba'zi bir funktsiya - ba'zi bir kichik parametr. Funktsiyaning aniq shakli bu daqiqa qiziqtirmaydi. Agar yumshoq modelning xatti-harakati qattiq modelning xatti-harakatidan tubdan farq qilmasligini isbotlasak (bezovta qiluvchi omillarning aniq turidan qat'i nazar, agar ular etarlicha kichik bo'lsa), muammo qattiq modelni o'rganishga qisqaradi. Aks holda, qattiq modelni o'rganish natijasida olingan natijalarni qo'llash qo'shimcha tadqiqotlarni talab qiladi. Misol uchun, garmonik osilator tenglamasining yechimi shakldagi funktsiyalardir , ya'ni doimiy amplitudali tebranishlar. Bundan haqiqiy osilator doimiy amplituda bilan cheksiz tebranadi degan xulosa kelib chiqadimi? Yo'q, chunki o'zboshimchalik bilan kichik ishqalanishga ega bo'lgan tizimni hisobga olsak (har doim haqiqiy tizimda mavjud bo'lsa), biz o'chirilgan tebranishlarni olamiz. Tizimning xatti-harakati sifat jihatidan o'zgardi.

Agar tizim kichik buzilishlar ostida o'zining sifatli harakatini saqlab qolsa, u tizimli barqaror deyiladi. Garmonik osilator tizimli ravishda beqaror (qo'pol bo'lmagan) tizimga misoldir. Biroq, bu model cheklangan vaqt oralig'idagi jarayonlarni o'rganish uchun ishlatilishi mumkin.

Modellarning ko'p qirraliligi

Eng muhim matematik modellar odatda mavjud muhim mulk ko'p qirralilik: Bir xil matematik model orqali tubdan farq qiladigan real hodisalarni tasvirlash mumkin. Masalan, garmonik osilator nafaqat buloqdagi yukning harakatini, balki boshqasini ham tavsiflaydi. tebranish jarayonlari, ko'pincha butunlay boshqacha tabiatga ega: mayatnikning kichik tebranishlari, A shaklidagi idishdagi suyuqlik darajasining o'zgarishi yoki tebranish pallasida oqim kuchining o'zgarishi. Shunday qilib, bitta matematik modelni o'rganish orqali biz u tomonidan tasvirlangan hodisalarning butun sinfini darhol o'rganamiz. Turli segmentlarda matematik modellar bilan ifodalangan qonunlarning ana shu izomorfizmidir ilmiy bilim, Lyudvig fon Bertalanffining "Umumiy tizimlar nazariyasi" ni yaratish uchun ilhomi.

Matematik modellashtirishning bevosita va teskari masalalari

Matematik modellashtirish bilan bog'liq ko'plab muammolar mavjud. Birinchidan, siz modellashtirilgan ob'ektning asosiy diagrammasini ishlab chiqishingiz kerak, uni ushbu fanning idealizatsiyasi doirasida ko'paytirishingiz kerak. Shunday qilib, poezd vagoni turli xil materiallardan plitalar va murakkabroq jismlar tizimiga aylanadi, har bir material uning standart mexanik idealizatsiyasi (zichlik, elastik modullar, standart mustahkamlik xususiyatlari) sifatida belgilanadi, shundan so'ng tenglamalar tuziladi va yo'lda ba'zi tafsilotlar ahamiyatsiz deb tashlanadi, hisob-kitoblar amalga oshiriladi, o'lchovlar bilan solishtiriladi, model takomillashtiriladi va hokazo. Biroq, matematik modellashtirish texnologiyalarini ishlab chiqish uchun ushbu jarayonni uning asosiy tarkibiy qismlariga ajratish foydalidir.

An'anaga ko'ra, matematik modellar bilan bog'liq muammolarning ikkita asosiy sinfi mavjud: to'g'ridan-to'g'ri va teskari.

