Milliy tadqiqot universiteti
Amaliy geologiya kafedrasi
Oliy matematika bo'yicha referat
Mavzu bo'yicha: "Asosiy elementar funktsiyalar,
ularning xossalari va grafiklari"
Bajarildi:
Tekshirildi:
o'qituvchi
Ta'rif. y=a x formula bilan berilgan funksiya (bu yerda a>0, a≠1) asosi a bo‘lgan ko‘rsatkichli funksiya deyiladi.
Eksponensial funktsiyaning asosiy xossalarini tuzamiz:
1. Ta'rif sohasi - barcha haqiqiy sonlar to'plami (R).
2. Diapazon - barcha musbat haqiqiy sonlar to'plami (R+).
3. a > 1 uchun funksiya butun son chizig‘i bo‘ylab ortadi; 0 da<а<1 функция убывает.
4. Funktsiya hisoblanadi umumiy ko'rinish.
, xO [-3;3] oraliqda
, xO [-3;3] oraliqda y(x)=x n ko‘rinishdagi funksiya, bu yerda n OR soni bo‘lib, daraja funksiyasi deyiladi. n soni turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin: ham butun, ham kasr, ham juft, ham toq. Bunga qarab quvvat funktsiyasi boshqa shaklga ega bo'ladi. Quvvat funksiyasi bo'lgan va bu turdagi egri chiziqning asosiy xossalarini quyidagi tartibda aks ettiruvchi maxsus holatlarni ko'rib chiqamiz: quvvat funksiyasi y=x² (juft darajali funktsiya - parabola), quvvat funktsiyasi y=x³ (toq darajali funktsiya). - kub parabola) va y=√x funksiyasi (x ½ darajasiga) (kasr ko'rsatkichli funktsiya), manfiy butun ko'rsatkichli funktsiya (giperbola).
Quvvat funktsiyasi y=x²
1. D(x)=R – funksiya butun son o‘qda aniqlanadi;
2. E(y)= va oraliqda ortadi
Quvvat funktsiyasi y=x³
1. y=x³ funksiyaning grafigi kubik parabola deyiladi. y=x³ quvvat funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:
2. D(x)=R – funksiya butun son o‘qda aniqlanadi;
3. E(y)=(-∞;∞) – funksiya oʻzining taʼrif sohasidagi barcha qiymatlarni oladi;
4. x=0 y=0 bo‘lganda – funksiya O(0;0) koordinatalarining boshi orqali o‘tadi.
5. Funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.
6. Funktsiya g'alati (boshiga nisbatan simmetrik).
, xO [-3;3] oraliqda X³ oldidagi raqamli omilga qarab, funktsiya tik/tekis va ortib/kamayuvchi bo'lishi mumkin.
Manfiy butun ko'rsatkichli quvvat funktsiyasi:
Agar n ko'rsatkichi toq bo'lsa, unda bunday daraja funksiyasining grafigi giperbola deb ataladi. Butun sonli manfiy darajali quvvat funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:
1. Har qanday n uchun D(x)=(-∞;0)U(0;∞);
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), agar n toq son bo’lsa; E(y)=(0;∞), agar n juft son boʻlsa;
3. Agar n toq son bo'lsa, funksiya butun ta'rif sohasi bo'ylab kamayadi; funktsiya (-∞;0) intervalda ortadi va (0;∞) oraliqda kamayadi, agar n juft son bo'lsa.
4. Agar n toq son bo lsa, funksiya toq (koordinata boshiga nisbatan simmetrik); funktsiya n juft son bo'lsa ham.
5. Funksiya agar n toq son bo‘lsa (1;1) va (-1;-1) nuqtalardan, agar n juft son bo‘lsa (1;1) va (-1;1) nuqtalardan o‘tadi.
, xO [-3;3] oraliqda Kasr darajali quvvat funksiyasi
Kasr ko'rsatkichli quvvat funksiyasi (rasm) rasmda ko'rsatilgan funktsiyaning grafigiga ega. Kasr ko'rsatkichli quvvat funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega: (rasm)
1. D(x) OR, agar n toq son va D(x)= bo‘lsa 
, xO oralig'ida 
, xO [-3;3] oraliqda
y = log a x logarifmik funksiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:
1. Aniqlanish sohasi D(x)O (0; + ∞).
2. E(y) qiymatlar diapazoni O (- ∞; + ∞)
3. Funksiya juft ham, toq ham emas (umumiy shaklda).
4. Funksiya a > 1 uchun (0; + ∞) oraliqda ortadi, 0 uchun (0; + ∞) kamayadi.< а < 1.
y = log a x funksiya grafigini y = a x funktsiya grafigidan y = x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetriya o'zgartirish yordamida olish mumkin. 9-rasmda a > 1 uchun logarifmik funktsiyaning grafigi va 0 uchun 10-rasm ko'rsatilgan.< a < 1.
; xO oralig'ida 
; xO oralig'ida y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi.
y = sin x, y = tan x, y = ctg x funksiyalar toq, y = cos x funksiya esa juft.
y = sin(x) funksiyasi.
1. Ta'rif sohasi D(x) OR.
2. E(y) qiymatlar diapazoni O [ - 1; 1].
3. Funksiya davriy; asosiy davr 2p.
4. Funktsiya toq.
5. Funksiya [ -p/2 + 2pn oraliqlarida ortadi; p/2 + 2pn] va [p/2 + 2pn] oraliqlarida kamayadi; 3p/2 + 2pn], n O Z.
y = sin (x) funksiyaning grafigi 11-rasmda keltirilgan.
Muhim!
“y = kx + b” ko’rinishdagi funksiya chiziqli funksiya deyiladi.
Harf omillari "k" va "b" deyiladi raqamli koeffitsientlar.
"K" va "b" o'rniga har qanday raqamlar (musbat, manfiy yoki kasrlar) bo'lishi mumkin.
Boshqacha qilib aytganda, "y = kx + b" - bu barcha mumkin bo'lgan funktsiyalar oilasi, bu erda "k" va "b" o'rniga raqamlar mavjud.
“y = kx + b” kabi funksiyalarga misollar.
- y = 5x + 3
- y = −x + 1
- y = x − 2
k = 2 3 b = -2 y = 0,5x k = 0,5 b = 0 Jadvaldagi "y = 0,5x" funktsiyasiga alohida e'tibor bering. Ular ko'pincha "b" raqamli koeffitsientini qidirishda xato qilishadi.
“y = 0,5x” funksiyani ko‘rib chiqayotganda, funksiyada “b” sonli koeffitsient yo‘q, deyish noto‘g‘ri.
"b" raqamli koeffitsienti har doim "y = kx + b" kabi funktsiyada doimo mavjud. “y = 0,5x” funksiyada “b” raqamli koeffitsienti nolga teng.
Chiziqli funktsiyaning grafigini qanday chizish mumkin
"y = kx + b"Eslab qoling!
Jadval chiziqli funksiya"y = kx + b" - to'g'ri chiziq.
