Bir marta ikki abituriyent o'rtasidagi suhbatning guvohi bo'ldim:

– Qachon 2pn qo‘shish kerak va qachon pn qo‘shish kerak? Men shunchaki eslay olmayman!

- Menda ham xuddi shunday muammo bor.

Men ularga shunchaki aytmoqchi edim: "Siz yodlashingiz shart emas, lekin tushuning!"

Ushbu maqola birinchi navbatda o'rta maktab o'quvchilariga qaratilgan va umid qilamanki, ularga eng oddiy trigonometrik tenglamalarni "tushunish" bilan hal qilishga yordam beradi:

Raqamli doira

Son qatori tushunchasi bilan bir qatorda tushunchasi ham mavjud raqam doirasi. Biz bilganimizdek, to'rtburchaklar koordinatalar sistemasida markazi (0;0) nuqtada va radiusi 1 bo'lgan aylana birlik aylana deyiladi. Keling, raqamlar chizig'ini ingichka ip sifatida tasavvur qilaylik va uni ushbu doira atrofida aylantiramiz: boshlang'ich (0 nuqta), uni "o'ng" nuqtaga qo'ying. birlik doirasi, biz musbat yarim o'qni soat miliga teskari yo'nalishda, salbiyni esa yo'nalishda aylantiramiz (1-rasm). Bunday birlik aylana sonli aylana deyiladi.

Raqamlar doirasining xossalari

• Har bir haqiqiy son sonlar aylanasining bir nuqtasida yotadi.
• Raqamlar doirasining har bir nuqtasida cheksiz ko'p haqiqiy sonlar mavjud. Birlik aylana uzunligi 2p bo‘lgani uchun aylananing bir nuqtasidagi har qanday ikkita son orasidagi farq ±2p sonlardan biriga teng; ±4p; ±6p; ...

Xulosa qilaylik: A nuqtaning raqamlaridan birini bilib, biz A nuqtaning barcha raqamlarini topishimiz mumkin.

AC diametrini chizamiz (2-rasm). x_0 A nuqta sonlaridan biri bo'lganligi sababli, u holda x_0±p sonlari; x_0±3p; x_0±5p; ... va faqat ular C nuqtaning raqamlari bo'ladi. Keling, bu raqamlardan birini tanlaymiz, masalan, x_0+p va C nuqtaning barcha raqamlarini yozish uchun foydalanamiz: x_C=x_0+p+2pk ,k∈ Z. E'tibor bering, A va C nuqtalardagi raqamlarni bitta formulaga birlashtirish mumkin: x_(A ; C)=x_0+pk ,k∈Z (k = 0; ±2; ±4; ... uchun raqamlarni olamiz. A nuqtasi va k = ±1; ±3; ±5; … – C nuqta raqamlari uchun).

Xulosa qilaylik: AC diametrining A yoki C nuqtalaridan biridagi raqamlardan birini bilib, biz ushbu nuqtalardagi barcha raqamlarni topishimiz mumkin.

• Ikki qarama-qarshi son aylananing abtsissa o'qiga nisbatan simmetrik bo'lgan nuqtalarida joylashgan.

AB vertikal akkordasini chizamiz (2-rasm). A va B nuqtalar Ox o'qiga nisbatan simmetrik bo'lganligi uchun -x_0 soni B nuqtada joylashgan va shuning uchun B nuqtaning barcha raqamlari quyidagi formula bilan berilgan: x_B=-x_0+2pk ,k∈Z. A va B nuqtalardagi raqamlarni bitta formuladan foydalanib yozamiz: x_(A ; B)=±x_0+2pk ,k∈Z. Xulosa qilaylik: AB vertikal akkordning A yoki B nuqtalaridan biridagi raqamlardan birini bilib, biz ushbu nuqtalardagi barcha raqamlarni topishimiz mumkin. AD gorizontal akkordasini ko'rib chiqamiz va D nuqta raqamlarini topamiz (2-rasm). BD diametr va -x_0 soni B nuqtaga tegishli ekan, u holda -x_0 + p D nuqta raqamlaridan biridir va shuning uchun bu nuqtaning barcha raqamlari x_D=-x_0+p+ formulasi bilan berilgan. 2pk ,k∈Z. A va D nuqtalardagi raqamlarni bitta formula yordamida yozish mumkin: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+pk ,k∈Z . (k= 0; ±2; ±4; … uchun A nuqta raqamlarini, k = ±1; ±3; ±5; … - D nuqta raqamlarini olamiz).

