Shamshurin A.V. 1

Gagarina N.A. 1

1 shahar byudjeti ta'lim muassasasi"O'rtacha umumta'lim maktabi№ 31"

Ish matni rasm va formulalarsiz joylashtirilgan.
To'liq versiya ish PDF formatidagi "Ish fayllari" yorlig'ida mavjud

Kirish

Men Internetda juda ko'p matematik mavzularni ko'rib chiqishdan boshladim va bu mavzuni tanladim, chunki DLni topishning ahamiyati tenglamalar va muammolarni echishda juda katta rol o'ynaydi deb o'ylayman. Uning ichida tadqiqot ishi Men tenglamalarni ko'rib chiqdim, ularda faqat ODZ, xavf, ixtiyoriylik, cheklangan ODZ, matematikadagi ba'zi taqiqlarni topish kifoya. Men uchun eng muhimi, matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonini yaxshi topshirishdir va buning uchun men bilishim kerak: qachon, nima uchun va qanday qilib DLni topish kerak. Bu meni mavzuni o'rganishga undadi, uning maqsadi ushbu mavzuni o'zlashtirish talabalarga Yagona davlat imtihonidagi topshiriqlarni to'g'ri bajarishga yordam berishini ko'rsatish edi. Ushbu maqsadga erishish uchun men qo'shimcha adabiyotlar va boshqa manbalarni tadqiq qildim. Maktabimiz o‘quvchilari ODZni qachon, nima uchun va qanday topishni bilishadimi, deb o‘ylagandim. Shuning uchun men "ODZni qachon, nima uchun va qanday topish mumkin?" mavzusida test o'tkazdim. (10 ta tenglama berilgan). Talabalar soni - 28. uni engish - 14%, DD xavfi (hisobga olingan) - 68%, ixtiyoriylik (hisobga olingan) - 36%.

Maqsad: identifikatsiya: ODZni qachon, nima uchun va qanday topish mumkin.

Muammo: ODZ ni topish zarur bo‘lgan tenglamalar va tengsizliklar algebra kursida tizimli taqdimot uchun o‘z o‘rnini topa olmadi, ehtimol shuning uchun ham men va tengdoshlarim bunday misollarni yechishda ko‘p xatolarga yo‘l qo‘yamiz, ularni echishga ko‘p vaqt sarflaymiz, unutib qo‘yamiz. ODZ haqida.

Vazifalar:

1. Tenglama va tengsizliklarni yechishda ODZning ahamiyatini ko‘rsating.
2. Ushbu mavzu bo'yicha amaliy ish olib borish va uning natijalarini umumlashtirish.

O'ylaymanki, olgan bilim va ko'nikmalarim savolni hal qilishda yordam beradi: DZni izlash kerakmi yoki yo'qmi? ODZni to'g'ri bajarishni o'rganib, xato qilishni to'xtataman. Men buni qila olamanmi, buni vaqt, aniqrog'i Yagona davlat imtihoni ko'rsatadi.

1-bob

ODZ nima?

ODZ bu mintaqa qabul qilinadigan qiymatlar , ya'ni bular ifoda mantiqiy bo'lgan o'zgaruvchining barcha qiymatlari.

Muhim. ODZni topish uchun biz misolni hal qilmaymiz! Taqiqlangan joylarni topish uchun biz misolning qismlarini hal qilamiz.

Matematikadagi ba'zi taqiqlar. Matematikada bunday taqiqlangan harakatlar juda kam. Lekin hamma ham ularni eslamaydi...

• Juft koʻplik belgisidan iborat yoki>0 yoki nolga teng boʻlishi kerak boʻlgan ifodalar, ODZ:f(x)
• Kasrning maxrajidagi ifoda nolga teng bo'lishi mumkin emas, ODZ:f(x)
• |f(x)|=g(x), ODZ: g(x) 0

ODZni qanday yozish kerak? Juda oddiy. Har doim misol yoniga ODZ yozing. Bular ostida mashhur harflar, asl tenglamaga qarab, biz asl misol uchun ruxsat etilgan x qiymatlarini yozamiz. Misolni o'zgartirish ODni va shunga mos ravishda javobni o'zgartirishi mumkin.

ODZni topish algoritmi:

1. Taqiqlash turini aniqlang.
2. Ifoda mantiqiy bo'lmagan qiymatlarni toping.
3. Ushbu qiymatlarni R haqiqiy sonlar to'plamidan chiqarib tashlang.

Tenglamani yeching: =

DZ holda	ODZ bilan
Javob: x=5	ODZ: => => Javob: ildiz yo'q

Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni bizni bunday jiddiy xatolardan himoya qiladi. Rostini aytsam, aynan ODZ tufayli ko'plab "shok talabalar" "C" talabalariga aylanadi. DLni qidirish va hisobga olish qaror qabul qilishda ahamiyatsiz qadam ekanligini hisobga olib, ular buni o'tkazib yuboradilar va keyin hayron bo'lishadi: "Nega o'qituvchi unga 2 ball berdi?" Ha, shuning uchun men uni qo'ydim, chunki javob noto'g'ri! Bu o'qituvchining "nit-terlashi" emas, balki noto'g'ri hisoblash yoki yo'qolgan belgi kabi juda aniq xato.

Qo'shimcha tenglamalar:

a) =; b) -42=14x+; c) =0; d) |x-5|=2x-2

2-bob

ODZ. Nima uchun? Qachon? Qanaqasiga?

Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni - yechim bor

1. ODZ ifodalaydi bo'sh to'plam, ya'ni asl misolda yechim yo'q

• = ODZ:

Javob: ildiz yo'q.

• = ODZ:

Javob: ildiz yo'q.

0, tenglamaning ildizlari yo'q

Javob: ildiz yo'q.

Qo'shimcha misollar:

a) + =5; b) + =23x-18; c) =0.

1. ODZ bir yoki bir nechta raqamni o'z ichiga oladi va oddiy almashtirish tezda ildizlarni aniqlaydi.

ODZ: x=2, x=3

Tekshiring: x=2, + , 0<1, верно

Tekshiring: x=3, + , 0<1, верно.

Javob: x=2, x=3.

• > ODZ: x=1,x=0

Tekshiring: x=0, > , 0>0, noto'g'ri

Tekshiring: x=1, > , 1>0, rost

Javob: x=1.

• + =x ODZ: x=3

Tekshiring: + =3, 0=3, noto'g'ri.