“y = kx + b” funksiyaning grafigi to‘g‘ri chiziq bo‘lgani uchun funksiya chaqiriladi chiziqli funksiya.
Geometriyadan aksiomani (isbotni talab qilmaydigan bayonot) eslaylik, har qanday ikkita nuqta orqali siz to'g'ri chiziq chizishingiz mumkin va bundan tashqari, faqat bitta.
Yuqoridagi aksiomaga asoslanib, shaklning funksiyasini chizish uchun shunday xulosaga keladi
"y = kx + b" faqat ikkita nuqtani topishimiz uchun etarli bo'ladi.Misol uchun funksiyaning grafigini tuzamiz"y = -2x + 1".
Ikki ixtiyoriy “x” qiymati uchun “y” funksiyaning qiymatini topamiz. Masalan, "x" o'rniga "0" va "1" raqamlarini almashtiramiz.
Muhim!
"X" o'rniga o'zboshimchalik bilan raqamli qiymatlarni tanlashda "0" va "1" raqamlarini olish yaxshiroqdir. Bu raqamlar bilan hisob-kitob qilish oson.
Olingan “x” va “y” qiymatlari funksiya grafigidagi nuqtalarning koordinatalaridir.
“y = -2x + 1” nuqtalarning olingan koordinatalarini jadvalga yozamiz.
Olingan nuqtalarni koordinatalar tizimida belgilaymiz.
Endi belgilangan nuqtalar orqali to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Bu chiziq “y = -2x + 1” funksiyaning grafigi bo'ladi.
Muammolarni qanday hal qilish kerak
chiziqli funksiya “y = kx + b”Keling, muammoni ko'rib chiqaylik.
“y = 2x + 3” funksiyaning grafigini tuzing. Grafik bo'yicha toping:
- "x" qiymatiga mos keladigan "y" qiymati -1 ga teng; 2; 3; 5 ;
- "y" qiymati 1 bo'lsa, "x" qiymati; 4; 0; −1.
Avval “y = 2x + 3” funksiyasini chizamiz.
Biz ustun bo'lgan qoidalardan foydalanamiz. “y = 2x + 3” funksiyasining grafigini tuzish uchun faqat ikkita nuqtani topish kifoya.
Keling, "x" uchun ikkita ixtiyoriy raqamli qiymatni tanlaylik. Hisoblash qulayligi uchun biz "0" va "1" raqamlarini tanlaymiz.
Keling, hisob-kitoblarni amalga oshiramiz va ularning natijalarini jadvalga yozamiz.
Olingan nuqtalarni to'rtburchaklar koordinatalar tizimida belgilaymiz.
Olingan nuqtalarni to'g'ri chiziq bilan bog'laymiz. Chizilgan to'g'ri chiziq "y = 2x + 3" funksiyaning grafigi bo'ladi.
Endi biz “y = 2x + 3” funksiyaning tuzilgan grafigi bilan ishlaymiz.
Siz "x" qiymatiga mos keladigan "y" qiymatini topishingiz kerak,
bu -1 ga teng; 2; 3; 5 .- ho'kiz" nolga (x = 0) ;
- funktsiya formulasida "x" o'rniga nolni qo'ying va "y" qiymatini toping;
- Oy".
“y = −1,5x + 3” funksiya formulasidagi “x” o‘rniga nol raqamini qo‘yaylik.
Y(0) = −1,5 0 + 3 = 3
(0; 3) - “y = −1,5x + 3” funksiya grafigining “Oy” o‘qi bilan kesishish nuqtasining koordinatalari.Eslab qoling!
Funksiya grafigining kesishish nuqtasining koordinatalarini topish
eksa bilan " ho'kiz"(x o'qi) sizga kerak:- nuqtaning koordinatasini "" o'qi bo'ylab tenglashtiring Oy" nolga (y = 0) ;
- funktsiya formulasida “y” o‘rniga nolni qo‘ying va “x” qiymatini toping;
- o'q bilan kesishish nuqtasining olingan koordinatalarini yozing " Oy".
“y = −1,5x + 3” funksiya formulasidagi “y” o‘rniga nol raqamini qo‘yaylik.
0 = −1,5x + 3
1,5x = 3 | :(1.5)
x = 3: 1,5
x = 2
(2; 0) - “y = −1,5x + 3” funksiya grafigining “Ox” o‘qi bilan kesishish nuqtasining koordinatalari.Nuqtaning qaysi koordinatasini nolga tenglashtirish kerakligini eslab qolishni osonlashtirish uchun "qarama-qarshiliklar qoidasini" eslang.
Muhim!
Agar siz grafikning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatalarini topishingiz kerak bo'lsa " ho'kiz", keyin biz "y" ni nolga tenglashtiramiz.
Va aksincha. Grafikning "" o'qi bilan kesishish nuqtasining koordinatalarini topish kerak bo'lsa Oy", keyin biz "x" ni nolga tenglashtiramiz.
Koordinata o'qidagi segmentning uzunligi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
Segment uzunligi koordinata tekisligi formula bo'yicha qidiriladi:
Uch o'lchovli koordinatalar tizimidagi segment uzunligini topish uchun quyidagi formuladan foydalaning:
Segment o'rtasining koordinatalari (koordinata o'qi uchun faqat birinchi formuladan foydalaniladi, koordinata tekisligi uchun - birinchi ikkita formula, uch o'lchovli koordinatalar tizimi uchun - barcha uchta formulalar) formulalar yordamida hisoblanadi:
Funktsiya- bu shaklning yozishmasidir y= f(x) o'zgaruvchan miqdorlar o'rtasida, buning natijasida har bir o'zgaruvchan miqdorning qiymati hisobga olinadi x(argument yoki mustaqil o'zgaruvchi) boshqa o'zgaruvchining ma'lum bir qiymatiga mos keladi, y(qaram o'zgaruvchi, ba'zan bu qiymat oddiygina funktsiyaning qiymati deb ataladi). E'tibor bering, funktsiya bitta argument qiymatini qabul qiladi X qaram o'zgaruvchining faqat bitta qiymati mos kelishi mumkin da. Biroq, bir xil qiymat da turlicha olish mumkin X.
Funktsiya domeni- bu mustaqil o'zgaruvchining barcha qiymatlari (funktsiya argumenti, odatda bu X), buning uchun funktsiya aniqlanadi, ya'ni. uning ma'nosi mavjud. Ta'rif sohasi ko'rsatilgan D(y). Umuman olganda, siz ushbu kontseptsiya bilan allaqachon tanishsiz. Funktsiyaning sohasi domen deb ham ataladi qabul qilinadigan qiymatlar, yoki siz uzoq vaqtdan beri topa olgan ODZ.
Funktsiya diapazoni berilgan funktsiyaning qaram o'zgaruvchisining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari. Belgilangan E(da).
Funktsiya kuchayadi argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kattaroq qiymatiga mos keladigan intervalda. Funktsiya pasaymoqda argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga mos keladigan intervalda.