Xulosa qilaylik: AD gorizontal akkordning A yoki D nuqtalaridan biridagi raqamlardan birini bilsak, bu nuqtalardagi barcha raqamlarni topishimiz mumkin.

Raqamlar doirasining o'n oltita asosiy nuqtasi

Amalda, eng oddiy yechim trigonometrik tenglamalar doiradagi o'n olti nuqta bilan bog'langan (3-rasm). Bu qanday nuqtalar? Qizil, ko'k va yashil nuqtalar doirani 12 ga ajratadi teng qismlar. Yarim doira uzunligi p bo'lgani uchun, u holda A1A2 yoyi uzunligi p/2, A1B1 yoyi uzunligi p/6, A1C1 yoyi uzunligi p/3 ga teng.

Endi biz bir vaqtning o'zida bitta raqamni ko'rsatishimiz mumkin:

C1 da p/3 va

To'q sariq kvadratning uchlari har chorak yoylarining o'rta nuqtalari, shuning uchun A1D1 yoyi uzunligi p/4 ga teng va shuning uchun p/4 D1 nuqta raqamlaridan biridir. Raqamlar doirasining xususiyatlaridan foydalanib, biz doiramizning barcha belgilangan nuqtalariga barcha raqamlarni yozish uchun formulalardan foydalanishimiz mumkin. Ushbu nuqtalarning koordinatalari rasmda ham belgilangan (biz ularni sotib olish tavsifini o'tkazib yuboramiz).

Yuqoridagilarni o'rganganimizdan so'ng, bizda maxsus holatlarni hal qilish uchun etarli tayyorgarlik bor (raqamning to'qqizta qiymati uchun). a) eng oddiy tenglamalar.

Tenglamalarni yechish

1)sinx=1⁄(2).

- Bizdan nima talab qilinadi?

– Sinuslari 1/2 ga teng bo'lgan barcha x sonlarni toping.

Keling, sinusning ta'rifini eslaylik: sinx – son doirasidagi x soni joylashgan nuqtaning ordinatasi. Bizda aylanada ordinatasi 1/2 ga teng bo'lgan ikkita nuqta bor. Bular B1B2 gorizontal akkordning uchlari. Demak, “sinx=1⁄2 tenglamani yechish” talabi “B1 nuqtadagi barcha raqamlarni va B2 nuqtadagi barcha raqamlarni toping” talabiga teng.

2)sinx=-√3⁄2 .

Biz C4 va C3 nuqtalarida barcha raqamlarni topishimiz kerak.

3) sinx=1. Doirada bizda ordinatasi 1 bo'lgan faqat bitta nuqta - A2 nuqtasi bor va shuning uchun biz ushbu nuqtaning faqat barcha raqamlarini topishimiz kerak.

Javob: x=p/2+2pk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Faqat A_4 nuqtaning ordinatasi -1 ga teng. Bu nuqtaning barcha raqamlari tenglamaning otlari bo'ladi.

Javob: x=-p/2+2pk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Doirada bizda ordinatasi 0 bo'lgan ikkita nuqta bor - A1 va A3 nuqtalari. Har bir nuqtada raqamlarni alohida ko'rsatishingiz mumkin, lekin bu nuqtalar diametrik ravishda qarama-qarshi ekanligini hisobga olsak, ularni bitta formulaga birlashtirish yaxshiroqdir: x=pk,k∈Z.