Javob: ildiz yo'q.

Qo'shimcha misollar:

a) =; b) + =0; c) + =x -1

DD xavfi

E'tibor bering, identifikatorni o'zgartirish quyidagilarni amalga oshirishi mumkin:

• DL ga ta'sir qilmaslik;
• kengaytirilgan DLga olib keladi;
• ODZning torayishiga olib keladi.

Bundan tashqari, dastlabki ODZni o'zgartiradigan ba'zi transformatsiyalar natijasida noto'g'ri qarorlar qabul qilinishiga olib kelishi ham ma'lum.

Keling, har bir ishni misol bilan ko'rsatamiz.

1) x + 4x + 7x ifodasini ko'rib chiqaylik, buning uchun x o'zgaruvchining ODZ R to'plamidir. O'xshash shartlarni keltiramiz. Natijada, u x 2 +11x ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bu ifodaning x o'zgaruvchisining ODZ ham R to'plamidir. Shunday qilib, amalga oshirilgan transformatsiya ODZni o'zgartirmadi.

2) x+ - =0 tenglamani oling. Bunday holda, ODZ: x≠0. Bu ibora ham shunga o'xshash atamalarni o'z ichiga oladi, ularni qisqartirgandan so'ng biz x ifodasiga kelamiz, buning uchun ODZ R bo'ladi. Ko'rib turganimizdek: transformatsiya natijasida ODZ kengaytirildi (nol raqami ODZga qo'shildi. original ifoda uchun x o'zgaruvchisi).

3) Keling, ifodani olaylik. x o'zgaruvchisining VA tengsizligi bilan aniqlanadi (x−5)·(x−2)≥0, VA: (−∞, 2]∪∪/Kirish rejimi: www.fipi.ru saytlaridan materiallar, www.eg

Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni - yechim bor [ Elektron resurs]/Kirish rejimi: rudocs.exdat.com›docs/index-16853.html

ODZ - qabul qilinadigan qiymatlar maydoni, ODZni qanday topish mumkin [Elektron resurs]/Kirish rejimi: cleverstudents.ru›expressions/odz.html

Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni: nazariya va amaliyot [Elektron resurs]/Kirish rejimi: pandia.ru›text/78/083/13650.php

ODZ nima [Elektron resurs]/ Kirish rejimi: www.cleverstudents.ru›odz.html

ODZ nima va uni qanday izlash kerak - tushuntirish va misol. Elektron resurs]/ Kirish rejimi: cos-cos.ru›math/82/

1-ilova

Amaliy ish "ODZ: qachon, nima uchun va qanday?"

Variant 1	Variant 2
│x+14│= 2 - 2x
	│3x│=1 - 3x

2-ilova

Topshiriqlarga javoblar amaliy ish"ODZ: qachon, nima uchun va qanday?"

Variant 1	Variant 2
Javob: ildiz yo'q	Javob: x-x=5 dan boshqa istalgan son
9x+ = +27 ODZ: x≠3 Javob: ildiz yo'q	ODZ: x=-3, x=5. Javob: -3;5.
y= -kamayadi, y= - ortadi Bu tenglamaning ko'pi bilan bitta ildizga ega ekanligini anglatadi. Javob: x=6.	ODZ: → →x≥5 Javob: x≥5, x≤-6.
│x+14│=2-2x ODZ:2-2x≥0, x≤1 x=-4, x=16, 16 ODZga tegishli emas	Oshadi, kamayadi Tenglama ko'pi bilan bitta ildizga ega. Javob: ildiz yo'q.
0, ODZ: x≥3, x≤2 Javob: x≥3, x≤2	8x+ = -32, ODZ: x≠-4. Javob: ildiz yo'q.
x=7, x=1. Javob: yechim yo'q	O'sish - kamayish Javob: x=2.
0 ODZ: x≠15 Javob: x - x=15 dan boshqa istalgan son.	│3-x│=1-3x, ODZ: 1-3x≥0, x≤ x=-1, x=1 ODZga tegishli emas. Javob: x=-1.

O'zgaruvchiga ega har qanday ifoda mavjud bo'lgan joyda o'zining haqiqiy qiymatlari diapazoniga ega. Qaror qabul qilishda ODZ har doim e'tiborga olinishi kerak. Agar u yo'q bo'lsa, siz noto'g'ri natija olishingiz mumkin.

Ushbu maqolada ODZni qanday qilib to'g'ri topish va misollardan foydalanish ko'rsatiladi. Qaror qabul qilishda DZni ko'rsatishning ahamiyati ham muhokama qilinadi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Yaroqli va noto'g'ri o'zgaruvchan qiymatlar

Ushbu ta'rif o'zgaruvchining ruxsat etilgan qiymatlari bilan bog'liq. Ta'rifni kiritganimizda, keling, bu qanday natijaga olib kelishini ko'rib chiqaylik.

7-sinfdan boshlab biz raqamlar bilan ishlashni boshlaymiz va raqamli ifodalar. O'zgaruvchilar bilan dastlabki ta'riflar tanlangan o'zgaruvchilar bilan ifodalarning ma'nosiga o'tadi.

Tanlangan o'zgaruvchilarga ega ifodalar mavjud bo'lganda, ularning ba'zilari qoniqtirmasligi mumkin. Masalan, 1: a shaklining ifodasi, agar a = 0 bo'lsa, unda bu mantiqiy emas, chunki uni nolga bo'lish mumkin emas. Ya'ni, ifoda har qanday holatda ham mos bo'lgan va javob beradigan qiymatlarga ega bo'lishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, ular mavjud o'zgaruvchilar bilan mantiqiy.

Ta'rif 1

Agar o'zgaruvchilar bilan ifoda mavjud bo'lsa, u holda qiymatni ularni almashtirish orqali hisoblash mumkin bo'lsa, u mantiqiy bo'ladi.

Ta'rif 2

Agar o'zgaruvchilarga ega bo'lgan ifoda mavjud bo'lsa, ularni almashtirishda qiymatni hisoblash mumkin bo'lmaganda mantiqiy emas.

Ya'ni, bu to'liq ta'rifni nazarda tutadi

Ta'rif 3

Mavjud ruxsat etilgan o'zgaruvchilar - bu ifoda mantiqiy bo'lgan qiymatlar. Va agar bu mantiqiy bo'lmasa, unda ular qabul qilinishi mumkin emas deb hisoblanadi.

