Matematik mayatnik chaqirdi moddiy nuqta, suspenziyaga biriktirilgan va tortishish (yoki boshqa kuch) sohasida joylashgan vaznsiz va cho'zilmaydigan ipga osilgan.

Tebranishlarni o'rganish matematik mayatnik V inertial tizim uning to'xtatilish nuqtasi tinch holatda bo'lgan yoki to'g'ri chiziq bo'ylab bir tekis harakatlanadigan mos yozuvlar. Biz havo qarshiligi kuchini (ideal matematik mayatnik) e'tiborsiz qoldiramiz. Dastlab mayatnik C muvozanat holatida tinch holatda bo'ladi. Bunda unga ta'sir qiluvchi og'irlik kuchi \(\vec F\) va ipning elastik kuchi \(\vec F_(ynp)\) o'zaro bog'liqdir. kompensatsiya qilingan.

Mayatnikni muvozanat holatidan olib tashlaymiz (masalan, A holatiga og'ish orqali) va uni boshlang'ich tezliksiz qo'yib yuboramiz (13.11-rasm). Bunda \(\vec F\) va \(\vec F_(ynp)\) kuchlari bir-birini muvozanatlashtirmaydi. Og'irlikning tangensial komponenti \(\vec F_\tau\), mayatnikga ta'sir qilib, unga tangensial tezlanishni beradi \(\vec a_\tau\) (matematik mayatnik traektoriyasiga tangens bo'ylab yo'naltirilgan umumiy tezlanishning komponenti). ) va mayatnik mutlaq qiymatda ortib borayotgan tezlik bilan muvozanat holatiga o'ta boshlaydi. Shunday qilib, tortishishning tangensial komponenti \(\vec F_\tau\) tiklovchi kuchdir. Og'irlik kuchining normal komponenti \(\vec F_n\) elastik kuchga qarshi ip bo'ylab yo'naltiriladi \(\vec F_(ynp)\). \(\vec F_n\) va \(\vec F_(ynp)\) kuchlarining natijasi mayatnikni bildiradi. normal tezlashuv\(~a_n\), bu tezlik vektorining yo'nalishini o'zgartiradi va mayatnik yoy bo'ylab harakat qiladi. A B C D.

Mayatnik C muvozanat holatiga qanchalik yaqin kelsa, tangensial komponentning \(~F_\tau = F \sin \alfa\) qiymati shunchalik kichik bo'ladi. Muvozanat holatida u nolga teng bo'lib, tezlik maksimal qiymatiga etadi va mayatnik yuqoriga yoy bo'ylab ko'tarilib, inersiya bilan yanada harakat qiladi. Bunday holda, komponent \(\vec F_\tau\) tezlikka qarshi yo'naltiriladi. Burilish burchagi a ortishi bilan kuch moduli \(\vec F_\tau\) ortadi va tezlik moduli pasayadi va D nuqtada mayatnik tezligi nolga teng bo'ladi. Mayatnik bir zum to'xtaydi va keyin muvozanat holatiga teskari yo'nalishda harakatlana boshlaydi. Uni yana inertsiya bilan bosib o'tib, mayatnik harakatini sekinlashtirib, A nuqtasiga etadi (ishqalanish yo'q), ya'ni. to'liq chayqalishni yakunlaydi. Shundan so'ng, mayatnik harakati allaqachon tasvirlangan ketma-ketlikda takrorlanadi.

Matematik mayatnikning erkin tebranishlarini tavsiflovchi tenglamani olamiz.

Mayatnikni ichkariga qo'ying bu daqiqa vaqt B nuqtada. Uning muvozanat holatidan S siljishi hozirgi vaqtda SV yoy uzunligiga teng (ya'ni S = |SV|). Osma ipning uzunligini belgilaymiz l, va mayatnikning massasi m.

13.11-rasmdan ko'rinib turibdiki, \(~F_\tau = F \sin \alpha\), bu erda \(\alpha =\frac(S)(l).\) Kichik burchaklarda \(~(\alpha)<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Ushbu formulada minus belgisi qo'yiladi, chunki tortishishning tangensial komponenti muvozanat holatiga yo'naltiriladi va siljish muvozanat holatidan hisoblanadi.

Nyutonning ikkinchi qonuniga ko'ra \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Bu tenglamaning vektor kattaliklarini matematik mayatnik traektoriyasiga tangens yo'nalishiga proyeksiya qilaylik.