Javob: x=pk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Keling, kosinusning ta'rifini eslaylik: cosx - son aylanasidagi x soni joylashgan nuqtaning abssissasi. Aylanada bizda abscissa √2⁄2 bo'lgan ikkita nuqta bor - D1D4 gorizontal akkordning uchlari. Biz ushbu nuqtalardagi barcha raqamlarni topishimiz kerak. Keling, ularni bitta formulaga birlashtirgan holda yozamiz.

Javob: x=±p/4+2pk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Biz C_2 va C_3 nuqtalaridagi raqamlarni topishimiz kerak.

Javob: x=±2p/3+2pk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Faqat A2 va A4 nuqtalarida abssissa 0 ga teng, ya'ni bu nuqtalarning har biridagi barcha raqamlar tenglamaning yechimi bo'ladi.
.

Tizim tenglamasining yechimlari B_3 va B_4 nuqtalardagi raqamlardir.Cosx tengsizligiga<0 удовлетворяют только числа b_3
Javob: x=-5p/6+2pk, k∈Z.

E'tibor bering, x ning har qanday ruxsat etilgan qiymati uchun ikkinchi omil ijobiydir va shuning uchun tenglama tizimga ekvivalentdir.

Tizim tenglamasining yechimlari D_2 va D_3 nuqtalar sonidir. D_2 nuqta raqamlari sinx≤0,5 tengsizlikni qanoatlantirmaydi, lekin D_3 nuqta raqamlari mos keladi.

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalashda asl manbaga havola talab qilinadi.

Trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari quyidagilardir: tenglamalarni eng oddiyga qisqartirish (trigonometrik formulalar yordamida), yangi o'zgaruvchilarni kiritish va faktoring. Keling, ulardan foydalanishni misollar bilan ko'rib chiqaylik. Trigonometrik tenglamalar yechimlarini yozish formatiga e'tibor bering.

Trigonometrik tenglamalarni muvaffaqiyatli yechishning zaruriy sharti trigonometrik formulalarni bilishdir (6-ishning 13-mavzu).

Misollar.

1. Eng soddaga qisqartirilgan tenglamalar.

1) tenglamani yeching

Yechim:

Javob:

2) tenglamaning ildizlarini toping

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, segmentga tegishli.

Yechim:

Javob:

2. Kvadratga keltiruvchi tenglamalar.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 tenglamani yeching.

Yechim: sin 2 x = 1 – cos 2 x formulasidan foydalanib, biz olamiz

Javob:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx tenglamasini yeching.

Yechim: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 formulasidan foydalanib, olamiz

Javob:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 tenglamasini yeching

Yechim:

Javob:

3. Bir jinsli tenglamalar

1) 2sinx – 3cosx = 0 tenglamasini yeching

Yechish: cosx = 0 bo'lsin, keyin 2sinx = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligi bilan ziddiyat. Bu cosx ≠ 0 ni bildiradi va biz tenglamani cosx ga bo'lishimiz mumkin. olamiz

Javob:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x tenglamasini yeching

Yechim:

Biz 1 = sin 2 x + cos 2 x va sin 2x = 2 sinxcosx formulalaridan foydalanamiz, biz olamiz

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Cosx = 0 bo'lsin, keyin sin 2 x = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligi bilan ziddiyat.
Bu cosx ≠ 0 degan ma'noni anglatadi va biz tenglamani cos 2 x ga bo'lishimiz mumkin . olamiz

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y ni belgilaymiz
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arktan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arktan2 + 2 k, k .

Javob: arctg4 + 2 k, arktan2 + 2 k,k

4. Shaklning tenglamalari a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Tenglamani yeching.

Yechim:

Javob:

5. Faktorlarga ajratish yo‘li bilan yechilgan tenglamalar.

1) sin2x – sinx = 0 tenglamasini yeching.