Funksiyaning doimiy ishorali intervallari- bular mustaqil o'zgaruvchining oraliqlari bo'lib, ular ustida bog'liq o'zgaruvchi o'zining ijobiy yoki manfiy belgisini saqlab qoladi.
Funktsiya nollari- bu funktsiya qiymati nolga teng bo'lgan argumentning qiymatlari. Bu nuqtalarda funktsiya grafigi abscissa o'qini (OX o'qi) kesib o'tadi. Ko'pincha, funktsiyaning nollarini topish zarurati tenglamani oddiygina echish zarurligini anglatadi. Shuningdek, ko'pincha belgining doimiylik intervallarini topish zarurati tengsizlikni oddiygina hal qilish zarurligini anglatadi.
Funktsiya y = f(x) deyiladi hatto X
Bu argumentning har qanday qarama-qarshi qiymatlari uchun juft funktsiyaning qiymatlari teng ekanligini anglatadi. Jadval hatto funktsiya har doim op-ampning ordinat o'qiga nisbatan nosimmetrik.
Funktsiya y = f(x) deyiladi g'alati, agar u simmetrik to'plamda va har qanday uchun aniqlangan bo'lsa X ta'rif sohasidan tenglik quyidagilarga ega:
Bu shuni anglatadiki, argumentning har qanday qarama-qarshi qiymatlari uchun toq funktsiyaning qiymatlari ham qarama-qarshidir. Toq funktsiyaning grafigi har doim boshiga nisbatan simmetrik bo'ladi.
Juft va ildizlarining yig‘indisi g'alati funktsiyalar(abtsissalar o'qining kesishish nuqtalari OX) har doim nolga teng, chunki har bir ijobiy ildiz uchun X salbiy ildizga ega - X.
Shuni ta'kidlash kerakki, ba'zi funksiyalar juft yoki toq bo'lishi shart emas. Juft ham, toq ham bo'lmagan ko'plab funktsiyalar mavjud. Bunday funktsiyalar deyiladi umumiy funktsiyalar, va ular uchun yuqorida keltirilgan tenglik yoki xususiyatlarning hech biri qanoatlanmaydi.
Chiziqli funksiya formula bilan berilishi mumkin bo'lgan funktsiya:
Chiziqli funktsiyaning grafigi to'g'ri chiziq va umumiy holat shunday ko'rinadi (qachon holatga misol keltirilgan k> 0, bu holda funksiya ortib bormoqda; munosabati bilan k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Kvadrat funksiya grafigi (Parabola)
Parabola grafigi kvadrat funktsiya bilan berilgan:
Kvadrat funktsiya, boshqa funksiyalar singari, OX o'qini uning ildizlari bo'lgan nuqtalarda kesishadi: ( x 1 ; 0) va ( x 2 ; 0). Agar ildizlar bo'lmasa, kvadrat funktsiya OX o'qini kesib o'tmaydi; agar faqat bitta ildiz bo'lsa, u holda bu nuqtada ( x 0 ; 0) kvadrat funktsiya faqat OX o'qiga tegadi, lekin uni kesib o'tmaydi. Kvadrat funksiya har doim OY o'qini koordinatali nuqtada kesib o'tadi: (0; c). Jadval kvadratik funktsiya(parabola) shunday ko'rinishi mumkin (rasmda barcha mumkin bo'lgan parabola turlarini tugatmaydigan misollar ko'rsatilgan):
Bunda:
- koeffitsienti bo'lsa a> 0, funktsiyada y = bolta 2 + bx + c, keyin parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi;
- agar a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Parabola cho'qqisining koordinatalarini hisoblash mumkin quyidagi formulalar. X tepalik (p- yuqoridagi rasmlarda) parabolalar (yoki kvadratik uch a'zoning eng katta yoki eng kichik qiymatiga yetgan nuqtasi):
Igrek tepalari (q- yuqoridagi raqamlarda) parabolalar yoki parabolaning shoxlari pastga yo'naltirilgan bo'lsa, maksimal ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), qiymat kvadratik trinomial:
Boshqa funktsiyalarning grafiklari
Quvvat funktsiyasi
Bu erda grafiklarga ba'zi misollar quvvat funktsiyalari:
Teskari proportsional formula bilan berilgan funksiya:
Raqamning belgisiga qarab k Teskari proportsional bog'liqlik grafigi ikkita asosiy variantga ega bo'lishi mumkin:
Asimptot- funksiya grafigi cheksiz yaqin keladigan, lekin kesishmaydigan chiziq. Grafiklar uchun asimptotlar teskari proportsionallik yuqoridagi rasmda koordinata o'qlari ko'rsatilgan, ular funktsiya grafigi cheksiz yaqinlashadi, lekin ularni kesib o'tmaydi.
Eksponensial funktsiya asos bilan A formula bilan berilgan funksiya:
a Eksponensial funktsiyaning grafigi ikkita asosiy variantga ega bo'lishi mumkin (biz misollar ham keltiramiz, quyida ko'ring):
Logarifmik funktsiya formula bilan berilgan funksiya:
Raqamning bittadan katta yoki kichikligiga qarab a Logarifmik funktsiyaning grafigi ikkita asosiy variantga ega bo'lishi mumkin:
Funksiya grafigi y = |x| quyida bayon qilinganidek:
Davriy (trigonometrik) funksiyalarning grafiklari
Funktsiya da = f(x) deyiladi davriy, agar bunday nolga teng bo'lmagan raqam mavjud bo'lsa T, Nima f(x + T) = f(x), har kim uchun X funksiya sohasidan f(x). Agar funktsiya f(x) davr bilan davriydir T, keyin funksiya:
Qayerda: A, k, b – doimiy raqamlar, va k nolga teng emas, shuningdek davriy T 1, bu formula bilan aniqlanadi:
Ko'pchilik misollar davriy funktsiyalar- Bu trigonometrik funktsiyalar. Biz asosiy trigonometrik funktsiyalarning grafiklarini taqdim etamiz. Quyidagi rasmda funktsiya grafigining bir qismi ko'rsatilgan y= gunoh x(butun grafik cheksiz chap va o'ngda davom etadi), funksiya grafigi y= gunoh x chaqirdi sinusoid:
Funksiya grafigi y=cos x chaqirdi kosinus. Ushbu grafik quyidagi rasmda ko'rsatilgan. Sinus grafigi OX o'qi bo'ylab chapga va o'ngga cheksiz davom etganligi sababli:
Funksiya grafigi y= tg x chaqirdi tangentoid. Ushbu grafik quyidagi rasmda ko'rsatilgan. Boshqa davriy funksiyalarning grafiklari singari, bu grafik OX o'qi bo'ylab chap va o'ngga cheksiz takrorlanadi.
Va nihoyat, funktsiyaning grafigi y=ctg x chaqirdi kotangentoid. Ushbu grafik quyidagi rasmda ko'rsatilgan. Boshqa davriy va trigonometrik funktsiyalarning grafiklari singari, bu grafik ham OX o'qi bo'ylab chap va o'ngga cheksiz takrorlanadi.