Yuqoridagilarga aniqlik kiritish uchun: agar bir nechta o'zgaruvchi bo'lsa, unda mos qiymatlar juftligi bo'lishi mumkin.

1-misol

Masalan, 1 x - y + z ko'rinishdagi ifodani ko'rib chiqing, bu erda uchta o'zgaruvchi mavjud. Aks holda, uni x = 0, y = 1, z = 2 shaklida yozishingiz mumkin, boshqa yozuvda (0, 1, 2) shakl mavjud. Ushbu qiymatlar haqiqiy deb ataladi, ya'ni ifoda qiymatini topish mumkin. Biz 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1 ni olamiz. Bundan biz (1, 1, 2) qabul qilinishi mumkin emasligini ko'ramiz. O'zgartirish natijasida nolga bo'linadi, ya'ni 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

ODZ nima?

Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni algebraik ifodalarni baholashda muhim element hisoblanadi. Shuning uchun hisob-kitoblarni amalga oshirishda bunga e'tibor berishga arziydi.

Ta'rif 4

ODZ hududi berilgan ifoda uchun ruxsat etilgan qiymatlar to'plamidir.

Keling, misol ifodasini ko'rib chiqaylik.

2-misol

Agar bizda 5 z - 3 ko'rinishdagi ifoda bo'lsa, u holda ODZ (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) ko'rinishga ega bo'ladi. Bu ma'lum bir ifoda uchun z o'zgaruvchisini qondiradigan haqiqiy qiymatlar diapazoni.

Agar z x - y ko'rinishdagi ifodalar mavjud bo'lsa, u holda x ≠ y, z istalgan qiymatni olishi aniq. Bu ODZ ifodalari deb ataladi. O'zgartirish paytida nolga bo'linmaslik uchun uni hisobga olish kerak.

Ruxsat etilgan qiymatlar diapazoni va ta'riflar oralig'i bir xil ma'noga ega. Ulardan faqat ikkinchisi ifodalar uchun, birinchisi esa tenglamalar yoki tengsizliklar uchun ishlatiladi. DL yordamida ifoda yoki tengsizlik mantiqiy bo'ladi. Funktsiyani aniqlash sohasi f (x) ifodasi uchun x o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'iga to'g'ri keladi.

ODZni qanday topish mumkin? Misollar, yechimlar

ODZni topish barcha mos qiymatlarni topishni anglatadi berilgan funksiya yoki tengsizlik. Ushbu shartlarga rioya qilmaslik noto'g'ri natijalarga olib kelishi mumkin. ODZni topish uchun ko'pincha berilgan ifodadagi o'zgarishlardan o'tish kerak.

Ularni hisoblash mumkin bo'lmagan iboralar mavjud:

• nolga bo'linish mavjud bo'lsa;
• manfiy sonning ildizini olish;
• manfiy butun son ko'rsatkichining mavjudligi - faqat ijobiy raqamlar uchun;
• manfiy sonning logarifmini hisoblash;
• p 2 + p · k, k ∈ Z va kotangens p · k, k ∈ Z ni aniqlash sohasi;
• [ - 1 ga tegishli bo'lmagan qiymat uchun sonning arksinus va arkkosinasi qiymatini topish; 1].

Bularning barchasi ODZga ega bo'lish qanchalik muhimligini ko'rsatadi.

3-misol

X 3 + 2 x y − 4 ODZ ifodasini toping .

Yechim

Har qanday raqamni kub qilish mumkin. Bu ifoda kasrga ega emas, shuning uchun x va y qiymatlari har qanday bo'lishi mumkin. Ya'ni, ODZ har qanday raqamdir.

Javob: x va y - har qanday qiymatlar.

4-misol

1 3 - x + 1 0 ifodaning ODZ ni toping.

Yechim

Ko'rinib turibdiki, maxraj nolga teng bo'lgan bitta kasr bor. Bu shuni anglatadiki, x ning har qanday qiymati uchun biz nolga bo'linamiz. Bu shuni anglatadiki, biz ushbu iborani aniqlanmagan deb hisoblashimiz mumkin, ya'ni u hech qanday qo'shimcha javobgarlikka ega emas.

Javob: ∅ .

5-misol

Berilgan x + 2 · y + 3 - 5 · x ifodaning ODZ ni toping.

Yechim

Mavjudligi kvadrat ildiz bu ifoda noldan katta yoki teng bo'lishi kerakligini ko'rsatadi. Da salbiy qiymat mantiqqa to'g'ri kelmaydi. Demak, x + 2 · y + 3 ≥ 0 ko'rinishdagi tengsizlikni yozish kerak. Ya'ni, bu maqbul qiymatlarning istalgan diapazoni.

Javob: x va y to'plami, bu erda x + 2 y + 3 ≥ 0.

6-misol

1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) ko'rinishdagi ODZ ifodasini aniqlang.

Yechim

Shartga ko'ra, bizda kasr bor, shuning uchun uning maxraji nolga teng bo'lmasligi kerak. Biz x + 1 - 1 ≠ 0 ni olamiz. Radikal ifoda har doim noldan katta yoki teng, ya'ni x + 1 ≥ 0 bo'lganda ma'noga ega bo'ladi. U logarifmaga ega bo'lgani uchun uning ifodasi qat'iy musbat, ya'ni x 2 + 3 > 0 bo'lishi kerak. Logarifmning asosi ham musbat qiymatga ega bo'lishi va 1 dan farq qilishi kerak, keyin x + 8 > 0 va x + 8 ≠ 1 shartlarini qo'shamiz. Bundan kelib chiqadiki, kerakli ODZ quyidagi shaklni oladi:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Boshqacha qilib aytganda, bir o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizliklar tizimi deyiladi. Yechim quyidagi ODZ yozuviga olib keladi [ - 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

Javob: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Nima uchun o'zgarishni haydashda DPDni hisobga olish muhim?

Identifikatsiyani o'zgartirish paytida ODZni topish muhimdir. ODZ mavjudligi sodir bo'lmagan holatlar mavjud. Berilgan ifodaning yechimi bor yoki yo‘qligini tushunish uchun asl ifodaning o‘zgaruvchilari VA va natijada olingan ifodaning VA ni solishtirish kerak.