Tenglamaning ildizi f (X) = φ ( X) faqat 0 raqami sifatida xizmat qilishi mumkin. Keling, buni tekshiramiz:

cos 0 = 0 + 1 - tenglik to'g'ri.

0 raqami bu tenglamaning yagona ildizidir.

Javob: 0.

Muammoingizga batafsil yechim buyurtma berishingiz mumkin!!!

Trigonometrik funksiya (`sin x, cos x, tan x` yoki `ctg x`) belgisi ostida noma`lumni o`z ichiga olgan tenglik trigonometrik tenglama deyiladi va biz ularning formulalarini keyinroq ko`rib chiqamiz.

Eng oddiy tenglamalar `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, bu yerda `x` topiladigan burchak, `a` istalgan son. Keling, ularning har biri uchun ildiz formulalarini yozamiz.

1. `sin x=a` tenglamasi.

`|a|>1` uchun uning yechimlari yo'q.

Qachon `|a| \leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tenglama

`|a|>1` uchun - sinus holatida bo'lgani kabi, haqiqiy sonlar orasida yechimlari yo'q.

Qachon `|a| \leq 1` mavjud cheksiz to'plam qarorlar.

Ildiz formulasi: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Grafiklarda sinus va kosinus uchun maxsus holatlar.

3. `tg x=a` tenglama

Har qanday `a` qiymatlari uchun cheksiz ko'p yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tenglama

Shuningdek, "a" ning har qanday qiymatlari uchun cheksiz ko'p echimlar mavjud.

Ildiz formulasi: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Jadvaldagi trigonometrik tenglamalarning ildizlari uchun formulalar

Sinus uchun:
Kosinus uchun:
Tangens va kotangens uchun:
Teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni yechish formulalari:

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari

Har qanday trigonometrik tenglamani yechish ikki bosqichdan iborat:

• uni eng oddiyga aylantirish yordamida;
• yuqorida yozilgan ildiz formulalari va jadvallar yordamida olingan eng oddiy tenglamani yeching.

Keling, misollar yordamida asosiy yechim usullarini ko'rib chiqaylik.

Algebraik usul.

Bu usul o'zgaruvchini almashtirish va uni tenglikka almashtirishni o'z ichiga oladi.

Misol. Tenglamani yeching: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

almashtiring: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, keyin `2y^2-3y+1=0`,

biz ildizlarni topamiz: `y_1=1, y_2=1/2`, undan ikkita holat kelib chiqadi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Javob: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizatsiya.

Misol. Tenglamani yeching: `sin x+cos x=1`.

Yechim. Tenglikning barcha shartlarini chapga siljiymiz: `sin x+cos x-1=0`. dan foydalanib, biz chap tomonni aylantiramiz va faktorlarga ajratamiz:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Javob: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Bir jinsli tenglamaga keltirish

Birinchidan, ushbu trigonometrik tenglamani ikkita shakldan biriga qisqartirishingiz kerak:

`a sin x+b cos x=0` (birinchi darajali bir jinsli tenglama) yoki `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

Keyin ikkala qismni birinchi holat uchun "cos x \ne 0" ga, ikkinchisi uchun "cos^2 x \ne 0" ga bo'ling. Biz `tg x` uchun tenglamalarni olamiz: `a tg x+b=0` va `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ularni ma'lum usullar yordamida yechish kerak.

Misol. Tenglamani yeching: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Yechim. O'ng tomonni `1=sin^2 x+cos^2 x` shaklida yozamiz:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Bu ikkinchi darajali bir hil trigonometrik tenglama bo'lib, biz uning chap va o'ng tomonlarini `cos^2 x \ne 0` ga ajratamiz, biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` ga olib keladigan `tg x=t` almashtirishni kiritamiz. Bu tenglamaning ildizlari `t_1=-2` va `t_2=1`. Keyin:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Javob. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Yarim burchakka o'tish