Ushbu uchta nuqtani muvaffaqiyatli, tirishqoqlik va mas'uliyat bilan amalga oshirish sizga KTda eng yaxshi natijani ko'rsatishga imkon beradi.
Xato topdingizmi?
Agar siz xato topdim deb o'ylasangiz o'quv materiallari, keyin bu haqda elektron pochta orqali yozing. Shuningdek, siz xato haqida xabar berishingiz mumkin ijtimoiy tarmoq(). Maktubda mavzuni (fizika yoki matematika), mavzu yoki testning nomi yoki raqamini, masalaning raqamini yoki matndagi (sahifa) sizning fikringizcha, xato bo'lgan joyni ko'rsating. Shubhali xato nima ekanligini ham tasvirlab bering. Sizning maktubingiz e'tibordan chetda qolmaydi, xatolik yo tuzatiladi yoki sizga nima uchun xato emasligi tushuntiriladi.
funktsiya - bu bitta to'plamning har bir elementi boshqa to'plamning biron bir elementi bilan bog'langanligi qoidasiga muvofiq o'rnatilgan ikkita to'plamning elementlari o'rtasidagi moslik.
Funksiya grafigi - abscissa (x) va ordinatasi (y) belgilangan funktsiya bilan bog'langan tekislikdagi nuqtalarning geometrik joylashuvi:
nuqta funktsiya grafigida joylashgan (yoki joylashgan), agar va faqat bo'lsa.
Shunday qilib, funktsiyani uning grafigi orqali adekvat tasvirlash mumkin.
Jadval usuli. Alohida argument qiymatlari jadvalini va ularga mos keladigan funktsiya qiymatlarini belgilash juda keng tarqalgan. Funksiyani aniqlashning bu usuli funksiyaning aniqlanish sohasi diskret chekli to‘plam bo‘lganda qo‘llaniladi.
Funktsiyani ko'rsatishning jadval usuli bilan jadvalda mavjud bo'lmagan funktsiyaning qiymatlarini taxminan hisoblash mumkin. oraliq qiymatlar dalil. Buning uchun interpolyatsiya usulidan foydalaning.
Funktsiyani belgilashning jadval usulining afzalliklari shundaki, u qo'shimcha o'lchovlar yoki hisob-kitoblarsiz ma'lum bir aniq qiymatlarni darhol aniqlash imkonini beradi. Biroq, ba'zi hollarda, jadval funktsiyani to'liq aniqlamaydi, faqat argumentning ba'zi qiymatlari uchun va argumentning o'zgarishiga qarab funktsiyaning o'zgarishi tabiatining vizual tasvirini bermaydi.
Grafik usul. y = f(x) funksiyaning grafigi koordinatalari berilgan tenglamani qanoatlantiradigan tekislikdagi barcha nuqtalar to‘plamidir.
Funktsiyani belgilashning grafik usuli har doim ham argumentning raqamli qiymatlarini aniq aniqlashga imkon bermaydi. Biroq, u boshqa usullardan katta afzalliklarga ega - ko'rinish. Muhandislik va fizikada ko'pincha funktsiyani belgilashning grafik usuli qo'llaniladi va grafik buning yagona yo'lidir.
Funktsiyani grafik jihatdan belgilash matematik nuqtai nazardan to'liq to'g'ri bo'lishi uchun grafikning aniq geometrik dizaynini ko'rsatish kerak, bu ko'pincha tenglama bilan belgilanadi. Bu funktsiyani belgilashning quyidagi usuliga olib keladi.
Analitik usul. Ko'pincha argument va funktsiya o'rtasidagi bog'liqlikni o'rnatuvchi qonun formulalar orqali aniqlanadi. Funktsiyani ko'rsatishning bunday usuli analitik deb ataladi.
Bu usul x argumentining har bir raqamli qiymatiga o'ziga mos kelishini topish imkonini beradi raqamli qiymat y funksiyalarini aniq yoki aniqlik bilan bajaradi.
Agar x va y o'rtasidagi munosabat y ga nisbatan hal qilingan formula bilan berilgan bo'lsa, ya'ni. y = f(x) ko'rinishga ega bo'lsa, u holda x ning funksiyasi aniq berilgan deymiz.
Agar x va y qiymatlari F (x, y) = 0 ko'rinishidagi ba'zi tenglamalar bilan bog'liq bo'lsa, ya'ni. formula y uchun hal etilmagan, ya'ni y = f(x) funksiya bilvosita berilgan.
Funktsiyani aniqlash mumkin turli formulalar o'z missiyasi hududining turli qismlarida.
Analitik usul funksiyalarni belgilashning eng keng tarqalgan usuli hisoblanadi. Kompaktlik, ixchamlik, ta'rif sohasidan argumentning ixtiyoriy qiymati uchun funktsiyaning qiymatini hisoblash qobiliyati, matematik tahlil apparatini berilgan funktsiyaga qo'llash qobiliyati - bu aniqlanishning analitik usulining asosiy afzalliklari. funktsiyasi. Kamchiliklar orasida ko'rinishning yo'qligi kiradi, bu grafik yaratish qobiliyati va ba'zan juda og'ir hisob-kitoblarni bajarish zarurati bilan qoplanadi.
Og'zaki usul. Bu usul funksional bog`liqlikni so`z bilan ifodalashdan iborat.
1-misol: E(x) funksiyasi - butun qismi raqamlari x. Umuman olganda, E(x) = [x] x dan oshmaydigan eng katta butun sonni bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, agar x = r + q bo'lsa, bu erda r butun son (salbiy bo'lishi mumkin) va q = r oralig'iga tegishli. E(x) = [x] funksiya = r oraliqda doimiy.
2-misol: y = (x) funksiya sonning kasr qismidir. Aniqroq aytganda, y =(x) = x - [x], bu erda [x] - x sonining butun qismi. Bu funksiya barcha x uchun belgilangan. Agar x ixtiyoriy son bo'lsa, uni x = r + q (r = [x]) shaklida ifodalang, bu erda r butun son va q intervalda yotadi.
X argumentiga n qo‘shish funksiya qiymatini o‘zgartirmasligini ko‘ramiz.
n dagi eng kichik nolga teng bo'lmagan son , shuning uchun davr sin 2x dir.
Funktsiya 0 ga teng bo'lgan argument qiymati chaqiriladi nol (ildiz) funktsiyalari.
Funktsiyada bir nechta nol bo'lishi mumkin.
Masalan, funktsiya y = x (x + 1)(x-3) uchta nolga ega: x = 0, x = - 1, x =3.
Geometrik jihatdan funksiyaning noli funksiya grafigining o‘q bilan kesishgan nuqtasining abscissasidir. X .
7-rasmda nolga ega funksiya grafigi keltirilgan: x = a, x = b va x = c.
Agar funktsiya grafigi koordinata boshidan uzoqlashganda ma'lum bir chiziqqa cheksiz yaqinlashsa, bu chiziq deyiladi. asimptota.