To'g'ridan-to'g'ri vazifa: modelning tuzilishi va uning barcha parametrlari ma'lum deb hisoblanadi, asosiy vazifa ob'ekt haqida foydali bilimlarni olish uchun modelni o'rganishdir. Ko'prik qanday statik yukga bardosh beradi? U dinamik yukga qanday munosabatda bo'ladi (masalan, askarlarning yurishiga yoki turli tezlikda poezdning o'tishiga), samolyot tovush to'sig'ini qanday engib o'tadi, tebranishdan yiqilib tushadimi - bu to'g'ridan-to'g'ri muammoning odatiy misollari. To'g'ri to'g'ridan-to'g'ri muammoni qo'yish (to'g'ri savol berish) alohida mahorat talab qiladi. Agar to'g'ri savollar berilmasa, ko'prik qulashi mumkin, hatto uning xatti-harakati uchun yaxshi model qurilgan bo'lsa ham. Shunday qilib, 1879 yilda Buyuk Britaniyada Tey daryosi bo'ylab metall ko'prik qulab tushdi, uning dizaynerlari ko'prikning modelini qurdilar, uni foydali yukning ta'siri uchun 20 baravar xavfsizlik koeffitsientiga ega deb hisoblashdi, ammo shamollarni unutishdi. o'sha joylarda doimo puflab turadi. Va bir yarim yildan keyin u qulab tushdi.

Eng oddiy holatda (masalan, bitta osilator tenglamasi) to'g'ridan-to'g'ri muammo juda oddiy va bu tenglamaning aniq yechimiga qisqartiradi.

Teskari muammo: ko'plab mumkin bo'lgan modellar ma'lum, ob'ekt haqida qo'shimcha ma'lumotlar asosida ma'lum bir model tanlanishi kerak. Ko'pincha, modelning tuzilishi ma'lum va ba'zi noma'lum parametrlarni aniqlash kerak. qo'shimcha ma'lumot qo'shimcha empirik ma'lumotlardan yoki ob'ektga qo'yiladigan talablardan iborat bo'lishi mumkin ( dizayn muammosi). Qo'shimcha ma'lumotlar teskari masalani hal qilish jarayonidan qat'iy nazar kelishi mumkin ( passiv kuzatish) yoki yechim davomida maxsus rejalashtirilgan tajriba natijasi bo'lishi ( faol kuzatuv).

Mavjud ma'lumotlardan to'liq foydalangan holda teskari masalani mohirona hal qilishning birinchi misollaridan biri I. Nyuton tomonidan kuzatilgan so'nishli tebranishlardan ishqalanish kuchlarini qayta tiklash uchun qurilgan usul bo'ldi.

Yana bir misol - matematik statistika. Ushbu fanning vazifasi ommaviy tasodifiy hodisalarning ehtimollik modellarini qurish uchun kuzatish va eksperimental ma'lumotlarni qayd qilish, tavsiflash va tahlil qilish usullarini ishlab chiqishdan iborat. Bular. mumkin bo'lgan modellar to'plami ehtimollik modellari bilan cheklangan. Muayyan vazifalarda modellar to'plami ko'proq cheklangan.

Kompyuter simulyatsiya tizimlari

Matematik modellashtirishni qo'llab-quvvatlash uchun kompyuter matematikasi tizimlari ishlab chiqilgan, masalan, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim va boshqalar. Ular oddiy va murakkab jarayonlar va qurilmalarning rasmiy va blokli modellarini yaratishga va model parametrlarini osongina o'zgartirishga imkon beradi. modellashtirish. Blok modellari bloklar bilan ifodalanadi (ko'pincha grafik), ularning to'plami va ulanishi model diagrammasi bilan belgilanadi.

Qo'shimcha misollar

Maltus modeli

O'sish sur'ati proportsionaldir joriy o'lcham populyatsiyalar. U differentsial tenglama bilan tavsiflanadi

bu erda tug'ilish va o'lim darajasi o'rtasidagi farq bilan belgilanadigan ma'lum bir parametr. Bu tenglamaning yechimi eksponensial funktsiya. Agar tug'ilish darajasi o'lim darajasidan () oshsa, aholi soni cheksiz va juda tez ortadi. Darhaqiqat, bu cheklangan resurslar tufayli sodir bo'lishi mumkin emasligi aniq. Aholining ma'lum bir tanqidiy hajmiga erishilganda, model adekvat bo'lishni to'xtatadi, chunki u cheklangan resurslarni hisobga olmaydi. Maltus modelining takomillashtirilishi Verhulst differentsial tenglamasi bilan tavsiflangan logistik model bo'lishi mumkin.

bu erda tug'ilish darajasi o'lim darajasi bilan to'liq qoplanadigan "muvozanat" populyatsiya hajmi. Bunday modeldagi populyatsiya hajmi muvozanat qiymatiga intiladi va bu xatti-harakatlar tizimli ravishda barqarordir.