\(~F_\tau = ma_\tau.\)

Ushbu tenglamalardan biz olamiz

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - matematik mayatnik harakatining dinamik tenglamasi. Matematik mayatnikning tangensial tezlanishi uning siljishiga proporsional bo'lib, muvozanat holatiga yo'naltirilgan. Bu tenglamani \ shaklida yozish mumkin. Uni garmonik tebranishlar tenglamasi bilan taqqoslab \(~a_x + \omega^2x = 0\) (13.3-§ ga qarang) matematik mayatnik garmonik tebranishlarni bajaradi, degan xulosaga kelishimiz mumkin. Va mayatnikning ko'rib chiqilgan tebranishlari faqat ichki kuchlar ta'sirida sodir bo'lganligi sababli, bu mayatnikning erkin tebranishlari edi. Demak, kichik og'ishlarga ega bo'lgan matematik mayatnikning erkin tebranishlari garmonikdir.

\(\frac(g)(l) = \omega^2.\) ni belgilaymiz. Bu yerdan \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) mayatnikning siklik chastotasi.

Mayatnikning tebranish davri \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) ga teng.

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Bu ifoda deyiladi Gyuygens formulasi. U matematik mayatnikning erkin tebranish davrini aniqlaydi. Formuladan kelib chiqadiki, muvozanat holatidan kichik og'ish burchaklarida matematik mayatnikning tebranish davri: 1) uning massasi va tebranishlar amplitudasiga bog'liq emas; 2) mayatnik uzunligining kvadrat ildiziga proporsional va tortishish tezlanishining kvadrat ildiziga teskari proportsional. Bu G. Galiley tomonidan kashf etilgan matematik mayatnikning kichik tebranishlarining eksperimental qonunlariga mos keladi.

Biz shuni ta'kidlaymizki, agar ikkita shart bir vaqtning o'zida bajarilsa, ushbu formuladan davrni hisoblash uchun foydalanish mumkin: 1) mayatnik tebranishlari kichik bo'lishi kerak; 2) mayatnikning osma nuqtasi tinch holatda bo'lishi yoki u joylashgan inersiya sanoq sistemasiga nisbatan bir tekisda to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanishi kerak.

Agar matematik mayatnikning osma nuqtasi \(\vec a\) tezlanish bilan harakatlansa, ipning taranglik kuchi o'zgaradi, bu esa tiklovchi kuchning, demak, tebranishlar chastotasi va davrining o'zgarishiga olib keladi. Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, bu holda mayatnikning tebranish davri formuladan foydalanib hisoblanishi mumkin.

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

Bu erda \(~g"\) - inertial bo'lmagan sanoq sistemasidagi mayatnikning "samarali" tezlanishi. U tortishish tezlanishi \(\vec g\) va teskari vektorning geometrik yig'indisiga teng. vektor \(\vec a\), ya'ni uni formula yordamida hisoblash mumkin

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Adabiyot

Aksenovich L. A. O'rta maktabda fizika: nazariya. Vazifalar. Testlar: Darslik. umumiy ta'lim muassasalari uchun nafaqa. atrof-muhit, ta'lim / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - B. 374-376.

Mayatnik Fuko- Yerning kunlik aylanishini eksperimental ravishda namoyish qilish uchun ishlatiladigan mayatnik.

Fuko mayatnik - bu sim yoki ipga osilgan katta yuk bo'lib, uning yuqori uchi mustahkamlangan (masalan, universal bo'g'in yordamida), mayatnik har qanday vertikal tekislikda tebranishi mumkin. Agar Fuko mayatnik vertikaldan burilsa va boshlang'ich tezliksiz qo'yib yuborilsa, u holda mayatnik yukiga ta'sir qiluvchi tortishish kuchlari va ipning tarangligi doimo mayatnikning tebranish tekisligida yotadi va uning aylanishiga sabab bo'lmaydi. yulduzlarga nisbatan (yulduzlar bilan bog'liq inertial mos yozuvlar tizimiga). Yerda joylashgan va u bilan birga aylanayotgan kuzatuvchi (ya'ni, inertial bo'lmagan sanoq sistemasida joylashgan) Fuko mayatnikining tebranish tekisligi er yuzasiga nisbatan sekin er yuzasiga qarama-qarshi yo'nalishda aylanishini ko'radi. Yerning aylanishi. Bu Yerning kunlik aylanishi faktini tasdiqlaydi.