Identifikatsiya o'zgarishlari:

• DL ta'sir qilmasligi mumkin;
• DZni kengaytirish yoki qo'shishga olib kelishi mumkin;
• DZni toraytirishi mumkin.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

7-misol

Agar bizda x 2 + x + 3 · x ko'rinishdagi ifoda mavjud bo'lsa, u holda uning ODZ butun ta'rif sohasi bo'yicha aniqlanadi. Shunga o'xshash atamalarni keltirish va ifodani soddalashtirishda ham ODZ o'zgarmaydi.

8-misol

Agar x + 3 x - 3 x ifodasini misol qilib olsak, u holda narsalar boshqacha bo'ladi. Bizda ... bor kasr ifodasi. Va biz bilamizki, nolga bo'linish qabul qilinishi mumkin emas. Keyin ODZ (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) ko'rinishga ega bo'ladi. Ko'rinib turibdiki, nol yechim emas, shuning uchun biz uni qavs bilan qo'shamiz.

Keling, radikal ifoda mavjudligi bilan misolni ko'rib chiqaylik.

9-misol

Agar x - 1 · x - 3 bo'lsa, siz ODZga e'tibor berishingiz kerak, chunki u (x - 1) · (x - 3) ≥ 0 tengsizlik sifatida yozilishi kerak. Interval usuli bilan yechish mumkin, keyin ODZ (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) koʻrinishini olishini topamiz. X - 1 · x - 3 ni o'zgartirib, ildizlarning xossasini qo'llaganimizdan so'ng, biz ODZni to'ldirish mumkin va hamma narsani x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ ko'rinishdagi tengsizliklar tizimi shaklida yozish mumkin. 0. Uni yechishda biz [ 3 , + ∞) ekanligini topamiz. Bu shuni anglatadiki, ODZ to'liq quyidagicha yoziladi: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

DZni toraytiruvchi transformatsiyalardan qochish kerak.

10-misol

X = - 1 bo'lganda x - 1 · x - 3 ifodasiga misolni ko'rib chiqamiz. O'rnini almashtirganda, biz - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 ni olamiz. Agar biz bu ifodani o'zgartirsak va uni x - 1 · x - 3 ko'rinishiga keltirsak, u holda hisoblashda 2 - 1 · 2 - 3 ifodaning ma'nosi yo'qligini topamiz, chunki radikal ifoda manfiy bo'lmasligi kerak.

Bunga rioya qilish kerak identifikatsiya o'zgarishlari, qaysi ODZ o'zgarmaydi.

Agar uni kengaytiradigan misollar mavjud bo'lsa, uni DLga qo'shish kerak.

11-misol

Keling, x x 3 + x ko'rinishdagi kasr misolini ko'rib chiqaylik. Agar biz x bilan bekor qilsak, biz 1 x 2 + 1 ni olamiz. Keyin ODZ kengayadi va (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) ga aylanadi. Bundan tashqari, hisoblashda biz allaqachon ikkinchi soddalashtirilgan kasr bilan ishlaymiz.

Logarifmlar mavjud bo'lganda, vaziyat biroz boshqacha.

12-misol

Agar ln x + ln (x + 3) ko'rinishdagi ifoda mavjud bo'lsa, u logarifmning xususiyatidan kelib chiqqan holda ln (x · (x + 3)) bilan almashtiriladi. Bundan ODZ (0 , + ∞) dan (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) gacha ekanligini koʻrishimiz mumkin. Shuning uchun ODZ ln (x · (x + 3)) ni aniqlash uchun ODZ, ya'ni (0, + ∞) to'plam bo'yicha hisob-kitoblarni amalga oshirish kerak.

Yechishda har doim shart bilan berilgan ifodaning tuzilishi va turiga e'tibor berish kerak. Ta'rif maydoni to'g'ri topilsa, natija ijobiy bo'ladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Agar ODZ tenglamasi dan iborat bo'lsa chekli son qiymatlari bo'lsa, bu qiymat ildiz ekanligini tekshirish uchun tenglamaga har bir qiymatni almashtirish kifoya.

Tenglamalarni yechishda cheklini qo‘llashga misollar.

Ildiz belgisi ostida hatto daraja turishi kerak manfiy bo'lmagan raqam, Shunung uchun

Birinchi tengsizlik kvadratik, keling, uni yeching. Ikkinchi - .

Tizimning yechimi ikkala tengsizlikning yechimlarining kesishishidir:

ODZ bitta qiymatdan iborat: (3).

3 ning tenglamaning ildizi ekanligini tekshirish qoladi:

Biz to'g'ri tenglikni oldik, shuning uchun x=3 bu tenglamaning ildizidir.

Kvadrat ildiz belgisi manfiy bo'lmagan raqamga ega bo'lishi kerak. Shuning uchun ODZ

Birinchi ikkita tengsizlik kvadratikdir. Biz ularni interval usuli yordamida hal qilamiz. Uchinchisi chiziqli. Har bir tengsizlikning yechimini raqamlar chizig‘ida belgilaymiz va yechimlarning kesishishini topamiz:

ODZ ikkita qiymatdan iborat: (2; 3).

Keling, tekshiramiz.

Shunday qilib, berilgan tenglama bitta ildizga ega x=3.

Ruxsat etilgan arksinus qiymatlari diapazoni -1 dan 1 gacha bo'lgan yopiq intervaldir. Butun bo'lmagan musbat ko'rsatkichga ega bo'lgan darajaning asosi manfiy bo'lmagan son bo'lishi kerak. ODZ:

Shunday qilib, tenglamaning qabul qilinadigan qiymatlari diapazoni bitta qiymatdan iborat: (1). Bu tenglamaning ildizi x=1 ekanligini tekshirish qoladi.

Javob: 1.
Agar tenglamaning ODZ bir yoki bir nechta raqamlardan iborat bo'lsa, bu usul sizga oson va tez vazifani engishingizga yordam beradi.

Funksiyalarning xususiyatlariga asoslangan tenglamalarni echishning boshqa usullari singari, cheklangan miqdordagi qiymatlardan foydalanish ko'pincha juda murakkab nostandart vazifalarni hal qilishga imkon beradi. Va ichida bo'lsa ham maktab kursi algebra, u tez-tez uchramaydi, uni eslab qolish va qo'llay olish foydalidir.

Kategoriya: |

Xuddi shu ODZni qanday qidirish kerak? Biz misolni diqqat bilan ko'rib chiqamiz va xavfli joylarni qidiramiz. Taqiqlangan harakatlar mumkin bo'lgan joylar. Matematikada bunday taqiqlangan harakatlar juda kam.