Yirtqich-o'lja tizimi

Aytaylik, ma'lum bir hududda ikki turdagi hayvonlar yashaydi: quyonlar (o'simliklar bilan oziqlanadi) va tulkilar (quyonlar). Quyonlar soni, tulkilar soni bo'lsin. Maltus modelidan quyonlarning tulkilar tomonidan eyishini hisobga olish uchun zarur tuzatishlar kiritib, biz quyidagi tizimga erishamiz: modellar Tovoqlar - Volterra:

Bu sistema quyon va tulkilar soni doimiy bo'lganda muvozanat holatiga ega. Bu holatdan chetga chiqish garmonik osilatorning tebranishlariga o'xshash quyonlar va tulkilar sonining o'zgarishiga olib keladi. Garmonik osilatorda bo'lgani kabi, bu xatti-harakat tizimli ravishda barqaror emas: modeldagi kichik o'zgarish (masalan, quyonlar tomonidan talab qilinadigan cheklangan resurslarni hisobga olgan holda) xatti-harakatlarning sifat jihatidan o'zgarishiga olib kelishi mumkin. Masalan, muvozanat holati barqaror bo'lishi mumkin va sonlardagi tebranishlar yo'qoladi. Muvozanat holatidan har qanday kichik og'ish halokatli oqibatlarga olib keladigan, turlardan birining butunlay yo'q bo'lib ketishiga olib keladigan vaziyatning teskarisi ham mumkin. Volterra-Lotka modeli ushbu stsenariylarning qaysi biri amalga oshirilayotganligi haqidagi savolga javob bermaydi: bu erda qo'shimcha tadqiqotlar talab etiladi.