Shimoliy yoki Janubiy qutbda Fuko mayatnikining tebranish tekisligi har bir yulduz kunida 360° ga aylanadi (bir yulduz soatiga 15 o ga). Yer yuzasining geografik kengligi ph ga teng bo‘lgan nuqtada ufq tekisligi vertikal atrofida ō 1 = ō sinph (ō - Yer burchak tezligi moduli) va burilish tekisligi burchak tezligi bilan aylanadi. mayatnik bir xil burchak tezligi bilan aylanadi. Demak, Fuko mayatnikining aylanma tekisligining ph kenglikdagi aylanishning ko'rinadigan burchak tezligi, yulduz soatiga gradusda ifodalangan, ō m =15 o sinph qiymatiga ega, ya'ni ph qanchalik kichik bo'lsa, ph kichikroq bo'ladi. ekvator u nolga aylanadi (tekislik aylanmaydi). Janubiy yarimsharda tebranish tekisligining aylanishi Shimoliy yarim sharda kuzatilganiga teskari yo'nalishda kuzatiladi. Aniqlangan hisoblash qiymatni beradi

ō m = 15 o sinph

Qayerda A- mayatnik og'irligining tebranishlari amplitudasi; l- ip uzunligi. Burchak tezligini kamaytiradigan qo'shimcha atama, qanchalik kichik bo'lsa, shuncha katta bo'ladi l. Shuning uchun eksperimentni namoyish qilish uchun iloji boricha uzunroq ip uzunligi (bir necha o'n m) bo'lgan Fuko mayatnikidan foydalanish tavsiya etiladi.

Hikoya

Ushbu qurilma birinchi marta frantsuz olimi Jan Bernard Leon Fuko tomonidan ishlab chiqilgan.

Ushbu qurilma shiftga ikki metrli po'lat simga osilgan besh kilogrammli mis to'p edi.

Fuko o'zining birinchi tajribasini o'z uyining podvalida o'tkazdi. 1851 yil 8 yanvar. Bu haqda olimning ilmiy kundaligida yozuv kiritilgan.

1851 yil 3 fevral Jan Fuko Parij rasadxonasida o'zining mayatnikini quyidagi mazmundagi xatlarni olgan akademiklarga ko'rsatdi: "Men sizni Yerning aylanishini kuzatishga taklif qilaman."

Eksperimentning birinchi ommaviy namoyishi o'sha yilning aprel oyida Parij Panteonida Lui Bonapart tashabbusi bilan bo'lib o'tdi. Panteon gumbazi ostida metall shar osilgan edi og'irligi 28 kg, po'lat simga ulangan uchi bilan diametri 1,4 mm va Uzunligi 67 m.O'rnatish mayatnik hamma joyda erkin tebranish imkonini berdi yo'nalishlari. ostida Birikish joyi sifatida diametri 6 metr bo'lgan dumaloq panjara qilingan; mayatnik harakatlanayotganda uni kesib o'tishda qumda iz qoldirishi uchun panjara chetiga qum yo'li quyilgan. Sarkacni ishga tushirishda yon tomonga surishning oldini olish uchun u yon tomonga olib ketilib, arqon bilan bog'langan, shundan so'ng arqon yonib ketgan. Tebranish davri 16 soniya edi.

Tajriba katta muvaffaqiyat bo'ldi va Frantsiya va dunyoning boshqa mamlakatlaridagi ilmiy va jamoat doiralarida keng rezonansga sabab bo'ldi. Faqat 1851 yilda birinchisining modeli asosida boshqa mayatniklar yaratildi va Fuko tajribalari Parij rasadxonasida, Reyms soborida, Rimdagi Avliyo Ignatiy cherkovida, Liverpulda, Oksfordda, Dublinda, Rio-de-Janeyroda, Seylonning Kolombo shahrida, Nyu-Yorkda.

Ushbu tajribalarning barchasida to'pning o'lchamlari va mayatnik uzunligi boshqacha edi, ammo ularning barchasi xulosalarni tasdiqladi.Jan Bernard Leon Fuko.

Panteonda namoyish etilgan mayatnik elementlari hozir Parij san'at va hunarmandchilik muzeyida saqlanmoqda. Fuko mayatniklari esa hozir dunyoning ko‘p joylarida: politexnika va ilmiy-tabiiy tarix muzeylarida, ilmiy rasadxonalarda, planetariylarda, universitet laboratoriyalari va kutubxonalarida uchraydi.

Ukrainada uchta Fuko mayatniklari mavjud. Ulardan biri Ukraina Milliy Texnika Universitetida "KPI" nomli saqlanadi. Igor Sikorskiy", ikkinchisi - Xarkov Milliy universitetida. V.N. Karazin, uchinchi - Xarkov planetariysida.