Saytda ko'proq darslar

ARV (qabul qilinadigan qiymat maydoni)

Tenglamaning qabul qilinadigan qiymatlari diapazoni - bu tenglamaning o'ng va chap tomonlari ma'noga ega bo'lgan x qiymatlari to'plami..

Bu printsipial jihatdan bo'lishi mumkin bo'lgan x qiymatlari. Aytaylik, = 1 tenglamasida biz hali x ning nimaga teng ekanligini bilmaymiz. Biz hali tenglamani hal qilmadik. Lekin biz allaqachon aniq bilamizki, x hech qanday sharoitda nolga teng bo'lishi mumkin emas! Siz nolga bo'la olmaysiz! Boshqa har qanday raqam - butun, kasr, salbiy - iltimos, lekin nol - hech qachon! Aks holda, asl ifoda bema'nilikka aylanadi. Bu shuni anglatadiki, ushbu misoldagi ODZ: x - noldan boshqa narsa. Tushundim?

Qanday topish, qanday yozish, u bilan qanday ishlash kerak?

Juda oddiy. Misol yoniga ODZ yozing. Ushbu taniqli harflar ostida, asl tenglamaga qarab, biz x ning qiymatlarini yozamiz, original misol uchun ruxsat etilgan. Yoki aksincha: x ning taqiqlangan qiymatlarini toping, bunda asl misol barcha ma'nosini yo'qotadi va ularni istisno qiling.

Lekin hamma ham ularni eslamaydi. Men ularni hozir sizga eslataman va ularni eslab qolishingizni maslahat beraman.

Juft ko'plik ildiz belgisi ostidagi ifoda noldan katta yoki teng bo'lishi kerak.

Kasrning maxrajidagi ifoda nolga teng bo'lishi mumkin emas.

1. "Yashirin" kasrni o'z ichiga olgan ikkita funktsiya mavjud:

Logarifmik tenglamalarda ham taqiqlar mavjud - biz ularni tegishli mavzularda ko'rib chiqamiz. Hammasi. Xavfli joylarni topganimizda, biz x hisoblaymiz, bu esa bema'nilikka olib keladi.

Qabul qilinadigan ifoda qiymatlari diapazonini topish uchun siz bor yoki yo'qligini tekshirishingiz kerakifoda tenglamasi yuqorida sanab o'tganim. Va iboralarni kashf qilganingizda, ular o'rnatgan cheklovlarni "tashqariga" "ichkariga" o'tkazing. Va biz ularni istisno qilamiz.

Muhim! ODZni topish uchun biz misolni hal qilmaymiz! Taqiqlangan X ni topish uchun biz misolning qismlarini hal qilamiz. Bu tushuntirishda qiyin ko'rinadi, lekin amalda bu juda oson.

Men oldingi darslarda DD haqida hech narsa aytmadim. Sizni qo'rqitmaslik uchun ... Ko'rib chiqilgan misollarda DL hech qanday tarzda javoblarga ta'sir qilmadi. Haqiqatan ham, bizning sanab o'tilgan taqiqlarimizda eksponensial funktsiya Yo'q. Bo'lib turadi. Ammo TAShQI MUSTAQIL TESTLAR uchun topshiriqlarda DL, qoida tariqasida, javobga ta'sir qiladi! Bu inspektorlar uchun emas, balki o'zingiz uchun yozilishi kerak. agar x har qanday raqam ekanligi aniq bo'lsa, yozmang. Masalan, chiziqli tenglamalarda.

Ko'pgina misollarda ODZni topish qiyin hisob-kitoblarsiz javob olish imkonini beradi. Yoki hatto og'zaki. Ba'zi tenglamalarda u bo'sh to'plamni ifodalaydi. Bu asl tenglamaning yechimlari yo'qligini anglatadi. Yoki u erda bir yoki bir nechta raqam bor va oddiy almashtirish tezda ildizlarni aniqlaydi.

Nima yoqmaydi? To'g'ri - kasr. Menga ham yoqmaydi, shuning uchun undan qutulishni taklif qilaman. Bu turli yo'llar bilan amalga oshirilishi mumkin. Maxrajdan xalos bo'lish uchun tenglamaning ikkala tomonini ko'paytiraman umumiy maxraj x-4.

Ilmiy maslahatchi:

1. Kirish 3

2. Tarixiy eskiz 4

3. 5-6 tenglamalar va tengsizliklarni yechishda ODZning “joyi”.

4. ODZ 7 ning xususiyatlari va xavfliligi

5. ODZ - 8-9 yechim mavjud

6. ODZni topish qo'shimcha ishdir. 10-14 o'tishlarning ekvivalentligi

7. Yagona davlat imtihonida ODZ 15-16

8. Xulosa 17

9. Adabiyot 18

1.Kirish

Muammo: ODZ ni topish zarur bo‘lgan tenglamalar va tengsizliklar algebra kursida tizimli taqdimot uchun o‘z o‘rnini topa olmadi, ehtimol shuning uchun ham men va tengdoshlarim bunday misollarni yechishda ko‘p xatolarga yo‘l qo‘yamiz, ularni echishga ko‘p vaqt sarflaymiz, unutib qo‘yamiz. ODZ haqida.

Maqsad: vaziyatni tahlil qilish va DLni hisobga olish zarur bo'lgan misollarda mantiqiy to'g'ri xulosalar chiqara olish.

Vazifalar:

1. Nazariy materialni o‘rganish;

2. Ko‘p tenglama, tengsizliklarni yeching: a) kasr-ratsional; b) mantiqsiz; v) logarifmik; d) teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan;

3. O'rganilgan materiallarni standartdan farq qiladigan vaziyatda qo'llash;

4. “Qabul qilinadigan qadriyatlar sohasi: nazariya va amaliyot” mavzusida ish yarating.

Loyiha ishi: Men bilgan funktsiyalarni takrorlash orqali loyiha ustida ishlay boshladim. Ularning ko'pchiligining doirasi cheklangan.

ODZ paydo bo'ladi:

1. Qaror qabul qilishda kasrli ratsional tenglamalar va tengsizliklar

2. Qaror qabul qilganda irratsional tenglamalar va tengsizliklar

3. Qaror qabul qilishda logarifmik tenglamalar va tengsizliklar

4. Tarkibida teskari trigonometrik funksiyalar bo‘lgan tenglama va tengsizliklarni yechishda

Turli manbalardan (USE darsliklari, darsliklar, ma'lumotnomalar) ko'plab misollarni hal qilib, men misollar yechimini quyidagi printsiplarga muvofiq tizimlashtirdim:

· siz misolni hal qilishingiz va ODZni hisobga olishingiz mumkin (eng keng tarqalgan usul)

· ODZni hisobga olmagan holda misolni yechish mumkin

· faqat ODZni hisobga olgan holda to'g'ri qarorga kelish mumkin.