Misol. Tenglamani yeching: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Yechim. Keling, formulalarni qo'llaylik ikki burchak, natijada: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Yuqoridagilarni qo'llash algebraik usul, biz olamiz:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Javob. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Yordamchi burchakning kiritilishi

`a sin x + b cos x =c` trigonometrik tenglamada a,b,c koeffitsientlar va x o'zgaruvchi bo'lib, ikkala tomonni `sqrt (a^2+b^2)` ga bo'ling:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Chap tarafdagi koeffitsientlar sinus va kosinus xossalariga ega, ya'ni kvadratlari yig'indisi 1 ga teng, modullari esa 1 dan katta emas. Ularni quyidagicha belgilaymiz: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, keyin:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Keling, quyidagi misolni batafsil ko'rib chiqaylik:

Misol. Tenglamani yeching: `3 sin x+4 cos x=2`.

Yechim. Tenglikning ikkala tomonini `sqrt (3^2+4^2)` ​​ga ajratsak, biz quyidagilarga erishamiz:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ni belgilaymiz. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` bo`lgani uchun yordamchi burchak sifatida `\varphi=arcsin 4/5` ni olamiz. Keyin tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus uchun burchaklar yig'indisi formulasini qo'llagan holda, biz tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Javob. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Kasrli ratsional trigonometrik tenglamalar

Bular soni va maxraji trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan kasrlar bilan tenglikdir.

Misol. Tenglamani yeching. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Yechim. Tenglikning o'ng tomonini `(1+cos x)` ga ko'paytiring va bo'ling. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Maxraj nolga teng bo'lmasligini hisobga olsak, Z`da `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ni olamiz.

Kasrning ayiruvchisini nolga tenglashtiramiz: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Keyin `sin x=0` yoki `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ekanligini hisobga olsak, yechimlar `x=2\pi n, n \da Z` va `x=\pi /2+2\pi n` bo`ladi. , `n \in Z`.

Javob. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometriya, xususan, trigonometrik tenglamalar geometriya, fizika va texnikaning deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi. O'qish 10-sinfda boshlanadi, har doim yagona davlat imtihoniga topshiriqlar mavjud, shuning uchun trigonometrik tenglamalarning barcha formulalarini eslab qolishga harakat qiling - ular sizga albatta foydali bo'ladi!

Biroq, ularni eslab qolishning hojati yo'q, asosiysi, mohiyatini tushunish va uni chiqarib olishdir. Bu ko'rinadigan darajada qiyin emas. Videoni tomosha qilib o'zingiz ko'ring.

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va/yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining ommaviy so'rovlari yoki so'rovlari asosida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

"A olish" video kursi muvaffaqiyat uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi yagona davlat imtihonidan o'tish matematikadan 60-65 ball. Matematika bo'yicha profil yagona davlat imtihonining 1-13-sonli barcha topshiriqlarini to'liq bajaring. Matematika bo'yicha asosiy yagona davlat imtihonini topshirish uchun ham javob beradi. Agar siz Yagona Davlat imtihonini 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na 100 ball to'plagan talaba, na gumanitar fanlar talabasi ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Tezkor usullar Yagona davlat imtihonining echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI vazifalar bankining 1-qismining barcha joriy vazifalari tahlil qilindi. Kurs 2018 yilgi Yagona davlat imtihonining talablariga to'liq javob beradi.

Kurs 5 tadan iborat katta mavzular, har biri 2,5 soat. Har bir mavzu noldan sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab yagona davlat imtihon topshiriqlari. So'z muammolari va ehtimollar nazariyasi. Muammolarni hal qilish uchun oddiy va eslab qolish oson algoritmlar. Geometriya. nazariya, ma'lumotnoma materiali, Yagona davlat imtihonining barcha turlarini tahlil qilish. Stereometriya. Ayyor echimlar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan muammoga 13. Tiklash o'rniga tushunish. Vizual tushuntirish murakkab tushunchalar. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Yagona davlat imtihonining 2-qismining murakkab muammolarini hal qilish uchun asos.