Matematik mayatnik oddiy mayatnikning modelidir. Matematik mayatnik - uzun vaznsiz va cho'zilmaydigan ipga osilgan moddiy nuqta.

Keling, to'pni muvozanat holatidan olib, uni qo'yib yuboramiz. To'pga ikkita kuch ta'sir qiladi: tortishish va ipning kuchlanishi. Mayatnik harakat qilganda, havo ishqalanish kuchi hali ham unga ta'sir qiladi. Ammo biz buni juda kichik deb hisoblaymiz.

Keling, tortishish kuchini ikkita komponentga ajratamiz: ip bo'ylab yo'naltirilgan kuch va to'pning traektoriyasiga teginishga perpendikulyar yo'naltirilgan kuch.

Bu ikki kuchning qoʻshilishi tortishish kuchiga toʻgʻri keladi. Ipning elastik kuchlari va tortishish komponenti Fn to'pga markazlashtirilgan tezlanishni beradi. Bu kuchlar tomonidan bajarilgan ish nolga teng bo'ladi va shuning uchun ular faqat tezlik vektorining yo'nalishini o'zgartiradilar. Vaqtning istalgan lahzasida u aylana yoyiga tangensial ravishda yo'naltiriladi.

Og'irlik komponenti Ft ta'sirida to'p aylana yoy bo'ylab kattaligi ortib borayotgan tezlik bilan harakatlanadi. Ushbu kuchning qiymati har doim kattalikda o'zgaradi; muvozanat holatidan o'tayotganda u nolga teng.

Tebranish harakatining dinamikasi

Elastik kuch ta'sirida tebranuvchi jismning harakat tenglamasi.

Umumiy harakat tenglamasi:

Tizimdagi tebranishlar elastik kuch ta'sirida sodir bo'ladi, bu Guk qonuniga ko'ra, yukning siljishi bilan to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.

Keyin to'pning harakat tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Ushbu tenglamani m ga bo'linadi, biz quyidagi formulani olamiz:

Va massa va elastiklik koeffitsienti doimiy miqdorlar bo'lgani uchun nisbat (-k/m) ham doimiy bo'ladi. Biz elastik kuch ta'sirida jismning tebranishlarini tavsiflovchi tenglamani oldik.

Tananing tezlashishi proyeksiyasi qarama-qarshi belgi bilan olingan uning koordinatasiga to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'ladi.

Matematik mayatnikning harakat tenglamasi

Matematik mayatnikning harakat tenglamasi quyidagi formula bilan tavsiflanadi:

Bu tenglama massaning prujinali harakat tenglamasi bilan bir xil shaklga ega. Binobarin, mayatnikning tebranishlari va sharning prujinadagi harakatlari xuddi shunday sodir bo'ladi.

Sharning prujinada siljishi va mayatnik tanasining muvozanat holatidan siljishi vaqt o'tishi bilan bir xil qonunlar bo'yicha o'zgaradi.

Shaklda ko'rsatilgan mayatniklar. 2, to'xtatib turish yoki tayanch nuqtasi atrofida tebranadigan turli shakl va o'lchamdagi kengaytirilgan jismlar. Bunday tizimlar fizik mayatniklar deb ataladi. Muvozanat holatida og'irlik markazi to'xtatib turish (yoki tayanch) nuqtasidan pastda vertikalda joylashganida, tortishish kuchi tayanchning reaktsiyasi bilan muvozanatlanadi (deformatsiyalangan mayatnikning elastik kuchlari orqali). Muvozanat holatidan chetga chiqqanda, tortishish va elastik kuchlar har bir vaqtning har bir momentida mayatnikning burchak tezlanishini aniqlaydi, ya'ni uning harakati (tebranish) xususiyatini aniqlaydi. Endi biz tebranishlar dinamikasini matematik mayatnik deb ataladigan eng oddiy misol yordamida batafsilroq ko'rib chiqamiz, bu kichik og'irlik uzun ingichka ipga osilgan.

Matematik mayatnikda biz ipning massasini va og'irlikning deformatsiyasini e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin, ya'ni mayatnikning massasi og'irlikda va elastik kuchlar ipda to'plangan deb taxmin qilishimiz mumkin, bu esa cho'zilib bo'lmaydigan hisoblanadi. . Keling, mayatnik qandaydir tarzda muvozanat holatidan chiqarilgandan keyin qanday kuchlar ostida tebranishini ko'rib chiqamiz (surish, burilish).