Ishda qo'llaniladigan usullar: 1) tahlil qilish; 2) statistik tahlil; 3) chegirma; 4) tasniflash; 5) bashorat qilish.

Tahlilni o'rgandi Yagona davlat imtihon natijalari o'tgan yillar davomida. DLni hisobga olish kerak bo'lgan misollarda ko'plab xatolarga yo'l qo'yilgan. Bu yana bir bor ta'kidlaydi dolzarbligi mening mavzuim.

2. Tarixiy eskiz

Matematikaning boshqa tushunchalari kabi funksiya tushunchasi ham darhol rivojlanmagan, balki o‘tib ketgan uzoq masofa rivojlanish. P.Fermatning “Tekis va qattiq joylarni tanishtirish va oʻrganish” (1636, 1679-yil nashr) asarida shunday deyilgan: “Qaerda yakuniy tenglamada ikkita nomaʼlum miqdor boʻlsa, oʻrin bor”. Aslida, biz funktsional qaramlik va uning haqida gapiramiz grafik tasvir(“joy” Fermatda chiziq ma’nosini bildiradi). R.Dekartning “Geometriya” (1637) asarida chiziqlarni ularning tenglamalari bo‘yicha o‘rganish ham ikki o‘zgaruvchining o‘zaro bog‘liqligini aniq anglashdan dalolat beradi. I. Barrou ("Geometriya bo'yicha ma'ruzalar", 1670) yilda geometrik shakl farqlash va integratsiya harakatlarining o'zaro teskari tabiati o'rnatiladi (albatta, bu atamalarning o'zidan foydalanmasdan). Bu allaqachon funktsiya tushunchasini to'liq o'zlashtirganligini ko'rsatadi. Bu tushunchani geometrik va mexanik shaklda I. Nyutonda ham uchratamiz. Biroq, "funktsiya" atamasi birinchi marta faqat 1692 yilda G. Leybnits bilan paydo bo'lgan va bundan tashqari, uning zamonaviy tushunchasida emas. G.Leybnits egri chiziq bilan bog'langan turli segmentlarni (masalan, uning nuqtalarining abssissasi) funksiya deb ataydi. L'Hopitalning (1696) "Egri chiziqlarni bilish uchun cheksiz kichiklarni tahlil qilish" birinchi bosma kursida "funktsiya" atamasi ishlatilmaydi.

Funksiyaning zamonaviyga yaqin ma’nodagi birinchi ta’rifi I. Bernulli (1718) asarida uchraydi: “Funksiya o‘zgaruvchi va doimiydan tashkil topgan miqdordir”. Bu unchalik aniq bo'lmagan ta'rif funktsiyani analitik formula bilan belgilash g'oyasiga asoslanadi. Xuddi shu fikr L. Eylerning “Cheksizlar tahliliga kirish” (1748) asarida berilgan ta’rifida ham namoyon bo‘ladi: “O‘zgaruvchi kattalik funksiyasi qaysidir ma’noda shu o‘zgaruvchan miqdor va raqamlardan tuzilgan analitik ifodadir. doimiy miqdorlar." Biroq, L. Eyler funktsiya tushunchasini uning biron bir analitik ifodasi bilan bog'lamaydigan funksiya haqidagi zamonaviy tushunchaga endi begona emas. Uning "Differentsial hisob" (1755) asarida shunday deyilgan: "Agar ma'lum miqdorlar boshqalarga shunday bog'liq bo'lsaki, ikkinchisi o'zgarganda, ularning o'zi ham o'zgarishi mumkin bo'lsa, birinchisi ikkinchisining funktsiyalari deb ataladi".

BILAN XIX boshi Asrlar davomida ular ko'proq va tez-tez funksiya tushunchasini uning analitik tasvirini eslatmasdan aniqlaydilar. “Differensial va integral hisoblar haqida risola”da (1797-1802) S.Lakroix shunday deydi: “Qiymati bir yoki ko‘p boshqa miqdorlarga bog‘liq bo‘lgan har bir miqdor bularning funksiyasi deyiladi”. J. Furyening (1822) “Issiqlikning analitik nazariyasi”da: “Funksiya” iborasi bor. f(x) butunlay ixtiyoriy funktsiyani, ya'ni umumiy qonunga bo'ysunadigan yoki bo'lmagan va barcha qiymatlarga mos keladigan berilgan qiymatlar ketma-ketligini bildiradi. x 0 va ba'zi bir qiymatlar orasida joylashgan x" N. I. Lobachevskiyning ta'rifi zamonaviyga yaqin: "... Umumiy tushuncha funktsiya funktsiyani talab qiladi x har biri uchun berilgan raqamni nomlang x va bilan birga x asta-sekin o'zgaradi. Funksiyaning qiymati analitik ifoda bilan yoki barcha raqamlarni sinab ko'rish va ulardan birini tanlash vositasini ta'minlovchi shart bilan berilishi mumkin, yoki, nihoyat, bog'liqlik mavjud bo'lishi va noma'lum bo'lib qolishi mumkin. Yana bir oz pastroqda aytiladi: "Nazariyaning keng ko'rinishi bog'liqlikning mavjudligini faqat bir-biri bilan bog'liq bo'lgan raqamlar birgalikda berilgandek tushuniladi" degan ma'noda beradi. Shunday qilib, odatda P. Dirixletga (1837) tegishli bo'lgan analitik vazifaga havolalarsiz funksiyaning zamonaviy ta'rifi uning oldida bir necha bor taklif qilingan.

y funktsiyasining ta'rif sohasi (ruxsat etilgan qiymatlar) - bu funktsiya aniqlangan x mustaqil o'zgaruvchining qiymatlari to'plami, ya'ni mustaqil o'zgaruvchining (argument) o'zgarish sohasi.

3. Tenglamalar va tengsizliklarni echishda qabul qilinadigan qiymatlar diapazonining “joyi”

1. Kasrli ratsional tenglamalar va tengsizliklarni yechishda maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak.

2. Irratsional tenglamalar va tengsizliklarni yechish.

2.1..gif" eni="212" balandligi="51"> .