Teskari funksiya
y=ƒ(x) funksiya D taʼrif sohasi va E qiymatlar toʻplami bilan berilgan boʻlsin. Agar yêE har bir qiymati bitta xêD qiymatiga toʻgʻri kelsa, u holda x=ph(y) funksiya aniqlanish sohasi boʻlsin. ta'rifi E va qiymatlar to'plami D aniqlanadi (102-rasmga qarang).
Bunday ph(y) funksiya ƒ(x) funksiyaga teskari funksiya deyiladi va quyidagi shaklda yoziladi: x=j(y)=f -1 (y) y=ƒ(x) va x funksiyalari. =ph(y) ning oʻzaro qarama-qarshiligi deyiladi. y=ƒ (x) funksiyaga teskari x=ph(y) funksiyani topish uchun x uchun ƒ(x)=y tenglamani yechish kifoya (agar iloji bo‘lsa).
1. y=2x funksiya uchun teskari funksiya x=y/2 funksiya;
2. y=x2 xê funksiya uchun teskari funksiya x=√y; y=x 2 funksiya uchun segmentda aniqlanganligiga e’tibor bering [-1; 1], teskari yo'q, chunki y ning bir qiymati x ning ikkita qiymatiga to'g'ri keladi (shuning uchun, agar y = 1/4 bo'lsa, x1 = 1/2, x2 = -1/2).
Teskari funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadiki, y=ƒ(x) funksiya teskari funktsiyaga ega bo'ladi, agar ƒ(x) funksiya D va E to'plamlar o'rtasida birma-bir moslikni aniqlasagina. qat'iy monotonik funktsiya teskari xususiyatga ega. Bundan tashqari, agar funktsiya oshsa (kamaysa), u holda teskari funktsiya ham ortadi (kamayadi).
E'tibor bering, y=ƒ(x) funksiya va uning teskari x=ph(y) bir xil egri chiziq bilan tasvirlangan, ya'ni ularning grafiklari bir-biriga to'g'ri keladi. Agar odatdagidek mustaqil o‘zgaruvchi (ya’ni argument) x bilan, bog‘liq o‘zgaruvchi esa y bilan belgilanishiga rozi bo‘lsak, u holda y=ƒ(x) funksiyaning teskari funksiyasi y=ph( ko‘rinishda yoziladi. x).
Demak, y=ƒ(x) egri chiziqning M 1 (x o;y o) nuqtasi y=ph(x) egri chiziqning M 2 (y o;x o) nuqtasiga aylanadi. Lekin M 1 va M 2 nuqtalar y=x to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir (103-rasmga qarang). Shuning uchun grafiklar o'zaro teskari funktsiyalar y=ƒ(x) va y=ph(x) birinchi va uchinchi koordinata burchaklarining bissektrisasiga nisbatan simmetrikdir.
D to‘plamda u=ƒ(u) funksiya, D to‘plamda u= ph(x) funksiya 1, x D 1 uchun esa mos keladigan qiymat u=ph(x) ê D aniqlansin. Keyin D to'plamda 1 funksiya u=ƒ(ph(x)), bu x ning kompleks funksiyasi (yoki superpozitsiya) deyiladi. belgilangan funktsiyalar, yoki funktsiyaning funktsiyasi).
u=ph(x) o‘zgaruvchisi kompleks funksiyaning oraliq argumenti deyiladi.
Masalan, y=sin2x funksiya y=sinu va u=2x ikkita funksiyaning superpozitsiyasidir. Murakkab funktsiya bir nechta oraliq argumentlarga ega bo'lishi mumkin.
4. Asosiy elementar funksiyalar va ularning grafiklari.
Quyidagi funksiyalar asosiy elementar funksiyalar deyiladi.
1) Ko‘rsatkichli funksiya y=a x,a>0, a ≠ 1. Rasmda. 104 ta grafik ko'rsatilgan eksponensial funktsiyalar, turli daraja asoslariga mos keladi.
2) Quvvat funksiyasi y=x a, aêR. Turli ko'rsatkichlarga mos keladigan quvvat funktsiyalarining grafiklariga misollar rasmlarda keltirilgan.
3) Logarifmik funksiya y=log a x, a>0,a≠1;Grafiklar logarifmik funktsiyalar, turli asoslarga mos keladigan, shaklda ko'rsatilgan. 106.
4) y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx trigonometrik funksiyalar; Trigonometrik funktsiyalarning grafiklari rasmda ko'rsatilgan shaklga ega. 107.
5) Teskari trigonometrik funksiyalar y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. Shaklda. 108 teskari trigonometrik funksiyalarning grafiklarini ko'rsatadi.
Asosiydan tashkil topgan yagona formula bilan aniqlangan funktsiya elementar funktsiyalar va yordami bilan doimiy chekli son arifmetik amallar(qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish) va funksiyadan funksiya olish amallari elementar funksiya deyiladi.
Elementar funksiyalarga funksiyalar misol bo‘la oladi
Elementar bo'lmagan funksiyalarga funksiyalar misol bo'la oladi
5. Ketma-ketlik chegarasi va funksiya tushunchalari. Limitlarning xossalari.
Funktsiya chegarasi (funksiyaning chegaraviy qiymati) funktsiyani belgilash sohasini cheklovchi ma'lum nuqtada ko'rib chiqilayotgan funktsiyaning argumenti berilgan nuqtaga moyil bo'lgan qiymatga intiladi.
Matematikada ketma-ketlikning chegarasi metrik fazo yoki topologik fazoning elementlari ma'lum ketma-ketlikning elementlarini "jalb qilish" xususiyatiga ega bo'lgan bir xil fazoning elementi. Topologik fazo elementlari ketma-ketligi chegarasi shunday nuqtadirki, uning har bir qo'shnisi ma'lum sondan boshlab ketma-ketlikning barcha elementlarini o'z ichiga oladi. Metrik fazoda mahallalar masofa funksiyasi orqali aniqlanadi, shuning uchun chegara tushunchasi masofalar tilida shakllantiriladi. Tarixiy jihatdan birinchisi, matematik tahlilda paydo bo'ladigan sonli ketma-ketlikning chegarasi tushunchasi bo'lib, u yaqinlashtirishlar tizimi uchun asos bo'lib xizmat qiladi va differentsial va integral hisoblarni qurishda keng qo'llaniladi.