Mayatnik muvozanat holatida bo'lganda, uning og'irligiga ta'sir qiluvchi va vertikal pastga yo'naltirilgan tortishish kuchi ipning taranglik kuchi bilan muvozanatlanadi. Burilish holatida (15-rasm) tortishish kuchi ip bo'ylab yo'naltirilgan kuchlanish kuchiga burchak ostida harakat qiladi. Keling, tortishish kuchini ikkita komponentga ajratamiz: ip yo'nalishi bo'yicha () va unga perpendikulyar (). Sarkac tebranganda, ipning kuchlanish kuchi tarkibiy qismdan bir oz oshib ketadi - yukni yoy bo'ylab harakatlanishga majbur qiladigan markazlashtiruvchi kuch miqdori. Komponent har doim muvozanat holatiga yo'naltirilgan; u bu vaziyatni tiklashga intilayotganga o'xshaydi. Shuning uchun u ko'pincha qayta tiklash kuchi deb ataladi. Sarkac qancha ko'p burilsa, mutlaq qiymat shunchalik katta bo'ladi.

Guruch. 15. Mayatnik muvozanat holatidan chetga chiqqanda kuchni tiklash

Shunday qilib, mayatnik o'zining tebranishlari paytida muvozanat holatidan chetga chiqa boshlasa, deylik, o'ngga, uning harakatini qanchalik sekinlashtirsa, u shunchalik og'ib ketadi. Oxir-oqibat, bu kuch uni to'xtatadi va uni muvozanat holatiga qaytaradi. Biroq, bu pozitsiyaga yaqinlashganda, kuch kamroq va kamroq bo'ladi va muvozanat holatida o'zi nolga aylanadi. Shunday qilib, mayatnik muvozanat holatidan inersiya bilan o'tadi. U chapga og'a boshlaganda, og'ish ortib borayotgan, ammo endi o'ngga yo'naltirilgan kuch yana paydo bo'ladi. Chapga harakat yana sekinlashadi, keyin mayatnik bir lahzaga to'xtaydi, shundan so'ng o'ngga tezlashtirilgan harakat boshlanadi va hokazo.

Mayatnik tebranish paytida uning energiyasi bilan nima sodir bo'ladi?

Davr davomida ikki marta - chapga va o'ngga eng katta og'ishlarda - sarkaç to'xtaydi, ya'ni bu daqiqalarda tezlik nolga teng, ya'ni kinetik energiya nolga teng. Ammo aynan shu daqiqalarda mayatnikning og'irlik markazi eng katta balandlikka ko'tariladi va shuning uchun potentsial energiya eng katta bo'ladi. Aksincha, muvozanat holatidan o'tish momentlarida potentsial energiya eng past, tezlik va kinetik energiya esa eng katta qiymatlarga etadi.

Biz mayatnikning havoga ishqalanish kuchlarini va to'xtatib turish nuqtasidagi ishqalanishni e'tiborsiz qoldirish mumkinligini taxmin qilamiz. Keyin, energiyaning saqlanish qonuniga ko'ra, bu maksimal kinetik energiya muvozanat holatidagi potentsial energiyadan eng katta og'ish holatidagi potentsial energiyaning ortiqcha miqdoriga to'liq tengdir.

Shunday qilib, mayatnik tebranganda, kinetik energiyaning potentsial energiyaga davriy o'tishi va aksincha sodir bo'ladi va bu jarayonning davri mayatnikning tebranish davrining yarmiga teng. Biroq, mayatnikning umumiy energiyasi (potentsial va kinetik energiyalarning yig'indisi) doimo doimiydir. U potentsial energiya (dastlabki burilish) yoki kinetik energiya (dastlabki surish) shaklida bo'lishidan qat'i nazar, u ishga tushirilganda mayatnikga berilgan energiyaga teng.

Bu ishqalanish bo'lmagan har qanday tebranishlar yoki tebranish tizimidan energiyani olib tashlaydigan yoki unga energiya beradigan boshqa jarayonlar bilan bog'liq. Shuning uchun amplituda o'zgarishsiz qoladi va surishning dastlabki og'ishi yoki kuchi bilan belgilanadi.

Agar biz to'pni ipga osib qo'yish o'rniga, uni vertikal tekislikda sharsimon idishda yoki aylana bo'ylab egilgan truba ichida aylantirsak, biz tiklash kuchida bir xil o'zgarishlarni va energiyaning bir xil uzatilishini olamiz. Bunday holda, ipning tarangligi rolini chashka yoki truba devorlarining bosimi egallaydi (biz yana to'pning devorlarga va havoga ishqalanishini e'tiborsiz qoldiramiz).