Bunday holda, ODZni topishning hojati yo'q: birinchi tenglamadan x ning olingan qiymatlari quyidagi tengsizlikni qondiradi: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33. gif" width="107" height="27 src="> - bu tizim:

Ular tenglamaga teng kirgani uchun, tengsizlik o'rniga tengsizlikni kiritishingiz mumkin https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechish.

3.1. Logarifmik tenglamani yechish sxemasi

Ammo ODZning faqat bitta holatini tekshirish kifoya.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Trigonometrik tenglamalar mehribon tizimga ekvivalentdir (tengsizlik o'rniga siz tizimga tengsizlikni kiritishingiz mumkin https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> ekvivalent tenglamaga

4. Ruxsat etilgan qiymatlar diapazonining xususiyatlari va xavflari

Matematika darslarida har bir misolda DL ni topishimiz talab qilinadi. Shu bilan birga, masalaning matematik mohiyatiga ko'ra, ODZni topish umuman majburiy emas, ko'pincha kerak emas va ba'zan imkonsizdir - va bularning barchasi misol yechimiga hech qanday zarar etkazmasdan. Boshqa tomondan, ko'pincha maktab o'quvchilari misolni echib bo'lgach, DLni hisobga olishni unutib, uni yakuniy javob sifatida yozib qo'yishadi va faqat ba'zi shartlarni hisobga olishadi. Bu holat hammaga ma'lum, ammo "urush" har yili davom etadi va ko'rinishidan, uzoq vaqt davom etadi.

Masalan, quyidagi tengsizlikni ko'rib chiqing:

Bu yerda ODZ izlanadi va tengsizlik yechiladi. Biroq, bu tengsizlikni hal qilishda, maktab o'quvchilari ba'zan DL ni qidirmasdan qilish mumkin, yoki aniqrog'i, shartsiz qilish mumkin deb hisoblashadi.

Aslida, to'g'ri javobni olish uchun tengsizlikni ham, ham hisobga olish kerak.

Lekin, masalan, tenglamaning yechimi: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

bu ODZ bilan ishlashga teng. Biroq, bu misolda bunday ish kerak emas - bu tengsizliklardan faqat ikkitasi va har qanday ikkitasining bajarilishini tekshirish kifoya.

Sizga shuni eslatib o'tamanki, har qanday tenglama (tengsizlik) shaklga keltirilishi mumkin. ODZ shunchaki chap tomondagi funksiyani aniqlash sohasidir. Bu sohani kuzatib borish kerakligi ildizni berilgan funktsiyani aniqlash sohasidan raqam sifatida belgilashdan, shu bilan ODZdan kelib chiqadi. Mana bu mavzu bo'yicha kulgili misol..gif" width="20" height="21 src="> musbat sonlar to'plamining ta'rif domeniga ega (bu, albatta, funktsiyani ko'rib chiqish uchun kelishuvdir). , lekin oqilona) va keyin -1 emas ildiz.

5. Qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni - yechim bor

Va nihoyat, ko'plab misollarda ODZni topish sizga javob olish imkonini beradi katta hajmli tartiblarsiz, yoki hatto og'zaki.

1. OD3 bo'sh to'plamdir, ya'ni asl misolda yechim yo'q.

1) 2) 3)

2. B ODZ bir yoki bir nechta raqam topiladi va oddiy almashtirish tezda ildizlarni aniqlaydi.

1) , x=3

2)Bu erda ODZda faqat 1 raqami mavjud va almashtirishdan keyin bu ildiz emasligi aniq.

3) ODZda ikkita raqam mavjud: 2 va 3 va ikkalasi ham mos keladi.

4) > ODZda ikkita 0 va 1 raqamlari mavjud va faqat 1 mos keladi.

ODZ iboraning o'zini tahlil qilish bilan birgalikda samarali ishlatilishi mumkin.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) ODZdan kelib chiqadiki, bizda ..gif" width="143" height="24"> ODZdan bizda: . Ammo keyin va . Chunki, hech qanday yechim yo'q.

ODZ dan bizda: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, ya'ni .Oxirgi tengsizlikni yechishda x ni olamiz.<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ODZ: . O'shandan beri

Boshqa tomondan, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. [-1 oraliqdagi tenglamani ko'rib chiqing; 0).

U quyidagi tengsizliklarni bajaradi https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24" src="> va hech qanday yechim yo'q. Funktsiya bilan va https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2..gif" width="233" height = "45 src="> ODZ ni topamiz:

Butun sonli yechim faqat x=3 va x=5 uchun mumkin. Tekshirish orqali biz x=3 ildizi mos kelmasligini aniqlaymiz, ya'ni javob x=5.

6. Qabul qilinadigan qiymatlar oralig'ini topish qo'shimcha ishdir. O'tishlarning ekvivalentligi.

DZ topmasdan ham vaziyat aniq bo'lgan misollarni keltira olasiz.

1.

Tenglik mumkin emas, chunki kichikroq ifodadan kattaroq ifodani ayirishda natija manfiy son bo'lishi kerak.

2. .

Ikki manfiy bo'lmagan funksiyalar yig'indisi manfiy bo'lishi mumkin emas.

Men ODZni topish qiyin, ba'zan esa imkonsiz bo'lgan misollar keltiraman.

Va nihoyat, ODZ-ni qidirish ko'pincha qo'shimcha ish bo'lib, siz ularsiz bajarishingiz mumkin va shu bilan nima sodir bo'layotganini tushunishingizni isbotlaysiz. Bu erda juda ko'p misollar keltirilishi mumkin, shuning uchun men faqat eng tipiklarini tanlayman. Bu holda asosiy yechim usuli bir tenglamadan (tengsizlik, tizim) ikkinchisiga o'tishda ekvivalent o'zgarishlar hisoblanadi.

1.. ODZ kerak emas, chunki x ning x2 = 1 qiymatlarini topib, biz x = 0 ni ololmaydi.

2. ODZ kerak emas, chunki biz radikal ifoda qachon musbat songa teng ekanligini bilib olamiz.

3. . ODZ oldingi misoldagi kabi sabablarga ko'ra kerak emas.

4.

ODZ kerak emas, chunki radikal ifoda qaysidir funksiyaning kvadratiga teng, shuning uchun manfiy bo'lishi mumkin emas.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> Yechish uchun radikal ifoda uchun faqat bitta cheklov yetarli.Aslida yozma aralash sistemadan boshqa radikal ifoda manfiy emasligi kelib chiqadi.