Belgilash:
(o'qiydi: en cheksizlikka intiluvchi x-n-ketmaning chegarasi a)
Limitga ega ketma-ketlikning xossasi deyiladi konvergentsiya: agar ketma-ketlikning chegarasi bo'lsa, unda bu ketma-ketlik deyiladi birlashadi; aks holda (agar ketma-ketlik chegarasi bo'lmasa) ketma-ketlik deyiladi farqlanadi. Hausdorff fazosida va xususan, metrik fazoda konvergent ketma-ketlikning har bir keyingi ketma-ketligi yaqinlashadi va uning chegarasi dastlabki ketma-ketlikning chegarasiga to'g'ri keladi. Boshqacha qilib aytganda, Hausdorff fazosining elementlar ketma-ketligi ikki xil chegaraga ega bo'lishi mumkin emas. Biroq, ketma-ketlikning chegarasi yo'qligi ma'lum bo'lishi mumkin, lekin chegarasi bo'lgan pastki ketma-ketlik (berilgan ketma-ketlik) mavjud. Agar fazodagi har qanday nuqtalar ketma-ketligidan konvergent kichik ketma-ketlikni aniqlash mumkin bo‘lsa, u holda berilgan fazo ketma-ket ixchamlik xususiyatiga ega deyiladi (yoki, agar ixchamlik faqat ketma-ketliklar bilan aniqlansa, oddiygina ixchamlik).
Ketma-ketlik chegarasi tushunchasi chegara nuqtasi (to'plam) tushunchasi bilan bevosita bog'liq: agar to'plam chegara nuqtasiga ega bo'lsa, u holda bu to'plam elementlarining shu nuqtaga yaqinlashuvchi ketma-ketligi mavjud.
Ta'rif
Topologik fazo va ketma-ketlik berilsin.Unda shunday element mavjud bo'lsa
Qaerda - ochiq to'plam ni o'z ichiga olgan bo'lsa, u ketma-ketlikning chegarasi deb ataladi. Agar bo'shliq metrik bo'lsa, u holda chegara metrikasi yordamida aniqlanishi mumkin: agar shunday element mavjud bo'lsa
metrik qayerda, u chegara deyiladi.
· Agar fazo antidiskret topologiya bilan jihozlangan bo'lsa, u holda har qanday ketma-ketlikning chegarasi fazoning istalgan elementi bo'ladi.
6. Funksiyaning nuqtadagi chegarasi. Bir tomonlama chegaralar.
Bitta o‘zgaruvchining funksiyasi. Koshi bo'yicha nuqtadagi funksiya chegarasini aniqlash. Raqam b funksiyaning chegarasi deyiladi da = f(x) da X, intilish A(yoki nuqtada A), agar har qanday musbat son uchun barcha x ≠ a uchun musbat son bo‘lsa, | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | < .
Geyne bo'yicha nuqtadagi funksiya chegarasini aniqlash. Raqam b funksiyaning chegarasi deyiladi da = f(x) da X, intilish A(yoki nuqtada A), agar biron-bir ketma-ketlik uchun ( x n ), ga yaqinlashish A(maqsadida A, chegara raqamiga ega A) va har qanday qiymatda n x n ≠ A, pastki ketma-ketlik ( y n= f(x n)) ga yaqinlashadi b.
Ushbu ta'riflar funktsiyani nazarda tutadi da = f(x) nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlanadi A, bundan mustasno, ehtimol, nuqtaning o'zi A.
Funktsiyaning nuqtadagi chegarasining Koshi va Geyn ta'riflari ekvivalentdir: agar raqam b ulardan biri uchun chegara bo'lib xizmat qiladi, keyin bu ikkinchisi uchun ham amal qiladi.
Belgilangan chegara quyidagicha ko'rsatilgan:
Geometrik jihatdan, Koshiga ko‘ra nuqtada funksiya chegarasining mavjudligi shuni anglatadiki, har qanday son > 0 uchun koordinata tekisligida asosi 2 > 0, balandligi 2 va nuqtada markazi bo‘lgan shunday to‘rtburchakni ko‘rsatish mumkin. ( A; b) oraliqda berilgan funksiya grafigining barcha nuqtalari ( A– ; A+ ), mumkin bo'lgan nuqtadan tashqari M(A; f(A)), bu to'rtburchakda yoting
Bir tomonlama chegara matematik tahlilda sonli funktsiyaning chegarasi, bir tomondan chegara nuqtasiga "yaqinlashish" ni nazarda tutadi. Bunday chegaralar mos ravishda chaqiriladi chap qo'l chegarasi(yoki chapga chegara) Va o'ng qo'l chegarasi (o'ng tomonda chegara). Ba'zi raqamlar to'plami berilsin raqamli funktsiya raqam esa ta'rif sohasining chegara nuqtasidir. Funktsiyaning nuqtadagi bir tomonlama chegaralari uchun turli xil ta'riflar mavjud, ammo ularning barchasi ekvivalentdir.
So'zlar nimani anglatadi? "funktsiyani o'rnatish"? Ularning ma'nosi: nimani bilmoqchi bo'lgan har bir kishiga tushuntiring o'ziga xos funktsiya gaplashamiz. Bundan tashqari, aniq va aniq tushuntiring!
Buni qanday qilishim mumkin? Qanaqasiga funktsiyani o'rnating?
Siz formula yozishingiz mumkin. Grafik chizishingiz mumkin. Siz stol yasashingiz mumkin. Har qanday yo'l biz tanlagan x qiymati uchun i qiymatini bilib olishimiz mumkin bo'lgan ba'zi qoida. Bular. "funktsiyani o'rnatish", bu x ning y ga aylanishi qonunini, qoidasini ko'rsatishni anglatadi.
Odatda, turli xil vazifalar mavjud allaqachon tayyor funktsiyalari. Ular bizga beradi allaqachon o'rnatilgan. O'zingiz qaror qiling, ha, qaror qiling.) Lekin ... Ko'pincha maktab o'quvchilari (va hatto talabalar) formulalar bilan ishlaydilar. Ko‘nishadi, bilasizmi... Shunchalik ko‘nikib qolishadiki, funktsiyani ko‘rsatishning boshqa usuli bilan bog‘liq har qanday elementar savol darhol odamni xafa qiladi...)
Bunday holatlarning oldini olish uchun funktsiyalarni belgilashning turli usullarini tushunish mantiqan. Va, albatta, bu bilimlarni "qiyin" savollarga qo'llang. Bu juda oddiy. Funktsiya nima ekanligini bilsangiz...)
Boringmi?)
Funksiyani belgilashning analitik usuli.
Eng universal va kuchli usul. Analitik tarzda aniqlangan funktsiya bu berilgan funksiya formulalar. Aslida, bu butun tushuntirish.) Hammaga tanish bo'lgan funktsiyalar (men ishonmoqchiman!), masalan: y = 2x, yoki y = x 2 va hokazo. va h.k. analitik tarzda aniqlanadi.
Aytgancha, har bir formula funktsiyani aniqlay olmaydi. Har bir formula funktsiya ta'rifidagi qat'iy shartga javob bermaydi. Aynan - har bir X uchun faqat bo'lishi mumkin bitta igrek. Masalan, formulada y = ±x, Uchun bitta qiymatlari x=2, ma'lum bo'ladi ikki y qiymatlari: +2 va -2. Bu formula yagona funksiyani aniqlay olmaydi. Qoida tariqasida, ular matematikaning ushbu bo'limida, hisob-kitoblarda ko'p qiymatli funktsiyalar bilan ishlamaydi.