Eslatmalar

1. "Haqiqatning matematik tasviri" (Encyclopedia Britanica)
2. Novik I.B., HAQIDA falsafiy masalalar kibernetik modellashtirish. M., Bilim, 1964 yil.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Tizimlarni modellashtirish: Proc. universitetlar uchun - 3-nashr, qayta ko'rib chiqilgan. va qo'shimcha - M .: Yuqori. maktab, 2001. - 343 b. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarskiy A. A., Mixaylov A. P. Matematik modellashtirish. G'oyalar. Usullari. Misollar. - 2-nashr, rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Matematik modellar nazariyasi elementlari. - 3-nashr, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 ISBN 978-5-484-00953-4 bilan
6. Sevostyanov, A.G. Texnologik jarayonlarni modellashtirish: darslik / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. – M.: Yengil va oziq-ovqat sanoati, 1984. - 344 b.
7. Vikilug'at: matematik model
8. CliffsNotes.com. Yer haqidagi lug'at. 2010 yil 20 sentyabr
9. Ko'p miqyosli hodisalar uchun modelni qisqartirish va qo'pol donli yondashuvlar, Springer, murakkablik seriyasi, Berlin-Heidelberg-Nyu-York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. “Nazariya qanday matematik apparatlar - chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan - va qanday chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan matematik modellardan foydalanishiga qarab chiziqli yoki chiziqli bo'lmagan deb hisoblanadi. ...ikkinchisini inkor etmasdan. Zamonaviy fizik, agar u nochiziqlilik kabi muhim ob'ektning ta'rifini qayta yaratishga to'g'ri kelsa, ehtimol boshqacha harakat qiladi va ikkita qarama-qarshilikning eng muhimi va keng tarqalgani sifatida chiziqlilikka ustunlik berib, chiziqlilikni "yo'q" deb belgilaydi. nochiziqlilik”. Danilov Yu.A., Nochiziqli dinamikadan ma'ruzalar. Boshlang'ich kirish. "Sinergetika: o'tmishdan kelajakka" seriyasi. 2-nashr. - M.: URSS, 2006. - 208 b. ISBN 5-484-00183-8
11. "Modellashtirilgan dinamik tizimlar chekli son oddiy differensial tenglamalar konsentrlangan yoki nuqtali sistemalar deyiladi. Ular chekli o'lchovli fazali fazo yordamida tasvirlangan va cheklangan miqdordagi erkinlik darajasi bilan tavsiflanadi. Xuddi shu tizim ichida turli sharoitlar konsentrlangan yoki taqsimlangan deb hisoblanishi mumkin. Taqsimlangan tizimlarning matematik modellari differensial tenglamalar qisman hosilalar, integral tenglamalar yoki oddiy tenglamalar kechiktirilgan argument bilan. Tarqalgan tizimning erkinlik darajalari soni cheksizdir va uning holatini aniqlash uchun cheksiz miqdordagi ma'lumotlar talab qilinadi. Anishchenko V. S., Dinamik tizimlar, Soros ta'lim jurnali, 1997, No 11, bet. 77-84.
12. “S tizimida o‘rganilayotgan jarayonlarning xususiyatiga ko‘ra, modellashtirishning barcha turlarini deterministik va stokastik, statik va dinamik, diskret, uzluksiz va diskret-uzluksiz turlarga bo‘lish mumkin. Deterministik modellashtirish deterministik jarayonlarni, ya'ni hech qanday tasodifiy ta'sirlarning yo'qligi taxmin qilinadigan jarayonlarni aks ettiradi; stokastik modellashtirish ehtimollik jarayonlari va hodisalarini tasvirlaydi. ... Statik modellashtirish ob'ektning vaqtning istalgan nuqtasida harakatini tasvirlash uchun xizmat qiladi va dinamik modellash ob'ektning vaqt ichida harakatini aks ettiradi. Diskret modellashtirish diskret deb taxmin qilinadigan jarayonlarni tavsiflash uchun ishlatiladi, mos ravishda uzluksiz modellashtirish tizimlardagi uzluksiz jarayonlarni aks ettirishga imkon beradi va diskret-uzluksiz modellash diskret va uzluksiz jarayonlarning mavjudligini ajratib ko'rsatishni istagan holatlar uchun qo'llaniladi. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Odatda, matematik model modellashtirilgan ob'ektning tuzilishini (qurilmasini), tadqiqot maqsadlari uchun muhim bo'lgan ushbu ob'ekt tarkibiy qismlarining xususiyatlari va munosabatlarini aks ettiradi; bunday model tizimli deb ataladi. Agar model faqat ob'ekt qanday ishlashini - masalan, tashqi ta'sirlarga qanday munosabatda bo'lishini aks ettirsa, u funktsional yoki majoziy ma'noda qora quti deb ataladi. Birlashtirilgan modellar ham mumkin. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. “Matematik modelni qurish yoki tanlashning aniq, ammo eng muhim boshlang‘ich bosqichi bu modellashtirilayotgan ob’ekt haqida iloji boricha aniq tasavvurga ega bo‘lish va norasmiy muhokamalar asosida uning mazmunli modelini takomillashtirishdir. Ushbu bosqichda vaqt va kuch sarflamaslik kerak, butun tadqiqotning muvaffaqiyati ko'p jihatdan bunga bog'liq. Masalaning bu tomoniga yetarlicha e’tibor berilmagani uchun matematik masalani yechish uchun sarflangan katta ish samarasiz yoki hatto behuda bo‘lib qolgani bir necha bor sodir bo‘lgan”. Myshkis A. D., Matematik modellar nazariyasi elementlari. - 3-nashr, rev. - M.: KomKniga, 2007. - ISBN 978-5-484-00953-4 bilan 192, p. 35.
15. « Tizimning kontseptual modelining tavsifi. Tizim modelini qurishning ushbu kichik bosqichida: a) konseptual model M mavhum atamalar va tushunchalar bilan tavsiflanadi; b) standart matematik sxemalar yordamida model tavsifi beriladi; v) gipoteza va farazlar nihoyat qabul qilinadi; d) modelni qurishda real jarayonlarni yaqinlashtirish tartibini tanlash oqlanadi. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Tizimlarni modellashtirish: Proc. universitetlar uchun - 3-nashr, qayta ko'rib chiqilgan. va qo'shimcha - M .: Yuqori. maktab, 2001. - 343 b. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
16. Blekhman I.I., Myshkis A.D.,