8. DZ oldingi misoldagi kabi sabablarga ko'ra kerak emas.

9. ODZ kerak emas, chunki uchinchisining ijobiyligini ta'minlash uchun logarifm belgilari ostidagi uchta ifodadan ikkitasi ijobiy bo'lishi kifoya.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ oldingi misoldagi kabi sabablarga ko'ra kerak emas.

Shuni ta'kidlash kerakki, ekvivalent o'zgartirishlar usuli yordamida hal qilishda ODZ (va funktsiyalarning xususiyatlari) haqida bilim yordam beradi.

Mana bir nechta misollar.

1. . OD3, bu o'ng tarafdagi ifoda ijobiy ekanligini bildiradi va bu shaklda unga tenglama yozish mumkin https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" kengligi ="112" height="27"> ODZ: Ammo keyin va bu tengsizlikni yechishda o'ng tomoni 0 dan kichik bo'lgan holatni ko'rib chiqish shart emas.

3. . ODZdan kelib chiqadiki, va shuning uchun https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> O'tish umumiy ko'rinish shunday ko'rinadi:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Ikkita mumkin bo'lgan holatlar mavjud: 0 >1.

Bu shuni anglatadiki, dastlabki tengsizlik quyidagi tengsizliklar tizimlari to'plamiga ekvivalentdir:

Birinchi tizimning yechimlari yo'q, lekin ikkinchisidan biz quyidagilarni olamiz: x<-1 – решение неравенства.

Ekvivalentlik shartlarini tushunish ba'zi nozikliklarni bilishni talab qiladi. Masalan, nima uchun quyidagi tenglamalar ekvivalentdir:

Yoki

Va nihoyat, ehtimol, eng muhimi. Gap shundaki, ekvivalentlik javobning to'g'riligini kafolatlaydi, agar tenglamaning o'zi ba'zi o'zgarishlar amalga oshirilsa, lekin faqat bitta qismda o'zgartirishlar uchun foydalanilmasa. Qismlarning birida qisqartmalar va turli formulalardan foydalanish ekvivalentlik teoremalariga kirmaydi. Men allaqachon bu turdagi ba'zi misollar keltirdim. Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1. Bu qaror tabiiydir. Chap tomonda logarifmik funktsiya xossasiga ko'ra ..gif" width="111" height="48"> ifodasiga o'tamiz.

Ushbu tizimni hal qilib, biz natijani olamiz (-2 va 2), ammo bu javob emas, chunki -2 raqami ODZga kiritilmagan. Shunday qilib, biz ODSni o'rnatishimiz kerakmi? Albatta yo'q. Ammo biz logarifmik funktsiyaning ma'lum bir xususiyatini yechimda qo'llaganimiz sababli, biz uni qanoatlantiradigan shartlarni taqdim etishga majburmiz. Bunday shart logarifm belgisi ostidagi ifodalarning musbatligi..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> raqamlar shu tarzda almashtirilishi mumkin . Kim bunday zerikarli hisob-kitoblarni qilishni xohlaydi?.gif" width="12" height="23 src="> shart qo'shing va siz darhol ko'rishingiz mumkinki, faqat https://pandia.ru/text/78/083 raqami. / bu shartga javob beradi images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) imtihon topshiruvchilarning 52 foizi tomonidan ko'rsatildi. Bunday past ko'rsatkichlarning sabablaridan biri ko'plab bitiruvchilar tenglamadan olingan ildizlarni kvadratga aylantirgandan keyin tanlamaganligidir.

3) Masalan, C1 muammolaridan birining yechimini ko'rib chiqaylik: “Funksiya grafigi nuqtalari bo'lgan x ning barcha qiymatlarini toping. funktsiya grafigining tegishli nuqtalari ustida yotadi ". Vazifa o'z ichiga olgan kasr tengsizlikni yechishga tushiriladi. logarifmik ifoda. Biz bunday tengsizliklarni yechish usullarini bilamiz. Ulardan eng keng tarqalgani intervalli usuldir. Biroq, undan foydalanishda test topshiruvchilar turli xil xatolarga yo'l qo'yishadi. Keling, misol sifatida tengsizlikdan foydalangan holda eng keng tarqalgan xatolarni ko'rib chiqaylik:

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Xulosa

Xulosa qilib aytishimiz mumkinki, tenglamalar va tengsizliklarni yechishning universal usuli yo'q. Har safar, agar siz nima qilayotganingizni tushunmoqchi bo'lsangiz va mexanik harakat qilmasangiz, dilemma paydo bo'ladi: qanday echimni tanlash kerak, xususan, ODZni qidirish kerakmi yoki yo'qmi? O'ylaymanki, to'plagan tajribam bu dilemmani hal qilishga yordam beradi. ODZ dan to'g'ri foydalanishni o'rganib, xato qilishni to'xtataman. Men buni qila olamanmi, buni vaqt, aniqrog'i Yagona davlat imtihoni ko'rsatadi.

9. Adabiyot

Va boshqalar.“Algebra va tahlilning boshlanishi 10-11” masala va darslik, M.: “Prosveshchenie”, 2002. “Elementar matematikadan qoʻllanma”. M.: «Nauka», 1966. «Matematika» gazetasi 46-son, «Matematika» gazetasi No «Matematika» gazetasi No «Maktabning VII-VIII sinflarida matematika tarixi». M.: “Prosveshchenie”, 1982. va hokazo. “Yagona davlat imtihonining haqiqiy topshiriqlari versiyalarining eng toʻliq nashri: 2009/FIPI” - M.: “Astrel”, 2009. va hokazo. “Yagona davlat imtihoni. Matematika. Talabalar tayyorlash uchun universal materiallar/FIPI” – M.: “Intelligence Center”, 2009. va h.k. “Algebra va tahlilning boshlanishi 10-11”. M .: "Prosveshchenie", 2007. "Maktab matematikasidan muammolarni yechish bo'yicha seminar (algebradan seminar)." M.: Ta'lim, 1976. "25000 matematika darsi". M.: “Ma’rifat”, 1993. “Matematika fanidan olimpiadalarga tayyorgarlik”. M.: “Imtihon”, 2006. “MATEMATIKA” bolalar uchun entsiklopediya” 11-jild, M.: Avanta +; 2002. Saytlardan olingan materiallar www. *****, www. *****.