Funktsiyani belgilashning analitik usuli nimada yaxshi? Chunki agar sizda formula bo'lsa, siz funktsiya haqida bilasiz Hammasi! Siz belgi qo'yishingiz mumkin. Grafik tuzing. Ushbu xususiyatni to'liq o'rganing. Bu funksiya qayerda va qanday ishlashini aniq taxmin qiling. Barcha matematik tahlillar funksiyalarni belgilashning ushbu usuliga asoslanadi. Aytaylik, jadvalning hosilasini olish juda qiyin...)
Analitik usul juda tanish va muammo tug'dirmaydi. Ehtimol, talabalar duch keladigan ushbu usulning ba'zi o'zgarishlari mavjud. Men parametrik va yashirin funksiyalar haqida gapiryapman.) Lekin bunday funksiyalar maxsus darsda.
Funktsiyani belgilashning kamroq tanish usullariga o'tamiz.
Funksiyani belgilashning jadval usuli.
Nomidan ko'rinib turibdiki, bu usul oddiy belgidir. Ushbu jadvalda har bir x mos keladi ( muvofiq qo'yiladi) o'yinning ma'nosi. Birinchi qator argumentning qiymatlarini o'z ichiga oladi. Ikkinchi qatorda mos keladigan funksiya qiymatlari mavjud, masalan:
1-jadval.
| x | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| y | 5 | 2 | - 4 | - 1 | 6 | 5 |
Iltimos, diqqat qiling! Ushbu misolda o'yin X ga bog'liq baribir. Men buni ataylab o'ylab topdim.) Naqsh yo'q. Hechqisi yo'q, shunday bo'ladi. Ma'nosi, aynan shunday Men ushbu maxsus funktsiyani aniqladim. Aynan shunday Men qoida o'rnatdim, unga ko'ra X Y ga aylanadi.
Siz tuzishingiz mumkin boshqa naqshni o'z ichiga olgan plastinka. Bu belgi ko'rsatadi boshqa funktsiyasi, masalan:
2-jadval.
| x | - 3 | - 1 | 0 | 2 | 3 | 4 |
| y | - 6 | - 2 | 0 | 4 | 6 | 8 |
Shaklni tushundingizmi? Bu erda o'yinning barcha qiymatlari x ni ikkiga ko'paytirish orqali olinadi. Mana birinchi “qiyin” savol: 2-jadval yordamida aniqlangan funksiyani funksiya deb hisoblash mumkinmi? y = 2x? Hozircha o'ylab ko'ring, javob quyida, grafik tarzda bo'ladi. U erda hamma narsa aniq.)
Nima yaxshi funktsiyani ko'rsatishning jadval usuli? Ha, chunki siz hech narsani hisoblashingiz shart emas. Hamma narsa allaqachon hisoblab chiqilgan va jadvalda yozilgan.) Lekin bundan yaxshi narsa yo'q. Biz X uchun funktsiyaning qiymatini bilmaymiz, jadvalda yo'q. Ushbu usulda bunday x qiymatlari oddiy mavjud emas. Aytgancha, bu qiyin savolga ishora.) Funktsiya jadvaldan tashqarida qanday harakat qilishini aniqlay olmaymiz. Biz hech narsa qila olmaymiz. Va bu usulning ravshanligi ko'p narsani orzu qiladi ... Aniqlik uchun grafik usul yaxshi.
Funktsiyani belgilashning grafik usuli.
Bu usulda funksiya grafik bilan ifodalanadi. Argument (x) abscissa o'qi bo'ylab, funktsiya qiymati (y) ordinatalar o'qi bo'ylab chiziladi. Jadvalga ko'ra, siz istalgan birini tanlashingiz mumkin X va tegishli qiymatni toping da. Grafik har qanday bo'lishi mumkin, lekin ... har qanday bo'lishi mumkin emas.) Biz faqat bir ma'noli funktsiyalar bilan ishlaymiz. Bunday funktsiyaning ta'rifi aniq ko'rsatilgan: har bir X muvofiq qo'yiladi yagona da. Bir ikkita yoki uchta emas, bitta o'yin... Masalan, aylana grafigini ko'rib chiqaylik:
Doira aylanaga o'xshaydi... Nima uchun u funksiya grafigi bo'lmasligi kerak? Keling, qaysi o'yin X qiymatiga mos kelishini topamiz, masalan, 6? Kursorni grafik ustiga olib boramiz (yoki planshetdagi chizmaga tegizamiz) va... biz bu x mos kelishini ko'ramiz. ikki O'yin ma'nosi: y=2 va y=6.
Ikki va olti! Shuning uchun bunday grafik funktsiyaning grafik topshirig'i bo'lmaydi. Yoniq bitta x uchun hisob ikki o'yin. Bu grafik funktsiya ta'rifiga mos kelmaydi.
Biroq, agar aniqlik sharti bajarilsa, grafik mutlaqo hamma narsa bo'lishi mumkin. Masalan:
Xuddi shu egrilik X ni Y ga aylantirish qonunidir. Aniq. Funktsiyaning ma'nosini bilmoqchi edik x = 4, Masalan. Biz x o'qida to'rttasini topishimiz va qaysi o'yin bu x ga mos kelishini ko'rishimiz kerak. Biz sichqonchani rasm ustiga olib boramiz va funktsiya qiymatini ko'ramiz da Uchun x=4 beshga teng. X ning Y ga aylanishini qaysi formula aniqlaganini bilmaymiz. Va bu kerak emas. Hamma narsa jadvalga muvofiq belgilanadi.
Endi biz "qiyin" savolga qaytishimiz mumkin y=2x. Keling, ushbu funktsiyani chizamiz. Mana u:
Albatta, bu grafikni chizishda biz olmadik cheksiz to'plam qiymatlar X. Biz bir nechta qiymatlarni oldik va hisoblab chiqdik y, belgi qo'ydi - va hamma narsa tayyor! Eng savodli odamlar X ning faqat ikkita qiymatini oldilar! Va to'g'ri. To'g'ri chiziq uchun sizga ko'proq kerak emas. Nega qo'shimcha ish?
Lekin biz aniq bilar edi x nima bo'lishi mumkin har kim. Butun, kasr, manfiy... Har qanday. Bu formulaga muvofiq y=2x ko'rinadi. Shuning uchun biz grafikdagi nuqtalarni qattiq chiziq bilan jasorat bilan bog'ladik.
Agar funktsiya bizga 2-jadvalda berilgan bo'lsa, biz x ning qiymatlarini olishimiz kerak bo'ladi faqat stoldan. Chunki boshqa X (va Y) bizga berilmagan va ularni olish uchun hech qanday joy yo'q. Ushbu qiymatlar ushbu funktsiyada mavjud emas. Jadval amalga oshadi nuqtalardan. Biz sichqonchani rasm ustiga olib boramiz va 2-jadvalda ko'rsatilgan funksiya grafigini ko'ramiz. Men x-y qiymatlarini o'qlarga yozmadim, yacheykama-yacheyka tushunasizmi?)
Mana, "qiyin" savolga javob. 2-jadvalda belgilangan funksiya va funksiya y=2x - boshqacha.
Grafik usul aniqligi uchun yaxshi. Funktsiya qanday harakat qilishini, u qayerda kuchayishini darhol ko'rishingiz mumkin. qayerda kamayadi. Grafikdan siz darhol funktsiyaning ba'zi muhim xususiyatlarini bilib olishingiz mumkin. Va lotinlar bilan mavzuda, grafiklar bilan vazifalar hamma joyda!
Umuman olganda, funktsiyani aniqlashning analitik va grafik usullari yonma-yon boradi. Formula bilan ishlash grafik tuzishga yordam beradi. Grafik ko'pincha formulada sezmagan yechimlarni taklif qiladi... Biz grafiklar bilan do'st bo'lamiz.)
Deyarli har qanday talaba biz ko'rib chiqqan funktsiyani aniqlashning uchta usulini biladi. Ammo savolga: "Va to'rtinchisi!?" - yaxshilab muzlaydi.)
Bunday yo'l bor.
Funktsiyaning og'zaki tavsifi.
Ha ha! Funktsiyani so'zlar bilan aniq belgilash mumkin. Buyuk va qudratli rus tili ko'p narsaga qodir!) Funktsiyani aytaylik y=2x quyidagi og'zaki tavsif bilan aniqlanishi mumkin: X argumentining har bir haqiqiy qiymati uning qo'sh qiymati bilan bog'langan. Mana bunday! Qoida o'rnatiladi, funksiya ko'rsatiladi.
Bundan tashqari, siz formuladan foydalanib aniqlash juda qiyin, hatto imkonsiz bo'lgan funktsiyani og'zaki ravishda belgilashingiz mumkin. Masalan: X natural argumentining har bir qiymati x qiymatini tashkil etuvchi raqamlar yig'indisi bilan bog'langan. Masalan, agar x=3, Bu y=3. Agar x=257, Bu y=2+5+7=14. Va hokazo. Buni formulada yozish muammoli. Lekin belgini yasash oson. Va jadval tuzing. Aytgancha, grafik kulgili ko'rinadi ...) Buni sinab ko'ring.
Yo'l og'zaki tavsif- usul juda ekzotik. Lekin ba'zida shunday bo'ladi. Men uni kutilmagan va g'ayrioddiy vaziyatlarda sizga ishonch hosil qilish uchun olib keldim. Siz faqat so'zlarning ma'nosini tushunishingiz kerak "funktsiya belgilangan ..." Mana, bu ma'no:
Agar o'rtasida birma-bir yozishmalar qonuni mavjud bo'lsa X Va da- bu funksiya borligini anglatadi. Qaysi qonun, qanday shaklda ifodalangani - formula, planshet, grafik, so'z, qo'shiq, raqslar - masalaning mohiyatini o'zgartirmaydi. Bu qonun X ning qiymatidan Y ning mos keladigan qiymatini aniqlash imkonini beradi. Hammasi.
Endi biz ushbu chuqur bilimlarni ba'zi nostandart vazifalarga qo'llaymiz.) Dars boshida va'da qilinganidek.
1-mashq:
y = f(x) funksiya 1-jadvalda berilgan:
1-jadval.
Agar p(x)= f(x) - g(x) bo‘lsa, p(4) funksiyaning qiymatini toping.
Agar siz nima ekanligini umuman tushuna olmasangiz, oldingi darsni o'qing "Funksiya nima?" Bunday harflar va qavslar haqida juda aniq yozilgan.) Va agar faqat jadval shakli sizni chalg'itsa, biz uni shu erda ajratamiz.
Oldingi darsdan ma'lumki, agar, p(x) = f(x) - g(x), Bu p(4) = f(4) - g(4). Xatlar f Va g har bir X ga o'z o'yini tayinlangan qoidalarni bildiradi. Har bir harf uchun ( f Va g) - sizniki qoida. Qaysi tegishli jadval tomonidan berilgan.
Funktsiya qiymati f(4) 1-jadvaldan aniqlanadi. Bu 5. Funktsiya qiymati bo'ladi g(4) 2-jadval bo'yicha aniqlanadi. Bu 8 bo'ladi. Eng qiyin narsa qoladi.)
p (4) = 5 - 8 = -3
Bu to'g'ri javob.
f(x) > 2 tengsizlikni yeching
Bo'ldi shu! Bu (odatiy shaklda) ajoyib tarzda yo'q bo'lgan tengsizlikni hal qilish kerak! Qolgan yagona narsa - bu vazifadan voz kechish yoki boshingizni ishlatish. Biz ikkinchisini tanlaymiz va muhokama qilamiz.)
Tengsizlikni yechish nimani anglatadi? Bu bizga berilgan shart qondiriladigan x ning barcha qiymatlarini topishni anglatadi f(x) > 2. Bular. barcha funktsiya qiymatlari ( da) ikkitadan katta bo'lishi kerak. Va bizning jadvalimizda har bir o'yin bor ... Va yana ikkitasi bor, va kamroq ... Va keling, aniqlik uchun bu ikkitasi bo'ylab chegara chizamiz! Biz kursorni chizilgan ustiga olib boramiz va bu chegarani ko'ramiz.
To'g'ri aytganda, bu chegara funktsiyaning grafigi y=2, lekin gap bu emas. Muhimi shundaki, endi grafik qayerda ekanligini aniq ko'rsatib turibdi, X nimada, funktsiya qiymatlari, ya'ni. y, ikkitadan ortiq. Ular ko'proq X > 3. Da X > 3 butun funksiyamiz o'tadi yuqoriroq chegaralar y=2. Bu yechim. Ammo boshingizni o'chirishga hali erta!) Men hali ham javob yozishim kerak ...
Grafik shuni ko'rsatadiki, bizning funktsiyamiz chapga va o'ngga cheksizgacha cho'zilmaydi. Grafikning oxiridagi nuqtalar buni ko'rsatadi. Funktsiya shu erda tugaydi. Demak, bizning tengsizligimizda funktsiya chegarasidan tashqariga chiqadigan barcha X lar hech qanday ma'noga ega emas. Ushbu X ning funktsiyasi uchun mavjud emas. Va biz, aslida, funktsiya uchun tengsizlikni hal qilamiz ...
To'g'ri javob quyidagicha bo'ladi:
3 < X ≤ 6
Yoki boshqa shaklda:
X ∈ (3; 6]
Endi hammasi bo'lishi kerakdek. Javobga uchtasi kiritilmagan, chunki asl tengsizlik qat'iydir. Va oltitasi yoqiladi, chunki va oltida funksiya mavjud va tengsizlik sharti bajariladi. Biz (odatiy shaklda) mavjud bo'lmagan tengsizlikni muvaffaqiyatli hal qildik ...
Shunday qilib, ba'zi bilim va elementar mantiq sizni nostandart holatlarda qutqaradi.)
